2010­2011                             39     Matemáticas en la Educa...
                                                                              Índice  Índice ................................
Índice                Geometría proyectiva ..................................................................................
Matemáticas en la Educación Infantil                                                                                      ...
Índice                Ejercicios propuestos .................................................................................
         Tema 1.­ Introducción a la Estadística y Probabilidad  Estadística y sus aplicaciones: clases y conceptos básicos...
Introducción a la Estadística y Probabilidad              siguiendo una cierta ordenación ascendente o descendente y no de...
Matemáticas en la Educación Infantil                                                                 Curso 2010/2011    • ...
Introducción a la Estadística y Probabilidad                                                                              ...
Matemáticas en la Educación Infantil    Curso 2010/2011Representaciones Gráficas                                          ...
Introducción a la Estadística y Probabilidad Diagramas de barras                                                        
Matemáticas en la Educación Infantil                Curso 2010/2011Histogramas                                            ...
Introducción a la Estadística y Probabilidad Pictogramas                                                                  ...
Matemáticas en la Educación Infantil                                                                Curso 2010/2011Medidas...
Introducción a la Estadística y Probabilidad Observaciones a la moda:     1. Puede ocurrir que existan distribuciones que ...
Matemáticas en la Educación Infantil                                                                 Curso 2010/2011      ...
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Introducción a la Estadística y Probabilidad Esta medida es más representativa que las anteriores, ya que tiene la siguien...
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Introducción a la Estadística y Probabilidad          b.   Tabla de frecuencias.          c.   Media aritmética, varianza ...
                                           Tema 2.­ El Espacio ¿Qué es el Espacio? El Diccionario de la Lengua Española en...
El Espacio en la Educación Infantil                  Orden entre los elementos del lugar geométrico.                  Ti...
Matemáticas en la Educación Infantil                                                                  Curso 2009/2010trans...
El Espacio en la Educación Infantil       A.B.  Kempe  (1849‐1922)  publica  una  demostración  de  la  conjetura  en     ...
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Apuntes elaborados para la asigntatura de Matemáticas en la Educación Infantil de la Escuela Universitaria CEU de Magisterio de Vigo

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  1. 1.     2010­2011  39  Matemáticas en la Educación Infantil Mª del Consuelo García Cuesta  Escuela Universitaria CEU de Magisterio  Vigo 2010‐2011 
  2. 2.   Índice  Índice .....................................................................................................................................................................   iTema 1.‐ Introducción a la Estadística y Probabilidad ......................................................................................... 1  Estadística y sus aplicaciones: clases y conceptos básicos .............................................................................. 1  i  Variables o Caracteres Estadísticos, tablas y gráficos ..................................................................................... 1  Tablas Estadísticas: Recuento ...................................................................................................................... 2  Frecuencias .................................................................................................................................................. 3  Otra forma de recuento: diagrama de tallos y hojas .................................................................................. 3  Representaciones Gráficas .......................................................................................................................... 5  Diagramas de barras ................................................................................................................................ 6  Histogramas ............................................................................................................................................. 7  Diagramas lineales ................................................................................................................................... 7  Diagramas de sectores ............................................................................................................................ 7  Pictogramas ............................................................................................................................................. 8  Observaciones a los gráficos estadísticos  ............................................................................................... 8  . Parámetros Estadísticos .............................................................................................................................. 8  Medidas de posición ................................................................................................................................ 8  Medidas de Dispersión .......................................................................................................................... 13  Medidas de forma: grado de concentración ......................................................................................... 15  Introducción a la Probabilidad ...................................................................................................................... 18  Experimentos aleatorios ........................................................................................................................ 18  Probabilidad de un suceso  .................................................................................................................... 19  . Frecuencia y probabilidad ..................................................................................................................... 20  Ejercicios ........................................................................................................................................................ 21  Ejercicio de examen resuelto .................................................................................................................... 21  Ejercicios propuestos ................................................................................................................................. 23  Bibliografía ..................................................................................................................................................... 24 Tema 2.‐ El Espacio ............................................................................................................................................ 25  ¿Qué es el Espacio? ....................................................................................................................................... 25  Invariantes ................................................................................................................................................. 25  ¿Qué es la topología? ................................................................................................................................ 26  La teoría de grafos ................................................................................................................................. 27  La teoría de nudos ................................................................................................................................. 30  Clasificación topológica de superficies compactas ............................................................................... 34  Geometría fractal .................................................................................................................................. 36 
  3. 3. Índice  Geometría proyectiva ................................................................................................................................ 37  Breve reseña histórica ........................................................................................................................... 37  Sistemas de representación .................................................................................................................. 37  Obtención de las vistas de un objeto .................................................................................................... 39  Geometría métrica o euclídea ................................................................................................................... 41  Introducción didáctica de invariantes topológicos ....................................................................................... 42 ii  Materiales didácticos para la introducción de invariantes topológicos y situaciones correspondientes . 42  La bolsa de formas y el reconocimiento de formas por el tacto ........................................................... 43  Dominós Topológicos ............................................................................................................................ 43  La bolsa de formas, el tangram y la construcción de figuras ................................................................ 44  Los laberintos, la construcción de circuitos y los coloreados ................................................................ 45  La introducción de invariantes proyectivos  .................................................................................................. 46  . Materiales didácticos para la introducción de invariantes proyectivas y situaciones correspondientes . 46  Los juegos de posiciones ....................................................................................................................... 46  Dominós Proyectivos ............................................................................................................................. 47  Las cartas y las construcciones para el desarrollo del punto de vista ................................................... 47  La introducción de invariantes métricos ....................................................................................................... 48  Materiales didácticos para la introducción de invariantes métricos y situaciones correspondientes ..... 48  Los juegos de encastre de figuras geométricas ..................................................................................... 48  Los bloques lógicos, la bolsa de figuras básicas y el tangram ............................................................... 