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3ª ediçãoFUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II
F UNDAMENTOS      DAM ATEMÁTICA II
SOMESB     Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.                                    Presidente    ...
SumárioFunções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas                                                              ...
Fundamentos da Matemática IIFunção Logarítmica                                                                            ...
Apresentação de Disciplina       Caro aluno,        Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II.    Ao ...
Fundamentos da Matemática II                             Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais                           ...
1.1      Função Par                                                                                                     y ...
Fundamentos da Matemática II     1.3    Função Crescente                                                                  ...
y                              y = f(x)             Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da                 ...
Fundamentos da Matemática II                                                                                              ...
1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x ) = x 2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora?Justifique a resposta....
Fundamentos da Matemática II     Examinemos a primeira expressão.      Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, ...
“por que não traçar uma figura que representasse                                     a maneira pela qual as coisas variam?”...
Fundamentos da Matemática IIque segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a m...
parâmetro x pode ser expresso mediante uma expressão do tipo f (x ) = ax + b . Veremos mais outrasaplicações oportunamente...
Fundamentos da Matemática II   O estudo do sinal de uma função afim de modo algum exige sua representação gráfica. O conheci...
Efetuando, por fim, a substituição sugerida, obtém-se:                                                       x             ...
Fundamentos da Matemática IIe afirmamos que a velocidade ou taxa de crescimento ou decrescimento da primeira, em função do ...
x +y      = 5                         2x − 5y       =       9                      x + 2y     =   1   (a)                 ...
Fundamentos da Matemática II      (b) A quantidade de bolsas que Paulo deverá fabricar para ter um lucro de R $ 110.000, 0...
1.17       A Função Quadrática   Chamamos função quadrática à relação definida por                                         ...
Fundamentos da Matemática II   Se você percebeu, nestes casos, que as duas primeiras parcelas, em x , na expressão, se anu...
Temos, portanto, que, em função dos coeficientes a, b e c da função, o valor de xv é dado por                              ...
Fundamentos da Matemática II                                                                                              ...
Solução: Convencionemos que uma das torneiras leva x horas para encher o tanque, e que a outra o                          ...
Fundamentos da Matemática II      (a) f (x ) = x 2 − 3x + 2                                     √     √                   ...
1.35. Determinar a imagem das seguintes funções definidas em R:   (a) y = x 2 − 3x                   (b) y = −x 2 + 4      ...
Fundamentos da Matemática II      Gabarito                                                                                ...
Fundamentos matematica ii
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  1. 1. 3ª ediçãoFUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II
  2. 2. F UNDAMENTOS DAM ATEMÁTICA II
  3. 3. SOMESB Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda. Presidente Gervásio Meneses de Oliveira Vice-Presidente William Oliveira Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel SoaresSuperintendente de Ensino, Pesquisa e Extensão Germano Tabacof Superintendente de Desenvolvimento e Planejamento Acadêmico Pedro Daltro Gusmão da Silva FTC-E A D Faculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância Diretor Geral Reinaldo de Oliveira Borba Diretor Acadêmico Roberto Frederico Merhy Diretor de Tecnologia Jean Carlo Nerone Diretor Administrativo e Financeiro André Portnoi Gerente Acadêmico Ronaldo Costa Gerente de Ensino Jane Freire Gerente de Suporte Tecnológico Luís Carlos Nogueira Abbehusen Coord. de Softwares e Sistemas Romulo Augusto Merhy Coord. de Telecomunicações e Hardware Osmane Chaves Coord. de Produção de Material Didático João Jacomel E QUIPE DE E LABORAÇÃO / P RODUÇÃO DE MATERIAL D IDÁTICO Produção Acadêmica Autor Adriano Pedreira Cattai Rui de Jesus Santos Gerente de Ensino Jane Freire Supervisão Ana Paula Amorim Coordenador de Curso Geciara da Silva Carvalho Revisão Final Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento. Produção Técnica Edição em LATEX 2ε Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento. Revisão de Texto Carlos Magno Coordenação João Jacomel Alexandre Ribeiro, Cefas Gomes, Clauder Filho, Delmara Brito, Diego Doria Aragão, Diego Maia, Fábio Gonçalves, Equipe Técnica Francisco França Júnior, Hermínio Filho, Israel Dantas, Lucas do Vale, Marcio Serafim, Mariucha Ponte, Ruber- val Fonseca e Tatiana Coutinho. Copyright c FTC-E A D Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-E A D - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância. www.ead.ftc.br
  4. 4. SumárioFunções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas 6Funções Afins e Quadráticas 6Definições Elementares 6 1.1 Função Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Função Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Função Decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Função Sobrejetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Função Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Função Bijetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.9 Função Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10A Função Afim 11 1.11 O Gráfico da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.12 Sinal de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.13 A Inversa da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.16 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18A Função Quadrática 20 1.17 A Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.18 Raízes de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.19 Extremo de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.20 Sinal de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.21 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.22 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Funções Exponenciais e Logarítmicas 28Função Exponencial 28 2.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Potência de Expoente Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Propriedades das Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Inequações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3
