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Apuntes de dpm
 

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    Apuntes de dpm Apuntes de dpm Document Transcript

    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011    Texto: Mª Margarita La Belle  Ilustración: Leonor Salazar  Érase una vez un niño que anhelaba, más que nada en la vida, ir al País de las Matemáticas. Quería trepar por la geometría y deslizarse por largas ecuaciones. Ahí no vivían más que cifras, bellas cifras con las que uno podía hacer toda clase de acrobacias. Desde contarse los dedos de los pies hasta calcular el tiempo que un astronauta tardaría en recorrer la distancia entre la Tierra y la Luna.  El  niño  esperó  hasta  que  se  desesperó,  y  una buena mañana, al despertar, se dijo, "Ya no esperaré más. Voy  a  ir  al  país  de  las  Matemáticas  porque  es  ahí  donde quiero estar."  Y, sin mirar atrás, emprendió su camino.  Primero,  pasó  a  una  mapería,  o  sea  una  tienda  donde  venden  mapas  para  llegar  a  cualquier  parte.  Y  se  compró un mapa para orientarse.  Con su mapa en la mano, el niño se sentía aún más  intrépido. Abriéndolo con mucho cuidado, leyó:  PARA  LLEGAR  AL  PAÍS  DE  LAS  MATEMÁTICAS,  HAZ LO SIGUIENTE SIN SALTARTE NINGUNA INDICACIÓN:  SAL DE LA CIUDAD SIGUIENDO LAS FLECHAS GRANDES.  El niño leyó esto, y levantó la vista. Justamente, en  la  esquina  de  enfrente,  había  una  flecha  grande  y  otra  chica.  Doblando  su  mapa,  el  niño  atravesó  la  calle,  y  se  echó  a  andar  en  la  dirección  que  señalaba  la  flecha...  grande.  Ya fuera de la ciudad, no veía ninguna otra flecha,  de manera que volvió a consultar su mapa. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   1
    • Introducción  EN  EL  CAMPO  ENCONTRARÁS  UNA  GRAN  PIEDRA  EN  FORMA  DE  CÓNDOR.  DE  ESA  PIEDRA  PARTEN UN CAMINO RECTO Y OTRO CURVO. TOMA EL CAMINO RECTO HASTA  LLEGAR A UN CORRAL CERRADO. ASÓMATE Y ADENTRO VERÁS UN CONJUNTO  DE OVEJAS.  El  niño  caminó  y,  efectivamente,  después de un rato llegó a un corral cerrado,  en donde estaban varias ovejas.  DEL  OTRO  LADO  DEL  CAMINO  UN  POCO  MÁS  ADELANTE  HAY  OTRO  CORRAL,  PERO  ABIERTO.  AFUERA  DE  ESE  CORRAL, VERÁS  OTRO  CONJUNTO  DE  OVEJAS.  METE  LAS  OVEJAS  A  ESE CORRAL ABIERTO Y SEPÁRALAS POR COLORES.  Al leer aquello, el niño se sintió algo nervioso. Él no era pastor, y nunca había tratado a ovejas. No sabía a ciencia cierta si no les daba por morder o patear. Pero, armándose de valor, procedió a seguir las instrucciones del mapa.  Realmente, no estaba muy  a gusto. Él quería ir al País de las Matemáticas, no cuidar a ovejas. ¿Qué  tenían  que  ver  las  ovejas  con  las  matemáticas?  En  fin.  Ya  había  logrado  meter  las  ovejas  al  corral,  y  ya  estaban  separadas  por  color:  las  blancas  en  un  rincón  y  las  cafés  en otro. ¿Y ahora qué?  ACABAS  DE  FORMAR  UN  SUB‐CONJUNTO  CAFÉ  Y  OTRO SUB‐CONJUNTO BLANCO, LEYÓ EN EL MAPA.  AFUERA  DEL  CORRAL  HAY  UN  BOTE.  EN  ÉL  ENCONTRARÁS UNOS CENCERROS. PONLE UNO A CADA OVEJA. NO DEBE FALTARTE NI SOBRARTE NI UNO.  El niño no tardó en encontrar el bote de cencerros y, ya con un poco más de confianza, le amarró un cencerro a cada oveja. Ni le faltaron, ni le sobraron.  AHORA,  CRUZA  EL  CAMINO  Y  VE  SI  EN  EL  CORRAL CERRADO  HAY  UNA  OVEJA  PARA  CADA  OVEJA  QUE  HAY  EN  EL CORRAL ABIERTO.  Afortunadamente, el niño  traía  su  plumón,  y  se  le  ocurrió  marcar  una  oveja  del  corral  abierto  y  otra  del  corral  cerrado,  y otra del corral abierto y otra del  corral  cerrado,  y  así  hasta  terminar con todas...  Pero  sobraba  una  oveja  en  el  corral  cerrado,  una  oveja  negra. 2  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Un tanto agotado, el pobre niño se sentó a un lado del camino, y abrió una vez más su mapa.  El niño tuvo que ir a asomarse varias veces a cada corral, para asegurarse que por cada oveja había puesto una piedrita o una piedrota. Pero, finalmente se sentó frente a sus dos corrales. Estaba satisfecho. Volvió a consultar su mapa.  SACA LAS PIEDRAS DE LOS CORRALES, Y FRENTE A CADA PIEDRITA PON UNA PIEDROTA.  Eso era fácil, eso lo podía hacer sentado ahí mismo. Alineó todas sus piedritas, y frente a cada una  colocó una piedrota, pero sobraba una.  "Claro," gritó el niño. "¡Es la oveja negra!  HAS  FORMADO  UNA  LÍNEA  DE  PIEDRITAS  Y  OTRA  LÍNEA  DE  PIEDROTAS. CADA LÍNEA ES UNA CANTIDAD, Y CADA CANTIDAD TIENE  SU NOMBRE, QUE ES UN NÚMERO. UNA PIEDRA SOLA ES UNA. UNA  PIEDRA  MÁS  OTRA  SON  DOS.  DOS  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  TRES.  TRES PIEDRAS MÁS OTRA SON CUATRO. CUATRO PIEDRAS MÁS OTRA  SON CINCO. CINCO PIEDRAS MÁS OTRA SON SEIS. SEIS PIEDRAS MÁS  OTRA  SON  SIETE.  SIETE  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  OCHO.  OCHO  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  NUEVE.  Y  NUEVE  PIEDRAS  MÁS  OTRA  SON  DIEZ. ...Y ASÍ HASTA NUNCA ACABAR.  AHORA, PONLE SU NÚMERO A TU LÍNEA DE PIEDRITAS, Y A TU LÍNEA DE PIEDROTAS.  "¿A  ver?",  dijo  el  niño. "Una  piedrita  más  otra  son  dos. Dos piedritas más otra son tres..." Tenía  nueve  piedritas  y  diez piedrotas.  YA PUEDES CONTAR, leyó el niño en su mapa.  AHORA  CUENTA  LAS OVEJAS  BLANCAS  Y  CUENTA  LAS OVEJAS CAFÉS QUE ESTÁN EN EL CORRAL ABIERTO.  El niño alineó cuatro piedritas que eran las ovejas blancas, y abajo de esas alineó otras cinco que eran las ovejas cafés. Eran todas sus piedritas. O sea cuatro mas cinco eran nueve.  YA PUEDES SUMAR  Y SI ENTRE ESTAS NUEVE OVEJAS HAY DOS QUE  ESTÁN  SUCIAS,  Y  LAS  SACAS  DEL  CORRAL,  ¿CUÁNTAS  TE QUEDAN?  "A nueve le quito dos,"dijo el niño moviendo sus  piedritas.  "Quedan... ¡siete!  YA PUEDES RESTAR   Y  SI  ESAS  DOS  OVEJAS  SUCIAS  SE  ENOJAN  PORQUE  LAS SACASTE DEL CORRAL Y CADA UNA DE ELLAS TE DA TRES TOPES, HABRÁS RECIBIDO TRES TOPES POR DOS OVEJAS, O SEA...  ¡seis topes! Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   3
    • Introducción  YA PUEDES MULTIPLICAR.   Y SI LAS SIETE OVEJAS QUE QUEDARON EN EL CORRAL, LES REPARTES SIETE BULTOS  DE ALFALFA, A CADA UNA DE LAS OVEJAS LE TOCARÁ...  ¡Un bulto!  YA PUEDES DIVIDIR.    Ah, ¡que bonito!, pensó el niño mirando al cielo. Las nubes comenzaban a tornarse rosadas. Todo el día se le había ido en caminar y contar ovejas y piedras. Y aún no llegaba al País de las Matemáticas.  ¿Cuánto faltaría?    YA  CONOCES  LOS  NÚMEROS,  PUEDES  CONTAR,  PUEDES  SUMAR,  RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR. AHORA CAMINA HACIA LA PUESTA DEL SOL, Y  BUEN VIAJE.    El niño se levantó y caminó hacia el  poniente.  El  sol  lo  deslumbraba,  pero  al  cabo  de  un  momento  en  el  horizonte  distinguió la silueta de la geometría con sus cubos y sus prismas. Y entre ellos veía algo como hilos plateados...  ¿Sería posible? ¡Sí! ¡Eran las ecuaciones! El niño dio un brinco de  alegría,  y  se  echó  a  correr.  Además  de  contar,  ahora  iba  a  poder medir,  pesar,  calcular  y  hacer  todas  las  cosas  que  se  hacen  con números. Por fin había entrado al País de las Matemáticas.      4  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Tema 1.‐ Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas  Resolución de Problemas   1.1.‐ ¿Qué significa aprender matemáticas?    "El problema de la enseñanza de la matemática necesita un estudio permanente.  No existen fórmulas mágicas para resolver los problemas humanos,   pero existe la posibilidad de ir corrigiendo defectos aprovechando la experiencia de los fracasos"  P. ABELLANAS  El fin primordial de la educación, la formación total del alumno, se desarrolla a través de un cultivo armonioso y equilibrado de sus aptitudes, que le llevan a un despliegue máximo de su personalidad a un nivel  individual  y  en  un  plano  social.  Esto  es,  se  trata  de  formar  de  la  manera  más  idónea  posible  a  un hombre  que  ha  de  vivir  con  otros  hombres,  que  está  llamado  a  integrarse  en  la  sociedad.  Desde  esta perspectiva, no sólo tiene un carácter formativo el fomento de sus facultades intelectuales, morales, físicas, etc.  Sino  también  el  cultivo  de  aspectos  que  podemos  considerar  de  tipo  convencional  (el  lenguaje,  el cálculo numérico, conocimiento de magnitudes y sus medidas, etc.), sobre los cuales se desarrolla una gran parte de la convivencia humana. La dimensión social es un elemento constitutivo de la persona; no en vano los clásicos nos hablan del hombre como animal social.  Factores  formativos  de  la  persona.  El  profesor  de  Matemáticas  es  esencialmente  y  ante  todo  un educador, y en su calidad de tal la meta de su misión es contribuir del mejor modo posible a la formación integral del alumno.  Existen  múltiples  factores  formativos  en  la  vida  de  toda  persona.  Fundamentalmente  podemos dividirlos en dos grandes grupos:   Los  factores  «asistemáticos»,  que  en  su  mayor  parle  son  fruto  del  ambiente  que  rodea  a  cada  individuo.  Es  innegable  y  sería  muy  de  desear  que  de  un  modo  consciente  se  considerase  y  se  potenciara  la  influencia  de  la  vida  familiar;  es  asimismo  importante  el  valor  formativo  (sea  de  carácter positivo o negativo) que puedan aportar las amistades y el trato con compañeros, el de los  juegos,  la  repercusión  de  las  lecturas,  la  configuración  que  van  dando  a  las  propias  ideas  los  programas televisivos, etc.   Los factores de tipo «sistemático», es decir, los que de un modo consciente y planificado intentan  formar a la persona. Dentro de este grupo ocupa un lugar primordial la actividad de los centros de  enseñanza, donde, al menos teóricamente, todo está orientado y programado para contribuir a la  formación del alumno.  Pudiera plantearse la cuestión de la mayor o menor importancia de unos factores frente a los otros. Parece,  sin  embargo,  más  útil  que  entrar  en  disquisiciones,  considerar  que  quienes  se  ocupan  de  modo sistemático de la educación de la persona, no pueden ni deben tratar de anular los factores formativos del primer grupo. Y que una buena enseñanza ha de procurar tenerlos en cuenta, para establecer conexiones entre ellos, para aprovecharlos o intentar mejorarlos si fuera preciso.  En este orden de ideas, consideramos que el profesor de Matemáticas tiene como modo específico de  contribuir  a  la  formación  del  alumno,  la  utilización  más  adecuada  de  los  medios  que  le  brinda  la Matemática. Por ello una condición necesaria para que su tarea sea eficaz es que posea un conocimiento serio de su materia, quizá no tanto en extensión como en profundidad, así como una serie de ideas claras, fruto  de  una  honda  reflexión  acerca  de  las  posibilidades  educativas  de  la  Matemática.  Estimamos  que  la Matemática, por ser una de las ciencias más antiguas, ha alcanzado un alto grado de desarrollo, por lo cual Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   5
    • Tema 1 ofrece un modelo excelente de lo que significa una elaboración científica, y todo razonamiento humano, en definitiva, encierra en mayor o menor proporción un proceso de elaboración científica.  Sobre estos supuestos vamos a tratar de responder a esta cuestión: ¿Cuáles son las posibilidades formativas específicas de la Matemática?  Admitimos  que  la  enseñanza  de  la  Matemática  se  dirige  principalmente,  aunque  no exclusivamente, a la formación intelectual del alumno. Entendemos que la formación intelectual se realiza de modo particular a través del cultivo de los siguientes factores:   Capacidad creadora.   Matematización de situaciones reales.   Exigencia de rigor lógico.   Facultad de comprensión y resolución de situaciones problemáticas, susceptibles de ser asumidas  de un modo matemático.   Poder de abstracción.   Adquisición de automatismos mentales.   Cultivo de la intuición espacial.  No  pretendemos  que  la  atención  a  estos  factores  sea  algo  exclusivo  de  la  enseñanza  de  la Matemática,  pero  sí  creemos  que  a  través  de  ella  se  presentan  excelentes  ocasiones  para  hacerlo.  Más adelante nos detendremos en el análisis de estos puntos e intentaremos presentar modelos concretos de aplicación de estos factores.  La  enseñanza  de  la  Matemática  contribuye  también  a  configurar  la  personalidad  del  alumno  a través de aspectos, entre los que podríamos destacar los siguientes:   Creación de un hábito de trabajo, tanto realizado individualmente como en grupo.   Como consecuencia de lo anterior, valoración positiva de todo esfuerzo humano.   Aceptación leal y sin resentimiento de los propios errores y limitaciones, compatible con el tesón y  la confianza en el fruto de un trabajo perseverante.  En el cultivo de estos factores influye de un modo decisivo la actitud del maestro, que deberá hacer sentir al alumno que las dificultades que la Matemática le plantea son un aspecto más de las dificultades que  la  vida  le  ofrece  y  le  seguirá  ofreciendo  y  que  debe  enfrentarse  a  ellas  con  dignidad  y  realismo.  Lo mismo  cabe  decir  de  las  satisfacciones  que  proporcionan  los  pequeños  éxitos  obtenidos  y  no  es  fácil aceptar  sus  consecuencias  con  naturalidad  y  sencillez,  sin  que  impliquen  menosprecio  hacia  los  demás  o una supervaloración propia, en el mejor de los casos estéril.  Es  cierto  que  la  Matemática  es  la  materia  que  más  refleja  los  desniveles  existentes  entre  los alumnos. Muchas veces el niño se siente impotente o inseguro ante una cuestión, o, lo que también es muy frecuente,  piensa  ya  de  entrada  que  «no  vale  para  las  matemáticas».  La  labor  del  maestro  consistirá entonces en ir presentando cuidadosa y gradualmente las dificultades, de modo que el alumno llegue a ver que  su  esfuerzo  le  permite  alcanzar  resultados.  Hay  que  partir  de  la  base  de  que  ningún  alumno  es específicamente  negado  para  las  Matemáticas.  Aquí  convendría  tener  muy  en  cuenta  el  consejo  del profesor  Puig  Adam:  «Procurar  a  todo  alumno  éxitos  que  eviten  su  desaliento».  La  consecución  de  estos éxitos  le  animará  a  seguir  trabajando.  Y  cuando  no  llegue  al  resultado  apetecido,  que  el  maestro  sepa valorar su esfuerzo: puede proponerle una cuestión análoga y de menor dificultad que el alumno pueda ya resolver ayudado por su trabajo anterior; también puede resultar muy eficaz el análisis de los errores y de las respuestas incompletas o mal expresadas, que oriente al niño y le estimule a continuar su esfuerzo. En todo caso, que un fallo no sea fruto del desinterés o de la pereza, sea siempre un punto de partida valioso para un trabajo en mejores condiciones. 6  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  En alguna ocasión se ha hablado de evitar dificultades y paliar la manifestación de las diferencias (en cuanto se refieren a grado de inteligencia, ritmo de trabajo, interés por la materia, aptitudes idóneas, etc.) existentes entre los alumnos, a base de no dar calificaciones numéricas y de uniformar en lo posible la clase. Entendemos que esto conduce a una situación artificial, que por lo mismo no puede ser formativa. El niño  de  hoy,  que  llegará  a  ser  el  hombre  de  mañana,  deberá  estar  preparado  para  entrar  en  el  terreno necesario de la competitividad, para considerar sin trauma las mejores condiciones de otros hombres, para aceptar  en  definitiva  su  propia  identidad  y  sus  propias  circunstancias,  que  habrá  de  mantener  siempre abiertas  a  las  mejoras  que  le  proporcione  su  esfuerzo.  Todas  estas  aptitudes  deben  fomentarse  ya  en  la escuela la enseñanza de la Matemática aporta buenas ocasiones para ello. 1.2.‐ Teorías sobre el aprendizaje. Teorías sobre el aprendizaje en matemáticas  Diversas  teorías  nos  ayudan  a  comprender,  predecir  y  controlar  el  comportamiento  humano, elaborando  a  su  vez  estrategias  de aprendizaje y  tratando  de  explicar  cómo  los  sujetos  acceden  al conocimiento.  Su  objeto  de  estudio  se  centra  en  la  adquisición  de  destrezas  y  habilidades  en  el razonamiento y en la adquisición de conceptos.  La gran mayoría de los trabajos de investigación que se llevan a cabo en el área de Didáctica de las Matemáticas versan sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, esto muestra su enorme relevancia para este dominio de conocimiento científico.  Los modelos teóricos que presentaremos no tienen más objeto que servirnos como un conjunto de principios que explican el fenómeno del aprendizaje matemático, nos ofrecerán marcos de referencia para interpretar los comportamientos de los alumnos, así como Ias intervenciones y decisiones del profesor/a, permitiéndonos dar respuesta a la pregunta básica: ¿Cómo ocurre el aprendizaje matemático?   Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje de los alumnos, se establece una relación de complementariedad entre la Didáctica de las Matemáticas y el dominio de la psicología, ya que  «la  aproximación  psicológica  es  un  instrumento  indispensable  para  esclarecer  el  modelo  del funcionamiento  cognitivo  del  sujeto  en  relación  con  el  saber  y  para  poner  así  en  entredicho  las  tesis empiristas que sustentan las prácticas de los enseñantes».  Con el riesgo de simplificar los modelos teóricos de las diversas concepciones que existen sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, nos centraremos en los dos modelos más relevantes: empirismo y constructivismo. 1.2.1.‐ Empirismo  Esta concepción de aprendizaje se fundamenta en una concepción espontánea que está presente en la mayoría del profesorado: «EI alumno aprende lo que el profesor explica en clase no aprende nada de aquello  que  no  explica».  Es  una  concepción  que  apenas  se  hace  explicita,  pero  que  está  muy  extendida entre  los  miembros  de  toda  la  comunidad  educativa.  Piaget  la  denominó  «empirista»1,  basándose  en  la concepción  filosófica  del  mismo  nombre  que  sostiene  que  la  experiencia  es  la  única  forma  de conocimiento.  Bajo  esta  concepción,  el  discurso  del  maestro  se  registra  en  el  alumno,  a  quien  no  se  considera capaz  de  crear  conocimientos.  Su  aprendizaje  es  considerado  como  un  «trasvase»  de  los  saberes  que  le proporciona  el  maestro,  se  limita  a  recibir  bien  los  contenidos.  Así,  el  saber  matemático,  enunciado  y                                                             1   «Llamamos  empirismo  epistemológico  a  la  doctrina  según  la  cual  todo  conocimiento  proviene  de  la  experiencia externa o interna, experiencia concebida como una lectura o un registro de propiedades totalmente organizadas, bien sea en los objetos, bien en sujeto» (Piaget). Las dos corrientes filosóficas: empirismo y racionalismo y las teorías del aprendizaje  (conductismo  y  cognitivismo)  no  coinciden  exactamente;  de  cualquier  forma,  las  teorías  conductuales suelen ser en general empiristas, mientras que las teorías cognoscitivas incorporan posturas más racionalistas. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   7
    • Tema 1 explicado por el profesor, se imprime de un modo directo e inmediato en el alumno y, si existiese alguna intervención distinta de la palabra del profesor, los objetos matemáticos los «verá» o los «tocará». Como consecuencia, en este modelo existe un gran abuso de las presentaciones ostensivas en la enseñanza. «La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones matemáticas». Así, por ejemplo, en la Escuela Infantil las figuras geométricas tales como el triángulo, el círculo, el cuadrado, el rectángulo, etc., o bien las posiciones relativas de los objetos en el espacio, se presentan a los alumnos de forma ostensiva. Veamos siguientes ejemplos.    1.‐ El profesor presenta todos los elementos constitutivos de estos objetos  geométricos de un solo «golpe de imagen». Suele ser una práctica muy  económica y útil en el trabajo docente, ya que los niños rápidamente las  reconocen y aprenden a nombrarlas. Ahora bien, en cursos posteriores,  cuando sea necesario utilizar triángulos o rectángulos, si los alumnos solo  conocen estas figuras por medio de estas imágenes ostensivas, únicamente  habrán alcanzado un éxito ilusorio, ya que este modo de presentación  impide la generalización y la abstracción.     2.‐ La imagen es el soporte que el profesor emplea para presentar  ostensivamente las nociones de encima de y debajo de   En  el  ideal  empirista,  profesor  y  alumno  no  deben  equivocarse:  el  error  está  relacionado  con  el fracaso,  le  impide  llegar  al  éxito  en  su  tarea.  Por  ello,  los  errores  pueden  crear  malos  hábitos  en  los alumnos,  pueden  ocupar  el  lugar  de  la  respuesta  correcta.  Las  causas  del  error  las  suelen  plantear  los maestros en términos de lagunas, faltas, nociones parcialmente asimiladas. Conviene, pues, que el alumno tenga  pocas  ocasiones  de  encontrase  con  el  error.  «Se  intenta  hacer  una  especie  de  manera  al  error. Aceptar  los  errores  para  canalizarlos  y posteriormente  evacuarlos  pondría  en  duda  de  forma  profunda  el sistema de enseñanza».  En esta hipótesis, la enseñanza ideal consistirá en un «curso» donde el maestro no cometa ningún error,  seguido  de  preguntas  o  tareas  donde  el  alumno  tenga  la  ocasión  de  responder  correctamente, constatando,  de  este  modo,  que  ha  comprendido  perfectamente.  Sin  embargo,  si  aceptamos  que  para «hacer matemáticas», el alumno debe resolver problemas, debemos considerar normal que conviva con la incertidumbre:  el  desconcierto,  la  duda  y  los  tanteos  están  en  el  corazón  mismo  del  aprendizaje  de  las matemáticas.  Los  alumnos  deben  superar  muchas  dificultades,  pero  sobre  todo  muchos  errores.  El profesorado tiene que entenderlos como algo necesario porque solo si los detectan y son conscientes de su origen pondrán medios para superarlos. «Quien practica la ciencia sabe bien que su fuerza no proviene de ninguna infalibilidad intrínseca, sino bien al contrario de su capacidad de autocorrección incesante». 8  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 1.2.2.‐ Constructivismo  Todos  sabemos  que  muchos  conocimientos  pueden  transmitirse  de  una  generación  a  otra  sin mucho  esfuerzo,  sin  apenas  ser  conscientes  de  su  adquisición,  como  si  nos  impregnáramos  de  ellos,  por simple  imitación,  mientras  que  para  otros  hemos  necesitado  una  verdadera  construcción  y  una determinada  y  decidida  intención  de  aprender.  Considerar  que  el  aprendizaje  de  ciertos  conocimientos supone una actividad propia del sujeto es aproximarse a la corriente constructivista.  En los últimos años hemos estado inmersos en el desarrollo y aplicación de la teoría constructivista. En todo su desarrollo existe una idea fundamental que la preside: Aprender matemáticas significa construir matemáticas.  Las  hipótesis  fundamentales  sobre  las  que  se  apoya  esta  teoría,  extraídas  de  la  psicología genética y de la psicología social, las podemos resumir así:  1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. Idea fundamental en la obra de Piaget: «Es de la acción  de  la  que  procede  el  pensamiento  en  su  mecanismo  esencial,  constituido  por  el  sistema  de operaciones lógicas y matemáticas».  Conviene señalar que el término «acción» se utiliza con mucha frecuencia en dominios pedagógicos y didácticos, asignándole el significado de «llevar a cabo manipulaciones» sobre determinados materiales. Sin embargo, el término «acción» en matemáticas va más allá, se trata de anticipar la acción concreta, es decir, de construir una solución que nos puede dispensar incluso del manejo de los objetos reales, bien sea porque  los  objetos  no  están  disponibles,  bien  porque  son  demasiado  numerosos  y  sería  costosísima  su manipulación.  Las  «acciones»  a  las  que  nos  referimos  en  esta  primera  hipótesis,  si  bien  pueden  tener  su origen en manipulaciones reales previas, que podría evocar mentalmente o incluso verbalmente el sujeto, no tienen necesidad de identificarse siempre con manipulaciones efectivas, En cualquier caso, la solución matemática (la acción matemática) se opone a la solución práctica (la acción sobre lo real): la acción sobre los  objetos  reales  conduce  frecuentemente  a  llevar  a  cabo  una  constatación,  mientras  que  la  acción matemática, incluso si no utiliza un procedimiento experto, se sitúa al nivel de una anticipación.  En  la  Escuela  Infantil,  necesariamente,  los  niños  iniciarán  la  construcción  del  conocimiento matemático a través de acciones concretas y efectivas sobre objetos reales y probarán la validez o invalidez de  sus  procedimientos  manipulando  dichos  objetos.  Estas  acciones  le  ayudarán  a  apropiarse  de  los problemas, a comprender la naturaleza de las cuestiones formuladas, a configurar una representación de la situación  propuesta.  Será  también  en  este  nivel  donde  comenzarán  a  anticipar  resultados  matemáticos relativos a situaciones ausentes o incluso no realizadas (simplemente evocadas), pero de las que disponen de ciertas informaciones. Constatarán que el conocimiento matemático les dispensará de llevar a cabo la acción concreta sobre los objetos reales.  2ª Hipótesis:  La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por estados  transitorios de  equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los  conocimientos anteriores  se ponen en duda.  Si este desequilibrio es superado, esto implica que hay una reorganización de los conocimientos: los nuevos  conocimientos  se  van  integrando  con  los  anteriores,  apoyados  en  los  procesos  de  asimilación  y acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la teoría de la equilibración de Piaget.  En  el  curso  de  la  acción  sobre  un  determinado  medio,  las  contradicciones  aparecen  en  el  sujeto como producto de los desequilibrios, y debe modificar sus representaciones, se produce lo que  Piaget  ha  denominado  acomodación,  que  supone,  básicamente,  una  modificación  en  el  sujeto  causada  por  el  medio  (perturbación).  De  manera  recíproca,  las  transformaciones  realizadas  por  el  sujeto  para  dar  respuesta  a  las  perturbaciones  modifican  su  organización  del  medio,  produciéndose  entonces un proceso de asimilación. El doble juego acomodación/asimilación esta en el centro de los  mecanismos de los procesos de equilibración.  El  aprendizaje,  pues,  no  se  reduce  a  una  simple  memorización,  a  una  yuxtaposición  de  «saber‐hacer»  o  a  un  condicionamiento,  aprendemos  raramente  de  una  sola  vez;  aprender  supone  volver  a empezar, extrañarse, repetir, pero repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   9