49  Los poliminos ......................................................................................................................................... 49  El geoplano y el mecano ........................................................................................................................ 50  Bibliografía ..................................................................................................................................................... 50  Tema 3.‐ La Medida ........................................................................................................................................... 51  Concepto de Magnitud y Cantidad ................................................................................................................ 51  Medir ......................................................................................................................................................... 51  Medida directa .......................................................................................................................................... 51  Errores en las medidas directas  ................................................................................................................ 51  . Error absoluto ........................................................................................................................................ 51  Error relativo  ......................................................................................................................................... 51  . Error estándar  ....................................................................................................................................... 51  . Propagación de errores en las operaciones más comunes ....................................................................... 51  Magnitud ................................................................................................................................................... 52  Magnitud física .......................................................................................................................................... 52  Cantidad .................................................................................................................................................... 52  Tipos de cantidades ................................................................................................................................... 52  Cantidad homogénea ............................................................................................................................ 53  Cantidad heterogénea ........................................................................................................................... 53   
  4. 4. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011 Cantidad continua ................................................................................................................................. 53  Cantidad discreta ................................................................................................................................... 53  Conclusión ................................................................................................................................................. 53  Tipos de magnitudes ..................................................................................................................................... 53  Magnitudes físicas derivadas .................................................................................................................... 54  Unidades de medida ...................................................................................................................................... 55  iii  Necesidad de un sistema de medida. El Sistema Internacional de Unidades ............................................... 56  Sistema Internacional de Unidades de Medida  ........................................................................................ 56  . Unidades básicas ....................................................................................................................................... 56  Unidades derivadas ................................................................................................................................... 57  Ejemplos de unidades derivadas ........................................................................................................... 57  Tabla de múltiplos y submúltiplos ............................................................................................................. 57  Ejercicios ........................................................................................................................................................ 57  Bibliografía ..................................................................................................................................................... 62 Tema 4.‐ Geometría del plano ........................................................................................................................... 63  Introducción a la Geometría del Plano .......................................................................................................... 63  Ángulos de un polígono ................................................................................................................................. 63  Lugares Geométricos ..................................................................................................................................... 64  Mediatriz ............................................................................................................................................... 64  Bisectriz ................................................................................................................................................. 64  Circunferencia........................................................................................................................................ 65  Ángulos y arcos de circunferencia ............................................................................................................. 65  Ángulos centrales .................................................................................................................................. 65  Ángulos inscritos  ................................................................................................................................... 66  . Ángulos semiinscritos ............................................................................................................................ 66  Ángulos interiores ................................................................................................................................. 67  Ángulos exteriores ................................................................................................................................. 67  Partes del círculo ................................................................................................................................... 67  Triángulos: rectas y puntos notables  ............................................................................................................ 68  . Polígonos semejantes .................................................................................................................................... 69  Teorema de Thales .................................................................................................................................... 70  Teorema de Pitágoras  ............................................................................................................................... 70  . Longitudes y áreas de figuras poligonales ..................................................................................................... 71  Longitudes y áreas de figuras circulares ........................................................................................................ 71  Sector circular, corona circular y trapecio circular .................................................................................... 71  Área de un segmento circular ................................................................................................................... 72  Ejercicios ........................................................................................................................................................ 72  Ejercicios resueltos .................................................................................................................................... 72   
  5. 5. Índice  Ejercicios propuestos ................................................................................................................................. 74  Bibliografía ..................................................................................................................................................... 77  Tema 5.‐ Geometría del Espacio  ....................................................................................................................... 79  . Introducción a la Geometría del Espacio ....................................................................................................... 79  Poliedros ........................................................................................................................................................ 80  Prismas y Pirámides ....................................................................................................................................... 81 iv  Cuerpos redondos o de revolución ............................................................................................................... 82  Simetría en Poliedros y Cuerpos Redondos .............................................................................................. 82  Áreas de Poliedros, Cilindros y Conos ........................................................................................................... 83  Volúmenes de Poliedros, Cilindros y Conos .................................................................................................. 84  La Esfera. Elementos, Área y Volumen .......................................................................................................... 85  Áreas y volúmenes de cuerpos compuestos ................................................................................................. 86  La Tierra ......................................................................................................................................................... 87  Meridianos y Paralelos .............................................................................................................................. 87  Coordenadas Geográficas .......................................................................................................................... 87  Ejercicios ........................................................................................................................................................ 88  Ejercicios resueltos .................................................................................................................................... 88  Ejercicios propuestos ................................................................................................................................. 89  Bibliografía ..................................................................................................................................................... 92   