  5. 5. Fundamentos da Matemática IIFunção Logarítmica 36 2.8 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.9.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10 Equações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.11 A Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.12 Gráfico da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.13 Inequações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43Funções Trigonométricas 44Trigonometria 44 3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Arcos Côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Funções Trigonométricas 48 3.3 As Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Outras Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Outras Funções Elementares 53Outras Funções Elementares 53 4.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.6 Função Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Atividade Orientada 60 5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4
  6. 6. Apresentação de Disciplina Caro aluno, Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II. Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns dos temas usualmente vistos no ensino médio, a exemplo das funções elementares: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Buscamos, tanto quanto possível, ilustrá-los mediante exemplos e interessantes apli- cações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demon- strações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados. Ao longo do texto, inserimos questões para reflexão. Sugerimos que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante atenção. Incluímos, também, exercícios resolvidos e atividades comple- mentares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades orientadas como parte de sua de avaliação individual. E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que pos- samos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte na carreira que escolheu. Prof. Rui Santos 5
  7. 7. Fundamentos da Matemática II Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas Funções Afins e QuadráticasDefinições Elementares Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresen-tada da seguinte forma: Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos números reais, associa um único número f (x ) de um subconjunto B dos números reais. Em outras palavras: f : A → B é função ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ; y = f (x ). O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B queestão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto Bé chamado de contradomínio da função. As seguintes notações foram estabelecidas: 1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A. 2. x → f (x ) para dizermos que f associa o número f (x ) ∈ B ao número x ∈ A. 3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio. 4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C ) o conjunto dos números f (x ), com x ∈ C , que é chamado de imagem de C . Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a FunçãoQuadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições: 6
  8. 8. 1.1 Função Par y y = f(x) Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função par, se f (−x ) = f (x ), ∀ x ∈ (−c , c ). Um exemplo bem simples de função par é f (x ) = x 2 . Seu gráfico éexibido ao lado. -a a x f(a) = f(-a) De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda: f (−x ) = (−x )2 = x 2 = f (x ). 1.2 Função Ímpar Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função ímpar, se f (−x ) = −f (x ), ∀ x ∈ (−c , c ) A função g (x ) = x 3 é um exemplo de função ímpar, pois, g (−x ) = (−x )3 = −x 3 = −g (x ). Nota 1. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função definida por h(x ) = x − x 2 . Assim, ´ h(−x ) = −x − (−x )2 = −x − x 2 = h(x ) h(−x ) = −x − x 2 = −x + x 2 = −h(x ) Nota 2. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar: fI (x ) Þ ß f (x ) + f (−x ) f (x ) − f (−x ) f (x ) = fP (x ) + fI (x ) = + , 2 ßÞ 2 fP (x ) em que a função fP (x ) é uma função par e fI (x ) é uma função ímpar. Verifique! Se considerarmos a função h(x ) = x − x 2 , exibida acima, então, x − x2 − x − x2 fP (x ) = = −x 2 2 x − x 2 − (−x − x 2 ) x − x2 + x + x2 fI (x ) = = −x 2 = = x, 2 2 ou seja, h(x ) = fP (x ) + fI (x ). 7
  9. 9. Fundamentos da Matemática II 1.3 Função Crescente y f(x) Uma função f é crescente f(b) se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) < f (b ). f(a) a b x 1.4 Função Decrescente y Uma função f é decrescente f(a) f(x) se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) > f (b ). f(b) a b x 1.5 Função Sobrejetora Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seudomínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A → B , então: ∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A; y = f (x ). 1.6 Função Injetora Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, comoimagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos: x1 , x2 ∈ A, x1 = x2 , ⇒ f (x1 ) = f (x2 ). Nota 3. Uma outra maneira de exibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva, ou seja, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . 8
  10. 10. y y = f(x) Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal que suas imagens são iguais. x 1.7 Função Bijetora Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação sim-bólica deste conceito como exercício. 1.8 Função Inversa Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ouseja, para cada y ∈ B , existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x ). Assim, podemos definir umafunção g : B → A tal que x = g (y ). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , aqual denotaremos por f −1 . Em outras palavras: f −1 : B → A y → x = f −1 (y ) y y y=x a2 b2 A B a1 b1 a1 a2 x A b1 B b2 x f : A → B f −1 : B → A a → b = f (a) b → a = f −1 (b ) 1.9 Função Periódica Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p = 0 tal que f (x + p ) = f (x ) paratodo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p ) = f (x ) é chmado de período da função f . Ográfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p |. 9
