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Geometria
 

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    Geometria Geometria Presentation Transcript

    • Geometria planaÍndice Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira ― www.ser.com.br Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo 1
    • PolígonosDefinição Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos 2
    • Polígonos Polígonos convexos e polígonos côncavos Polígonos convexos Polígonos côncavosUm polígono se diz convexo quando o Um polígono se diz côncavo quandosegmento de reta que une dois pontos existem dois pontos de sua região interna quaisquer de sua região interna está tais que o segmento de reta por eles sempre contido nela. determinado não está contido nela. A A B B São polígonos convexos São polígonos côncavos 3
    • Polígonos Elementos de um polígono No polígono ABCDE ao lado temos que: • Os segmentos AB, BC, CD, DE, EA A são os lados do polígono; • Os pontos A, B, C, D, E são os vérticesE B do polígono; • Os segmentos AC, AD, BD, BE, CE são as diagonais do polígono; • ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsão os ângulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB D C do polígono; Nota: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono. 4
    • Polígonos Polígonos regulares Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos A congruentes (ângulos que possuem a mesma medida).E B Num polígono regular destacamos: O • O centro É o ponto que dista igualmente de todos os vértices do polígono. (Na figura ao D C lado é o ponto O.) M 5
    • Polígonos Nome dos polígonosDe acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial. Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos: Número de Nome Número de Nome lados lados 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono 6
    • PolígonosSoma das medidasdos ângulos internos: Si = 180º ( n − 2 )Soma das medidasdos ângulos externos: Se = 360º Si 180º ( n − 2 )Ângulos internos deum polígono regular: ai = ou ai = n n Se 360ºÂngulos externos deum polígono regular: ae = ou ae = n n n ( n − 3)Número de diagonaisde um polígono: d= 2 7
    • Triângulos ― classificação Quanto aos ângulos Quanto aos ladosAcutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º.Retângulo: possui dois ângulos agudos e Isósceles: dois lados de mesma medida.um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado Obs.: os ângulos opostos aos ladoso teorema de Pitágoras: congruentes também são de mesma hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 medida.Obtusângulo: possui dois ângulos agudos Escaleno: três lados de medidase um obtuso. diferentes entre si. 8
    • Triângulos - medidas de seus ângulosSoma das medidas dos Teorema do ângulo externo ângulos internos α + β + γ = 180º α + x = 180º β+γ=x Condição de existência de um triânguloA soma das medidasdos dois lados menores b+c>atem que ser maior quea medida do lado maior. 9
    • Triângulos – cevianas e pontos notáveisCeviana Definição Ponto notável Figura É o segmento que tem como Baricentro (G): é o ponto de extremidade um vértice do encontro das medianas doMediana triângulo e o ponto médio do lado triângulo; é o centro de oposto a esse vértice. gravidade do triângulo. É o segmento que tem uma Incentro (I): é o encontro das extremidade em um vértice do bissetrizes internas doBissetriz triângulo, divide o ângulo ao meio triângulo; é o centro da e tem a outra extremidade no circunferência inscrita no lado oposto a esse vértice. triângulo, pois equidista dos três lados. É o segmento com uma Ortocentro (H): é o ponto de extremidade em um vértice e a encontro das retas que contêm Altura outra extremidade no lado oposto as alturas, podendo pertencer ou no seu prolongamento, ao exterior do triângulo. formando com ele ângulos retos. Reta que passa pelo ponto médio Circuncentro (C): é o ponto de um lado do triângulo e é de encontro das mediatrizesMediatriz perpendicular a ele. dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices. 10
    • Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.1o caso: LAL 2o caso: LLL 3o caso: ALA 4o caso: LAAoDois lados congruentes Três lados congruentes Dois ângulos Um lado congruente,e o ângulo formado congruentes e o lado um ângulo adjacente epor eles congruente compreendido entre o ângulo oposto a esse eles congruente lado congruente 11
    • Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. Assim teremos: Casos de semelhança: AB BC AC = = = constante DE EF DF1o caso: AA 2o caso: LLL 3o caso: LALSe dois ângulos de um Dois triângulos são Dois triângulos sãotriângulo são semelhantes se os lados de semelhantes se possuemrespectivamente um são proporcionais aos um ângulo congruentecongruentes a dois ângulos lados do outro. compreendido entre ladosde outro, o terceiro ângulo proporcionais.também será. 12
    • Relações métricas no triângulo retângulo Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento AD perpendicular ao lado BC , com D em BC .Definições dos segmentos:BC = hipotenusa (medida "a") Assim teremos: a =b +c 2 2 2AB = cateto (medida "c") a ⋅h = b ⋅cAC = cateto (medida "b") b = m⋅a 2BD = projeção do cateto ABsobre a hipotenusa (medida "m") c2 = n ⋅ aDC = projeção do cateto AC h2 = m ⋅ nsobre a hipotenusa (medida "n")AD = altura relativa àhipotenusa (medida "h") 13
    • QuadriláterosSão polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. Quanto aos Quanto às Quanto aos ângulos diagonais lados Ângulos opostos Encontram-se no Lados opostos Paralelogramo congruentes e seu ponto médio. congruentes. ângulos adjacentes suplementares. Quatro ângulos São congruentes. Lados opostos Retângulo retos. congruentes. Ângulos opostos São perpendiculares Quatro lados Losango congruentes e entre si e estão congruentes. ângulos contidas nas adjacentes bissetrizes dos suplementares. ângulos internos do losango. Quatro ângulos Encontram-se no Quatro lados Quadrado retos. seu ponto médio e congruentes. são congruentes. 14
    • QuadriláterosOs trapézios são quadriláteros que têm apenas um par delados paralelos, chamados base maior e base menor.Trapézio retângulo Trapézio isóscelesÉ todo trapézio que tem dois É todo trapézio que tem doisângulos retos. Nele, um dos lados não paraleloslados que não é base é congruentes.perpendicular às duas bases. 15
    • Teorema de TalesUm feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquerdeterminam segmentos proporcionais. Assim teremos: AB BC AC = = DE EF DF 16
    • Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. Assim teremos: BD AB = DC AC 17