  6. 6.   Tema 1.­ Introducción a la Estadística y Probabilidad  Estadística y sus aplicaciones: clases y conceptos básicos Aunque la palabra estadística proviene del latín “status” o “estado”, esta palabra sólo describe en parte su significado  real,  es  decir,  sólo  describe  la  función  de  la  estadística  de  llevar  registros  ordenados  de  datos  1 para describir el “estado” de las cosas. Sin embargo, la estadística va más allá de esta simple función. El concepto de Estadística es muy amplio, y sus aplicaciones directas o indirectas, muy numerosas; resulta difícil,  por  ello,  dar  una  definición.  Sin  embargo,  la  idea  más  adecuada  es  considerar  que  incumbe  a  la Estadística  la  recogida,  ordenación,  resumen  y  análisis  de  datos  de  cualquier  tipo  sobre  colectivos,  lo  que significa  que  no  tiene  sentido  pensar  en  un  dato  aislado  o  individual  como  terreno  de  trabajo  de  la Estadística: es necesario, pues, considerar un grupo de elementos (personas, animales, cosas, experimentos, etc.) a los que se refieren los datos que se consideran. Podemos concluir, dando la siguiente definición: la Estadística  es  la  ciencia  que  se  ocupa  de  la  recogida  de  datos,  su  organización  y  análisis;  así  como  de  las predicciones  que,  a  partir  de  estos  datos,  pueden  hacerse.  En  palabras  sencillas  podríamos  decir  que  la estadística es la ciencia de los datos. Según el problema que se estudie y el método utilizado, se distinguen dos clases de Estadística, la Estadística descriptiva y la Estadística inferencial. La  Estadística  descriptiva  se  ocupa  de  tomar  los  datos  de  un  conjunto,  organizarlos  en  tablas  o  en representaciones  gráficas  y  del  cálculo  de  unos  números  (parámetros  estadísticos)  que  nos  informen  de manera global del conjunto estudiado. Los conceptos básicos que aparecen en cualquier estudio estadístico son:  • Población.  Es  el  conjunto  formado  por  todos  los  elementos  que  existen  para  el  estudio  de  un  determinado fenómeno.  • Individuo u objeto. Es cada elemento de la población.  • Muestra. Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar el estudio del fenómeno.  • Tamaño de la muestra. Es el número de individuos que la componen. La  Estadística  inferencial  trata  sobre  la  elaboración  de  conclusiones  para  la  población,  partiendo  de  los resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de estas conclusiones. Variables o Caracteres Estadísticos, tablas y gráficos Lo que se estudia en una muestra o población es una serie de variables en cada individuo o elemento. Lo usual es considerar primero las variables una a una, sin plantearse problemas de asociación entre ellas, por lo  que  podemos  pensar  sólo  en  una  variable  de  cuyos  datos  imaginamos  disponer  en  una  muestra  (el número de datos es el llamado tamaño de muestra, para el que habitualmente se utiliza la letra N). Los tipos de  variables,  y  consecuentemente  las  clases  de  datos  que  se  pueden  encontrar,  son  básicamente  las siguientes:  Variables CUALITATIVAS, también llamadas CARACTERES, VARIABLES CATEGÓRICAS o ATRIBUTOS, que  son  aquellas  que  no  necesitan  números  para  expresarse;  cada  forma  particular  en  que  pueden  presentarse se denomina modalidad. Por ejemplo, el sexo de una persona es una variable cualitativa y  “varón” o “mujer” son sus únicas modalidades. En consecuencia, para una variable cualitativa, cada dato  no  es  más  que  la  información  de  que  un  determinado  elemento  de  la  muestra  presenta  una  determinada modalidad. Entre la variables cualitativas cabe distinguir:  o Las variables cualitativas ORDINALES, que son las que teniendo más de dos modalidades tienen  establecido  un  orden  natural  entre  las  mismas,  de  forma  que  sus  modalidades  se  enuncian 
  7. 7. Introducción a la Estadística y Probabilidad  siguiendo una cierta ordenación ascendente o descendente y no de otra manera. Por ejemplo, la  variable  “gravedad  del  pronóstico  de  lesiones  traumáticas”  podría  tener  como  orden  natural  entre sus modalidades “leve”, “moderado”, “grave”, etc., pero nunca diríamos “grave”, “leve”,  “moderado”, etc. en este orden.  o Las  variables  cualitativas  PURAS,  que  no  tienen  un  orden  natural  preestablecido  entre  sus  modalidades,  y  podemos  utilizar  cualquier  ordenación  para  ellas,  como  por  ejemplo  el  grupo  sanguíneo  o  la  nacionalidad  de  una  persona  (no  hay  que  confundirse  con  ordenaciones  arbitrarias, como el orden alfabético, pensando que convierten  en ordinales a las variables, ya  que no significan una verdadera ordenación natural de las modalidades).  o Las variables DICOTÓMICAS, que tienen sólo dos modalidades posibles, y en las que ni siquiera  tiene  sentido  plantearse  si  son  o  no  ordinales;  el  hecho  de  tener  sólo  dos  modalidades  les  confiere características especiales. Cabe citar como ejemplos el ya citado del sexo, el pertenecer  o  no  a  una  asociación,  o  en  general  cualquier  situación  que  sólo  admita  una  respuesta  “sí”  o  “no”.  Variables CUANTITATIVAS o NUMÉRICAS, que son aquellas que necesitan números para ser expresadas,  como la edad de alguien o el número de páginas de un libro. Cada forma particular en que se presentan  es un valor numérico, y un dato es en estas variables un número que refleja el valor de la variable en un  elemento de la muestra. También pueden distinguirse al menos dos subtipos:  o Las  variables  cuantitativas  DISCRETAS,  cuyos  valores  son  aislados  (habitualmente  números  enteros),  de  forma  que  pueden  enumerarse  y  existen  valores  “consecutivos”  entre  los  que  no  puede haber otro. Por ejemplo, un resumen puede tener 349 ó 350, pero no 349,17 palabras.  o Las  variables  cuantitativas  CONTINUAS,  que  pueden  tomar  cualquier  valor  numérico,  entero  o  decimal,  de  forma  que  teóricamente  entre  dos  valores  posibles  siempre  se  pueden  encontrar  otros  (entre  65.3  Kg  y  65.4  Kg  de  peso  siempre  está  65.37  Kg,  por  ejemplo),  aunque  en  la  práctica  el  número  de  cifras  decimales  está  limitado  y  la  variable  se  maneja  en  cierto  modo  como discreta. La  distinción  entre  los  distintos  tipos  de  variables  es  importante  porque  las  técnicas  a  aplicar  a  cada  uno pueden ser muy diferentes, y muchos parámetros y cálculos tienen sentido para las variables de un tipo y no para  las  de  otro.  Hay  que  tener  en  cuenta  también  que  una  misma  variable  de  la  realidad  puede  venir expresada de diversas maneras, incluso como cualitativa o como cuantitativa, dependiendo de que usemos valores  numéricos  o  sólo  modalidades;  piénsese,  por  ejemplo,  en  que  la  estatura  puede  darse  en centímetros  (variable  cuantitativa  continua)  o  diciendo  de  alguien  que  es  “bajo”,  “mediano”  o  “alto” (variable cualitativa ordinal). En estos casos, debe quedar claro que la variable es en esencia cuantitativa y que su tratamiento como cualitativa supone una pérdida de calidad en la información, sólo admisible si no podemos disponer de los datos numéricos. Tablas Estadísticas: Recuento Después de la recogida de datos, a través de encuestas o entrevistas, éstos suelen ordenarse para un mejor manejo. La forma usual de ordenarlos consiste en realizar un recuento y, posteriormente, formar una tabla. En el caso de las variables cuantitativas continuas o discretas con muchos valores, los datos deben agruparse en clases o intervalos. El  valor  medio  de  cada  clase  o  intervalo  se  llama  marca  de  clase  y  se  calcula  como  la  semisuma  de  los extremos del intervalo. Para construir intervalos o clases hemos de tener en cuenta los siguientes puntos:  • Se halla  N (N = nº total de datos) y este número va a ser el número de intervalos.  • Calculamos  la  diferencia  entre  el  valor  más  grande  y  el  más  pequeño  de  la  variable  a  estudio  (recorrido de la variable o rango) y se trabaja con una aproximación operativa.   
  8. 8. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011 • Calculamos  la  amplitud  de  cada  intervalo  dividiendo  el  resultado  anterior  por  el  número  de  intervalos que tomemos.  • Los intervalos se toman cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. Frecuencias Se llama frecuencia absoluta del valor o cualidad xi, y la representamos por fi, al número de veces que se  repite dicho valor o cualidad.  3 Se llama frecuencia absoluta acumulada del valor o cualidad xi, y la representamos por Fi, a la suma de las  frecuencias absolutas de todos los valores o cualidades anteriores a xi más la frecuencia absoluta de  xi. Se llama frecuencia relativa del valor o cualidad xi, y la representamos por hi, al cociente entre la frecuencia  absoluta de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución. Se llama frecuencia relativa acumulada del valor o cualidad xi, y se representa por Hi, al cociente entre la  frecuencia absoluta acumulada de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución. Se  llama  frecuencia  porcentual  o  porcentaje  del  valor  o  cualidad  xi,  y  se  representa  por  pi,  al  tanto  por  ciento que representa este valor o cualidad respecto del total. Se calcula multiplicando la frecuencia  relativa por 100. Se llama frecuencia porcentual acumulada del valor o cualidad xi, y se representa por Pi, a la suma de las  frecuencias porcentuales correspondientes a los valores anteriores a xi y la suya propia. Otra forma de recuento: diagrama de tallos y hojas El  diagrama  de  tallos  y  hojas  es  un  procedimiento  semigráfico  que  permite  presentar  la  información  para variables cuantitativas y es especialmente útil cuando el número de datos es pequeño. Veamos su construcción realizando el ejemplo que sigue: Las puntuaciones obtenidas por 40 alumnas en un test han sido las siguientes:    41, 53, 72, 62, 81, 93, 81, 74, 56, 62, 45, 47, 62, 58, 88, 76, 77, 63, 43, 56, 76, 63, 78,  73, 65, 66, 91, 82, 61, 72, 36, 50, 91, 32, 60, 80, 51, 68, 61, 71  Para construir el diagrama de tallos y hojas, procedemos del siguiente modo:     
  9. 9. Introducción a la Estadística y Probabilidad    • Los diagramas de tallos y hojas son, en sí mismos, diagramas de frecuencias, pues si trazamos una  poligonal que una los últimos números de cada fila obtenemos el polígono de frecuencias.  • Podemos  ver  que  hay  dos  alumnos  con  puntuaciones  entre  30  y  39;  4  alumnos  con  puntuaciones  entre 40 y 49, y así sucesivamente. Hay más alumnos con puntuaciones entre 70 y 79 que entre 50 y  59.  • La clase que tiene mayor frecuencia es la que tiene por extremos 60‐69.    
