Circunferencia

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  • 1. CIRCUNFERÊNCIA - FAÇA A DIFERENÇA AJU RESUMO DA TEORIA – TÓPICOS DE AJUDA Prof.Edi Reis BessaNesse T.D. você terá tópicos de ajuda para resolução de algumas questões. Cada tópico possui o seu código apresentado logoaqui abaixo e após o enunciado de cada questão.A.1– DEF. Dado um ponto C de um plano (CENTRO) e uma distância r não nula (RAIO), chama-se circunferência o conjunto dos pontos do plano que distam r do ponto C.A.2-EQUAÇÃO REDUZIDA (OU CARTESIANA) DA CIRCUNFÊRENCIA – Seja a circunferência (λ) de centro C(a, b) eraio r e seja P(x, y) um ponto do plano.Se P , (λ) d PC = raio Daí teremos: (x – a) ² + (y – b) ² = r ²(EQ. REDUZIDA).A.3 - EQUAÇÃO NORMAL (OU GERAL) DA CIRCUNFERÊNCIA – Desenvolvendo-se a eq. reduzida, obtém-se:x ² + y ² - 2ax – 2by + a ² + b ² - r ² = 0, e fazendo-se a² +b²-r²=p , resulta: x ² + y ² - 2ax – 2by + p = 0 (EQ. GERAL).IMPORTANTE: PARA O CÁLCULO DE UMA EQUAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA PRECISAMOS SEMPRE CONHE-CER SEU CENTRO E SEU RAIO.NOTA – Se C (0, 0) então a equação reduzida será x²+y²=r² e a equação geral x² + y ² - r² = oA.4-DETERMINAÇÃO DO CENTRO E RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA – 1. Na forma reduzida, de imediato conclui-se: C (a, b) e raio r.. 2. Na forma geral: Seja a equação x²+y²+mx+ny + p =0 a equação estudada.Comparamos com a equação geral e temos: -2 a = m ➱ a = m / -2 e - 2 b = n ➱ b = n / -2, ou seja: C (m / -2; n / -2).Basta pegar os números ligados a “x” e “y” (coeficientes): é a metade, com o sinal trocado. Raio: igualamos: p = a ² + b ² - r ² ➱ r = + √ a² + b² - p OBS: a) Se a² + b² - p > 0 a equação representa circunferência b) Se a² + b² - p = 0 a eq representa um único ponto que é o ponto centro (a, b). c) Se a² + b² - p < 0 a eq não representa ponto nem circunferência.A.5-RECONHECIMENTO E EXISTÊNCIA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA –Uma equação do 2º grau em x e y com coeficientes reais, do tipo: A x² + B y² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, representará circufrên- cia quando satisfeita três condições: i) B = A 0; ii) C = 0; iii) D² + E² - 4AF > 0.A.6– PONTO E CIRCUNFERÊNCIA –Dados um ponto P(xo, yo) e uma circunferência (λ) (x – a)² + (y – b)² = r² de centro C(a, b) e raio r, calculando-se a distânciaentre PC = d PC e comparando-se com o raio r, temos três casos (posição) a considerar: 1. P é exterior a (λ). Isso ocorre se PC > r (xo – a)² + (y-b)² - r² >0. 2. P pertence a (λ). Isso ocorre se, e somente se PC = r (xo – a)² + (xo – b)² - r² = 0. 3. P é interior a (λ). Isso ocorre se, e somente se PC < 0 (xo – a)² + (yo – b)² - r² < 0.Forma Resumida: Fazendo f(x, y) = (x – a) ² + (y – b) ² - r ² e substituindo P(xo, yo) em f, pode-se citar a posição de P em rela-ção à (λ), como: a) f(xo, yo) > 0 P é exterior a (λ). b) f(xo, yo) = 0 P , (λ). c) f(xo, yo) < 0 P é interior a (λ).NOTA: Na solução de sistemas de inequações fazer interseção dos conjuntos obtidos. 1
