Apostila ma52f equações diferenciais

  • 23,262 views
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
23,262
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
441
Comments
0
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de MatemáticaEQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA DESTINADA A DISCIPLINA MA52F Profa Paula Francis Benevides
  • 2. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 01 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS1 – INTRODUÇÃO: Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois,embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses doisoperadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas; b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza; d) o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: é possível escrever: dy = f(x).dx que se denomina equação diferencial. f) uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suasderivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas paraa forma diferencial. As equações diferenciais da forma y ′ = f ( y ) são chamadas deautônomas.Exemplos: dy1) = 3x − 1 dx2) xdy − ydx = 0 d2y dy3) 2 + 3 + 2y = 0 dx dx4) y "+ 2( y ") 2 + y = cos x 1
  • 3. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides5) ( y ") 2 + ( y )3 + 3 y = x 2 ∂2 z ∂2 z6) 2 + 2 = x2 + y ∂x ∂y ∂z ∂z7) = z+x ∂x ∂y1.2 - Classificação: Havendo uma só variável independente, como em (1) a (5), as derivadas são ordináriase a equação é denominada equação diferencial ordinária. Havendo duas ou mais variáveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas sãoparciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada quenela aparece. As equações (1), (2) e (7) são de primeira ordem; (3), (5) e (6) são de segundaordem e (4) é de terceira ordem.1.2.2 - Grau: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando aderivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundograu. As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante.Exemplos: 2 d3y y ⎛ d3y ⎞ d3yx 3 − 3 =1 ⇒ x⎜ 3 ⎟ − y = 3 ⎜ dx ⎟ ⇒ 3a ordem e 2o grau dx d y ⎝ ⎠ dx dx 3 dy dy 1 dy dyln − Lg x 2 = y ⇒ ln dx = y ⇒ 2 . = ey ⇒ = x 2e y ⇒ 1a ordem e 1o grau dx x2 x dx dx Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediatoquanto a ordem e grau.1.3 – Origem das Equações Diferenciais: Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 4 2y = x + Cx ou y = Ax + Bx , é chamada uma primitiva. As n constantes, representadassempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem sersubstituídas por um número menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem auma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação apareceeliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as nequações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, daprimitiva. 2
  • 4. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesExemplos: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: 3x 2a) y = −x+6 2b) y = C1 sen x + C2 cos xc) y = Cx2d) y = C1 x2 + C2 3
  • 5. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevidese) y = a cos(x + b) onde a e b são constantesf) y = C1 e3x + C2 e- 2xAULA 01 – EXERCÍCIOS d3y d 2 y dy1) x2 + y2 = C2 5) −2 2 + =02) y = C ex dx 3 dx dx3) x3 = C (x2 – y2) d 2 y dy4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 6) − − 2y = 0 dx 2 dx5) y = (C1 + C2x) ex + C36) y = C1 e2x + C2 e- x x dy 7) x ln ⋅ −y=0 x y dx7) ln = 1 + ay y dy ⎛ dy ⎞ 8) 2 y + 3x + xy 2 ⎜ 3 y + 5 x ⎟ = 08) x2y3 + x3y5 = C dx ⎝ dx ⎠9) y = Ax2 + Bx + C10) y = Ae2x + Bex + C d3y11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 9) =0 dx312) ln y = Ax2 + BRespostas: d 3 y 3d 2 y dy 10) − +2 =01) xdx + ydy = 0 dx 3 dx 2 dx dy2) −y=0 dx d3y d2y dy 11) 3 − 6 2 + 11 − 6 y = 0 dy dx dx dx3) 3 y − x = 2 xy 2 2 dx 12) xyy "− yy − x( y ) 2 = 0 2 d y4) + 4y = 0 dx 2 4
  • 6. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 021.4 - Resolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam aequação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-anuma identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: aprimeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo daequação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resoluçãoda equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração.1.5 - Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma soluçãoparticular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integraisda equação diferencial.Exemplo: dy = 2x dx1.6 – Tipos de Solução: Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno.Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. As soluções ainda podem ser: Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) é chamada solução explícita. Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 trata-se de uma solução implícita 5
  • 7. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Exemplo: Consideremos a resolução da seguinte EDO: dy = 1+ x dx ( ) ∫ dy = ∫ 1 + x dx 2 32 y = x+ x +c 3 A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita. Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: dy y2 y = tem como solução: y = Ce x , ou seja, uma solução implícita. dx xy − x 21.7 - Existência e unicidade de solução para uma EDO Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?2. Se tiver solução, será que esta solução é única?3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade desolução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenhaalgumas características. ⎧ dy ⎪ + p ( x) y = q ( x)Teorema: Considere o problema de valor inicia ⎨ dx ⎪ ⎩ y ( x0 ) = y 0 Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problemade valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” aocálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas,como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equaçõesdiferenciais possuam soluções.1.8 - Problemas de Valor Inicial (PVI) Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominadaProblema de Valor Inicial (PVI).Exemplo: exy + 2y = arctan(x) y(0) = π Se forem conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para aequação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a soluçãogeral. 6
  • 8. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de 1a ordem e 1o grau: dy = F ( x, y ) ou Mdx + Ndy = 0 dxem que M = M(x,y) e N = N(x,y). Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞)2.1 – TIPOS DE EQUAÇÃO:2.1.1 - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Se a equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 puder ser colocada na formaP(x).dx + Q(y).dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.Resolução: ∫ P( x).dx + ∫ Q( y).dy = CExemplos: Resolver as seguintes equações: dy1) = 3x − 1 dx2) y dx – x dy = 0 7
  • 9. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 4−x3) xdx − dy = 0 y4) tgx.sec ydx − tgy sec xdy = 05) ( x − 1) 1 − y dx − x dy = 0 2 2 2 8
  • 10. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides dy 1 + y26) = dx (1 + x 2 ) xy dy 1 + y 27) = dx 1 + x 2AULA 02 – EXERCÍCIOS Respostas: 1 dy 1) x cos y = C1) − tgy. = 0 1 2) 2 ln( x + 1) − =C x dx 22) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 y3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 3) (2 + y)(3 – x) = C4) xy dx – (1 + x2) dy = 0 4) C y2 = 1 + x2 dy e −2 y x5) = 5) e 2y − arctg =C dx x 2 + 4 26) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 x 1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ dy ⎞ dy 6) ln − ⎜ 2 + 2 ⎜x ⎟=C ⎟7) a⎜ x + 2 y ⎟ = xy y 2⎝ y ⎠ ⎝ dx ⎠ dx k ln +y8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 7) x = e 2a ya9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 8) tg x . tg y = C10) (x – 1) dy – y dx = 011) (1 + x2)dy – xydx = 0 x−a y 9) x + a ln + y − 2barctg = C dy x+a b12) + y cos x = 0 10) y = c(x – 1) dx 11) y = 1 + x 2 .C K 12) y = senx e 9
