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  • 1. F UNDAMENTOS DAM ATEMÁTICA 1a Edição - 2008
  • 2. SOMESB S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA . G ERVÁSIO M ENESES DE O LIVEIRA P RESIDENTE S AMUEL S OARES S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO G ERMANO TABACOF S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSÃO P EDRO DALTRO G USMÃO DA S ILVA S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADÊMICO FTC-EAD FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA D IRETOR G ERAL M ARCELO N ERY D IRETOR ACADÊMICO R OBERTO F REDERICO M ERHY D IRETOR DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES M ÁRIO F RAGA D IRETOR C OMERCIAL J EAN C ARLO N ERONE D IRETOR DE T ECNOLOGIA A NDRÉ P ORTNOI D IRETOR A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO R ONALDO C OSTA G ERENTE DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES J ANE F REIRE G ERENTE DE E NSINO L UÍS C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO O SMANE C HAVES C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE J OÃO J ACOMEL C OORD. DE P RODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO M ATERIAL D IDÁTICO P RODUÇÃO ACADÊMICA P RODUÇÃO T ÉCNICA J ANE F REIRE J OÃO J ACOMEL G ERENTE DE E NSINO C OORDENAÇÃO A NA PAULA A MORIM C ARLOS M AGNO B RITO A LMEIDA S ANTOS S UPERVISÃO R EVISÃO DE T EXTO F ERNANDA L ORDÊLOA NA PAULA A NDRADE M ATOS M OREIRA M ARIA VALESCA S ILVA PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO C OORDENADORES DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO M ARIA VALESCA S ILVA PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO C OORDENADOR DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO A DRIANO P EDREIRA C ATTAI G ECIARA DA S ILVA C ARVALHO PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO AUTOR ( A ) E DIÇÃO EM LATEX 2ε E QUIPE A NDRÉ P IMENTA , A NTONIO F RANÇA F ILHO, A MANDA RODRIGUES , B RUNO B ENN DE LEMOS, C EFAS G OMES, C LÁUDER F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, I VES A RAÚJO, J OHN C ASAIS, MARCIO S ERAFIM , MARIUCHA S ILVEIRA P ONTE E RUBERVAL DA F ONSECA . Copyright c 2.008 FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD- Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância. www.ead.ftc.br
  • 3. SumárioBloco 1: Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia 6Tema 1: O Estudo das Funções Econômicas 6 ◦ ◦ 1.1 O Estudo das Funções do 1 e 2 Graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Funções do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Gráfico de uma Função Afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Zeros ou Raízes de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 o 1.3 Funções do 2 Grau (ou Quadráticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Gráfico de uma Função Quadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Funções Custo, Receita e Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Função Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Função Receita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Funções Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Outras Funções Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.1 Um Vínculo Orçamentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2 Funções de Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.3 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.8 Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Tema 2: Estudos de Outras Funções Matemáticas e Suas Aplicações 32 2.1 Funções Exponenciais e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Funções Logarítmicas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Propriedades Fundamentais dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1 Aplicações dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Características de Algumas Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Bloco 2: O Estudo do Cálculo e suas Implicações Econômicas 44Tema 3: Estudo do Cálculo Diferencial e suas aplicações 44 3.1 Noções Básicas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Derivadas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Pontos de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Fundamentos da Matemática 3
  • 4. 3.4 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4.1 Notação de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.2 Derivadas de Algumas Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Taxas de Variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6 Taxa de Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7 Aproximação por Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8 Aproximação da Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tema 4: Estudo do Cálculo Integral e Aplicações 55 4.1 Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Regras de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Integração da Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 4.2.2 A Integral da Função f (x ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 x 4.2.3 A Integral da Função f (x ) = e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.4 A Integral do Produto de uma Constante por uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.5 A Integral da Soma é a Soma das Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 Integral por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Área e Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5.2 Área com Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5.3 Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6 Aplicações: O Excedente do Consumidor e do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6.1 Lucro Líquido Excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6.2 Excedente do Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.3 Excedente do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Referências Bibliográficas 664 FTC EAD |
  • 5. A PRESENTAÇÃO DA D ISCIPLINAPrezados, Sejam bem vindos! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi conce-bido e escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática,seus objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bachareladoem Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organiza-ção e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem. Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente,os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devemser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina: 1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e exercitando MUITO. 2. Refaça os exercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento para encontrar a solução. 3. Resolva todos os exercícios complementares e propostos. 4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em exercícios que o estimulam a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras. 5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental e do ensino médio, como, por exemplo, o de números reais, equações e funções. 6. Utilize uma calculadora científica quando julgar necessário. Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneiraque somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva quepossa lhe levar a compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática. Estejam sempre atentos, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e osmecanismos que facilitam a compreensão de uma determinada teoria ou problema. Desta forma,vocês aprenderão e sentirão cada vez mais prazer em estudar. Prof. Profa . Geciara da Silva Carvalho e Prof. Jones Garcia da Mata.
  • 6. BLOCO 01 Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia Apresentação A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática frequentemente origina expressões que envolvem combinação de funções. Considere os seguintes questionamentos: • Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo? • Que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? • Será possível, determinar a depreciação de um determinado bem? • Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção? O uso do conceito e propriedades de algumas funções nos permite responder tais perguntas, pois elas representam uma “fatia da matemática” que possibilita descrevê-las como ferramentas para o desenvolvimento de modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. Além disso, constitui-se o objeto fundamental do Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco 2. Nesta perspectiva, faremos uma abordagem prática de tais conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os Modelos econômicos e financeiros. Neste bloco, trabalharemos, no tema I, o estudo das funções econômicas e, no tema 2, aplicações de outras funções, tais como função exponencial e a logarítmica. Portanto, tais conceitos serão trabalhados de forma contextualizada e, sempre que possível, faremos uma revisão dos conteúdos matemáticos envolvidos. TEMA 01 O Estudo das Funções Econômicas O Conceito de Função no Cotidiano As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por exemplo, o custo C de se enviar uma carta pelo correio depende do seu peso P . Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P . Assim: 1.1 Definição. Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função de x e escreve-se y = f (x ) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca, no sentido x → y . A x chama-se variável independente e a y variável dependente. Existem quatro maneiras de representar uma função: • verbalmente: descrevendo-a com palavras6 FTC EAD |
  • 7. • numericamente: por meios de tabelas • graficamente: visualização através de gráficos • algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capazde compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação aoutra com desenvoltura. Nos conteúdos a seguir, buscamos exemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o con-teúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destesconteúdos no cotidiano do aluno, é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos e, por fim,desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visual-ização, experimentação numérica e gráfica e aplicada do objeto apreendido. No entanto, cabe ao estudanteconsiderar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhe permita desenvolvera capacidade de “tomar partes de descobertas”. “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta". George Polya Portanto, trataremos especificamente no tema I de aplicações de funções econômicas de 1o e 2o graus,a saber: Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outrasaplicações. No entanto, de forma sucinta, destacaremos as propriedades de cada função a ser trabalhada,tendo como foco a contextualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo conexõesentre diversos conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas. 1.1 O Estudo das Funções do 1◦ e 2◦ Graus A qualquer conexão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de "relação"de A em B .Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial,em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B , o qual é denominadofunção. Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir. Suponha que você necessite utilizar um táxi para deslocar-se até a sua unidade pedagógica. O preço apagar pela corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes:uma parte fixa denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número x de quilômetros rodados.Supondo que a bandeirada custe R $3, 00 e o quilômetro rodado R $0, 60. A tarifa de táxi é obtida através dafórmula: y = 0, 60 · x + 3. Esta expressão matemática se constitui em um exemplo de função, particularmente, uma função do 1o grau. Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes. 1. Uma função f de A em B é uma relação em A × B que associa a cada variável x em A, um único y em B . Fundamentos da Matemática 7
  • 8. 2. Uma das notações mais usadas para uma função f de A em B é: f :A→B 3. O conjunto A é chamado de domínio da função. 4. O elemento y é chamado imagem de x por f e denota-se y = f (x ). 5. O conjunto B é o contradomínio da função. 1.2 Funções do 1o Grau 1.2 Definição. Uma função real do 1o grau ou afim, é qualquer função que pode ser escrita sob a forma f (x ) = ax + b , com a um número real não nulo e b um real. Simbolicamente, f : R → R; f (x ) = ax + b em que a, b ∈ Rea = 0 é função real afim. Os exemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1o grau. Exemplo 1.1. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a função f : A → B definida por f (x ) = 2x + 1. Observe que x f (x ) y ou f (x ) 0 f (0) = 2 · 0 + 1 = 1 1 1 f (1) = 2 · 1 + 1 = 3 3 2 f (2) = 2 · 2 + 1 = 5 5 Numa função f : A → B , • Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No exemplo, note que Dom(f ) = {0, 1, 2}. • A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por ℑ(f ). No exemplo anterior, ℑ(f ) = {1, 3, 5}. • Seu contradomínio é o conjunto B . Nele, temos que ℑ(f ) ⊂ B . No exemplo, verifica-se que: • f (0) = 1, isto é, 1 é a imagem de 0 pela função f ; • f (1) = 3, isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f ; • f (2) = 5, isto é, 5 é a imagem de 2 pela função f . Exemplo 1.2. Seja f : R → R uma função definida por f (x ) = 3x − 5. Determine o valor real de x para que se tenha f (x ) = 10, ou seja, sua imagem seja igual a 10, a partir desta função. Solução: Veja como é fácil! Observe que quando igualamos a imagem da função a 10, essa expressão se constitui numa equação de 1o grau. Para saber mais sobre isso consulte um livro qualquer das séries finais do ensino fundamental (8a 15 série). De fato, f (x ) = 3x − 5 e f (x ) = 10 ⇒ 3x − 5 = 10 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = = 5. 3 Logo, para a imagem por f ser 10, o valor atribuído a x deve ser 5.8 FTC EAD |