    • Tema 1    Analizando  detalladamente  el  ejemplo  anterior  observamos  que,  cuando  los  niños  comparan  sus producciones  con  el  modelo  y  confirman  que  no  coinciden,  que  han  cometido  errores,  sufren  un  fuerte desequilibrio. Ahora bien, de esta constatación surgen las preguntas, las incertidumbres, la formulación de 10  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 nuevas  hipótesis,  los  debates  entre  los  propios  niños,  y  va  emergiendo  el  conocimiento  matemático.  El error  es,  pues,  necesario  para  producir  desequilibrios.  Si  no  hacemos  emerger  las  estrategias  de  base erróneas  y  comprobamos  su  invalidez  funcionalmente,  no  las  rechazaremos  nunca  y  volverán  a manifestarse sistemáticamente.  En la situación de «La casita», los alumnos no hubiesen cometido errores si la consigna dada por la maestra  hubiese  sido:  «Debéis  decorar  una  casita  como  ésta  que  aparece  en  el  cartel.  Lo  pegaré  en  la pizarra  para  que  todos  lo  veáis.  Podéis  usar  las  pegatinas  de  colores  que  hay  en  vuestras  mesas».  Los alumnos hubiesen «reproducido» el modelo y el éxito estaría asegurado. Ahora bien, no habrían puesto en funcionamiento significativamente ni el número ni la numeración.  El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto y el medio (situación‐problema), por ello, la Didáctica de las Matemáticas se interesa en las perturbaciones provocadas deliberadamente en un determinado medio con intención de suscitar un aprendizaje.   3ª  Hipótesis:  Se  conoce  en  contra  de  los  conocimientos  anteriores.  Se  trata  de  una  idea fundamental  de  la  epistemología  de  Bachelard  sobre  el  conocimiento  científico,  tomada  por  Brousseau para  explicar  la  formación  de  obstáculos  en  el  aprendizaje  de  las  matemáticas:  «La  utilización  y  la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender». Los  aprendizajes  previos  de  los  alumnos  se  deben  tener  en  cuenta  para  construir  nuevos conocimientos,  ya  que  estos  no  se  producen  a  partir  de  la  nada,  su  e1aboración  está  sometida  a adaptaciones,  rupturas  y  a  reestructuraciones,  a  veces  radicales:  de  los  conocimientos  anteriores. Aprendemos a partir de y también en contra de lo que ya sabemos. Los nuevos conocimientos no pueden hacerse más que modificando los precedentes y no por la simple acumulación de los últimos sobre los ya existentes.  En  la  Escuela  Infantil,  dado  que  los  niños  están  comenzando  su  escolaridad,  no  han  podido construir más que un dominio muy limitado de conocimientos matemáticos, no obstante, como veremos en el ejemplo que sigue, tienen conocimientos previos que se constituyen en verdaderos obstáculos.   4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición  de  conocimientos.  Idea  básica  de  la  psicología  social  apoyada  en  la  obra  de  Vygotsky2,  quien consideraba  preciso  tener  en  cuenta  lo  que  un  individuo  puede  hacer  con  la  ayuda  de  otros,  ya  que  el aprendizaje se produce en un Inedia social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales (niño‐niño) como verticales (niño‐adulto).  La eficacia de los conflictos sociocognitivos se justifica, según Blaye, puesto que:   Permiten  al  alumno  tomar  conciencia  de  otras  respuestas  diferentes  a  la  suya,  lo  que  le  obliga a descentrar su respuesta inicial.   La necesidad de llevar a cabo regulaciones sociales, para llegar a un consenso, implica que  el alumno sea más activo cognitivamente.   La  respuesta  diferente  de  los  otros  es  portadora  de  información  y  llama  la  atención  del  sujeto sobre aspectos de la tarea que no había considerado.                                                             2   Zona  de  Desarrollo  Próxima  (ZDP)  es  lo  distancia  entre  el  nivel  de  desarrollo  actual,  que  podemos  determinar  a través  de  la  forma  en  que  un  niño  resuelve  sus  problemas  él  solo,  y  el  nivel  de  desarrollo  potencial,  tal  como  lo podemos determinar a través de la forma en la que un niño resuelve sus problemas cuando está asistido por un adulto o en colaboración con otros niños más avanzados.  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   11
    • Tema 1  Así,  los  conflictos  sociocognitivos  provocan  un  doble  desequilibrio:  «desequilibrio  interindividual, debido  a  las  diferentes  respuestas  de  los  sujetos;  desequilibrio  intraindividual,  debido  a  la  toma  de conciencia de respuestas diferentes, lo que invita al sujeto a dudar de su propia respuesta».  Cabe señalar la función de mediador que, en los conflictos sociocognitivos, lleva a cabo el maestro mediante la gestión de las puestas en común de los alumnos, Si la situación propuesta en clase ha sido una situación  abierta,  de  interacción  con  un  medio,  se  espera  que  los  alumnos  se  comprometan  en procedimientos muy variados, será el momento de organizar el intercambio, el debate, la argumentación, la confrontación, la validación, etc.  Esta fase es primordial para el aprendizaje matemático, «poner en común es hacer público», y en ella  el  lenguaje,  como  Inedia  de  comunicación  social,  es  primordial.  El  lenguaje  permitirá  a  los  alumnos estructurar  la  acción,  apropiarse  de  significaciones  nuevas,  identificar  nociones  y  procedimientos,  y  les abrirá  vías  para  la  prueba:  la  prueba  es  un  acto  social,  se  dirige  a  un  individuo  (eventualmente  a  uno mismo), al que es preciso convencer y requiere una expresión verbal (o escrita o, incluso, representativa). El lenguaje  jugará  una  función  determinante  para  la  elucidación  de  sus  conocimientos:  es  al  tratar  de responder a los «porqués» y a los «cómo» de los otros alumnos y del maestro cuando cada uno es capaz de volver  sobre  sus  propias  acciones,  a  describirlas,  a  defenderlas  a  tomar  conciencia  de  su  pertinencia  y validez. Y, recíprocamente, es al interrogar sobre las soluciones aportadas por los otros cuando cada uno puede conocer un nuevo procedimiento, medir el grado de dominio adquirido, reconocer lo que no logra hacer solo, en suma, ampliar su campo de conocimientos.  1.3.‐ El procesamiento de la información  La  teoría  de  Piaget:  asume  un  postulado  universalista  sobre  el  desarrollo  del  pensamiento humano. De este modo se interpreta que todos los niños evolucionan a través de una secuencia ordenada de estadios, lo que presupone una visión discontinua del desarrollo.   Se  postula  que  la  interpretación  que  realizan  los  sujetos  sobre  el  mundo  es  cualitativamente distinta dentro de cada período, alcanzando su nivel máximo en la adolescencia y en la etapa adulta. Desde esta perspectiva teórica se asume que la causa del cambio es interna al individuo y que éste busca de forma activa el entendimiento de la realidad en la que está inmerso.  Así,  el  conocimiento  del  mundo  que  posee  el  niño  cambia  cuando  lo  hace  la  estructura  cognitiva que soporta dicha información. Es decir, el conocimiento no supone un fiel reflejo de la realidad hasta que el  sujeto  alcance  el  pensamiento  formal,  ya  que  las  estructuras  cognitivas  imponen  importantes  sesgos sobre la información que  el sujeto percibe  del  medio. De este  modo, esta particular visión del  desarrollo implica la realización de un análisis molar sobre las diferentes estructuras cognitivas que surgen a lo largo de la evolución.   En el marco de la teoría piagetiana consideramos que el niño va comprendiendo progresivamente el mundo que le rodea del siguiente modo: Mejorando su sensibilidad a las contradicciones. Realizando operaciones mentales. Comprendiendo las transformaciones. (Conservación de la sustancia, del peso y del volumen). Aprendiendo a clasificar (colecciones figurales, no figurales, clasificación propiamente dicha). Aprendiendo a realizar series. Adquiriendo la noción de número.    12  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 1.4.‐ La enseñanza de las matemáticas  Partimos de un concepto de infancia basado en cinco ejes, de acuerdo con Te Whariki3:  1. Bienestar: los niños de O a 6 años deben tener la experiencia de un entorno en el que se  promueve la salud, se alimenta su bienestar emocional y se vela por su seguridad y protección.  2. Pertenencia: los niños y sus familias deben tener la experiencia de un entorno en el que la  conexión  con  la  familia  y  el  mundo  se  afirme  y  se  amplíe;  deben  sentir  que  tienen  un  lugar  en  el  entorno que ellos conocen; deben sentirse cómodos con las rutinas, costumbres y hechos habituales,  como miembros de una comunidad de la que conocen las conductas aceptables y los limites.  3.  Contribución:  el  entorno  del  niño  debe  ofrecer  las  mismas  oportunidades  de  aprendizaje  independientemente  del  género,  habilidad,  edad,  procedencia  étnica  y  experiencia  previa;  debe  afirmarlos como individuos y debe animarles a aprender con y a través de los demás.  4.  Comunicación:  la  interacción  con  el  entorno  debe  fomentar  tanto  ti  desarrollo  de  habilidades comunicativas verbales y no verbales con unos propósitos concretos, como la vivencia de  experiencias  y  símbolos  de  la  propia  cultura  y  de  otras  culturas  y  el  descubrimiento  y  desarrollo  de  diferentes formas de ser creativo y expresivo.  5. Exploración: la interacción con el contexto debe fomentar tanto la confianza en el control  del  propio  cuerpo,  como  la  adquisición  de  estrategias  de  pensamiento  y  de  razonamiento  para  una  exploración activa del entorno; finalmente, ha de servir para dar sentido a los mundos natural, social,  físico y material.  De acuerdo con los cinco ejes anteriores, la educación matemática en las primeras edades debería contribuir a que los niños se sientan bien en su contexto; perciban que pertenecen a una comunidad, y que sus  contribuciones  y  las  contribuciones  de  los  demás  son  relevantes;  comuniquen  sus  experiencias  y aprendan  a  escuchar  las  de  los  demás  e  interactúen  de  forma  activa  con  el  entorno.  En  síntesis,  el autoconcepto y la autoestima positiva, la participación activa, la interacción, el diálogo, las estrategias de pensamiento o la autonomía son principios a partir de los cuales podemos empezar a plantear la génesis del pensamiento matemático. Ello implica, con los niños de 0 a 3 años, atender a su inmenso potencial de aprendizaje; y con los niños de 0 a 6 y de ser tratados sólo como estudiantes.  Un primer aspecto al indagar sobre la génesis del pensamiento matemático es la consideración de la educación matemática en las primeras edades.  Al  no  tratarse  de  una  etapa  de  escolarización  obligatoria,  durante  muchos  años  se  ha  dado prioridad  a  la  función  asistencial,  sobre  todo  en  el  primer  ciclo  (0‐3  años),  en  detrimento  de  la  función educativa y del desarrollo del pensamiento matemático. Progresivamente han surgido puntos de vista que han hecho un flaco favor a la educación matemática en las primeras edades, al sugerir que en estas edades no se puede hablar propiamente de actividad matemática, dado que hacer matemáticas en este periodo, según estas veces, se reduce a llevar a cabo una buena educación sensorial y una buena psicomotricidad, con  el  objeto  de  preparar  a  los  alumnos  para  la  adquisición  del  pensamiento  lógico,  de  la  noción  de cantidad, y para el descubrimiento del espacio en etapas de escolarización posteriores.  Actualmente  este  argumento  está  superado.  Ya  no  se  discute  que  la  educación  matemática  en educación infantil tiene una entidad propia y no sirve sólo para preparar a los niños para etapas posteriores de  la  escolarización.  No  es,  pues,  una  etapa  preescolar:  tiene  contenidos  y  procesos  matemáticos  que: desarrollar que son propios de estas primeras edades (y que si no se trabajan e interiorizan impiden tener una base sólida para seguir construyendo conocimiento matemático); tiene unos aprendices propios, todos ellos con el deseo de aprender y descubrir el mundo que les rodea; tiene también unos métodos propios, que deberían formar parte de la manera de trabajar del resto de etapas educativas: e insistimos, tiene unas finalidades propias.                                                             3  Ministerio de Educación de Nueva Zelanda. 1996 Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   13
    • Tema 1  Un referente internacional que nos permite concretar la génesis del pensamiento matemático es el documento  que  recogen  los  Principios  y  Estándares  en  Educación  Matemática,  de  la  asociación norteamericana  National  Council  of  Teachers  of  Mathematics.  A  grandes  rasgos,  el  despertar  del pensamiento  matemático  implica  descubrir  relaciones  y  patrones;  conocer  aspectos  cuantitativos  de  la realidad: tener un conocimiento del espacio relativo a tres aspectos: posición, forma y cambios de posición y  de  forma;  tener  un  conocimiento  de  las  principales  magnitudes  continuas;  e  interpretar  y  organizar  el entorno a partir de la estadística y el azar.  La  Tabla  1  describe  algunos  de  los  contenidos  y  procesos  matemáticos  de  la  educación  infantil  a partir de una adaptación de los estándares mencionados.  Desde nuestro punto de vista, los contenidos y procesos matemáticos de la Tabla 1 son habilidades básicas que se van ampliando y conectando con otras habilidades más complejas a medida que avanza la escolaridad en un ciclo que recuerda la espiral. Estas habilidades básicas darán lugar, en etapas posteriores, al desarrollo de estrategias de pensamiento y, más concretamente, de pensamiento critico. El embrión de todos ellos, sin embargo, ya aparece en la educación infantil. Esta afirmación, que puede parecer atrevida, viene  reforzada  por  el  planteamiento  de  la  NCTM  (2003)  al  definir  unos  estándares  sobre  contenidos  y procesos  matemáticos  idénticos,  aunque  con  expectativas  diferentes,  en  cada  etapa  educativa  desde educación infantil hasta bachillerato.  Tabla 1 Contenidos y procesos matemáticos para la E.I.  Contenidos Matemáticos Aspectos cualitativos de la realidad   Comprender los números, los modos de representarlos, las relaciones entre números y sistemas  numéricos.   Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras.   Calcular eficazmente v hacer estimaciones razonables. Aspectos del espacio referentes a la posición, la forma y los cambios de posición y forma   Especificar posiciones y describir relaciones espaciales usando geometría de coordenadas y otros  sistemas de representación   Analizar características y propiedades de las formas de una, dos y tres dimensiones y desarrollar  argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas.   Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.   Usar la visualización, el razonamiento espacial, y la modelización geométrica en la resolución de  problemas. Principales magnitudes continuas, sobre todo la longitud, la masa y la capacidad   Comprender los atributos mesurables de los objetos V las unidades, sistemas, V procesos de  medición.   Aplicar técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar mediciones. Primeros patrones, relaciones y funciones   Comprender patrones, relaciones y funciones.   Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas con símbolos apropiados.   Analizar el cambio en diversos contextos.  14  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 Interpretación y organización del entorno a partir de la estadística y el azar   Formular cuestiones sobre datos y responderlas a partir de la recogida, organización y  representación de éstos u otros datos. Procesos matemáticos   Estructurar la mente y desarrollar la capacidad de razonar.   Resolver situaciones problemáticas del entorno inmediato a partir de estrategias adecuadas a la  edad, para construir nuevo conocimiento matemático.   Representar mentalmente y de manera gráfica (mediante representaciones familiares primero y  con símbolos abstractos después) descubrimientos y aprendizajes matemáticos.   Expresar, comunicar la acción, ya sea gráficamente (a través de un dibujo) u oralmente, teniendo  en cuenta que a menudo la capacidad de comprensión supera la de expresión.   Conectar aprendizajes en la escuela con situaciones modelizables vividas.    Así, pues, si bien el trabajo que se realiza en la etapa de educación infantil tiene una entidad propia, existen  unos  ejes  comunes  que  se  dan  en  todas  las  etapas  educativas,  y  que  tienen  su  génesis  en  las primeras edades. Estos ejes se refieren tanto a los contenidos matemáticos y a su tratamiento, como a lo que  se  aprende  mientras  se  aprenden  matemáticas.  En  primer  lugar,  los  aspectos  compartidos  con  otras etapas son:    Las ideas matemáticas no aparecen de golpe, sino que se van construyendo poco a poco a lo largo  del tiempo, se van perfilando y estructurando, situándose en una trama rica en relaciones.   Todos  los  contenidos  matemáticos;  pueden  situarse  dentro  de  unos  grandes  bloques:  descubrir  relaciones y patrones; conocer los aspectos cuantitativos de la realidad; tener un conocimiento del  espacio relativo a la posición, la forma y los cambios de posición y de forma; tener un conocimiento  de  las  principales  magnitudes  continuas;  e  interpretar  y  organizar  el  entorno  a  partir  de  la  estadística y el azar.   El  conocimiento  matemático  tiene  que  ser  significativo,  conectado  y  ubicado  en  entornos  que  admitan procesos de contextualización y descontextualización.   El  tratamiento  de  los  contenidos  matemáticos  tendría  que  iniciarse  de  manera  concreta  (a  partir  del  entorno,  los  materiales  manipulables,  los  juegos,  etc.)  para  poco  a  poco  ir  dando  paso  a  la  actividad mental, la abstracción y la generalización.  En  cuanto  a  lo  que  se  aprende  mientras  se  aprenden  matemáticas  en  educación  infantil, destacamos algunos procesos de aprendizaje especialmente complejos:    Estructurar  la  mente  y  la  capacidad  de  razonar;  resolver  problemas;  comunicar;  representar;  establecer conexiones: modelizar; etc.   Desarrollar  habilidades  de  percepción,  como  observar,  escuchar,  percibir  sensaciones,  reconocer  vivencias. etc.   Interesarse  por  la  investigación  formulando  hipótesis  y  cuestiones,  descubriendo  alternativas,  prediciendo, verificando, estimando, seleccionando, etc.   Responder con curiosidad y gusto ante lo que se mira, pregunta, piensa y expresa.   Mirar el mundo de formas diferentes, con ojos matemáticos, artísticos, etc. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   15
    • Tema 1  Abogamos  por  trabajar,  desde  la  escuela  infantil  en  adelante,  en  una  línea  ascendente,  no  de imposición finalista, que promueva el paso de lo concreto a lo abstracto, de lo particular a lo general, de lo aproximado a lo exacto, de forma coherente y estimuladora; entendiendo que es esencial incluir de forma frecuente, coherente y estimuladora el paso de lo abstracto a lo concreto, de lo general a lo particular y de lo exacto a lo aproximado, sin que estas tareas sean vistas como un retroceso. 1.5.‐ La resolución de problemas  La solución de problemas es una actividad asociada al desarrollo de la inteligencia; un individuo es más  inteligente  en  la  medida  en  que  sea  capaz  de  resolver  problemas,  por  lo  que  en  la  enseñanza  y, particularmente en las matemáticas, juega un papel fundamental la realización de tareas de este tipo.  Concebir la solución de problemas como contenido curricular permite comenzar a desarrollar en la primera infancia mayor, sobre los 4 y 5 años, las operaciones mentales que posibilitan su solución, y de este modo, lograr una mayor activación intelectual.  Dentro  del  contenido  de  las  nociones  elementales  de  matemáticas  en  el  centro  de  Educación Infantil, la solución de problemas sencillos es uno de los que permite una mayor activación intelectual en los educandos. Encontrar la relación esencial entre los elementos de la tarea planteada y decidir la acción que se va a realizar para llegar a la solución correcta, exige el desarrollo de los procesos mentales y gran movilidad del pensamiento, al activar el proceso de análisis y de síntesis, y posibilitar la generalización.  El  desarrollo  de  las  operaciones  mentales  constituye  un  proceso  que  estimula  el  desarrollo  de diferentes formas de pensamiento. La solución sistemática de este tipo de tareas garantiza el acercamiento a formas sencillas del pensar matemático.  Por todo esto, hay que prestarle gran atención a la forma de preparar y planificar este contenido y al  planteamiento  de  las  tareas,  partiendo  de  problemas  sencillos  muy  ligados  a  la  experiencia  diaria  que tengan los educandos.  En este sentido, los niños se ven en la necesidad de planificar sus acciones, de considerar algunas ideas, desechar las que no son válidas, y tratar de encontrar otras.  Estas  actividades,  además,  les  despiertan  el  interés  cognoscitivo,  pues  suelen  ser  tareas  más complejas  que  las  habituales,  las  cuales  requieren  de  una  mayor  motivación  y  concentración:  así,  se esfuerzan por lograr el éxito en su realización.  Desde  el  punto  de  vista  intelectual,  la  solución  de  problemas  ofrece  múltiples  posibilidades  de estimular y perfeccionar las potencialidades en el orden de los conocimientos y desarrollo de habilidades que ya se poseen en estas edades.  A través de estas actividades aplican los conocimientos y habilidades adquiridos con el trabajo con conjuntos y se capacitan para la realización de operaciones mentales como análisis y síntesis, comparación, abstracción y generalizaciones sencillas para el planteamiento de la tarea. 1.5.1.‐ Características del trabajo con problemas sencillos en la etapa infantil     El  término  problema  aparece  definido  en  múltiples  y  diversas  bibliografías.  Por  ejemplo,  en  el Diccionario  de  términos  psicológicos  y  pedagógicas  de  la  Asociación  Mundial  de  Educadores  Infantiles aparecen  varias  definiciones,  que  van  desde  la  más  simple,  que  lo  considera  como  una  tarea,  cuestión, propuesta, o una cuestión que se trata de aclarar, de dificultad de solución dudosa, hasta definirlo como una proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos, o, en el caso de la Educación Infantil, verlo como toda situación que tiene un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla para llegar a resultados; es decir, la búsqueda de las vías para provocar la transformación deseada y no solo la solución del problema en sí mismo. 16  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Atendiendo a las características del trabajo en la Educación Infantil, esta última definición es la que más  se  adecua  a  las  necesidades  del  currículo.  Pero  problema,  en  su  acepción  popular,  se  refiere  al conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin, lo cual le da una diferente connotación al término, y lo imbrica con aspectos del desarrollo emocional y cognitivo.  El trabajo metodológico para la solución de problemas está encaminado a capacitar a los infantes en  la  búsqueda  y  aprendizaje  de  procedimientos  para  la  solución  de  tareas  con  diferentes  niveles  de complejidad.  Al  estructurar  didácticamente  este  contenido  se  deben  tener  en  cuenta  los  diferentes  ritmos  de aprendizaje  y  también  el  aspecto  motivacional.  Hay  que  procurar  que  los  pequeños  puedan  acceder  a  la solución de estos ejercicios para no crear insatisfacciones o «problemas».  Al  evaluar  sus  habilidades  en  la  solución  de  problemas  sencillos,  es  adecuado  considerar  el  nivel alcanzado por cada uno en las diferentes etapas.  La evaluación en este nivel a veces se hace compleja. Obtener información acerca de cómo piensan no es una tarea fácil, por lo que puede ser efectivo registrar, a través de la observación, cómo operan ellos, y mediante preguntas, completar el análisis.  Por  otro  lado,  no  hay  que  olvidar  que,  ante  un  mismo  problema,  los  niños  no  reaccionan  de  la misma manera.  Por ejemplo: si al grupo de educandos se le plantea la siguiente cuestión: «Hay lápices y se reparten a dos niños, uno recibe cinco lápices, y el otro siete», pueden encontrarse los siguientes comportamientos: un  niño  se  proyecta,  no  respondiendo  en  un  principio.  Se  repite  nuevamente  el  mismo  problema,  pero tampoco dice nada. Entonces, el educador le entrega sustitutos para que los utilice. Se repite el problema y se  realizan  las  acciones  de  la  primera  parte  (repartir  cinco  lápices  a  un  niño  y  siete  a  otro).  Luego,  se  le plantea de nuevo la última parte del problema y quita todos los lápices y los reparte uno a cada uno, hasta darle la misma cantidad (6). Ante la pregunta del educador de cuántos lápices le ha repartido a cada niño, responde que seis lápices. Cuando le pregunta que cómo lo supo, él responderá que repartiéndolos.  A otro niño o niña, al no responder, se le repite el problema. Se le dan los objetos sueltos y realiza la acción. Le da cinco lápices a uno y siete al otro, luego le quita un lápiz al que le dio siete y se lo da al otro niño. Cuenta, tocando los objetos y responde: «Seis lápices». «¿Cómo lo supiste?» «Porque seis y seis es la misma cantidad.»  Este  ejemplo  demuestra  la  importancia  del  análisis  de  las  vías  de  solución  como  orientación  del educador  para  la  disposición  de  este  contenido  y  la  búsqueda  de  métodos  para  su  tratamiento,  pues, aunque  el  resultado  es  el  mismo,  las  formas  de  solución  son  diferentes,  y  arrojan  mucha  luz  sobre  las formas del examen intelectual de cada educando. 1.5.2.‐ Metodología para el trabajo con la solución de problemas sencillos       Hay que prestar gran atención a la forma de preparar y planificar este contenido y al planteamiento de las tareas, para lo cual se debe partir de problemas sencillos muy ligados a la experiencia que de la vida diaria tengan los niños.  En el grupo del quinto año de vida (de 4 a 5 años), en el trabajo con las diferentes operaciones con conjuntos,  se  utilizan  como  forma  principal  para  el  planteamiento  de  la  tarea  situaciones  problemáticas, que son incógnitas que se les plantean y que guían la acción que deben realizar, mediante preguntas como:   ¿Cómo se podría vestir a las muñecas?   ¿Alcanzarán las pelotas para todos los osos?   ¿Cómo se van a repartir las naranjas? Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   17