  • 11. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 032.1.2 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈ R, vale arelação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y)Exemplos: 1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2. x2 ⎛ y⎞ 2) g ( x, y ) = 2 e h( x, y ) = arctg ⎜ ⎟ são funções homogêneas de grau 0 y ⎝x⎠ Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todosos monômios da função possuem o mesmo grau. No caso de uma função racional (quociente depolinômios), os membros do numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominadordevem também ter um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do denominador pode ser menor ouigual que o grau da expressão do numerador. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal y’ = f(x, y) é dita homogênea sef = f ( x, y ) é uma função homogênea de grau zero.Exemplos: dy x 2 + y 2 1) = dx xy x2 2) y = y2 ⎛ y⎞ 3) y = arctg ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ Resumindo, As equações homogêneas são as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N sãofunções homogêneas em x e y e do mesmo grau.2.1.2.1 – Resolução: Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 Tem-se: dy M =− dx N Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado apotencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x. dy ⎛ y⎞ = F ⎜ ⎟ (1) dx ⎝x⎠ É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar asvariáveis. 10
  • 12. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Dessa forma, substitui-se y por u. x y = x.u (2) Derivando y=x.u em relação a x tem-se dy du =u+x (3) dx dx Substituindo (2) e (3) em (1), temos: du u+x = F (u ) dx du x = F (u ) − u dx du dx = F (u ) − u x Que é uma equação de variáveis separáveis.Em resumo: Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em umaequação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma novafunção incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x,y) pode sertransformada em uma equação separável.Exemplos:1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 11
  • 13. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 03 – EXERCÍCIOS Respostas:1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 1) y2 + 2xy – x2 = K2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 2) 2 x − 2 yx − 4 y = K 2 23) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 3) y3 + 3xy2 + x3 = k4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 y5) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 4) ln C1 x 2 + y 2 = arctg 2 2 x ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎟ + 4y − ⎜ x + y ⎟ = 0 2 26) 4 y ⎜ y2 ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ 5) x = ke 2 x27) Determinar a solução particular daequação (x2 – 3y2)dx + 2xydy = 0 para y = 6) x 2 − 3y 2 ± 2x = C1 e x = 2. 3 y = x 1− x 8 12
  • 14. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 042.1.3 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS DE VARIÁVEIS SEPARADAS; São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam emequações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. São equações da forma: dy ⎡ a x + b1 y + c1 ⎤ = F⎢ 1 ⎥ dx ⎣ a 2 x + b2 y + c 2 ⎦onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos umasoma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termosindependentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O queequivale a efetuar uma translação de eixos. y v P x u Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: a1 b12.1.3.1 – O determinante é diferente de zero a2 b2Resolução: ⎧a1 x + b1 y + c1 = 0 Seja o sistema (1) ⎨ cuja solução é dada pelas raízes x = α e y = β . ⎩ a 2 x + b2 y +c 2 = 0 A substituição a ser feita será: ⎧ x = u + α ∴ dx = du ⎨ ⎩ y = v + β ∴ dy = dv Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenadospara o ponto ( α , β ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que éverdadeiro, uma vez eu o determinante considerado é diferente de zero. Assim sendo, a equação transformada será: dv ⎡ a u + b1v + a1α + b1 β + c1 ⎤ = F⎢ 1 ⎥ du ⎣ a 2 u + b2 v + a 2 α + b2 β + c 2 ⎦ 13
  • 15. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides Como α e β são as raízes do sistema: dv ⎡ a u + b1v ⎤ = F⎢ 1 ⎥ du ⎣ a 2 u + b2 v ⎦que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente.Exemplos: dy 2 x − 3 y − 1Resolver a equação = dx 3 x + y − 2 14
  • 16. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides a1 b12.1.3.2 – O determinante é igual a zero. a2 b2 Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que asretas no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (pontoimpróprio). A equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. a1 b1 Como = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode a2 b2escrever: a 2 b2 a1b2 = a2b1 ∴ = (1) a1 b1 Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: a 2 b2 c = =m≠ 2 a1 b1 c1 a2 = ma1 b2 = mb1 Assim: dy ⎡ a x + b1 y + c1 ⎤ = F⎢ 1 ⎥ dx ⎣ m(a1 x + b1 y ) + c 2 ⎦ Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se: 1 y= (t − a1 x) b1 Derivando em relação a x: dy 1 ⎛ dt ⎞ = ⎜ − a1 ⎟ dx b1 ⎝ dx ⎠ Equação transformada: 1 ⎛ dt ⎞ ⎡ t + c1 ⎤ ⎜ − a1 ⎟ = F ⎢ ⎥ b1 ⎝ dx ⎠ ⎢ mt + c 2 ⎣ ⎥ ⎦ dt − a1 = b1G (t ) dxque é uma equação de variáveis separáveis. dy 2 x − y + 1Exemplo: Resolver a equação = dx 6 x − 3 y − 1 15
  • 17. Equações Diferencias Profa Paula Francis BenevidesAula 04 – Exercícios Respostas: 1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 1) (2x – 3y)dx – (3x – y -1)dy = 0 2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 2) (x + 2y – 4)dx – (2x + y -5)dy = 0 3) ln[5(y – 4)2 + 4(x + 12)(y – 4) + (x + 12)2] – 3) (3y + x)dx + (x + 5y – 8)dy = 0 ⎡ 5( y − 4) ⎤ 4) (2x + 3y -1)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0 2 arctg ⎢ x + 12 + 2⎥ = K ⎣ ⎦ dy 1 − 3x − 3 y 5) = 4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C dx 1+ x + y 5) 3x + y + 2ln(-3x – 3y + 3) = K 16
  • 18. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 052.1.4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS: Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, seexiste uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária esuficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: ∂M ∂N = ∂y ∂x Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cujadiferencial dada por: ∂u ∂u du = dx + dy (2). ∂x ∂y Então, comparando (1) e (2) teremos: ∂u ∂u = M ( x, y ) (3) e = N ( x, y ) (4). ∂x ∂y Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3),em relação à variável x, da qual teremos f ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + g ( y ) (5). Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: ∂f ∂ ∫ M ( x, y )dx = + g ( y ) (6). ∂y ∂y Igualando (6) e (4) resulta: ∂ ∫ M ( x, y )dx + g ( y ) = N ( x, y ) . ∂y I Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: ⎛ ∂ ∫ M ( x, y )dx ⎞ g ( y ) = ∫ ⎜ N ( x, y ) − ⎟dy + C (7). ⎜ ∂y ⎟ 1 ⎝ ⎠ Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: ⎛ ⎞ f ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + ∫ ⎜ N ( x, y ) − ∂ ∫ M ( x, y )dx ⎟dy = C . ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠ Logo, a solução é da forma ⎛ ∂P ⎞ U ( x, y ) = ∫ Mdx + ∫ ⎜ N − ⎜ ⎟dy = C ⎝ ∂y ⎟ ⎠onde costuma-se denotar P = ∫ Mdx 17
  • 19. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesExemplos:1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 02) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 18
