Geometria analitica exercicios resolvidos

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Geometria analitica exercicios resolvidos

  1. 1. Geometria Analítica• Geometria Analítica I• Geometria Analítica II• Geometria Analítica III• Geometria Analítica IV• Geometria Analítica V• Exercícios de Geometria Analítica• Elipse• Hipérbole• Parábola• Hipérbole Eqüilátera• A excentricidade das cônicas• Sistema de coordenadas polares• Um problema de circunferênciaINVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILGeometria Analítica I1 - IntroduçãoA Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processosparticulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria.Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suaspropriedades estudadas através de métodos algébricos.Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventordas coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), quepermitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seulivro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase emlatim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".
  2. 2. 1.1 - Coordenadas cartesianas na retaSeja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentosmedidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade decomprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um(correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto Rdos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, aabscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto Aé 1, etc.A reta r é chamada eixo das abscissas.1.2 - Coordenadas cartesianas no planoCom o modo simples de se representar números numa reta, visto acima,podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duasretas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem dosistema. Veja a Fig. a seguir:Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixodas ordenadas.O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadasQUADRANTES.No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo,no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a épositivo e b negativo.Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontosdo eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y =0 e a equação do eixo OY éx = 0.Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1ºquadrante, cuja equação evidentemente é y = x.Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadassimétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cujaequação evidentemente é y = - x.Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.
  3. 3. Exercícios Resolvidos1) Se o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y , então :a) m é um número primob) m é primo e parc) m é um quadrado perfeitod) m = 0e) m < 4Solução:Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto aalternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemosafirmar que :a) r é um número naturalb) r = - 3c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0d) r é um número inteiro menor do que - 3.e) não existe r nestas condições.Solução:Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenadaiguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vezque -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja:(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.3) Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0Solução:Fazendo x = k e y = -2 na relação dada vem: k + 2(-2) - 10 = 0.Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.Logo, a alternativa correta é a letra B.2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesianoDados dois pontos do plano A(Xa, Ya) e B(Xb, Yb) , deduz-se facilmenteusando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontosA e B:
  4. 4. Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 ,obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos osmembros.Exercício ResolvidoO ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2, 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ânguloreto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)Solução:Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que otriângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: oquadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto,podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado quese opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever,considerando que as coordenadas do ponto A são (0, y) , já que é dado noproblema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 ∴ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 -4 - 16 = 20Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 ∴ 2y2 - 8y - 10 = 0 ∴ y2 - 4y -5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, poisfoi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, oponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta éa letra D.3 - Ponto médio de um segmentoDado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M ∈ AB tal queAM = BM .Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas doponto médioM(xm , ym) serão dadas por:
  5. 5. Exercício ResolvidoSendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABConde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W 2 é igual a:a) 25b) 32c) 34d) 44e) 16Solução:Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de retaque une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativaao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Dasfórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC seráo ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será adistância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramosAM = √ 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = √ 34 e portanto W2 = 34, oque nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.4 - Baricentro de um triânguloSabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o pontode encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GMonde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3medianas do triângulo).Nestas condições, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABConde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sãoiguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro degravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6,4). Verifique com o uso direto das fórmulas.Exercício resolvido
  6. 6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) ,qual o comprimento do segmento BZ?Solução:Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) eZ(11,4),encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).Agora resolva este:Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujobaricentro é o pontoG(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILGeometria Analítica II1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica1.1 - Área de um triânguloSeja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área Sdesse triângulo é dada porS = 1/2. | D | onde  D é o módulo do determinante formado pelascoordenadas dos vértices A , B e C .Temos portanto:
  7. 7. A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida eprática regra de Sarrus.1.2 - Condição de alinhamento de três pontosTrês pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a umamesma reta .É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC nãoexiste , e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição dealinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .Exercício resolvido:Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :a) 4b) 3c) 3,5d) 4,5e) 2Solução:Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 ∴ y = 9/2 = 4,5.Portanto a alternativa correta é a letra D.2 - Equação geral da reta.Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb).Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3pontos , podemos escrever:Desenvolvendo o determinante acima obtemos:(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 .
  8. 8. Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo pontoP(x,y) pertencente à reta , deve verificar a equação :ax + by + c = 0que é chamada equação geral da reta r .Exemplos:2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10); observe que podemos escrever 3x - 4y -10 = 0.3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0) ordenadas .→ equação do eixo Oy - eixo dasy = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0) → equação do eixo Ox - eixo das abscissas .Observações:a) a = 0 → y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )b) b = 0 → x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)3 - Posição relativa de duas retasSabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser :Paralelas: r ∩ s = ∅Concorrentes: r ∩ s = { P } , onde P é o ponto de interseção .Coincidentes: r = s.Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : a’x + b’y + c’ = 0 , temos os seguintescasos : → as retas são coincidentes . → as retas são paralelas . as retas são concorrentes .Exercícios resolvidos1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y+ 10 = 0 ?Solução:Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 ≠ 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas sãoparalelas.