  • 2. A.7- INEQUAÇÕES DO 2º GRAU –Dada à circunferência (λ) de equação. f(x, y) =0, o plano cartesiano ficadividido em três subconjuntos: a) Pontos (x, y) exterior é a solução para f(x, y) > 0. b)Pontos(x,y)pertencentes a f(x,0)=0 é a solução para f(x, y) = 0 c) Pontos (x, y) interiores a f(x, y) = 0 é a solução para f(x, y) < 0.A.8- POSIÇÕES RELATIVAS RETA E CIRCUNFERÊNCIA – Interseção – O(s) ponto(s) de interseção são dados pela solução do sistema formado pelas equações reta e circunferência (mé-todo da substituição). Posições Relativas – No sistema formado com as equações chega-se a uma equação 2º grau a uma incógnita. É o discrimi-nante (delta) dessa equação que define o número de soluções do sistema, portanto, a posição da reta e da circunferência e, assoluções o(s) ponto(s) interseção. a) ∆ > 0 r e λ são secantes y r b) ∆ = 0 s e λ são tangentes λ s c) ∆ < 0 t e λ são exteriores t xNota: A posição relativa de uma reta e uma circunferência podem ser determinadas com facilidade, comparando a distância entreo centro e a reta ( d ) com o raio ( r ). SECANTE: d < r TANGENTE : d = r EXTERNA d > r λ λ λ c c c r d r c r d dA.9 - POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS – A posição relativa de duas circunferências λ1 e λ2 é determinada comparando a distância C1C2 (dc1c2) entre os centros com asoma dos raios r1 + r2 ou com a diferença modular ∣r1 – r2 ∣dos raios. São possíveis seis casos distintos: 1ºCaso- λ1 e λ2 são exteriores se, e λ1 λ2 somente se d c1c2 > r1 + r2 c1 dc1c2 c2 2
  • 3. 2º Caso- λ1 e λ2 são tangentes exteriores se, c2 e somente se: dc1c2 = r1 + r2 c1 c1 c2 3º Caso- 3º Caso- λ1 e λ2 é tangentes interiores se, e somente se: dc1c2 < ∣ r1 – r2 ∣ 4ºCaso - λ1 e λ2 são secantes se, e somente se: ∣ r1 – r2 ∣ < dc1c2 < r1 + r2 5ºCaso - λ1 e λ2 são interiores se, e somente se: dc1c2 < ∣ r1 – r2 ∣ A circunferência de raio menor é interior a outra. 6ºCaso - λ1 e λ2 são concêntricas se, e somente se : dc1c2 = 0 c1 c2 A APRENDIZAGEM, QUASE SEMPRE, É O PROCESSO QUE COLOCA VOCÊ DIANTE DO DESCONHECIDO. SE ISSO AGUÇA A SUA CURIOSIDADE, TAMBÉM PODE LHE TRAZER CANSAÇO E VONTADE DE DESISTIR. É NESSE MOMENTO QUE SE FAZ NECESSÁRIO EXERCITAR AQUILO QUE É O SEGREDO DO SUCESSO: A DISCIPLINA PESSOAL. POR ISSO, SEJA DISCIPLINADO. NÃO DESISTA DIANTE DA PRIMEIRA DIFICULDADE. SEJA PERSISTENTE,ANOTAÇÕES ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3
  • 4. A.10- INTERSEÇÃO ENTRE CURVAS - Sempre que o problema pedir interseção, resolva o sistema de equações. Sugestãopara eq no 2º grau: usar método adição (preparar) e a seguir, o método da substituição.A.11- TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, PARALELAS A UMA RETA DADA (r):i) ms = mr pois s // r (monte a equação do feixe); rii)Propriedade da tangência : d(C,s) = Raio;iii)Resolva a equação modular s1 s2A.12- CONDUZIR POR UM PONTO (P) DADO RETA(S) TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA (Λ) DADA: Temostrês casos à considerar:1º caso: P é interior à λ → O problema não tem solução2º caso: P , λ → O problema tem uma