  • 20. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 05 – EXERCÍCIOS1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 02) ey dx + ( xey – 2y) dy = 03) 2xy dx + x2 dy = 04) senh x.cosy dx = coshx.seny dy −2θ5) e (rdr − r 2 dθ ) = 0 dx dy xdy6) + = x2 + y 2 y y x2 + y 2Respostas: x41) + y 2 x + seny = K 42) xe − y = C y 23) x2y = K4) coshxcosy = K −2θ5) e r2 = K6) x + x2 + y2 = K 19
  • 21. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 062.1.4.1 – FATOR INTEGRANTE: ∂M ∂N Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: ≠ . ∂y ∂x Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicartoda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta éuma ED exata. ∂u ∂u Se ela é exata, existe u(x, y) = cte e = F .M e = F .N e dx dy∂ 2 u ∂M ∂N ∂ ∂ = = = FM = FN∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂ ∂ Tomando a condição de exatidão FM = FN ∂y dx ∂F ∂M ∂F ∂N M+ F= N+ F ∂y ∂y ∂x ∂x e achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor então que F(x,y) = F(x) ∂M ∂F ∂N F = N+F ∂y ∂x ∂x dividindo tudo por FN ≠ 0 e organizando, temos: 1 ∂M 1 ∂F 1 ∂N ⋅ = ⋅ + ⋅ N ∂y F ∂x N ∂x 1 ∂F 1 ∂M 1 ∂N ⋅ = ⋅ − ⋅ F ∂x N ∂y N ∂x 1 ∂F 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ ⋅ = ⋅⎜ − ⎟ F ∂x N ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎟ ⎠ 1 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ reescrevendo: dF = ⋅ ⎜ − ⎟dx F N ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎟ ⎠ integrando: ln F = ∫ R( x)dx + C F ( x) = c.e ∫ R ( x ) dx onde: 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ R( x) = ⎜ − ⎟ N ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎟ ⎠analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: F ( y ) = c.e ∫ R ( y ) dyonde: 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ R ( x) = − ⎜ ⎜ ∂y − ∂x ⎟ ⎟ M ⎝ ⎠ 20
  • 22. Equações Diferencias Profa Paula Francis BenevidesEm resumo: ∂M ∂N Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, ≠ , mostra-se ∂y ∂xque há uma infinidade de funções F ( x, y ) , tais que F ( Mdx + Ndy ) é uma diferencial exata. A esta função F ( x, y ) , dá-se o nome de fator integrante.F(x): F(y): 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ 1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ R( x) = ⎜ − ⎟ R( y) = − ⎜ ⎜ ∂y − ∂x ⎟ N ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎟ ⎠ M ⎝ ⎟ ⎠ F ( x) = e ∫ F ( y) = e ∫ R ( x ) dx R ( y ) dyExemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através dofator integrante.1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 21
  • 23. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0AULA 06– EXERCÍCIOS Respostas:1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 1) x2 cos y + x4 = C2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 x2 2) e tgy = C3) seny dx + cos y dy = 0 3) seny.e = C xEncontre a solução particular em:4) 2xy dy = (x2 + y2) dx para y(1) = 2 4) y = x 2 + 3x 22
  • 24. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 072.1.5 – EQUAÇÕES LINEARES: Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma: dy + P( x) y = Q( x) (1) dx Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) ≠ 0, aequação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução deequações diferenciais desse tipo a saber:1o Método: Fator Integrante: Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipodiferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando àequação original de nosso problema: dy + Py = Q dx Vamos reescrever esta última sob a forma ( Py − Q)dx + dy = 0 e∫ Pdx Multiplicando ambos os membros por (fator integrante) obtemos a expressãoe∫ (Py − Q )dx + e ∫ Pdx Pdx dy = 0 . Aqui, identificamos as funções “M” e “N”: M = e∫ (Py − Q ) Pdx e N = e∫ Pdx Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: ∂M ∂N = Pe ∫ = Pe ∫ Pdx Pdx e ∂y ∂xconfirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata. 23
  • 25. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides2o Método: Substituição ou de Lagrange: Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (matemático francês: 1736-1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de DerivadasParciais. O método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) eZ=ψ (x) , sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. Derivando em relação a x, tem-se: dy dt dZ =Z +t (2) dz dx dx Substituindo (2) em (1) vamos obter: dt dZ Z +t + PZt = Q dx dx ⎛ dt ⎞ dZ Z ⎜ + Pt ⎟ + t = Q (3) ⎝ dx ⎠ dx Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber:i) P = 0, então dy = Qx, logo, y = ∫ Qdx + C (4) dyii) Q = 0, então + Py = 0 (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de dx dyvariáveis separáveis. Daí, + Pdx = 0 . Integrando essa última, resulta em ln y = C − ∫ Pdx . yAplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução y = e ∫ = eC e ∫ . C − Pdx − PdxFazendo k = e , temos y = ke ∫ C − Pdx (5) que representa a solução da equação homogênea ouincompleta. Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez quey=Z.t, teremos a solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea).Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado aoresto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado apartir desta condição. Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, + Pt = 0 (6), que é da mesma forma já estudada no caso ii. Assim, t = ke ∫ . Substituindo dt − Pdx dx dZ 1 ∫ Pdx 1 Pdx = Q obtemos ke ∫ = e Q e dZ = e ∫ Qdx . dZ − Pdx dZeste resultado em t = Q . Daí, dx dx dx k k 1 ∫ PdxIntegrando este último resultado, temos Z = ∫ e Qdx + C (7). Lembrando que y = Z.t, k − Pdx ⎡ 1 ⎤vamos obter, substituindo “t” e “Z”: y = ke ∫ ⎢ ∫ e ∫ Qdx + C ⎥ , onde resulta, finalmente Pdx ⎣k ⎦em: y = e ∫ ⎡∫ e∫ .Q.dx + C⎤ − Pdx Pdx ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ (8) que é a solução geral da equação (1) 24
  • 26. Equações Diferencias Profa Paula Francis BenevidesExemplos: dy y1) Resolver a equação − = x − 2 por: dx xa. Fator integrante b. Lagrange 25
  • 27. Equações Diferencias Profa Paula Francis BenevidesAULA 7 – EXERCÍCIOS dy y cot gx1) + − =0 dx x x dy2) (1 + x 2 ) + y = arctgx dx dy3) = tgx. y + cos x dx dy y4) − =x dx x dy 2 y5) + = x3 dx x dy6) − ytgx = senx dx dy 17) Achar a solução particular para y = 0 e x=0 em − ytgx = dx cos xRespotas: 11) y= [ln(senx) + C ] x2) y = arctgx − 1 + C.e − arctgx ⎛1 1 ⎞3) y = ⎜ x + sen2 x + C1 ⎟ sec x ⎝2 4 ⎠4) y = Cx + x 2 1 C5) y = x4 + 2 6 x ⎛ sen 2 x ⎞6) y = sec x⎜⎜ 2 +C⎟ ⎟ ⎝ ⎠ x7) y= cos x 26
  • 28. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 082.1.6 – EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existem algumas delasque mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os principaistipos de tais equações são:2.1.6.1 – EQUAÇÕES DE BERNOULLI: dy Equação da forma: + P( x) y = Q( x) y n (1) para n ≠ 1 e n ≠ 0 dx Onde P(x) e Q(x) são funções continuas. Nesse caso, a idéia é realizar uma substituiçãona equação acima, de modo a transformá-la em uma EDO linear.Pois, se: n=0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior n=1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogêneaSolução: Transformação de variável: Substitui por y1− n = t Deriva-se em relação a x: dy dt (1 − n) y − n = (2) dx dx Substituindo (1), que é: dy dy + Py = Qy n ⇒ = Qy n − Py dx dx em (2) temos: ( (1 − n) y − n Qy n − Py = ) dt dx (1 − n )(Q − Py1− n ) = dt dx como y1− n = t , temos: dt (1 − n)(Q − Pt ) = dx dt + [(1 − n) P ]t = (1 − n)Q dxTornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 27
  • 29. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides dy 2 yExemplo: − = 3xy 2 dx x 28