  • 9. 1.2.1 Gráfico de uma Função Afim O gráfico de uma função de 1o grau (f (x ) = ax + b ) é uma reta. A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que: Um fato bastante conhecido da geometria plana (axioma de Euclides) é que dois pontos são suficientespara determinar uma reta. Portanto, para construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos ascoordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (x , f (x )). Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim f (x ) = 2x + 3, basta determinar as coordenadas dedois pontos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. Para isso, escolheremosdois valores quaisquer para x sem critério algum. Por exemplo, x = 1 e x = 2. Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim, f (1) = 2 · 1 + 3 = 5 f (2) = 2 · 2 + 3 = 7 Desta forma, os pontos A(1, 5) e B (2, 7) pertencem ao gráfico da função f . Para esboçar o gráfico de f ,devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras aseguir. y y 8 8 B B 6 6 A A 4 4 2 2 -2 2 x -2 2 x Observe que no ponto em que a reta corta o eixo-x , a imagem é zero! Este ponto será importante paratraçarmos o gráfico desta função. 1.2.2 Zeros ou Raízes de uma Função Afim Denomina-se zero ou raiz de uma função real f , a todo valor x ∈ Dom(f ) tal que f (x ) = 0. Nota 1. • A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eixo-x é um zero de f . • O valor f (0) é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo-y . b Portanto, se f (x ) = ax + b , com a = 0, então f (x ) = 0 ⇒ ax + b = 0. Segue que, o zero de f é x = − . aTemos, ainda, que f (0) = a · (0) + b = b . Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eixo-y no ponto(0, b ). Fundamentos da Matemática 9
  • 10. Nota 2. Na função f (x ) = ax + b , a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada do ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo-y . A fim de esboçar, de maneira prática, o gráfico, marque, no plano cartesiano, b 1. o ponto de interseção com o eixo-x (zero da função) − , 0 ; a 2. o ponto de interseção com o eixo-y (coeficiente linear) (0, b ). Exemplo 1.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função f. Graf(f ) 3 3 4 f (x ) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = Logo, A − , 0 é −2. 2 B o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-x . 2 Agora, encontremos o valor f (0). f (0) = 2 · 0 + 3 = 3. Logo, B (0, 3) é o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-y . -4 -2 A 2 Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico -2 de f conforme a figura ao lado. Exemplo 1.4. Construir o gráfico da função afim f (x ) = −3x + 6. Solução: Para encontrar o zero da função f , devemos resolver a equação f (x ) = 0. Segue que, −3x + 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2. Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eixo-x no ponto A(2, 0). y Determinemos, agora, o valor de f (x ) quando x = 0. Então, B 6 f (0) = −3 · 0 + 6 = 6. Portanto, o gráfico da função f intercepta o eixo-y no ponto 4 Graf(f ) B (0, 6). 2 Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando uma reta que passa pelos pontos (0, 6) e (2, 0), obtemos o gráfico A de f conforme a figura ao lado. 2 x Note, respectivamente, que nas funções f (x ) = 2x + 6 e f (x ) = −3x + 9, temos: 1. a = 2 (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE; 2. a = −3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE.10 FTC EAD |
  • 11. Em resumo, dada uma função afim f (x ) = ax + b , temos que: Nota 3. 1. Se a > 0, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação positiva e passa pelos pontos b − ,0 e (0, b ). a 2. Se a < 0, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa e passa pelos pontos b − ,0 e (0, b ). a Veja, portanto, que: 1. a função f (x ) = 2x + 6 é crescente (a = 2 > 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação positiva. 2. a função f (x ) = −3x + 9 é decrescente (a = −3 < 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação negativa. 1.3 Funções do 2o Grau (ou Quadráticas) 1.3 Definição. Uma função real f , da forma f (x ) = ax 2 + bx + c , em que os coeficientes a, b e c são númerosreais, com a = 0, é uma função quadrática ou do 2◦ grau. São exemplos de quadráticas as funções: • f (x ) = x 2 − 5x + 6 • f (x ) = x 2 − 4x • f (x ) = x 2 − 9 1.3.1 Zeros da Função do 2o Grau Ao igualarmos uma função f a 0, estamos interessados em descobrir, caso existam, os valores pertencentesao domínio de f os quais se associam ao valor 0. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função. O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso existam, quem são os zeros de umafunção quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante ∆ = b 2 − 4ace, caso ∆ ≥ 0, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas: √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = e x2 = 2a 2a É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do 2o grau, ok? Isso facilitaráa compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função. Fundamentos da Matemática 11
  • 12. 1.3.2 Gráfico de uma Função Quadrática O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, devem-se seguir os passos: 1. Verificar a sua concavidade: • se a > 0, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima; • se a < 0, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baixo. a<0 a>0 2. Determinar o ponto de interseção com o eixo-y , ou seja, (0, f (0)). Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para x = 0. Sendo assim, f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c . Logo, o ponto de interseção com o eixo-y tem coordenadas (0, c ). 3. Calcular o discriminante ∆ e, se • ∆ > 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o eixo-x em dois pontos. • ∆ = 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eixo-x em apenas um ponto. • ∆ < 0, a função quadrática então não possui zeros e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto algum sobre o eixo-x . Você é capaz de dizer o porquê desta afirmação? 4. Calcular as raízes da função. 5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Elas são determinadas por −b −∆ V , 2a 4a 6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da parábola. Exemplo 1.5. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 5x + 6. Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente. 1. Verificação da concavidade Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas. f (0) = 02 − 5 · 0 + 6 = 6. Logo, (0, 6) é este ponto.12 FTC EAD |
  • 13. 3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função. Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja, x 2 − 5x + 6 = 0 Como a = 1, b = −5 e c = 6, temos que ∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1 Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara. √ √ √ √ −b + ∆ −(−5) + 1 5+1 −b − ∆ −(−5) − 1 5−1 x1 = = = = 3 e x2 = = = = 2. 2a 2·1 2 2a 2·1 2 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. −b −∆ Como V , , temos 2a 4a −b −(−5) 5 −∆ −1 1 xV = = = e yV = = =− 2a 2·1 2 4a 4·1 4 5 1 Portanto, V ,− . 2 4 O gráfico da função é, portanto: 6 f 3 1 2 V 3 4Exemplo 1.6. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 5x − 6. Solução: Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma funçãoquadrática. 1. Verificação da concavidade Como a = −1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baixo. 2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas. f (0) = −02 + 5 · 0 − 6 = −6. Logo, (0, −6) é este ponto. 3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função. Fundamentos da Matemática 13
  • 14. Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja, −x 2 + 5x − 6 = 0 Como a = −1, b = 5 e c = −6, temos que ∆ = 52 − 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1 Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos. Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara. √ √ √ √ −b + ∆ −5 + 1 −5 + 1 −b − ∆ −5 − 1 −5 − 1 x1 = = = = 2 e x2 = = = = 3. 2a 2 · (−1) −2 2a 2 · (−1) −2 4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola. −b −∆ Como V , , temos 2a 4a −b −5 5 −∆ −1 1 xV = = = e yV = = = 2a 2 · (−1) 2 4a 4 · (−1) 4 5 1 Portanto, V , . 2 4 O gráfico da função é, portanto: V -1 -1 1 2 3 4 -2 f -3 -4 -5 -6 -7 Veremos, no exemplo a seguir, que se ∆ = 0, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto é, a função corta o eixo-x em apenas um ponto. Exemplo 1.7. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 2x + 1. 1. Verificação da concavidade. Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y . f (0) = 1 · 02 − 2 · 0 + 1 = 1. Logo, o ponto procurado é (0, 1). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática x 2 − 2x + 1 = 0: Como a = 1, b = −2 e c = 1, temos que ∆ = b 2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0.14 FTC EAD |
  • 15. Observe, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais. Os zeros da função: √ √ √ √ −b + ∆ −(−2) + 0 2 −b − ∆ −(−2) − 0 2 x1 = = = = 1 e x2 = = = =1 2a 2·1 2 2a 2·1 2 4. As coordenadas do vértice da parábola: −b −(−2) 2 −∆ −0 xV = = = = 1 e yV = = =0 2a 2·1 2 4a 4·1 Portanto, V (1, 0). O esboço do gráfico da função é: 4 3 2 1 V -1 1 2 3Exemplo 1.8. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 2x − 1. Solução: Temos que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · (−1) · (−1) = 4 − 4 = 0, ou seja, a função quadrática temdois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são x1 = x2 = 1e o vértice V (1, 0). O esboço do gráfico da função f é: 1 V -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4Exemplo 1.9. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x 2 + x + 3. Solução: 1. Verificação da concavidade. Como a = 2, a concavidade da parábola é voltada para cima. 2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y . f (0) = 2 · 02 + 1 · 0 + 3 = 3. Fundamentos da Matemática 15
  • 16. Logo, o ponto procurado é (0, 3). 3. Calcular os zeros da função. Para isso, resolvemos a equação quadrática 2x 2 + x + 3 = 0: Como a = 2, b = 1 e c = 3, temos que ∆ = b 2 − 4ac = 12 − 4 cdot 2 · 3 = 1 − 24 = −23. Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais. 4. As coordenadas do vértice da parábola: −b −1 −1 −∆ −(−23) 23 xV = = = e yV = = = 2a 2·2 4 4a 4·2 8 −1 23 Portanto, V , . 4 8 O esboço do gráfico da função f é: 23 V 8 1 −4 Observe que o gráfico da função não corta o eixo-x . Exemplo 1.10. Construir o gráfico da função f (x ) = −2x 2 − x − 3. Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que ∆ = −23 e, portanto, a função não possui zeros reais. Como f (0) = −3, o ponto (0, −3) e o de interseção como o eixo das ordenadas. Como a = −2, temos −1 −23 que a parábola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vértice são V , . 4 8 O esboço do gráfico da função f é: 1 −4 − 23 8 V Observe que o gráfico da função não intercepta o eixo-x .16 FTC EAD |
  • 17. 1.4 Funções Custo, Receita e Lucro 1.4.1 Função Custo 1.4 Definição. Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total échamada de função custo.Para refletir Que tipo de função você espera que seja C (q )? Nota 4. Quanto maior for a quantidade de bens produzidos, maior será o custo. Sendo assim, C (q ) é uma função definida para valores não negativos de q , não somente para inteiros. Suponha que você seja dono de uma grande companhia que fabrica cadernos escolares. A fábrica e omaquinário necessários para começar a produção são custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhumcaderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem daquantidade de cadernos feitos. Imagine que em um determinado momento, os custos fixos de sua fábrica sejam de R $36.000, 00 e os custosvariáveis de R $3, 00 por caderno. Então Custo total para a companhia = Custo fixo + Custo variável = 36.000 + 3, 0 · q ,em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim, C (q ) = 36.000 + 3, 0 · q . Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com inclinação 3, 0 e intercepto vertical 36.000. C (q ) milhares 36.000 q (quantidade) Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes: 1. Custos fixos CF , que existem ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical. 2. Custos variáveis CV (q ), que varia dependendo de quantas unidades são produzidas. 3. Custos totais CT (q ) que é a soma dos custos fixos e dos variáveis, isto é, Ct (q ) = CF + CV (q ). Fundamentos da Matemática 17
  • 18. 1.4.2 Função Receita 1.5 Definição. Uma função R que associa a venda de uma quantidade q de algum bem ao valor total monetário recebido por uma firma é chamada de função receita. Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R $12, 00, a receita por 100 cadernos é 12 · 100 = 1.200. Representando o preço por p e a quantidade vendida por q , temos Receita = Preço · Quantidade . R (q ) = p·q Portanto, R (q ) = 12q . Nota 5. Utilizaremos as letras q ou x para indicar a quantidade de um determinado produto. Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um determinado produto é uma reta que passa pela origem. R q Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de R $3, 00 e que o custo fixo é de 36.000, para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro? A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos (R (q ) ≥ C (q )), de modo que queremos achar os valores de q para os quais o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ). Observe que o gráfico R (q ) está acima do gráfico de C (q ), quando q ≥ QN . Recei ta C usto qN q Observando o gráfico acima, verifique que o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ) para todos os18 FTC EAD |
  • 19. valores de q maiores que qN , onde os gráficos de R (q ) e C (q ) se cruzam. Em outras palavras, as imagens dafunção R (q ) são maiores que as imagens da função C (q ) quando os valores de q são maiores que qN . No ponto N (qN , R (qN )) ou N (qN , C (qN )), chamado ponto de nivelamento, a receita é igual ao custo. Assim,para obtermos qN (quantidade de nivelamento), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual aocusto, basta: R (q ) = C (q ) ⇒ 12q = 36.000 + 3q ⇒ 9q = 36.000 ⇒ q = 4.000Portanto, qN = 4.000 cadernos. Assim, a fábrica terá lucro se produzir e vender mais que 4.000 cadernos. Perderá dinheiro se produzir evender menos que 4.000 cadernos. R$ Receita Custo 48.000 36.000 4.000 qContextualizando o SaberProblema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R $5, 00 a refeição, que temum preço de custo de R $3, 00. Ele observou que, a cada R $0, 20 que ele oferece de desconto no preço darefeição, sua venda aumenta em 40 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro sejamáximo? Solução: Podemos extrair deste problema que p = 5 → x = 300 ⇒ (5; 300) p = 4, 8 → x = 340 ⇒ (4, 8; 340) Considerando p (x ) = ax + b , temos que: 5 = 300a + b 4, 8 = 340a + b Resolvendo este sistema linear, encontramos a = −0, 005 e b = 6, 5. A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é: p (x ) = −0, 005x + 6, 5. Fundamentos da Matemática 19