    • Tema 1  El  planteamiento  de  la  tarea  en  forma  de  situación  problemática  tiene  que  estar  vinculado estrechamente con la motivación de la actividad y debe responder a ella.  En el grupo del sexto año de vida (5 años), además de estas situaciones problemáticas, se comienza a  trabajar  planteándole  directamente  al  educando  problemas  sencillos.  Para  ello,  el  maestro  tendrá  que enseñarle a buscar la vía de solución adecuada para resolver el problema planteado.   ¿Alcanzarán los globos para cada niño o niña?   ¿Quién tiene más juguetes?   ¿Cómo se podría saber la cantidad de naranjas que hay, si mamá compró seis y papá compró dos?   ¿Cuántos bolos quedan si se regalan tres a José y dos a Pedro, y antes había diez en la caja?  Estos  planteamientos  permiten  resolver  sencillas  adiciones  y  sustracciones,  partiendo  del conocimiento que tienen de las cantidades y su reconocimiento.  Hay que tener en cuenta que, más que dar con exactitud una solución numérica, en la Educación Infantil, lo que se busca es que los pequeños aprendan qué acciones deben realizar para llegar a la solución de cada tarea.  Para  enseñarles  a  solucionar  problemas  sencillos,  una  de  las  vías  es  tomar  como  base  el conocimiento que tienen de las relaciones entre el todo y las partes, y de las operaciones de descomponer y unir los conjuntos, incluso la modelación (trabajar con sustitutos de los conjuntos).  Para presentarles los símbolos que van a utilizar, hay que demostrar que es necesario usar «algo» que los ayude a establecer la relación esencial para llegar a la solución del problema. Para esto, cuando se presenta el primer problema, se utilizan inicialmente los materiales reales (sin sustitutos).  Por  ejemplo:  la  mamá  de  una  niña  le  regaló  caramelos  (una  parte),  y  el  papá,  después,  también (otra parte); si la niña quiere guardar en una misma caja los caramelos que le regalaron su mamá y su papá, se tendrá como resultado todos los caramelos.  ¿Cuáles  son  los  datos  de  este  problema?  Los  datos  son  los  caramelos  que  le  regalaron  a  la  niña. ¿Qué relación se establece? La relación está dada por la unión de las partes para obtener el todo.  ¿Cuál es el resultado? La obtención del todo. Los caramelos que le regaló la mamá, la niña los unió con los que le regaló su papá y de esta forma tiene unidos los caramelos que le regalaron. El adulto podrá utilizar otros problemas que se presenten de la misma forma para que el infante ejecute la relación.  Otra  manera  es  mediante  el  manejo  de  los  sustitutos.  Por  ejemplo:  Ariel  tiene  estas  bolas  y  su amigo Raúl le regaló estas otras bolas. ¿Qué hay que hacer para saber cuántas son las bolas que tiene ahora Ariel?  Para  realizar esta  operación,  el  niño  o  la  niña  sustituye  cada  bola  por  su  figura  sustituta,  y  opera con  ellas  en  un  plano  sobre  la  mesa,  sin  tener  necesidad  de  tener  cada  objeto  (las  bolas),  para  poder realizar esa operación.  Cuando  los  educandos  ya  están  familiarizados  con  la  forma  de  plantear  los  problemas  y  con  los símbolos y sustitutos, solo el maestro los utilizará y dirigirá verbalmente la tarea que se va realizar.  En  los  problemas  de  sustracción  se  procede  de  forma  similar,  partiendo  del  todo  al  que  se  le sustrae  una  parte  y  le  queda  otra.  Para  ello,  se  utilizan  símbolos  de  sustitución  de  la  operación  de sustracción. Por ejemplo: un niño tiene muchas galletas y le regaló algunas a su hermana ¿Qué se tendría que hacer para saber las galletas que quedaron?  En  la  medida  en  que  se  trabaje  con  los  niños,  ellos  irán  comprendiendo  cómo  se  utilizan  los símbolos y los sustitutos, hasta que sean capaces, en una misma actividad, de adicionar y, posteriormente, sustraer. 18  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Para la introducción de los símbolos se puede utilizar un cuadrado, de un color para la sustracción y de otro para la adición, de modo que se distinga el todo de las partes. Después, puede sustituirse por un cuadrado sin color.  Este contenido se desarrolla cuando los niños ya han transitado por las diferentes operaciones con conjuntos y por el reconocimiento de cantidades del uno al diez.  Si  los  educandos  tienen  éxito  en  las  tareas  y  llegan  a  solucionar  los  problemas  planteados  por  el adulto, serán capaces de plantearse a sí mismos problemas para darles solución, utilizando las cantidades y aplicando  todo  lo  que  han  aprendido.  Llegar  a  esta  posibilidad  constituye  un  alto  logro  en  el  desarrollo intelectual. 1.6.‐ Actividades  1. Ejercicios de actividad matemática. Completa la serie:  a. 1  2  4  5  7  8  10  ?  ?  ?  b. 1  2  4  7  11  16  22  ?  ?  ?  c. 1/3  3/6  5/3  7/6  9/3  11/6  13/3  ?  ?  ?  d. 1  1  2  3  5  8  13  21  ?  ?    e. 1  2  4  8  16  32  64  ?  ?  ?  f. 3  3  3  6  3  9  3  ?  ?  ?  g. 2  3  5  9  17  33  65  ?  ?  ?  h. 3  3  4  6  5  4  5  ?  ?  ?    2. ¡MAGIA!  a)  Elige  una  cifra.  b)  Multiplícala  por  3.  c)  Al  resultado  súmale  2.  d)  Multiplica  lo  que  te  queda por 3. e) Añade la cifra que pensaste. f) Tacha las decenas.  3. Poirot investiga. En una de sus investigaciones, el famoso detective Hércules Poirot, encontró unas  cuentas  hechas  en  un  papel,  que  alguien  había  intentado  quemar.  Tras  escribir  en  su  libreta  los  números  y  operaciones  que  aún  se  podían  leer  y,  sustituir  los  números  ilegibles  por  asteriscos,  aparecía:   4 5 7 9 5 * 2 * 1 *  * 2 *     4 * 6   x 3  5 7 9 * 1 3 * 9 3 6 ¿Podrías ayudar a Poirot, personaje de Agatha Christie, y completar estas cuentas?  POR CIERTO, la solución del ejercicio 2 es  ¿Lo he adivinado? ;)   4. Ejemplo de CRIPTARRITMOS (letras distintas, números distintos, letras iguales, números iguales:  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   19
    • Tema 1  S E N D  M O R E  M O N E Y1.7.‐ Bibliografía Alsina i Pastells, A. (2006). Cómo desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Barcelona: Octaedro  y Eumo Editorial. Chamorro, M. C. y otros (2005). Didáctica de las matemáticas en la E. I. Madrid: Pearson. Educación  y  desarrollo  lógico‐matemático  en  la  infancia.  (2010,  23)  de  septiembre.  Enciplopedia  on‐line para  maestros  de  educación  infantil.  Fecha  de  consulta:  15:10,  septiembre  27,  2010  from http://www.waece.org/enciclopedia/resultado2.php?id=2205. Fernández  Bravo,  J.  A.  (2006).  Didáctica  de  la  matemática  en  la  educación  infantil.  Madrid:  Grupo  Mayeútica. Godino,  JD  (Director)  (2004).  Didáctica  de  las  Matemáticas  para  maestros.  Universidad  de  Granada,  Granada. (Recurso Electrónico) Godino,  JD  (Director)  (2004).  Matemáticas  para  maestros.  Universidad  de  Granada,  Granada.  (Recurso  Electrónico) NCTM.  (2003).  Principios  y  Estándares  para  la  Educación  Matemática.  Granada:  Sociedad  andaluza  de  Educación Matemática THALES. Planas N. y Alsina, A. (Coords.) (2009). Educación matemática y buenas prácticas. Barcelona: Editorial Graó. Teorías  del  aprendizaje.  (2010,  23)  de  septiembre. Wikipedia,  La  enciclopedia  libre.   Fecha  de  consulta:  15:10,  septiembre  27,  2010  from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADas_del_aprendizaje&oldid=40478138.   20  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Tema 2.‐ Introducción a la Teoría de Conjuntos   2.1.‐ Idea de Conjunto. Diagramas de Venn‐Euler. Conjunto Universal 2.1.1.‐ La noción de conjunto  Para definir un determinado conjunto hay que decir con precisión cuales son los elementos que lo componen. Esto puede hacerse de dos maneras, por comprensión y por extensión, pero la segunda sólo es aplicable a conjuntos finitos. DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto C se define por comprensión si se da una propiedad que caracterice a  sus elementos. NOTACIÓN.  El  conjunto  C  definido  por  comprensión  mediante  la  propiedad  P  se  menciona  así:  C  es  el  conjunto de los x tales que x tiene la propiedad P. Y se nota así:  C   x x tiene la propiedad P   mediante  dos  símbolos:  llaves  {  },  que  se  lee  con  la  frase  “conjunto  de  los”,  antepuesta  a  su  contenido, y la barra|, que se lee “tales que”. EJEMPLOS.  A   x x  es entero mayor que 3 y menor que 7 B   x x  es entero primo mayor que 3 y menor que 7  DEFINICIÓN.  Se  dice  que  el  conjunto  finito  C  se  define  por  extensión  o  enumeración  si  se  da  una  lista  explícita de todos sus elementos. NOTACIÓN Y  EJEMPLOS. Un conjunto definido por extensión se anota colocando entre llaves los nombres de  todos sus elementos, separados por comas. Así los conjuntos A y B anteriormente citados se notan  respectivamente así:  A  4,5,6 ;  B  5   Un conjunto de un sólo elemento se llama conjunto unitario. Ejemplo:  B  5 . 2.1.2.‐ Pertenencia e Inclusión DEFINICIÓN. Se x es el elemento del conjunto C se dice que x pertenece a C, y se escribe:  x  C . Para indicar  que x no pertenece a C se escribe  x  C . Por ejemplo, si   es el conjunto de los números naturales,  1 se tiene que:  1  ; 3  ;   .  2DEFINICIÓN. Se dice  que un conjunto A está incluido en B, y se escribe  A  B , si todos los elementos que  pertenecen  a  A,  pertenecen  también  a  B.  Si  A  B ,  se  dice  también  que  A  es  parte  de  B  o  subconjunto de B y que el conjunto B incluye al conjunto A y se nota  B  A . Para indicar que A no  está incluido en B se escribe  A  B .  ABB A   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   21
    • Tema 2 2.1.3.‐ Diagramas de Venn‐Euler  Los  diagramas  de  Venn  son  ilustraciones  usadas  en  la  rama  de  la  Matemática  y  Lógica  de  clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada  conjunto mediante un  círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.     3.‐ Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra  un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos  contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro  del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están  contenidos en B.    Después  de  esta  definición  podemos  hablar  de  Inclusión  o  no  inclusión  de  un  conjunto  en  otro utilizando los diagramas de Venn‐Euler.          4.‐ En el primer caso podemos decir que A  B o B  A , mientras que los  dos últimos casos diremos que A  B .   2.1.4.‐ Conjunto Vacío DEFINICIÓN.  Se  dice  que  un  conjunto  A  es  un  conjunto  vacío  si  no  hay  ningún  elemento  que  pertenezca  a  dicho conjunto y se nota:  A      2.1.5.‐ Inclusión e Implicación. Condiciones necesarias y suficientes  Decir  que  A  B   equivale  a  decir  que  si  x  A ,  entonces  x  B ,  o  bien  x  A implica  x  B . Matemáticamente lo expresamos como:  x  A  x B  EJEMPLO. Si tenemos los conjuntos:     x x  es múltiplo entero de 2 y     x x es múltiplo entero de 4      ;        ;     x    x    Si x es múltiplo entero de 4 implica que x es también múltiplo entero de 2. 22  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Supongamos que los conjuntos A y B están dados por comprensión así:  A  t t  tiene la propiedad P y  B  t t tiene la propiedad Q  Puesto que  t  A equivale a: t tiene la propiedad P, y  t  B equivale a : t tiene la propiedad Q. Decir que  t  A  t  B  equivale a:  t  tiene la propiedad P  t  tiene la propiedad Q  Que se expresa brevemente así:  P  Q  Decir esto también equivale a decir que P es condición suficiente para Q, pues basta, o es suficiente, que se cumpla la propiedad P para que se cumpla la propiedad Q. Se dice también que Q es condición necesaria para P, pues si se cumple P es necesario que se cumpla Q. EJEMPLO.  A  B ;  x  A  x  B   x  A es condición suficiente para  x  B   x  B es condición necesaria para  x  A   A   x x  es entero primo mayor que 3 y menor que 7 B   x x  es entero mayor que 3 y menor que 7  2.1.6.‐ Conjunto Universal o Referencial DEFINICIÓN.  En  cualquier  aplicación  de  la  teoría  de  conjuntos,  los  elementos  de  cualquier  conjunto  bajo  estudio, pertenecen a algún conjunto fijo mayor llamado conjunto universal o universo del discurso.  Por ejemplo, en la geometría del plano, el conjunto universal está formado por todos los puntos del  plano.  En  estudios  de  población,  el  conjunto  universal  está  formado  por  todas  las  personas  del  mundo. Notamos el conjunto universal como U. 2.1.7.‐ Igualdad de conjuntos y equivalencia lógica DEFINICIÓN. Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B, y se nota A=B, si se verifican las dos inclusiones  siguientes:  A  B  y  B  A  Para indicar que A no es igual a B se nota:  A  B  Esta definición expresa que A=B si y sólo si A y B tienen los mimos elementos. En otras palabras:  Un conjunto está determinado por sus elementos. La  igualdad  de  conjuntos  se  relaciona  con  la  equivalencia  lógica.  Para  dos  proposiciones  P  y  Q pondremos:  P  Q  (P es equivalente a Q) si se verifican  P  Q  y  Q  P .  x  A  x B AB    x B  x  A x  A  x B   P  Q . Decir esto también equivale a decir que P es condición necesaria y suficiente para Q. Y que Q es condición necesaria y suficiente para P.   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   23
    • Tema 2 2.2.‐ Operaciones con conjuntos 2.2.1.‐ Intersección DEFINICIÓN. Se llama intersección  A  B  de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son los que  pertenecen a la vez a A y a B:  A  B   x x  A  y x  B  EJEMPLOS. Si A={1, 2, 3} y B={‐1, 3, 4/2}    A  B  2, 3    DEFINICIÓN. Se llama intersección de varios conjuntos al conjunto cuyos elementos son los que pertenece a  todos ellos a la vez.  A  B   x x  A  y x  B  EJEMPLOS. Si A={3, 0, 4/2} ; B={1, 2, 3} y C={‐1, 6/3}  A  B  C  2        Es  fácil  demostrar  las  fórmulas:   A  B   C  A  B  C ; A   B  C   A  B  C ;  de  ellas  resulta  la PROPIEDAD ASOCIACTIVA. Podemos definir por comprensión el conjunto vacío, que conocemos es el que no tiene ningún elemento. En efecto, si P es una propiedad que no es poseída por ningún objeto, se tiene:  x x  tiene la propiedad P       Por ejemplo:  x x  x    Dos  conjuntos  se  llaman  disjuntos  si  no  existe  ningún  elemento  que  pertenezca  a  ambos.  Condición necesaria y suficiente para que dos conjuntos A y B sean disjuntos es:  A  B    24  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 2.2.2.‐ Unión DEFINICIÓN. Se llama unión o reunión  A  B  de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son los que  pertenecen o bien a A, o bien a B, o bien a A y a B:  A  B   x x  A  y x  B  EJEMPLOS. Si A={1, 2} y B={2, 3}    A  B  1, 2, 3    DEFINICIÓN. Se llama unión de varios conjuntos al conjunto cuyos elementos son los que pertenece a alguno  (uno por los menos) de ellos.   EJEMPLOS. Si A={3, 0, 4/2} ; B={1, 2, 3} y C={‐1, 6/3}  A  B  C  ‐1, 0, 1, 2, 3    Es  fácil  demostrar  las  fórmulas:   A  B   C  A  B  C ; A   B  C   A  B  C ;  de  ellas  resulta  la PROPIEDAD ASOCIACTIVA. 2.2.3.‐ Conjunto de las partes. Complementación Con frecuencia se consideran conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de las rectas de un plano, considerando a cada recta como el conjunto de sus puntos. DEFINICIÓN. El conjunto de todos los subconjuntos o partes de un conjunto U se llama conjunto de partes de  U, y se indica P(U).   EJEMPLOS. Si  U  a, b ; P U   ,a ,b ,a , b             Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   25
    • Tema 2 DEFINICIÓN. Sea A un conjunto, parte del referencial U. Llamaremos complemento o complemantario de A  (respecto  a  U),  y  lo  notaremos  como  A’  (en  otros  textos  puede  encontrarse  también  la  siguiente  notación:  A c  o bien A ), al conjunto de los elementos de U que no pertenecen a A.       Entonces,  x  U son equivalentes las fórmulas  x  A, x  A . A’ es el conjunto complementario de A. Se puede demostrar, por la definición de conjunto complementario que:  A  A  U;  A  A   .  2.2.4.‐ Algebras de Boole de Conjuntos. Dualidad Las  operaciones  de  intersección,  unión  y  complementación  se  llaman  operaciones  de  Boole4.  El  conjunto P(U)  de  las  partes  de  U,  con  las  operaciones  de  Boole,  se  denomina  álgebra  de  Boole  de  conjuntos,  o álgebra de conjuntos. En un álgebra de conjuntos se verifican las siguientes propiedades:   Conmutativa:  A  B  B  A ;  A  B  B  A    Asociativa:   A  B   C  A   B  C  ;     A  B   C  A   B  C    A  B  C    A  B   A  C   Distributivas:    A  B  C    A  B   A  C   De idempotencia:  A  A  A; A  A  A    De absorción:  A   A  B   A; A   A  B   A    De complementación:  A  A  ; A  A  U    Involutiva o de doble complementación:   A   A    Dualitivas o leyes de Morgan:   A  B   A  B ;   A  B   A  B                                                              4   George  Boole  (2  de  noviembre  de  1815  ‐  8  de  diciembre  de  1864)  fue  un  matemático  y  filósofo  británico.  Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en  el  que  desarrollaba  un  sistema  de  reglas  que  le  permitían  expresar,  manipular  y  simplificar  problemas  lógicos  y filosóficos  cuyos  argumentos  admiten  dos  estados  (verdadero  o  falso)  por  procedimientos  matemáticos.  Se  podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas. 26  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  A            A  U  U  De las cotas universales   y U:   A    A         A  U  A     U                     U    Principio de dualidad del álgebra de conjuntos: «Toda identidad válida entre conjuntos, expresada  mediante  operadores  de  Boole,  da  lugar  a  otra  identidad  válida  si  en  ella  se  intercambian  intersecciones  con  uniones  y     con  U.  Lo  mismo  vale  para  las  inclusiones  si  en  ellas  se  intercambian    con   ».  Mediante las operaciones de Boole se definen como operaciones derivadas las siguientes:   La diferencia de conjuntos:  A  B   A  B  , conjunto de los elementos de A que no pertenecen a  B  (en  algunos  libros  se  puede  encontrar  la  notación  de  diferencia  de  conjuntos  como  A / B   A  B  ).   La diferencia simétrica o suma de Boole:  AB   A  B    B  A  . 2.3.‐ Aplicaciones 2.3.1.‐ Concepto    EJEMPLOS.   1. Tenemos el conjunto de figuras F:  F  ángulo, triángulo, cuadrado,pentágono, exágono, disco   cuyos colores corresponden al conjunto C:  C  rojo, blanco,negro  Cada figura es de un color. Podemos establecer la siguiente relación:  ángulo    rojo  cuadrado    blanco  exágono    rojo  triángulo    negro Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   27
    • Tema 2  pentágono    rojo  disco    negro que representarnos por un diagrama de VENN en la siguiente figura.   Observarás que esta relación tiene las siguientes propiedades:  1. Todo elemento original tiene una imagen.  2. Sólo tiene una imagen. DEFINICIÓN. Cuando una relación tiene las propiedades anteriores decimos que es una aplicación. En nuestro ejemplo decimos que hemos aplicado el conjunto F en el conjunto C.  2. A  cada  circunferencia  del  plano  hacemos  corresponder  su  centro.  Resulta  una  aplicación  del  conjunto C de circunferencias en el conjunto P de los puntos del plano.  3. A cada nación del mundo hacemos corresponder su capital.  4. A cada alumno .de esta clase hacemos corresponder su edad en años.  5. A cada número entero hacemos corresponder su valor absoluto. Prueba que todas estas relaciones son aplicaciones. 2.3.2.‐ Distintos tipos de aplicaciones  DEFINICIÓNES. Aplicación de un conjunto A en otro B. A todo elemento de A corresponde uno de B, pero existen en B elementos c, d, ... , que no son imágenes de ninguno de A.   28  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 Aplicación suprayectiva. También se dice que la aplicación es suprayectiva o exhaustiva. Todo elemento de B es imagen de alguno de A.   Aplicación inyectiva. Cada elemento de B que es imagen de uno de A, lo es de uno solo.   Aplicación biyectiva o biunívoca Es aquella aplicación inyectiva y suprayectiva.        2.4.‐ Ejercicios5  1. Sean  U  un  conjunto  y  A,  B  dos  subconjuntos  de  U.  Comprobar  utilizando  las  leyes  de  Boole,  una  tabla de pertenencias y diagramas de Venn‐Euler que:  U  A   U  B   B  A                                                              5   En  el  anexo  de  este  tema  dispones  de  286  ejercicios  resueltos,  éstos  abarcan  un  campo  mayor  del  que  hemos estudiado, no te preocupes si algo te resulta demasiado extraño, seguro que no lo hemos estudiado. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   29