  • 30. Equações Diferencias Profa Paula Francis BenevidesAULA 08 – EXERCÍCIOS dy1) + xy = x 3 y 3 dx dy2) x + y = y 2 ln x dx dy3) x + y = x3 y 3 dx dy 44) = y+x y dx x dy5) 2 xy − y2 + x = 0 dx dy6) − 2 xy = xy 3 dxRespostas: 11) y= 2 x 2 + 1 + C.e x 12) y= ln( x.e) + Cx3) − 2 x 3 y 2 + C .x 2 y 2 = 1 2 ⎛1 ⎞4) y = x ⎜ ln x + C ⎟ 4 ⎝2 ⎠ C5) y 2 = x. ln x 2 2e 2 x6) y =−2 2 e2x + K 29
  • 31. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 9 3 - EXERCÍCIOS GERAISCalcule as Equações Diferenciais abaixo: dy 27) (1 − x = xy + xy 2 21) xydx − 3( y − 2) dy = 0 ) dx − x2 Respostas:2) xdx + ye dy = 03) (1 − x)dy − y 2 dx = 0 1) 6 y − x 2 = 12 ln(Cy ) x2 2) y + e = C2 24) cos y ⋅ senxdx + seny ⋅ cos xdy = 0 2 dy 3) y ln C (1 − x) = 15) = cos( x + y ) 4) ln sec x + sec y = C dx6) 2 x( x + y ) dx + ( x + y ) dy = 0 2 2 5) cos sec( x + y ) − cot g ( x + y ) = x + C 6) 2 x3 + 3x 2 y + y 3 = C7) xdy − ydx = x 2 + y 2 dx8) ( x 2 − xy + y 2 )dx − xydy = 0 7) y = Cx 2 − x 2 + y 2 y9) ydx + ( 2 xy − x ) dy = 0 8) ln( y − x) + =C X10) (2 x − y + 4)dy + ( x − 2 y + 5)dx = 0 x dy x + 2 y +1 9) + ln y = C11) = y dx 2 x + 4 y + 312) (3 x − y + 2) dx + (9 x − 3 y + 1)dy = 0 10) ( x + y − 1)3 = C ( x − y + 3)13) 11) ln(4 x + 8 y + 5) + 8 y − 4 x = C⎡ y ⎤ ⎡ 1⎤ 12) 2 x + 6 y + C = ln(6 x − 2 y + 1)⎢ y cos(xy) + x ⎥ dx + ⎢ x cos(xy) + 2 x + y ⎥ dy = 0 13) sen( xy ) + 2 y x + ln y = C⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x2 1 2x y − 3x 2 2 14) − =C14) dx + dy = 0 y3 y 3 y y4 15) x + 3 x y + y = C 3 2 2 415) (3 x + 6 xy ) dx + (6 x y + 4 y ) dy = 0 2 2 2 3 16) x (1 + y ) + y = C 2 2 2 dy x + xy 2 17) x + y − y cos x = C16) =− dx y + x2 y 18) secx + secy + y(2 - x) = C17) (1 + ysenx) dx + (1 − cos x ) dy = 0 19) x 2 cos y − e x = −118) (sec x.tgx − y ) dx + (sec y.tgy − x + 2) dy = 0 20) y = Cx + xe x19) ( 2 x cos y − e ) dx − x senydy = 0 , x 2 21) y 2 + x = Cydeterminar a solução particular para x = 0.20) xdy − ydx = x 2e x dx 22) 2 ln x + y 3 = Cy21) y dy + ydx − xdy = 0 2 e x + ab − e a 23) y = y x22) dx + ( y 3 − ln x)dy = 0 1 24) x = Cy − 2 x23) Achar a solução particular para y = b e x y 25) Cx y + 2 xy − 1 = 0 2 dy= a em x + y − ex = 0 dx x2 26) y = 224) y dx − ( 2 xy + 3) dy = 0 2 C − x2 dy 2 y 125) + = 2 y2 27) y = dx x C 1 − x2 −126) xdy = y ( y + 1) dx 2 30
  • 32. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 10 4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS4.1 - MODELO MATEMÁTICO: É freqüentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômenoda vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos éconstruída levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramoscompreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimentode populações animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimentoradioativo de uma substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta. A construção de um modelo matemático de um sistema começa com: i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa, estamos especificando o nível de resolução do modelo. A seguir, ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema. Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com ummodelo de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos deFísica, a força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimentode um corpo em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujotrabalho é predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar emconta a resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra. Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação deuma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou maisequações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser umaequação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistemade equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentarresolvê-lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções foremconsistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema.Porém, se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resoluçãodo modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. Asetapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguintediagrama: 31
  • 33. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelomatemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita. Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolve a variável tempo t.Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores davariável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente efuturo.4.2 – DINÂMICA POPULACIONAL: Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano pormeio de matemática foi feito pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, aidéia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população deum pais cresce em um determinado instante é proporcional a população total do pais naqueleinstante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoasexistirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, entãoessa hipótese pode ser expressa por: dx = kx , x(t 0 ) = x0 x = x0 .e kt (1) dtonde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenosenvolvendo crescimento ou decaimento. Conhecendo a população em algum instante inicial arbitrário t0, podemos usar a soluçãode (1) para predizer a população no futuro, isto é, em instantes t > t0. dS O modelo (1) para o crescimento também pode ser visto como a equação = rS , a qual dtdescreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é compostacontinuamente.Exemplo: Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número debactérias passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactériaspresentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.Resolução:x(to) = x0 3x(t1) = xo 2 dx = kx dt dx ∫ x = ∫ kdt lnx = kt + c lnx – ln c = kt x ln = kt c x ekt = c x = c.ektpara t = 0x(0) = x0x0 = ce0x0 = c ∴ x = x0.ekt 32
  • 34. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesPara t = 1 3x(1) = x0 x = x0.e0,4055.t 23 x0 = x0 .e k .1 3x0 = x0.e0,4055.t2 3ek = ln3 = ln e0,4055.t 2ek = 1,5 0,4055t = 1,0986ln1,5 = k t = 2,71 horask = 0,40554.3 - MEIA VIDA: Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 sedesintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de umasubstância, mais estável ela é. Por exemplo, a meia do ultra-radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopode urânio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos.Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206. dA = K .A (2) dt A0 A(0) = A0 A(t ) = A = A0 .e kt 2Exemplo: Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectadoque 0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desseisótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.Resolução:t = 0 → A0t = 15 → A0 – 0,043%A0 99,957%A0 0,99957A0 dA = kA dt dA ∫ A = ∫ kdt ln A = kt + c A ln = kt c A = e kt c A = c.ekt se t = 0 A(0) = A0 A0 = c.e0 C = A0 33