  • 20. Sabendo que R (x ) = p (x ) · x , temos que: R (x ) = (−0, 005x + 6, 5) · x = −0, 005x 2 + 6, 5x . Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável, encontramos a função custo fazendo: C (x ) = Cu · x = 3x . Logo, a função lucro é obtida como segue abaixo: L(x ) = R (x ) − C (x ) = −0, 005x 2 + 6, 5x − 3x = −0, 005x 2 + 3, 5x Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo? Perguntamos ainda: que “ferramenta matemática” podemos utilizar para, enfim, respondermos esta questão? O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máximo ou de mínimo. Neste caso, como a < 0 na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máximo. Logo, −b −3, 5 x= = = 350 2a 2 · (−0, 005) Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é x = 350 e, para obtermos o preço que maximiza o lucro, basta substituir x por 350 na função preço: p = −0, 005 · 350 + 6, 5 = 4, 75. Exemplo 1.11. O custo fixo mensal de uma empresa é R $5.000, 00, o custo variável por unidade produzida é R $30, 00 e o preço de venda é R $40, 00. (a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R $2.000, 00 mensal, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro? (b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo? Solução: (a) Temos que o custo total é encontrado por C (x ) = CF + Cu · x , em que CF é o custo fixo e Cu é o custo unitário. Assim, C (x ) = 5.000 + 30x . A receita é encontrada por R (x ) = p · x ,20 FTC EAD |
  • 21. Em que p é o preço de venda e x é a quantidade. Assim, R (x ) = 40 · x . O lucro total é dado por LT (x ) = R (x ) − C (x ) = 40x − (5.000 + 30x ) = 10x − 5.000. O lucro líquido é obtido por LL (x ) = LT (x ) − I (x ). Em que I (x ) = 0, 35 · LT (x ). Daí, segue que LL (x ) = LT (x ) − 0, 35LT (x ) = 0, 65LT = 0, 65(10x − 5.000) = 6, 5x − 3.250. Como LL (x ) = 2.000, temos 6, 5x − 3.250 = 2.000. Resolvendo esta equação, em x , temos: 5.250 6, 5x = 2.000 + 3.250 ⇒ x = ⇒ x ≈ 807, 7. 6, 5 (b) Neste caso, temos R (x ) = C (x ) ⇒ LL (x ) = 0 ⇒ 6, 5x − 3.250 = 0 ⇒ x = 500. Exemplo 1.12. Sejam RT (q ) = −q 2 + 10q e CT (q ) = q + 8, com 0 ≤ q ≤ 10, as funções receita total e custototal, respectivamente. (a) Determine os pontos de nivelamento. (b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções RT e CT destacando os pontos de nivela- mento. (c) Determinando a função lucro e construindo seu gráfico, para quais valores de q temos: lucro máximo, lucro, prejuízo e nenhum lucro? (d) Qual a quantidade produzida, que produz a maior receita? Solução: (a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer RT (q ) = CT (q ), logo −q 2 + 10q = q + 8 ⇒ q 2 − 9q + 8 = 0. Resolvendo esta equação de 2o grau, obtemos qN1 = 1 e qN2 = 8. (b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita RT (q ) = −q 2 + 10q , que é quadrática. Sendo a = −1, então a concavidade é voltada para baixo; Seu discriminante é ∆ = (−10)2 − 4 · 1 · 0 = 100; Fundamentos da Matemática 21
  • 22. Suas raízes são assim determinadas: √ −10 ± 100 q= ⇒ q = 0 ou q = 10. 2 · (−1) −10 100 O vértice V tem coordenadas xV = − = 5 e yV = − = 25. Assim V (5, 25). 2 · (−1) 4 · (−1) Como c = 0, a parábola corta o eixo vertical em P (0, 0). R V 25 5 10 q Para a função custo CT (q ) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar uma reta. Para tanto, temos: O zero é obtido fazendo CT (q ) = 0, ou seja, q + 8 = 0 implicando em q = −8. Logo, o ponto é (−8, 0); Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eixo vertical em P (0, 8). C 18 10 q Como não existe quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eixo das abscissas. Além disso, temos 0 ≤ q ≤ 10. Abaixo, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, 0 ≤ q ≤ 10. R$ 25 18 16 9 1 5 8 10 q22 FTC EAD |
  • 23. Observe que CT (0) = 0 + 8 = 8 e CT (10) = 10 + 8 = 18. (c) Sabemos que LT (q ) = RT (q ) − CT (q ) = −q 2 + 10q − (q + 8) = −q 2 + 9q − 8. Portanto, a função lucro (Lt (q )) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1. R$ • O discriminante é ∆ = (9)2 − 4 · (−1) · (−8) = 49 e suas raízes são q = 1 e q = 8. 9 25 • O seu vértice tem coordenadas V, . 2 2 • Como c = −8, a parábola corta o eixo vertical em 1 9 8 q P (0, −8). 2 • O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado. Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, LT (x ) = 0 implica RT (x ) = CT (x ). Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro, no intervalo (1, 8); prejuízo (LT (x ) < 0): 0 < q < 1 ou 8 < q < 10. Não se tem lucro e nem prejuízo quando q = 1 ou q = 8. 25 O lucro máximo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, Lmax = yV = 2 (d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o xV da função receita, ou seja, q = 5. Confirme este resultado no item (b). 1.5 Funções Oferta e Demanda A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p . Usualmente,se assume que quando o preço sobe, os produtos têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda(procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço,há duas funções ligando p e q . Estas funções podem ser representadas por qualquer curva. Criteriosamentetrabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau. A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do pro- p (q )dutor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria, maior Ofertaserá a sua disponibilidade por parte dos produtores no mercado. Enquantoque a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista doconsumidor, ou seja, quanto mais interessante (baixo) o valor da mercadoriamaior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções Demandade oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, comomostra a figura ao lado. qPara pensar A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto. Fundamentos da Matemática 23
  • 24. (a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A p (q ) este preço, que quantidade será produzida? 50 (b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio, Oferta por exemplo, p = 12. A este preço, quantos 40 itens os fornecedores estarão dispostos a pro- 30 duzir? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas respostas a estas pergun- 20 tas para explicar porque, se os preços estiverem acima do preço de equilíbrio, o mercado tende 10 Demanda a empurrar os preços para baixo (em direção ao equilíbrio). 3000 6000 q (c) Agora escolha um preço abaixo do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 8. A este preço, quantos itens os fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas respostas a estas perguntas para explicar porque, se os preços estiverem abaixo do preço de equilíbrio, o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio). Nota 6. No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma espaço para discussão coletiva, chamado Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão. Situação Problema Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 100 − 0, 5x e p = 10 + 0, 5x . (a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado? (b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir no mercado. O preço do bem define a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois se o preço na análise do pro- dutor é baixo, o mesmo não disponibiliza-o no mercado, para que a procura do produto (ausência no mercado) gere aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, mas dispostos os produtores estarão a colocar sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este impasse, o governo estabelece um ponto de equilíbrio, a fim de se garantir o produto no mercado a um preço que o consumidor possa adquiri-lo. Portanto, é preciso saber que o preço este diretamente ligado a escassez ou a oferta de um bem no mer- cado. Como encontraremos o ponto de equilíbrio? A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda. Sendo assim, 100 − 0, 5x = 10 + 0, 5x ⇒ x = 90. Fazendo a substituição de x por 90 em uma das equações (isso se deve ao fato, de para x = 90, ambas as equações são equivalentes. Daí, p = 10 + 0, 5 · 90 = 5524 FTC EAD |
  • 25. Logo, o ponto de equilíbrio, é (90, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidadeque o consumidor estará disposto a comprar é de 90 unidades do produto. Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preçoe a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor? Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 10 + 0, 5x + 3 = 13 + 0, 5x .Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: x = 87, queé a solução da equação 100 − 0, 5x = 13 + 0, 5x . Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda. Para o novo ponto de equilíbrio, x = 87 representa a quantidade de equilíbrio e, o novo preço de equilíbrioé: p = 10 + 0, 5 · 87 = 56, 5. Como podemos perceber, o imposto sobre o produtor resultou no aumento do preço do produto, o consum-idor pagou R $1, 5 a mais. Sendo assim, o consumidor sempre paga a conta e, neste caso, assume parte doimposto que deveria ser aplicado sobre o produtor que repassa, através do aumento do preço do produto, parao consumidor. Pode? 1.6 Outras Funções Importantes 1.6.1 Um Vínculo Orçamentário Um debate constante envolve a alocação entre defesa e programas sociais. Em geral, quanto mais é gastocom a defesa, menos fica disponível para programas sociais e vice-versa. Simplifiquemos o exemplo paraarmas e manteiga. Assumido que um orçamento constante é afim, mostraremos que a relação entre o númerode armas e a quantidade de manteiga é afim. Suponha que existem R $12.000, 00 para serem gastos e quedevem ser divididos entres armas, custando R $400, 00, e manteiga, custando R $2.000, 00 a tonelada. Suponha,também, que o número de armas comprado é g e que o número de toneladas de manteiga é b . Então a quantiagasta com armas é R $4.000, 00 a quantia gasta com manteiga é R $2.000 · b . Supondo que todo o dinheiro é gasto, quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 12.000,ou 400g + 2.000b = 12.000.Dividindo por 400, obtemos g + 5b = 30 A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe: b 6 30 g Como o número de armas compradas determina a quantidade de manteiga comprada (porque todo o din-heiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g . Logo, g = 30 − 5b , Fundamentos da Matemática 25
  • 26. que é uma formula explícita para g em termos de b . Do mesmo modo, 30 − g g + 5b = 30 ⇒ 5b = 30 − g ⇒ b = ou b = 6 − 0, 2g , 5 que explicita b como função de g . Como tais funções são afins, o gráfico do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto. 1.6.2 Funções de Depreciação A função de depreciação D (t ) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função do tempo t , desde que o produto foi comprada. Será representado por D (t ) = vi + m · t , em que vi é o valor do bem quando novo; vf é o valor do bem após t anos. vf − vi m é a inclinação dada pela fórmula m = . tf − ti Exemplo 1.13. Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R $18.000, 00. Os gerentes da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por R $2.500, 00. Dizemos, neste caso, que o valor da máquina se deprecia de R $18.000, 00 hoje a um valor de revenda de R $2.500, 00 reais em dez anos. Solução: O valor da máquina nova é R $18.000, 00 e t = 0, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso, vI = 18.000 e D (0) = 18.000 + ·0 = 18.000. Quando t = 10 e vf = 2.500. Logo, 2.500 − 18.000 −15.500 m= = = −1.550. 10 − 0 10 A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taxa de R $1.550 por ano. R$ 18.000 2.500 12 10 q 1.6.3 Composição de Funções Observe a situação abaixo.26 FTC EAD |
  • 27. Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos emcrediário. No mês de outubro, a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeiraquinzena do mês terá um desconto sobre o valor x da prestação. O cliente pagará apenas o valor f (x ), dadopela função: f (x ) = 0, 8x . O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia det reais recebidos, o banco transfere para conta da loja a quantia g (t ) = 0, 95t . Entenda bem o esquema: Banco f (x ) = t f g Cliente Loja x g (t ) A prestação do mês de outubro de um cliente é de 150 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzenado mês, quanto pagará? A resposta para essa questão é dada pela função f (x ) = 0, 8x . O cliente vai pagar f (150) = 0, 8 · 150 = 120reais Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja? A resposta é dada pela função g (t ) = 0, 95 · t . Como o banco terá recebido t = 120 reais do cliente, a lojareceberá do banco: g (120) = 0, 95 · 120 = 114reais A prestação de um cliente para o mês de outubro é de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzenade outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função dex , sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena? Banco 0, 8 · x f g Cliente Loja x 0, 9 · 0, 8 · x h A função h é que expressa o valor recebido pela loja em função de x , ou seja, h(x ) = 0, 95 · 0, 8x = 0, 76x . A função h é chamada de função composta de g com f . Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f : A → B e g : B → C . A função h : A → C tal queh(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g com f . Indicaremos essa composição por g ◦ f , lê-se gcomposta com f . Fundamentos da Matemática 27