    • Tema 2  2. Sean  A  y  B  dos  subconjuntos  no  disjuntos  de  un  conjunto  U.  Demostrar  que  los  subconjuntos  A  B  y  A  B  son disjuntos y tales que:  A   A  B   A  B   3. Sean U un conjunto y A, B elementos de  P U  . Demostrar6 que:  a. Si  A  B , entonces  U  B  U  A .  b. Si  U  B  U  A , entonces  B  U  A   U .  c. Si  B  U  A   U , entonces  A   X  B    .  d. Si  A   X  B    , entonces  A  B .  4. Dado  A  1,2,3,4,5 , determinar por extensión el conjunto  P  A  .  5. Comprueba  la  veracidad  de  A   B  A   A  B ,  hazlo  utilizando  una  tabla  de  pertenencias  y  utilizando las leyes de Boole.  6. Comprueba  la  veracidad  de  A   B  A    ,  hazlo  utilizando  una  tabla  de  pertenencias  y  utilizando las leyes de Boole.  7. Calcula  el  conjunto  de  las  partes  del  conjunto  formado  por  las  vocales  de  la  palabra  MAESTRO.  Describe el conjunto definiéndolo por enumeración y por comprensión.      8. Siendo  A  x x  ; x  6 ,  B  x x  ;4  x  9 ,  C  1,3,5,7,9 y  D  2,3,4,5,7,8 .   Calcula:  AB , BC ,  A   BD  y grafícalos utilizando diagramas de Venn‐Euler. 2.5.‐ Bibliografía Fernández Laguna, V. (2003). Teoría básica de conjuntos. Madrid: Anaya. Trejo, C. A. (1973). Enfoque conjuntista de la enseñanza de la matemática. Buenos Aires: Kapelusz. Lipschutz, S. y Lipson, M. (2004). 2000 problemas resueltos de Matemática Discreta. Serie Schaum. Madrid:  McGraw‐Hill. Godino,  JD  (Director)  (2004).  Didáctica  de  las  Matemáticas  para  maestros.  Universidad  de  Granada,  Granada. (Recurso Electrónico) Godino,  JD  (Director)  (2004).  Matemáticas  para  maestros.  Universidad  de  Granada,  Granada.  (Recurso  Electrónico) Diagrama  de  Venn.  (2010,  13)  de  septiembre. Wikipedia,  La  enciclopedia  libre.  Fecha  de  consulta:  16:44,  septiembre  29,  2010  from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagrama_de_Venn&oldid=40225637.                                                            6  Observación: de a., b., c. y d. se deduce que:  A  B  U  B  U  A  B  U  A   U  A   U  B     30  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Tema 3.‐ Ampliación del Campo Numérico  3.1.‐ Sistemas de numeración 3.1.1.‐ Introducción. El Concepto de Base   Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.   En  diferentes  partes  del  mundo  y  en  distintas  épocas  se  llegó  a  la  misma  solución,  cuando  se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y  se  añade  otra  marca  de  la  segunda  clase.  Cuando  se  alcanza  un  número  determinado  (que  puede  ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.   La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese  el  número  de  dedos  con  los  que  contamos.  Hay  alguna  excepción  notable  como  son  la  numeración babilónica  que  usaba  10  y  60  como  bases  y  la  numeración  maya  que  usaba  20  y  5  aunque  con  alguna irregularidad.   Desde  hace  5000  años  la  gran  mayoría  de  las  civilizaciones  han  contado  en  unidades,  decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.   Casi  todos  los  sistemas  utilizados  representan  con  exactitud  los  números  enteros,  aunque  en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.   Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo  procedimientos  muy  complicados  que  sólo  estaban  al  alcance  de  unos  pocos  iniciados.  De hecho  cuando  se  empezó  a  utilizar  en  Europa  el  sistema  de  numeración  actual,  los  abaquistas,  los profesionales  del  cálculo  se  opusieron  con  las  más  peregrinas  razones,  entre  ellas  la  de  que  siendo  el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.   El  sistema  actual  fue  inventado  por  los  indios  y  transmitido  a  Europa  por  los  árabes.  Del  origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción  del  concepto  y  símbolo  del  cero,  lo  que  permite  un  sistema  en  el  que  sólo  diez  símbolos puedan  representar  cualquier  número  por  grande  que  sea  y  simplificar  la  forma  de  efectuar  las operaciones.  3.1.2.‐ Sistemas de Numeración Aditivos  Para  ver  cómo  es  la  forma  de  representación  aditiva  consideremos  el  sistema  jeroglífico  egipcio. Por  cada  unidad  se  escribe  un  trazo  vertical,  por  cada  decena  un  símbolo  en  forma  de  arco  y  por  cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos  de  centenas  5  de  decenas  y  4  trazos.  De  alguna  forma  todas  las  unidades  están  físicamente presentes.  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   31
    • Tema 3  Los  sistemas  aditivos  son  aquellos  que  acumulan  los  símbolos  de  todas  las  unidades,  decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.   Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de  base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes. El Sistema de Numeración Egipcio  Desde  el  tercer  milenio  A.C.  los  egipcios  usaron  un  sistema  de  escribir  los  números  en  base  diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.    Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario  y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha,  al  revés  o  de  arriba  abajo,  cambiando  la  orientación  de  las  figuras según el caso.   Al ser indiferente el orden se escribían a veces según  criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos  correspondientes  al  tipo  de  objeto  (animales,  prisioneros,  vasijas  etc.)  cuyo  número  indicaban.  En  la  figura  aparece  el  276 tal y como figura en una estela en Karnak.  Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de  Egipto  al  imperio  romano.  Pero  su  uso  quedó  reservado  a  las  inscripciones  monumentales,  en  el  uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas  En  estos  sistemas  de  escritura  los  grupos  de  signos  adquirieron  una  forma  propia,  y  así  se introdujeron símbolos particulares para 20, 30...90...200, 300...900, 2000, 3000… con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra. El Sistema de Numeración Griego  El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de  la  figura  siguiente  para  representar  esas  cantidades.  Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.  32  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (penta), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.    Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un  principio  multiplicativo.  Progresivamente  este  sistema  ático  fue  reemplazado  por  el  jónico,  que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente   De  esta  forma  los  números  parecen  palabras,  ya  que  están  compuestos  por  letras,  y  a  su  vez  las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.  3.1.3.‐ Sistemas de Numeración Híbridos  En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.   El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos  para  llegar  al  sistema  posicional,  ya  que  si  los  signos  del  10,  100  etc.  se  repiten  siempre  en  los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique  que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070...   Además  del  chino  clásico  han  sido  sistemas  de  este  tipo  el  asirio,  arameo,  etíope  y  algunos  del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés. El Sistema de Numeración Chino  La  forma  clásica  de  escritura  de  los  números  en  China  se  empezó  a  usar  desde  el  1500  A.C. aproximadamente.  Es  un  sistema  decimal  estricto  que  usa  las  unidades  y  los  distintas  potencias  de  10. Utiliza los ideogramas de la figura       y  usa  la  combinación  de  los  números  hasta  el  diez  con  la  decena,  centena,  millar  y  decena  de  millar  para según el principio multiplicativo representar 50,  700  ó  3000.  El  orden  de  escritura  se  hace  fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar  57 que 75.   Tradicionalmente  se  ha  escrito  de  arriba  abajo  aunque  también  se  hace  de  izquierda  a  derecha como  en  el  ejemplo  de  la  figura.  No  es  necesario  un  símbolo  para  el  cero  siempre  y  cuando  se  pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   33
    • Tema 3  Aparte  de  esta  forma  que  podríamos  llamar  canónica  se  usaron  otras.  Para  los  documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este. 3.1.4. Sistemas de Numeración Posicionales  Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base correspondiente.   Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y  mayas  en  distintas  épocas  llegaron  al  mismo  principio.  La  ausencia  del  cero  impidió  a  los  chinos  un desarrollo  completo  hasta  la  introducción  del  mismo.  Los  sistemas  babilónico  y  maya  no  eran  prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.   Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que  un  cambio  en  la  forma  en  la  que  escribimos  los  nueve  dígitos  y  el  cero.  Aunque  con  frecuencia  nos referimos  a  nuestro  sistema  de  numeración  cómo  árabe,  las  pruebas  arqueológicas  y  documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India entre los siglos V y VIII. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.  El Sistema de Numeración Babilónico  Entre  las  muchas  civilizaciones  que  florecieron  en  la  antigua  Mesopotamia  se  desarrollaron distintos sistemas de numeración. Entre los años 1900‐1800 A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.   Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.  De este se usaban los que fuera necesario  completando  con  las unidades hasta llegar a 60.    A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.  34  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011       El Sistema de Numeración Maya  Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por  un  punto.  Dos,  tres,  y  cuatro  puntos  servían  para  2,  3  y  4.  El  5  era  una  raya  horizontal,  a  la  que  se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.     Hasta  aquí  parece  ser  un  sistema  de  base  5  aditivo,  pero  en  realidad,  considerados  cada  uno  un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor  de  cada  cifra  por  1,  20,  20x20,  20x20x20  ...  según  el  lugar  que  ocupe,  y  sumar  el  resultado.  Es  por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.     Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque  no  parece  haberles  interesado  el  concepto  de  cantidad  nula.  Cómo  los  babilonios  lo  usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.   Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la  base  20.  Así  la  cifra  que  ocupaba  el  tercer  lugar  desde  abajo  se  multiplicaba  por  20x18=360  para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   35
    • Tema 3    El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.   Al  romperse  la  unidad  del  sistema  éste  se  hace  poco  práctico  para  el  cálculo  y  aunque  los conocimientos  astronómicos  y  de  otro  tipo  fueron  notables  los  mayas  no  desarrollaron  una  matemática más allá del calendario.  3.1.5.‐ Sistema de numeración Arábigo  El  sistema  arábigo  se  ha  representado  (y  se  representa)  utilizando  muchos  conjuntos  de  glifos diferentes. Estos glifos pueden dividirse en dos grandes familias, los numerales arábigos occidentales y los orientales.  Los  orientales,  que  se  desarrollaron  en  lo  que  actualmente  se  corresponde  a  Irak,  se representan  en  la  tabla  que  viene  a  continuación  como  Arábigo‐Índico.  El  Arábigo‐Índico  oriental  es  una variedad de los glifos arábigo‐índicos. Los numerales arábigos occidentales, desarrollados en Al‐Andalus y el Magreb se muestran en la tabla como Europeo:   Europeo  0 1 2 3 4 5  6  7 8  9  Arábico‐Índico  ٠١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ Arábico‐Índico Oriental ۰۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ (Persa y Urdu)  Devanagari  ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९ (Hindi)  Tamil     ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯ 36  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 3.2.‐ Números Naturales  3.2.1.‐ Introducción  Los  números  naturales  son  aquellos  que  surgieron  de  forma  natural  cuando  el  hombre  tuvo  la necesidad de contar. Sin embargo, el concepto de número (positivo) fue elaborado muy lentamente. Para muchas culturas, los números mayores que tres no tenían nombre; en otras todo lo que superaba al tres se conocía por la palabra “muchos”.  Percibían  los  números  como  una  propiedad  inseparable  de  un  conjunto  o  colección  de  objetos, pero dicha propiedad no la distinguían de una manera clara como independiente de la colección. Todo esto se ha deducido de los nombres que se sabe recibieron algunos números, como por ejemplo “mano” que equivalía  al  número  cinco.  En  este  caso,  cinco  no  se  entiende  en  sentido  abstracto  sino  en  el  de  “tantos como  los  dedos  de  una  mano”.  De  este  modo  se  llegaron  a  utilizar  distintos  nombres  para  un  mismo número.  Tuvieron  que  pasar  muchas  generaciones  para  llegar  al  concepto  abstracto  de  número.  La  gente hubo de repetir muchísimas veces la operación de comparar entre sí colecciones de objetos y relacionar los objetos de unas con los de otras con el mismo número de elementos y así, de esta manera, se descubrieron los números y las relaciones entre ellos.  La sociedad fue evolucionando, apareció el Estado y con ello la necesidad de recaudar impuestos, reclutar  y  equipar  ejércitos,...  y  operar  con  números  muy  grandes,  así  como  contar  colecciones  cada  vez mayores de objetos. Por tanto, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y símbolos de  los  números.  Se  cree  que  la  introducción  de  símbolos  numéricos  fue  paralela  a  la  de  la  escritura  y constituyó el primer paso hacia los signos matemáticos y las fórmulas en general.  El  segundo  paso  consistió  en  la  introducción  de  signos  para  las  operaciones  aritméticas  y  la designación literal de las incógnitas. Esto tardó bastante más.  Pero nuestro actual sistema para escribir los números no se inventó de una vez. Desde los tiempos antiguos aparecieron en los distintos pueblos símbolos numéricos muy diferentes de los actuales en varios sentidos.  Por  ejemplo,  el  sistema  decimal  no  se  utilizaba.  Los  babilónicos  tenían  un  sistema  que  era parcialmente  decimal  y  parcialmente  sexagesimal.  En  sus  últimas  escrituras  cuneiformes  ya  apareció  el cero, pero fueron los indios sus verdaderos introductores, lo que les dio pie para elaborar un sistema de escritura análogo al que tenemos hoy día. Al cero le llamaban “vacío”.  Los antiguos griegos, y posteriormente los rusos, hicieron uso de las letras para designar números; pero fueron los árabes los que trajeron a Europa, de la India, nuestros símbolos actuales y el método de formación de números.  Así pues, el conjunto de los números naturales, tal y como actualmente se conoce, se designa con la letra    y está formado por   = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.   3.2.2.‐ El sistema decimal de numeración  Un  sistema  de  numeración  es  un  conjunto  de  normas  que  se  emplean  para  escribir  y  expresar cualquier  número.  Nuestro  sistema  de  numeración  tiene  dos  características  fundamentales:  es  decimal  y posicional.     DECIMAL,  porque  utilizamos  10  cifras  para  construir  todos  los  números:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y, a la Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   37
    • Tema 3  inversa,  10  unidades  de  cualquier  orden  constituyen  1  unidad  del  orden  inmediato  superior.  Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero:   Unidades de primer orden  Unidades (U)  Unidades de segundo orden  Decenas (D)  = 10 U  Unidades de tercer orden  Centenas (C)  = 10 D = 100 U  Unidades de cuarto orden  Unidades de millar (UM)  = 10 C = 100 D = 1000 U Unidades de quinto orden  Decenas de millar (DM)  = 10 UM  Unidades de sexto orden  Centenas de millar (CM)  = 10 DM  Unidades de séptimo orden  Unidades de millón (UM1)  = 10 CM  Unidades de octavo orden  Decenas de millón (DM1)  = 10 UM1  Unidades de noveno orden  Centenas de millón (CM1)  = 10 DM1  Unidades de décimo orden  Unidades de mil de millón (UMM)= 10 CM1  Unidades de undécimo orden  Decenas de mil de millón (DMM) = 10 UMM  Unidades de duodécimo orden  Centenas de mil de millón (CMM) = 10 DMM  Unidades de décimotercer orden  Unidades de billón  = 10 CMM  Unidades de decimonoveno orden  Unidades de trillón  = 1 millón de billones  Unidades de vigésimo quinto ordenUnidades de cuatrillón  = 1 millón de trillones   Se denomina base de un sistema de numeración al número de unidades de un orden inferior que forman  una  unidad  del  orden  inmediatamente  superior.  Nuestro  sistema  de  numeración  es  decimal,  por tanto, de base diez. El sistema decimal de numeración ha sido usado por la humanidad desde tiempos muy remotos porque para contar cosas el hombre siempre ha empleado los diez dedos de las manos. Así  pues:  21125.391  =  2  UM1  +  1  CM  +  2  DM  +  5  UM  +  3  C  +  9  D  +  1  U  =   =  21000.000  +  100.000  +  20.000  +  5.000  +  300  +  90  +  1  Unidades  =  =  2∙11000.000  +  1∙100.000  +  2∙10.000  +  5∙1000  +  3∙100  +  9∙10  +  1∙1=  = 2 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 2 ∙ 104 + 5 ∙ 103 + 3 ∙ 102 + 9 ∙ 101 + 1 ∙ 100 que es lo que se conoce como descomposición polinómica de un número natural.   POSICIONAL, porque el valor que representa cada cifra depende de la posición que ocupa dentro  del número.  Por ejemplo en el número 853.963 aparece dos veces la cifra «tres» y tiene distinto  valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda el primer  tres  representa  las  unidades  y  equivale,  por  lo  tanto,  a  tres  unidades.  En  cambio  el  segundo  tres  representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades. Ejercicios:  1. Escribe los números que representan los siguientes símbolos.   a) 34676543214=  b) 2431567432167=  38  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  c) 2432167832146=   d) 432567893467=   e) 134034678901=   2. Escribe los símbolos de los siguientes números:  a) Veinticuatro billones, ochocientos doce mil cuatrocientos catorce millones,  doscientos doce mil, catorce =  b) Cuatro  mil  doscientos  dieciséis  millones,  ochocientos  catorce  mil  doscientos uno =  c) Novecientos noventa y un mil, doscientos doce millones uno =  d) Ciento cuarenta y tres mil, doscientos dieciséis billones, dos mil trescientos  catorce millones, cuatro =  e) Cuatro  trillones,  doscientos  quince  mil  un  billón,  ciento  dieciséis  mil  catorce millones, trescientos doce =  3.2.3.‐ Representación lineal de los números naturales  Todos los conjuntos numéricos se representan gráficamente para poder así visualizarlos de alguna manera. La representación gráfica que más se utiliza es dibujarlos en una línea recta, aunque no es la única forma. Para ello:   Trazamos una línea recta.   Señalamos un punto en ella, el 0, que será el origen o punto de referencia.   A partir de él, señalamos hacia la derecha otros puntos, todos a la misma distancia entre sí.    0  1  2  3  4  5  6     0  1  137  138  139  140   1. Realiza las siguientes operaciones:   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   39
    • Tema 3   3.2.4.‐ Propiedades que cumplen las operaciones con números naturales SUMA: Operación interna (la suma de dos nos naturales es otro n° natural)   Asociativa:  (123+67)+90=190+90 = 280 = 123+(67+90)=123+157   Elemento neutro:  45+0=45   Propiedad conmutativa:  27+61 = 88 = 61+27 Por tanto, los nos naturales con la suma, (  ,+), son un semigrupo conmutativo o abeliano. PRODUCTO: Operación interna (el producto de dos nos naturales es otro n° natural)   Asociativa:  (3∙11)∙2=33∙2 = 66 = 3∙(11∙2)=3∙22   Elemento neutro:  45∙1=45   Propiedad conmutativa:  7∙61 = 427 = 61∙7 Por tanto, los nos naturales con el producto, (  , ∙), son un semigrupo conmutativo o abeliano. RESTA:  No  es  una  operación  interna  ya  que  la  resta  de  dos  nos  naturales  no  siempre  es  otro  n°  natural.  12‐8=4 y 8‐12=??? Tampoco cumple la propiedad asociativa ni la conmutativa. DIVISIÓN:  No  es  una  operación  interna  ya  que  la  división  de  dos  nos  naturales  no  siempre  es  otro  n° natural. 12:4=3 y 4:12=??? Tampoco cumple la propiedad asociativa ni la conmutativa. 3.2.5.‐ Operaciones combinadas con números naturales  (A) Normas para la realización correcta de las operaciones:  1) Paréntesis y similares (corchetes, llaves).  2) Potencias y raíces.  3) Multiplicaciones y divisiones.  4) Sumas y restas.  (B) Norma  para  realizar  operaciones  que  no  tienen  preferencia  una  sobre  la  otra  (del  mismo  nivel):   *) Se hacen conforme van apareciendo (¡de izquierda a derecha!). 3.3.‐ Números Enteros 3.3.1.‐ Introducción  Existen  diversas  situaciones  de  la  vida  cotidiana  que  los  números  naturales  no  son  capaces  de diferenciar por sí solos:   si tenemos 10 € o le debemos 10 € a una amiga, 40  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011   si  estamos  pasando  mucho  calor  porque  estamos  a  40°  o  tenemos  mucho  frío  porque  estamos  a  40° bajo cero,   si  nos  encontramos  en  la  segunda  planta  de  un  edificio  o  en  el  segundo  subterráneo  de  un  aparcamiento,   si hablamos de un acontecimiento que ocurrió en el año 313 antes de Cristo o, por el contrario, en  el año 313 después de Cristo,   si  nos  referimos  a  la  altura  del  Mulhacén,  con  3481  m,  o  a  la  profundidad  de  la  fosa  de  las  Marianas, con 11034 m.  Todas  estas  situaciones  se  pueden  diferenciar  fácilmente  cuando  disponemos  de  los  números negativos, que se definen como los números opuestos de los números naturales, entendiendo por opuesto de un número aquel que al sumarlo con él da el elemento neutro de la suma, que es el cero: Ejemplo: El opuesto de 2 (tener 2) es ‐2 (deber 2) ya que 2+(‐2)=0 (si tengo 2 y debo 2 no tengo nada)  El opuesto de 0 (tener 0) es 0 (deber 0) ya que 0+0=0 (si tengo 0 y debo 0 no tengo nada)  De esta forma, expresaríamos las situaciones anteriores de la siguiente forma:   tengo 10 € (+10 €) o debo 10 € (‐10 €),   hace mucho calor (40 °) o mucho frío (‐40 °),   estamos en la segunda planta (+2) o en el segundo subterráneo (‐2),   hablamos del año 313 a.C. (‐313) o del año 313 d.C. (313),   la altura del Mulhacén es 3481 m o la profundidad de la fosa de las Marianas es ‐11034 m.  Desde un punto de vista más matemático, nos encontramos con que:   la  suma  de  dos  números  naturales  siempre  es  otro  número  natural  (34+128=162)  y,  por  tanto,  podemos decir que la suma es una operación (interna) en el conjunto de los números naturales.   la  multiplicación  de  dos  números  naturales  es  un  número  natural  (2∙3=2+2+2=3+3=6),  ya  que  se  trata de una  suma de sumandos iguales y, por tanto, también podemos decir que el producto es  una operación en el conjunto de los números naturales.   sin embargo, la resta de dos números naturales no siempre es un número natural (16‐7=9 pero 7‐ 16=?). Es necesario que el minuendo sea mayor que el sustraendo para poder realizar la resta entre  dos números naturales. Pues bien, este problema igualmente queda solucionado con la aparición  de los números negativos, como veremos a continuación.  Así pues, nos encontramos con los siguientes conjuntos:            0  1, 2, 3, 4, 5, 6, ...   números enteros positivos   ‐     ...,  ‐ 6,  ‐ 5,  ‐ 4,  ‐ 3,  ‐ 2,  ‐1   números enteros negativos (opuestos de los positivos)   0  el cero, que es un número entero, pero no es positivo ni negativo       0    números enteros   y  podemos  afirmar  que  el  conjunto  de  los  números  enteros  es  más  grande  e  incluye  al  conjunto  de  los números naturales, es decir, el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros:     . Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   41
    • Tema 3 3.3.2.‐ Valor absoluto de un número entero  (A) El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.   (B) Ejemplos:  |‐8| = 8;  |+7| = |7| = 7;  |230| = 230;  |‐49| = 49;  |0| = 0 3.3.3.‐ Representación lineal de los números enteros  También representamos los números enteros en una recta. El 0 y los enteros positivos, es decir, los naturales,  los  representamos  como  ya  sabemos.  Los  números  enteros  negativos  los  dibujaremos  a  la izquierda  del  0,  señalándolos  a  la  misma  distancia  entre  sí  e  igual  que  la  distancia  utilizada  para  los naturales.      ‐3  ‐2  ‐1  0  1  2  3 3.3.4.‐ Orden de los números enteros   (< significa “menor que”; > significa “mayor que”).  (A) Si los dos números son positivos, es decir, naturales, no tenemos problema en identificar  cuál de  los dos es mayor y cuál es menor:  15<27.  (B) Si un número es positivo y el otro 0, siempre es mayor el número positivo (precisamente ésa es la  definición: un número es positivo si es mayor que cero):  96>0.  (C) Si un número es 0 y el otro es negativo, siempre es menor el número negativo (ésa es la definición:  un número es negativo si es menor que cero):  ‐34<0.  (D) Si un número es positivo y el otro es negativo, siempre es menor el negativo: ‐8<62.  (E) Si  los  dos  números  son  negativos,  es  mayor  el  que  tenga  menor  valor  absoluto,  es  decir,  imaginamos que los dos son positivos, los comparamos y decidimos lo contrario:  ‐48>‐53 ya que 48<53 ; ‐5<‐3 ya que 5>3 ; ‐17>‐39 ya que 17<39  Gráficamente, siempre será mayor el número situado más a la derecha y, por tanto, menor el que esté más a la izquierda. Este criterio sirve para no confundirse, pero no es una definición correcta de orden, por lo que no es válida para justificar una ordenación de números enteros. 3.3.5.‐ Operaciones con números enteros. SUMA (A)  * El resultado de sumar varios números positivos es un número positivo.  * El resultado de sumar varios números negativos es un número negativo.  * El resultado de sumar un número positivo y un número negativo es un número:  a) positivo si el valor absoluto del n° positivo es mayor que el valor absoluto del negativo.  b) negativo si el valor absoluto del n° negativo es mayor que el valor absoluto del positivo. (B) Ejemplos: 2+7=9 (tengo 2 y tengo 7, luego tengo 9)  ; (‐6)+4=‐2 (debo 6 y tengo 4, luego debo 2). 9+(‐7)=4 (tengo 9 y debo 7, luego tengo 2) ; ‐1+(‐5)=‐6 (debo 1 y debo 5, luego debo 6).  42  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 (C) Ejercicios:  OPERACIÓN  SOL.  OPERACIÓN  SOL. OPERACIÓN  SOL. 7+4    8+5    1+14    37+48    97+52    13+46    (‐7)+(‐4)    (‐8)+(‐5)    (‐37)+(‐48)    ‐37+(‐48)    ‐97+(‐52)    ‐13+(‐46)    (‐7)+4    8+(‐5)    (‐37)+48    37+(‐48)    ‐97+52    ‐13+46    78+65    (‐54)+36    (‐4)+17    ‐41+(‐70)    13+(‐35)    89+(‐47)    (‐54)+(‐28)    123+456    24+(‐67)    ‐90+(‐62)    35+(‐12)    29+64    78+(‐51)    ‐38+14    ‐32+(‐47)    36+(‐50)    ‐9+10+(‐14)+5    ‐2+(‐7)+11+(‐9)+3    (‐8)+4+(‐7)+(‐9)    12+2+(‐7)+(‐14)    6+(‐10)+10+(‐5)    5+(‐2)+3+(‐9)+2+(‐3)    (‐8)+12+(‐5)+7    ‐15+30+(‐19)+20+(‐3)    ‐12+8+(‐10)+4+(‐7)    ‐20+(‐8)+4+(‐5)    15+(‐6)+11+2+(‐4)    (‐8)+3+4+(‐4)    80+25+(‐3)+(‐2)    ‐5+(‐15)+6+(‐8)    ‐9+10+(‐14)+5    (‐2)+(‐7)+11+(‐9)+3    ‐3+2+(‐5)+(‐7)+(‐1)+(‐3)    ‐1+3+(‐2)+(‐2)    15+(‐6)+11+2+(‐4)    3+4+(‐2)+(‐6)+5+(‐1)    3+4+(‐2)+(‐6)+5+(‐11)+(‐18)    7+(‐8)+(‐13)+2+(‐9)+1   ‐3+5+(‐4)+2+7+(‐2)+3+(‐15)    RESTA (A) Elementos que aparecen en una resta de dos números:   9182  Minuendo 7364  Sustraendo   1818  Diferencia(B) Definición de resta de dos números:  * El opuesto de un número entero es otro número entero tal que al sumarlos da cero. Ej:  ‐3 es el opuesto de 3 porque ‐3+3=0 ; 7 es el opuesto de ‐7 porque 7+(‐7)=0.  * "Para restar dos números, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo" Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   43