  10. 10. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011Representaciones Gráficas  5     
  11. 11. Introducción a la Estadística y Probabilidad Diagramas de barras      
  12. 12. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011Histogramas  7   Diagramas lineales     Diagramas de sectores     
  13. 13. Introducción a la Estadística y Probabilidad Pictogramas   Observaciones a los gráficos estadísticos Un gráfico hecho correctamente debe representar fielmente los datos de una distribución estadística y para ello debe cumplir dos condiciones:  • Reflejar con exactitud y sin ambigüedades los valores o modalidades de la variable y sus frecuencias  y porcentajes.  • Las unidades de la escala deben ser fiables. En cuanto a la estructura general de un gráfico estadístico, este debe contener:  • Título: debe quedar claro el fenómeno que se estudia; además debe especificarse cuándo y dónde  se hicieron las observaciones.  • Cuerpo del gráfico: Es el gráfico en sí; hay que tener en cuenta el tipo que se debe emplear en orden  a la variable estudiada y al público que va dirigido. Por último decir que el famoso dicho de que “una imagen vale más que mil palabras” no se puede aplicar a la Estadística  diciendo  que  “un  gráfico  estadístico  vale  más  que  mil  tablas”,  pues  la  tabla  estadística  es  un conjunto  de  datos  asépticos,  sin  manipulaciones  ni  tendencias  del  investigador,  en  cambio  un  gráfico estadístico  se  puede  someter  a  deformaciones  tendenciosas,  simplemente  manipulando  la  escala  de representación. Parámetros Estadísticos Medidas de posición Las  medidas  de  posición  nos  facilitan  información  sobre  la  serie  de  datos  que  estamos  analizando.  Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Las medidas de posición son de dos tipos:  a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.  b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.   
  14. 14. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011Medidas de posición central Las principales medidas de posición central son las siguientes:  Media: es el  valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media,  siendo las más utilizadas:  o Media  aritmética:  es  la  suma  de  todos  los  valores  de  la  variable  dividida  por  el  número  de  valores. Se representa por  x . Su cálculo está explicado en el resumen teórico de la página 16.  9  o Media  geométrica:  se  eleva  cada  valor  al  número  de  veces  que  se  ha  repetido.  Se  multiplican  todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "N" (siendo N el total de datos de la  muestra). Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anual, inflación, etc., donde el valor  de  cada  año  tiene  un  efecto  multiplicativo  sobre  el  de  los  años  anteriores.  En  todo  caso,  la  media aritmética es la medida de posición central más utilizada. Observaciones a la media aritmética.  1. La media aritmética es la medida o parámetro de centralización que más se utiliza.  2. Presenta la ventaja de tener en cuenta todos los datos de la distribución, además de resultar muy  sencillo su cálculo.  3. Tiene  el  grave  inconveniente  de  que  si  la  distribución  posee  valores  extremos,  excepcionalmente  raros  y  poco  significativos,  éstos  producen  una  distorsión  sobre  el  valor  de  la  media,  alterando  su  significado matemático.  4. No siempre es posible realizar el cálculo de la media aritmética, como por ejemplo: si los datos de la  distribución  son  cualitativos  o  cuando  los  datos  de  la  distribución  se  encuentran  agrupados  en  clases, estando alguna de ellas abierta.  Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de  valores son inferiores y otro 50% son superiores). Se representa por M. Su cálculo está explicado en el  resumen teórico de la página 16. Observaciones a la mediana.  1. La mediana es particularmente útil en los siguientes casos:  a) Cuando entre los datos existe alguno ostensiblemente extremo que, como hemos visto, afecta a  la media.  b) Cuando los datos están agrupados en clases y alguna de ellas es abierta.  2. No presenta el problema de estar influida por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su  cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que  se ha repetido).  3. La mediana es el primer parámetro de centralización que depende del orden de los datos y no de su  valor.  4. Geométricamente la mediana es el valor de la variable tal que la vertical levantada sobre el mismo  divide a la gráfica de la distribución en dos partes de igual área.  Moda: es el  valor que  más se repite en la  muestra. La moda no  siempre  es única, así, podemos tener  distribuciones de datos con varias modas, en tal caso se llaman multimodales. Se representa por Mo. Su  cálculo está explicado en el resumen teórico de la página 16.     
  15. 15. Introducción a la Estadística y Probabilidad Observaciones a la moda:  1. Puede ocurrir que existan distribuciones que no tengan moda; eso ocurre cuando las frecuencias de  todos los datos son iguales.  2. La  moda  es  menos  representativa  que  la  media  aritmética,  pero  en  algunas  ocasiones  es  más  útil  que ésta; por ejemplo, cuando se trata de una distribución de datos cualitativos.  3. En la moda no intervienen todos los datos de la distribución.  4. Aún cuando la moda se considera una medida o parámetro de centralización, no siempre tiene por  qué situarse en la zona central; es frecuente encontrar la moda próxima a los valores extremos de la  distribución. • Interpretación geométrica de la media aritmética, la mediana y la moda. Una manera de visualizar de manera geométrica el significado de media, mediana y moda es considerando el “perfil”  del  polígono  de  frecuencias  como  si  fuera  una  figura  plana,  es  decir,  como  si  dibujamos  el histograma sobre una lámina plana de material homogéneo y lo recortamos. Podemos afirmar lo siguiente:  • La Moda es el punto más alto de la figura.  • La Mediana es el punto que divide a la figura en dos áreas iguales.  • La Media es el punto de equilibrio (centro de masa) de la figura. • Posiciones de la media, la mediana y la moda. Si al construir el polígono de frecuencias se observa que la distribución es simétrica o ligeramente asimétrica se tiene que: media – moda = 3(media – mediana) En  general,  cuando  el  gráfico  que  representa  la  distribución  de  valores  no  es  simétrico,  sino  sesgado,  la media está desviada, en relación con la mayoría de los valores, hacia la cola más larga de la distribución:  • Cola hacia la derecha: media mayor que la mayoría de los valores.  • Cola hacia la izquierda: media menor que la mayoría de los valores.  • Cuanto más sesgada es la distribución: menos representativa es la media. Observa las siguientes gráficas:       
  16. 16. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011 11     Medidas de posición no central Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales: • Cuartiles: son tres valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Se representan por Q1, Q 2 y Q3, y se designan cuartil primero, segundo y tercero, respectivamente. • Quintiles: son cuatro valores que dividen la serie de datos en cinco partes iguales. Se representan por K1, K2, K3 y K4 y se designan por quintil primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. • Deciles: son nueve valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Se representan por D1, D2,…, D9, y se designan por decil primero, segundo,…, noveno, respectivamente. • Percentiles: son noventa y nueve valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente,  en  cien  tramos  iguales,  en  los  que  cada  uno  de  ellos  concentra  el  1%  de  los  resultados.  Se representan  por  P1,  P2,…,  P99,  y  se  designan  percentil  primero,  segundo,…,  nonagésimo  noveno, respectivamente. Los percentiles son muy usados para llevar el seguimiento del peso, crecimiento e índice de masa corporal de los niños y niñas. A continuación tienes lo gráficos de percentiles que habitualmente usan los pediatras en sus consultas.    