  9. 9. 2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 =0 , podemos afirmar:a) elas são paralelasb) elas são concorrentesc) r ∩ t ∩ s = Rd) r ∩ s ∩ t = R2e) as três equações representam uma mesma reta .Solução:Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro casoacima) e portanto asretas r e s são coincidentes.Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t , teremos:3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima);Portanto as retas r, s e t são coincidentes, ou seja, representam a mesmareta.Logo a alternativa correta é a letra E.3) Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver osistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições,pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y -18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.Solução:Da equação da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);substituindo na equação da reta s vem:6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 ∴ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 ∴ 44 - 22y = 0 ∴ 44 = 22y ∴y = 2;substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4.Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).Agora resolva esta:Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?Resposta: S = 3 u.a. (3 unidades de área)Geometria Analítica IIIDetermine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).Solução:Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equação é procurada, podemosescrever:
  10. 10. Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver odeterminante de 3ª ordem acima, vem:- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 ⇒ x - y + 3 = 0 que é a equação geral procurada.Observe que a equação da reta também poderá ser escrita como y = x + 3.Esta última forma, é conhecida como equação reduzida da reta, como veremosa seguir.1 - Outras formas de equação da retaVimos na seção anterior à equação geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0.Vamos apresentar em seqüência , outras formas de expressar equações deretas no plano cartesiano:1.1 - Equação reduzida da retaSeja a reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Para achar a equação reduzidada reta , basta tirar o valor de y ou seja : y = (- a/b)x - c/b .Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que é a equaçãoreduzida da reta deequação geral ax + by + c = 0 .O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta.Observe que na equação reduzida da reta , fazendo x = 0 , obtemos y = n , ouseja, a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x1 ,y1) e B(x2 , y2) .Sendo y = mx + n a sua equação reduzida ,podemos escrever:y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n .Subtraindo estas equações membro a membro , obtemosy1 - y2 = m (x1 - x2) .Logo , a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelosdoispontos (x1 , y1) e (x2 , y2) é :Se considerarmos que as medidas Y2 - Y1 e X2 - X1 são os catetos de umtriângulo retângulo, conforme figura abaixo podemos concluir que o valor de mé numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo α . Podemos entãoescrever m = tg α , onde o ângulo α é denominado inclinação da reta . É oângulo que a reta faz com o eixo dos x.A tgα , como vimos é igual a m , e é chamada coeficiente angular da reta . Ficaportanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para ocoeficiente m.Observe que se duas retas são paralelas , então elas possuem a mesmainclinação ; logo, concluímos que os seus coeficientes angulares são iguais.Agora resolva este:
  11. 11. Analise as afirmativas abaixo:(01) toda reta tem coeficiente angular .(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angularé positivo(08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será umângulo agudo .(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamentecoincidente com o eixo das abscissas .(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular.Determine a soma dos números associados às sentenças verdadeiras.Resp: 02+08+32 = 42INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILGeometria Analítica IVEquação segmentária da retaConsidere a reta representada na fig. a seguir:Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q).Sendo G(x,y) um ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através dacondição de alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente à equaçãosegmentária da reta:
  12. 12. Nota: se p ou q for igual à zero, não existe a equação segmentária (Lembre-se:não existe divisão por zero); portanto , retas que passam na origem nãopossuem equação segmentária.Exercício resolvidoAche a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y - 18 = 0.Solução:Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por 18 vem:2x/18 + 3y/18 = 18/18 ∴ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p = 9 e q = 6 eportanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos A(9,0) e B(0,6).Equações paramétricas da retaQuando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas xe y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro),nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.x = f(t) onde f é uma função do 1o. grauy = g(t) onde g é uma função do 1o. grauNestas condições, para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar ovalor de t em uma das equações e substituir na outra .Exercício resolvidoUm móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função dotempo t , são:x = 3t + 11y = -6t +10Qual a equação segmentária dessa trajetória?Solução:Multiplicando ambos os membros da 1ª equação paramétrica por 2, vem: 2x =6t + 22. Somando agora membro a membro com a 2ª equação, obtemos: 2x +y = 32 (observe que a variável t é eliminada nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0). Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32 fica:2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 ∴ x / 16 + y / 32 = 1, que é a equação segmentáriaprocurada.Retas perpendicularesSabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando sãoconcorrentes e formam entre si um ângulo reto (90º) . Sejam as retas r: y = mr x+ nr e s: y = ms x + ns . Nestas condições podemos escrever a seguinte relaçãoentre os seus coeficientes angulares:ms = - 1 / mr ou mr . ms = -1 .Dizemos então que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seuscoeficientes angulares é igual a -1.