    • Tema 3 (C) Ejemplos:  Minuendo  7  7 4   7   4   3  Sustraendo  4  Opuesto  4  Minuendo  8  8   5    7  5  13  Sustraendo  5  Opuesto  5 Minuendo  6  6  5     6  5  11  Sustraendo  5  Opuesto  5 Minuendo  11  11   15     11  15  4  Sustraendo  15  Opuesto  15  (D) Simplificación de signos: escribir la operación con el menor número de signos posible.  * Los signos + de los números positivos no es necesario escribirlos:  +5+(+7)=5+7=12  +6+(‐3)=6+(‐3)=3  ‐4+(+11)=‐4+11=7  ‐2+(‐8)=‐10   * Si aparecen seguidos (¡separados por paréntesis!) los signos + y ‐, podemos escribir ‐:  5+(‐7)=5‐7=‐2  ‐6+(‐3)=‐6‐3=‐9  ‐4‐(+11)=‐4‐11=‐15  2‐(+8)=2‐8=‐6   * Si aparecen seguidos (¡separados por paréntesis!) dos signos ‐ ó +, podemos escribir +:  5‐(‐7)=5+7=12  ‐6‐(‐3)=‐6+3=‐3  ‐4‐(‐11)=‐4+11=7  2+(+8)=2+8=10   A partir de ahora, cuando vayamos a hacer una operación en la que sólo haya sumas y restas, no será necesario ir de izquierda a derecha, siempre y cuando tengamos claro que los signos que aparecen en la operación no se pueden separar del n° que va a continuación y que siempre vamos a sumar. Podemos utilizar dos estrategias:  a) Sumar  los  nos  positivos  con  los  positivos  y  los  negativos  con  los  negativos  y,  después,  los  resultados: ‐7+(‐5)‐(‐8)‐(+1)+(+6) = ‐7‐5+8‐1+6 = (‐7‐5‐1)+(8+6) = (‐13)+14 = 1  b) Ir en el orden que queramos:  8  9   5    4   8  9 5  4  8 9  1  8  10  2     7   5   11    9   7  5 11  9  2  20  22  PRODUCTO y DIVISIÓN (A) Regla de los signos para la multiplicación y para la división:         Generalización:  Si los dos signos son iguales el resultado es +            n° par de signos ‐ = +             Generalización:  Si los dos signos son distintos el resultado es ‐            n° impar de signos ‐ = ‐ 44  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 (B) Ejercicios:  OPERACIÓN  SOL.  OPERACIÓN  SOL.  OPERACIÓN  SOL.  37∙48    97∙52    13∙46    ‐37∙(‐48)    ‐97∙(‐52)    ‐13∙(‐46)    37∙(‐48)    ‐97∙52    ‐13∙46    78∙65    (‐54)∙36    (‐4)∙17    ‐41∙(‐70)    13∙(‐35)    89∙(‐47)    (‐54)∙(‐28)    123∙456    24∙(‐67)    ‐90∙(‐62)    35∙(‐12)    29∙64    78∙(‐51)    ‐38∙14    ‐32∙(‐47)    36∙(‐50)    ‐9∙10    ‐2∙(‐7)    15∙51    ‐101∙23    ‐98∙(‐76)    ‐98∙76    98∙76    98∙(‐76)    ‐29∙75    13∙(‐56)    ‐78∙(‐29)    ‐38∙(‐14)    84∙30    11∙37    78∙51    ‐16∙43    78∙46    ‐31∙(‐72)    ‐32∙47    36∙50    38:19    99:(‐11)    (‐99):3    (‐8):(‐4)    (‐35):(‐5)    (‐54):(‐6)    (‐16):4    8:(‐2)    (‐36):2    130:65    (‐108):36    (‐68):17    70:(‐35)    89:(‐89)    0:(‐28)    402:(‐67)    ‐198:(‐18)    48:(‐12)    153:(‐51)    ‐56:14    ‐94:(‐47)    420:14    (‐96):12    124:(‐4)    320:64    6250:(‐50)    (‐90):(‐15)    (‐99):9    (‐350):(‐70)    123:3   3.3.6. Operaciones combinadas con números enteros.  (A) Normas para la realización correcta de las operaciones:  1) Paréntesis y similares.  2) Potencias y raíces.  3) Multiplicaciones y divisiones.  4) Sumas y restas.  (B)  Norma  para  realizar  operaciones  que  no  tienen  preferencia  una  sobre  la  otra  (del  mismo  nivel):   *) Se hacen conforme van apareciendo (¡de izquierda a derecha!). Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   45
    • Tema 3  (C) Ejemplos:    (D) Ejercicios:  OPERACIÓN  SOL. OPERACIÓN  SOL. (6‐4∙3:6+10‐5)+(3+4∙5‐15:3)    7+3∙4:2‐5∙6:3+4+9‐2∙(3‐1)    103‐37∙2+45‐24:4∙3‐23‐15:5    7+15‐[14‐(2+10)+7∙3‐(9‐4)∙3]‐1+4    7‐5∙2:5+6:(4‐3)‐2+(3+4∙5‐15:3)    6+4∙7:2‐4∙6:3‐5+9‐2∙(6‐1)    215‐49∙3+76‐24:4∙5:3‐57‐36:4    10+15:3+(12‐7‐3)+7∙3‐14‐(3+6‐1)    13+4∙5∙3:6‐10‐5∙2+7+11‐(2+4∙5‐18:3∙2)    8+4:2‐3∙2+3∙(7‐2)‐9:3∙7:3+5‐4∙(7‐6)    15+9∙4:3‐20:4∙3:5‐(2∙4‐5+3+6‐1)+9‐5∙(6‐2)    2∙(‐3)∙4:(‐6)‐(‐15):(‐3)∙2+(‐1)‐7∙2    ‐12‐(‐20)‐[6+(5‐9)‐(16‐8‐11)]    ‐5+(‐3)‐(‐2)+(‐10)+9‐(‐3)    ‐2‐3∙4+7‐(‐3)+4:2∙3‐(5+1‐8)    2+4∙3‐(5∙4):2+7‐2∙2+3‐15    (‐4)‐(‐3)‐2+(‐2)+(‐3)‐(‐4)    2∙3∙4:(‐3)+(‐15):(‐3)‐(‐8):2‐(‐6):(‐3)    ‐[‐(4‐2∙5+3‐4∙2)+(‐3)‐(‐2)∙2+(‐3)‐14:7+(‐6)]    8∙(‐2∙4+3)‐16:(‐12:6‐3∙2)    3∙(‐4∙2+12:6)+16:(‐2∙3+8:4)    ‐4∙[8:(‐11+7)+3∙(‐2+6)]   46  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  OPERACIÓN  SOL. OPERACIÓN  SOL. ‐12:[‐4∙(5‐3)‐2∙(‐23+21)]+5∙[‐16:(21‐13)‐3∙(‐7+15)]   ‐10:[(‐12+16):(‐2)+(12‐3∙5)]+5∙[(‐13+7):(‐1+(‐27):(‐9))]   ‐18+[52:(‐2)‐(‐13)]:(‐1)‐11∙12    ‐7∙8:8‐14+22 ∙3‐7‐(‐15):(‐3)∙2‐(‐1)+(‐9)    [(‐8)∙3:(‐6)‐(‐5)]:(‐3)+(‐7)‐4∙(‐9):(‐6)    (‐15):(‐5)+7∙(‐4)‐[(‐3)∙2+(‐1)]‐(‐7)    ‐1+[(‐2):2∙(‐1)‐(‐3)]:(‐2)+(‐1)‐(‐3)∙(‐2)          Es  fácil  comprobar  que  se  cumplen  las  siguientes  propiedades  para  las  operaciones  internas definidas en el conjunto de los números enteros: SUMA: Operación interna (la suma de dos nos enteros es otro n° entero)   Asociativa:  (‐2+6)+9=4+9 = 13 = ‐2+(6+9)=‐2+15   Elemento neutro:  ‐45+0=‐45   Elemento opuesto:  ‐11+11=0   Propiedad conmutativa:  3+(‐6) = ‐3 = ‐6+3  Por tanto, los nos enteros con la suma,   ,   , son un grupo conmutativo o abeliano. PRODUCTO: Operación interna (el producto de dos nos enteros es otro n° entero)   Asociativa:  (‐3∙11)∙(‐2)=‐33∙(‐2) = 66 = ‐3∙[11∙(‐2)]=‐3∙(‐22)   Elemento neutro:  ‐5∙1=‐5   Propiedad conmutativa:  7∙(‐6) = ‐42 = (‐6)∙7  Por tanto, los nos enteros con el producto,   ,  , son un semigrupo conmutativo o abeliano.   Propiedad distributiva:  2∙(‐5+4)=2∙(‐1) = ‐2 = 2∙(‐5)+2∙4=‐10+8  Así pues, los nos enteros con ambas operaciones,   ,  ,  , son un anillo conmutativo. 3.4.‐ Números Racionales 3.4.1.‐ Introducción  Expresiones comunes tales como "un tercio de cerveza", "medio litro de agua", "tres cuartos de kilo de  carne",  "son  las  doce  y  cuarto",...  no  pueden  ser  representadas,  exclusivamente,  mediante  un  único número  natural  ni  tampoco  mediante  un  único  número  entero.  Esto  deja  entrever  que  es  necesaria  una nueva ampliación de los conjuntos numéricos conocidos.  Desde un punto de vista más matemático, sabemos que siempre podemos realizar la división entre dos  números  enteros  obteniendo  un  cociente  y  un  resto.  Pero  es  fácil  descubrir  que  no  siempre  dicha división  es  exacta  (tiene  de  resto  cero),  es  decir,  no  podemos  afirmar  que  la  división  de  dos  números enteros  sea  siempre  otro  número  entero.  Este  hecho  justifica  también  la  ampliación  del  conjunto  de  los números enteros. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   47
    • Tema 3 3.4.2.‐ Conceptos generales (A) Una fracción es el cociente, razón o división de dos números enteros. El dividendo se llama numerador  n(ndor) y el divisor denominador (ddor): n:d= ; n, d    .  d(B) El signo de una fracción viene dado mediante la “regla de los signos”:  7  7     fracción positiva     fracción positiva  Si los dos signos son iguales la fracción es +  4  4    7  fracción  7  fracción  Si los dos signos son distintos la fracción es       4 4 ‐  negativa  negativa   Es importante llamar la atención sobre el siguiente hecho:  2 2 2 2 2     04  04     5 5 5 5 5Es decir:  * No es igual poner un signo menos en la fracción que no ponerlo.  * No es igual poner un signo menos delante de la fracción que ponerlo en el ndor y en el ddor.  * Sí es igual poner el signo menos delante, en el ndor o en el ddor de la fracción. Por tanto, siempre lo colocaremos en el ndor de la misma que es donde menos confusión provoca y simplifica la escritura de las fracciones.  Ejercicio: Clasifica las siguientes fracciones en positivas y negativas, simplificando su escritura.    Positivas                   Negativas                     (C) Una fracción mayor o menor que la unidad se distingue de la siguiente forma: Si la fracción es positiva:  7 Si el ndor es mayor que el ddor, la   175   7  4  fracción mayor que la unidad  4 fracción es mayor que la unidad.  5 5  11  fracción menor que la  Si el ndor es menor que el ddor, la   045...   11 unidad  fracción es menor que la unidad.   Si la fracción es negativa, se estudia como si fuera positiva y luego se concluye lo contrario:  7 7 7   175    fracción mayor que la unidad     fracción menor que la unidad (negativa)  4 4 4 5 5 5  045...    fracción menor que la unidad     fracción mayor que la unidad (negativa) 11 11 1148  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Ejercicio: Clasifica las siguientes fracciones en mayores o menores que la unidad.   Mayores                     que la unidad Menores                     que la unidad 3.4.3.‐ Representación gráfica de fraccions.  El ddor indica el n° de partes en que dividimos la unidad y el ndor el n° de partes que tomamos.    4 7 11 9 3 1 10 6 6 5Ejercicio: Representa gráficamente  ,  ,  ,  ,  ,  ,   ,  ,   ,    5 2 5 7 4 8 3 7 2 9  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   49
    • Tema 3 3.4.4.‐ Equivalencia de fracciones.  Dos  fracciones  son  equivalentes  si  el  producto  del  ndor  de  la  primera  por  el  ddor  de  la  segunda  es igual que el producto del ddor de la primera por el ndor de la segunda.   2 4 2  6  12 18 6 18   5  90    porque      porque    Equivalentes  3 6 3  4  12 15 5 15  6  90  9 4 9   5   45  8 4 8  9  72   porque       porque     No equivalentes 7 5  7  4  28  3 9 3  4  12   Hay casos en los que podemos decidir que dos fracciones NO son equivalentes sin hacer cuentas:  7 7 7   0  7  6  42   Si una es positiva la otra negativa    porque  6    6 6  7  0  6   7   42  6   11 11 4   1  11  9  99   Si una es mayor que la unidad la otra menor   porque  5     5 9 4  1  5  4  20  9    Para  obtener  fracciones  equivalentes  a  una  dada,  multiplicamos  o  dividimos  el  numerador  y  el denominador por un mismo n°:   1  6  8  8  16  96  32 2 3 2 7 10 3   40  20  140  14  42     5  5  10  60  20  1 2   6  3  100  50  350  35  105 2  7  10  3    Un número racional es el conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes. El conjunto de los números racionales se representa por la letra   . 3.4.5. Simplificación de fracciones  Simplificar una fracción consiste en dividir el ndor y el ddor por un divisor común de ambos.  40 40  1  2  2  2  5 2  Descomposición en factores:       100 100 2  2  5 5 5 40 40  20 2 40  23  5   M.c.d:     porque  n  nmcd (40,100)  2  5  4  5  20   2 100 100  20 5 100  2  5 2 2 2 5 40 40  20  10  2     Divisiones sucesivas:     100 100  50  25  5 2  2  5  El  representante  canónico  de  una  fracción  es  aquella  fracción  que  no  se  puede  simplificar  más (fracción irreducible), es decir, el ndor y el ddor son primos entre sí (su máximo común divisor es 1). 50  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011   Ejercicio: Decidir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no.    Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   51
    • Tema 3 Ejercicio: Simplificar las siguientes fracciones.   3.4.6.‐ Reducción de fracciones a común denominador. Orden  En ocasiones, es necesario transformar el aspecto de una fracción para verla de forma que tenga el mismo  denominador  o  el  mismo  numerador  que  otra.  De  esta  manera  se  podrán  comparar  o  se  podrán sumar o restar. En esto consiste reducir fracciones a común denominador: escribirlas todas con el mismo denominador pero sin cambiar las fracciones, es decir, escribir fracciones equivalentes a las que tenemos pero de forma que tengan todas el mismo denominador. Para ello:  (A) Se calcula el mínimo  común múltiplo de los  denominadores y se pone como denominador de  todas las fracciones.  52  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  14   y     mcm  45,12   mcm  32  5,22  3  22  32  5  180  17 ? ?   y      45 12 180 180 (B) Se  divide  el  denominador  común  entre  cada  uno  de  los  denominadores  y  el  resultado  se  multiplica por el numerador  14  4 14  4 17  15 17  15 56 255    y        y      45  4 180 12  15 180 180 180 (C) ORDEN. Para ordenar fracciones seguimos los siguientes pasos:  1º Se reducen a común denominador.  2º Si las fracciones son positivas, es mayor la que tiene el numerador mayor.  3º Si son negativas, se estudian como si fueran positivas y se concluye lo contrario.    Hay casos en los que podemos decidir el orden de las fracciones sin hacer cuentas:   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   53
    • Tema 3    3.4.7.‐ Expresión decimal de un número racional  La expresión decimal de un n° racional se obtiene dividiendo el ndor entre el ddor de la fracción.  Nos podemos encontrar los siguientes tipos de decimales, todos ellos periódicos (existe un bloque de cifras decimales que se repiten, siempre las mismas y en el mismo orden) ya que, para que la división 54  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 esté bien hecha, el resto tiene que ser menor que el divisor y, por tanto, o es cero o se acaban repitiendo los restos, en cuyo caso también se repiten los cocientes:    En todo número decimal se distinguen tres partes:  Parte entera: 123   123,426832234234...  123,426832234     Anteperiodo : 426832   Parte decimal: 426832234  Periodo : 234   Es  importante  hacer  notar,  que  los  números  naturales  y  enteros  también  podemos  verlos  como números decimales periódicos puros de periodo cero:    31  31,000...  31,0 ;    17  17,000...  17,0   Asimismo,  los  números  decimales  exactos  podemos  verlos  como  números  decimales  periódicos mixtos de periodo cero:    19,26  19,26000...  19,260 ;    7,3  7,3000...  7,30  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   55
    • Tema 3  De  esta  forma,  todos  los  números  conocidos  hasta  ahora  son  decimales  periódicos  y,  por  tanto, también podemos definir un número racional como un número decimal periódico. Además, queda definida la siguiente relación entre los conjuntos estudiados hasta ahora:       . 3.4.8.‐ Expresión racional de los números decimales periódicos  Al  igual  que  todas  las  fracciones  tienen  una  expresión  decimal  periódica,  todos  los  números decimales  periódicos  pueden  escribirse  en  forma  de  fracción.  De  hecho,  hay  infinitas  fracciones  que  dan lugar a un número decimal periódico (todas las que sean equivalentes). Pues bien, de todas ellas hay una que  es  irreducible  y  que  se  llama  fracción  generatriz  del  número  decimal  periódico.  Vamos  a  estudiar  el procedimiento para escribir un decimal periódico en forma de fracción y, para hallar la fracción generatriz, lo único que tenemos que hacer es simplificar dicha fracción.  nsin coma (A) Exactos:    1 seguido de tantos 0 como cifras decimales   nsin coma ‐ parte entera (B) Periódicos puros:     tantos 9 como cifras del periodo        56  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011   n sin coma ‐ parte entera y anteperiodo (C) Periódicos puros:     tantos 9 como cifras del periodo y tantos 0 como cifras del anteperiodo   Las dos utilidades del cálculo de la fracción generatriz de un número decimal periódico son:  a. Intentar (si el ddor es pequeño) dibujar dicho nº decimal en la recta real con mayor precisión.  b. Realizar  operaciones  en  las  que  aparecen  dichos  nos  ya  que,  si  no  los  pasamos  a  la  forma  de  fracción,  no  podemos  operar  con  ellos  (salvo  de  forma  aproximada),  mientras  que  en  forma  de  fracción  podemos  operar  perfectamente  (con  total  exactitud).  En  este  caso  debemos  terminar  la  operación expresando el resultado en forma decimal (como nos lo daban). 3.5.‐ Números Reales 3.5.1.‐ Introducción  En la época de Pitágoras, se creía que los únicos números que existían eran los naturales (los que empleamos  para  contar)  y  los  racionales  (fracciones).  Sin  embargo,  los  pitagóricos  descubrieron  que  no podían medir la diagonal de un cuadrado con ningún número. Así pues, el origen del concepto de número irracional  se  encuentra  en  la  Geometría.  Pitágoras  fue  el  primero  en  señalarlo  de  forma  parecida  a  la siguiente:  “Si se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud 1, la longitud de la hipotenusa es igual a raíz cuadrada de 2 y éste no es un número racional. Si escribimos raíz cuadrada de 2 = a/b, donde a y b son números enteros primos entre sí, fácilmente se llega a una contradicción con resultados conocidos de la divisibilidad de números enteros”:  a a2 a  a a a 2     irreducible  2  2   hemos simplificado la fracción  hasta  b b bb bb a llegar a 2, lo que no es posible si   es irreducible, ya que a y b no tienen divisores comunes.  b Tan notable descubrimiento bien merecía, según se cuenta, el sacrificio de 100 bueyes con que fue celebrado por Pitágoras.  Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros más complicados aunque, en general, se puede decir que los griegos se limitaron esencialmente a trabajar con los irracionales que se obtienen por aplicación repetida de la extracción de raíces cuadradas y que, por ello, Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   57
    • Tema 3 se  podían  construir  con  la  regla  y  el  compás,  pero  nunca  llegaron  a  tener  la  idea  general  de  número irracional.  Ésta  hizo  su  aparición  al  final  del  s.  XVI,  como  consecuencia  de  la  introducción  de  los  números decimales, cuyo uso se generalizó ya antes con motivo de la formación de la tabla de logaritmos. Cuando se transforma una fracción en número decimal, pueden obtenerse números decimales limitados o ilimitados, que  son  necesariamente  periódicos.  Ahora  bien,  nada  hay  que  impida  considerar  un  número  decimal  no periódico,  esto  es  un  número  decimal  cuyas  cifras  se  suceden  sin  obedecer  ley  alguna  y  sin  parar. Históricamente acontece así, que el cálculo obligó a que se introdujeran los nuevos conceptos y, sin que se pensase  gran  cosa  sobre  su  esencia  y  fundamento,  se  operaba  con  ellos,  afirmando  su  existencia,  sobre todo al reconocer repetidamente su extraordinaria utilidad. Sólo al llegar al año 1860 se vio la necesidad de formular  aritméticamente,  de  manera  precisa,  los  fundamentos  de  los  números  irracionales.  Weierstrass fue  el  primero  que  abrió  camino  en  estas  investigaciones  a  través  de  las  lecciones  que  explicaba  en  la Universidad de Berlín. En el año 1872, G. Cantor, fundador de la teoría de conjuntos, dio en Universidad de Hall una teoría general de dichos números. De forma simultánea pero independiente, Dedekind hizo otro tanto en la Universidad de Brunswick. 3.5.2.‐ Números irracionales  (A) Los números irracionales son aquellos que tienen infinitas cifras decimales que no son periódicas.  (B) Ejemplos:   1,12112111211112… ; 0,101001000100001…   Algunos números irracionales surgen del estudio de cuestiones geométricas:  o Al hacer el cociente de la longitud de una circunferencia por el diámetro de la misma,  aparece el número pi:   3, 1415926535897932384626433832795...  o Al medir la diagonal de un cuadrado de lado uno aparece el número   2  1, 4142...    También son irracionales los números que provienen de raíces cuadradas no exactas:  2  1, 4142135623730950488016887242097...  3  1,73205080756887729352744634150587...  5  2, 23606797749978969640917366873128...  7  2, 64575131106459059050161575363926...   Otros números irracionales importantes:  o número  e   2,71828182845904523536028747135266...  1 5 o número de oro     1.6180339887492488570264520574598... famoso en la era  2 pitagórica y que está presente en muchas obras de arte.  (C) El conjunto de los números reales está formado por los números racionales (decimales periódicos)  junto  con  los  números  irracionales  (decimales  no  periódicos),  es  decir,  por  todos  los  números  decimales:  3 7  28  46 ;4; 5;0,7  ;  3,141592...;3,1  ;0; 112;1; 1,02    4 10 9 4558  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011      (D) Ejercicios:  1. Completa las igualdades siguientes:  a)         f)          b)           g) I         c)         h) I         d)         i)        e)         j) 2. Encuentra el mínimo conjunto numérico    ,  , ,   al que pertenezcan los números:   1 7 e;   3;   4, 5; 1,4; 8;  ;   9;  ; 1;  ;   2; 0; 23   5 3 3. Coloca los signos    ó   según los números de la izquierda sean o no de los conjuntos:         I        I   5              2            1 9                         2 0 3            4            3                          5 e 12 0                        3 9            6             Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   59
    • Tema 3 3.5.3.‐ Aproximación: truncamiento y redondeo  (A) Para  trabajar  con  números  decimales  infinitos  o  números  decimales  largos,  se  les  aproximan  a  otros números mediante el truncamiento o el redondeo (ambas cosas las realizan las calculadoras).  TRUNCAR un número consiste en considerar sólo las cifras decimales que nos interesan y "eliminar"  las demás. Primero debemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar o cuántas nos  están pidiendo. REDONDEAR un número en una determinada cifra decimal, consiste en "eliminar"  cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no:   Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar.   Si la primera cifra que se va a eliminar es menor que 5 no hay modificaciones en las cifras  que se dejan.   Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o mayor que 5, la última cifra no eliminada  aumenta en 1.  (B) Ejemplos:  Número  Nº de cifras decimales Truncamiento Redondeo  2,33375689.....  3 (milésimas)  2,333  2,334  5,67587654.....  2 (centésimas)  5,67  2,67  0,01199453....  4 (diezmilésimas)  0,0119  0,0120  ‐54,918237…  1 (décimas)  ‐54,9  ‐54,9   El  redondeo  siempre  es  mejor  puesto  que  se  comete  un  error  menor  o  igual  que  con  el truncamiento.  Así  pues,  siempre  que  no  se  diga  nada,  debemos  redondear.  Además,  para  que  el  error cometido no sea excesivo, se considera como “bueno”, mientras que no se diga otra cosa, el redondeo en diezmilésimas.  (C) Ejercicios:  1. Aproxima los siguientes números en milésimas (tres cifras decimales):  Número  Truncamiento  Redondeo Número  Truncamiento  Redondeo 0,356783258      3,145578      897,46789      235,654      7,00006      0,189675872     10009,9001      3,141592      11,1111111      2,718281     3.5.4.‐ Representación lineal de los números reales. Orden   Para  representar  gráficamente  los  números  reales  debemos  tener  en  cuenta  que  existe  una  identificación total entre los puntos de la recta y dichos números, es decir, cada punto de la recta  representa  a  un  número  real  y  a  cada  número  real  le  corresponde  un  punto  de  la  recta  que  lo  representa.  Como ya sabemos representar números racionales con denominador pequeño de forma exacta en la  recta,  únicamente  queda  por  aprender  como  representar  números  irracionales  o  fracciones  con denominador  grande.  En  ambos  casos,  como  no  podía  ser  de  otra  forma,  habrá  que  hacerlo  de  forma aproximada: 60  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011     Para ordenar números reales (decimales) actuamos de la siguiente forma:  1º localizamos la primera cifra distinta, ya sea en la parte entera o en la parte decimal  2º si los dos son positivos, será mayor el que mayor tenga dicha cifra (2454454445…<246)  si los dos son negativos, será mayor el que menor tenga dicha cifra (‐399888…>‐397)  si uno es positivo y el otro es negativo, será mayor el positivo (   e )   Ejercicios:  1. Dibuja en la recta real los siguientes números reales:  17;  13;   29 ,  8; 1  2; 3+ 5   2. Ordena de menor a mayor:   35 7; 2,058;   11,  8;  ; ‐3,4   173.5.5.‐ Intervalos de la recta real  (A) Existen distintos subconjuntos dentro de la recta real que son especialmente importantes puesto  que  tienen  diversas  aplicaciones  (inecuaciones,  dominios  de  funciones,…).  Todos  ellos  coinciden  con “trozos” de recta, y se clasifican de la siguiente forma:  * Recta real:     ,               * Semirrectas: ‐A la derecha cerrada de origen a:  a,   a,    x   x  a  ‐A la derecha abierta de origen a:  a,    a,    x   x  a   ‐A la izquierda cerrada de extremo b:  , b    , b  x   x  b    ‐A la izquierda abierta de extremo b:   , b    , b   x   x  b   * Segmentos: ‐Cerrado:      a, b  x   a  x  b       a             b    a             b ‐Semiabierto por la izquierda:  a, b   a, b  x   a  x  b     a, b  a, b   x   a  x  b   a             b ‐ Semiabierto por la derecha:   ‐Abierto:      a, b   a, b   x   a  x  b   a             b   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   61