  11. 11. Fundamentos da Matemática II y 6Na disciplina Fundamentros da Matemática III, veremos que asfunções f (x ) = sen(x ) e g (x ) = cos(x ) são funções periódicasde período 2π.A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica deperíodo 4. -6 -2 2 6 x 1.10 Exercícios Propostos √1.1. Para que valor de x , f (x ) = x + 2 é igual a 6? e 0?1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x ), dados pelos conjuntos abaixo, nãodefinem uma função. x2 y2 (a) R1 = {(x , y ) ∈ Z × Z; x 2 + y 2 = 4} (c) R3 = (x , y ) ∈ Z × Z; + =1 9 4 (b) R2 = {(x , y ) ∈ N × Z; x − y 2 = 0} (d) R4 = {(x , y ) ∈ N × Z; x 2 − y 2 = 0}1.3. Exiba os domínios das seguintes funções: x 2 (a) f (x ) = + 1 (d) f (x ) = √ 3 1−x 1 2x − 1 (b) f (x ) = (e) f (x ) = 2 x x −4 √ √ √ 1−x x − x 2 − 25 (c) f (x ) = (f) f (x ) = 2 x1.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar. 1 (a) f (x ) = x 5 (b) f (x ) = (c) f (x ) = x 3 − x (d) f (x ) = 5 − x 2 x21.5. Mostre que as funções abaixo não são nem pares e nem ímpares, e expresse-as como uma soma deuma função par com uma função ímpar. 1 (a) g (x ) = x 2 − x (b) h(x ) = x 2 + x1.6. Dada uma função qualquer f : [−a, a] → R, mostre que: (a) a função g definida por g (x ) = f (x ) + f (−x ) é uma função par; (b) função h definida por h(x ) = f (x ) − f (−x ) é uma função ímpar.1.7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções: f f (x ) (f ± g )(x ) = f (x ) ± g (x ), (f · g )(x ) = f (x ) · g (x ) e (x ) = (g (x ) = 0). g g (x ) √ √Considere agora, que f (x ) = x − 2 e g (x ) = 16 − x 2 . Determine: f (i) (a) (f + g )(x ); (b) (f · g )(x ); (c) (x ) g (ii) os domínios das funções do item (i)10
  12. 12. 1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x ) = x 2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora?Justifique a resposta. Gabarito Questão. 1.1. 34 e −2 Questão. 1.3. (a) R . (b) R − {0}. (c) {x ∈ R; x ≤ 1} . (d) {x ∈ R; x < 1}. (e) R − {±2}. (f) {x ∈ R; x ≥ 5}. Ô Ô Õ √ x −2 Questão. 1.4. (a) Par. (b) Par. (c) Ímpar. (d) Par. Questão. 1.7. (i.a) x − 2 + 16 − x 2 . (i.b) (x − 2) · (16 − x 2 ). (i.c) . 16 − x 2 (ii.a) {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.b) {x ∈ R; x ≤ −4 ou 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.c) {x ∈ R; x < −4 ou 2 ≤ x < 4}. Questão. 1.8. Não, pois f (2) = f (−6) = 0.A Função Afim Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x ) = ax + b , em que a e b são númerosreais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b "são co-mumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento edecrescimento desta função, sua inversa e condições de existência, e outras propriedades e aplicações?Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou,eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso,este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, comoescolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadorasTelemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos: TELEMAR EMBRATEL Aparelho Assinatura mensal Aparelho Assinatura mensal R $ 430, 00 R $ 70, 00 R $ 690, 00 R $ 50, 00 Qual destas opções é mais vantajosa? Como resposta, experimente descrever cada um desses planos em termos de uma expressão queforneça o montante pago em função do tempo de assinatura. Você sabia? A este trabalho, que busca uma expressão conveniente para a descrição de uma determinada situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medic- ina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas. Você deve ter obtido expressões do tipo: f (t ) = 70t +430 e g (t ) = 50t +690, respectivamente. É possívelque não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas expressões; neste caso, queira consultar oApêndice 1, “Modelagem matemática”. Apresentamos ali, um passo a passo com explicações um poucomais detalhadas sobre esse exemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção,ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade paraconsultá-los. 11
  13. 13. Fundamentos da Matemática II Examinemos a primeira expressão. Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, precisamente, ao valor inicialmente pago, antes sequer do primeiro mês de contrato. Em termos mais genéricos, isto nos fornece uma interessante interpretação para o coeficiente linear numa função afim. Ele corresponde ao valor da função f (t ) avaliado em t = 0. Quanto ao coeficiente angular, suponhamos que após uma longa pechincha, o gerente da empresa de telefonia concorda em alterar sua proposta, concedendo um coeficiente angular realmente pro- mocional. Imagine, então, que a nossa nova função é: f1 (t ) = 50t + 430. Compare-a com a anterior, f (t ) = 70t + 430. O que acha que muda no decorrer do contrato? Obvia-mente, a taxa de crescimento de nosso montante é menor. E isto nos leva a uma óbvia, mas fundamental,conclusão: O coeficiente angular, numa função afim, é o único fator que determina o seu crescimento ou decrescimento. Nos exemplos que acabamos de ver, ambas as funções f (t ) = 70t + 430 e f1 (t ) = 50t + 430,em que ambos os coeficientes angulares são positivos, são crescentes, porém, observe que a velocidadeou taxa de crescimento mudou. No apêndice 2, “Crescimento e Decrescimento”, ilustramos com mais detalhes a influência do coefi-ciente angular sobre a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Queira consultá-lo, senecessário. A propósito, o que você supõe que acontece se o coeficiente angular for negativo ou nulo?Agora é a sua vez! O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em tempos iguais. Sua velocidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule estas definições matematicamente, e obtenha explicitamente a posição f (t ) do ponto em termos de uma função de t e do ponto de partida. Uma corrida de táxi custa m reais por km rodado, mais uma taxa fixa de n reais, chamada bandeirada. Formule, matematicamente, o custo de uma corrida como função do número x de quilômetros per- corridos.Um pouco de história Foi por volta de 1.360 d.C. que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamentobrilhante:12