  17. 17. Introducción a la Estadística y Probabilidad          
  18. 18. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011• Relaciones entre cuantiles Se tiene que:  D1 = P10  K1 = D2 = P20 D3 = P30  K2 = D4 = P40 Q2 = D5 = P50  K3 = D6 = P60  D7 = P70  K4 = D8 = P80 D9 = P90   • Cálculo de los cuantiles El cálculo de los cuantiles está explicado en el resumen teórico de la página 16.  13 Observaciones a los cuantiles.  1. Los  cuantiles,  preferentemente  los  deciles  y  percentiles,  son  parámetros  estadísticos  muy  utilizados en las Ciencias Sociales.  2. El  cuartil  primero  coincide  con  el  percentil  de  orden  25,  y  el  cuartil  tercero  coincide  con  el  percentil de orden 75. Medidas de Dispersión Estudian  la  distribución  de  los  valores  de  la  serie,  analizando  si  estos  se  encuentran  más  o  menos concentrados, o más o menos dispersos. Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes: • Rango o recorrido: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo. Observaciones al rango o recorrido:  1. Cuanto menor es el recorrido de una distribución mayor es el grado de representatividad de los  valores centrales.  2. El recorrido tiene la gran ventaja de su sencillez de cálculo.  3. Tiene  una  gran  aplicación  en  procesos  de  control  de  calidad,  y  de  una  manera  general,  en  aquellos procesos que se pretenda verificar longitudes, pesos, volúmenes, estando prefijados de  antemano los límites permitidos.  4. El  recorrido  presenta  el  inconveniente  de  que  sólo  depende  de  los  valores  extremos.  De  esta  forma  basta  que  uno  de  ellos  se  separe  mucho  para  que  el  recorrido  se  vea  sensiblemente  afectado.   5. Para paliar en alguna medida este inconveniente se utilizan en ocasiones otros dos rangos:  Rango intercuartílico: Q = Q3 – Q1  Rango entre percentiles: P = P90 – P10 Estos  rangos  son  algo  más  estables,  ya  que  tienden  a  eliminar  aquellos  valores  extremadamente  alejados. Decimos  que  un  valor  de  la  variable  está  alejado  cuando  se  encuentra  bastante  separado  del  resto  de  los datos. Un valor x está alejado si:  x > Q3 + 1,5 (Q3 – Q1)  x < Q1 ‐ 1,5 (Q3 – Q1) • Rango intercuartílico: es la diferencia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, Q3‐Q1. • Rango semiintercuartílico: es la mitad del rango intercuartílico.   
  19. 19. Introducción a la Estadística y Probabilidad Esta medida es más representativa que las anteriores, ya que tiene la siguiente propiedad: en distribuciones aproximadamente  simétricas  el  50%  de  los  datos  queda  comprendido  entre  la  media  aritmética  menos  el rango semiintercuartílico y la media aritmética más el rango semiintercuartílico. • Desviaciones respecto a la media: son las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética. Observaciones a las desviaciones respecto a la media.  1. Las desviaciones dan una idea de la proximidad de cada valor respecto a la media.  2. Las desviaciones pueden ser positivas, negativas o nulas.  3. La suma de las desviaciones con respecto a la media es siempre 0. Por tanto, no podemos usar  esta suma para medir la dispersión. Para evitarlo, se recurre a dos procedimientos:  a. Utilizar el valor absoluto de las desviaciones con respecto a la media, lo que dará lugar a la  desviación media.  b. Utilizar el cuadrado de las desviaciones respecto a la media, lo que dará lugar a la varianza. Desviación media: es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. El cálculo de la desviación media, que se representa por  D x , está explicado en el resumen teórico de la página 17. • Varianza: es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Se representa por   (o s2). Su cálculo está explicado en el resumen teórico de la página 17.  2Observaciones a la varianza.  1. La varianza depende de todos los valores de la distribución, así como de la media aritmética.  2. En  los  casos  en  que  no  sea  posible  calcular  la  media  aritmética  tampoco  se  puede  calcular  la  varianza.  3. La  varianza  es  siempre  positiva  o  nula.  Es  nula  cuando  todos  los  datos  son  iguales  a  la  media.  Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la  media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.  4. La  varianza  presenta  el  problema  de  no  ir  expresada  en  las  mismas  unidades  que  los  datos,  debido a que las desviaciones van elevadas al cuadrado. • Desviación típica: se calcula como raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa por   (o s). Observaciones a la desviación típica.  1. La  desviación  típica  depende  de  todos  los  valores  de  la  distribución,  así  como  de  la  media  aritmética.  2. En  los  casos  en  que  no  sea  posible  calcular  la  media  aritmética  tampoco  se  puede  calcular  la  desviación típica.  3. La desviación típica se expresa en las mismas unidades que los datos de la distribución, de ahí  que resulte ser más interesante que la varianza. • Utilización conjunta de media y desviación típica. La  media  aritmética  de  un  conjunto  de  datos  se  encuentra,  aproximadamente,  hacia  el  centro  de  la distribución. La desviación típica nos informa sobre la dispersión de los datos respecto a la media. Utilizando  ambos  parámetros  conjuntamente  podemos  obtener  resultados  muy  importantes  sobre  la distribución.    
  20. 20. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011Para  cualquier  distribución  estadística,  mientras  más  pequeña  sea  la  desviación  típica,  mayor  será  el porcentaje de datos contenidos en un intervalo en torno a la media. • Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media. Observaciones al coeficiente de variación.  1. El  interés  del  coeficiente  de  variación  es  que  al  ser  un  porcentaje  permite  comparar  el  nivel  de  dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las  mismas unidas que los datos de la serie. Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión de una  15  serie de datos de la altura de los alumnos de una clase y otra serie con el peso de dichos alumnos, no  se puede utilizar las desviaciones típicas (una viene expresada en cm y la otra en Kg). En cambio, sus  coeficientes de variación son ambos porcentajes, por lo que sí se pueden comparar.  2. Observa que cuando la media aritmética se acerca a cero el coeficiente de variación no tiene gran  utilidad, ya que toma valores infinitamente grandes.  3. El coeficiente de variación relaciona una medida de dispersión con una de centralización. En  resumen,  el  coeficiente  de  variación  se  utiliza  cuando  se  quiere  comparar  la  dispersión  de  las  series estadísticas con medias desiguales o que se midan en diferentes unidades. Evidentemente, cuanto menor sea el coeficiente de variación, menor será la dispersión. Para  finalizar,  debemos  tener  en  cuenta  que  un  estudio  estadístico  no  es  completo  si  las  medidas  de centralización no vienen acompañadas de las de dispersión. Nos preguntamos, por tanto, ¿cuál es la mejor medida de dispersión que debe acompañar a la de centralización? La respuesta viene dada por el siguiente cuadro:  Medida de centralización Medida de dispersión  Media aritmética  Varianza‐Desviación típica Mediana  Rango intercuartílico  Moda  Rango o recorrido Medidas de forma: grado de concentración Las  medidas  de  forma  permiten  conocer  que  forma  tiene  la  curva  que  representa  la  serie  de  datos  de  la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva:  a) Concentración: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo  largo de la muestra.  b) Asimetría:  mide  si  la  curva  tiene  una  forma  simétrica,  es  decir,  si  respecto  al  centro  de  la  misma  (centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.  c) Curtosis:  mide  si  los  valores  de  la  distribución  están  más  o  menos  concentrados  alrededor  de  los  valores medios de la muestra.    