    • Tema 3 3.5.6.‐ Operaciones con números reales  (A) Las  operaciones  en  las  que  aparecen  números  irracionales  se  hacen  de  forma  aproximada,  realizando primero un redondeo y posteriormente la operación, que queda reducida a una cuenta  con números decimales exactos.  (B) Ejemplos:    3,14159265...   3,1416; e  2,718281...  2,7183 4    4  3,1416  7,1416 3    3  3,1416  9,4248   2  3,14162  9,86965056  9,8697      3,1416    1,5708  2 2   e  5,8599 e    2,7183  3,1416  8,53981128  8,5398   No  merece  la  pena  insistir  más  en  este  apartado,  puesto  que  las  cuentas  (aproximadas)  que  hay que  realizar  son  operaciones  con  números  decimales  exactos  y  se  realizan  como  si  fueran  números racionales, teniendo en cuenta las cifras decimales.  3.6.‐ Bibliografía  Apuntes y libros de matemáticas de E.S.O. 62  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Tema 4.‐ Iniciación al número.   El proceso de simbolización. Materiales y juegos 4.1.‐ Consideraciones didácticas en torno al número 4.1.1.‐ Paralelismo entre el razonamiento lógico‐matemático, los números y el cálculo  El bloque de números y cálculo es el que tradicionalmente se ha tratado de forma más extensa en la escuela. Tiene una gran conexión con el resto de bloques temáticos, no sólo con el razonamiento lógico‐matemático, sino también con la resolución de problemas y la organización de la información (estadística y probabilidad)  por  lo  que  respecta  a  los  procedimientos  y  técnicas  de  aplicación.  Y  con  los  de  medida  y geometría por lo que respecta a la estructura de las competencias.  El  desarrollo  del  razonamiento  lógico‐matemático  ayuda  a  los  niños  de  las  primeras  edades  a interiorizar  conocimientos  del  entorno  de  tipo  sensorial,  a  partir  de  tres  grandes  cualidades  lógico‐matemáticas: identificar, definir y/o reconocer las diferentes cualidades sensoriales, estudiar las relaciones que  se  establecen  entre  estas  cualidades,  y  observar  los  cambios  u  operaciones.  Pero  hay  que  tener presente  que  estas  estructuras  propias  del  razonamiento  lógico‐matemático  no  posibilitan  sólo  un conocimiento del entorno desde un punto de vista sensorial, sino que tienen un papel fundamental tanto en  la  adquisición  de  las  distintas  nociones  que  sirven  para  designar  aspectos  cuantitativos  de  la  realidad que les rodea como en la adquisición de sentido numérico.  Así,  hay  que  recordar  que  identificar,  definir  y/o  reconocer  cualidades  sensoriales  de  los  objetos consiste,  básicamente,  en  profundizar  sobre  las  características  sensoriales  de  los  objetos,  fijándonos  en propiedades  como  el  color,  la  medida,  el  grosor,  el  tipo  de  material,  etc.  Así  mismo,  este  conjunto  de actividades permite a los niños hacer agrupaciones de elementos a partir de sus cualidades sensoriales, y a la  vez  preparan  y  estructuran  su  mente  para  que  también  puedan  identificar,  definir  o  bien  reconocer agrupaciones  según  las  características  cuantitativas,  a  partir  de  cuantificadores  como  muchos,  pocos, ninguno, alguno, uno, dos, etc.  De  la  misma  manera,  relacionar  cualidades  sensoriales  implica  comparar  los  elementos  de  una  o diversas agrupaciones entre sí a partir de un criterio de tipo cualitativo preestablecido (por ejemplo: tener la misma forma, tener el mismo color, etc.), pero nuevamente este trabajo sensorial permite desarrollar el razonamiento  lógico‐matemático  de  manera  que  poco  a  poco  se  pueden  extrapolar  e  inferir  estos conocimientos cualitativos hacia otros cuantitativos, a partir de actividades que implican clasificar, ordenar, hacer  parejas,  etc.,  por  criterios  cuantitativos,  utilizando  comparativos  como  más  que,  menos  que,  igual que, tanto como, etc.  Los operadores lógicos, finalmente, incluyen las actividades que cambian las cualidades sensoriales de los objetos mediante una operación. Estas actividades preparan la mente del niño para que pueda hacer operaciones aritméticas:  Situación  Transformación,  Situación  Tipo de operación  inicial  cambio  final  Lógico‐matemática        Aritmética        Aritmética, utilizando símbolos  4  6  matemáticos   Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   63
    • Tema 4    Las  estructuras  que  se  ponen  en  juego  son  las  mismas,  sólo  varía  el  contenido,  que  primero  era cualitativo y ahora se refiere a aspectos cuantitativos. 4.1.2.‐ ¿Qué son los números y el cálculo?  Una  vez  esclarecidos  los  vínculos  entre  el  razonamiento  lógico‐matemático,  los  números  y  el cálculo, se inicia con una aproximación conceptual a distintas nociones que sirven para designar aspectos cuantitativos de la realidad que nos rodea, pero que a menudo no se usan con la corrección que necesitan los niños. Si tenemos en cuenta que el lenguaje es importante, ya que es el que posibilita y genera cultura, es necesario que desde muy pequeños los niños tengan la oportunidad de usar este lenguaje con precisión, y más teniendo en cuenta que los aprendizajes incorrectos son difíciles de modificar. En relación con este bloque, son diversas las nociones que se utilizan, a veces de una manera no demasiado correcta, tanto por la  bibliografía  científica  como  en  la  práctica  en  el  aula:  número,  cantidad,  operación,  cálculo  (mental, pensado,  tecnológico,  escrito,  etc.),  sentido  numérico,  etc.  A  continuación  se  esclarece  el  significado  de estos términos. Número. Es la palabra que sirve para designar el resultado de contar las cosas que forman un agregado o  de comparar una cantidad con otra de la misma especie tomada como unidad o cualquiera de los  entes  abstractos  que  resultan  de  generalizar  este  concepto.  Así,  por  ejemplo,  hablamos  de  «las  familias de los números naturales, los números enteros, los números decimales»... Cantidad. Es el valor o cardinal que resulta, en general, de la medida o la comparación de magnitudes. Para  expresar el resultado de la medida, usamos los números. Por ejemplo, cuando decimos «3 litros, 10  metros,  10  minutos,  15  euros,  etc.»  son  cantidades  de  una  magnitud  continua  determinada  que  expresamos usando el número. Operación.  Es  un  término  genérico  que  sirve  para  designar  un  cambio,  una  transformación.  El  cambio  puede ser de muchos tipos (cualitativo, aritmético, relativo a la posesión o bien a la forma...) y dar  lugar  a  diversos  tipos  de  operaciones  en  los  diferentes  campos  de  las  matemáticas  elementales  (operaciones lógicas, aritméticas, geométricas...). Cálculo. Es el conjunto de procedimientos que permiten obtener el resultado de una operación. Según el  tipo  de  soporte  empleado,  hablamos  de  diferentes  tipos  de  cálculo:  mental  o  pensado,  cuando  llegamos a un resultado sin recurrir a un algoritmo preestablecido; tecnológico, cuando llegamos a  un  resultado  usando  un  recurso  tecnológico  como  puede  ser  la  calculadora;  escrito  cuando  empleamos los algoritmos para llegar a conocer el resultado de una operación aritmética. Sentido numérico. Es un término muy actual que pone énfasis en la capacitación funcional. Se refiere a la  capacidad  de  aplicar  buenos  razonamientos  cuantitativos  en  situaciones  reales,  o  bien  a  la  capacidad de emplear, en diversos contextos, los números y las operaciones de manera flexible y  poder emitir juicios sobre informaciones y/o resultados numéricos.  La finalidad del trabajo de números y operaciones de los 0 a los 6 años es precisamente ayudar a los niños a adquirir sentido numérico de acuerdo con sus posibilidades y capacidades. Desde esta perspectiva, la  tarea  educativa  de  la  etapa  de  Educación  Infantil  tiene  una  entidad  propia  y  en  ningún  caso  se  debe entender como una pre‐etapa que supone un trabajo preparatorio para otras etapas educativas, sino como un continuo.  En la siguiente tabla se mencionan las principales competencias de tipo cuantitativo que adquieren los niños de las primeras edades.  64  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011   Identifica, definir y/o reconocer  Relacionar cantidades  Operar cantidades  cantidades Reconocimiento de los principales  cuantificadores: muchos, pocos,  todos, ninguno, alguno, etc.  Relaciones de equivalencia:  Noción de cantidad, al menos  clasificaciones por criterios  hasta el 9.  cuantitativos.  Nociones de añadir y sustraer.  Agrupaciones de elementos por  Relaciones de orden:  criterios cuantitativos.  ordenaciones por criterios  Composición y descomposición de  cuantitativos.  cantidades. Representación de las cantidades  con símbolos no estándares.  Correspondencias cuantitativas:  Cálculo mental.  hacer parejas o asociaciones.  Reconocimiento de los números  escritos, al menos hasta el 9.  Seriaciones.  Iniciación de la escritura de los  números. 4.1.3.‐ ¿Cómo se adquieren las nociones de número, cantidad y cálculo aritmético? La adquisición de las nociones de número y de cantidad   Para  entender  cómo  el  niño  adquiere  las  nociones  de  número  y  de  cantidad,  y  a  la  vez  saber diferenciar  ambos  aspectos,  es  necesario  referirse  en  primer  lugar  a  las  aportaciones  del  psicólogo  suizo Jean Piaget y sus colaboradores de la Escuela de Ginebra.  En relación con la adquisición de la noción de número, el objetivo de Piaget y Szeminska es intentar explicar cómo el niño adquiere esta noción mediante el paso de una lógica preintuitiva y egocéntrica a la coordinación racional, deductiva y experimental o, dicho con otras palabras más simples, ver de qué modo se organizan en sistemas operativos estos esquemas sensoriomotores.  La  hipótesis  de  Piaget  y  Szeminska  es  que  la  adquisición  de  la  noción  de  número  es  paralela  al desarrollo  del  razonamiento  lógico‐matemático  (así,  por  ejemplo,  al  nivel  prelógico  le  correspondería  un periodo  prenumérico).  Partiendo  de  esta  hipótesis,  indican  que  el  número  se  va  adquiriendo  etapa  por etapa,  como  síntesis  de  las  dos  estructuras  lógico‐matemáticas  elementales,  que  son  la  clasificación  y  la seriación. Dicho con otras palabras, el concepto de número se adquiere a partir de la conjunción en un solo sistema de dos estructuras sencillas como son el agrupamiento de la inclusión de clase (clasificación) y la seriación de las relaciones de orden (seriaciones).  Llega  un  momento  en  que  las  operaciones  lógicas  y  las  aritméticas  aparecen  como  un  único sistema, en el que las segundas resultan de la generalización de las primeras, pero teniendo en cuenta la supresión de la cualidad. Esta unión de las dos estructuras lógico‐matemáticas elementales no se generaliza inmediatamente  en  todos  los  números,  lo  cual  permite  verificar  que  se  trata  de  un  proceso  sintético  y constructivo  (y  no  de  una  creación  instantánea).  Por  lo  tanto,  no  es  suficiente  que  un  niño  sepa  contar verbalmente «uno, dos, tres...»  para poseer y dominar ya el concepto de número. Un niño de 5 años, por ejemplo, puede ser capaz de numerar una fila de cinco objetos, y pensar en cambio que si se reparten las 5 fichas  en  dos  subconjuntos  de  2  y 3  elementos  respectivamente,  estos  subconjuntos  (o  subclases)  no equivalen a la colección total inicial.  Dicho  esto,  a  continuación  se  produce  el  estudio  empírico  clásico  de  Piaget  y  Szeminska  que  les permitió hacer una importante aportación en la época en relación con la adquisición de número. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   65
    • Tema 4  La  situación  empírica  consistió  en  presentar  a  una  muestra  representativa  de  niños  entre  7  a  10 años fichas alineadas (separadas por una distancia pequeña) y les pedían que hiciesen una colección igual formada por fichas rojas. Los datos empíricos recogidos les permitieron establecer tres fases diferenciadas en la construcción de la noción de número. Greco, un investigador de la Escuela de Ginebra, distinguió un tercer paso intercalado entre las tres fases descritas inicialmente. Según estos autores, las fases que sigue el niño son las siguientes:  Fase 1. El niño hace una fila de la misma longitud, pero sin correspondencia término a término.    Fase 2. Llega un momento en que hace una correspondencia óptica o visual exacta, pero si se distancian los  elementos de una de las filas, el niño piensa que a la fila más larga le corresponde un número más  grande.    Ilustración 5 El niño dice: «Arriba hay más»> «Hay ocho», etc. Fase  3.  En  la  misma  situación  anterior,  el  niño  piensa  que  el  número  se  conserva  pero  que  la  cantidad  aumenta, es decir, se produce una conservación del número de partes pero no de la cantidad total.    Ilustración 6 Dice: «Hay 7, pero ésta es más grande» y señala la más larga. Fase 4. Finalmente, en la misma situación se establece conservación tanto de la cantidad como del número  de partes. El niño dice: «Hay 7 en las dos filas». Es en este momento, cuando el niño es capaz de  conservar, que tiene adquirida la noción de número.  Por  lo  tanto,  la  conservación  es  a  la  vez  la  condición  y  el  resultado  de  la  cuantificación.  Eso  se conoce con el nombre de principio de conservación y, si el niño no lo tiene, difícilmente puede adquirir la noción  de  número.  Los  estudios  de  Piaget  y  Szeminska  concluyeron  que  esto  pasa  justo  a  los  6‐7  años, cuando  el  niño  deja  el  estadio  preoperacional  para  entrar  en  el  período  de  las  operaciones  concretas. Según  estos  autores,  una  vez  efectuado  este  proceso  de  generalización,  y  ya  en  el  estadio  de  las operaciones concretas (6‐12 años) se da lugar a la serie de números enteros finitos (cardinales y ordinales).  Respecto a la noción de cantidad, Piaget e Inhelder se dan cuenta de que una vez el niño tiene los conceptos elementales de cantidad lógica y numérica, los generaliza otra vez y los aplica a los principales aspectos físicos y materiales que le son accesibles: la cantidad de materia, el peso y el volumen físico. Así, indican que hay una forma de cantidad aún más general que el número y crean dos conceptos paralelos: la cantidad  intensiva,  que  se  refiere  al  número,  y  la  cantidad  extensiva,  que  se  caracteriza  por  la 66  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 cuantificación de las magnitudes continuas. El orden de sucesión de la construcción de estas nociones de conservación son, según ambos autores, las siguientes:   • La sustancia: hacia los 8 años aproximadamente.  • El peso: hacia los 9 o 10 años aproximadamente.  • El volumen físico: hacia los 11 años aproximadamente.  En las cantidades extensivas, los niños comparan las partes entre sí sin especificación de la unidad y establecen relaciones de diferencias (crecientes o decrecientes, etc.).  Del  mismo  modo,  los  estudios  piagetianos  han  recibido  numerosas  críticas  por  parte  de  autores neopiagetianos y de otras corrientes de pensamiento (Carretero; Pascual‐Leone; Resnick y Ford), así como algunas  reformulaciones  (Brissiaud;  Kamii).  Es  interesante  destacar  que  la  mayoría  de  estas  críticas  y reformulaciones se centran en tres aspectos:    Críticas que se centran en la teoría de los estadios del desarrollo cognitivo, en que se cuestiona si la  idea  de  etapas  discretas  basada  en  la  aparición  de  ciertas  estructuras  lógicas,  puede  resistir  un  análisis más profundo.   Críticas a la realidad psicológica de las estructuras lógicas, relativas a la relación imprecisa entre los  datos y sus conclusiones sobre la competencia de los niños.   Críticas que se ocupan de la pretensión de que los niños están programados biológicamente para  su desarrollo óptimo en su entorno social normal, y que la enseñanza poca cosa puede hacer para  acelerar o para mejorar la calidad de su funcionamiento lógico. 4.2.‐ Enumerar y contar: concepto e importancia. Principios y fases para contar Aspectos previos al proceso de simbolización. Fases del proceso de simbolización 4.2.1.‐ ¿Qué necesita el niño para construir las nociones de número y operación?   Lo  más  fundamental  es  que  el  niño  no  tropiece  con  quien  considera  que  el  aprendizaje  de  los números y las operaciones se reduce a la lectura y a la escritura de los simbolismos escritos, así como a la práctica  de  operaciones  escritas.  Lo  que  el  niño  necesita  son  oportunidades  para  aprender  y  descubrir aspectos  cuantitativos  de  la  realidad  que  le  rodea  por  sí  mismo.  El  papel  del  adulto  se  debe  basar nuevamente  en  seleccionar  o  bien  diseñar  situaciones  y  materiales  que  se  ajusten  a  las  necesidades  del niño;  proponer  actividades  adecuadas;  ayudar  al  niño  en  sus  búsquedas;  preguntarle  por  aquello  que  ha visto,  experimentado  o  descubierto;  y  reflexionar  juntos  para  ayudar  al  niño  a  ir  adquiriendo  sentido numérico. Más concretamente, las necesidades principales del niño para construir las nociones de número y de operación son las siguientes:   Observar aspectos cuantitativos del entorno cercano, considerando el valor cultural de los mismos  y aprovechando los conocimientos previos que ya tiene.   Vivenciar los aspectos cuantitativos a través de su propio cuerpo.   Utilizar  cuentos,  canciones  y  otros  recursos  populares  como  dichos  o  refranes  en  que  aparezcan  elementos cuantitativos contextualizados. Es interesante dramatizar las situaciones para favorecer  la visualización de las cantidades.   Manipular,  experimentar  y  favorecer  la  acción  sobre  los  objetos  (usando  tanto  materiales  inespecíficos  como  comercializados),  dado  que  es  a  partir  de  la  acción  sobre  los  objetos  como  puede ir creando esquemas de conocimiento relativos a los números y a las operaciones. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   67
    • Tema 4   Relacionar  (comparar,  clasificar,  ordenar...  )  cantidades  de  elementos  perceptivamente  muy  diferentes, para ir superando la primacía de la percepción.   Jugar, si tenemos en cuenta que está en una fase lúdica de su desarrollo.   Una vez garantizada la experimentación y la manipulación con los niños, sobre todo de 3 a 6 años,  se  pueden  usar  otros  soportes  técnicos  que  permitan  la  simulación  de  las  cantidades,  como  el  ordenador, etc.   Se  pueden  plantear  actividades  manipulativas,  experimentales  y  a  través  de  la  simulación  de  cantidades a partir de distintas organizaciones del alumnado: con todo el grupo‐clase, medio grupo  o un grupo reducido; por parejas o individualmente.   En  todas  las  situaciones,  es  necesario  plantear  actividades  que  fomenten  la  estimación  de  cantidades, sin tener el material delante.   El trabajo con lápiz y papel, con un planteamiento de ficha, es secundario y no tiene cabida en estas  primeras edades. Por eso se puede dejar en todo caso para finales de la etapa de Educación Infantil  y, sobre todo, para la etapa de Educación Primaria.   Abandonar  la  insistencia  en  la  enseñanza  de  los  simbolismos  escritos.  Hay  que  valorar  si  resulta  productivo  en  las  primeras  edades  dedicar  tantas  energías  a  «hacer  dibujar»  unos  símbolos  abstractos.  Se  podría  decir  que  la  mayoría  de  niños  no  tienendificultades  en  conseguirlo,  pero  el  problema radica en lo que se ha dejado de hacer para conseguir esto.   Verbalizar  las  observaciones,  las  acciones  y  los  descubrimientos  cuantitativos  efectuados,  valorando lo que pueden aportar los aspectos cuantitativos al diálogo, y el valor que puede aportar  el diálogo a los aspectos cuantitativos.   Es necesario programar este tipo de actividades de manera sistemática durante todo el curso, de  una a dos veces por semana, es decir, con un planteamiento cíclico, no lineal.   Basar  el  aprendizaje  de  los  aspectos  cuantitativos  en  un  enfoque  global,  a  partir  de  actividades  contextualizadas. 4.2.2.‐  ¿Qué  actividades  de  números  y  operaciones  pueden  hacerse  en  el  jardín  de infancia?   Las diversas posibilidades para hacer actividades con un componente importante de aspectos que cuantifican la realidad en el jardín de infancia son los siguientes:  a. A partir de la vida cotidiana   b. A partir del material inespecífico   c. A partir de juegos diseñados didácticamente   Como se puede observar, sigo el mismo esquema que en el bloque temático anterior. Es decir, no se  trata  de  hacer  actividades  diferentes  a  las  referentes  al  razonamiento  lógico‐matemático,  sino  de analizar cada una de estas distintas posibilidades desde un punto de vista cuantitativo. A partir de la vida cotidiana   En  el  jardín  de  infancia  surgen  infinidad  de  situaciones  espontáneas  que  tienen  un  componente cuantitativo  implícito.  Es  importante  que  el  educador  sepa  leer  matemáticamente  estos  momentos  y aprovecharlos  para  ayudar  a  los  niños  a  comprender  el  significado  de  los  cuantificadores,  las  primeras cantidades,  o  bien  las  relaciones  entre  cantidades.  Hay  diversos  trabajos  en  que  se  muestran  diversas situaciones cotidianas que se aprovechan para trabajar aspectos cuantitativos. A continuación se presentan algunos ejemplos:  68  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 Situación 1. La llegada a la escuela. La llegada a la escuela es un momento en que las rutinas tienen un gran  protagonismo:  nos  saludamos,  los  niños  dejan  la  chaqueta  y  el  resto  de  objetos  personales  en  el  lugar  donde  le  corresponde,  y  nos  sentamos  en  círculo  mientras  van  llegando  todos  los  compañeros.  Surgen  múltiples  situaciones:  «entra  un  niño,  entran  muchos  niños,  hoy  hay  pocos  niños, están todos los niños, faltan dos niños, no falta nadie», etc. Situación  2.  La  hora  del  recreo.  Los  niños  hacen  muchas  actividades  espontáneamente,  y  participan  en  muchos juegos. Por ejemplo, los más grandes hacen montones de arena en el arenero: con mucha  o con poca arena, retiran arena y el montón es más pequeño, añaden arena  y el montón es más  grande. Juegan muchos niños juntos, un niño se ha caído, etc. Situación  3.  La  celebración  de  una  fiesta  de  cumpleaños.  El  día  del  cumpleaños  es  una  fecha  muy  importante  para  los  niños.  Son  los  protagonistas  de  un  hecho  que  ellos  aún  no  han  acabado  de  entender,  pero  los  adultos  les  hacemos  darse  cuenta  de  la  trascendencia  de  este  acontecimiento  comiendo  un  pastel,  soplando  una  determinada  cantidad  de  velas,  cantando  una  canción,  colocando una corona en la cabeza, o bien enseñándoles a representar con los dedos los años que  tienen.  Todos  estos  hechos  están  llenos  de  aspectos  cuantitativos:  ciertamente  es  complejo  explicarles  qué  quiere  decir  cumplir  tres  años,  dado  que  habría  que  partir  de  informaciones  que  provienen del mundo de la astronomía e incluso de la física (un año es el tiempo que tarda la Tierra  en dar la vuelta al Sol) que es difícil que un niño de esta edad pueda comprender. Ahora bien, sí  que puede servir para comprobar la cantidad de velas, visualizar a través de fotografías que todos  los niños del mismo grupo soplan la misma cantidad de velas el día de su aniversario, etc. En este  sentido,  me  gustaría  explicar  una  anécdota  representativa  que  hace  poco  me  explicó  una  buena  maestra,  muy  observadora:  «Hacía  poco  que  una  niña  había  celebrado  su  tercer  cumpleaños,  y  lógicamente había soplado tres velas en el pastel. Al cabo de pocos días fue el cumpleaños de su  padre, que cumplía treinta y ocho años, y ella esperaba con mucha ilusión poder soplar un pastel  con muchas velas, porque ya tenía interiorizado que su padre cumplía muchos más años que ella.  Pero su sorpresa y su desengaño fueron enormes cuando en el momento de ver el pastel sólo había  una vela (que indicaba con un número escrito los años que cumplía el padre). Buscaba y miraba sin  parar, hasta que rompió a llorar sin que los adultos entendiesen el motivo del llanto. Ella misma se  encargó  de  aclararlo,  ¡cuando  preguntó  dónde  estaban  todas  las  velas  del  pastel  de  su  padre!».  Evidentemente,  el  razonamiento  de  la  niña  fue  muy  correcto,  pero  los  adultos  no  le  habían  permitido hacer la comprobación que ella necesitaba para reafirmar aquello que ya sabía. He aquí  un ejemplo en que confluyen las diferentes dimensiones de la cantidad: la numérica, la social y la  lingüística. Situación  4.  La  hora  de  comer.  Los  niños  participan  en  la  actividad  de  poner  y  quitar  la  mesa.  Cuando  la  maestra da los cubiertos al niño para que los reparta  al  resto de compañeros, le puede decir: «te  doy  dos  tenedores,  pon  un  cuchillo  en  cada  plato»,  etc.  El  reparto  de  la  comida  es  un  momento  importante para trabajar las cuantificaciones: «comes mucha sopa, comes una tortilla, comes tres  croquetas», etc. Muchas veces, no obstante, el ritmo acelerado que nos imponemos impide que los  niños  observen  estos  aspectos  cuantitativos.  Por  ejemplo,  podemos  permitir  o  no  que  un  niño  compruebe que está comiendo dos trozos de carne rebozada, según si la troceamos o no antes de  hacer la comprobación. Situación 5. El momento de la siesta. Es otro momento adecuado para verbalizar múltiples situaciones con  componentes cuantitativos: hay una litera sin ningún niño, cada niño duerme en una litera, etc. Situación 6. La despedida. En el momento de irse las rutinas vuelven a adquirir un gran protagonismo: nos  decimos adiós y damos un beso y un abrazo a la maestra, cada niño coge su chaqueta y su bolsa, se  llevan un papel, etc. aprovechar muchos otros recursos que nos ofrece el entorno.  En todos los casos se trata, simplemente, de que el adulto verbalice los distintos cuantificadores, las  cantidades,  las  relaciones  cuantitativas,  etc.,  para  que  el  niño  lo  vaya  interiorizando  a  partir  de  un contexto significativo. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   69