única solução: i) s ┻ raio ➱ m s. m raio= -1. ii) Usar equação do feixe3º caso: P é exterior a λ → O problema tem duas soluções:i) Considerar o feixe de retas concorrentes em P: y – yp = ms. (x – x p ) → m s x – y + (y p – m s x p ) = 0;ii) As retas s1 e s2 são retas particulares desse feixe que obedecem à condição de tangência: dcs1 = dcs2 = r(raio) de onde resulta uma equação modular em 2º grau para cálculo de seus coeficientes angulares ms1 e ms2 ;iii) Temos um ponto P e dois coeficientes angulares, o que permite determinar as duas retas tangentes.EXERCICIOS DE REVISÃOExercícios de revisão. Com certeza você já ouviu falar nisso.Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente , os estudos feitos. Relere refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não esta-vam ainda maduros na primeira leitura.01(Ccvest) Deduzir a fórmula da equação reduzida e da 06(Ccvest) Determinar a equação da circunferência queequação geral da circunferência de centro C (a, b) e raio r. passa pela origem e tem centro no ponto (4, -3).02(Ccvest) Determine o centro e o raio das circunferências: TA. → A.3;4 - FAÇA ESBOÇO (F.E) Resp: x²+y²-8x+6y= 0. a) (x + 7)² + (y – 1)² = 81 → C( )eR= b) ( X + 3 )² + y ² = 10 → C( )eR= 07(Ccvest) Determinar a equação da circunferência que c) x² + ( y – √ 3 ) ² = 36 → C( )eR= passa por A(-1,6) e é tangente ao eixo dos “y”, no ponto d) x ² + y ² = 25 → C( )eR= B(0, 3). TA → A.3;4 – F.E. Resp: x²+y²+10x- 6y+9=0.03(Ccvest) Determinar a equação da circunferência decentro C( 2,-3) e raio R = 5. 08(FATEC) Seja C a circunferência de eq x²+y² -6x -4y + 9= 0. Um quadrado,cujos lados são paralelos aos eixos TA → A.3 Resp: x²+y²-4x+6y-12=0 cartesianos, está inscrito em C. O perímetro desse quadra- do é:04(Ccvest) Determinar o centro e o raio das circunferên-cias: TA →A3;4 – F.E. Diagonal do quadrado Resp: 8 √ 2 .a) x² + y² + 4x – 6y – 7 = 0 → C( ) eR= 09(CESGRANRIO) Uma circunferência passa pela ori-b) x² + y² + 5y – 3 = 0 → C( ) eR= gem, tem raio 2 e centro C na reta y = 2x. Se C tem coor-c) x² + y² - 7x – 4 = 0 → C( ) eR= denadas positivas, uma equação dessa circunferência é:d) 3x² + 3y² - 12x + 5y – 9 = 0 → C( ) eR=e) 2x² + 2y² - 6x + 4y – 1 = 0 → C( ) eR= TA → A,3;4-F.E. Resp: (x - 2√5/5)² + (y - 4√5/5)²=4 TA → A3;4 10(Ccvest) O raio da circunferência tangente à reta 3x + 4y – 60 = 0 e concêntrica à circunferência x² + y ² = 9 é:05( Ccvest) Determinar a equação da circunferência que TA → A.3;4 , A.9 – F.E. Resp: 12.tem um de seus diâmetros determinado pelos pontos A(5 ;-1) e B(-3; 7). 11(Ccvest) Determinar a equação da circunferência simé- trica de x² + y² - 3x -5y – 7 = 0 em relação ao eixo das TA. → Ponto médio e A3;4-FAÇA ESBOÇO (F.E) ordenadas. Resp: x²+y²-2x-6y-22=0. TA → A.3;4 – FE Resp: x² + y² 3x – 5y – 7 = 0. 4