  21. 21. Introducción a la Estadística y Probabilidad    1.‐ Medidas de Centralización   
  22. 22. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011 17    2.‐ Distribuciones unidimensionales     
  23. 23. Introducción a la Estadística y Probabilidad Introducción a la Probabilidad Experimentos aleatorios     
  24. 24. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011Probabilidad de un suceso  19     
  25. 25. Introducción a la Estadística y Probabilidad Frecuencia y probabilidad     
  26. 26. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011Ejercicios Ejercicio de examen resuelto  21    a. Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de tallos y hojas.  b. Halla:  Media  aritmética,  mediana,  moda,  cuartiles,  deciles  tercero  y  sexto,  percentiles  30  y  70,  rango,  rango intercuartílico, desviación media, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, sesgo y tipo  de sesgo.   c. Haz  el  diagrama  de  barras  correspondiente  a  las  frecuencias  absolutas,  el  polígono  de  frecuencias  asociado al mismo y un diagrama de sectores.  Llamadas  fi  Fi   hi  Hi  pi  Pi   xi*fi  |xi‐ x |*fi  (xi‐ x )2*fi  24  2  2  0,03  0,03  3,33%  3,33%  12  48  35,83  642,01  25  1  3  0,02  0,05  1,67%  5,00%  6  25  16,92  286,17  27  4  7  0,07  0,12  6,67%  11,67%  24  108  59,67  890,03  29  4  11  0,07  0,18  6,67%  18,33%  24  116  51,67  667,36  31  3  14  0,05  0,23  5,00%  23,33%  18  93  32,75  357,52  32  3  17  0,05  0,28  5,00%  28,33%  18  96  29,75  295,02  33  2  19  0,03  0,32  3,33%  31,67%  12  66  17,83  159,01  34  3  22  0,05  0,37  5,00%  36,67%  18  102  23,75  188,02  35  2  24  0,03  0,40  3,33%  40,00%  12  70  13,83  95,68  37  1  25  0,02  0,42  1,67%  41,67%  6  37  4,92  24,17  39  1  26  0,02  0,43  1,67%  43,33%  6  39  2,92  8,51  40  1  27  0,02  0,45  1,67%  45,00%  6  40  1,92  3,67  41  3  30  0,05  0,50  5,00%  50,00%  18  123  2,75  2,52  42  2  32  0,03  0,53  3,33%  53,33%  12  84  0,17  0,01  43  2  34  0,03  0,57  3,33%  56,67%  12  86  2,17  2,35  44  2  36  0,03  0,60  3,33%  60,00%  12  88  4,17  8,68  45  2  38  0,03  0,63  3,33%  63,33%  12  90  6,17  19,01  47  2  40  0,03  0,67  3,33%  66,67%  12  94  10,17  51,68  48  2  42  0,03  0,70  3,33%  70,00%  12  96  12,17  74,01  49  1  43  0,02  0,72  1,67%  71,67%  6  49  7,08  50,17  50  2  45  0,03  0,75  3,33%  75,00%  12  100  16,17  130,68  51  2  47  0,03  0,78  3,33%  78,33%  12  102  18,17  165,01  52  3  50  0,05  0,83  5,00%  83,33%  18  156  30,25  305,02  53  1  51  0,02  0,85  1,67%  85,00%  6  53  11,08  122,84  57  2  53  0,03  0,88  3,33%  88,33%  12  114  30,17  455,01  61  2  55  0,03  0,92  3,33%  91,67%  12  122  38,17  728,35  62  1  56  0,02  0,93  1,67%  93,33%  6  62  20,08  403,34  63  2  58  0,03  0,97  3,33%  96,67%  12  126  42,17  889,01  65  2  60  0,03  1,00  3,33%  100,00% 12  130  46,17  1065,68  Total  60    1,00    100,00%   360 2515 589  8090,58     
  27. 27. Introducción a la Estadística y Probabilidad Diagrama de tallos y hojas  2 4 4577779999 3 1 11222334445579 4 0 1112233445577889 5 0 011222377 6 1 123355 x  f i i 2515 Media Aritmética  x i   41,9   N 60 Mo= 27 y 29  M = 41,5 (media aritmética entre 41 y 42)  Cuartiles  Q1= 32;  Q2= 42; Q3= 51  Deciles   D3= 33;  D6= 45  Percentiles  P30= 33;  P70= 49    Rango o recorrido = 65 ‐ 24= 41  Rango intercuartílico = 51 ‐ 32 = 19   x x  f i i 589Desviación media  Dx  i   9,82   N 60 x  x   fi 2 i 8090,58Varianza   2 i   134,84   N 60Desviación típica      11,61   2 Coeficiente de Variación  d   0, 28   x x  Mo 1, 28  M o  27  Sesgo         Se trata de una distribución sesgada a la derecha1.   1,11 M o  29   Polígono de Frecuencias Diagrama de frecuencias Cuenta de llamadas 4,5 Cuenta de llamadas 4,5 4 4 3,5 3,5 3 Frecuencia Absoluta 3 2,5 2,5 Total 2 2 1,5 1,5 1 1 0,5 0,5 0 24 25 27 29 31 32 33 34 35 37 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 57 61 62 63 65 0 24 25 27 29 31 32 33 34 35 37 39 40 41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 57 61 62 63 65 Número de Llamadas llamadas llamadas                                                              1  Aunque es bimodal, ambos valores para el sesgo son mayores que cero.   
