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  • 1. CICLO TRIGONOMÉTRICO P R O F E S S O R A T E L M A C A S T R O S I LV A
  • 2. Medidas de ArcosAs unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad).Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360partes congruentes, sendo cada uma dessas partescorrespondentes a um arco de um grau (1o).
  • 3. Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arcocujo comprimento é igual ao do raio da circunferênciaque o contém. Comprimento do arco r igual à medida do raio 1 rad • • r ≅ 0,28 rad 6,28 rad ou 2π radRelembrando: o comprimento da circunferência mede 2πronde r é o raio.
  • 4. Transformação de graus para radianos 360° 2π rad 180° π rad 90° π/2 radExemplo: Quantos radianos correspondem a 540°? 540° x rad
  • 5. Circunferência Trigonométrica - PreliminaresConsideremos uma circunferência de raio unitário (r =1), cujo centro coincide com a origem de um sistemacartesiano ortogonal. 1 • –1• •0 •1 • –1
  • 6. 1 • ⊕ –1• •0 •1 A ⊖ O ponto A (1 , 0) é a • origem de todos os –1 arcos a serem medidos na circunferência.• Se um arco for medido no sentido horário, então a essamedida será atribuído o sinal negativo (-).• Se um arco for medido no sentido anti-horário, então aessa medida será atribuído o sinal positivo (+).
  • 7. 1 • 2° Q 1° Q –1• •0 •1 A 3° Q 4° Q • –1 Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano emquatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantessão contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada umdesses arcos medem 90° ou π/2 rad.
  • 8. Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele podeassumir infinitos valores, dependendo do número de voltasno sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–). Sentido POSITIVO ou Sentido NEGATIVO ou anti-horário horário B π/2 rad –3π/2 rad • • A π rad –π rad • •0 •0 rad • •0 •–2π rad 2π rad 0 rad A • • 3π/2 rad –π/2 rad B
  • 9. 5π/2 rad = 450° π/2 rad = 90° •3ππ rad =540° rad = 180° 0 rad = 0° • • • 0 2π rad = 360° 4π rad = 720° • 3π/2 rad ==270° 7π/2 rad 630° Infinitos valores
  • 10. ExercíciosARCOS E ÂNGULOS
  • 11. 1. Expresse em graus: 10a) rad 9 11b) rad 8 c) rad 9 d) rad 20 4e) rad 3
  • 12. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pelaregra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seucorrespondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20a) 1 45b) clicar 2
  • 13. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pelaregra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seucorrespondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20a) 1 45b) 20 2 9c) d) 1 60 1e) 1
  • 14. 2. Determine, em radianos, a medida do menor ânguloformado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°. Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a
  • 15. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arcode ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre? Solução:Em graus a medida percorrida pelo menorcorresponde a 15°.Esse valor corresponde à metade da distância entredois números consecutivos.O tempo para percorrer essa distância pelo menor éde meia hora.Enquanto isso o ponteiro maior dá meia voltacompleta, isto é, 180°.Logo, o ponteiro maior percorre π rad.
  • 16. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arcode ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre? Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples: Ponteiro Ponteiro Pequeno Grande (π/6) rad 2π rad 2 (π/12) rad x rad Resposta: π rad
  • 17. 4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia.Determine as horas e os minutos que estará marcandoesse relógio após o ponteiro menor ter percorrido umângulo de 42°. Ponteiro Pequeno Tempo 2 30° 60 min 42° xPassaram-se 84 minutos após o meio-dia, quecorresponde a 1h 24min. Observe que este horário évespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.
  • 18. 5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo centralformado pelos ponteiros de um relógio que estámarcando 9h 30min? x α 09:00 h 09:30 h
  • 19. Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura. Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”. Aplicando a regra-de-rês x descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 α em 30 minutos.PonteiroPequeno Tempo 60 x = 900 ⇒ x = 15° 30° 60 min α = 90° + x e xh 15° 09:30 = x 30 min ⇒ α = 105°
  • 20. 6. Determine:a) o comprimento de um arco de circunferência (emcm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo centralcorrespondente mede 20°.b) o ângulo central (em radianos) correspondente a umarco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raiode 20cm.c) a medida do raio de uma circunferência (emcm), sabendo que nela um ângulo central de 15°corresponde a um arco de 30cm.