  13. 13. Deixaremos de demonstrar esta propriedade, não obstante a sua simplicidade,mas se você se interessar em ver a demonstração, mande-me um e-mailsolicitando.Exercício resolvidoDadas as retas de equações (2w - 2)x + (w - 1)y + w = 0 e (w - 3)y + x - 2w = 0,podemos afirmar que:a) elas são perpendiculares para qualquer valor de wb) elas são perpendiculares se w = 1c) elas são perpendiculares se w = -1d) elas são perpendiculares se w = 0e) essas retas não podem ser perpendicularesSolução:Podemos escrever para a 1ª reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x - w /(w-1).Analogamente para a 2ª reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientesde x são os coeficientes angulares e, pelo que já sabemos, a condição deperpendicularidade é que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1. Logo:Efetuando os cálculos indicados e simplificando-se obtemos: w2 - 2w + 1 = 0,que é equivalente a(w - 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.Mas, cuidado! Observe que w = 1 anula o denominador da expressão acima e,portanto é uma raiz estranha, já que não existe divisão por zero! Apesar dasaparências, a raiz w = 1 não serve! Logo, a alternativa correta é a letra E e nãoa letra B como ficou aparente.Geometria Analítica VI - Ângulo formado por duas retasSendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , atangente do ângulo agudo θ formado pelas retas é dado por :
  14. 14. Notas:1 - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º.2 - Observe dois casos particulares da fórmula anterior, que merecem sermencionados:a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes, fossem paralelas, oângulo θ seria nulo e portanto tg θ = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condições, odenominador da fórmula teria que ser nulo, o que resultaria em mr = ms , ouseja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. Já vimos isto num textoanterior, mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTESANGULARES IGUAIS.b) se as retas r e s fossem além de concorrentes, PERPENDICULARES,teríamos θ = 90º . Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º ,sabemos da Trigonometria); mas se considerarmos uma situação limite de umângulo tão próximo de 90º quanto se queira, sem entretanto nunca se igualar a90º , a tangente do ângulo será um número cada vez maior, tendendo aoinfinito. Ora, para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior,tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um número infinitamentepequeno, tendendo a zero. Nestas condições, o denominador da fórmulaanterior 1+mr . ms seria um número tão próximo de zero quanto quiséssemos eno limite teríamos 1 + mr . ms = 0.Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que é a condiçãonecessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme jávimos num texto anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bomlembrar: RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTESANGULARES QUE MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.Exercício resolvidoDetermine o ângulo agudo formado pelas retas r : 3x - y + 2 = 0 e s : 2x + y - 1= 0.Solução:Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, mr = 3.Para a reta s : y = - 2x + 1. Logo, ms = -2.Substituindo os valores na fórmula anterior e efetuando os cálculos, obtemos
  15. 15. tgθ = 1, o que significa que o ângulo entre as retas é igual a 45º, pois tg45º = 1.(Faça os cálculos para conferir).II - Estudo simplificado da circunferênciaConsidere a circunferência representada no plano cartesiano , conforme abaixo, cujo centro é o ponto C(xo , yo) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um pontoqualquer pertencente à circunferência .Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, jávista em outro texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 ,que é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) eraio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 ecentro no ponto C(2,4) é dada por: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem dosistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equaçãoreduzida da circunferência fica:x2 + y2 = R2Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equaçãoreduzida.Temos:x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo2 - R2 = 0 .Fazendo -2xo = D , -2yo = E e xo2 + yo2 - R2 = F , podemos escrever a equaçãox2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equação geral da circunferência).Então , concluímos que quando os coeficientes de x2 e y2 forem unitários , paradeterminar as coordenadas do centro da circunferência , basta achar a metadedos coeficientes de x e de y , com os sinais trocados ou seja : x0 = - D / 2 e y0 =-E/2.Se os coeficientes de x2 e de y2 não forem unitários, temos que dividir aequação pelo coeficiente de x2 que é sempre igual ao coeficiente de y2 , nocaso da circunferência.Para o cálculo do raio R , observemos que F = xo2 + yo2 - R2 .Mas, xo = - D / 2 e yo = - E /2 . Logo , podemos escrever a seguinte equaçãopara o cálculo do raio R a partir da equação geral da circunferência:
  16. 16. Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 , possa representaruma circunferência, tem de ser atendida a condição D2 + E2 - 4.F > 0 , pois nãoexiste raiz quadrada real de número negativo .Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 , a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo : x2 + y2 + 6x -8y + 25 = 0 é a equação de um ponto! Verifique.Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 - 4F ser negativo? Ora, como nãoexiste raiz quadrada real de número negativo, conclui-se facilmente que acircunferência não existe neste caso!Exemplo:Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0.Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas docentro e o raio como segue:xo = - (-6) / 2 = 3 ; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas).Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade decomprimento).INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASILExercícios de Geometria AnalíticaMatemática não tem idade!A - Exercícios resolvidos1 – E.E. Lins/1968Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de umtriângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade novértice Q é:a) 12,32b) 10,16c) 15,08
  17. 17. d) 7,43 e) 4,65 Solução:Seja o triângulo PQR abaixo:Sendo M o ponto médio do lado PR, o segmento de reta QMserá a mediana relativa ao lado PR.Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto médio M será: M(-2, 3/2).Observe que:-2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2.Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica clicandoAQUI.O comprimento da mediana procurado, será obtido calculando-se a distancia entre os pontos Q e M.Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, vem:Portanto, a alternativa correta é a letra D.2 – EPUSP/1966Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equaçãosen(x – y) = 0 constituem:a) uma retab) uma senóidec) uma elipsed) um feixe de retas paralelase) nenhuma das respostas anterioresSolução:O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, π ,2π , 3π , 4π, ... , kπ , onde k é um número inteiro. Logo:sen(x - y) = 0 ⇒ x – y = kπ.Daí, vem: π- y = - x + kπ ∴ y = x - kπ , k ∈ Z. πFazendo k variar no conjunto Z, obteremos um númeroinfinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e,
  18. 18. portanto, paralelas, ou seja:...................................................................k = - 1 reta: y = x + πk = 0 reta: y = xk = 1 reta: y = x - π , e assim sucessivamente....................................................................Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe deretas paralelas).3 – A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema decoordenadas cartesianas:a) uma hipérboleb) uma elipsec) uma circunferênciad) uma parábolae) duas retasSolução:Temos: x2 – y2 + x + y = 0 ; podemos escrever:(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2Fatorando, fica:(x + y) (x – y + 1) = 0Para que o produto acima seja nulo, deveremos ternecessariamente:x + y = 0 ou x – y + 1 = 0 ;Logo,y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, oque nos leva à alternativa E.B - Exercícios propostos1 – FAUUSP/1968 – Determine a área do triângulo ABC onde A,B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentosMN, NP e PM, sendoM(-1, -5), N(1,3) e P(7, -5).Em caso de dúvida, reveja ponto médio de um segmento ecálculo de área de um triângulo.Resp: 8 u.a (8 unidades de área).
  19. 19. 2 – EPUSP/1963 – Dado o ponto A(1,2), determine ascoordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamentesobre as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja oponto médio do segmento PQ.Em caso de dúvida, reveja equação da reta.Resp: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3)3 – FAUUSP/1968 – Determine a equação da reta que passapelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1= 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y - 1 = 0.Em caso de dúvida,reveja circunferência.Resp: y = 2x + 2Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano1 – Definição:Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estespontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma dasdistancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual aum valor constante 2a , onde a > c.Assim é que temos por definição:PF1 + PF2 = 2 aOs pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida comdistancia focal da elipse.O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de umaelipse é um número positivo menor que a unidade. 2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem(0,0).Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) osseus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima,podemos escrever:PF1 + PF2 = 2.a
  20. 20. onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixoB1B2 de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:Observe que x – (-c) = x + c.Quadrando a expressão acima, vem:Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2= b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:b2.x2 + a2.y2 = a2.b2Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).Notas:1) como a2 – c2 = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abscissa de umdos focos da elipse.2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo determos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, deexcentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a= 0/a = 0.3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixodos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:
  21. 21. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse nãoestá na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60Resposta: 3/5 ou 0,60.2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse deequação9x2 + 25y2 = 225.SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0.SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ouseja, a distancia entre os focos da elipse será:D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa peloponto P(1,1) e tem um foco F(-√ 6 /2, 0).Resposta: x2 + 2y2 = 3.INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL
  22. 22. Hipérbole de centro na origem (0,0)1 – Definição:Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estespontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo móduloda diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixosF1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.Assim é que temos por definição: PF1 - PF2  = 2 aOs pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida comdistancia focal da hipérbole.O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérboleé um número positivo maior que a unidade.A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto queB1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole.Observe na figura acima que é válida a relação:c2 = a2 + b2O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro naorigem (0,0)Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) osseus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima,podemos escrever: PF1 - PF2  = 2 aUsando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:Observe que x – (-c) = x + c.Quadrando a expressão acima, vem:Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão
  23. 23. acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado nafigura acima.Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:Obs.: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixodos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixodos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbolenão está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Ficaentão:Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = √ 41Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = √ 41 /4 = 1,60Resposta: 1,60.2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = √ 34.Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2√ 34.3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).xNOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, comoas retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbolenum ponto impróprio situado no infinito.Dada a hipérbole de equação:Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).xVeja a figura abaixo:
  24. 24. Parábola1 - IntroduçãoSe você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição,obterá a seguinte definição para a parábola:"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de umareta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por umplano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Osdicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também paraconceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeiçãoabsoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que aeles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definiçõesmatemáticas).2 - DefiniçãoConsidere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F(foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) doplano cartesiano, tais quePF = Pd onde:PF = distância entre os pontos P e FPP = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
  25. 25. Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/23 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origemObservando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco daparábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se adefinição acima, deveremos ter: PF = PPDaí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima,chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice naorigem, a saber:y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), aequação acima fica:(y - y0)2 = 2p(x-x0)3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origemNão é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, asua equação reduzida será: x2 = 2py3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
  26. 26. Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, numponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)Exercícios resolvidos1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?Solução: Temos p/2 = 2 ∴ p = 4Daí, por substituição direta, vem:y2 = 2.4.x ∴ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no pontoV(2,0)?Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 ∴ p = 4.Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 ∴ y2 = 8(x-2) ∴ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação daparábola.3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no pontoV(2,3)?Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 ∴ p = 8.Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) ∴ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 ∴ y2 - 6y - 16x + 41 = 0,que é a equação procurada.4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no pontoV(0,1)?Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 ∴ p = 6. Logo,(x - 0)2 = 2.6(y - 1) ∴ x2 = 12y - 12 ∴ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equaçãoprocurada.Exercício propostoDetermine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é oponto F(2,2).Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL
  27. 27. Hipérbole Equilátera1 – INTRODUÇÃOVimos no capítulo anterior a equação da hipérbole cujo gráfico reproduzimosabaixo:onde:F1 e F2 = focos da hipérbole.F1F2 = distância focal da hipérboleA1 e A2 = vértices da hipérboleA1A2 = eixo real ou eixo transverso da hipérboleB1B2 = eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérboleSendo P um ponto qualquer da hipérbole, vimos que a relação básica que adefine é dada por:PF1 - PF2= 2a, onde 2a é a distância entre os seus vértices.Da relação anterior, chegamos à equação reduzida da hipérbole, reproduzida aseguir:onde b2 = c2 – a2 , conforme ilustrado na figura acima, sendo:a = medida do semi-eixo transverso da hipérboleb = medida do semi-eixo não transverso da hipérbolec = medida da semi-distância focal da hipérboleVimos no arquivo anterior que as assíntotas de uma hipérbole são as retasy = (b/a).x e y = (- b/a).x2 – DEFINIÇÃO
  28. 28. Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda hipérbole cujos semi-eixos demedidas a e b são iguais.Assim, fazendo a = b na equação acima, obteremos:De onde vem finalmente que:x2 – y2 = a2que é a equação reduzida de uma hipérbole eqüilátera.Veja a seguir, o gráfico de uma hipérbole eqüilátera x2 – y2 = a2 referida aoplano cartesiano xOy:As retas y = x e y = - x , são as assíntotas da hipérbole eqüilátera x2 – y2 = a2 .NOTAS:a) Observe que para a = 0, teríamos x2 – y2 = 0 ou fatorando o primeiromembro:(x – y) . (x + y) = 0, de onde se conclui:x – y = 0 OU x + y = 0, e, em conseqüência,y = x OU y = -xcujo gráfico é a reunião das retas y = x (bissetriz do primeiro e segundoquadrantes) e y = -x (bissetriz do segundo e quarto quadrantes), e, portantonão representa uma hipérbole.b) Já sabemos da aula anterior que a excentricidade de uma hipérbole é dadapor e = c/a onde b2 = c2 – a2 . Como nas hipérboles equiláteras, temos a = b,substituindo, vem imediatamente que c = √2 . a, de onde conclui-se que aexcentricidade de uma hipérbole eqüilátera é igual ae = c / a = √2a / a = √2
  29. 29. c) Como na hipérbole eqüilátera os semi-eixos transverso e não transversopossuem a mesma medida, ou seja, a = b, concluímos que as suas assíntotasserão as retas y = (a/b).x = (a/a).x = xe y = (-b/a).x = (-a/a).x = - x , conclusão fundamentada na observação do item1 acima.Portanto, as assíntotas da hipérbole eqüilátera são as retas y = x e y = -x, quesão retas perpendiculares, pois o produto dos seus coeficientes angulares éigual a -1.Conclui-se pois, que as assíntotas da hipérbole eqüilátera, são retasperpendiculares entre si.d) Já sabemos do item (c) acima, que as assíntotas da hipérbole eqüilátera sãoas retas y = x ou y = -x , expressões equivalentes a y – x = 0 ou y + x = 0.Já sabemos que a distância de um ponto P(x0 , y0) à uma reta r de equação ax+ by + c = 0, é dada pela fórmula:Concluímos então, que a distância de um ponto P(x, y) qualquer da hipérboleeqüilátera às assíntotas será dada por: e respectivamente.Observe que os numeradores acima devem ser tomados em módulo, uma vezque referem-se a distâncias.Se considerarmos dois novos eixos coordenados X e Y, coincidentes com asassíntotas x – y = 0 e x + y = 0, as coordenadas do ponto P(x, y), passarão aser P(X, Y), com: eVoltando à equação reduzida da hipérbole eqüilátera, dada por x2 – y2 = a2(referida aos eixos coordenados Ox e Oy) e fatorando o primeiro membro, vem:(x – y) . ( x + y) = a2 .Podemos escrever a seguinte expressão equivalente a x2 – y2 = a2:cuja veracidade é percebida facilmente, bastando efetuar o produto indicado noprimeiro membro.Substituindo, vem finalmente:X.Y = a2/2
  30. 30. Fazendo a2/2 = K = constante, podemos escrever X.Y = K , que é a equação dahipérbole eqüilátera referida aos eixos y = x e y = -x, que são as assíntotas dahipérbole eqüiláterax2 – y2 = a2Portanto, em resumo podemos afirmar:1 – a equação da hipérbole eqüilátera referida aos eixos coordenados x e y édada porx2 – y2 = a2 . As assíntotas neste caso, são as retas y = x e y = - x.2 – a equação da hipérbole eqüilátera referida às suas assíntotas x – y = 0 e x+ y = 0 é dada porX.Y = a2/2 = K. As assíntotas neste caso, são os eixos coordenados Ox e Oy,ou seja, as retas y = 0 e x = 0, respectivamente.Veja a seguir, exemplo de gráfico da hipérbole eqüilátera x.y = k, com k > 0,onde os eixos coordenados OX e Oy são as assíntotas.As equações da forma x.y = k, onde k é uma constante, tem comorepresentação geométrica no plano xOy, portanto, curvas denominadashipérboles equiláteras.Um exemplo prático de uma lei física cuja representação gráfica é umahipérbole eqüilátera, é a lei de Boyle - Mariotte, estudada nos compêndios deFísica e Química.A lei de Boyle-Mariotte, estabelece que sob temperatura constante, o volumeocupado por uma certa massa de gás, é inversamente proporcional a suapressão.Seja V o volume de um gás submetido a uma pressão P, a uma temperaturaconstante.A lei de Boyle-Mariotte, estabelece que P.V = constante = k.Por analogia com a equação X.Y = K, podemos concluir que o gráfico dovolume V em função da pressão P, de um gás submetido a uma temperaturaconstante, será uma hipérbole eqüilátera.