  • 28. Em diagramas, temos: B f (x ) f g A C x g (f (x )) h =g ◦f Para Fichar Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóxido de carbono no ar será dada pela função C (n) = 0, 37n + 3, 9 partes por milhão (p .p .m) de monóxido de carbono, quando sua população for de n mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade é dada pela função n(t ) = 0, 67t 2 + 12, 9 mil habitantes, onde t é dado em anos. (a) Determine a função que nos dá a concentração de monóxido de carbono no ar em função do tempo t . (b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóxido de carbono no ar dessa cidade? (a) Temos que C (n(t )) = 0, 37(0, 67t 2 + 12, 9) + 3, 9 = 0, 2479t 2 + 8, 6730p.p.m. (b) Nesse caso, √ C (n(t )) = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2+8, 6730 = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2 = 5, 197 ⇒ t 2 ⊥ 20, 96 ⇒ t ⊥ 20, 96 ⇒ t ∼ 4, 58 anos = ou seja, daqui a aproximadamente 4 anos e 7 meses. 1.7 Funções Definidas por mais de uma Sentença Consideremos a seguinte situação: Um elevador é construído mediante as seguintes especificações: • Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg , são usados cabos de aço de 20mm de diâmetro. x • Para carga de massa xkg , em que x > 100, são usados cabos de aço de mm de diâmetro. 50 A função seguinte mostra o diâmetro f (x ) de cada cabo, em função da massa x , f (x ) em mm e x em kg : ´ 20 , se 0 ≤ x ≤ 1.000 f (x ) = x , se x > 1.000 50 Esta função é um exemplo de função definida por sentenças, neste caso, duas sentenças, são elas:28 FTC EAD |
  • 29. 1. f (x ) = 20, se 0 ≤ x ≤ 1.000; x 2. , se x > 1.000. 50 Constrói-se o gráfico de uma função com várias sentenças a partir de cada sentença, respeitando ascondições de existência, num mesmo sistema de coordenadas. O gráfico está exibido a seguir. y 50 20 x 1000 1.8 Funções de Duas Variáveis Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $600, 00 a unidade e o segundo a $800, 00 a unidade. Considerex e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente: (a) Determine a função receita: (b) Qual o valor da receita se forem vendidos 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo: (c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto a loja precisa vender para ter uma receita de $12.000, 00. Solução: (a) A função receita é dada por R (x , y ) = 600x + 800 · y . (b) R (7, 13) = 600 · 7 + 800 · 13 = 14.600, 00 unidades monetárias. 3 (c) R (x , y ) = 12.000 ⇒ 600x + 800y = 12.000 ⇒ 800y = −600x + 12.000 ⇒ y = − x + 20 4 y 20 80 x 3 1.8.1 Exercícios Propostos EP 1.1. Uma fábrica de equipamento Eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de xcalculadoras por dia é dado por: Fundamentos da Matemática 29
  • 30. • Matéria-prima: R $8, 00 por unidade. • Mão de obra: R $7, 00 por unidade. Sabendo que cada calculadora é vendida por R $30, 00 e o custo fixo mensal é de R $3.000, 00, podemos afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de no mínimo R $4.000, 00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do lucro, é? (a) 50 (b) 51 (c) 52 (d) 54 EP 1.2. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R $500, 00 a unidade e o segundo a R $600, 00 a unidade. Considere x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo respectivamente. Qual das alternativas abaixo responde as seguintes perguntas: (I) Qual o valor da receita se for vendidos 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo. (II) Qual expressão representa a quantidade do primeiro produto e do segundo produto que a loja precisa vender para ter uma receita de R $300.000, 00. 5x (a) R $14.000; y = 500 − 6 5x (b) R $15.000; y = 500 + 6 5x (c) R $14.000; y = 500 + 6 5x (d) R $15.000; y = 500 − 6 EP 1.3. Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R $10, 00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R $6, 00 por metro quadrado. A expressão que representa o custo total em função da largura da caixa é: 180 (a) C (l ) = 20l 2 + ,l >0 l (b) C (l ) = 20l 2 + 36l , l > 0 180 (c) C (l ) = 20l + ,l >0 l 180 (d) C (l ) = 20l 2 + ,l >0 l2 EP 1.4. Para produzir um determinado produto, uma firma gasta R $1, 20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R $4.000, 00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R $2, 00 por unidade. Qual é o mínimo de unidades, a partir de qual a firma começa a ter lucro? (a) R $1.800, 00 (b) R $2.500, 00 (c) R $3.600, 00 (d) R $5.000, 00 EP 1.5. Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica exclusivamente à produção de leite e que30 FTC EAD |
  • 31. Preço da caixa de leite Quantidade de caixas de leite oferecidas 10 1 40 5 70 9 100 13 130 17 160 21 Admita, também, que a caixa de leite, comprada pelo Sr. Cardoso, possui a função demanda p = 102, 5 −2, 5x . Marque a alternativa que determina o ponto de equilíbrio. (a) (77, 5; 10) (b) (10; 77, 5) (c) (10; 25) (d) (25; 10) Gabarito 1.1. (d) 1.2. (a) 1.3. (a) 1.4. (d) 1.5. (b) Fundamentos da Matemática 31
  • 32. Estudos de Outras Funções TEMA 02 Matemáticas e Suas Aplicações Apresentação Neste tema, nosso objeto de estudo será a aplicação de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas na área de Ciências Sociais. 2.1 Funções Exponenciais e suas Aplicações Você já parou para pensar como tem sido crescente o aumento da internet neste últimos anos? Observamos que não se espera uma interrupção de crescimento entre, aproximadamente, 15 a 20 anos, ou melhor, não se conhecem, neste mo- mento, barreiras científicas ou tecnológicas que impossibilitem a continuação do processo de evolução tecnológica exponencial da área de informática ou de telecomunicações... Desta forma, não está descartada a possibilidade de uma nova melhora da ordem de 1.000 vezes, nos próximos 15 a 20 anos, na capacidade de processamento de computadores. ..., não estão descartadas velocidades de 25 T bps (25 trilhões de bits por segundo) num futuro não muito distante. Estes ganhos, se concretizados, mais uma vez mudarão completamente o perfil global da área em direções que são absolutamente imprevisíveis neste momento. Como será o mundo em que cada mesa terá um computador que hoje valeria US $2.000.000, 00, comunicando-se com velocidades um milhão de vezes maiores do que as atuais? Que “software” rodará em tal ambiente? Texto retirado em http://www.ime.usp.br/∼is/abc/abc/node17.html com acesso efetuado em 23 de Maio de 2008. Ao resolver problemas de juros compostos, usando logaritmos e funções exponenciais, você percebe que tais conteúdos têm sentido em sua vida presente e futura. Vejamos: “O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza". Albert Einstein Suponha que seja investido um capital C , a uma taxa de juros i . O montante M será: M = C + C · i ⇒ M = C (1 + i ). Você sabia que se os pais guardam e investem R $10, 00 por dia desde o nascimento de seu filho, quando este completar 18 anos, terá R $150.000, 00 acumulados a juros compostos, supondo que a taxa de retorno anual seja de 12%. Em 33 anos, se mantido o mesmo plano com a mesma razão de investimento, ele já terá R $1milho e , em65anos , R 2,35 milhões.32 FTC EAD |
  • 33. Exemplo 2.1. Foram investidos R $1.000, 00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual o montante após oprimeiro mês? Solução: M = C · (1 + i ) = 1.000 · (1 + 0, 02) = 1.000 · 1, 02 = 1.020. Exemplo 2.2. Qual o montante deste capital se o período do investimento for de dois meses, supondo oregime de capitalização composto, isto é, os juros incidem tanto sobre o capital com sobre os juros acumulados? Solução: Observe o seguinte comportamento: 1◦ mês M1 = C · (1 + i ) 2◦ mês M2 = C · (1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )2 3◦ mês M3 = C · (1 + i )(1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )3 . . . . . . n◦ mês Mn = C · (1 + i )(1 + i ) · . . . · (1 + i ) = C · (1 + i )n ßÞ n Sendo assim, se investirmos um capital C por um período n a uma taxa de juros i , teremos um montante M = C · (1 + i )n ao fim do período. Portanto, para o segundo mês, teremos: M = 1.000 · (1 + 0, 02)2 = 1.000 · (1, 02)2 = 1.000 · 1, 0404 = 1.040, 40, ou seja, um montante de 1.040, 40 reais. Podemos notar que o montante é uma função exponencial crescente que depende do período n, pois, nestecaso, C é uma constante, (i + 1) = a > 1 e n é a variável independente que está fazendo o papel da variávelx . É por esta razão que dizemos que o montante na capitalização composta cresce exponencialmente. Temos,então, que o montante é uma função exponencial M (n) = C · (1 + i )n , em que (1 + i ) > 0 e C é uma constante. Antes de continuarmos abordagem do conteúdo, faremos uma revisão das características principais dasfunções exponenciais. 2.2 Funções Exponenciais Uma função f : R → R, tal que f (x ) = ax , em que a ∈ R, com a > 0 e a = 1 é dita uma função exponencial. Exemplo 2.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x . Fundamentos da Matemática 33
  • 34. Solução: y x y = f (x ) = 2x (x , y ) ∈ Graf(f ) 5 1 2 1 1 x = −2 f (−2) = 2−2 = = −2, 2 4 4 4 1 1 1 1 x = −1 f (−1) = 2−1 = = −1, 2 2 2 3 f (x ) = 2x x =0 f (0) = 20 = 1 (0, 1) x =1 f (1) = 21 = 2 (1, 2) 2 x =2 f (2) = 22 = 4 (2, 4) 1 Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos esboçar o gráfico da função crescente f (x ) = 2x como x -4 -3 -2 -1 1 2 3 na figura ao lado. x 1 Exemplo 2.4. Construir o gráfico da função f (x ) = . 2 Solução: x y 1 f (x ) = 2 x 1 x y = f (x ) = (x , y ) ∈ Graf(f ) 5 2 −2 1 x = −2 f (−2) = = 22 = 4 (−2, 4) 4 2 −1 1 x = −1 f (−1) = =2 (−1, 2) 2 3 x =0 f (0) = 20 = 1 (0, 1) x =1 f (1) = 21 = 2 (1, 2) 2 x =2 f (2) = 22 = 4 (2, 4) 1 Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos esboçar o gráfico da função decrescente f (x ) = 2x -3 -2 -1 1 2 3 4x como na figura ao lado. De modo geral, dada uma função exponencial f (x ) = ax , temos: • Se 0 < a < 1, então a função será decrescente; • Se a > 1, então a função será crescente. • Se x = 0, então f (0) = a0 = 1. Logo, (0, 1) ∈ Graf(f ), isto é, uma função exponencial, f (x ) = ax , passará sempre pelo ponto (0, 1). y Veremos, oportunamente, a definição do número ir- racional e , que será bastante utilizado nesta seção. Obtido por Euler e, por isso, denotado pela letra e . Seu f (x ) = e x valor é, aproximadamente, 2, 7182818284. Como e > 1, temos que o gráfico da função f (x ) = e x é 1 crescente. x34 FTC EAD |
  • 35. Exemplo 2.5. Suponha que uma empresa contrate um financiamento de um capital de giro de R $18.750, 00por 30 meses, à taxa de 4, 75% ao mês. Qual o montante a ser pago pela empresa ao fim do período, supondoque a capitalização é composta? Esboce o gráfico desta função. M (n) Solução: M = 18.750 · (1 + 0, 0475)30 = 18.750 · 80000 30 (1, 0475) = 75.443, 57 reais. 60000 O gráfico da função montante M = 18.750 · (1, 0475)30, em que 0 ≤ n ≤ 30. Observe que o crescimento do 40000 montante é exponencial. 20000 n 10 20 30 Exemplo 2.6. Uma pessoa aplicou R $1.575, 78 em fundos de renda fixa. Após 76 dias, seu saldo era deR $2.476, 98. Qual foi a taxa de juros mensal desta aplicação? 76 Solução: Como 76 dias equivalem a meses e M = C · (1 + i )n , temos: 30 30 2.476, 98 76 ä ç 30 76 76 76 2.476, 98 = 1.575, 78 · (1 + i ) 30 ⇒ = (1 + i ) 30 1.575, 78 30 2.476, 98 76 ⇒ = 1+i 1.575, 78 30 2.476, 98 76 ⇒ i= −1 1.575, 78 ⇒ i ≈ 0, 1955 = 19, 55% De modo geral, temos que: 1 1 1 M 1 M n M n M n M = C · (1 + i )n ⇒ (1 + i )n = ⇒ [(1 + i )n ] n = ⇒1+i = ⇒i = −1 C C C C 2.2.1 Crescimento Exponencial Na Matemática, o crescimento exponencial ocorre quando a taxa de crescimento de uma função é propor-cional a própria função. Isso implica que, para qualquer quantidade crescendo exponencialmente, quanto maiora quantidade existente, mais rápido crescerá, se nós usarmos a escala correta de tempo. Uma grandeza da forma Q (t ) = Q0 · e kt , em que Q0 e k são constantes positivas, tem um crescimentoexponencial. Por exemplo, os juros compostos têm um crescimento exponencial. Exemplo 2.7. O produto nacional bruto (PNB) do Brasil era de U $100 bilhões em 1975 e de U $180 bilhõesem 1980. Admitindo que o PNB do Brasil cresça exponencialmente, estime de quanto foi o PNB em 1985. Solução: P (t ) = P0 · e kt , em que P (t ) é o PNB no tempo t ; Fundamentos da Matemática 35
  • 36. P0 é o PNB inicial K é uma constante positiva Calculemos o PNB inicial: P (0) = P0 · e k 0 = P0 · 1 = P0 = 100, ou seja, o PNB inicial P0 é de U $100 bilhões e escrevemos P0 = 100. Para t = 5, temos: cdot 5 P (5) = P0 · e k = P0 · e 5k = 180, isto é, 5 anos após 1975, o PNB era U $180 bilhões. 180 Desta forma, 100 · e 5k = 180 e e 5k = = 1, 8. 100 Estimaremos o PNB do Brasil em 1985, isto é, 10 anos depois de 1975: P (10) = 100 · e k ·10 = 100 · (e 5k )2 = 100 · (1, 8)2 = 324. O PNB do Brasil em 1985 foi de U $324 bilhões. Exemplo 2.8. A receita de uma determinada empresa está crescendo exponencialmente, em 1990 era de R $52 mil e em 1998 de R $63 mil. Estime sua receita em 2003? Solução: R (t ) = R0 · e k ·t , em que R (t ) é a receita no tempo t , R0 é a receita inicial e K é uma constante positiva. Calculemos o PNB inicial: R (0) = R0 · e k ·0 = R0 · 1 = R0 = 52, isto é, a receita inicial R0 é de U $52 mil e escrevemos R0 = 52. 63 Para t = 8, R (8) = R0 · e 8k = 63, ou seja, 8 anos após 1998 era de U $63 mil. Podemos escrever e 8k = . 52 Estimaremos agora, a receita desta empresa em 2003, isto é, 13 anos depois de 1990: 13 k ·13 13k 8 8k 13 63 8 R (13) = 52 · e = 52 · (e ) = 52 · (e ) 8 8 = 52 · = 71, 03 52 A receita do Brasil, em 2003, foi de U $71, 03 mil. 2.2.2 Decrescimento Exponencial Uma grandeza da forma Q (t ) = Q0 · e −kt , em que Q0 e k são constantes positivas, tem um decrescimento exponencial. Exemplo 2.9. O FMI - Fundo Monetário Internacional, emprestou U $13 bilhões a um determinado país no ano de 1960 e determinou que a dívida do país referente a este empréstimo deveria decrescer exponencialmente. Se em 1971 o país devia U $7 bilhões, estime qual deveria ser a dívida do país em 1977.36 FTC EAD |