  • 5. 12(Ccvest) Qual é o ponto simétrico da origem em relação e) P(0, 0) e λ 16x² + 16y² +16√ 2 x – 8y – 71 = 0.ao centro da circunferência x² + y² + 2x +4y = r²? TA → A.3;4 – F.E. Resp: (-2,-4) TA → A6 Resp: a) exterior b) int.c) ext. d) int. e) int.13(Ccvest)Ache a equação da reta que passa pelo centro da 20(Ccvest) Determinar o valor de p de modo que o pontocircunferência (x + 3)² + (y – 2)² = 25 e è perpendicular à A(7, 9) seja exterior à circunferência de equação x² + y² -reta 3x – 2y +7 = 0. 2x -2y – p = 0. TA → A6 Resp: -2 < p < 98. TA → A3;4 e FE Resp: 2x+3y = 0. 21)(Ccvest) Resolver as inequações:14(Ccvest) Qual é o ponto da circunferência (x – 4)² + a) x² + y² - 4x – 4y + 5 < 0 b) x² + y² ≤ 1(y+3)² = 1 que tem ordenada máxima? c) x² + y² - 2x - 2y + 1 ≥ 0 d) x² + y² ≤ 16 e) x² + y² ≥ 9 TA → A.3;4 e FE Resp: (4,-2) e) x² + y² - 4x +2y +1 < 0 f ) x² + y² +2x - 6y + 9 > 0.15(Ccvest) Para que valores de m e k cada equação abaixo TA → A7- FErepresenta uma circunferência? Resp: a) pontos int a λ a) mx² + y² + 4x – 6y + k = 0 b) pontos de λ unidos aos pts int. b) mx² + y2 +10x - 8y +k = 0 d) Plano cartesiano (PC) menos o conjunto c) mx² + 2y² +24x + 24y – k = 0 d) 4x² + my² - 4x + 3k = 0 dos pontos interiores a λ. d) idem (b). TA → A.5;4 Resp: a) m = 1 e k < 13 e) Idem ( c ) f) idem ( a ) g) PCb) m = 1 e k < 41 c) m = 2 e k >-144 d) m = 4 e k < 1/3. unido ao conj. de pontos de λ.16(Ccvest) Determinar a, b, c de modo que a equação 36x²+ ay² + bxy + 24x – 12y + c = 0 represente uma circunfe- 22(Ccvest) Calcular área do círculo que é a solução derência. x² + y² - 4x + 6y + 8 ≤ 0. TA → A5 Resp: a = 36; b = 0 e c < 5 TA → A7, A4 Resp: 5 π17(Ccvest) Determinar a, b, c de modo que a equação ax² +y² + bxy+6x +8y + c = 0 represente uma equação de raio 6. 23(PUC) Seja a circunferência (λ) x² + y² - 4x =0, deter- TA → A5 Resp: a = 1; b + 0 e c + -11. minar a área da região limitada por λ.18(Ccvest) Qual deve ser a relação entre m, n, p para que acircunferência de equação x² + y² - mx – ny + p = 0 passe TA. A4 Resp: 4πpela origem? 24(PUC) Ache a equação da reta tangente a λ do ex. ante- TA → 5 Resp: p = 0 e m² + n² > 0. rior no ponto P(2;-2). TA → A8 Resp: y + 2 = 0.19(Ccvest) Determinar a posição do ponto P em relação àcircunferência λ nos seguintes casos: 25(Ccvest) Determinar a área da solução do sistema dea) P(2, 3) e (λ) (x – 1)² + (y – 1)² = 4b) P(1, √ 2 ) e (λ) x² +y² - 4x – 4y + 4 = 0 x² + y² ≤ 9 26(Ccvest) Resolva o seguinte sistemac) P(-1, 4) e (λ)x² + y² - 6x +4y +3 = 0 x+y≥3 :d) P(1, 1 ) e λ x² + y² + 2y – 80 = 0 yANOTAÇÕES _______________________________________________________________________________________________________ 27(Ccvest) Determinar a área da inequação:__________________________ x² + y² ≥ 4__________________________ x² + y² ≤ 25__________________________ TA → A4; A7; FE Resp: 19 π.____________________________________________________ 5