    • Tema 4 A partir de material inespecífico   Por  material  inespecífico  entendemos  aquel  tipo  de  material  que  inicialmente  no  tiene  una finalidad didáctica, como puede ser el material de deshecho, el material que proviene de la naturaleza, etc. En cualquier jardín de infancia hay una gran variedad de estos materiales, hay que tener mucho cuidado a la hora de escogerlos: se  debe  procurar que sean cercanos al niño, que sean fácilmente sustituibles, que permitan un control higiénico y, desde el punto de vista cuantitativo, que haya de dos tipos:    Discontinuo o concreto, es decir, que se pueda contar de uno en uno: calabazas, conchas, botones,  esponjas, objetos de madera, de metal, de goma, piedras, objetos de piel, ropa, frutas, etc.   Continuo: arena, harina, barro, plastilina, etc.  Con este tipo de material inespecífico se puede hacer un abanico muy amplio de actividades que, aparte del trabajo sensorial, implican el uso de cuantificadores y las cantidades elementales, las relaciones cuantitativas  (clasificaciones  y  ordenaciones  a  partir  de  criterios  cuantitativos,  correspondencias cuantitativas, etc.) o bien las primeras actividades de operar cantidades (añadir y sustraer). A partir de juegos y materiales diseñados didácticamente   En la selección del material se deberían tener en cuenta los criterios genéricos siguientes:   • Que estén hechos con materiales ricos sensorialmente, higiénicos y seguros.  • Que estén en buenas condiciones (no estropeados).  • Que sean adecuados para la edad o un poco por encima.  • Que sean adecuados al lugar (clase, patio, otros espacios...).  • Que no ocupen todo el espacio.  • Que provoquen la acción espontánea de los niños, que sean sugerentes.  • Que faciliten la concentración, la habilidad, la imaginación, etc.  • Que aporten la posibilidad de nuevas acciones.  Nos  vamos  a  centrar  en  los  materiales  que  habéis  trabajado  en  los  grupos  de  expertos.  La descripción de los mismos se pondrá en los anexos de este tema 4.2.3.‐ ¿Qué actividades de números y operaciones se pueden hacer en el parvulario?  Como bloque temático anterior, las actividades se pueden estructurar en tres grandes grupos:  a. Identificar, definir y/o reconocer cantidades  b. Relacionar cantidades  c. Operar cantidades  A continuación se exponen los principales tipos de actividades y el lenguaje matemático específico en cada bloque. Identificar, reconocer y/o reconocer cantidades  Este  bloque  de  actividades  tiene  como  objetivo  que  los  niños  de  3  a  6  años  identifiquen  los cuantificadores básicos del entorno: muchos, pocos, todos, ninguno, algunos, etc.; así como las cantidades elementales:  el  currículum  oficial  establece  que  los  niños  de  Educación  Infantil  tendrían  que  conocer  las cantidades hasta el 9, a pesar de que hay que considerar que la realidad de los niños está llena de números, y por ello a menudo pueden superar este nivel de conocimiento. No tiene por qué desaprovecharse por el 70  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 hecho de que no toca, sino que hay que integrarlo dentro de la actividad en el aula y hacer las mediaciones necesarias para que los puedan utilizar significativamente, adquiriendo así el sentido numérico necesario.  El núcleo de este bloque de actividades, pues, es que el niño observe los aspectos cuantitativos del entorno que le rodea y que manipule y experimente con distintas cantidades de elementos. En cambio, la representación escrita de las cantidades adquiere un papel secundario.  Se  pueden  llevar  a  cabo  dos  grandes  tipos  de  actividades  de  identificar,  definir  y/o  reconocer cantidades:  • De reconocimiento de cantidades.  • De agrupaciones de elementos por criterios cuantitativos.  Todas  estas  actividades  se  tienen  que  basar  sobre  todo  en  la  observación,  la  manipulación  y  la experimentación  con  distintos  materiales.  Se  pueden  hacer  a  partir  de  múltiples  recursos  que  se encuentran desarrollados más tarde.  El  trabajo  escrito  de  las  cantidades  tiene  una  importancia  secundaria  en  el  parvulario.  Aún  así,  al iniciar la representación escrita de las cantidades estaría bien considerar los criterios siguientes:   Las primeras representaciones de las cantidades se pueden hacer utilizando grafismos distintos de  los números convencionales. Por ejemplo, para representar la cantidad tres podemos usar distintas  representaciones:     Al iniciar la representación escrita de la grafía convencional (por ejemplo, 3), habría que respetar el  proceso evolutivo de los niños desde la motricidad gruesa hasta la motricidad fina: hacer recorridos  encima de la grafía representada en el suelo, marcando la direccionalidad; reseguir grafías hechas  con distintos materiales (papel de lija, algodón, etc.) con la palma de la mano; hacer las primeras  representaciones en papeles que no impliquen una limitación de espacio (por ejemplo, un mural) y  con pintura, usando la palma de la mano o el dedo; continuar con representaciones en papeles de  espacio más limitado (por ejemplo, medida DIN A‐3) e instrumentos que impliquen hacer la pinza,  como un pincel grueso; finalmente se pueden utilizar papeles de medida convencional (DIN‐A4) e  instrumentos de escritura también convencionales (ceras, lápices, etc.).  De  forma  más  concreta,  en  el  siguiente  cuadro  se  expone  una  propuesta  de  distribución  de actividades de identificar, definir y/o reconocer cantidades por grupos de edades, teniendo en cuenta que la distribución de actividades por criterios de edad siempre debe considerarse de forma relativa y flexible. Esta  propuesta  es  orientativa,  y  nos  servirá  para  asegurarnos  de  que  los  niños  interioricen  la  noción  de número al menos hasta el 9, cosa que no es incompatible con el hecho de que se trabaje con cifras mucho mayores, teniendo en cuenta que su contexto inmediato está lleno de ellas.  Actividades de identificar, definir y/o reconocer cantidades en el parvulario  3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años  Reconocer cuantificadores  Reconocer las cantidades hasta el  Reconocer las cantidades hasta el  elementales, muchos, pocos,  6‐7 aproximadamente.  9 aproximadamente.  todos, alguno, ninguno.  Reconocer el conjunto que no  Hacer agrupaciones de hasta 9 Reconocer las cantidades hasta el  tiene ningún elemento, y  elementos por criterios  4 aproximadamente.  asociarlo con el número 0.  cuantitativos. Hacer agrupaciones de hasta 3‐4  Hacer agrupaciones de hasta 6‐7  Representar las cantidades  elementos por criterios  elementos por criterios  trabajadas con distintos símbolos  cuantitativos.  cuantitativos.  no convencionales.  Iniciar la representación de las  Representar las cantidades  Lectura de números a partir de los Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   71
    • Tema 4  Actividades de identificar, definir y/o reconocer cantidades en el parvulario  3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años  cantidades trabajadas con  trabajadas con distintos símbolos  símbolos convencionales.  distintos símbolos no  no convencionales.  Reconocer los números ordinales  convencionales.  Lectura de números a partir de  básicos. Lectura de números a partir de los  símbolos convencionales.  Iniciarse en la escritura de las  símbolos convencionales:  Reconocer los números ordinales  grafías de los números dígitos.  1, 2, 3, etc.  básicos.  A  continuación  se  expone  el  vocabulario  matemático  específico  de  las  actividades  de  identificar, definir  y/o  reconocer  cantidades  que  tienen  que  usar  con  competencia  los  niños  de  las  edades  de referencia, es decir, de los 3 a los 6 años aproximadamente:  Lenguaje matemático de las actividades de identificar, definir y/o reconocer cantidades en el parvulario   3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años  ORAL  ORAL  ORAL  Nombres de los principales  Nombre de los números naturales  Nombre de los números naturales  cuantificadores: muchos, pocos,  de los cuales conocen el valor o el  de los cuales conocen el valor o el  todos, alguno, ninguno.  significado (en esta edad va  significado (en esta edad es Nombre de los números naturales  alrededor del 7  alrededor de 9‐10  de los cuales conocen el valor o  aproximadamente).  aproximadamente)  significado. Eventualmente  Nombre de los números ordinales  Nombre de los números ordinales pueden decir en nombre de otros  más comunes en la vida cotidiana.  más comunes en la vida cotidiana.  números, pero hay que tener en  cuenta que son simples  aprendizajes mecánicos y, por lo tanto, no van asociados a ningún  valor (cuantitativo, social o bien  cultural). Nombre de los primeros números  ordinales: primero, segundo.  GRÁFICO  GRÁFICO  GRÁFICO Representar las cantidades hasta  Representar las cantidades hasta  Representar las cantidades hasta  el 3‐4 con grafías no  el 6‐7 con grafías no  el 9‐10 con grafías no  convencionales.  convencionales.  convencionales.  Reconocer las grafías de los  Reconocer las grafías de los  Iniciarse en la representación de  primeros números naturales.  primeros números naturales.  las grafías convencionales.  Reconocer las grafías de los  primeros números naturales. Relacionar cantidades  El objetivo fundamental aquí es que los niños de 3 a 6 años comparen y relacionen agrupaciones de elementos para ir ayudando en el proceso de construcción de la noción de número. Como se ha dicho en otras ocasiones, al comparar es importante tener en cuenta el aspecto perceptivo, ya que los niños de estas edades aún se rigen por la percepción, más que por el valor cardinal. Esto quiere decir que si se les hace comparar cantidades de elementos perceptivamente muy diferentes, pueden cometer errores a causa de la primacía de la percepción, y por eso hay que diseñar actividades que permitan ir superando esta limitación.  Hay dos tipos de actividades de relacionar cantidades:   Las relaciones entre conjuntos, en que se comparan cantidades de elementos de una agrupación:  clasificaciones y ordenaciones por criterios cuantitativos. 72  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011   Las  correspondencias  cuantitativas,  en  que  se  relacionan  cantidades  de  elementos  de  diferentes  agrupaciones: parejas y seriaciones.  A continuación se exponen algunos ejemplos de actividades: Clasificaciones.  Esta  actividad  consiste  en  hacer  subgrupos  de  elementos  a  partir  de  un  criterio  cuantitativo.  Por  ejemplo,  jugar  a  hacer  montones  de  tres  con  los  niños  de  la  clase:  clasificar  los  niños a partir de los montones de piedras que han recogido en  una salida, según si han recogido  más  de  cinco  o  menos  de  cinco,  etc.;  observar  y  dialogar  sobre en  qué  montón  hay  más, en  cuál  menos, cuáles son iguales desde un punto de vista cuantitativo, etc. A continuación se muestra un  ejemplo:  Criterio: Yo tengo las mismas manzanas que tú.   Ordenaciones.  Esta  actividad  consiste  en  ordenar  subgrupos  de  elementos  a  partir  de  un  criterio  cuantitativo. Por ejemplo, ordenar a los niños a partir de los montones de piedras que han recogido  en la salida, desde el que ha recogido menos hasta el que ha recogido más, etc.; como en el caso  anterior, observar y dialogar sobre en qué montón hay más, cuáles son iguales desde un punto de  vista cuantitativo, etc. Observad el ejemplo siguiente:  Criterio: Yo tengo más manzanas que tú.   Correspondencias  cuantitativas.  Estas  actividades  sirven  para  relacionar  los  elementos  de  distintas  agrupaciones. Por ejemplo. poner dos lápices en cada bote, donde relacionamos los lápices con los  botes; o bien repartir tres folios a cada niño, relacionando en este caso los folios con los mismos  niños. A continuación se muestra un ejemplo:  Criterio: Dos manzanas a cada manzano.   Seriaciones.  Se  relacionan  grupos  de  elementos  por  copia,  es  decir,  se  da  un  modelo  y  se  repite  tantas  veces como se quiera, hasta que se acabe el material, por ejemplo. La relación entre los elementos  es  cualitativa,  como  se  ha  comprobado  en  el  apartado  del  razonamiento  logicomatemático,  pero  también cuantitativa, dado que se va sucediendo una misma cantidad de elementos como puede  verse en el ejemplo siguiente: Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   73
    • Tema 4  Criterio: Dos manzanas amarillas, una roja.    A  continuación  se  expone  una  propuesta  de  distribución  de  actividades  de  relacionar  cantidades por distintos grupos de edades.  Actividades de relacionar cantidades en el parvulario  3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años  Relaciones entre conjuntos:  Relaciones entre conjuntos:  Relaciones entre conjuntos:  clasificar y ordenar grupos de  clasificar y ordenar grupos de  clasificar y ordenar grupos de  elementos por criterios  elementos por criterios  elementos por criterios  cuantitativos sencillos.  cuantitativos más complejos.  cuantitativos.  Correspondencias cuantitativas  Correspondencias cuantitativas  Correspondencias cuantitativas  sencillas de la vida cotidiana y de  propias de la vida cotidiana y de  propias de la vida cotidiana y de  situaciones de juego.  situaciones de juego.  situaciones de juego.  Seriaciones sencillas: ritmos,  Seriaciones sencillas: ritmos,  Seriaciones sencillas: ritmos, movimientos, objetos cotidianos,  movimientos, objetos cotidianos,  movimientos, objetos cotidianos,  etc.  etc.  etc. En todas las actividades indicadas  Nuevamente, en todas las  Nuevamente, en todas las es importante no superar el valor  actividades indicadas es  actividades indicadas es  que los niños pueden  importante no superar el valor  importante no superar el valor  comprender, Que en esta edad  que los niños pueden  que los niños pueden  acostumbra ser el 3‐4  comprender, que en esta edad  comprender, que en esta edad  aproximadamente  acostumbra ser 6‐7  acostumbra ser el 9‐10  aproximadamente.  aproximadamente.  Se puede comenzar a plantear  actividades de forma gráfica,  utilizando la flecha como lenguaje  de relación.  Se pueden comenzar a plantear  actividades manipulativas  inversas, en las que los niños  tengan que adivinar el criterio  cuantitativo.  En el cuadro siguiente se puede observar el vocabulario matemático específico de las actividades de relacionar cantidades:  Lenguaje matemático de las actividades de relacionar cantidades en el parvulario  3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años  ORAL   ORAL   ORAL   Más... que   Más... que   Más... que   Menos... que   Menos... que   Menos... que   Igual... que   Igual... que   Igual... que   Tanto… como  Tanto… como  Tanto… como   GRÁFICO   GRÁFICO  GRÁFICO   Eventualmente, diagramas para  Diagramas para hacer  Flecha.  hacer clasificaciones  clasificaciones. 74  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011 Operar cantidades  Este  bloque  de  actividades  se  refiere  propiamente  al  cálculo  aritmético,  mientras  que  los  dos anteriores ‐de identificar y relacionar cantidades‐ se refieren a la adquisición de la noción de número. La finalidad de las actividades de operar cantidades es que los niños de 3 a 6 años consoliden las nociones de añadir y de sustraer de una manera significativa y adecuada a sus necesidades. Las actividades que ofrecen una  respuesta  adecuada  a  sus  necesidades  se  basan  sobre  todo  en  la  observación,  la  manipulación,  la experimentación y la imaginación (o representación mental) de las acciones de añadir y de sustraer. Desde un  primer  momento,  pues,  quiero  dejar  claro  que  la  pretensión  no  es  que  los  niños  hagan  operaciones escritas  del  tipo  3+2=5,  utilizando  simbolismos  matemáticos  abstractos.  Este  tipo  de  cálculo,  y  así  lo explicita el mismo Currículum, tiene una importancia secundaria, y por otra parte es mucho más propio de la etapa de Educación Primaria. Esto es así porque el cálculo escrito comporta un grado de abstracción que a menudo los niños del parvulario aún no tienen, pero sí que hay que ir ayudándoles a obtenerlo. Por eso es  tan  importante  hacer  actividades  manipulativas  y  experimentales,  pero  sabiendo  retirar  el  material progresivamente para que comiencen a imaginar o a hacer representaciones mentales de las cantidades, y así poder ir hacia el cálculo mental, que es el verdadero cálculo.  Hay distintos tipos de actividades de operar cantidades que se tienen que trabajar en el parvulario:    La noción de añadir asociada a las acciones de juntar, unir o reunir, agrupar, etc.   La noción de sustraer asociada también a las acciones de separar, coger, esconder, etc.   Composición y descomposición de cantidades.   Inicio del cálculo mental.   Todas las actividades mencionadas se pueden hacer a partir de la observación de las acciones de añadir y sustraer en el entorno cercano, a partir de la dramatización de cuentos, canciones y otros recursos populares;  utilizando  distintos  tipos  de  materiales  manipulables,  juegos  o  bien  recursos  informáticos.  De todas  maneras,  hay  que  tener  en  cuenta  que  llega  un  momento  en  que  es  bueno  retirar  el  material  y fomentar  la  imaginación  de  cantidades  para  trabajar  el  cálculo  mental.  Hay  distintos  recursos  no comercializados para trabajar el cálculo desde este punto de vista: Máquina  de  cambiar  cantidades.  Es  como  la  máquina  de  cambiar cualidades que se ha descrito en el bloque  temático anterior, pero ahora su función es cambiar  cantidades.  Consiste  en  una  caja  de  una  medida  determinada (desde una caja de zapatos hasta una  caja de nevera) que se decora para que simule una máquina, como se ilustra en la imagen. Máquina  de  añadir.  Es  una  máquina  muy  sencilla  que  tiene  dos  separaciones,  una  fija  y  la  otra  flexible,  que  se  pueda  tumbar.  Se  trata de poner materiales concretos a las dos partes separadas por  una separación fija, y entonces tapar la caja, tumbarla y dejar que  estos materiales se deslicen hacia la parte que tiene la separación  flexible,  de  modo  que  se  puedan  reunir.  El  niño  debe  hacer  una  estimación  del  resultado  y  a  continuación  puede  comprobarlo  levantando la tapa de la caja. Máquina  de  añadir  y  sustraer.  Es  otro  tipo  de  máquina  para  trabajar  las  nociones  de  añadir  y  sustraer  que  tiene  dos  agujeros  en  la  parte  superior que sirven para añadir, uno en una cara lateral que sirve para  sustraer  y  otro  en  otra  cara  lateral  que  sirve  para  comprobar  el  resultado una vez se ha realizado el cálculo mental.  Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   75
    • Tema 4  Otros  recursos  para  trabajar  el  cálculo  mental.  Hay  numerosas  situaciones  interesantes  para  trabajar  el  cálculo  mental  en  el  parvulario:  situaciones  cotidianas;  baterías  de  cálculo  mental,  como  las  que  ofrecen  el  Grup  Quinzet  (www.quinzet.org);  o  bien  recursos  más  o  menos  caseros,  pero  muy válidos, como el dominó de  cálculo mental. Este dominó se  basa en  unas  láminas  gruesas,  de  medida  DIN‐A5  aproximadamente,  con  las  cantidades  del  dominó  pero  teniendo en cuenta que cada cantidad se expresa con un color diferente.  Se trata de leer las cantidades y decir operaciones: dos y cuatro hacen seis, de dos para llegar a tres falta una, de tres quitamos dos y nos queda una, etc.  En  la  siguiente  tabla  se  expone  una  síntesis  de  las  actividades  de  operar  cantidades  que  pueden hacer los niños de 3 a 6 años.  Actividades de operar cantidades en el parvulario  3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años Composición y descomposición de  Composición y descomposición de  cantidades hasta 3‐4  cantidades de hasta 9‐10  aproximadamente.  aproximadamente.  Observar las acciones de añadir y  Composición y descomposición de  Observar las acciones de añadir y  de sustraer en el entorno  cantidades de hasta 6‐7  sustraer en el entorno cercano,  cercano, tanto con material  aproximadamente.  tanto con material continuo como  continuo como concreto o  Observar las acciones de añadir y  concreto o discontinuo, con  discontinuo, con unas cantidades  sustraer en cuentos, canciones,  cantidades de hasta 9‐10  hasta 3‐4 aproximadamente.  dichos populares, etc. con  aproximadamente.  Observar las acciones de añadir y  cantidades de hasta 6‐7  Observar las acciones de añadir y  sustraer en cuentos, canciones,  aproximadamente.  de sustraer en cuentos,  dichos populares, etc., con  Añadir, juntar, reunir, separar...  canciones, dichos populares, etc.,  cantidades hasta 3‐4  dos grupos formados por un  con cantidades de hasta 9‐10  aproximadamente.  objeto cada uno o bien por dos o  aproximadamente.  Añadir, juntar, reunir, separar…  tres objetos, de acuerdo con las  Añadir, juntar, reunir, separar…  dos grupos formados por un  posibilidades de los niños y de las  dos grupos formados por un  objeto cada uno o bien por dos o  niñas.  objeto cada uno o bien por dos o  tres objetos, de acuerdo con las  Juegos de cálculo (simbólicos  tres objetos, de acuerdo con las  posibilidades de los niños y de las  como compra‐venta, de mesa, de  posibilidades de los niños.  niñas.  cartas, etc.), con cantidades de  Juegos de cálculo (simbólicos  Juegos de cálculo (simbólicos  hasta 6‐7 aproximadamente.  como compra‐venta, de mesa, de  como compra‐venta, de mesa, de  Juegos de ordenador, con  cartas, etc.), con cantidades de  cartas, etc.), con cantidades de  cantidades de hasta 6‐7  hasta 9‐10 aproximadamente.  hasta 3‐4 aproximadamente.  aproximadamente.  Juegos de ordenador, con  Juegos de ordenador, con  Máquinas de cambiar cantidades,  cantidades de hasta 9‐10  cantidades de hasta 3‐4  de añadir, de añadir y sustraer,  aproximadamente.  aproximadamente.  con cantidades hasta 6‐7  Máquinas de cambiar cantidades:  Máquinas de cambiar cantidades,  aproximadamente.  de añadir o de sustraer, con  de añadir, de añadir y sustraer,  Dominó de cálculo mental  cantidades de hasta 9‐10  con cantidades de hasta 3‐4  apropiado a la edad.  aproximadamente.  aproximadamente.  Situaciones problemáticas  Dominó de cálculo mental  Dominó de cálculo mental  sencillas de cálculo mental.  apropiada a la edad.  apropiado a la edad.  Situaciones problemáticas  Situaciones problemáticas  sencillas de cálculo mental.  sencillas de cálculo mental.  76  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Lenguaje matemático de las actividades de operar cantidades en el parvulario  3‐4 años  4‐5 años  5‐6 años  Añadir, juntar, agrupar.  Añadir, juntar, agrupar.  Añadir, juntar, agrupar.  Quitar, separar, esconder.  Quitar, separar, esconder.  Quitar, separar, esconder.  Sumar, unir y reunir.  Sumar, unir y reunir.    Restar.  Restar.  Descomponer y componer. 4.3.‐  Juegos  que  no  precisan  ningún  material  y  juegos  con  materiales  de  fácil construcción Observación  de  cantidades  en  el  entorno  cercano.  Los  niños  observan  aspectos  cuantitativos  de  un  entorno conocido, por ejemplo, de la plaza que hay en el pueblo o en el barrio donde está ubicada  la  escuela.  Este  tipo  de  actividad  de  matematización  de  la  realidad  se  puede  planificar  en  tres  momentos diferenciados:     Preparación previa. Se informa de la visita matemática a la plaza y de la actividad matemática que  se quiere llevar a cabo. Se puede hacer una lista de los materiales necesarios para llevar a cabo la  visita. Los distintos recursos que acostumbran salir son: papel, lápiz de colores, goma, cámara de  vídeo o digital, etc.   Visita matemática. Una vez en la plaza, se hacen grupos de 3 o 4 niños aproximadamente y se deja  que cada grupo trabaje y observe libremente, pero con la consigna previa de que cuando observen  una  cantidad  la  dibujen  o  bien  pidan  una  foto  o  una  grabación  de  vídeo.  Paralelamente,  el  educador hace las fotografías que considere necesarias para un trabajo posterior.    Diálogo posterior en el aula. Se muestran los dibujos donde están representadas las cantidades, las  fotografías, se pasa el vídeo del entorno observado, y se ponen en común las observaciones que se  han hecho, fomentando el diálogo y la participación de todos. Salen múltiples aspectos: en toda la  plaza hay dos filas con diez árboles en cada fila; hay un tobogán con seis escalones; hay una fuente;  hay seis bancos; hay una estatua con un número muy grande escrito: 1856 (que se refiere al año de  nacimiento del personaje); etc.  Si se considera necesario, se puede elaborar un pequeño dossier con dibujos e imágenes para que los niños puedan explicar su trabajo en casa, y a la vez satisfacer la necesidad de algunos padres de ver en formato papel el trabajo de sus hijos. Dramatización  a  partir  de  canciones,  cuentos,  dichos  y  otros  recursos  populares.  Se  trata  de  presentar  una canción, o bien explicar un cuento a partir de imágenes, para que los niños puedan visualizar  las  cantidades.  Para  vivenciar  estas  cantidades,  se  aconseja  representar  las  canciones  o  bien  los  cuentos trabajados previamente con los mismos niños. Manipulación  y  experimentación  de  cantidades  con  distintos  materiales.  Se  trata  de  que  los  niños  interaccionen libremente con distintos tipos de materiales. En la selección de estos materiales hay  que tener en cuenta que haya una gran variedad de los mismos desde un punto de vista perceptivo,  dado que  en estas edades hay aún una primacía de la percepción. Eso hace que a menudo los niños  le den prioridad a la medida de los objetos en contraposición a su valor cardinal. Por ejemplo, tres  cajas  de  zapatos  grandes  pueden  ser  más  que  tres  botones  de  medida  reducida.  Los  distintos  materiales  que  seleccionamos  pueden  proceder  de  la  naturaleza  (hojas,  piedras,  palos,  castañas,  conchas, etc.); materiales reciclados (cajas de diferentes formas y medidas, botellas, tapones, etc.);  materiales comercializados sin ni una finalidad didáctica inicial (botones, anillas de madera, etc.); o  bien materiales didácticos (piezas de madera o de plástico de diferentes formas y medidas: cuerpos Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   77