  • 35. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesA(t) = A0.ekt A0A(15) = A0.e15k A(t) = 2 −50,99957 A0 = A0.e15k A(t ) = A0 .e −2,8867.10 t A0Ln0,99957 = ln e15t = A0 .e −0, 00002867 2 1-0,00043 = 15 k = e −0, 00002867 t 2K = - 2,8667.10- 5 -0,6931 = - 0,00002867t t = 24,180 t ≅ 24,180 anos4.4 – DECAIMENTO RADIOATIVO: O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessascombinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou transmutam em átomos de outrasubstância. Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, oaltamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222.Para modelar o fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de dA/dt segundo aqual o núcleo de uma substância decai é proporcional a quantidade (mais precisamente, aonúmero de núcleos) A(t) de substâncias remanescente no instante t: dA = K .A (2) dt Naturalmente as equações (1) e (2) são iguais, a diferença reside apenas na interpretaçãodos símbolos e nas constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamosem (1), k>0, para o decaimento, como em (2), k<0. O modelo (2) para o decaimento também ocorre com aplicações biológicas, como adeterminação de meia vida de uma droga – o tempo necessário para que 50% de uma droga sejaeliminada de um corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de dacaimento (2)aparece na descrição matemática de uma reação química de primeira ordem, isto é, uma reaçãocuja taxa ou velocidade dx/dt é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância nãotransformada ou remanescente no instante t. A questão é que: Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para váriosfenômenos diferentes.4.5 - CRONOLOGIA DO CARBONO: Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idadede fósseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 éproduzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser umaconstante e, como conseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos osorganismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação,cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssilcom a razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cercade 5.600 anos. 34
  • 36. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, otecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário deTurim.Exemplo: Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C-14. Determine aidade do fóssil.Resolução:A(t) = A0.ekt A0 = A0 .e k .5600 2 1ln = ln e 5600 k 25600k = - 0,6931K = - 0,000123776 A(t) = A0.e- 0,000123776t 1 A0 = A0 .e −0,000123776t 100 1 ln = ln e −0, 000123776t 100 - 0,000123776 t = - 6,9077 t = 55.808 anos4.6 - RESFRIAMENTO: De acordo com a Lei empírica de Newton do esfriamento/resfriamento, a taxa segundo aqual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de umcorpo varia proporcionalmente a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meioque o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpono instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia dT/dt a taxa segundo a qual a temperaturado corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/resfriamento é convertida na sentençamatemática dT = K (T − Tm ) , (3) dt T = C.ekt + Tmonde k é uma constante de proporcionalidade. Em ambos os casos, esfriamento ou aquecimento,se Tm for uma constante, é lógico que k<0.Exemplo: Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, suatemperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, sea temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF? 35
  • 37. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesResolução: dTT(0) = 3000F = k (T − Tm ) dt dTT(3) = 2000F = k (T − 70) dt dTT(?) = 750 ∫ (T − 70) = ∫ kdtTm = 700 ln(T − 70) = kt + c (T − 70 ln = kt c T − 70 e kt = c T = c.e + 70 ktT(0) = 3000300 = C.ek.0 + 70C = 2300T = 230.ekt + 70T(3) = 200200 = 230.e3k + 70230 e3k = 130 130e 3k = 230 130ln e 3k = ln T = 230.e −0,19018t + 70 230 1303k = ln 75 = 230.e −0,19018t + 70 230 75 − 70K = - 0,19018 e −0,19018t = 230 5 - 0,19018t = ln 230 T = 20,13 minutos4.7 – MISTURAS: A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeiraordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor um grande tanque de misturacontenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinadaquantidade de libras de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxade três galões por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras porgalão.Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesmataxa em que a segunda salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras)no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida: dA ⎛ Taxa de entrada ⎞ ⎛ Taxa de saída ⎞ =⎜ ⎟−⎜ ⎟ = Re − R s (4) dt ⎜ ⎝ de sal ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ de sal ⎟ ⎠ A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) é: 36
  • 38. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Taxa de entrada Concentração de sal taxa de entrada de salmoura no fluxo de entrada de sal ↓ ↓ ↓ Re = (3 gal / min) . (2kb / gal ) = 6lb / min Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesmataxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões.Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300 lb/gal, e a taxade saída de sal Rs é: Taxa de saída Concentração de sal taxa de saida de salmoura no fluxo de saída de sal ↓ ↓ ↓ ⎛ A ⎞ A Rs = (3 gal / min) . ⎜ lb / gal ⎟ = lb / min ⎝ 300 ⎠ 100 A equação (4) torna-se então: dA A = 6− (5) dt 100Exemplo: Dos dados do tanque acima considerado e da equação (4), obtemos a equação (5).Vamos colocar agora a seguinte questão: se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galõesiniciais, quanto sal haveria no tanque após um longo período?Resolução: dA A = 6− dt 100 dA 1 + ⋅A=6 dt 100 A = e ∫ ⎡ ∫ e ∫ .Qdt + C ⎤ − Pdt Pdt ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ A = e 100 ⎡ ∫ e 100 .6dt + C ⎤ −t t ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ A=e −t 100 ⎡600e t 100 + C ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ −t A = 600 + C.e 100para A(0) =50 50 = 600 + C.e 0 C = −550Logo: −t A = 600 − 550e 100 (6) t(min) A(lb) 50 266,41A solução acima (6) foi usada para construir a seguinte tabela: 100 397,67 150 477,27 200 525,57 300 572,62 400 589,93 37
  • 39. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Além disso podemos observar que A → 600 quando t → ∞ . Naturalmente, isso é o queesperaríamos nesse caso; durante um longo período, o número de libras de sal na solução deveser (300 gal).(2lb/gal) = 600 lb. Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a solução era bombeada para dentroera igual à taxa segundo a qual ela era bombeada para fora. Porém isso não precisa ser assim; amistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquelasegundo a qual é bombeada para dentro. Por exemplo, se a solução bem misturada do exemploacima for bombeada para fora a uma taxa menor, digamos de 2 gal/min, o liquido acumulará notanque a uma taxa de (3 – 2) gal/min = 1gal/min. Após t minutos, o tanque conterá 300 + tgalões de salmoura. A taxa segundo a qual o sal sai do tanque é então: ⎛ A ⎞ Rs = (2 gal / min).⎜ lb / gal ⎟ ⎝ 300 + t ⎠ Logo, a Equação (4) torna-se: dA 2A = 6− dA 2 dt 300 + t ou + A=6 dt 300 + t Você deve verificar que a solução da última equação, sujeita a A(0)=50, é: A(t ) = 600 + 2t − (4,95 × 10 7 )(300 + t ) −24.8 – DRENANDO UM TANQUE: Em hidrodinâmica, a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de água emum buraco com bordas na base de um tanque cheio até a uma altura h é igual a velocidade comque um corpo (no caso, uma gota d’agua) adquiriria em queda livre de uma altura h, isto é,v = 2 gh , onde g é a aceleração devida a gravidade. Essa última expressão origina-se de igualar 1 2a energia cinética mv com a energia potencial mgh e resolver para v. Suponha que um tanque 2cheio com água seja drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade. Gostaríamos de encontrar a altura h de água remanescente no tanque no instante t. Considere o tanque ao lado: Se a área do buraco for Ah (em pés quadrados) e a velocidade de saída da água do tanque for v = 2 gh (em pés/s), o volume de saída de água do tanque por segundo é Ah 2 gh (em pés cúbicos/s). Assim, se V(t) denotar o volume de água no tanque no instante t, dV = − Ah 2 gh (6) dtonde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando apossibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Agora, se otanque for tal que o volume de água em qualquer instante t possa ser escrito como V (t ) = Aw h , dV dhonde Aw (em pés quadrados) é a área constante da superfície de água, então = Aw . dt dt Substituindo essa última expressão em (6), obtemos a equação diferencial desejada paraa altura de água no instante t: 38