  31. 31. A excentricidade das cônicasAs cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a circunferência, possuemtodas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas através dainterseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfíciecônica, conforme mostrado na figura a seguir:Nota: figura editada por meu filho Rafael C. Marques, 14.Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmaçãoverdadeira:A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cujaexcentricidade é nula.Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmarequivocadamente: a circunferência é uma elipse imperfeita! Eu prefiroa primeira assertiva, pois é a correta!.Brincadeiras à parte, prossigamos!No caso da elipse já sabemos que:excentricidade = e = c/aComo é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c sãodistâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da
  32. 32. elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:0 < e < 1.Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo daunidade estiver a sua excentricidade.Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, osvalores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo dec = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. Acircunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.No caso da hipérbole , já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de umahipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou sejaa = b, teremos uma hipérbole eqüilátera, cuja excentricidade seráigual a e = √ 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica: Cônica e Circunferência 0 Elipse 0 < e < 1 Hipérbole e > 1Quanto à parábola , podemos dizer, que a sua excentricidade será iguala 1? Em a realidade, a excentricidade da parábola é igual a 1; Vamosdesenvolver este assunto a seguir:Considere o seguinte problema geral:Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesianoque satisfazem à condição PF = e. Pd, onde F é um ponto fixo do planodenominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e umaconstante real.Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:
  33. 33. Nota: figura elaborada pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constantereal.Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:(x – f)2 + y2 = e2. (x – d)2x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 – 2.d.x + d2)x2 – e2. x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2– e2.d2 = 0x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2 – e2.d2 = 0Ou finalmente:x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremosy2 + 2(d – f). x + f2 – d2 = 0Fazendo d = - f, vem:y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma parábola da forma y2 = 2px, ondef = p/2, conforme vimos no texto correspondente.A constante e é denominada excentricidade.Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1.INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL
  34. 34. Sistema de coordenadas polaresJá conhecemos o sistema de coordenadas cartesianas, noção introduzida porRené Descartes – filósofo e matemático francês, 1596 – 1650, criador dosfundamentos da Geometria Analítica.Vamos agora, conhecer o sistema de coordenadas polares, as quais vinculam-se com as coordenadas cartesianas, através de relações trigonométricasconvenientes.Seja O um ponto do plano e considere uma semi-reta de origem O.Denominemos o ponto O de pólo e a semi-reta, de eixo polar.Um ponto qualquer P neste sistema, poderá ser univocamente determinado,através da distância do ponto P ao ponto O , e do ângulo θ formado entre osegmento de reta OP e o eixo polar.Adotando-se por convenção, o sentido trigonométrico para o ângulo θ , ou seja,o sentido anti-horário, no qual os ângulos são considerados positivos, podemosconstruir a figura abaixo:Observe que o ponto P de coordenadas cartesianas P(x, y), pode ser tambémser expresso pelas suas coordenadas polares correspondentes P(ρ,θ), onde,pela figura acima, pode-se escrever:x = ρ.cosθy = ρ.senθA distancia OP = ρ é denominada raio vetor e o ângulo θ é denominadoângulo polar.Quadrando as duas expressões acima e somando membro a membro, vem:x2 + y2 = ρ2.cos2θ + ρ2.sen2θ = ρ2(cos2θ + sen2θ) = ρ2Observe que cos2θ + sen2θ = 1, a relação fundamental da Trigonometria.
  35. 35. θAnalogamente, temos que tgθ = y/x , no triângulo retângulo da figura acima.Em resumo, teremos:x2 + y2 = ρ2 , com ρ ≥ 0, já que OP = ρ é uma distância e portanto, um valorpositivo ou nulo, e,tgθ = y/xExemplos:a) considere o ponto P(1,1). As suas coordenadas polares serão P(√2,π/4),pois:ρ2= 12 + 12 = 2 ∴ ρ = √2tg θ = y/x = 1/1 = 1 ∴ θ = π/4 radianos.b) considere o ponto P(1,0). As suas coordenadas polares serão P(1,0), pois:ρ2 = 12 + 02 = 1 ∴ ρ = 1tg θ = y/x = 0/1 = 0 ∴ θ = 0 radianos.c)considere o ponto P(0,1). As suas coordenadas polares serão P(1, π/2), pois:ρ2 = 02 + 12 = 1 ∴ ρ = 1tg θ = y/x = 1/0. Sabemos que não existe a divisão por zero , mas podemosverificar neste caso que o ponto P(0,1) situa-se no eixo dos y e, portanto, θ =90º = π/2 radianos.Vamos agora, desenhar alguns gráficos de curvas expressas através das suascoordenadas polares.1 – Esboçar o gráfico da curva ρ = 2θ.Inicialmente, vamos construir uma tabela, onde vamos atribuir valores a θ (emradianos) e calcular o valor correspondente de ρ.θ (em graus) 0 30º 45º 60º 90º 135º 180º 270º 360ºθ (em radianos) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 3π/4 π 3π/2 2πρ = 2θ 0 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2 2π 3π 4πρ = 2θ (aprox.) 0 1,05 1,57 2,10 3,14 4,71 6,28 9,42 12,56 Plotando (locando ou marcando) os pontos obtidos acima, obteremos a curvaa seguir, denominada Espiral de Arquimedes.De uma forma geral, a equação polar da forma ρ = a.θ onde a é uma constante,representa uma curva denominada Espiral de Arquimedes.
  36. 36. 2 – Esboçar a curva ρ = 2(1 + cosθ).Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada cardióide. De uma forma geral, as equações da forma ρ = 2a(1 + cosθ) onde a é umaconstante, são curvas denominadas Cardióide.3 – Esboçar a curva ρ = 2/θ.Analogamente, obteríamos a curva abaixo, denominada Espiral Hiperbólica.De uma forma geral, as equações da forma ρ = a/θ onde a é uma constante,são curvas denominadas Espirais hiperbólicas.