  • 6. 28(Ccvest) Ache a região do plano, cujas coordenadas (x,y) satisfazem as relações x + y ≤ 3 e x² + y² ≤ 81. Faça o 38(Ccvest) Quais as equações das retas paralelas ao eixo xgráfico. y e tangentes à (λ) (x+2)² + (y+1)² = 16? TA → A4; A7; FE. 3 Resp: TA → A8 Resp: y = -3 ou y = 5 9 x 39(Ccvest) Determinar a reta r que passa pelo centro de29(Ccvest) Obter a interseção entre reta e circunferência, (λ) x² + y² -4x + 2y + 1 = 0 e é perpendicular à reta ( s ) xem cada caso: A) (s) y = x e (λ) x² + y² = 2 + 2y – 14 = 0. b) (t) y = x – 2 com (λ) x² + y² = 2 TA → A8 Resp: 2x – y – 5 = 0. c) (e) y = x – 3 com (λ) x² + y² = 2. 40(Ccvest) Obter a eq da circunferência de centro C(1, 2) eTA → A8; FE Resp: a){(1, 1),(-1, -1)} b){(1, -1)} c) { } que tangencia a reta (r)5x + 12y + 10 = 0. TA → A8 Resp: (x-1)² + (y-2)² = 9.30(Ccvest) Fazer a representação gráfica de todos os itensda questão anterior. 41(Ccvest) Qual o comprimento da corda que a reta ( s ) 7x – 24y – 4 = 0 determina na circunferência (λ) x² + y² -2x +6y -15 = 0? Ta → A8 Resp: 8. 42(Ccvest) Idem para:31(Ccvest) Dê a posição relativa entre cada reta (r) e cada a) (s) x – y = 0 e (x + 3 )² + (y - 3)² = 36circunferência ( λ ): b) (s) x + y – 1 = 0 e (λ) de centro C(-2,3) e r = 2 √ 2.a) ( r ) y = 2x + 1 e (λ) x² + y² - 2x = 0 TA → A8 Resp: a) 6 √ 2 b) 4 √ 2.b) ( r) 3x + 4y = 0 e (λ) x² + y²+x+y-1= 0c) 3x + 4y – 10 = 0 e (λ) x² + y² = 9. d) (r) 5x + 12y + 8 43(Ccvest) Qual a posição relativa de (λ) e (λ¹) nos seguin-= 0 e (λ) x² + y²-2x=0 tes casos: a) (λ) x² + y² = 1 e (λ¹) x² + y² + 6x – 4y + 4 = 0TA → A8 Resp: a) exter. b) c) secantes d) tangentes.32(Ccvest) Calcule a distância do centro da circunferência b) (λ) 4x² + 4y² - 4y – 3 = 0 e (λ¹) x² + y² - y = 0.(λ) x² + y² + 4x – 4y – 17 = 0 à reta ( r ) 12x + 5y = 0. c) (λ) x² + y² = 18 e (λ¹) x² + y²+20x–10y + 124 = 0. TA → A4; FE Resp: 14 / 13.33)(Ccvest) Determinar o ponto P onde à circunferência d) (λ) x² + y² - 4x – 6y +12 = 0 e (λ¹) x² + y² + 4x – 12y(λ) x² + y² + 6x – 6y + 9 = 0 encontra o eixo x. + 24 = 0. TA → Fazer P (a, 0) Resp: (-3,0) e) (λ) x² + y² = 81 e (λ¹) x² + y² -6y + 8y + 9 = 0.34(Ccvest) Determinar os pontos P e Q onde a circunferên- TA → A9; FE Resp: a) sec. b) concêntricas c) ext.cia (λ) x² + y² +2x + 4y – 8 = 0 encontra a reta de equação d) tg ext. e) tg int.3x + 2y + 7 = 0. TA → A8 Resp: P(-1, 6) e Q(-3, 1) 45(Ccvest) Obtenha as interseção das circunferências: a) (λ) x² + y² = 100 e (λ¹) x² + y² -12x – 12y + 68 = 0.35(Ccvest) Dadas a circunferência ( x –3 )² + y² = 25 e areta x = k, para que valores de k a reta intercepta a circun- b) (λ) x² + y² - 2x – 3 = 0 e (λ¹) x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0.ferência em pontos distintos ? TA → A10;FE Resp: a) {(6, 8), (8, 6)} b) {(1,0), (1,2)} TA→ A8 Resp: -2 < k < 8 46(Ccvest)As circunferências (λ) x² + y² - 10x + 2y + 16 =36(Ccvest) Determinar c de modo que a reta ( r ) 4x – 3y + 0 e (λ¹) x² + y²-8x + 4y + 16 = 0 interceptam-se nos pontosc =0 seja exterior à circunferência (λ) x² + y² - 2x – 2y + 1 A e B. Determine a distância do centro da circunferência= 0. de maior raio à reta AB. TA →A8 Resp: c < -6 ou c > 4. TA → A10; A8; A9; FE Resp: 2 √ 2. 6