  14. 14. “por que não traçar uma figura que representasse a maneira pela qual as coisas variam?” Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções. Esteprocesso era conhecido, então, como “a latitude das formas”. Oresme usava os termos latitude e longitudedum modo equivalente à ordenada e à abscissa, e sua representação gráfica assemelhava-se à nossageometria analítica. Naturalmente, seu uso de coordenadas retangulares, ou cartesianas, não era novo,mas a sua representação gráfica de uma quantidade variável, sim. 1.11 O Gráfico da Função Afim Oresme sabia, já em 1.360 d.C., que a ‘latitude das formas’, ou gráfico, de uma função afim era umareta. Aliás, não apenas o gráfico de uma função afim é uma reta, mas, reciprocamente, a toda reta noplano corresponde uma, e apenas uma, função. O gráfico da função f (x ) = ax + b é uma reta. Prova: Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta, ou seja, existem três pontos A, B e C distintos dois a dois, do gráfico de f que não estão alinhados, conforme figura. Sejam (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) e (x3 , y3 ), respectivamente, y as coordenadas cartesianas destes pontos. Nestas condições, temos y3 C y1 = a · x1 + b B b E y2 y2 = a · x2 + b y3 = a · x3 + b A a D Subtraindo membro a membro, obtemos: y1 y3 − y2 = a(x3 − x2 ) y3 − y2 y2 − y1 x1 x2 x3 x ⇒ = = a. y2 − y1 = a(x3 − x2 ) x3 − x2 x2 − x1 Observe que y3 − y2 CE y2 − y1 BD = = tg β e = = tg α. x3 − x2 BE x2 − x1 AD e, então tg β = tg α, ou seja, devemos ter α = β e, portanto, os pontos A, B e C estão neces- sariamente alinhados. Isso conclui a nossa prova. Transcrevemos, agora, um resultado fundamental da Geometria Plana que, aplicado ao nosso trabalho,simplifica, em muito, a representação de uma função. Dados dois pontos distintos no plano, P1 e P2 existe uma única reta que os contém. Temos, portanto, que dada uma função afim f (x ) bastam dois pontos (x1 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )) pararepresentá-la graficamente. Naturalmente, podemos tomar uma seqüência de pontos, construindo umatabela e enumerando infinitos valores x1 , x2 , x3 , . . . , xp , . . . , e suas respectivas imagens. É claro, porém, 13
  15. 15. Fundamentos da Matemática IIque segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesmareta.Uma dica y y = ax + b Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b : ele indicao valor da função f (x ) avaliado em x = 0. (0,b)Isto equivale a dizer que o gráfico de f (x ) = ax + b passa pelo ponto (0, b ). x ( --,0 ) b a Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - nestecaso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosase interessantes aplicações. O exemplo seguinte ilustra este fato. Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faixa de Mês Pesozero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P (t ) é uma 2 ◦ 4.450 greta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado: 5 ◦ 6.700 g Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a P (peso em gramas) saber, P2 6.700 P1 (2, 4.450) e P2 (5, 6.700). Se uma reta é bem determinada por dois de seus pon- tos, obviamente, deve ser possível, com os dados que P1 temos, P1 e P2 , obter a expressão 4.450 f (t ) = at + b , 1 3 5 t (meses) que representa a função. Observe como podemos fazê-lo.Da seguinte identificação y = f (t ) = at + b , escrevemos: 4.450 = a·2+b 6.700 = a·5+bresultando no seguinte sistema de equações: 2a + b = 4.450 5a + b = 6.700Observe que os valores a determinar, desta vez, são os coeficientes angular e linear da função. Ao resolvê-lo, você terá obtido a expressão que fornece o peso ideal duma criança, em função de sua idade t e seupeso ao nascer, que é: f (t ) = 750t + 2.950. Há, de fato, inúmeras outras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Al-iás, todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função do tempo ou de qualquer outro14
  16. 16. parâmetro x pode ser expresso mediante uma expressão do tipo f (x ) = ax + b . Veremos mais outrasaplicações oportunamente. Até agora recapitulamos a definição de função afim. Vimos as implicações de seus coeficientes angu-lar e linear sobre o valor inicial da função, bem como seu crescimento e decrescimento. Consideramosalgumas situações que envolvem modelagem matemática em termos destas funções e, por fim, relem-bramos interessantes aspectos sobre como representá-la graficamente e, reciprocamente, como obter suaexpressão a partir de seu gráfico. Naturalmente, não esgotamos todo este tópico. Mas esta introdução aoassunto deve servir como um bom ponto de partida para aplicações e conceitos adicionais. 1.12 Sinal de uma Função Afim Nos parágrafos anteriores, examinamos o gráfico de uma função afim. Deste exame, obtemos infor-mações importantes sobre o seu sinal, isto é, quanto aos intervalos em que a função é positiva, negativaou nula. Em primeiro lugar, vimos que a raiz de uma função do primeiro grau f (x ) = ax + b , que corresponde aovalor de x que anula a função, é dado pela solução da equação ax + b = 0, e corresponde a: b x =− . a Para qualquer x diferente deste valor, temos que a função ou é positiva ou é negativa, conforme ocrescimento ou decrescimento da função. Considere o exemplo a seguir, em que temos uma funçãocrescente. y Seja f (x ) = 2x − 6 uma função cuja raiz é, evidentemente, x = 3.Seu gráfico exibimos ao lado. Note como, para valores maiores do que x = 3, o gráfico da x 3função se encontra acima do eixo-x , portanto, a função é positiva.Reciprocamente, para valores menores que 3, a função é negativa. -6 y -6 O gráfico ao lado representa desta vez, uma função decrescente: f (x ) = −2x +6; note como isto afeta a distribuição de sinais da função. Temos que, para valores maiores do que 3 a função é, desta vez, 3 x negativa. Isto naturalmente decorre de esta ser uma função decres- cente. 15