  • 40. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides dh A =− h 2 gh (7) dt Aw É interessante notar que (7) permanece válida mesmo quando Aw não for constante. Nessecaso, devemos expressar a superfície superior da água como uma função de h, isto é, Aw = A(h).4.9 – DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA: Uma doença contagiosa, por exemplo, um vírus de gripe, espalha-se em uma comunidadepor meio do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença ey(t) o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa dx/dtsegundo a qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interaçõesentre esses dois grupos de pessoas. Se supusermos que o número de intereações éconjuntamente proporcional a x(t) e a y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então: dx = kxy (8) dtonde k é a constante de proporcionalidade usual. Suponha que uma pequena comunidade tenhauma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-se argumentar que x(t) e y(t) são relacionadas por x + y = n + 1. Usando essa última equaçãopara eliminar y em (8), obtemos o modelo dx = kx(n + 1 − x) (9) dt Uma condição óbvia que acompanha a equação (9) é x(0) = 1.4.10 – CORPOS EM QUEDA: Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força,em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se da física elementarque a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecerá em repousoou continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre eleuma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças F = ∑F kisto é, a força liquida ou resultante, que age sobre o corpo for diferente de zero, essa forçalíquida será proporcional a sua aceleração a ou, mais precisamente, F = m.a, onde m é a massado corpo. Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um prédio, conformeilustrado na figura abaixo: Qual a posição s(t) da pedra em relação ao chão no 2 2 instante t? A aceleração da pedra é a derivada segunda d s dt . Se assumirmos como positiva a direção para cima e que nenhuma outra força além da gravidade age sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton d 2s d 2s m = −mg ou = −g (10) dt 2 dt 2 Em outras palavras, a força liquida é simplesmente o peso F= F1 = - W da pedra próximo á superfície da Terra. Lembre-se de que a magnitude do peso é W = mg, onde m é a massa e g é a aceleração devida a gravidade. O sinal de subtração foi usado em (10), pois o peso da pedra é uma força dirigida para baixo, oposta a direção positiva. Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial 39
  • 41. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevidesda pedra é v0, então s é determinada, com base no problema de valor incial de segunda ordem d 2s = − g , s (0) = s 0 , s (0) = v0 (11) dt 2 Embora não estejamos enfatizando a resolução das equações obtidas, observe que (11)pode ser resolvida integrando-se a constante – g duas vezes em relação a t. As condições iniciaisdeterminam as duas constantes de integração. Você poderá reconhecer a solução de (11), da 1física elementar, como a fórmula s (t ) = − gt 2 + v0 t + s 0 . 24.11 – CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR: Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se queos objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caíam com uma aceleraçãomaior do que a de objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e umapena, quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso nãose deve ao fato de a bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas é devida aresistência do ar. A força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em (11). Sob algumascircunstâncias, um corpo em queda com massa m, como uma pena com baixa densidade eformato irregular, encontra uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea v. Senessas circunstancias, tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força liquidaque age sobre a massa será dada por F = F1 + F2 = mg – kv, onde o peso F1 = mg do corpo é aforça que age na direção positiva e a resistência do ar F2 = - kv é uma força chamadaamortecimento viscoso que age na direção oposta ou para cima. Veja a figura abaixo: Agora, como v esta relacionado com a aceleração a através de a = dv/dt, a segunda lei de Newton torna-se F = m.a = m. dv/dt. Substituindo a força liquida nessa forma da segunda lei de Newton, obtemos a equação diferencial de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no instante t. dv m = mg − kv (12) dt Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distancia do corpo emqueda no instante t a partir do ponto inicial, então v = ds/dt e a = dv/dt = d2s/dt2. Em termos des, (12) é uma equação diferencial de segunda ordem: d 2s ds d 2s ds m 2 = mg − k ou m 2 +k = mg (13) dt dt dt dt4.12 – CORRENTE DESLIZANTE: Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em pés seja pendurada em umpino de metal preso a uma parede bem acima do nível do chão. Vamos supor que não haja atritoentre o pino e a corrente e que a corrente pese ρ libras/pés. A figura abaixo (a) ilustra a posiçãoda corrente quando em equilíbrio; se fosse deslocada um pouco para a direita ou para aesquerda, a corrente deslizaria pelo pino. Suponha que a direção positiva seja tomada comosendo para baixo e que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caídono tempo t. A posição de equilíbrio corresponde a x = 0. Na figura (b), a corrente é deslocada emx0 pés e é mantida no pino até ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0. Para acorrente em movimento, conforme mostra a figura (c), temos as seguintes quantidades: 40
  • 42. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Peso da corrente: W = (L pés) . ( ρ lb/pés) = L ρ Massa da corrente: m = W/g = L ρ /32 Força resultante: ⎛L ⎞ ⎛L ⎞ F = ⎜ + x ⎟ ρ − ⎜ − x ⎟ ρ = 2 xp ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠Uma vez que a = d2x/dt2, ma = F torna-se Lρ d 2 x d 2 x 64 ⋅ 2 = 2 ρx ou − x=0 (14) 32 dt dt 2 L4.13 - CIRCUITOS EM SÉRIE: Considere o circuito em série de malha simples mostrado ao lado,contendo um indutor, resistor e capacitor. A corrente no circuito depois quea chave é fechada é denotada por i(t); a carga em um capacitor no instantet é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como indutância,capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes.Agora, de acordo com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicadaE(t) em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de voltagemna malha. A figura abaixo mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva queda de voltagem emum indutor, um capacitor e um resistor. Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com acarga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem. indutor resistor capacitor di 2 d q dq 1 L =L 2, iR = R q dt dt dt ce equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial desegunda ordem d 2q dq 1 L 2 +R + q = E (t ) dt dt c 41