  28. 28. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2010/2011 Diagrama de Sectores 63 3% 62 2% 61 65 24 25 3% Cuenta de llamadas3% 3% 2% 27 57 7% 3% 29 53 2% 7% 23  52 5% 31 5% 51 3% 32 50 5% 3% 49 33 2% 3% 48 34 3% 5% 47 35 3% 44 37 3% 3% 43 40392% 45 42 41 2% 3% 2% 3% 3% 5%  Ejercicios propuestos 1. Busca en la prensa gráficos estadísticos de todos los tipos estudiados en el tema 3. Clasifícalos e indica en cada uno  de ellos la fecha y el diario en el que aparecieron. Entrégalos en el portafolio. Se valorará positivamente si se hace  un breve comentario de cada gráfico. 2. En un grupo de sociología se han obtenido las siguientes puntuaciones en un test de habilidad mental:  50 23 45 36 56 34 56 67 45 34 23 45 23 67 54 21 34 31 23 47 52  43 12 78 36 49 53 27 66 31 45 22 33 44 48 53 57 77 33 37 64 21 Construye el diagrama de tallos y hojas. 3. Los resultados obtenidos al lanzar un dado 200 veces vienen reflejados en la siguiente tabla:  Número de puntos 1 2 3 4 5 6 Repeticiones ¿ 32 35 33 ¿ 35Determina las frecuencias que faltan sabiendo que la puntuación media es 3,6 y calcula la mediana y la moda2. 4. Dada la distribución siguiente:  xi 2 4 6 7 9 fi 3 5 7 4 2 a. Construye la tabla de frecuencias.  a. Haz  el  diagrama  de  barras  correspondiente  a  las  frecuencias  absolutas,  el  polígono  de  frecuencias  asociado al mismo y un diagrama de sectores.  b. Halla:  Media  aritmética,  mediana,  moda,  cuartiles,  deciles  tercero  y  sexto,  percentiles  30  y  70,  rango,  rango intercuartílico, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, sesgo y tipo de sesgo. 5. Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por alturas, según la tabla siguiente:  Altura  [1.70,1.75)  [1.75,1.80) [1.80,1.85) [1.85,1.90) [1.90,1.95)  [1.95,2.00) Nº de jugadores  1  3 4 8 5  2 Queremos analizar la variable altura, para lo cual se pide:  a. Clasificación de la variable.                                                             2  x = 29, y = 36   
  29. 29. Introducción a la Estadística y Probabilidad  b. Tabla de frecuencias.  c. Media aritmética, varianza y desviación típica.  d. Coeficiente de variación.  e. Moda.  f. Cuartiles.  g. Rango y rango intercuartílico.  h. Sesgo (coeficiente de asimetría de Fisher y coeficiente de asimetría de Pearson).  i. Tipo de sesgo.  j. Realizar la representación gráfica más adecuada. 6. Una persona A mide 1,75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1,60 m y la desviación típica es  de 20 cm. Otra persona B mide 1,80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1,70 m y la desviación  típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos? 7. A  dos  grupos  de  ocho  profesores  de  un  instituto  (grupo  A)  y  de  otro  instituto  (grupo  B)  se  les  ha  planteado  un  cuestionario de cultura general con cien preguntas, arrojando el siguiente número de contestaciones acertadas:  Grupo A  46 48 49 50 50 51 52 54 Grupo B  10 18 30 50 50 70 82 90Halla  para  cada  uno  de  los  dos  grupos  la  media,  la  moda  y  la  mediana,  así  como  la  desviación  típica.  Interpreta  los resultados. 8. Un grupo de alumnos ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas e Historia:  MATEMÁTICAS HISTORIA NOTAS  INDIVIDUOS NOTAS INDIVIDUOS 1  0 1 5 2  10 2 4 3  15 3 6 4  20 4 15 5  30 5 50 6  10 6 15 7  10 7 3 8  5 8 2Efectúa un análisis estadístico completo para ambas asignaturas. Bibliografía Arévalo, R; González, J. L. y Torresano, J. A. (2007). Esfera, Matemáticas 3º ESO. Madrid: SM. Delgado Fernández, J. L. (2008). Apuntes de Estadística. Écija: IES Nicolás Copérico. Delgado Fernández, J. L. (2008). Apuntes de Probabilidad. Écija: IES Nicolás Copérico. Estocástico.  (2010,  4)  de  marzo. Wikipedia,  La  enciclopedia  libre.  Fecha  de  consulta:  15:41,  marzo  19,  2010  desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estoc%C3%A1stico&oldid=34651449. Sánchez González, J. L. y Vera López, J (2000). Matemáticas 2º Secundaria. Madrid: Oxford University Press.   
  30. 30.   Tema 2.­ El Espacio ¿Qué es el Espacio? El Diccionario de la Lengua Española en su vigésima segunda edición lo define como: Extensión que contiene toda la materia existente. El estudio de las propiedades que quedan invariantes cuando se aplica una transformación constituye una parte de la Geometría3 que resulta de especial interés por sus aplicaciones didácticas.  25 Se trata de reconocer una constancia en las figuras a pesar de las modificaciones a que pueda ser sometida por las trasformaciones.  Los  niños,  en  sus  experiencias,  pueden  modificar  los  objetos  elásticos  estirándolos,  pueden  cambiar  la posición de los objetos en el espacio, y observar el efecto de las sombras proyectadas en una superficie. La  topología  es  una  parte  de  la  geometría  que  estudia  las  propiedades  invariantes  de  las  figuras  al aplicarles transformaciones bicontinuas (directa e inversa) como doblar‐desdoblar o estirar‐encoger.  La  geometría  proyectiva  estudia  las  propiedades  de  las  figuras  que,  proyectadas  a  partir  de  un  foco luminoso, quedan invariantes. Ésta es una transformación de sentido único, ya que no podemos plantear una transformación inversa. La  geometría  métrica  o  euclidiana  estudia  las  propiedades  de  las  figuras  que  quedan  invariantes  al aplicarles  desplazamientos  en  el  espacio  (traslación,  giro,  simetría).  En  este  caso  a  toda  transformación directa le corresponde una transformación inversa que permite al objeto volver a su posición inicial. El giro es una transformación geométrica en la que todos los puntos giran en un mismo ángulo alrededor de un punto fijo: el centro de su rotación es el único punto que no varía su posición. La simetría supone una inversión, como si se viese en un espejo. Una figura se transforma en otra dándole la vuelta. Es una transformación geométrica del plano respecto a una recta que se llama eje de simetría. El cuerpo  humano  es  simétrico  (exteriormente)  respecto  a  un  plano.  La  mano  derecha  es  igual  que  la izquierda pero no se pueden superponer sin salir del mismo plano. Invariantes Consecuencia inmediata de esa construcción de la representación del espacio en niños de edad temprana es la introducción de una geometría que deja de estar uniformemente centrada en los aspectos métricos, para diversificarse en otra serie de aspectos (topológicos, proyectivos y, por supuesto, métricos también) que  darán  lugar  a  una  consideración  de  los  diversos  tipos  de  geometría  introducidos  por  las  ideas clasificatorias de Klein;) y desarrollados en las construcciones teóricas matemáticas. La escuela piagetiana puso  de  manifiesto  que  los  invariantes  característicos  de  dichas  geometrías  aparecían  en  las  primeras representaciones  espaciales  del  niño  y  por  eso  proponemos  una  línea  didáctica  que  pase  por  la construcción de un espacio representativo y desemboque en la introducción de los tres tipos de geometría que  se  pueden  detectar  en  la  representación  espacial  del  niño  pequeño:  la  Geometría  topológica  la Geometría proyectiva y la Geometría métrica. Cada uno de estos tres tipos de geometría viene caracterizado por una serie de invariantes. Los invariantes que caracterizan la Geometría topológica son:   El tipo de lugar geométrico: abierto o cerrado, con la consiguiente determinación de distintas  regiones en el espacio: interior, exterior y frontera.   Continuidad o discontinuidad del lugar geométrico.                                                             3  La geometría,  del  griego  geo  (tierra)  y  métrica  (medida),  es  una  rama  de  la  matemática  que  se  ocupa  de  las propiedades  de  las figuras  geométricas en  el  plano  o  el  espacio  (Geometría.  (2010,  24)  de  febrero. Wikipedia,  La enciclopedia  libre.  Fecha  de  consulta:  15:46,  marzo  2,  2010 desde http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa&oldid=34365836.) 