  17. 17. Fundamentos da Matemática II O estudo do sinal de uma função afim de modo algum exige sua representação gráfica. O conhecimentoda raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento é obastante. Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de uma função afim. A V A 1.13 A Inversa da Função Afim No Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) de Fundamentos de Matemática I, no capítulo sobrefunções, vimos um fato fundamental sobre funções bijetoras: elas, e apenas elas, possuem inversa. Con-forme deve lembrar, funções bijetoras são aquelas que estabelecem umacorrespondência biunívoca entre seu domínio e seu contra-domínio. Observe como é este o caso deuma função afim, desde que, naturalmente, não seja constante. O modo como obtemos a inversa de uma função afim y = f (x ) pode ser descrito como a seguir. Seja y = ax + b . Desejamos, em primeiro lugar, escrever x em função de y . Isto corresponde a isolar avariável x no primeiro membro, e pode ser feito assim: ax + b = y ax = y −b y −b y b x = = − . a a a Obtivemos, aqui, uma nova função x (y ) dada pela expressão: 1 b x (y ) = ·y − . a a Não é comum escrever x como função de y . É meramente uma questão de costume entre nós. Portanto,uma vez obtida a inversa de uma função, intercambiamos as variáveis x e y , de modo a termos y comofunção de x , como se costuma escrever. Assim, escrevemos a inversa em sua forma final: 1 b y (x ) = ·x − . a a Evidentemente, não convém decorar esta expressão. Ao contrário, em cada caso, basta que se façamas manipulações algébricas necessárias, como ilustramos abaixo: Seja a função f (x ) = 2x + 4. Para obter sua inversa, isolamos a variável x , no primeiro membro, assim: y 4 2x + 4 = y ⇔ 2x = y − 4 ⇔ x = − . 2 2donde y x= − 2. 216
  18. 18. Efetuando, por fim, a substituição sugerida, obtém-se: x y= − 2, 2que é a função inversa desejada. 1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática Consideremos o caso das operadoras de telefonia, proposto inicialmente em nosso roteiro. Naqueleexemplo, ambas as operadoras cobram um valor inicial pela aquisição do aparelho, de R $ 430, 00 (Telemar)e R $ 690, 00 (Embratel). O montante pago, no decorrer do contrato é, evidentemente, uma função dotempo de assinatura. E, no caso das duas operadoras, varia conforme a tabela a seguir, onde indicamosos valores até o terceiro mês; observe que, em cada coluna, na segunda linha, o valor indicado entreparênteses corresponde precisamente ao que foi pago no mês precedente. Observe também o modocomo agrupamos e reescrevemos estes valores, na terceira linha. Queremos, com isso, tornar evidente aexpressão genérica que indica o valor da função ‘Montante’ num tempo t qualquer. TELEMAR ◦ Compra do aparelho 1 mês 2◦ mês 3◦ mês 430 430 + 70 (430 + 70) + 70 (430 + 70 + 70) + 70 430 70 + 430 70 · 2 + 430 70 · 3 + 430 Pare um pouco e pense em como completaria a tabela com os valores do 4◦ e do 5◦ mês. Qual seria ovalor obtido para o 12◦ mês? Se você percebeu que, em cada mês, há um valor fixo (430), se observou que o valor da assinaturamensal (70) é, em cada mês, multiplicado pelo correspondente tempo de assinatura t e, por fim, se notoucomo esses valores são somados para se obter o montante respectivo, concordará com a expressão queobtivemos para a nossa função: f (t ) = 70t + 430. Faremos o mesmo para a operadora Embratel. Observe cuidadosamente a tabela e compare as duasexpressões obtidas. EMBRATEL Compra do aparelho 1◦ mês 2◦ mês 3◦ mês 690 690 + 50 (690 + 50) + 50 (690 + 50 + 50) + 50 690 50 + 690 50 · 2 + 690 50 · 3 + 690 f (t ) = 50t + 690. 1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento Em nosso roteiro, comparamos as duas expressões: f (t ) = 70t + 430 e f1 (t ) = 50t + 430 17
  19. 19. Fundamentos da Matemática IIe afirmamos que a velocidade ou taxa de crescimento ou decrescimento da primeira, em função do tempo,é maior. Embora pareça evidente, vamos, inicialmente, ilustrar este fato de um modo bem simples. Con-sidere a tabela abaixo, em que registramos os valores correspondentes à primeira e à segunda expressão. f (t ) = 70t + 430 f1 (t ) = 50t + 430 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 430 500 570 640 710 430 480 530 580 630 Comparando mês a mês os valores calculados em cada expressão, vemos, t |f (t ) − f1 (t )|conforme ilustrado na tabela ao lado, que a sua diferença aumenta em função 0 0do tempo. Isto parece confirmar a nossa suposição de que o coeficiente angu- 1 20lar é o que determina a taxa ou, noutras palavras, o modo de crescimento ou 2 40decrescimento de uma função afim. Nos casos que examinamos aqui, em que 3 60o coeficiente angular é positivo, ambas as funções são crescentes. 4 80 Agora é a sua vez! Preencha numa tabela seguinte, os valores correspondentes à função, f (t ) = −50t + 430, em que mantivemos o coeficiente linear, mas tornamos o coeficiente angular negativo. Por fim, experimente representar as três funções que examinamos aqui num mesmo sistema de coordenadas. Em resumo, os dados e informações obtidos ilustram e confirmam um resultado que vimos diversasvezes no ensino médio: enquanto o coeficiente linear ‘b ’, numa função afim f (x ) = ax + b , indica o valor‘inicial’ da função, avaliado em x = 0, o coeficiente angular determina o seu crescimento ou decrescimento,isto é, a função será crescente, decrescente ou constante conforme ‘a’ seja positivo, negativo ou nulo,respectivamente. 1.16 Exercícios Propostos 1.9. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por: xf (x ) = x , g (x ) = 4x , h(x ) = 2x e p (x ) = . 2 1.10. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por: xf (x ) = −x , g (x ) = −4x , h(x ) = −2x e p (x ) = − . 21.11. Construir o gráfico cartesiano das funções de R em R dadas por: (a) y = 2x − 1 (c) y = 3x + 2 (e) y = −3x − 4 (g) y = −2x + 3 2x − 3 4 − 3x (b) y = x + 2 (d) y = (f) y = −x + 1 (h) y = 2 21.12. Resolver analítica e graficamente os sistemas de equações:18
  20. 20. x +y = 5 2x − 5y = 9 x + 2y = 1 (a) (c) (e) x −y = 1 7x + 4y = 10 2x + 4y = 3 3x − 2y = −14 4x + 5y = 2 2x + 5y = 0 (b) (d) (f) 2x + 3y = 4 6x + 7y = 4 3x − 2y = 01.13. Obter a equação da reta que passa pelos pontos (a) (1, 2) e (3, −2) (b) (2, 3) e (3, 5) (c) (1, −1) e (−1, 2) (d) (3, −2) e (2, −3)1.14. Obter a equação da reta que passa pelo ponto: (a) (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3; (c) (−2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4; 1 (b) (−3, 1) e tem coeficiente angular igual a − ; (d) (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2. 21.15. Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em R. (a) y = 1 + 5x (b) y = x + 2 (c) y = −3x − 21.16. Das alternativas abaixo, está correta apenas: (a) Uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente; (b) Se uma função afim não é crescente, então ela é decrescente. (c) Se uma função afim não é decrescente, então ela é crescente. (d) Se o conjunto das raízes de uma função constante não é vazio, então é infinito.1.17. Estudar os sinais das funções, ou seja, para que valores de x a função é positiva, negativa ou nula: (a) y = 2x + 3 (b) y = −3x + 2 (c) y = 4 − x (d) y = 5 + x1.18. Dada a função f (x ) = −2x − 5, é correto dizer que: (a) f não tem raiz, pois o coeficiente de x é negativo; (c) Esta função é decrescente; 1 1 (b) Seu gráfico intersecta o eixo 0x no ponto (−2, 0); (d) Sua inversa é f −1 (x ) = − − . 2x 5 2 x1.19. Para que valores de x ∈ R a função f (x ) = − é negativa? 3 31.20. Determine m de modo que o gráfico da função f (x ) = −2x + 4m + 5, intercepte o eixo-x no ponto deabscissa 3.1.21. A unidade de um certo produto fabricado por uma indústria tem custo unitário de R $ 11, 00 e suaprodução tem um custo fixo de R $ 300, 00, devido a taxas de transporte. Qual o custo de 100 unidadesdesse produto?1.22. Construa o gráfico da função: ´ 3x + 1 , se x ≥ 1 f (x ) = 1 , se x < 11.23. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de R $ 4.000, 00 comaluguel, manutenção, máquinas, etc., e que o preço de custo de cada bolsa seria R $ 200, 00. Resolveu,então, fixar o preço em R $ 250, 00, para a venda de cada bolsa. Determine: (a) O menor número de bolsas que Paulo deve fabricar para não ter prejuízo 19