  • 43. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei deDirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) éigual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura abaixo Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t). di L + Ri = E (t ) dtonde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. Acorrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é acarga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura (a), a segunda leide Kirchhoff nos dá 1 Ri + q = E (t ) Cmas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acimatransforma-se na equação diferencial linear dq 1 R + q = E (t ) dt CExemplo: Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é ½Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0.Resolução: diL= indutância = ½ L + Ri = E Para i(0) = 0 dt 1 di 6R = resistência = 10 ⋅ + 10i = 12 0= + e0c 2 dt 5 di 6i = corrente + 20i = 24 c=− dt 5E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24 Logo: 6 6 − 20t ∫ Pdt = ∫ 20dt = 20t i= − e 5 5 i = e [∫ e ⋅ 24dx + c ] −20 t 20 t ⎛ 24 ⎞ i = e − 20t ⎜ e 20t + c ⎟ ⎝ 20 ⎠ 6 i = + e −20t ⋅ c 5 42
  • 44. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 10 – EXERCÍCIOS 13) Segundo a Lei de Newton, a velocidade de1) Encontre uma expressão para a corrente em resfriamento de um corpo no ar é proporcional àum circuito onde a resistência é 12 Ω , a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oCindutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC paraconstante de 60 V e o interruptor é ligado quantot = 0. Qual o valor da corrente? 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30oC? 14) Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente, tirando os seguintes dados: A2) Uma força eletromotriz é aplicada a um circuito temperatura do escritório era de 20oC, o cadáverem série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Umaa resistência é de 50 ohms. Ache a curva i(t) se hora depois medindo novamente a temperaturai(0) = 0. Determine a corrente quanto t → ∞ . do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa viva é deUse E = 30 V. 36.5oC, prende a secretária. Por que? No dia3) Uma força eletromotriz de 100 V é aplicada a seguinte o advogado da secretária a liberta,um circuito em série RC no qual a resistência é de alegando o que?200 Ω e a capacitância é de 10- 4 farads. Ache a 15) Sob as mesmas hipóteses subjacentes aocarga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Ache a modelo em (1), determine a equação diferencialcorrente i(t). que governa o crescimento populacional P(t) de4) Uma força eletromotriz de 200 V é aplicada a um país quando os indivíduos tem autorizaçãoum circuito em série RC no qual a resistência é de para imigrar a uma taxa constante r.1000 Ω e a capacitância é 5 x 10- 6 farads. Ache a 16) Usando o conceito de taxa liquida, que é acarga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Determine a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa decarga da corrente em t = 0,005s. Determine a mortalidade na comunidade, determine umacarga quando t → ∞ . equação diferencial que governe a evolução da5) Sabe-se que a população de uma certa população P(t), se a taxa de natalidade forcomunidade cresce a uma taxa proporcional ao proporcional a população presente no instante t,número de pessoas presentes em qualquer mas a de mortalidade for proporcional aoinstante. Se a população duplicou em 5 anos, quadrado da população presente no instante t.quando ela triplicará? 17) Suponha que um estudante portador de um6) Suponha que a população da comunidade do vírus da gripe retorne para um campusproblema anterior seja 10000 após 3 anos. Qual universitário fechado com mil estudantes.era a população inicial? Qual será a população em Determine a equação diferencial que descreve o10 anos? número de pessoas x(t) que contrairão a gripe, se7) A população de uma cidade cresce a uma taxa a taxa segundo a qual a doença for espalhada forproporcional à população em qualquer tempo. Sua proporcional ao numero de interações entre ospopulação inicial de 500 habitantes aumenta 15% estudantes gripados e os estudantes que aindaem 10 anos. Qual será a população em 30 anos? não foram expostos ao vírus.8) O isótopo radioativo de chumbo, Ph 209, 18) Suponha um grande tanque para misturasdecresce a uma taxa proporcional à quantidade contenha inicialmente 300 galões de água,no qualpresente em qualquer tempo. Sua meia vida é de foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de 3inicialmente, quanto tempo levará para 90% de gal/min, e então, quando a solução esta bemchumbo desaparecer? misturada, ela é bombeada para fora segundo a9) Inicialmente havia 100 miligramas de uma mesma taxa. Determine uma equação diferencialsubstância radioativa presente. Após 6 horas a para a quantidade de sal A(t) no tanque nomassa diminui 3%. Se a taxa de decrescimento é instante t.proporcional à quantidade de substância presente 19) Suponha que a água esta saindo de umem qualquer tempo, determinar a meia vida desta tanque por um buraco circular em sua Bse desubstância. área Ah. Quando a água vaza pelo buraco, o atrito10) Com relação ao problema anterior, encontre e a concentração da corrente de água nasa quantidade remanescente após 24 horas. proximidades do buraco reduzem o volume de11) Em um pedaço de madeira queimada, ou água que esta vazando do tanque por segundocarvão, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha sedesintegrado. Qual a idade da madeira? para cAh 2 gh , onde c (0<c<1) é uma constante12) Um termômetro é retirado de uma sala, em empírica.Determine uma equação diferencial paraque a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora a altura h de água no instante t para um tanqueonde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o cúbico, como na figura abaixo, O raio do buraco étermômetro marcava 50ºF. Qual será a 2 pol e g = 32 pés/s2.temperatura marcada pelo termômetro noinstante t=1 minuto? Quanto levará para marcar15ºF? 43
  • 45. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Respostas: 1) I (t ) = 5 − 5e −3t 3 3 2) i = + ce− 500t e limt → ∞ i (t ) = 5 520) Para um movimento em alta velocidade no ar 1 3) q= + ce− 50t onde C = -1/100 e– tal como o paraquedista mostrado na figura 100abaixo , caindo antes de abrir o paraquedas – a 1 − 50tresistência do ara esta próxima de uma potencia i= eda velocidade instantânea. Determine a equação 2diferencial para a velocidade v(t) de um corpo em 1queda com massa m, se a resistência do ar for 4) q= + ce− 200tproporcional ao quadrado de sua velocidade 1000instantânea. i = −200ce−200t 1 C=− 500 q (0,005) = 0,0003coulombs i (0,005) = 0,1472amp 1 q→ 1000 5) 7,92 anos. 6) x0 = 6600,66 e N(10) = 26.396,0421) Uma pequena barra de metal, cuja 7) N(30) = 760temperatura inicial é de 200C, é colocada em um 8) t = 11 horasrecipiente com água fervendo. Quanto tempo 9) t = 136,72 horaslevará para a barra atingir 900C se sua 10) 88,5 gramas.temperatura aumentar 20 em 1 segundo? Quanto 11) 15600 anostempo levará para a barra atingir 980C? 12) T(1) = 36,66ºF e t = 3,06 min22) Um tanque contém 200 litros de fluido no 13) t = 60 minqual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma 14) justificativa pessoal.salmoura contendo 1 grama de sal por litro é dP dPentão bombeada para dentro do tanque a uma 15) = kp + r , = kp − rtaxa de 4 L/min; a solução bem misturada é dt dtbombeada para fora à mesma taxa. Ache o dPnúmero A(t) de gramas de sal no tanque no 16) = k1 P − k 2 P 2instante t. dt23) Um grande tanque contém 500 galões de dxágua pura. Uma salmoura contendo 2 libras por 17) = kx(1000 − x)galão é bombeada para dentro do tanque a uma dttaxa de 5 gal/min. A solução bem misturada é dA Abombeada para fora à mesma taxa. Ache a 18) =− dt 100quantidade A(t) de libras de sal no tanque noinstante t. Qual é a concentração da solução no dh cπ 19) =− htanque no instante t = 5 min? dt 45024) Um grande tanque esta parcialmente cheio dvcom 100 galões de um fluido no qual foram 20) m = mg − kv 2dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura dtcontendo ½ libra de sal por galão é bombeada 21) Aproximadamente 82,1 spara dentro do tanque a uma taxa de 6 gal/min. A Aproximadamente 145,7 ssolução bem misturada é então bombeada para 22) A(t) = 200 – 170 e-t/50fora a uma taxa de 4 gal/min. Ache a quantidade 23) A(t) = 1000 – 1000 e-t/100de libras de sal no tanque após 30 minutos. 0,0975 lb/gal 24) 64,38 lb 44