  • 21. a) o comprimento de um arco de circunferência (emcm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulocentral correspondente mede 20°. ⇒
  • 22. b) o ângulo central (em radianos) correspondente a umarco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raiode 20cm. ⇒
  • 23. c) a medida do raio de uma circunferência (emcm), sabendo que nela um ângulo central de 15°corresponde a um arco de 30cm. ⇒
  • 24. 7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio.Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas?Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m? 40 cm = 0,4 m ⇒ C = 2π × 0,4 m ∴ C ≅ 2,5 m1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = 12.500 m 1 volta = 2,5 m ⇒ x voltas = 2,5 x = 9.420 m
  • 25. 8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro.Determine o número de voltas efetuadas pelas rodasquando o automóvel percorre 9.891km. Adote π = 3,14. d = 70 cm ∴ r = 35 cm 1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 m Percurso = 9.891 km = 9.891.000 m x voltas = 2,198 . x 2,198 . x = 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas
  • 26. 9. Obtenha as menores determinações não negativas dosarcos. Solução:a) 1300° Encontra-se o número de voltas completasb) 1440° que é múltiplo de 360° ou de 2π.c) 170° 11 As menores determinações não negativasd) rad 2 serão os arcos encontrados nos restos 43e) rad percorridos no sentido positivo. 5f) –1200° São chamadas 1ªs determinações.
  • 27. a) 1300° 360° 1300°= 3 × 360° + 220° 22 0° 3 voltas 3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.b) 1440° 360° 1440°= 4 × 360° + 0° 00 0° 4 voltas 4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.
  • 28. d) Vamos dividir o arco por 2π rad Sabemos que: ou seja, 2 voltasmais ¾ de volta. ¾ de uma volta, em radianos, serão: 1 2
  • 29. e) Vamos dividir o arco por 2π radSabemos que: ou seja, 4 voltasmais 3/10 de volta. 3/10 de uma volta, em radianos, serão: 1 5
  • 30. f) –1200° 360° –1300°= –3 × 360° – 120° –1 2 0° –3 voltas 3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida –120° é a 1ª determinação negativa de –1200°. Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos somar 360° a –120°. –120° + 360° = 240° Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240° (sentido positivo).
  • 31. Visualização de determinações positiva e negativa: 90° • 180° • • 0° +240° ≡ –120° • • 270°
  • 32. 10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:a) 1700° Solução: A expressão geral seráb) –700° dada pela 1ª determinação dos 49 ângulos adicionadas a múltiplos dec) rad 4 360° ou 2π, positivos ou negativos.d) 11 rad 33e)  rad 8
  • 33. a) 1700° 360° 1700°= 4 × 360° + 260° 26 0° 4 voltas 4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida 260° é a 1ª determinação positiva de 1700°. Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por:
  • 34. a) 1700° 360° 26 0° 4 voltasSendo k um número inteiro, ao escrevermos360°k, queremos expressar um número qualquer devoltas completas em qualquer sentido – positivo ounegativo.Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar aoponto de partida – não importando quantas voltas foramdadas antes – percorremos mais 260° e chegamossempre ao mesmo ponto.
  • 35. 90° •180° • • 0° ≡ 360° • • 260° 270°
  • 36. 90° •180° • • 0° 1 volta ≡ 360° + 260° • • 620° 270°
  • 37. 90° •180° • • 0° 1 volta 2 voltas ≡ 360° + 260° • • 980° 270°
  • 38. 90° •180° • • 0° –1 volta ≡ 360° + 260° • • –100° 270°
  • 39. Todos os arcostêm extremidadeno mesmo ponto!
  • 40. b)  700º 360º  2(voltas)  resto(340º )⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20° Logo a expressão geral é 20º 360k , k  Zc) 49 rad  48 rad   rad  12 (6voltas)   rad 4 4 4 4  Logo a expressão geral é  2k rad , k  Z 4
  • 41. d) 11 rad  10 rad   rad  (5voltas)   rad Logo a expressão geral é  rad  2k , k  Z 33 32  e)  rad   rad  rad  4 (2 voltas)  rad 8 8 8 8 – 2 voltas significa duas voltas no sentido horário (negativo)  15A 1ª determinação positiva será 2 rad  rad  rad 8 8 15 Logo a expressão geral é rad  2k , k  Z 8
  • 42. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcoscôngruos. Solução:( ) 740° e 1460° Para que representem arcos( ) 400° e 940° côngruos, suas extremidades deverão ser as mesmas.( ) Isto pode ser verificado( ) comparando as primeiras determinações de cada par.