  31. 31. El Espacio en la Educación Infantil   Orden entre los elementos del lugar geométrico.   Tipo de conexión entre los elementos del lugar geométrico.   Tipo de compacidad del lugar geométrico.  Los principales invariantes que caracterizan la Geometría proyectiva son la orientación y la localización en  el espacio, invariantes que se traducen con términos como:   delante‐detrás   encima‐debajo 26   sobre‐bajo   derecha‐izquierda   entre   al lado   enfrente  Los invariantes que caracterizan la Geometría métrica son:   La medida de segmentos, superficies o volúmenes.   La medida de los ángulos (la perpendicularidad, el paralelismo).   La forma.  Hay que tener en cuenta, sin embargo, que la Geometría métrica comprende todos los invariantes de las  otras dos, y que la proyectiva comprende los invariantes topológicos, es decir, que la representación de una  figura  en  la  Geometría  métrica  incluye  sus  características  proyectivas  o  topológicas.  Así  mismo,  la  representación de una figura en la Geometría proyectiva incluye sus características topológicas pero no así  sus características métricas. Por último, la representación de una figura en Geometría topológica tiene solo  en cuenta sus rasgos topológicos y no sus rasgos proyectivos o métricos.  Con  todo  y  según  lo  expresado  debemos  tener  en  cuenta  que,  en  la  mente  del  niño,  se  desarrollan  simultáneamente  los  tres  tipos  de  geometría,  a  pesar  de  la  construcción  matemática  que  implica  esa  inclusión  secuencial  desde  la  Geometría  métrica  a  la  topológica.  Por  tanto,  desde  un  punto  de  vista  pedagógico,  es  recomendable  la  propuesta  indistinta  de  situaciones  en  que  se  introduzcan  conceptos  topológicos  métricos  o  proyectivos  aunque  nosotros  optamos  aquí  por  una  presentación  en  apartados  separados, en aras de una mayor claridad expositiva.  ¿Qué es la topología?  ... Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición... L. Euler.  La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contraste con el  álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la topología  aparece en el siglo diecisiete, con el nombre de analysis situs, esto es, análisis de la posición.  De  manera  informal,  la  topología  se  ocupa  de  aquellas  propiedades  de  las  figuras  que  permanecen  invariantes,  cuando  dichas  figuras  son  plegadas,  dilatadas,  contraídas  o  deformadas,  de  modo  que  no  aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. La transformación permitida presupone,  en otras palabras, que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la   
  32. 32. Matemáticas en la Educación Infantil  Curso 2009/2010transformada,  y  que  la  deformación  hace  corresponder  puntos  próximos  a  puntos  próximos.  Esta  última propiedad  se  llama  continuidad,  y  lo  que  se  requiere  es  que  la  transformación  y  su  inversa  sean  ambas continuas: así, trabajarnos con homeomorfismos. El  topólogo  considera  los  mismos  objetos  que  el  geómetra,  pero  de  modo  distinto:  no  se  fija  en  las distancias  o  los  ángulos,  ni  siquiera  de  la  alineación  de  los  puntos.  Para  el  topólogo  un  círculo  es equivalente  a una elipse; una  bola no se distingue de un cubo: se dice que  la bola y el  cubo son objetos topológicamente  equivalentes,  porque  se  pasa  de  uno  al  otro  mediante  una  transformación  continua  y reversible.  27 Se estudian tres teorías topológicas:  ‐ la  teoría  de  grafos,  insistiendo  en  dos  ejemplos  clásicos,  el  problema  de  los  siete  puentes  de  Könisberg y, el teorema de los cuatro colores que parecen un juego de niños, pero que involucran  en su resolución complicadas teorías matemáticas;  ‐ la teoría de nudos, con sorprendentes aplicaciones en Biología Molecular, Física,...  ‐ la  teoría  de  superficies,  apartado  desarrollado  con  más  rigor  matemático  que  los  anteriores:  se  trata  aquí  de  clasificar  todas  las  superficies  compactas...  y  clasificar  es  el  objeto  central  de  la  Topología. La teoría de grafos El  estudio  de  grafos  está  ligado  habitualmente  a  la  topología.  Un  grafo  es  sencillamente  un  conjunto  de puntos,  los  vértices,  algunos  de  los  cuales  están  ligados  entre  ellos  por  medio  de  líneas,  las  aristas.  La naturaleza  geométrica  de  estos  arcos  no  tiene  importancia,  sólo  cuenta  la  manera  en  la  que  los  vértices están conectados. El problema de los siete puentes de Könisberg  En 1700, los habitantes de Könisberg (hoy en día Kaliningrado, Rusia),  se preguntaban si era posible recorrer esta ciudad pasando una vez y  sólo una por cada uno de los puentes sobre el río Pregel, y volviendo al  punto de partida. En aquella época, Könisberg tenía siete puentes (a,  b, c, d, e, f y g en la figura) uniendo las cuatro partes de la ciudad (A, B,  C y D) separadas por las aguas, y dispuestas como se indica:  En 1736 Euler probó que la respuesta era negativa, usando un grafo:  se dibujan sobre una hoja de papel cuatro vértices que simbolizan las cuatro  partes  separadas  de  la  ciudad,  después  se  trazan  entre  estos  vértices  las  aristas, simbolizando  los puentes:  Un grafo se llama conexo si existe un camino ligando cada par de vértices. Un camino sobre  un  grafo  se  llama  euleriano,  si  pasa  por  cada  arista  exactamente  una  vez.  Un circuito es un camino cerrado. El grado de un vértice es el número de aristas que llegan al él. El teorema de los cuatro colores F.  Guthrie  (1831‐1899)  plantea  en  1852  la  siguiente  conjetura:  para  colorear  cualquier  mapa  geopolítico plano (suponiendo cada país formado por un único trozo), de tal modo que dos países con frontera común sean de distinto color, basta (como máximo) con cuatro colores.   
  33. 33. El Espacio en la Educación Infantil  A.B.  Kempe  (1849‐1922)  publica  una  demostración  de  la  conjetura  en  1879.  Esta  prueba  es  en  principio  aceptada,  hasta  que  P.  Heawood  (1861‐1955)  descubre  en  1890  un  error  en  la  demostración  de  Kempe.  Sin embargo, Kempe desarrolla en su prueba el llamado método de las  cadenas de Kempe (basado en teoría de grafos), que contiene las ideas  básicas que se usarán después para€

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