Problemas resueltos de la XXVII Olimpiada

1. Olimpiada Thales

2. Problema 1: LOS CARROS DEL SUPERMERCADO Problema 2: CUBOS ( Cubos Geogebra ) Problema 3: SUPERVENTAS Problema 4: TRIÁNGULOS FRACTALES Problema 5: OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS Problema 6: ¿ DÓNDE SE ENCUENTRA EL 2011? XXVII Olimpiada Thales

3. XXVII Olimpiada Thales Los carros del supermercado

4. Solución Los carros del supermercado: Alex, María y Elena están en el supermercado con sus padres respectivos. Mientras esperan en la cola de la caja deciden jugar a ver quién adivina cuánto dinero hay juntando las tres monedas que han metido sus padres en los carros. Tienen genes matemáticos, por eso no responden al tun tun, sino que hacen cálculos sabiendo que los carros aceptan monedas de 50 céntimos, 1 euro y 2 euros. • ¿Por qué nadie dice 5’5 euros? • ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal. • En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? • ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar? Razona las respuestas. Menú

11. Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal. • En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? • ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar? Habría que elegir exacta , pues al realizar el recuento hay 13 cantidades cuya expresión es decimal y las 14 restantes son exactas. Y puestos a apostar gominolas, apostaremos a decimal o exacto , puesto que la probabilidad de acertar es aproximadamente del 51% (14 casos de 27 = 0’5185), mientras que la de acertar la cantidad 3'50 es aproximadamente del 22 % (6 casos de 27 = 0’222) Solución: Enunciado Menú

12. XXVII Olimpiada Thales CUBOS

13. Solución CUBOS: El profesor D. Anacleto Enseñalotodo va paseando con sus alumnos y alumnas por un museo y al encontrarse con los siguientes cubos de 1 metro de arista apilados sobre el suelo les plantea las siguientes cuestiones: · ¿Cuál es el volumen de la figura formada por los cubos? · Si pintáramos de rojo las caras que se pueden ver. ¿Cuántos cubos tienen exactamente una, dos, tres, cuatro y cinco caras coloreadas? Razona las respuestas . Menú

14. Solución: Vamos a comenzar descomponiendo la estructura en los diferentes cubos que la forman. A continuación trasladamos los datos a la siguiente tabla: Es bastante sencillo observar que el volumen de la figura es 14 m 3 . Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

15. Solución: Comenzamos quitando el cubo 1 CUBO 1 Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo Repetimos el mismo procedimiento con el resto de los cubos y, completamos la tabla X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

16. Solución: CUBO 2 Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

17. Solución: CUBO 3 X Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

18. Solución: CUBO 4 Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

19. Solución: CUBO 5 Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

20. Solución: CUBO 6 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

21. Solución: CUBO 7 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

22. Solución: CUBO 8 Comprobamos que tiene 1 cara de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

23. Solución: CUBO 9 Comprobamos que tiene 5 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

24. Solución: CUBO 10 Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 X Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

25. Solución: CUBO 11 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 X Cubo 10 X Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

26. Solución: CUBO 12 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 X Cubo 10 X Cubo 11 X Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14

27. Solución: CUBO 13 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 X Cubo 10 X Cubo 11 X Cubo 12 X Cubo 13 Cubo 14

28. Solución: CUBO 14 Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo X Menú Enunciado Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 X Cubo 10 X Cubo 11 X Cubo 12 X Cubo 13 X Cubo 14

29. Solución: Enunciado Cubos con 3 caras coloreadas : 2 Cubos con 4 caras coloreadas : 5 Cubos con 5 caras coloreadas : 1 Cubos con 2 caras coloreadas : 5 Cubos con 1 cara coloreada : 1 Menú Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 X Cubo 3 X Cubo 4 X Cubo 5 X Cubo 6 X Cubo 7 X Cubo 8 X Cubo 9 X Cubo 10 X Cubo 11 X Cubo 12 X Cubo 13 X Cubo 14 X

30. XXVII Olimpiada Thales Superventas

38. XXVII Olimpiada Thales (in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”) Triángulos Fractales

39. Solución 1 TRIÁNGULOS FRACTALES (in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”) Todos los estudiantes de Todolandia andan como locos intentando calcular las superficies de todos los triángulos equiláteros coloreados que se van obteniendo al ir uniendo los puntos medios de los lados de los triángulos no coloreados como se observa en las figuras. Sabiendo que el triángulo equilátero del que se parte tiene como superficie la unidad, ayúdales calculando la superficie que está coloreada después de haber realizado 2 transformaciones. ¿Cuál es la superficie que se obtiene después de 4 transformaciones? ¿Cómo calcularías la superficie coloreada tras realizar “ n ” transformaciones? Triángulo inicial Solución 2 Transformación 1ª Transformación 2ª Menú

40. Solución 1 : Superficie del triángulo inicial: 1 Transformación 1ª Superficie coloreada: Enunciado Menú

41. Solución 1: Transformación 2ª Superficie coloreada: Menú Enunciado

42. Solución 1: Transformación 3ª Superficie coloreada: Menú Enunciado

43. Solución 1: Transformación 4ª Superficie coloreada: Menú Enunciado

44. Solución 1: Superficie coloreada para “ n ” transformaciones Por tanto, la superficie coloreada para “ n ” transformaciones sería: Menú Enunciado