  • 43. 1º) 740º 360º  2(voltas)  resto(20º ) ⊠ 1460º 360º  4(voltas)  resto(20º ) 400º 360º  1(voltas)  resto(40º ) 2º)  940º 360º  2(voltas)  resto(220º ) 38 rad  36 rad  2 rad  12rad  2 rad  6(voltas)  2 rad  3 3 3 3 3 3º)   26 rad  24 rad  2 rad  8rad  2 rad  4(voltas)  2 rad⊠  3 3 3 3 3 74 rad  70 rad  4 rad  14rad  4 rad  7(voltas)  4 rad  5 5 5 5 54º) 19 10 9 9 9  rad  rad  rad  2rad  rad  1(volta)  rad  5 5 5 5 5
  • 44. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcoscôngruos.⊠ 740° e 1460°( )( ) 400° e 940°⊠( )( )
  • 45. 12. Os arcos da forma , k.180º 30.(1)k , k ∈ ℤ , têmextremidades em que quadrantes?Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se aregularidade dos quadrantes: k  2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  330º  30º  (1º Q)  k  1  (1).180º  (1) 1.30º  180º 30º  210º  150º  (2º Q)  k  0  (0).180º  (1)0 .30º  30º  (1º Q) k  1  (1).180º  (1)1.30º  180º 30º  150º  (2º Q)  k   2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  390º  30º  (1º Q)Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, aextremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, paravalores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e2º quadrantes.
  • 46. Seno e Cosseno na Circunferência TrigonométricaDado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-sede cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α aordenada do ponto M. • M • sen α α A • •cos α • •
  • 47. sen • M • sen α α A • •cos α • cos •Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, senα), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dosCossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
  • 48. 90° ou π/2 rad sen (0,1) • • 0° ou 0 rad (–1 , 0 ) ( 1 , 0 ) cos • • •180° ou π rad 360° ou 2π rad • ( 0 , –1 ) 270° ou 3π/2 rad
  • 49. Ponto Arco Cosseno Seno (1,0) 0 1 0 (0,1) π/2 0 1 (–1 , 0 ) π –1 0 ( 0 , –1 ) 3π/2 0 –1 (1,0) 2π 1 0Complete: 1 1 0 0 0 0
  • 50. ExercícioConverta de graus para radianos:a) 30° = _____ 180° π rad 30° x rad b) 45° = _____ c) 60° = _____
  • 51. sen • 30° ou π/6 cos•
  • 52. sen • 45° ou π/4 cos•
  • 53. sen • 60° ou π/3 cos•
  • 54. sen • 30° ou π/6 cos •210° ou 7π/6•
  • 55. sen150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 cos •210° ou 7π/6 •
  • 56. sen150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 cos •210° ou 7π/6 • • 330° ou 11π/6
  • 57. 0 π/2 π 3π/2 2πsencos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 π + π/6 2π – π/6 = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6sencos
  • 58. Agora vamos fazer o mesmo para todos os arcos associados a π/4 e π /6 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4 sen cos
  • 59. sen180° – 45° = 135°ouπ – π/4 = (3π /4) rad • • 45° ou (π/4) rad 180° ou π rad 0° ou 0 rad cos • 360° ou 2π rad • •180° + 45° = 225°ou 360° – 45° = 315°ouπ + π/4 = (5π /4) rad 2π – π/4 = (7π /4) rad
  • 60. sen• • cos •• •
  • 61. sen(3π /4) rad (π/4) rad • • cos • • •(5π /4) rad (7π /4) rad
  • 62. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4sencos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3sencos
  • 63. sen180° – 60° = 120°ouπ – π/3 = (2π /3) rad • • 60° ou (π/3) rad180° ou π rad 0° ou 0 rad cos • 360° ou 2π rad • •180° + 60° = 240°ou 360° – 60° = 300°ouπ + π/3 = (4π /3) rad 2π – π/3 = (5π /3) rad
  • 64. sen• • cos •• •
  • 65. sen120° 60° • • cos • • •240° 300°
  • 66. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3sencos
  • 67. Tangente na Circunferência Trigonométrica Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. t • T B • M • A’ α A • 0• • • B’O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.
  • 68. t •T B • M • tg α A’ α A • 0• • •B’Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, demedida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada doponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio0M com o eixo das tangentes.
  • 69. t •T B • M • tg α A’ α A • 0• • •B’OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, poisos prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam oeixo das tangentes.Por isso dizemos que não existe tangente de um arco comextremidade em B ou B’.