  • 37. D (t ) = D0 · e −k ·t ,em que D (t ) é o valor da dívida no tempo t , D0 é a dívida inicial e k é uma constante positiva. A dívida incial é a dívida em t = 0. Portanto, D (0) = D0 · e −k ·0 = D0 · 1 = D0 = 13. Assim, D0 = 13 é a dívida inicial. Como em 1971 o país devia U $7 bilhões, ou seja, 11 anos após, temos que D (11) = 7. Assim, 7 D (11) = D0 · e −k ·11 ⇒ 7 = 13 · e −11k ⇒ e −11k = 13 Estimaremos a dívida do país em 1977, isto é, 17 anos após 1960: 17 11 17 7 11 D (17) = 13 · e −k ·17 = 52 · (e −17k ) 11 = 52 · (e −11k ) 11 = 52 · = 4, 99 13 Logo, a dívida do país em 1977 era de U $4, 99 bilhões. Exemplo 2.10. Um determinado modelo de carro tem o seu preço depreciado após t anos segundo a funçãoP (t ) = P0 · e −f r ac 14·t . Após 7 anos, o valor desse carro era de R $7.000, 00. Por quanto esse carro foi comprado? Solução: Para t = 7, temos P (7) = 7.000, isto é, 7 anos após a compra, o valor do carro era de R $7.000, 00. Queremos encontrar P0 , que é o valor em que o carro foi comprado. Como P (t ) = P0 · e −f r ac 14·7 , 7.000 temos P0 = ≈ 40.282, 22, ou seja, o carro foi comprado por R $40.282, 22. e −f r ac 14·t 2.3 Funções Logarítmicas e suas Aplicações Para facilitar a compreensão da função logarítmica, trataremos, inicialmente, dos conceitos e propriedadesbásicas do logaritmo. 2.1 Definição. Sejam a e b números reais positivos, em que b = 1. O logaritmo de b na base a, o expoente xtal que ax = b . Em símbolos, loga b = x ⇒ ax = b . Exemplo 2.11. Calcule: (a) log2 8 (b) log 1 81 3 Solução: (a) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3. x 1 (b) log 1 81 = x ⇒ = 81 ⇒ (3−1 )x = 34 ⇒ 3−x = 34 ⇒ x = −4. 3 3Para que servem os Logaritmos? O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Eleé fundamental, também, em outras disciplinas, como, por exemplo, na Química para o cálculo do PH (potencialde hidrogênio). Na Física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos à intensidade (decibel) deum som, e muito mais. Observe como as ciências são intimamente ligadas. Fundamentos da Matemática 37
  • 38. 2.3.1 Um Pouco de História Os logaritmos foram descobertos no início do século XVII, pelo esforço conjunto de grandes matemáticos, a exemplo de John Napier (escocês: 1550-1617), Jobst Bürgi (suíço: 1552-1632) e Henry Briggs (inglês: 1556- 1631). A idéia original, entretanto, coube a John Napier. 2.3.2 Propriedades Fundamentais dos Logaritmos 1. log a (b · c ) = log a b + log a c b 2. log a c = log a b − log a c 3. log a (b c ) = c · log a b 4. b logb a = a logc b 5. loga b = logc a Nota 7. Lembre-se de que: 1. log(x ) = log10 (x ). 2. loge (x ) = ln(x ) Exemplo 2.12. Admitindo que log(2) = 0, 30 e log(3) = 0, 48, temos: (a) log(16) = log(24 ) = 4 · log(2) = 4 · 0, 30 = 1, 20 (b) log(36) = log(22 ) · 32 = log(22 ) + log(32 ) = 2 log(2) + 2 log(3) = 2 · 0, 30 + 2 · 0, 48 = 1, 56 1 (c) log = log(1) − log(3) = 0 − 0, 48 = −0, 48 3 log(2) 0, 30 (d) log3 2 = = = 0, 625 log(3) 0, 48 (e) Quanto deverá ser o valor de x para satisfazer a equação exponencial 2x = 3? Podemos fazer de duas formas, que são equivalentes. Vejamos. i. Pela definição de logaritmos, temos que 2x = 3 ⇔ x = log2 3, ou seja, log 3 0, 48 x= = = 1, 6 log 2 0, 30 ii. A partir da igualdade 2x = 3, podemos escrever: log 2x = log 3 e, então prosseguimos: log(3) 0, 48 log(2x ) = log(3) ⇒ x · log(2) = log(3) ⇒ x = = ≈ 1, 6. log(2) 0, 30 2.4 Funções Logarítmicas 2.2 Definição. Uma função f : R∗ → R, tal que f (x ) = loga (x ), em que 0 < a = 1, é dita uma função + logarítmica na base a.38 FTC EAD |
  • 39. Para compreender o comportamento da função logarítmica utilizaremos sua representação gráfica. Observenos exemplos a seguir como esboçar o gráfico desta função. Exemplo 2.13. Construir o gráfico da função f (x ) = log2 (x ). Solução: Vamos pegar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log2 (x ), para observarmos como se comportam esses pontos do seu gráfico. Para tanto, pegaremos alguns valores para x , como segue: 1 1 1 1 • Se x = , então f = log2 = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = . Obtemos, então, 4 4 4 4 1 1 que y = −2, ou seja, f = −2. Logo, o ponto , −2 ∈ Graf(f ). 4 4 1 1 1 1 • Se x = , então f = log2 = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = . Obtemos, então, 2 2 2 2 1 1 que y = −1, ou seja, f = −1. Logo, o ponto , −1 ∈ Graf(f ). 2 2 • Se x = 1, então f (1) = log2 (1) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 1. Obtemos, então, que y = 0, ou seja, f (1) = 0. Logo, o ponto (1, 0) ∈ Graf(f ). • Se x = 2, então f (2) = log2 (2) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 2. Obtemos, então, que y = 1, ou seja, f (2) = 1. Logo, o ponto (2, 1) ∈ Graf(f ). • Se x = 4, então f (4) = log2 (4) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 4. Obtemos, então, que y = 2, ou seja, f (4) = 2. Logo, o ponto (4, 2) ∈ Graf(f ). y Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos 2 ver o comportamento do gráfico da função 1 f (x ) = log2 (x ), -1 1 2 3 4 5 6 x -1 como figura ao lado. -2 Note que a função f (x ) = log2 (x ) é crescente. -3 Exemplo 2.14. Construir o gráfico da função f (x ) = log 2 (x ). 1 Solução: Vamos pegar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log 1 (x ), para observarmos como se 2 Fundamentos da Matemática 39
  • 40. comporta seu gráfico. Observe a seguinte tabela. x y = f (x ) (x , y ) ∈ Graf(f ) 1 1 1 1 x= f = log 2 1 =2 ,2 4 4 4 4 1 1 1 1 x= f = log 2 1 =1 ,1 2 2 2 2 x =1 f (1) = log 1 (1) = 0 2 (1, 0) x =2 f (2) = log 1 (2) = −1 2 (2, −1) x =4 f (1) = log 1 (4) = −2 2 (4, −2) y Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos 2 ver o comportamento do gráfico da função 1 f (x ) = log 1 (x ), -1 1 2 3 4 5 6 x 2 -1 como figura ao lado. -2 Note que a função f (x ) = log 2 (x ) é decrescente. 1 -3 2.4.1 Aplicações dos Logaritmos Exemplo 2.15. Uma pessoa investiu R $3.000, 00 na poupança e deseja retirar sua aplicação quando o saldo for de R $5.000, 00. Supondo que a taxa de juros da poupança seja fixa de 0, 67% ao mês, determine o tempo que o investidor deve deixar seu dinheiro investido. Solução: Como M = C · (1 + i )n . Logo, 5.000 5.000 = 3.000 · (1 + 0, 0067)n ⇒ (1, 0067)n = . 3.000 Aplicando a função logarítmica na base e , temos: 5 ln 5 5 3 ln(1, 0067)n = ln ⇒ n · ln(1, 0067) = ln ⇒n= ≈ 76, 50 3 3 ln(1, 0067) O tempo será de 76, 5 meses ou 6 anos, 4 meses e 12 dias. 2.5 Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são importantes no estudo de fenômenos que apresentam comportamento per- iódico, como por exemplo, os movimentos harmônicos (molas, pêndulos de abertura pequena, projeções de movimentos circulares são exemplos comuns que utilizam funções trigonométricas para seu estudo), ou ainda para tentar modelar fenômenos que se repitam de ciclos em ciclos, (ondas sonoras, ou ainda ciclos geológicos / astronômicos / climáticos / turísticos que se repitam de tempos em tempos).40 FTC EAD |
  • 41. Fique Sabendo A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gono (ângulo) e metron (medida);significando, assim, “medida dos triângulos”. Inicialmente, considerada como uma extensão da geometria, atrigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astrono-mia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 a.C. - 125 a.C.),considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e osângulos de um triângulo retângulo. No século V I I I , com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes con-tribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeiratábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém, o primeirotrabalho matemático sobre trigonometria foi o “tratado dos triângulos”, escrito pelo matemático alemão JohannMüller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discípulo de Purback. Atual-mente, a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros camposda Matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, aAcústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc. Apresentamos aqui uma situação do nosso dia-a-dia, em que podemos encontrar tais relações funcionais. Alguns produtos agrícolas têm seu preço de venda com variação periódica. Esses produtos apresentamépocas de safra e épocas de entressafra. Suponha que o preço médio de venda da saca de soja do produtorao atacadista, numa determinada região, possa ser representado pela função π p (x ) = 30 + 10 · sen x · , 6sendo p o preço médio da saca (60kg ) de soja, em reais, e x o mês do ano. Pergunta-se: (a) Qual o valor máximo obtido na venda de uma saca de farinha? (b) Em qual mês foi obtido esse valor? (c) Qual foi o pior valor de venda dessa saca? (d) Qual foi a variação do valor da saca de soja? (e) Qual foi o período de variação do preço da saca? Vamos lá! π Solução: (a) Valor máximo: sen x · = 1. Então: 6 π p (x ) = 30 + 10 · sen x · ⇔ p (x ) = 30 + 10 · 1 = 40. 6 O valor máximo obtido foi R $40, 00. π π π (b) sen x · =1⇔x· = ⇔ x = 3. Portanto, no mês de março. 6 6 2 π (c) Valor mínimo: sen x · = −1. Então: 6 π p (x ) = 30 + 10 · sen x · ⇔ p (x ) = 30 + 10 · (−1) = 20. 6 O valor mínimo obtido foi R $20, 00. (d) O conjunto imagem (variação do preço da saca de 60kg de soja) será: ℑ(p ) = [20, 40]. Fundamentos da Matemática 41
  • 42. π (e) Para o arco inicial, temos x = 0; θ0 = 0 · ⇔ θ0 = 0. Para completar o período, acrescenta-se 2πrad 6 ao arco inicial: π θ0 + 2π = x · ⇔ x = 12 meses. 6 2.5.1 Características de Algumas Funções Trigonométricas • Função Seno f (x ) = sen(x ). (a) Domínio: o conjunto R dos números reais. (b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) = sen(0) = 0 e, portanto, a interseção com o eixo-y é o ponto (0, 0). A intersecção como eixo-x é feita fazendo f (x ) = sen(x ) = 0 e, portanto, x = k · π, k ∈ Z. (c) O gráfico da função f (x ) = sen(x ). y 2π −1 1 0 π π π π π 3π x 6 4 3 2 2 (d) Como o maior valor de seno é 1 e o menor é −1 e tendo em conta o gráfico dessa função, concluímos que o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1]. • Função cosseno f (x ) = cos(x ). (a) Domínio: o conjunto R dos números reais. (b) Interceptos: se x = 0, f (0) = cos(0) = 1 e, portanto, a intersecção com o eixo-y é o ponto (0, 1). A π intersecção com o eixo-x é feita fazendo f (x ) = cos(x ) = 0 e, portanto, x = + k π, k ∈ Z. 2 (c) O gráfico da função f (x ) = cos(x ) y 1 2π 0 π π π π π 3π x 6 4 3 2 2 −1 (d) Como o maior valor do cosseno de um ângulo é 1 e o menor −1 e tendo em conta o gráfico dessa função, concluímos que o conjunto imagem [−1, 1]. Função Tangente f (x ) = tg(x ) (a) Domínio: o conjunto R dos números reais, excluindo os valores de x para os quais cos(x ) = 0, ou π seja, os valores da forma x = + k π, k ∈ Z. 2 (b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) = tg(0) e, portanto, a interseção com o eixo-y é o ponto (0, 0). A intersecção com o eixo-x é feita fazendo f (x ) = tg(x ) = 0 e, portanto, x = k π, k ∈ Z.42 FTC EAD |
  • 43. (c) O gráfico da função f (x ) = tg(x ) y 1 2π 0 π π π π 2 π 3π x 6 4 3 2 (d) O conjunto imagem é o conjunto R dos números reais, pois para todo y real, existe x tal que tg(x ) = y. 2.5.2 Exercícios Propostos EP 2.1. Daqui a t anos, o valor de um automóvel será V = 2.000 · (0, 75)t dólares. A partir de hoje, daqui aquantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote: log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48. (a) 3 anos (b) 2, 5 anos (c) 2 anos (d) 4, 5 anos EP 2.2. Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado pela função: P (t ) = P0 · e 0,01·t ,em que a variável t indica o tempo dado em dias. Qual é a população inicial, sabendo que após 40 dias apopulação é de, aproximadamente, 400.000 indivíduos? (a) 268.000 (b) 368.000 (c) −268.000 (d) −368.000 EP 2.3. O preço de um carro é R $11.261, 62, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses.Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11, 2%. Qual a taxa de juros cobrada nestaoperação? (a) 1% (b) 0, 02% (c) 0, 2% (d) 2% EP 2.4. Foi feito um empréstimo pessoal de R $1.500, 00, e a taxa de juros cobrada foi de 4, 32% a.m.,determine quanto tempo se passou quando o devedor saldou a dívida em R $3.078, 50. (a) 4 anos (b) 3 anos (c) 5 anos (d) 2 anos EP 2.5. O valor das ações da Petrobrás na Bolsa de Valores variou, durante determinado mês, segundo a π πequação V (t ) = 3 + 1, 2 · sen + · t , em que V (t ) é o valor de venda de um lote de 1.000 ações, em reais, 2 2e t é o tempo em dias. Assinale a alternativa que representa o período de oscilação do valor das ações naBolsa. (a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 24 Gabarito 2.1. (b) 2.2. (a) 2.3. (d) 2.4. (a) 2.5. (a) Fundamentos da Matemática 43
  • 44. O Estudo do Cálculo e suas BLOCO 02 Implicações Econômicas Apresentação Inicialmente, no Bloco I, foram trabalhadas as características principais de funções e suas aplicações, estas voltadas para a economia, negócios e outros temas que importam ao profissional de Administração e Con- tábeis, dentre outros. Neste bloco trabalharemos de forma sucinta os conceitos de limites e suas principais propriedades, para, enfim, adentrarmos no conteúdo de Derivadas e Integrais, no mesmo contexto. Estudo do Cálculo Diferencial e suas TEMA 03 aplicações 3.1 Noções Básicas de Limites O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Estudo das funções, limites, derivas e integrais. O conceito de limite tem grande utilidade na determinação do comporta- mento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento delas quando x aumenta muito (tende ao infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Para entender os conceitos mais importantes daquela lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. Antes de compreender aspectos básicos de limites, vejamos a seguinte situação: Uma empresa fabrica uma linha de cadeiras para executivos. Estima-se que o custo total da fabricação de x mesas de certo modelo é C (x ) = 100x + 200.000 em reais por ano, de modo que o custo médio da fabricação de x cadeiras é dado por: C (x ) 100x + 200.000 200.000 CM (x ) = = = 100 + x x x em reais por cadeira. Nota 8. O custo médio, em economia, é definido como o custo total de produção (C (x )), dividido pela quantidade produzida (x ). Observe, abaixo, o comportamento do valor do custo quando se aumenta a produção de cadeiras: Quantidade de cadeiras produzidas Custo médio quando × cadeiras são produzidas 200.000 1 C (1) = 100 + 1 = 100 + 200.000 = 200.100 200.000 1.000 C (1.000) = 100 + 1.000 = 100 + 200 = 300 10.000 C (10.000) = 100 + 200.000 = 100 + 20 = 120 10.000 200.000 1.000.000 C (1) = 100 + 1.000.000 = 100 + 0, 2 = 100, 2 200.000 10.000.000 C (10.000.000) = 100 + 10.000.000 = 100 + 0, 02 = 100, 02 . . . . . . 200.000 200.000 x → +∞ 100 + x → 100, pois x →044 FTC EAD |