  21. 21. Fundamentos da Matemática II (b) A quantidade de bolsas que Paulo deverá fabricar para ter um lucro de R $ 110.000, 00 4x − 11.24. Sejam as funções f (x ) = 2x + 3, g (x ) = 2 − 3x e h(x ) = definidas em R. Para que valores de 2x ∈ R, tem-se: (a) f (x ) ≥ g (x )? (c) f (x ) ≥ h(x )? (b) g (x ) < h(x )? (d) Ilustre cada item acima graficamente. Gabarito 34 40 Questão. 1.12. (a) (3, 2). (b) − , . (c) (2, −1). (d) (3, 2). (e) ∅. (f) (0, 0). Questão. 1.13. (a) y = −2x + 4. (b) y = 2x − 1. (c) 13 13 3 1 1 1 y = − + . (d) y = x − 5. Questão. 1.14. (a) y = −3x − 2. (b) y = − x − . (c) y = 4x + 9. (d) y = 2x + 1. Questão. 1.15. (a) 2 2 2 2 crescente. (b) crescente. (c) decrescente. Questão. 1.16. d. y =0⇒x =− 3 y =0⇒x = 2 ´ ´ 2 3 y =0⇒x =4 y = 0 ⇒ x = −5 3 2 Questão. 1.17. (a) y >0⇒x >− . (b) y >0⇒x < . (c) y > 0 ⇒ x < 4 . (d) y > 0 ⇒ x > −5 . 2 3 3 2 y <0⇒x >4 y < 0 ⇒ x < −5 y <0⇒x <− y <0⇒x > 2 3 1 Questão. 1.18. c. Questão. 1.19. x > 2. Questão. 1.20. m = . Questão. 1.21. R $ 1.400, 00. Questão. 1.23. (a) 80. (b) 2.280 4 1 1 Questão. 1.24. (a) x ≥ − . (b) x > . (c) ∀ x . 5 2A Função Quadrática O aparelho ao lado chama-se osciloscópio. Ele permite visualizar grafi-camente sinais elétricos tais como voltagem e corrente elétrica. I Suponha que ele forneça, num ponto em determinado circuito, o seguinte sinal representado graficamente ao lado. Este é um sinal conhecido como ‘dente de serra’ e tem diversas apli- cações em televisão e outras formas de tratamento de imagens. Observe atentamente o seu gráfico. Localmente, isto é, tomando-se um intervalo a b t adequado - digamos [a, b ] - ele representa uma função afim, cujo estudo fizemos no capítulo precedente. Técnicos e engenheiros, em laboratório, ao lidarem com sinais alternados, isto é, variáveis como este,buscam, freqüentemente, um sinal constante - contínuo - que forneça a mesma potência do sinal original.Isto corresponde a obter uma equação quadrática conveniente, do tipo que já examinamos, no ensinomédio, há alguns anos. Oportunamente, em seus estudos de cálculo diferencial e integral, você aprenderácomo tratar este exemplo específico. Por ora, relembraremos alguns conceitos básicos sobre essa funçãoe veremos algumas de suas aplicações mais comuns.20
  22. 22. 1.17 A Função Quadrática Chamamos função quadrática à relação definida por f (x ) = ax 2 + bx + csendo a, b e c , constantes reais, com a = 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Embora se possa provar este fato, não o faremosaqui. Apresentamos, porém, uma interessante propriedade que lhe serve de definição: Considere, no plano, uma reta d e um ponto F fora dela. Uma parábola é precisamente o conjunto dos pontos no plano que são eqüidistantes do ponto P F F e da reta d . O ponto F e a reta d são, respectiva- mente, o foco e a diretriz da parábola. A reta perpen- dicular à diretriz, que passa pelo foco, chamamos de d Eixo da parábola. P ∈ Parábola ⇔ dist (P , d ) = dist (P , F ) Como fizemos no capítulo precedente, vejamos como os coeficientes a, b , c , numa função quadrática,determinam o seu comportamento. Diferentemente dos coeficientes angular e linear duma função afim, as constantes a, b e c não possuem, na teoria de funções quadráticas, uma designação especial. Elas são comumente chamadas coeficiente de x 2 , coeficiente de x e termo independente, respectivamente. A interpretação geométrica do termo independente é de to- ydas, a mais evidente e, portanto, é a que trataremos agora. 4 Tomemos uma função f (x ) qualquer, por exemplo f (x ) = x 2 + 2x + 1. 1Observe que ao avaliarmos o valor da função em x = 0, obte- -3 -2 -1 1 2 xmos: f (x ) = (0)2 + 2(0) + 1 = 1. y Tomando uma segunda função f (x ) = 2x 2 + 3x + 7, e avaliando em x = 0, temos: f (0) = 2 · 02 + 3 · 0 + 7 = 7. 7 5 Podemos, portanto, verificar que se f (x ) = ax 2 + bx + c , 3 1 então, x f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c . -2 -1 1 2 21
  23. 23. Fundamentos da Matemática II Se você percebeu, nestes casos, que as duas primeiras parcelas, em x , na expressão, se anulamem x = 0, deve-se concluir que o termo independente, ’c ’, corresponde precisamente ao valor da funçãoavaliado na origem. Em termos mais simples, o gráfico da função f (x ) = ax 2 + bx + c corta o eixo-y noponto (0, c ). Observe, abaixo, os gráficos das duas primeiras funções. O coeficiente de x 2 tem uma interpretação um tanto mais significativa. Compare os gráficos das duasfunções e f (x ) = x 2 e g (x ) = −x 2 . y y Observamos que o sinal de x 2 deter-mina a concavidade do gráfico da função. xTambém seu valor absoluto nos forneceuma interessante informação: quantomaior, mais fechada será a parábola que xa representa, e reciprocamente. f (x ) = x 2 g (x ) = −x 2 Uma vez entendida a interpretação geométrica dos coeficientes a e c numa função do segundo grau, esua relação com o seu gráfico, examinemos, agora os zeros, ou raízes, dessa função. 1.18 Raízes de uma Função Quadrática Em Fundamentos de Matemática I, relembramos um algoritmo antigo, fórmula de Bhaskara, que nospermite obter a solução de uma equação do segundo grau. Neste parágrafo, o que antes chamávamossolução, chamaremos zeros ou raízes da função que, geometricamente, correspondem aos pontos onde ográfico corta o eixo-x . Como exemplo, consideremos a função f (x ) = x 2 − 5x + 4. Suas raízes são obtidas resolvendo-se aequação x 2 − 5x + 4 = 0, donde x1 = 1 e x 2 = 4. Portanto, o gráfico dessa função corta o eixo-x nos pontos(1, 0) e (4, 0). Estas informações são, certamente, valiosas. Porém, não são suficientes para se fazer, de forma maisprecisa, o gráfico de uma função do 2◦ grau. Outros elementos são necessários para esta construção. Um destes, bastante relevante, é o estudodos pontos de máximos e mínimos de uma função quadrática que, juntamente com as informações queobtivemos acima, nos fornecerá uma idéia mais precisa de sua representação gráfica. 1.19 Extremo de uma Função Quadrática É bastante intuitivo, ao examinarmos o gráfico de uma função f (x ) do segundo grau, que seu ponto demáximo ou mínimo ocorre quando o correspondente valor de x , que chamaremos xv se encontra no pontomédio de suas raízes x1 e x2 , isto é, quando x1 + x2 xv = 2Recordemos as expressões de x1 e x2 , dadas pela fórmula de Bhaskara: √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = e x2 = . 2a 2a22