  37. 37. 4 – Esboçar a curva ρ2 = 4.cos(2θ).Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada Lemniscata deBernoulli.De uma forma geral, as equações da forma ρ2 = a2.cos(2θ), onde a é umaconstante, representam curvas denominadas Lemniscata de Bernoulli.5 – Esboce a curva ρ = 4.Verifique você mesmo, que teremos neste caso, uma circunferência de raio 4.Nota: as figuras acima foram executadas pelo meu filho Rafael Marques,14.INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL
  38. 38. Geométrica e analiticamente falando de uma circunferência1 – A equação da circunferência que passa pelos pontos A(2;3), B(-2;0) e C(0;-7) é:a) 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0b) 17x2 + 17y2 + 99x - 81y – 266 = 0c) 17x2 + 17y2 – 99x + 81y + 266 = 0d) 17x2 - 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0e) 17x2 + 17y2 – 99x - 81y + 266 = 0Solução:Já sabemos da Geometria Analítica que a equação geral simplificada de umacircunferência é da forma:x2 + y2 + D x + E y + F = 0 onde P(x; y) é um ponto qualquer pertencente àcircunferência.Substituindo os pontos dados na equação geral, fica:Para o ponto A(2;3), temos x = 2 e y = 3. Então:22 + 32 + 2D + 3E + F = 0 ∴ 2D + 3E + F = -13Para o ponto B(-2;0), temos x = -2 e y = 0. Substituindo, vem:(-2)2 + 02 –2D + 0.E + F = 0 ∴ -2D + F = - 4Para o ponto C(0;-7), temos x = 0 e y = -7. Substituindo, fica:02 + (-7)2 + 0.D – 7E + F = 0 ∴-7E + F = - 49Temos então o seguinte sistema de equações lineares:2D + 3E + F = -13-2D + F = - 4-7E + F = - 49Para resolver o sistema de equações lineares acima, vamos utilizar a Regra de Cramer.Nota: Gabriel CRAMER - 1704 - 1752 - Mat. suiço.Observe que o sistema acima pode ser escrito como:2D + 3E + F = -13-2D + 0E +F = - 40D -7E + F = - 49Teremos então pela Regra de Cramer:
  39. 39. Analogamente,E, finalmente,Nota: os determinantes foram calculados, usando a Regra de Sarrus.Nota: Pierre Frederic SARRUS (pronuncia-se sarri) - 1798 - 1861 - Mat. francês.Portanto, como D = -99/17, E = 81/17 e F = -266/17, substituindo os valoresencontrados para D, E e F, vem:x2 + y2 + (-99/17)x + (81/17)y + (-266/17) = 0, que é equivalente a:x2 + y2 – (99/17)x + (81/17)y – (266/17) = 0 , que é a equação da circunferênciaprocurada.Se quisermos, poderemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membrospor 17, resultando:17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0 , que é equivalente à anterior e outra forma deapresentar a equação da circunferência procurada, o que nos leva à alternativa A.2 – Verifique se o ponto P(-5;0) fica dentro ou fora da circunferência do problemaanterior.Solução:
  40. 40. Observe que um ponto qualquer do plano em relação à uma circunferência pode ocupartrês posições possíveis: ou o ponto é interior à circunferência, ou é exterior ou pertenceà circunferência. Se você substituir as coordenadas (x;y) do ponto no primeiro membroda equação da circunferênciax2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 e encontrar zero, isto significa que o ponto pertence àcircunferência, o que é óbvio.Se você obtiver um valor positivo, o ponto é obviamente exterior e se o valor obtido fornegativo, o ponto é obviamente interior. Isto parece-me por demais óbvio e, portanto,omitirei a justificativa.Substituindo o ponto P(-5;0) onde x = -5 e y = 0 no primeiro membro da equação dacircunferência17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0, teremos:17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 17.(-5)2 + 17.02 – 99.(-5) + 81.0 – 266 = +654 > 0.Portanto, o ponto P(-5,0) fica fora da circunferência 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0.Agora resolva estes:1 - A equação da circunferência que passa pelos pontos A(0;7), B(-7;0) e C(0;-7) é:a) x2 + y2 – 49 = 0b) x2 + y2 + 49 = 0c) x2 – y2 – 49 = 0d) x2 + y2 – 99 = 0e) x2 + y2 + 99 = 02 – Verifique se o ponto Q(3; -4) fica dentro ou fora da circunferência de equaçãox2 + y2 – 7x + 8y - 20 = 0.Resposta: dentro.INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL

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