45. Solución 2: Enunciado También podríamos calcular la superficie coloreada para “ n ” transformaciones restando al triángulo unidad la parte no coloreada: Por tanto, la superficie coloreada para “ n ” transformaciones sería: Transformación 1ª Transformación 2ª Transformación 3ª Transformación 4ª Menú

46. XXVII Olimpiada Thales OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS

48. Solución: Primero vamos a calcular el número de participantes. Hoy es 26 de marzo de 2011, entonces el total es : 26+3+2011=2040 Bien, ya tenemos el total, vamos a continuar leyendo…. Menú Enunciado

49. Solución: El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos. Esto nos indica que debemos de dividir entre 3 el total de participantes, y el número obtenido será el de chicas y el resto, que es el doble, el de chicos. 2040:3=680 680 x 2=1360 Menú Enunciado

51. Solución: Vamos entonces a repartir a los participantes por provincias SEVILLA: 816 Participantes Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que en Sevilla se mantenía la proporción de doble número de chicos que de chicas . 816:3=272 272x2=544 Menú Enunciado

52. Solución: CÓRDOBA: 408 Participantes Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas. 408:2=204 204 204 Menú Enunciado

53. Solución: En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro provincias CÁDIZ Podemos calcular el total de chicas, pues es el 20 % del total que recordemos era de 680. 20% de 680=136 136 x 3 = 408 Menú Enunciado

54. Solución: HUELVA En el enunciado de Huelva no nos dicen nada, pero como son los únicos valores que nos faltan los podemos calcular restando del total los obtenidos. 1360-544-204-408=204 680-272-204-136 = 68 Menú Enunciado

55. Solución: Enunciado 544 272 816 204 204 408 408 136 544 204 68 272 Menú Cádiz Córdoba Huelva Sevilla Totales 1360 680 Totales 2040

56. XXVII Olimpiada Thales ¿Dónde se encuentra el 2011

57. Solución 1 Thalevago ha contado a su compañera Calculina que su profesora de mates, Eulerina, ha propuesto hoy en clase la siguiente serie de números: A B C D E 1 4 13 10 7 16 19 28 25 22 31 … Y les ha pedido que averigüen en qué columna y en qué fila aparecerá en dicha serie el número que corresponde al año actual. Para que practiquen les ha dicho que investiguen buscando primero la posición del número 73. Ambos se encuentran un poco despistados, ayúdales a encontrar de forma razonada las respuestas. ¿Dónde se encuentra el 2011? Solución 2 Menú

58. Solución 1: Vamos a calcular el término general de la serie: Ordenamos en sentido creciente los números: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, … a n = a1 + (n-1)d d = +3 a n = 1 + (n-1) (+3)= 1 + 3n – 3 = 3n - 2 a n = 3n - 2 Menú Enunciado

59. Solución 1: Para averiguar la columna situamos los números en la tabla siguiente : Vemos que la diferencia entre dos términos de una misma columna es 15 73 : 15 = 4 Resto = 13 Comenzamos con el número 73 Por tanto se encontrará en la columna A 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 15 15 15 15 15 15 Menú Enunciado A B C D E

60. Solución 1: A continuación necesitamos conocer la fila en que se encuentra el número 73 Recurrimos al término general cuyo valor en este caso es 73 a n = 3n - 2 73 = 3n - 2 75 = 3n n = 75 : 3 n= 25 El número 73 ocupa el término de lugar 25 Podemos hacer grupos de 5 (A, B, C, D y E) 25 : 5 = 5 5 grupos de 5, a cada grupo de 5 le corresponden 2 filas, por tanto 5 X 2 = 10 El término 25 ( número 73) se encuentra en la fila 10 Menú Enunciado

61. Solución 1: Vamos a probar con el número 103 Fila: 103 = 3n - 2 105 = 3n n = 105 : 3 n= 35 35 : 5 = 7 por tanto 7 X 2 = 14 El número 103 se encuentra en la fila 14 Columna: 103 : 15 = 6 Resto = 13 Por tanto se encontrará en la columna A Menú Enunciado

62. Solución 1: Vamos por fin con el número 2011 Fila: 2011 = 3n - 2 2013 = 3n n = 2013 : 3 n= 671 671 : 5 = 134’2 Por tanto 134 ‘2X 2 = 268’4 El número 2011 se encuentra en la fila 269 Columna: 2011: 15 = 134 Resto = 1 Por tanto se encontrará en la columna B 134 grupos completos + 1 grupo incompleto 268 + 1 = 269 Menú Enunciado

63. Solución 2: Si completásemos la tabla podríamos ver que hay una regularidad en la distribución de los términos de la serie Menú Enunciado A B C D E 1 4 1 3 15 1 0 15 7 15 1 6 15 1 9 15 2 8 15 2 5 2 2 3 1 3 4 4 3 4 0 3 7 4 6 4 9 5 8 5 5 5 2

64. Solución 2: 73: 15 = 4 Resto = 13 Resto = 13 Implica que se encontrará en la columna A Cociente = 4 Resto = 13 Nos indica 5 grupos de 2 filas por tanto 5 X 2 = 10 El número 73 se encuentra en la fila 10 (aunque la última fila se encontraría incompleta – columna A ) Número 73 Menú Enunciado

65. Solución 2: 2011: 15 = 134 Resto = 1 Resto = 1 Implica que se encontrará en la columna B Cociente = 134 Resto = 1 Nos indica 134 grupos completos y 1 fila incompleta por tanto 134 X 2 = 268 268 + 1 = 269 El número 2011 se encuentra en la fila 269 Número 2011 Menú Enunciado