  24. 24. Temos, portanto, que, em função dos coeficientes a, b e c da função, o valor de xv é dado por b xv = − . 2a Avaliando-se a função neste ponto, obtemos f (xv ), que corresponde ao valor de máximo ou mínimo dafunção, conforme o sinal de a seja positivo ou negativo: ∆ f (xv ) = − 4a b ∆O ponto de máximo - ou mínimo - dessa função, dado por − ,− é chamado vértice da parábola. 2a 4a Até aqui, examinamos a expressão de uma função do 2◦ grau, e obtivemos alguns resultados quefornecem indicações úteis sobre o seu gráfico. Condensemos, agora, essas informações no seguinteexemplo: y Seja f (x ) = x 2 − 2x − 3. Do exame de seus coeficientes, 4observamos que: 3 2 • Interseções com os eixos coordenados: 1 1. Oy : (0, −3); -2 -1 1 2 x 2. Ox : (−1, 0) e (3, 0); -1 -2 • Concavidade: voltada para cima. -3 • Ponto de mínimo: (1, −4). -4 Para pensar Applet JAVA É possível que o gráfico de uma função do segundo grau não intersecte algum dos eixos coordenados? Em que casos isso pode V A A ocorrer? Observe que este conjunto de informações sobre o gráfico de uma função do 2◦ grau orienta-nos,similarmente, quanto à sua imagem. Com efeito, se yν = f (xν ) é o valor mínimo de uma função, isto, porsi, subentende o fato de que todos os demais valores assumidos pela função são maiores que yν , dondeescrevemos Im(f ) = {y ∈ R; y ≥ yν }. Claramente, se yν = f (xν ) é o valor máximo da função, seu conjuntoimagem é dado por Im(f ) = {y ∈ R; y ≤ yν }. 1.20 Sinal de uma Função Quadrática Estudar o sinal de uma função quadrática, basicamente, significa determinar o conjunto de valores deseu domínio para os quais a função assume valor positivo, negativo ou nulo. No parágrafo acerca de zerosou raízes de uma função, examinamos parte desta questão. Restam, portanto, os dois outros casos. Isto,conforme veremos, resume-se a observar a concavidade da parábola que a representa. 23
  25. 25. Fundamentos da Matemática II y 4 Considere a função f (x ) = x 2 − 4 cujo gráfico está exibido ao 3lado. 2 Note, em primeiro lugar, que sua concavidade é voltada para cima 1e, portanto, para valores de x situados entre as duas raízes, o valor -2 -1 1 2 xda função é negativo, sendo positivo nos demais intervalos. -1 -2 Esta breve observação é a base da resolução de inequações do ◦ -32 grau, conforme veremos abaixo: -4 Seja a inequação −x 2 + 6x − 5 ≤ 0. O gráfico da função f (x ) = −x 2 + 6x − 5 pode ser visto a seguir. y 4 2 + 1 3 5 x 1 + 5 - -2 - - - x Note as raízes desta função, bem como os intervalos onde ela assume valor negativo. Isto nos forneceo seguinte conjunto solução para a inequação: S = {x ∈ R ; x ≤ 1 ∨ x ≥ 5} 1.21 Aplicações Há muitos problemas que podem ser formulados em termos de equações e funções quadráticas. Con-sidere os seguintes: Exemplo 1.1. Um garoto chuta uma bola obliquamente. Sabendo-se que a trajetória da bola é dada pelafunção f (x ) = −x 2 + 9x − 8, determine a altura máxima atingida pela bola. y 12 10Solução: Apenas como ilustração, esboçamos o 8gráfico da função ao lado, embora não seja isso um 6requisito inicial para a resolução da questão. 4 O que se requer, nesse caso, é apenas determi- 2nar o valor máximo da função, que pode ser obtidopor se determinar f (xv ). -1 1 4 5 8 x -1 Como vimos, −b −9 f (xv ) = f =f = f (4, 5) = 12, 25. 2a −2 Exemplo 1.2. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Uma delas, sozinha, levaria 10horas a mais que a outra para enchê-lo. Quantas horas leva cada torneira para encher esse tanque?24
  26. 26. Solução: Convencionemos que uma das torneiras leva x horas para encher o tanque, e que a outra o 1 1faz em x + 10 horas. Assim, em uma hora, cada torneira contribui, respectivamente, com e do x x + 10volume total do tanque. Como, juntas, elas enchem o tanque em 12 horas, temos que, em uma hora, elas 1enchem do seu volume. Segue que, podemos escrever: 12 1 1 1 + = x x + 10 12Isto resulta na equação do 2◦ grau: x 2 − 14x − 120 = 0,cujas soluções são 20 e −6. Uma vez que não há sentido em x = −6 temos que uma das torneiras encheo tanque em 20 horas, enchendo-o a outra em 20 + 10 + 30 horas. Propriedade Refletora da Parábola Há uma interessante propriedade, conhecida já há muitos séculos como “propriedade refle- tora da parábola”, e que explicaremos aqui da seguinte maneira: Os raios que incidem na parábola, paralelamente ao seu eixo, são refletidos para seu foco F ; e inversamente, os raios, partindo do foco F que são incididos na parábola, são refletidos paralelamente ao seu eixo. d d F Eixo F Eixo Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Como exemplo, citamos as conhecidas antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os débeis sinais vindos de um satélite de televisão. Encontramos uma outra aplicação nos faróis dos automóveis e motocicletas, que são espelhados por dentro. Colocando-se a lâmpada no foco, seus raios são refletidos em feixes paralelos e bem regulares. 1.22 Exercícios Propostos1.25. Determinar os zeros reais, quando existir, das funções: 25