  • 45. Visualize graficamente y A partir da análise do gráfico concluir-se que o resultado queobtivemos é certamente esperado se considerarmos suas impli-cações econômicas. Intuitivamente, observa-se que à medida queo nível de produção cresce, o custo fixo aumenta por cadeira pro- 200.000duzida, representado pelo termo , diminui sensivelmente. xO custo médio se aproxima de um valor constante por unidade pro- x -10000 10000duzida, R $100, neste caso. Logo, algebricamente, temos que: 200.000 200.000lim C (x ) = lim 100 + = lim 100+ lim = 100,x →∞ x →∞ x x →∞ x →∞ ßÞ x tende a 0em que lim C (x ) representa o limite da função custo médio quando x cresce indefinidamente, ou seja , a me- x →∞dida que quantidade de cadeiras produzidas crescem, o custo médio diminui, se aproximando de 100 reaispor mês. Observe, ainda, que quando a produção é pequena, o custo é muito alto. Para compreender isto,calcularemos o custo médio quando uma unidade é produzida: 200.000 C (1) = 100 + = 200.100 (muito alto). 1Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar a compreensão intuitiva de limites, consideremos a função f : R − {1} → R, definida por f (x ) =x2 − 1 :x −1 Para x = 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma equivalente: x2 − 1 (x − 1)(x + 1) f (x ) = = = x + 1 ⇒ f (x ) = x + 1. x −1 x −1Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence aodomínio de f , constatamos que esta função se aproxima do valor y = 2, quando os valores de x se aproximamde x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) como por valores x > 1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f , para valores x àesquerda e à direita de x = 1. • Pela esquerda de x = 1: x 0 0, 5 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 y f (x ) 1 1, 5 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999 • Pela direita de x = 1: x 2 1, 5 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 2 f (x ) 3 2, 5 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001 Neste caso, dizemos y = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por: 1 x lim f (x ) = 2. x →1 Este resultado pode ser visto através do esboço gráfico de f , ao lado: Fundamentos da Matemática 45
  • 46. 3.1.1 Propriedades dos Limites Apresentaremos as propriedades que podem ser usadas para obtenção das regras e propriedades da derivação. 1. Se f (x ) = C , em que C é constante, então: lim f (x ) = lim C = C . x →a x →a 2. Se k e b são constantes e f (x ) = kx + b , então: lim f (x ) = lim (kx + b ) = ka + b . x →a x →a 3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e, além disso, lim f (x ) = A e x →a lim g (x ) = B , então: x →a 4. (a) lim (f ± g )(x ) = lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B x →a x →a x →a 5. (b) lim (f · g )(x ) = lim f (x ) · lim g (x ) = A · B x →a x →a x →a 6. (c) lim (k · f )(x ) = k · lim f (x ) = k · A x →a x →a 7. (d) lim (f ) (x ) = ( lim f (x ))n = An n x →a x →a f lim f (x ) A x →a 8. (e) lim (x ) = = , se B = 0. x →a g lim g (x ) B x →a 9. (f) lim exp[f (x )] = exp lim f (x ) = exp(A) x →a x →a 10. Se acontecer uma das situações abaixo: 11. i. lim f (x ) = 0 x →a 12. ii. lim f (x ) > 0 e n é um número natural x →a Õ n 13. iii. lim f (x ) < 0 e n é um número natural ímpar, então lim f (x ) = n lim f (x ). x →a x →a x →a 3.2 Derivadas e suas Aplicações y Neste conteúdo introduziremos a taxa de variação instantânea Graf(f ) de uma função num ponto. A taxa de variação num dado instante f (x ) nos leva ao conceito de derivada. Esta pode ser interpretada geo- metricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente como taxa de variação. Veremos que a noção de limites, vista no con- teúdo anterior, permite-nos definir a noção de derivada e também discutirmos algumas aplicações que provam a utilidade de sua in- f (x0 ) terpretação. x0 x x f (x ) − f (x0 ) Dada uma função f : I → R e x0 ∈ I , considere o quociente q (x ) = , que está definido se x = x0 . x − x0 Logo, temos uma função q : I − {x0 } → R, cujo valor q (x ) nos dá a inclinação da reta secante ao gráfico de f nos pontos (x0 , f (x0 )) e (x , f (x )).46 FTC EAD |
  • 47. Se imaginarmos x sendo o tempo e f (x ) a posição de um carro em uma estrada, teremos que q (x ) é avelocidade média deste carro no intervalo de tempo de x0 a x . ∆S S − S0 f (x ) − f (x0 ) vm = = = = q (x ). ∆t t − t0 x − x0 Temos que q (x ) é a relação entre a variação de (x ) e de x a partir do ponto x0 . Vamos fazer x se aproximarcada vez mais de x0 , isto é, x → x0 (x tender a x0 ). Isto é, considere o seguinte limite: f (x ) − f (x0 ) lim . x →x0 x − x0 y Notamos que se este limite existir obteremos a inclinação da Graf(f ) f (x )reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , f (x0 )), que é a veloci-dade instantânea do carro no instante x = x0 . Em outras palavras,a “taxa de variação instantânea” da função f no ponto. Definimos a derivada de f no ponto x0 , sendo o limite: f (x ) − f (x0 ) f (x0 ) lim x →x0 x − x0 x0 x x Fazendo ∆x = x − x0 , se x → x0 , temos que ∆x → x0 e que x = x0 + ∆x . Logo, f (x ) − f (x0 ) f (x + ∆x ) − f (x0 ) lim = lim = f ′ (x0 ). x →x0 x − x0 ∆x →0 ∆x Se este limite existe, dizemos que é derivável no ponto x0 . Se existe f ′ (x ), ∀ x ∈ I , dizemos que f éderivável em I . 3.2.1 Regras de Derivação 1. (f ± g )′ = f ′ ± g ′ . 2. (f · g )′ = f ′ · g + f · g ′ . 3. Se f (x ) = c , então f ′ (x ) = 0. f f ′ · g − f · g′ 4. Se g = 0, então = . g g2 Como conseqüência destas propriedades, obtém-se as seguintes regras de derivação: 5. [k · g (x )]′ = k · g ′ (x ), em que k é uma constante. 6. [k · x n ]′ = kn · x n−1 , ∀ n ∈ R å è′ 1 g ′ (x ) 7. =− g (x ) [g (x )]2 Exemplo 3.1. Derive as seguintes funções. x 4 + 3x (a) f (x ) = 7x 6 + 3xx + 8 4 (b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6) (c) f (x ) = x −1 Fundamentos da Matemática 47
  • 48. Solução: (a) f (x ) = 7x 6 + 3x 4 − x + 8 ⇒ f ′ (x ) = (7x 6 )′ + (3x 4 )′ − (x )′ + (8)′ = 42x 5 + 12x 3 − 1 (b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6) ⇒ f ′ (x ) = (x 2 + 3)′ · (x 5 − 6) + (x 2 + 3) · (x 5 − 6)′ = 2x · (x 5 − 6) + 5x 4 · (x 2 + 3) = 2x 6 − 12x + 5x 6 + 15x 4 = 7x 6 + 15x 4 − 12 x 4 + 3x (4x 3 + 3) · (x − 1) − (x 4 + 3x ) · 1 4x 4 − 4x 3 + 3x − 3 − x 4 − 3x (c) f (x ) = ⇒ f ′ (x ) = = = x −1 (x − 1)2 (x − 1)2 3x 4 − 4x 3 − 3 (x − 1)2 3.3 Pontos de Máximos e Mínimos Dada uma função f (x ), os valores de x tais que f ′ (x ) = 0, são ditos pontos críticos de f . Se a segunda derivada de f (f ′′ (x )) calculada nestes pontos críticos for positiva (f ′′ (x ) > 0) dizemos que estes pontos críticos são pontos de mínimo, se os valores nesses pontos críticos forem negativos (f ′′ (x ) < 0) dizemos que estes pontos críticos são pontos de máximo. Exemplo 3.2. Considere a função quadrática f (x ) = x 2 − 4x + 3. Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do y seu vértice são V (2, −1). O esboço do seu gráfico está ao lado. Notamos que x = 2 é um ponto de mínimo da função, que é 6 justamente xV . Se nós derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = 2x − 4. Igua- 3 lando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função. f ′ (x ) = 0 ⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2. x 2 4 Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, nós calculamos a segunda derivada da função f neste ponto crítico. f ′′ (x ) = 2 ⇒ f ′′ (2) = 2 > 0. Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f . Note que f ′ (x ) < 0, se x < 2, e que f ′ (x ) > 0, se x > 2. Observe pelo gráfico que a função f (x ) é decrescente, para x < 2, e é crescente, para x > 2, justamente onde a derivada é negativa e positiva, respectivamente. Exemplo 3.3. Considere a função quadrática f (x ) = −x 2 + 4x − 3. Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do y seu vértice são V (2, 1). O esboço do seu gráfico está ao lado. x Notamos que x = 2 é um ponto de máximo da função, que é 2 4 justamente xV . -3 Se nós derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = −2x + 4. Igualando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função. -6 ′ f (x ) = 0 ⇒ −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2. Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, nós calculamos a segunda derivada da função f neste ponto crítico. f ′′ (x ) = −2 ⇒ f ′′ (2) = −2 < 0. Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f .48 FTC EAD |
  • 49. Note que f ′ (x ) > 0, se x < 2, e que f ′ (x ) < 0, se x > 2. Observe pelo gráfico, que a função f (x ) é crescente,para x < 2, e é decrescente, para x > 2, justamente onde a derivada é positiva e negativa, respectivamente.Com esta observação e com a anterior, nós vamos enunciar o seguinte resultado: Dada uma função f (x ), temos que se f ′ (x ) > 0, para x pertencente a um determinado intervalo, então afunção f será crescente neste mesmo intervalo. Se f ′ (x ) < 0, para x pertencente a um determinado intervalo,então f será decrescente neste mesmo intervalo. x3 13x 2 Exemplo 3.4. Dada a função f (x ) = − + 30x + 10, em que 0 < x < 13. Determine os pontos de 3 2máximo e mínimo de f . Solução: Derivando a função f , obtemos f ′ (x ) = x 2 − 13x + 30. Igualando f ′ (x ) a zero, obtemos os pontos críticos x = 3 ou x = 10. Derivando, agora, a função f ′ (x ), obtemos f ′′ (x ) = y 2x − 13. Logo, f ′′ (3) = −7 < 0 e f ′′ (10) = 7 > 0. Con- 50 cluímos que x = 3 é um ponto de máximo e x = 10 é um ponto de mínimo. Através do estudo do sinal da função 40 f ′ (x ) obtemos os intervalos onde a função f é crescente 30 ou decrescente, isto é, f ′ (x ) < 0, se 3 < x < 10 e f ′ (x ) > 0, se 0 < x < 3 ou 10 < x < 13. Logo, f é decres- 20 cente, se 3 < x < 10 e f será crescente, se 0 < x < 3 10 ou 10 < x < 13. Temos, também, que f (3) = 50, 5 e f (10) = −6, 67. O esboço do gráfico da função f (x ) está x ao lado. 5 10 Exemplo 3.5. O lucro obtido por um determinado fabricante com a venda de determinado produto é dadopela função L(p ) = 400 · (15 − p ) · (p − 2), em que p é o preço de venda do seu produto. Calcule o preço quemaximiza o lucro. Solução: Primeiro derivamos a função lucro e igualamos esta derivada a zero para obtermos os pontos críticos. L′ (p ) = 400 · [(−1) · (p − 2) + (15 − p ) · 1] = 400 · (−p + 2 + 15 − p ) = 400 · (−2p + 17) Igualando-se esta deriva da a zero, encontramos p = 8, 5 que é a abscissa do ponto crítico da função lucro. A segunda derivada da função lucro é L′′ (p ) = −800 e, para p = 8, 5, temos L′′ (8, 5) = −800 < 0. Logo, p = 8, 5 é um ponto de 10000 máximo, isto é, o preço de 8, 5 maximiza o lucro. Note que a função lucro é quadrática L(p ) = −400p 2 + 6.800p − p 8.5 17.0 12.000. O seu gráfico está logo ao lado. -10000 Exemplo 3.6. A receita de uma empresa é dada em função do preço (p ) do seu produto pela função p3 13p 2R (p ) = − + 30p + 10, em que 0 < p < 13. Determine o preço p que maximiza a receita R . 3 2 Solução: R ′ (p ) = p 2 − 13p + 30 = 0 → p = 10 ou p = 3. Fundamentos da Matemática 49
  • 50. R Como R ′′ (p ) = 2p − 13, então R ′′ (3) = −7 < 0 e R ′′ (10) = 7 > 0. Portanto, temos que p = 3 é a abscissa de um ponto de máximo e que p = 10 é a abscissa de um ponto de mínimo, isto é, p = 3 maximiza a receita e p = 10 minimiza a receita. p Analogamente ao que foi feito para a função f (x ) do exemplo 6.5 anterior, temos o esboço do gráfico da função R ′ . Exemplo 3.7. O lucro de uma empresa é dada em função do preço do seu produto pela expressão L(p ) = p3 − 15p 2 + 200p − 300, em que 0 < p < 23. Determine o preço que maximiza o lucro. Esboce o gráfico da 3 função L. Solução: L′ (p ) = p 2 − 30p + 200 = 0 ⇒ p = 10 ou p = 20. Temos que L′′ (p ) = 2p − 30, temos que L′′ (10) = −10 < 0 e L′′ (20) = 10 > 0. Logo, p = 10 é ponto de máximo da função L(p ) e p = 20 é ponto de mínimo de função L(p ), isto é p = 10 maximiza o lucro e p = 20 minimiza o lucro. Temos que L′ (p ) < 0, se 10 < p < 20. Logo, L(p ) é decres- cente, se 10 < p < 20 e temos que L′ (p ) > 0, se 0 < p < 10 ou 20 < p < 23. Logo, L(p ) é crescente, se 0 < p < 10 ou 20 < p < 23. Temos que L(10) = 533, 3 e L(23) = 420, 67. O p 10 20 esboço do gráfico de L está logo ao lado. 3.4 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) Sejam f (x ) e g (x ) funções e h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) as compostas de f e g , isto é h(x ) = f (g (x )) e l (x ) = g (f (x )). Temos que as derivadas de h(x ) e l (x ) são: h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ). A derivada da função composta é conhecida por regra da cadeia. Exemplo 3.8. Sejam f (x ) = x 2 + 2x e g (x ) = x + 1. Determine a expressão de h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) e de suas derivadas. Solução: Temos que h(x ) = f og (x ) = x 2 +4x +3 e l (x ) = g of (x ) = x 2 +2x +1. Logo, suas derivadas são h′ (x ) = 2x +4 e l ′ (x ) = 2x +2. Pela regra da cadeia obtemos que h′ (x ) = f ′ (g (x ))·g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x ))·f ′ (x ), como a derivada de f ′ (x ) = 2x + 2 e g ′ (x ) = 1, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) = (2(g (x )) + 2) · 1 = 2(x + 1) + 2 = 2x + 4 e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ) = 1 · (2x + 2) = 2x + 2. Exemplo 3.9. Sejam f (x ) = x 5 e g (x ) = 2x 2 +3x +5. Determine a expressão de h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) e de suas derivadas. Solução: Temos que h(x ) = f og (x ) = (2x 2 + 3x + 5)5 e i (x ) = g of (x ) = 2x 1 0 + 3x 5 + 5. Pela regra da cadeia temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ), como a derivada de f é f ′ (x ) = 5x 4 e g ′ (x ) = 4x + 3, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) = 5(g (x ))4 · (4x + 3) = 5(2x 2 + 3x + 5)4 · (4x + 3)50 FTC EAD |