    • Tema 4  geométricos, piezas de fruta de plástico, etc.). Se trata de que libremente hagan agrupaciones de  objetos  y  que  las  expresen  cuantitativamente:  «tengo  tres  piedras,  tengo  muchos  botones  y  tú  pocos",  etc.  Después  de  las  actividades  más  libres,  también  se  pueden  hacer  actividades  más  dirigidas a partir de consignas, como agrupar los elementos de tres en tres, etc. Juegos  numéricos.  Si  tenemos  en  cuenta  que  los  niños  de  3  a  6  años  están  en  una  fase  eminentemente  lúdica  de  su  desarrollo,  éste  es  un  recurso  indispensable  para  aprender  matemáticas.  Se  pueden  utilizar muchos tipos de juegos: libres o estructurados, de patio, de tablero, etc. Hay que integrarlos  en  la  programación  de  actividades  de  una  forma  seria  y  rigurosa,  planificando  las  sesiones:  seleccionar  los  juegos  que  se  quieren  usar,  determinar  las  competencias  que  se  quieren  asumir,  concretar la evaluación de las actividades lúdicas, etc. Sólo así el juego dejará de estar dentro de un  instrumento  metodológico  secundario  que  únicamente  utilizan,  en  algunas  ocasiones,  aquellos  niños  más  ágiles  en  la  realización  de  tareas  escolares  y  que,  al  acabar  antes  las  actividades  programadas, se les permite jugar como premio.  Algunos ejemplos posibles de juegos  Nombre  Descripción  ¿Qué trabajamos?  del juego El reloj  Dos  niños  o  dos  adultos  hacen  dar  vueltas  a  la  cuerda.  Los  Contar hasta 12.   niños  se  tienen  Que  colocar  en  un  lado  haciendo  una  fila.  Serie  numérica.  (Se  puede  Mientras  la  cuerda  da  vueltas,  tienen  Que  intentar  pasar  por  adaptar  a  las  distintas  debajo  hacia  el  otro  lado,  enumerándose  y  evitando  el  edades).  contacto de cualquier parte del cuerpo con la cuerda.   Un,  dos,  Juego colectivo. Un jugador de cara a la pared y de espaldas a  Contar  hasta  3.  Serie tres,  toca  los demás. El resto se colocan de cara a él, pero más lejos. El  numérica. pared  Que la lleva pone las manos planas contra la pared y dice «un,  dos, tres, toca pared, un, dos, tres, ya». Cuando el niño acaba  de  decir  su  frase  se  gira  de  golpe  y  los  demás  tienen  que  permanecer  inmóviles.  El  que  es  sorprendido  moviéndose  debe volver al principio.  El  primero  que  llega  al  lado  del  que  la  lleva  le  ha  de  dar  un  golpecito  en  la  espalda  y  entonces  debe  intentar  atrapar  a  alguno, que será el que la lleve la vez siguiente. La oca  Juego  de  mesa  con  un  inicio,  un  final  y  unas  casillas  con  Reconocer  cantidades  y  trampas.  Hay  dos  dados  y  seis  fichas  para  avanzar  por  el  operar  (añadir)  cantidades.  tablero.   (Hay  que  adaptar  los  dados    según  la  edad  de  los  alumnos). Parchís  Juego de mesa con 4 salidas y un final. Hay 2 dados y 26 fichas  Reconocer  cantidades  y  (de 4 colores diferentes, un color por jugador).  operar (añadir) cantidades. Dominó  Juego  de  mesa  en  el  que  las  piezas  tienen  representadas  dos  Reconocer  y  relacionar  cantidades,  del  cero  al  seis,  una  en  cada  mitad  de  la  pieza.  cantidades, hacer parejas.  Todas  estas  cantidades  están  combinadas  con  ellas  mismas.  Hay muchas variantes aparte del dominó convencional. Paquetes  Los  niños  se  mueven  con  la  música.  Cuando  para,  la  maestra  Reconocer  y  relacionar  dice  «paquetes  de...»  y  los  niños  se  tienen  que  juntar  en  cantidades: clasificaciones.  grupos de tantos niños como el número mencionado. Pilla pilla  Un niño cuenta y tiene que pillar a los otros niños que corren  Contar  hasta  10,  20,  30...  por el patio. El niño Que sea pillado, la llevará. Se puede jugar  dependiendo  de  la  edad.  en el patio o en el parque.  (Se puede adaptar). 78  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Algunos ejemplos posibles de juegos  Nombre  Descripción  ¿Qué trabajamos?  del juego Los  dedos  Se  pone  un  niño  con  la  cabeza  en  la  falda  de  la  maestra,  se  Reconocer cantidades por el en  la  acercan  unos  cuantos  niños,  uno  por uno,  ponen  un  dedo  en  tacto. espalda  su espalda. El niño tiene que adivinar cuántos dedos hay. La rayuela  Juego de patio donde se dibuja una estructura con diferentes  Reconocer  los  números  cuadrados y el cielo al final. Hay que tirar una piedra en cada  hasta el 8.  uno  de  los  recuadros,  siguiendo  el  orden  de  los  números.  El  cuadro  donde  está  la  piedra  no  se  puede  pisar.  El  resto  se  tienen  que  saltar  a  pata  coja  o  poner  los  dos  pies  allí  donde  hay dos contiguos Recursos  informáticos.  Este  tipo  de  soporte  nos  permite  visualizar  las  cantidades  a  partir  de  un  entorno  simulado,  no  real,  y  por  tanto,  aunque  es  un  buen  recurso,  habría  que  presentarlo  después  de  haber  asegurado  la  observación  de  cantidades  en  el  entorno  cotidiano  y  la  acción  directa  que  permite la manipulación y la experimentación con diferentes tipos de materiales concretos. Como  en  el  caso  de  los  juegos,  se  aconseja  integrar  el  uso  de  recursos  informáticos  dentro  de  la  programación  de  actividades  de  una  forma  seria  y  rigurosa,  planificando  las  sesiones:  seleccionar  los  programas  informáticos  que  se  quieren  usar,  determinar  las  competencias  que  se  quieren  alcanzar, concretar la evaluación de las actividades, etc. Hay que decir que este tipo de material se  renueva constantemente, y por ello se hace difícil ofrecer una lista de recursos. Se aconseja, pues,  que  las  personas  interesadas  hagan  búsquedas  en  Internet,  donde  proliferan  cada  vez  más  las  páginas web muy bien elaboradas que constituyen verdaderos centros de recursos. Internet es un  recurso  cibernético  que  posibilita  el  acceso  a  un  volumen  de  información,  de  y  desde  cualquier  parte del planeta, inimaginable hace pocos años.  Es necesario, no obstante, tener en cuenta diversos aspectos:   La  información  que  aparece  en  Internet  no  está  filtrada.  Cualquiera  puede  colgar  la  información  que le parezca en la red.   Hay un exceso de información, que hace que al realizar una búsqueda obtengamos un número de  páginas  web  difícil  de  consultar.  Por  eso  es  muy  importante  tener  claro  qué  se  va  a  buscar.  Así  pues, hay que limitar la búsqueda.   Se aconseja pensar en una buena estrategia de búsqueda.   Una vez encontradas las páginas web que interesan, puede ser beneficioso guardarlas en la carpeta  de favoritos. 4.5.‐ Bibliografía Alsina i Pastells, A. (2006). Cómo desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Barcelona: Octaedro  y Eumo Editorial. Chamorro, M. C. y otros (2005). Didáctica de las matemáticas en la E. I. Madrid: Pearson. Fernández  Bravo,  J.  A.  (2006).  Didáctica  de  la  matemática  en  la  educación  infantil.  Madrid:  Grupo  Mayeútica. Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   79
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Anexos Fotocopias de los ejercicios de Conjuntos de la editorial McGrawHill Materiales para la enseñanza de las matemáticas7  Regletas de Cuisenaire   Bloques lógicos  Bloques multibase  Geoplanos y mecanos  Tamgram, mosaicos y poliminos  En las aulas en formato poster8 tenemos:  Juegos matemáticos de María Montessori  El ábaco  Juegos de cartas  El ajedrez  Recursos matemáticos online  Hexamantes  Juegos topológicos                                                               7  Cada grupo debe hacer las fotocopias de su grupo de clase. 8  Aunque no entra en el temario de examen es muy rico que leáis el contenido de los poster para vuestras prácticas ¡ya inminentes! Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   81
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  Índice Tema 1.‐ Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas Resolución de Problemas .......................................... 5  1.1.‐ ¿Qué significa aprender matemáticas? ................................................................................................. 5  1.2.‐ Teorías sobre el aprendizaje. Teorías sobre el aprendizaje en matemáticas ....................................... 7  1.2.1.‐ Empirismo....................................................................................................................................... 7  1.2.2.‐ Constructivismo  ............................................................................................................................. 9  . 1.3.‐ El procesamiento de la información.................................................................................................... 12  1.4.‐ La enseñanza de las matemáticas ....................................................................................................... 13  1.5.‐ La resolución de problemas ................................................................................................................ 16  1.5.1.‐ Características del trabajo con problemas sencillos en la etapa infantil ..................................... 16  1.5.2.‐ Metodología para el trabajo con la solución de problemas sencillos .......................................... 17  1.6.‐ Actividades .......................................................................................................................................... 19  1.7.‐ Bibliografía .......................................................................................................................................... 20 Tema 2.‐ Introducción a la Teoría de Conjuntos ............................................................................................. 21  2.1.‐ Idea de Conjunto. Diagramas de Venn‐Euler. Conjunto Universal ..................................................... 21  2.1.1.‐ La noción de conjunto .................................................................................................................. 21  2.1.2.‐ Pertenencia e Inclusión ................................................................................................................ 21  2.1.3.‐ Diagramas de Venn‐Euler ............................................................................................................. 22  2.1.4.‐ Conjunto Vacío ............................................................................................................................. 22  2.1.5.‐ Inclusión e Implicación. Condiciones necesarias y suficientes ..................................................... 22  2.1.6.‐ Conjunto Universal o Referencial ................................................................................................. 23  2.1.7.‐ Igualdad de conjuntos y equivalencia lógica ................................................................................ 23  2.2.‐ Operaciones con conjuntos ................................................................................................................. 24  2.2.1.‐ Intersección .................................................................................................................................. 24  2.2.2.‐ Unión ............................................................................................................................................ 25  2.2.3.‐ Conjunto de las partes. Complementación .................................................................................. 25  2.2.4.‐ Algebras de Boole de Conjuntos. Dualidad .................................................................................. 26  2.3.‐ Aplicaciones ......................................................................................................................................... 27  2.3.1.‐ Concepto ...................................................................................................................................... 27  2.3.2.‐ Distintos tipos de aplicaciones ..................................................................................................... 28  Aplicación de un conjunto A en otro B. ............................................................................................... 28  Aplicación suprayectiva. ...................................................................................................................... 29  Aplicación inyectiva. ............................................................................................................................ 29  Aplicación biyectiva o biunívoca  ......................................................................................................... 29  .Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   83
    • Índice  2.4.‐ Ejercicios .............................................................................................................................................. 29  2.5.‐ Bibliografía .......................................................................................................................................... 30 Tema 3.‐ Ampliación del Campo Numérico ..................................................................................................... 31  3.1.‐ Sistemas de numeración ..................................................................................................................... 31  3.1.1.‐ Introducción. El Concepto de Base............................................................................................... 31  3.1.2.‐ Sistemas de Numeración Aditivos ................................................................................................ 31  El Sistema de Numeración Egipcio ...................................................................................................... 32  El Sistema de Numeración Griego ....................................................................................................... 32  3.1.3.‐ Sistemas de Numeración Híbridos ............................................................................................... 33  El Sistema de Numeración Chino ........................................................................................................ 33  3.1.4. Sistemas de Numeración Posicionales .......................................................................................... 34  El Sistema de Numeración Babilónico ................................................................................................. 34  El Sistema de Numeración Maya ......................................................................................................... 35  3.1.5.‐ Sistema de numeración Arábigo .................................................................................................. 36  3.2.‐ Números Naturales ............................................................................................................................. 37  3.2.1.‐ Introducción ................................................................................................................................. 37  3.2.2.‐ El sistema decimal de numeración ............................................................................................... 37  Ejercicios: ............................................................................................................................................. 38  3.2.3.‐ Representación lineal de los números naturales ......................................................................... 39  3.2.4.‐ Propiedades que cumplen las operaciones con números naturales ........................................... 40  3.2.5.‐ Operaciones combinadas con números naturales ....................................................................... 40  3.3.‐ Números Enteros ................................................................................................................................. 40  3.3.1.‐ Introducción ................................................................................................................................. 40  3.3.2.‐ Valor absoluto de un número entero  .......................................................................................... 42  . 3.3.3.‐ Representación lineal de los números enteros ............................................................................ 42  3.3.4.‐ Orden de los números enteros .................................................................................................... 42  3.3.5.‐ Operaciones con números enteros. ............................................................................................. 42  3.3.6. Operaciones combinadas con números enteros. .......................................................................... 45  3.4.‐ Números Racionales ............................................................................................................................ 47  3.4.1.‐ Introducción ................................................................................................................................. 47  3.4.2.‐ Conceptos generales .................................................................................................................... 48  3.4.3.‐ Representación gráfica de fraccions. ........................................................................................... 49  3.4.4.‐ Equivalencia de fracciones. .......................................................................................................... 50  3.4.5. Simplificación de fracciones .......................................................................................................... 50  3.4.6.‐ Reducción de fracciones a común denominador. Orden ............................................................. 52  3.4.7.‐ Expresión decimal de un número racional ................................................................................... 54 84  
    • Desarrollo del Pensamiento Matemático y su Didáctica  Curso 2010‐2011  3.4.8.‐ Expresión racional de los números decimales periódicos  ........................................................... 56  . 3.5.‐ Números Reales .................................................................................................................................. 57  3.5.1.‐ Introducción ................................................................................................................................. 57  3.5.2.‐ Números irracionales ................................................................................................................... 58  3.5.3.‐ Aproximación: truncamiento y redondeo .................................................................................... 60  3.5.4.‐ Representación lineal de los números reales. Orden .................................................................. 60  3.5.5.‐ Intervalos de la recta real ............................................................................................................. 61  3.5.6.‐ Operaciones con números reales ................................................................................................. 62  3.6.‐ Bibliografía .......................................................................................................................................... 62 Tema 4.‐ Iniciación al número.  El proceso de simbolización. Materiales y juegos ........................................ 63  4.1.‐ Consideraciones didácticas en torno al número ................................................................................. 63  4.1.1.‐ Paralelismo entre el razonamiento lógico‐matemático, los números y el cálculo ...................... 63  4.1.2.‐ ¿Qué son los números y el cálculo? ............................................................................................. 64  4.1.3.‐ ¿Cómo se adquieren las nociones de número, cantidad y cálculo aritmético? ........................... 65  La adquisición de las nociones de número y de cantidad ................................................................... 65  4.2.‐ Enumerar y contar: concepto e importancia. Principios y fases para contar ..................................... 67  Aspectos previos al proceso de simbolización. Fases del proceso de simbolización .................................. 67  4.2.1.‐ ¿Qué necesita el niño para construir las nociones de número y operación? .............................. 67  4.2.2.‐ ¿Qué actividades de números y operaciones pueden hacerse en el jardín de infancia? ............ 68  A partir de la vida cotidiana  ............................................................................................................ 68  . A partir de material inespecífico ..................................................................................................... 70  A partir de juegos y materiales diseñados didácticamente ............................................................ 70  4.2.3.‐ ¿Qué actividades de números y operaciones se pueden hacer en el parvulario? ....................... 70  Identificar, reconocer y/o reconocer cantidades ............................................................................ 70  Relacionar cantidades ..................................................................................................................... 72  Operar cantidades ........................................................................................................................... 75  4.3.‐ Juegos que no precisan ningún material y juegos con materiales de fácil construcción .................... 77  4.5.‐ Bibliografía .......................................................................................................................................... 79 Anexos ............................................................................................................................................................. 81  Fotocopias de los ejercicios de Conjuntos de la editorial McGrawHill ....................................................... 81  Materiales para la enseñanza de las matemáticas  ..................................................................................... 81  . Regletas de Cuisenaire ............................................................................................................................ 81  Bloques lógicos ........................................................................................................................................ 81  Bloques multibase ................................................................................................................................... 81  Geoplanos y mecanos  ............................................................................................................................. 81  . Tamgram, mosaicos y poliminos ............................................................................................................. 81 Profesora: Mª del Consuelo García Cuesta   85
    • Índice  Juegos matemáticos de María Montessori ............................................................................................. 81  El ábaco  ................................................................................................................................................... 81  . Juegos de cartas ...................................................................................................................................... 81  El ajedrez ................................................................................................................................................. 81  Recursos matemáticos online ................................................................................................................. 81  Hexamantes ............................................................................................................................................. 81  Juegos topológicos .................................................................................................................................. 81   86