  27. 27. Fundamentos da Matemática II (a) f (x ) = x 2 − 3x + 2 √ √ (j) f (x ) = x 2 + (1 − 3)x − 3 (s) f (x ) = 2x 4 + 6x 2 + 4 (b) f (x ) = −x 2 + 7x − 12 (k) f (x ) = 2x 2 − 4x (t) f (x ) = −x 4 + 3x 2 − 3 2 (c) f (x ) = 3x − 7x + 22 (l) f (x ) = −3x 2 + 2 (u) f (x ) = 3x 4 − 12x 2 2 (d) f (x ) = x − 2x + 2 (m) f (x ) = 4x 2 + 3 (v) f (x ) = x 6 − 7x 3 − 8 2 (e) f (x ) = x + 4x + 4 (n) f (x ) = −5x 2 (w) f (x ) = −x 2 − 9 3 (f) f (x ) = −x 2 + x + 1 (o) f (x ) = x 4 − 5x 2 + 4 (x) f (x ) = x 2 − 9x + 8 2 (g) f (x ) = x 2 − 2x − 1 (p) f (x ) = −x 4 + 5x 2 + 36 (y) f (x ) = −x 2 + 9x − 8 (h) f (x ) = −x 2 + 3x − 4 (q) f (x ) = x 4 − x 2 − 6 (z) f (x ) = 2x 2 + x − 1 √ 3 (i) f (x ) = x 2 − 2x + (r) f (x ) = x 4 − 4x 2 + 4 21.26. Determinar os valores de m para que a função (a) f (x ) = mx 2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha dois zeros reais e distintos; (b) f (x ) = (m − 1)x 2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos; (c) f (x ) = (m + 2)x 2 + (3 − 2m)x + (m − 1) tenha raízes reais; (d) f (x ) = mx 2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo; (e) f (x ) = x 2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 tenha duas raízes reais iguais; (f) f (x ) = (m + 1)x 2 + (2m + 3)x + (m − 1) não tenha zeros reais.1.27. Obter uma equação do segundo grau de raízes: 1 −3 √ √ √ (a) 2 e −3 (b) e (c) 0, 4 e 5 (d) 1 e − 2 (e) 1 + 3e1− 3 2 2 11.28. Estude as seguintes funções, f1 (x ) = −x 2 + 2x − 1, f2 (x ) = x 2 + 3x − 2 e f3 (x ) = 3x 2 + x + 4, quanto 2a: (a) Intersecção com o eixo-y ; (b) Suas raízes e intersecções com o eixo-x ; (c) Concavidade e pontos de máximo ou mínimo. 1.29. Determinar o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo dasfunções abaixo definidas em R. (a) y = 2x 2 + 5x (d) y = −3x 2 + 12x (g) y = −x 2 + 5x − 7 (b) y = −2x 2 − 4x (e) y = 4x 2 − 8x + 4 x2 4x 1 (h) y = − + − 7x 5 2 3 2 (c) y = 2x 2 + 4x (f) y = x 2 − + 2 21.30. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.1.31. Dentre todos os números reais a e b tais que 2a + b = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.1.32. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.1.33. Dentre todos os números de soma 9, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.1.34. Determinar os vértices das parábolas: (a) y = x 2 − 4 (b) y = −x 2 + 3x (c) y = 2x 2 − 5x + 2 1x 3 2 7x (d) y = −x 2 + + (e) y = −x 2 + x − (f) y = x 2 − −2 2 2 9 326
  28. 28. 1.35. Determinar a imagem das seguintes funções definidas em R: (a) y = x 2 − 3x (b) y = −x 2 + 4 (c) y = 3x 2 − 9x + 6 3x x2 (d) y = −4x 2 + 8x + 12 (e) y = −x 2 + +1 (f) y = +x +1 2 21.36. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R e determinar suas imagens: (f) y = −3x 2 + 6x − 3 (k) y = −x 2 + 4 (a) y = x 2 − 2x − 3 (g) y = 3x 2 + 5x − 12 (l) y = 3x 2 − 9x + 6 2 (b) y = x − 2x + 3 9 (m) y = −4x 2 + 8x + 12 2 (h) y = x 2 − 3x + (c) y = −x + 2x + 3 4 3x (i) y = 3x 2 − 4x + 2 (n) y = −x 2 + +1 (d) y = 4x 2 − 10x + 4 2 x 1 (j) y = x 2 − 3x x2 (e) y = −x 2 − + (o) y = +x +1 2 2 21.37. Em cada item da questão anterior, determinar intervalos para x em que a função é maior do quezero e em que a função é menor do que zero.1.38. Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opiniãorevelou que, por cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo médiode 500 gramas cada um. Qual deve ser o preço do quilo de comida para que o restaurante tenha a maiorreceita possível? Sugestão: Inicialmente, chamemos de x o aumento no preço do quilo, em relação ao seu valor atual. Neste caso, o preço aumentado será 12 + x reais. Conforme os dados fornecidos pelo problema, se o preço passar de 12 para 12 + x reais, o restaurante perderá 10x clientes, pois são 10 clientes a menos por cada real de aumento. Uma vez que o consumo médio é de 500 gramas, a sua queda correspondente seria de 10x · 500 gramas = 5x quilos. A venda diária, então, passaria a ser 100 − 5x quilos, donde a receita seria de R (x ) = (100 − 5x ) · (12 + x ). Isto resulta na função do segundo grau f (x ) = −5x 2 + 40x + 1200. Note que seu coeficiente de x 2 é negativo, donde ela tem um ponto de máximo, que é o que se pede para determinar. y 3 1.39. Determine a função quadrática que representa ográfico ao lado: 1 -1 1 3 5 x -2 27
  29. 29. Fundamentos da Matemática II Gabarito 1 √ √ √ Questão. 1.25. (a) 1 e 2. (b) −3 e −4. (c) ∅. (d) ∅. (e) −2. (f) − e 2. (g) 1 − 2 e 1 + 2. (h) ∅. (i) ∅. (j) −1 e 3 (k) 0 e 2. (l) √ 2 6 √ √ ± . (m) ∅. (n) 0. (o) −2, −1, 1 e 2. (p) ±3. (q) ± 3. (r) ± 2. (s) ∅. (t) ∅. (u) −2, 0 e 2. (v) −1 e 2 (w) ∅. (x) 1 e 8. (y) 1 e 8. (z) 3 1 1 9 17 1 2 13 −1 e . Questão. 1.26. (a) m > − . (b) m > − . (c) m ≤ − . (d) m = −1 ou m = . (e) m = −2 ou m = . (f) m < − . 2 4 16 16 √ √ 3 5 12 Questão. 1.27. (a) x 2 + x − 6. (b) 4x 2 + 4x − 3. (c) x 2 − 5, 4x + 2. (d) x 2 + ( 2 − 1)x − 2. (e) x 2 − 2x − 2. √ √ −3 + 17 −3 − 17 Questão. 1.28. f1 : (a) (0, −1); (b) 1 e (1, 0); (c) para baixo, máximo (1, 0). f2 : (b) (0, −2); (b) e ; √ √ 2 2 −3 + 17 −3 − 17 3 17 ,0 e , 0 (c) para cima, mínimo − , − . f3 : (c) (0, 4); (b) não possui raízes; (c) para cima, mín- 2 2 2 4 3 191 5 25 imo − , − . Questão. 1.29. (a) mínimo − ; − . (b) máximo(−1; 2). (c) mínimo(−1; −2). (d) máximo(2; 12). (e) 12 48 4 8 7 9 5 3 4 7 mínimo(1; 0). (f) mínimo ;− . (g) máximo ;− . (h) máximo ; . Questão. 1.30. 4 e 4. Questão. 1.31. 2 e 4. 4 8 2 4 3 18 9 9 3 9 5 9 1 25 Questão. 1.32. b = h = 5. Questão. 1.33. e Questão. 1.34. (a) (0, −4). (b) , . (c) ,− . (d) , (e) 1 1 7 121 2 2 9 4 2 4 3 8 4 16 , . (f) ,− . Questão. 1.35. (a) y ∈ R y ≥ − . (b) {y ∈ R y ≤ 4}. (c) y ∈ R y ≥ − . (d) {y ∈ R y ≤ 16}. 2 36 6 36 4 4 25 1 (e) y ∈ R y ≤ . (f) y ∈ R y ≥ . Questão. 1.37. (a) y 0 ⇒ x −1 ou x 3; y 0 ⇒ −1 x 3. (b) . (c) . (d) 16 2 1 1 1 1 y 0 ⇒ x ou x 2; y 0 ⇒ x 2. (e) y 0 ⇒ x −1 ou x ; y 0 ⇒ −1 x . (f) y 0, ∀ x = 1. 2 2 2 2 4 4 3 (g) y 0 ⇒ x −3 ou x ; y 0 ⇒ −3 x . (h) y 0, ∀ x = . (i) y 0, ∀ x ∈ R. (j) y 0 ⇒ x 0 ou x 3; 3 3 2 y 0 ⇒ 0 x 3. (k) y 0 ⇒ x −2 ou x 2; y 0 ⇒ −2 x 2. (l) y 0 ⇒ x 1 ou x 2; y 0 ⇒ 1 x 2. (m) 1 1 y 0 ⇒ x −1 ou x 3; y 0 ⇒ −1 x 3. (n) y 0 ⇒ x − ou x 2; y 0 ⇒ − x 2. (o) y 0, ∀ x ∈ R. 2 2 Questão. 1.38. r $ 16, 00 Questão. 1.39. −x 2 + 2x + 3. Funções Exponenciais e LogarítmicasFunção Exponencial 2.1 Apresentação Em Fundamentos de Matemática I, consideramos grandezas que variam proporcionalmente entre si.Talvez recorde que duas grandezas são proporcionais quando existe entre elas uma correspondênciax → y satisfazendo as seguintes condições: (a) Quanto maior for x , maior será y , e reciprocamente; (b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x , então o valor correspondente de y será dobrado, triplicado, etc. Este é o caso de grandezas tais como peso e volume, montante e capital investido, etc. Considere, agora, o seguinte exemplo: Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura de CORPO SALA ◦um corpo, num ambiente mantido a uma temperatura constante, a 1 Medição 36 25◦varia proporcionalmente com a diferença de temperatura entre o 2a Medição 30◦ 25◦corpo e o ambiente. 3a Medição 26◦ 25◦ Para ilustrá-lo, suponha que um perito criminalista, medindo a temperatura de um corpo, num aposentoa 25◦ , obteve os valores apresentados na tabela acima.28

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