  • 51. e i ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ) = (4f (x ) + 3) · f ′ (x ) = (4x 5 + 3) · 5x 4 . √ 3 Exemplo 3.10. Derive a função f (x ) = x 2 + 3x + 1. 1 1 2 1 2x + 3 Solução: f (x ) = (x 2 + 3x + 1) 3 ⇒ f ′ (x ) = (x + 3x + 1) 3 −1 · (2x + 3) = √ . 3 3 · 3(x 2 + 3x + 1)2 2 Exemplo 3.11. Calcule a derivada da função f (x ) = − √ , em x = 1. 5x 3 + 7 1 3 15x 2 15 Solução: f (x ) = −2 · (5x 3 + 7)− 2 ⇒ f ′ (x ) = (5x 3 + 7)− 2 · 15x 2 ⇒ f ′ (x ) = ⇒ f (1) = √ . (5x 3 + 7)3 123 3.4.1 Notação de Derivadas Podemos denotar a derivada de uma função das seguintes maneiras: df (x ) A derivada da função f (x ) pode ser denotada por f ′ (x ) = , como podemos considerar f (x ) = y (x ) dx dy (x ) df (t ) dy (t )temos que f ′ (x ) = y ′ (x ) = . Se temos a função f (t ) = y (t ), temos f ′ (t ) = y ′ (t ) = = . dx dt dt 3.4.2 Derivadas de Algumas Funções Elementares Dada a função exponencial f (x ) = ax , temos que f ′ (x ) = ax · ln(a), em que 0 < a = 1. Como exemplo,vamos derivar a função f (x ) = e x ⇒ f ′ (x ) = e x · ln(e ) ⇒ f ′ (x ) = e x . Como outro exemplo, ao derivar a funçãof (x ) = 5x , temos f ′ (x ) = 5x · ln(5). 1 Dada a função f (x ) = loga (x ), temos que f ′ (x ) = · loga (e ), em que 0 < a = 1 e x > 0. Como exemplo, x 1 1ao derivar a função f (x ) = ln(x ), temos f ′ (x ) = · ln(e ) = . Como outro exemplo, ao derivar a função x x 1f (x ) = log5 (x ), temos f ′ (x ) = · log5 (e ). x f (x + ∆x ) − f (x ) Dada uma função f (x ), temos que a taxa de variação média de f é o quociente . A taxa ∆x f (x + ∆x ) − f (x )de variação instantânea de f é dada pelo limite da variação média de f , isto é, lim . ∆x →0 ∆x Exemplo 3.12. A população de uma cidade é estimada a partir de agora pela função P (t ) = t 2 + 10t + 16.000,em que t é o tempo dado em meses. (a) A que taxa a população estará variando daqui a 2 meses? (b) Qual a variação real da população durante o 3o mês? Solução: (a) Temos que a taxa de variação da população é dada pela derivada da função P (t ), isto é, P ′ (t ) = 2t + 10. Como queremos a taxa de variação da população daqui a 2 meses, calculamos, então P ′ (2) = 14 pessoas por mês. (b) A variação real da população durante o terceiro mês é dada pela diferença da população no terceiro Fundamentos da Matemática 51
  • 52. mês pela população do segundo mês, isto é, P (3) − P (2) = 15 pessoas. Podemos notar que o valor da taxa de variação no segundo mês é bem próximo do valor real da variação da população durante o terceiro mês. Logo, podemos estimar a variação real da população pela taxa de variação da população. 3.5 Taxas de Variação Temos que a taxa de variação real é dada por y f (x + ∆x ) − f (x ) e a taxa de variação média pelo quo- Graf(f ) f (x + ∆x ) − f (x ) f (x + ∆x ) ciente , se tivermos ∆x = 1, teremos ∆x que a variação real será igual à variação média e temos que a taxa de variação instantânea é dada pelo lim- ite da variação média quando ∆x tende a zero, isto f (x + ∆x ) − f (x ) é, lim . Logo, podemos ver grafica- f (x ) ∆x →0 ∆x mente que a taxa de variação instantânea é uma boa aproximação da variação real da função. x x x + ∆x 3.6 Taxa de Variação Percentual Para transformarmos a variação da função em porcentagem montamos uma regra de três simples, da seguinte forma: f (x ) 100% f (x + ∆x ) − f (x ) ∆% Logo, f (x + ∆x ) − f (x ) ∆f % = · 100%, f (x ) pois, f (x + ∆x ) − f (x ) ≈ f ′ (x ), como já visto acima. Exemplo 3.13. Considere o exemplo anterior. Qual a taxa percentual de variação da população no segundo mês? P ′ (2) 14 Solução: ∆P % = · 100% = = 0, 087%. P (2) 16.024 3.7 Aproximação por Diferenciais f (x + ∆x ) − f (x ) Seja f (x ) uma função, temos que se ∆x for pequeno, então f ′ (x ) ≈ . Logo, f (x + ∆x ) − ∆x f (x ) ≈ f ′ (x ) · ∆x , isto é ∆f ≈ f ′ (x ) · ∆x . Análise marginal é a técnica de aproximação utilizada em economia para estimar a variação de uma função quando pequenas variações são feitas na variável independente.52 FTC EAD |
  • 53. 3.7.1 Exercícios Propostos EP 3.1. O custo total em reais de uma fábrica para produzir q unidades é dado pela função C (q ) = 5q 2 +10q + 20. O nível atual de produção é de 55 unidades. Uma estimativa para a variação do custo se a produçãofor de 55, 4 unidades e a variação real do custo, em reais, são, respectivamente: (a) 224 e 224, 6 (b) 224, 8 e 224, 6 (c) 224 e 224, 8 (d) 224, 8 e 224, 8 EP 3.2. Um estudo ambiental feito em Camaçari indicou que, t anos a partir de agora o nível médio demonóxido de carbono no ar será de C (t ) = 0, 04t 3 + 0, 3t 2 + 0, 2t + 2, 1ppm. Uma estimativa para a variação domonóxido de carbono nos próximos 3 meses é: (a) 0, 04ppm (b) 0, 05ppm (c) 0, 055ppm (d) 0, 5ppm 3.8 Aproximação da Variação Percentual f ′ (x ) · ∆x Partindo de uma regra de três simples, mostramos facilmente que ∆f % ≈ · 100%. f (x ) 3.8.1 Exercícios Propostos EP 3.3. Nos exemplos 3.1 e 3.2, uma estimativa para as variações percentuais são, respectivamente: (a) 1, 48% e 2, 30% (b) 1, 40% e 2, 30% (c) 1, 40% e 2, 38% (d) 1, 43% e 2, 38% √ 3 EP 3.4. A produção de uma indústria é dada pela expressão P (C ) = 2.500 · C 2 unidades, em que C é ocapital investido. A estimativa para a variação percentual da produção se aumentarmos o capital investido em3% é: (a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% Em economia o uso da derivada para aproximar a variação de uma função, quando temos uma variação deuma unidade na variável independente, é denominado de análise marginal. Seja C (q ) e R (q ) as funções custo e receita total. Temos, então, que o custo marginal é a aproximação daseguinte variação: ∆C = C (q + 1) − C (q ) ≈ C ′ (q ) · ∆q = C ′ (q ) · 1 = C ′ (q ). Analogamente, temos que a receitamarginal é a aproximação da variação da receita pela derivada quando ∆q = 1, isto é, ∆R ≈ R ′ (q ). Notamosque C ′ (q ) e R ′ (q ) são, respectivamente, a aproximação do custo para produzir a (q + 1)a unidade e a receitareferente à venda da (q + 1)a unidade. Exemplo 3.14. Uma indústria tem custo total dado por C (q ) = 3q 2 + 5q + 10.000 reais, para produzir qunidades. O preço de venda do seu produto é dado por P (q ) = −2q + 30 reais quando q unidades sãovendidas. (a) Determine as funções custo e receita marginal. (b) Use o custo e a receita marginal para estimar o custo de produção e a receita da venda da 5o unidade. Fundamentos da Matemática 53
  • 54. Solução: (a) C ′ (q ) = 6q + 5 e R ′ (q ) = −4q + 30. (b) C ′ (4) = 29 reais por unidade e R ′ (4) = 14 reais por unidade. A variação real do custo e da receita da produção e venda da 5a unidade são, respectivamente, ∆C = C (5)− C (4) = 32 reais e ∆R = R (5)− R (4) = 12 reais. 3.8.2 Exercícios Propostos EP 3.5. Um pequena loja de gravatas vende cada uma por U $3, 5. A função custo diário é estimada em C (x ) dólares, em que x é o número de gravatas vendidas em um dia típico e C (x ) = 0, 006x 3 − 0, 03x 2 + 2x + 20. O valor de x que irá maximizar o lucro diário é: (a) 9 (b) 10 (c) 11 (d) 12 75 EP 3.6. A demanda semanal por modelo de televisor Pulsar é igual a p = 3x − − 25, 0 ≤ x ≤ 10.000, x em que p denota o preço unitário por atacado em dólares e x denota a quantidade demandada. A receita real obtida pela venda da 101o unidade, assumindo que 100 unidades são vendidas deste produto e uma estimativa para a receita produzida pelo 101o televisor, utilizando análise marginal, são, respectivamente: (a) 538 e 575 (b) 581 e 538 (c) 538 e 581 (d) 531 e 588 √ EP 3.7. O custo para se manufaturar x caixas de cereal é de C Dólares, em que C = 3x + 4 x + 2. A produção semanal em t semanas, contadas a partir do presente, é estimada em x = 6.200 + 100t . O custo dC dC marginal , a taxa de variação do custo e a velocidade com que os custos estão crescendo quando t = 2 dx dt são, respectivamente: dC 4 dC 20 dC 4 dC 200 (a) =3+ √ , = 300 + √ e 300, 5 (b) =3+ √ , = 300 + √ e 300, 5 dx x dt 62 + t dx x dt 62 + t dC 20 dC 20 dC 2 dC 20 (c) =3+ √ , = 300 + √ e 302, 5 (d) =3+ √ , = 300 + √ e 302, 5 dx x dt 64 + t dx x dt 62 + t q3 EP 3.8. O custo de uma indústria é dado pela função C (q ) = − 4q 2 + 15q + 2.000, em que 0 ≤ q ≤ 6. A 3 quantidade q que minimiza o custo e o custo mínimo aproximado são, respectivamente: (a) 3 e 216, 67 (b) 4 e 217 (c) 5 e 216, 67 (d) 5 e 650 EP 3.9. Um produtor observou que quando o preço unitário de seu produto era R $5, 00, a demanda mensal era de 3.000 unidades e, quando o preço era R $6, 00, a demanda mensal era 2.800 unidades. Admitindo-se que a demanda é uma função do 1o grau, o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita mensal é: (a) R $5, 50 (b) R $7, 00 (c) R $10, 00 (d) R $12, 00 Gabarito 3.1. (c) 3.2. (b) 3.3. (d) 3.4. (b) 3.5. (c) 3.6. (a) 3.7. (d) 3.8. (c) 3.9. (c)54 FTC EAD |
  • 55. Estudo do Cálculo Integral e TEMA 04 Aplicações 4.1 Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias 4.1 Definição. Uma função F (x ) tal que F ′ (x ) = f (x ) é dita uma primitiva da função f . 2x 5 3x 2 Exemplo 4.1. A função F (x ) = + + 5x + 10 é uma primitiva da função f (x ) = 2x 2 + 3x + 5, pois 3 2F ′ (x ) = f (x ). 2x 5 3x 2 Exemplo 4.2. A função F (x ) = + + 5x + C , em que C é uma constante, é também, uma primitiva da 3 2 2 ′função f (x ) = 2x + 3x + 5, pois F (x ) = f (x ). Simbolicamente, escrevemos a integral indefinida de f por f (x )dx = F (x ) + C ,em que C é uma constante e lemos a integral indefinida de f (x )dx é igual a F (x ) + C . Exemplo 4.3. Calcular a integral 2x 2 + 3x + 5dx . 2x 3 3x 2 Solução: 2x 2 + 3x + 5dx = + + 5x + C . 3 2 Nota 9. Temos que f (x )dx = F (x ) + C ⇔ F ′ (x ) = f (x ) ⇔ F ′ (x )dx = F (x ) + C . 4.2 Regras de Integração 4.2.1 Integração da Função Potência Dada a função f (x ) = x n , temos que f ′ (x ) = n · x n−1 . Logo, xn f ′ (x )dx = f (x ) + C ⇒ nx n−1 dx = x n + C ⇒ n x n−1 dx = x n + C ⇒ x n−1 dx = + C. n De modo geral, dada a função f (x ) = x n , em que n = −1, temos: x n+1 x n dx = + C. n+1 Exemplo 4.4. Obtenha as integrais indefinidas das seguintes funções: √ 1 √ (a) f (x ) = x (b) f (t ) = √ (c) f (t ) = 3 2 t (d) f (x ) = 1 t Fundamentos da Matemática 55
  • 56. 1 3 √ x 2 +1 1 x2 2√ 3 Solução: (a) f (x )dx = xdx = x dx = 2 +C = +C = x +C 1 3 3 +1 2 2 1 1 1 1 t − 2 +1 t2 √ (b) f (t )dt = √ dt = t − 2 dt = +C = +C =2 t +C t 1 1 − +1 2 2 √ 3 2 2 t3 +1 x3 5 3√ 5 3 (c) f (t )dt = t 2 dt = t 3 dt = +C = +C = t + C. 2 5 5 +1 3 3 0+1 x (d) f (x )dx = 1dx = x 0 dx = + C = x + C. 0+1 1 4.2.2 A Integral da Função f (x) = x 1 1 Temos que f (x ) = = x −1 , a integral de f (x ) é dada por f (x )dx = dx = ln(x ) + C , pois notamos x x 1 que a derivada de ln(x ) + C é a função f (x ) = . Como na função ln(x ), temos que x > 0, tomamos, então, a x 1 integral da função f (x ) = sendo ln |x | + C , isto é, x 1 f (x )dx = dx = ln |x | + C . x 4.2.3 A Integral da Função f (x) = e x Como a derivada de e x + C é igual a e x , temos que f (x ) = e x ⇒ f (x )dx = e x dx = e x + C . 4.2.4 A Integral do Produto de uma Constante por uma Função K · f (x )dx = K f (x )dx , em que K é uma constante. Como exemplo, temos que x3 3x 2 dx = 3 x 2 dx = 3 + C = x3 + C. 3 4.2.5 A Integral da Soma é a Soma das Integrais √ (f (x ) + g (x ))dx = f (x )dx + g (x )dx . Como exemplo, vamos integrar a função f (x ) = 3 x + 4e x + 2 5 +√ 3 x x2 √ 2 5 1 1 2 √ f (x )dx = (3 x +4e x + + √ )dx = 3 3 x 2 dx +4 e x dx +2 dx +5 x − 3 dx = 2 x 3 +4e x +2 ln(x )+C . x x2 x √ √ Para treinar: Mostre que a derivada da função F (x ) = 2 x 3 + 4e x + 2 ln |x | + 15 3 x + C é igual a função √ 2 5 f (x ) = 3 x + 4e x + + √ .3 x x2 5x 6 + 2x 5 − 3x 2 + 7 Exemplo 4.5. Integre a função f (x ) = . 4x 356 FTC EAD |
  • 57. 5x 6 + 2x 5 − 3x 2 + 7 5 1 3 1 7 Solução: f (x )dx = dx = x 3 dx + x 2 dx − dx + x −3 dx = 4x 3 4 2 4 x 4 5 4 1 3 3 7 1 x + x − ln |x | − + C. 16 6 4 8 x2Agora é sua vez! 5 4 1 3 3 7 1 EP 4.1. Mostre que a derivada da função F (x ) = x + x − ln |x | − + C é igual a função f (x ) = 16 6 4 8 x25x 6 + 2x 5 − 3x 2 + 7 . 4x 3 3 Exemplo 4.6. Qual a função cuja inclinação da reta tangente ao seu gráfico em x é x 3 + 2x + 5 e que passa 4pelo ponto (1, 2). 3 3 Solução: Temos que a derivada da função f (x ) que queremos determinar é f ′ (x ) = x + 2x + 5. Logo, 4 para determinar f (x ), integramos sua derivada f ′ (x ), isto é, 3 3 3 3 4 f (x ) = f ′ (x )dx = x + 2x + 5 dx = x 3 dx + 2 xdx + 5 dx = x + x 2 + 5x + C . 4 4 16 Temos que f (1) = 2, isto é, 3 f (1) = · 14 + 12 + 5 · 1 + C = 2. 16 67 3 4 67 Logo, C = − . Então, temos que f (x ) = x + x 2 + 5x − . 16 16 16 Exemplo 4.7. O custo marginal de uma indústria é calculado pela expressão 5q 2 − 10q + 100 reais porunidade, quando q unidades são produzidas. O custo de fabricação das três primeiras unidades é de 800 reais.Qual o custo de fabricação das 10 primeiras unidades? Solução: Como o custo marginal é a derivada da função custo, então C ′ (q ) = 5q 2 − 10q + 100. Logo, 5 3 C (q ) = C ′ (q )dq = (5q 2 − 10q + 100)dq = q − 5q 2 + 100q + C . Como C (3) = 800, temos que C = 500. 3 5 5 Desta forma, temos que C (q ) = q 3 − 5q 2 + 100q + 500. Logo, C (10) = 103 − 5 · 102 + 100 · 10 + 500 = 2.666, 67 3 3 reais. Exemplo 4.8. Estima-se que a população de uma determinada cidade esteja variando a uma taxa de 3t 2 +√3 t + 1 pessoas por ano. A população atual é de 11.000 pessoas. Qual será a população daqui a 2 anos? Solução: Queremos determinar a função população P (t ), onde t é o tempo. Sabemos que a taxa de √ variação de uma função é sua derivada. Logo, P ′ (t ) = 3t 2 + 3 t + 1. Desta forma, temos que √ 3√ 4 3 P (t ) = P ′ (t )dt = (3t 2 + 3 t + 1)dt = t 3 + t + t + C. 4 3√ 4 3 Como a população atual é de 11.000 pessoas, isto é, P (0) = 03 + 0 + 0 + C = 11.000, C = 11.000. Logo, 4 3√ 4 3 a população daqui a 2 anos será P (2) = 23 + 2 + 2 + 11.000 = 11.011, 89 pessoas. 4 Fundamentos da Matemática 57