  • 70. Tabela das principais razões trigonométricas 30º ou 45º ou 60º ou (π/6) rad (π/4) rad (π/3) rad 1 2 3 sen 2 2 2 3 2 1 cos 2 2 2 3 1 tg 3 3
  • 71. sen tg T • 30° ou π/6 cos•
  • 72. sen tg T • 1 45° ou π/4 cos•
  • 73. tg T sen • 60° ou π/3 cos•
  • 74. Variação do sinal da tangente Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos: b c bsen   cos  tg   C a a cVamos calcular o seguinte quociente: a b b sen a  b  a  b  tg   α cos c a c c a A c B
  • 75. sen ⊕ ⊕ ⊖ ⊕ cos ⊖ ⊖ ⊖ ⊕ tg Lembre-se que⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕, ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖ ⊖ ⊕ ⊕ ⊖
  • 76. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 π + π/6 2π – π/6 = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6sencos tg
  • 77. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4sencostg 1 –1 1 –1
  • 78. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3sencos tg
  • 79. Agora, muita atenção! 0 π/2 π 3π/2 2π sen cos tg 0 ∞ 0 ∞ 0A divisão por zero não é definida em Matemática, maspodemos considerar aqui que os prolongamentos dosraios nos arcos π/2 e 3π/2 resultariam em paralelas aoeixo das tangentes e, como sabemos, define-se que retasparalelas se “encontram” no infinito.
  • 80. Exemplos: sen tg T • 30° ou π/6 cos • 330° ou 11π/6 • T’
  • 81. sen tg T • 1 45° ou π/4 cos •135° ou 5π/4 •
  • 82. tg T sen • •120° ou 2π/3 60° ou π/3 • cos
  • 83. Exercícios CONTINUAÇÃO
  • 84. 13. Determine os valores de:a) y  3 cos 540º 2sen90º tg180ºb) y  4sen900º 2 cos 630º  cos 720º Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo ao 1° quadrante para determinações dos valores das funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo com os quadrantes.
  • 85. cos 540º  cos 180º  1 a) sen 90º  1  y  3(1)  2(1)  0  3  2  5 tg 180º  0  sen 900º  sen180º  0 b) cos 630º  cos 270º  0  y  4 ( 0)  2( 0 )  1  0  0  1  1 cos 720º  cos 360º  cos 0º  1 
  • 86. 14. Determine os valores máximos e mínimos dasexpressões: 4 cos x  1a) y  3b) y  2  5senx 5c) y  3sen 2 x  2Solução: As funções seno e cosseno variam no intervalo[ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) é máximo.No caso das funções estarem ao quadrado, o valormínimo passa a ser (0), pois nenhum número aoquadrado pode ser negativo.
  • 87. ATENÇÃO!  4(1)  1 5 máximo : y   4 cos x  1   3 3a) y  3 mínimo : y  4(1)  1   3  1   3 3
  • 88.  2  5(1) _ 7 2  5senx máximo : y   5  5b) y  5 mínimo : y  2  5(1) _   3   5 5 máximo : y  3(0)  2  2c) y  3sen x  2   2 mínimo : y  3(1)  2  1
  • 89. 15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições:Solução: Aplicando a relação fundamental relacionandosenos e cossenos, temos: ou
  • 90. 316. Sendo x um arco do 2° quadrante e senx  , 5determine:a) cos xb) tg xSolução: No 2° quadrante o cosseno é negativo e atangente também é negativa. Aplicando as relaçõesfundamentais, temos:
  • 91. a)b)
  • 92. 17. Relacione as colunas:Solução:Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se osinal da função.
  • 93. a) 5240° 360° 1640 200° 14 sen 90° cos 200° = –cos 20° • –cos 20° 20° 180° • • • 0° cos 20° cos 20° 200° • • 270°
  • 94. b) 1200° 360° 120° 3 sen 60° = cos 30° sen 90° • 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 95. c) –210° + 360° = 150° sen 150° = sen 30° sen 90° • 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 96. d) sen tg 90° • 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 97. d) sen 90° • 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 98. d) sen cos 330° = cos 30° 90° • 30° 180° • • • 0° cos 30° • 330° • 270°
  • 99. d)
  • 100. 17. Relacione as colunas:
  • 101. 1  sen300º18. A expressão é igual a: tg 540º  cos( 120º ) sen 90° • 60° 180° • • • 0° cos 60° ≡ 360° • 300° • 270°
  • 102. 540° 360°180° 1 sen tg 90° • 180° • • • 0° cos • 270°
  • 103. –120° + 360° = 240° sen 90° • 60° 180° • • • 0° cos 60° 240° • • 270°
  • 104. 1  sen300º tg 540º  cos( 120º ) 0 ⇒∴
  • 105. ISERJ – 2011Fontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e http://professorwaltertadeu.mat.br/