  • 7. 53(UECE) Se a circunferência de centro C(-2, 3) e raio 247(Ccvest) Determine as equações das retas (s) tangentes à cm passa pelos pontos P1 (k1, 5) e P2 (0, k2), então k1³ + k2³circunferência λ e paralelas à reta ( r ) nos casos: é igual a: a) (λ) x² + y² = 9 e ( r ) x / 3 + y / 3 = 1. TA → A2; FE Resp; 19 b) (λ) x² + y² - 4x – 4y = 0 e ( r ) y = 2x. TA → A11 Resp: a) x + y ∓ 3√ 2 = 0 54(UECE) Sejam Q1(x1, y1) e Q2 (X2, y2) os pontos deb) 2x – y + 2 √ 10 – 2 = 0 ou 2x-y -2√ 10+2=0 interseção da reta de equação y + 2 = 0 com a circunferên- cia de centro C(-4, 1) e raio r cm. Se x1 < x2 e Q1.Q2 = 848(Ccvest) Obtenha as equações das retas ( s ) tangentes à cm, então a equação dessa circunferência é:circunferência (λ) conduzidas pelo ponto P nos seguintescasos: TA →A8; A4; FE Resp: x² + y² + 8x -2y – 8 = 0. 1º) ( λ) x² + y² = 100 e P (-6, 8) 55(UFC) Seja s a reta que passa pelo ponto P(-1, -3) e pelo centro da circunferência de equação x² + y² - 4x – 6y + 12 2º) (λ) x² + y² - 4x + 2y – 164 = 0 e P (- 3, 11) = 0 e a reta r que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos A(5, 4) e B(9, 1) e é perpendicular à reta s. Se r intercepta o eixo y no ponto Q(0, k), determine k. 3º) (λ) x² + y² -6x + 2y – 6 = 0 e P (-5, 5)TA → A12 Resp: a) 3x – 4y + 50 = 0 b) 5x – 12y + 147 TA→ A4; FE Resp; 6= 0 c) 3x + 5y ∓7√34=0 ou 5x-3y∓7√34 = 0 56( UFC) Seja r a reta que ´passa pelo centro da circunfe-50(UFC) Considerar uma reta passando pelo ponto P(6, 6) rência x² + y² -4y + 2x + 4 = 0 e intercepta o eixo dase tangente a circunferência x² + y² - 2x -4y – 11 = 0. O abscissas no ponto (a, 0) , se r é perpendicular á reta 2y –quadrado da distância de P ao ponto de contato da reta com 8x + 3 = 0, calcule o valor do número a.a circunferência é: TA → A4; FE Resp: 7 TA → A6;FE Resp: 25 58(UFC) Seja (a, b) o centro da circunferência circunscrita51(UFC) Considerar a circunferência no PC cujo centro é o ao triângulo cujos lados estão sobre as retas y =o, x = 0 e xponto C(5, 1), passando na origem O (0, 0). Se P e Q são as +2y = 4. Determine o valor de (a + b).interseções da circunferência com os eixos coordenados,diferentes de 0(0, 0), determine o coeficiente angular das TA → A4; FE Resp: 3retas do plano que são perpendiculares à reta que contém Pe Q. 59(UFC) Os dois itens a seguir são relativos à reta L: 2x – 3y + 1 = 0 do plano cartesiano xy. TA → A4; FE Resp: 5 a)Determine a equação da reta M que contém o ponto52(UFC) Se a circunferência de equação (x – 6)² + (y + 2)² P(4,2) e que é perpendicular à reta L.= R² tangencia a reta y = x, calcule o valor de R². b) Determine a equação da reta N que contém o ponto P(2, 4) e que é paralela à reta L. TA → A8; FE Resp: 32. ______________________________Resp: a) 3x + 2y – 16 = 0 b) 2x – 3y – 2 = 0. ______________________________ ______________________________60(UFC) Uma circunferência passa pelos pontos (1, 2) e (-5, 8) e tem centro no eixo dos y’s. Se (a, b) são as coorde- ______________________________nadas deste centro calcule (a + b). ______________________________ TA → A4; FE Resp: 07. ______________________________ ______________________________ ______________________________ANOTAÇÕES ______________________________ ____________________________ ____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 7