  • 58. 4.3 Integração por Substituição Dada a função composta f ◦ g (x ) = f (g (x )), temos que sua derivada é dada pela regra da cadeia, isto é, (f ◦ g (x ))′ = (f (g (x ))′ = f ′ (g (x )) · g ′ (x ). Logo, a integral da derivada da função composta será: (f ◦ g (x ))′ dx = f ′ (g (x )) · g ′ (x )dx = f ◦ g (x ) + C Exemplo 4.9. Dada a função f (x ) = (5x 2 +2x +3)3 , temos que sua derivada é f ′ (x ) = 3(5x 2 +2x +3)2 ·(10x +2). Logo, a integral da função derivada f ′ (x ) será a função f adicionada a uma constante C , pois é uma integral indefinida, isto é, f ′ (x )dx = 3(5x 2 + 2x + 3)2 · (10x + 2)dx = (5x 2 + 2x + 3)3 + C = f (x ) + C . Logo, quando tivermos integrais de funções produto, nós podemos verificar se o integrando é proveniente da derivada de uma função composta. Para sabermos se o integrando é proveniente da derivada de uma função composta, nós devemos observar se a derivada de uma das funções do integrando pode ser escrita em função da outra função. Exemplo 4.10. Integre a função f (x ) = 4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4). Solução: f (x )dx = 4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4)dx . Note que a derivada da função (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 é igual a função 3x 2 + 4x + 4. Logo, esta integral pode ser resolvida pela técnica de integração por substituição. du Chamando de u = x 3 + 2x 2 + 4x + 1 ⇒ = (3x 2 + 4x + 4) ⇒ du = (3x 2 + 4x + 4)dx . Logo, dx f (x )dx = 4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4)dx u4 = 4u 3 du = 4 u 3 du = 4 · + C = u4 + C 4 = (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)4 + C 6 Exemplo 4.11. Determine a integral da função f (x ) = x5 · ex +11 dx . 6 du du Solução: f (x )dx = x5 · ex +11 dx . Seja u = x 6 + 11. Logo, = 6x 5 ⇒ = x 5 dx . Temos, desta dx 6 forma, que 6 6 du 1 1 u 1 6 f (x )dx = x5 · ex +11 dx = ex +11 · x 5 dx = eu = e u du = e + C = e x +11 + C . 6 6 6 6 2x 3 Exemplo 4.12. Integre a função f (x ) = . 5x 4 − 11 2x 3 du Solução: f (x )dx = 4 − 11 dx . Seja u = 5x 4 − 11 ⇒ du = 20x 3 dx ⇒ = 2x 3 dx . Logo, temos 5x 10 du 2x 3 10 = 1 du 1 1 que f (x )dx = dx = = ln |u | + C = ln |5x 4 − 11| + C . 5x 4 − 11 u 10 u 10 1058 FTC EAD |
  • 59. 4.3.1 Exercícios Propostos EP 4.2. Integre as funções: 20x + 5 8x + 3 (ln(x ))5 (a) f (x ) = ; (b) f (x ) = ; (c) f (x ) = . 3 (4x 2 + 2x − 2)2 3 (4x 2 + 3x − 2)2 x x du u+3 EP 4.3. Integre a função f (x ) = . Sugestão: Faça u = 2x − 3 e veja que dx = ex = . 2x − 3 2 2 4.4 Integral por Partes É a técnica de integração proveniente da derivada da função produto, isto é, se tivermos a derivada seguinte:(u (x ) · v (x ))′ = u ′ (x ) · v (x ) + u (x ) · v ′ (x ). Logo, temos que a integral (u (x ) · v (x ))′ dx = u ′ (x ) · v (x )dx + u (x ) · v ′ (x )dx ⇒ u (x ) · v (x ) = u ′ (x ) · v (x )dx + u (x ) · v ′ (x )dx ⇒ v (x ) · u ′ (x )dx = u (x ) · v (x ) − u (x ) · v ′ (x )dx . Logo, temos que v (x )u ′ (x )dx = u (x ) · v (x ) − u (x ) · v ′ (x )dx . Exemplo 4.13. Determine xe 2x dx . 1 2x Solução: Seja u ′ (x ) = e 2x e v (x ) = x . Logo, u (x ) = u ′ (x )dx = e 2x dx = e e v ′ (x ) = 1. 2 1 2x e 2x Então, temos que v (x )u ′ (x )dx = u (x ) · v (x ) − u (x ) · v ′ (x )dx ⇒ xe 2x dx = e ·x− · 1dx = 2 2 1 2x 1 e · x − e 2x + C . 2 4 4.4.1 Exercícios Propostos EP 4.4. Calcule: √ (a) x x + 5dx ; (b) ln(x )dx ; 4.5 Área e Integral Definida dF (x ) Seja f (x ) = = F ′ (x ), a taxa de variação da função F (x ). Queremos saber qual de a variação de F (x ) dxentre x = a e x = b . b b f (x )dx = F ′ (x )dx = F (b ) − F (a), a a bem que F é uma primitiva de f . O símbolo f (x )dx é lido como “a integral (definida) de f de a até b ”. Os anúmeros a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é comum usar o símbolo F (x )|b para representar a difer- aença F (b ) − F (a). Fundamentos da Matemática 59
  • 60. √ 3 Exemplo 4.14. Uma população de uma cidade está crescendo a uma taxa de 5 t 2 + 3t + 10 pessoas por mês, onde t é o tempo dado em meses. Qual o crescimento da população nos próximos 6 meses? √ 3 6 √ 3 6 2 Solução: P ′ (t ) = 5 t 2 + 3t + 10 ⇒ P (6) − P (0) = 5 t 2 + 3t + 10dt = 5t 3 + 3t + 10dt = 0 0 ¬6 ¬ ¬ 5 ¬ 6 √ √ t 3 t2 ¬ 3 5 ¬ 3 3 3 3 5 +3 + 10t ]¬ = [3t + t 2 + 10t ]¬ = 3 65 + 62 + 10 · 6 − [3 05 + · 0 + 10 · 0] = 173, 43 pessoas ≈ 3 ¬ 5 2 ¬ 2 0 2 2 ¬ 3 0 173 pessoas Exemplo 4.15. Calcule as seguintes integrais definidas: 1 2 5 3 dx 2x (a) e x dx (b) (x 2 + 5)dx (c) (d) dx 0 1 1 x 0 x2 +1 1 Solução: (a) e x dx = e x |1 = e 1 − e 0 = e − 1 0 0 ¬2 2 2 x3 ¬ ¬ 8 1 7 22 (b) x + 5 dx = + 5x ¬ = + 10 − − 5 = + 5 = 1 3 1 3 3 3 3 5 dx 5 (c) = ln(x )|1 = ln(5) − ln(1) = ln(5) 1 x 3 ¬ ¬¬3 2x (d) dx = ln ¬x 2 + 1¬¬0 = ln(10) − ln(1) = ln(10) 0 x2 + 1 4.5.1 Exercícios Propostos EP 4.5. Calcule: 10 2 1 e ln(x ) (a) 4dx ; (b) x 3 + 3 dx (c) 8x (x 2 + 1)3 dx (d) dx 1 0 0 1 x 2 2 Exemplo 4.16. O custo marginal de uma fábrica é de 6(q + 2q + 3) · (q + 1) reais por unidade. De quanto o custo aumentará se a produção aumentar de 5 para 8 unidades? 8 8 Solução: C ′ (q ) = 6(q 2 + 2q + 3)2 · (q + 1) ⇒ C (8) − C (5) = C ′ (q )dq = 6 (q 2 + 2q + 3) · (q + 1)dq . 5 5 du Seja u = q 2 + 2q + 3 ⇒ du = (2q + 2)dq ⇒ du = 2(q + 1)dq ⇒ = (q + 1)dq . Logo, 2 8 8 8 8 du C (8) − C (5) = C ′ (q )dq = 6 (q 2 + 2q + 3)2 · (q + 1)dq = 6 u2 · =3 u 2 du 5 ¬8 5 5 2 5 u3 ¬ 8 8 = 3 ¬ = u 3 |5 = (q 2 + 2q + 3)3 |5 = (82 + 2 · 8 + 3)3 − (52 + 2 · 5 + 3)3 = 516.915 reais. 3 ¬5 4.5.2 Área com Integral Definida Suponha que f é uma função não negativa definida no intervalo a ≤ x ≤ b . Então, a região R limitada pelo gráfico de f , pelo eixo Ox e pelas retas x = a e x = b tem uma área de b A(R ) = f (x )dx . a60 FTC EAD |
  • 61. y f (a) y = f (x ) f (b ) R a b x Exemplo 4.17. Encontre a área da região limitada pela reta y = 2x , o eixo-x e a reta vertical x = 2. y 4 2 ¬2 Solução: A área A(R ) = 2xdx = x 2 ¬0 = 22 − 02 = 4. Observe 0 o esboço gráfico. 2 x Exemplo 4.18. Encontre a área da região limitada pela curva y = −x 2 + 4x − 3 e pelo eixo-x . y Solução: Fazendo o esboço gráfico (veja figura ao lado), 3 vemos que a área é A(R ) = −x 2 + 4x − 3 dx = 1 3 x 1 ¬3 x3 4x 2 ¬ ¬ 1 4 − + − 3x ¬ = −9 + 18 − 9 − − + 2 − 3 = . 3 2 1 3 3 y y =x Exemplo 4.19. Encontre a área da região R no primeiro quadrante que se 1situa sob a curva y = e é limitada por esta curva e pelas retas y = x , y = 0 x 1(eixo x ) e x = 2. y= x R1 R2 1 2 x Solução: Calculemos as áreas da regiões R1 e R2 . ¬1 1 x2 ¬ ¬ = 1 A(R1 ) = xdx = ¬ . 0 2 0 2 2 dx A(R2 ) = = ln(x )|2 = ln(2) − ln(1) = ln(2) 1 1 x 1 Portanto, A(R ) = A(R1 ) + A(R2 ) = + ln(2) ≈ 1, 19. 2 Fundamentos da Matemática 61
  • 62. 4.5.3 Área entre Duas Curvas y Sejam f (x ) e g (x ) funções definidas no intervalo a ≤ x ≤ b , com f (x ) ≥ g (x ). Se R é a região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e f (x ) x = b , então b b b R A(R ) = f (x )dx − g (x )dx = (f (x ) − g (x )) dx . a a a g (x ) a b x Exemplo 4.20. Encontre a área da região R limitada pelas curvas y = x 2 + 1 e y = 2x − 2 entre x = −1 e x = 2. y 2 ä ç Solução: A(R ) = (x 2 + 1) − (2x − 2) dx = −1 ¬2 2 x3 ¬ 14 13 x 2 − 2x + 3 dx = − x 2 + 3x ¬ ¬ = − − = −1 3 −1 3 3 −1 2 x 27 =9 −2 3 4.5.4 Exercícios Propostos 5 EP 4.6. Calcule (2x + 3)dx 2 EP 4.7. Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções f (x ) = x 2 − 4x + 4, g (x ) = x e pelo eixo-x . 4.6 Aplicações: O Excedente do Consumidor e do Produtor 4.6.1 Lucro Líquido Excedente T Suponha que daqui a t anos dois planos de investimento es- Graf(T2 ) tarão gerando lucros às taxas T1 (x ) e T (x ) u.m por ano, respecti- vamente, e que nos próximos N anos a taxa T2 será maior que a Lucro líquido excedente taxa T1 , como mostra a figura abaixo. N O Lucro líquido excedente é [T2 (x ) − T1 (x )]dx . Graf(T1 ) 0 N t62 FTC EAD |
  • 63. Exemplo 4.21. Suponha que daqui a t anos, um plano de investimento estará gerando lucro a uma taxa deT1 (t ) = 50 + t 2 u.m. por ano, enquanto um segundo plano estará gerando lucro a uma taxa de T2 (t ) = 200 + 5tu.m. por ano. (a) Esboce os gráficos de T1 e T2 no mesmo plano. (b) Calcule o lucro líquido excedente. Solução: (a) T1 (t ) = T2 (t ) ⇒ 50 + t 2 = 200 + 5t ⇒ t = T −10 ou t = 15 ⇒ T2 (15) = 275. 275 Graf(T2 ) (b) O lucro líquido excedente é: 200 15 15 Lucro Líquido [T2 (t ) − T1 (t )]dt = [(200 + 5t ) − (50 + t 2 )]dt 0 0 15 = (150 + 5t − t 2 )dt 50 Graf(T1 ) 0 ¬15 5 1 ¬ t = 150t + t 2 − t 3 ¬ = 1.687, 5 15 2 3 ¬ 0 4.6.2 Excedente do Consumidor p Suponha que a função p = D (q ), representada no gráfico dafigura I, descreva a demanda de uma mercadoria e que , no in-stante considerado, o preço dessa mercadoria seja p0 , o que fazcom que os consumidores a demandam numa quantidade q0 . Noteque p0 não é o preço máximo que os consumidores estão dispostos p = D (q ) p0a pagar por essa mercadoria, pois, para preços um pouco maioresque p0 , ainda há quantidades demandadas, embora menores queq0 . q0 q Então, a economia do consumidor, pelo fato de o preço ser menor do que aquele que ainda pagaria pelamercadoria é representado pela diferença entre o preço que seria capaz de pagar por uma quantidade menorpara não ficar sem a mercadoria e o preço que paga pela quantidade que compra. Essa economia, chamadaExcedente do Consumidor é representada pela área assinalada no gráfico, ou seja, pela expressão: q0 q0 q0 q0 (D (q ) − p0 ) dq = D (q )dq − p0 dq = D (q )dq − p0 q0 0 0 0 0 Exemplo 4.22. Determine se o excedente do consumidor de uma mercadoria cujo preço é 10 e cuja demandaé descrita pela função p = 40 − 2q : p 40 Solução: p = 10 ⇒ 10 = 40 − 2q ⇒ 2q = 30 ⇒ q = 15. Logo, p = 40 − 2q 15 15 ¬15 ¬ EC = (40 − 2q − 10) dq = (30 − 2q ) dq = 30q − q2 ¬ = 450−225 = $225. 0 0 0 O resultado é a área da região hachurada na figura ao lado. 10 15 20 q Fundamentos da Matemática 63
  • 64. 4.6.3 Excedente do Produtor Da mesma forma que acontece com o consumidor, o produtor também tem uma sobra quando é fixado um preço p0 para a mercadoria que oferece. Se ao preço p0 o produtor oferece uma quantidade q0 , a preços mais baixos ainda estaria interessado em oferecer uma quantidade, embora menor, dessa mercadoria. Nota 10. A diferença entre o preço ao qual o produtor oferece uma quantidade da mercadoria e aquele ao qual ainda estaria disposto a oferecê-la é também uma sobra ou uma renda econômica chamada Excedente do Produtor. p Supondo que a função Oferta é dada por p = S (q ) e que o preço da p0 mercadoria está fixado em p0 , o excedente do produtor é representado pela área hachurada do gráfico da figura abaixo, ou seja, pela expressão: q0 q0 q0 q0 [p0 − f (q )] dq = p0 dq − S (q )dq = p0 q0 − S (q )dq . 0 0 0 0 q0 q Exemplo 4.23. Seja p = 2q + 10 a função oferta para uma mercadoria cujo preço atual é 50. Determine o Excedente do Produtor. Solução: O excedente do produtor será calculado da seguinte forma: p 50 p = 50 ⇒ 50 = 2q + 10 ⇒ 2q = 40 ⇒ q = 20. Portanto, 20 20 ¬20 ¬ EP = [50−(2q +10)]dq = (40 − 2q ) dq = 40q − q 2 ¬ = 400−0 = $400. 0 0 0 10 A região assinalada no gráfico da figura ao lado, mostra a área que repre- senta o Excedente do produtor. 20 q p Para treinar 20 Seja p = e q+1 a função oferta para certo produto. (a) Observe o gráfico da função e assinale a área que representa o Exce- dente do produtor quando o preço do produtor é 20 (use e 3 = 20). (b) Determine o Excedente do produtor para p = 20. e 2 q 4.6.4 Exercícios Propostos EP 4.8. Quando uma companhia produz e vende x unidades por semana, o seu lucro total de P milhares de dólares, em que 200x P= . 100 + x 2 O nível de produção em t semanas contadas a partir do presente é x = 4 + 2t . dP (a) Encontre o lucro marginal , ou seja, derive P em a função de x . dx64 FTC EAD |
  • 65. dP (b) Encontre a taxa de variação do lucro , ou seja, substitua x = 4 + 2t e derive agora em função da dt variável t . (c) Com que velocidade (em relação ao tempo) o lucro está variando quando t = 1? Substitua t = 1 na questão anterior. EP 4.9. Um fabricante de mountain bikes tem a seguinte função de custo marginal 100 C ′ (x ) = , 0, 1q + 5em que q é a quantidade de bicicletas produzidas. (a) Se o custo fixo da produção de bicicletas é R $800, 00, ache o custo total para produzir 50 bicicletas. Considere ln(5) = 1, 6 e ln(10) = 2, 3. (b) Se as bicicletas forem vendidas a R $100, 00 cada, qual é o lucro (ou perda) sobre as 50 primeiras bicicle- tas? (c) Determine, aproximadamente, o lucro marginal sobre a 51a bicicleta. EP 4.10. Estima-se que a receita anual (em milhões de unidades) de uma determinada empresa varia de 18.000xacordo com a função receita marginal R ′ (x ) = , em que x é medido em anos. Determine a receita (−x 2 − 200)2adicional se a empresa aumentar a produção de 10 para 20 milhões de unidades. EP 4.11. Sejam p = −2q + 7 e p = q 2 /2 + 1 as funções demanda e oferta para determinado produto. (a) Esboce os gráficos das funções e determine o ponto de equilíbrio; (b) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é o de equilíbrio; (c) Determine o Excedente do Produtor para p = 20 EP 4.12. Seja p = −q 2 − 2q + 24 a função demanda para certo produto. (a) Faça gráfico da função e assinale a área que representa o Excedente do consumidor quando o preço do produto é 9. (b) Determine o excedente do consumidor para p = 9. (c) Determine o excedente do consumidor para p = 16. EP 4.13. Após um período de testes, um fabricante determina que se x unidades de um certo produto sãoproduzidos por semana, o custo marginal C ′ (x ) = −10 − 2x , em que C (x ) é o custo total de produção de x x2 9unidades. Se o preço de venda do produto é dado por p = − x reais e o custo fixo é R $10, 00 por semana, 3 2ou seja C (0) = 10, ache, aproximadamente, o lucro total máximo que pode ser obtido por semana. Gabarito 15 Ô 2 3 Ô [ln(x )]6 1 4.1. 4.2. (a) 4x + 2x − 2 + C ; (b) 3 3 4x 2 + 3x − 2 + C ; (c) + C. 4.3. [2x − 3 + 3 ln |2x − 3|] + C . 4.4. (a) 2 6 4 10 3 (x + 5) 2 · (3x + 10) + C ; (b) −x + x ln |x | + C 4.5. (a) 36; (b) 10; (c) 2; (d) 1 . 2 4.6. 30. 4.7. 5 6 u.a 4.8. 4.9. (a) R $1502, 58; (b) 3 R $3497, 42; (c) R $83, 33. 4.10. 15 4.11. (a) O ponto de equilíbrio (2, 3) (b) 4 4.12. 4.13. R $ − 1, 33. (menor prejuízo) Fundamentos da Matemática 65
  • 66. Referências Bibliográficas [1] TAN, S. T.; Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Pioneira, 2001. [2] MEDEIROS, Sebastião; et. al.; Matemática para Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, [3] HOFFMAN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L.; Cálculo: um Curso Moderno e suas Aplicações. 7a edição. Campinas: LTC, 2002. [4] ANTON, Howard; Cálculo: Um Novo Horizonte VOL. 1. 6a edição. Porto Alegre: Bookman, 2000. [5] PATTERSON, D. A.; Microprocessors in 2020. Scientific American, 273(3):48-51, September 1995. 150th Anniversary Issue. [6] CHAN, V. W. S.; All-optical networks. a edição. Scientific American, 273(3):56-59, September 1995. 150th Anniversary Issue.66 FTC EAD |
  • 67. FTC-EADFaculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância Democratizando a educação. www.ead.ftc.br