  • 46. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 11 5 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2a ORDEM E ORDEM SUPERIOR As equações lineares de ordem n são aquelas da forma: dny d n −1 y d n−2 y A0 / + A1 n −1 + A2 n − 2 + ... + An y = B dx n dx dx Onde B, A0, A1, A2,..., An dependem apenas de x ou são constantes. Para começarmos este estudo vamos utilizar como padrão de uma EDO-2 linear (EquaçãoDiferencial Ordinária Linear de ordem 2) a seguinte equação: y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x)onde: p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema r(x) termos de excitação (input) y(x) resposta do sistemaSe r(x) = 0, ∀ x ∈ I → Eq. Dif. Homogênea r(x) ≠ 0 → Eq. Dif. não homogênea A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I), isto y 2 ( x)é = h( x) ≠ cte y1 ( x) Com isso, y1(x) e y2(x) formam uma base para a solução da EDO-2 homogênea (basefundamental).Exemplo: y" + y = 0 Se propormos como solução y1(x) = sen(x) y2 (x) = cos(x) y 2 ( x) sen( x) = = tg ( x) ≠ cte , logo, formam uma base, com isso, a solução geral da EDO-2 y1 ( x) cos( x)fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x). Se obtemos as bases para a solução da homogênea, a solução da equação fica y(x) =C y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x) 1 Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente. Obtida uma solução y1(x) da EDO-2, pode-se obter y2(x) pelo conceito de base, onde y1(x)e y2(x) são linearmente independentes. y 2 ( x) = h( x) ≠ cte y1 ( x) y 2 ( x) = h( x). y1 ( x) 45
  • 47. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesExemplo: Obter y2(x), sabendo que y1(x) = x (1 – x2)y” – 2xy’ + 2y = 0AULA 11 – EXERCÍCIOS Respostas:Obter y2(x) nos exercicios abaixo: 1) y2(x) = x3 lnx1) x2y” – 5xy’ +9y = 0 , com y1(x) = x3 3 x 2 2) y2(x) =2) 4x2y” – 3y = 0 com y1(x) = x-1/2 2 3) y2(x) = x-1/2senx 2 23) x y” + xy’ + (x – ¼)y = 0, com y1(x) = x-1/2 cosx 46
  • 48. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 125.1 – EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTESCONSTANTES: dny d n −1 y d n−2 y São aquelas da forma: A0 / + A1 n −1 + A2 n − 2 + ... + An y = 0 , onde A0, A1, A2,...,An dx n dx dxsão constantes.Resolução: dy Para n= 1 → A0 + A1 y = 0 dx dy A0 = − A1 y dx dy A = − 1 dx y A0 A ln y = − 1 x + C A0 A1 − x +C y=e A0 A1 − x y=e A0 .e C A1 Chamando − = λ e e C = K , temos y = e λx .k A0 Para nos facilitar a demonstração, vamos usar a seguinte equação: d2y dy 2 + a + by = 0 dx dxonde a e b são constantes. Vamos utilizar y = e λx calculado anteriormente como solução proposta. y = e λx y = λ e λx y" = λ2 e λx Substituindo na EDO temos: λ2 e λx + aλe λx + be λx = 0 (λ2 + aλ + b).e λx = 0 λx Como e ≠ 0 para qualquer valor de x, temos λ + aλ + b = 0 , a qual iremos chamar de 2equação característica da EDO-2 dada. Em relação a equação característica P (λ ) = 0 temos três casos a considerar: 47
  • 49. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesCaso 1: Raízes Reais Distintas. y1 = e λ1 x y 2 = e λ2 x Assim a solução geral fica: y = C1 y1 + C 2 y 2 y = C1e λ1 x + C 2 e λ2 x E para uma equação de ordem n fica: y = C1e λ1 x + C 2 e λ2 x + C 3 e λ3 x + ... + C n e λn xCaso 2: Raízes Múltiplas. λx λx Se λ1 = λ 2 = λ , onde se aplicarmos a regra anterior teremos y1 = e e y 2 = e . Só que é necessário encontrar soluções que sejam linearmente independentes, pois com y 2 e λxas raízes sendo iguais temos = = 1 = constante. y1 e λx Assim temos que achar uma segunda solução que seja linearmente independente. Supondo a equação y” + ay’ + by = 0 e utilizando o conceito de base em quey 2 ( x) = h( x). y1 ( x) , onde y1 = e λx , temos: y 2 ( x) = h( x). y1 ( x) y 2 = h.e λx y 2 = h e λx + λhe λx y"2 = h" e λx + 2λh e λx + λ2 he λx Substituindo na equação dada: h" e λx + 2λh e λx + λ2 he λx + ah e λx + aλhe λx + bhe λx = 0 Reordenando: [ e λx h"+ (2λ + a )h+ (λ2 + aλ + b)h = 0 ] Como e λx ≠ 0 e λ2 + aλ + b =0, pois como já vimos anteriormente P(λ ) = 0 . Então: h" = 0 h = C h = Cx + K Logo: y 2 = h. y1 y 2 = (Cx + K ).e λx Solução geral: y = C1 y1 + C 2 y 2 y = C1e λx + C 2 (Cx + K )e λx fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2 λx λx y = (C1 + C 2 K )e + C 2 Ce temos: y = C1e λx + C 2 xe λx y = (C1 + C 2 x)e λx A propriedade se estende para equações de ordem superior: y = (C1 + C 2 x + C 3 x 2 + ... + C n x n −1 )e λx 48
  • 50. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesCaso 3: Raízes complexas distintas. Sejam λ1 = a + bi e λ 2 = a − bi as raízes da equação característica. Aplicando a condiçãopara raízes reais distintas teríamos como solução: y = C1e ( a +bi ) x + C 2 e ( a −bi ) x y = C1e ax .e bix + C 2 e ax .e −bix ( y = e ax C1e bix + C 2 e −bix ) Das fórmulas de Euler temos: e iθ = cos θ + isenθ e −iθ = cos θ − isenθ Com isso: y = e ax [C1 (cos bx + isenbx ) + C 2 (cos bx − isenbx )] y = e ax [(C1 + C 2 ) cos bx + i(C1 − C 2 )senbx ] Fazendo C1 + C2 = C1 i(C1 – C2) = C2 temos: y = e ax [C1 cos bx + C 2 senbx ]Exemplos: d4y d2y1) − 13 2 + 36 y = 0 dx 4 dx 49
  • 51. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides2) y”+4y = 0, com y(0) = 3 e y( π /2) = -33) y” - 2√2 y’+2y = 0AULA 12 – EXERCÍCIOS Respostas:1) y” – 5y’ + 6y = 0 1) y = C1e 2x + C2 e3x2) y”’ + 3y” – 4y’ – 12y = 03) y” + 2y’ + 2y = 0, 2) y = C1e 2x + C 2 e −3 x + C 3 e −2 x com y(0) = 1 e y( π /2) = 0 3) y = e-xcosx4) y” – 25y = 0 4) y = - 2e- 5x + 2e5x com y(0) = 0 e y’(0) = 20 5) y = 3e- x – 7e2x 3πx5) y” – y’ – 2y = 0 6) y = C1e + C 2 e −3πx com y(0) = -4 e y’(0) = -17 −x6) y”-9 π 2y=0 7) y = ( 4 − 3 x )e 37) 9y” + 6y’ + y = 0 8) y = (C1 + xC2) e- kx com y(0) = 4 e y’(0) = − 13 −x 9) y = −0,3e 4 + 0,5e x 2 3 28) y” + 2ky’ +k y = 0 10) y = e – 0,5x9) 8y” – 2y’ – y = 0 11) y = C1e + C2e 4x 3x com y(0) = 0,2 e y’(0) = 0,325 12) y = C1 + e (C 2 cos x + C 3 senx ) 2x10) 4y” – 4y’ - 3y = 0com y(-2) = e y’(-2) = − e ⎡ 5x x 3 x 3⎤ 2 13) y = C1 + e ⎢C1 cos 2 + C 2 sen ⎥11) y” – 7y’ + 12y = 0 ⎣ 2 2 ⎦12) y”’ - 4y” + 5y’=0 −x13) y”’ – 5y” + 7y’ = 0 14) y = (C1 + C 2 x )e14) y” + 2y’ + y = 0 50
  • 52. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 135.2 – EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTESVARIÁVEIS: EULER – CAUCHYA equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma: dny 2 d2y dy An (ax + b) n + L + A2 (ax + b) + A1 (ax + b) + A0 y = B dx n dx 2 dxonde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos ax + b = a.e tque irá eliminar os coeficientes variáveis. No caso da equação ter a forma: x2 y"+axy+by = 0Faremos: y = xm y’ = mxm-1 y” = m(m-1)xm-2 Substituindo y, y’ e y” na EDO-2, temos que: (m2 + (a – 1) m + b)xm = 0como y(x) = xm tem que ser diferente de zero, temos m2 + (a – 1) m + b = 0, que é umaequação do segundo grau com duas raízes.Caso 1: m1 e m2 são reais e diferentes. y ( x) = C1 x m1 + C 2 x m2Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais y( x) = C1 x m + C2 x m ln(x) y(x) = (C1 + C2 ln(x))x mCaso 3: m1 e m2 são complexas conjugadas ( a ± bi ) y ( x) = x a [C1 cos(b ln x) + C 2 sen(b ln x)]Exemplos: 51
  • 53. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides d2y dy 2) x2y” + 2xy’ + 2y = 01) ( 2 x + 1) − 2(2 x + 1) − 12 y = 0 2 2 dx dxAULA 13 – EXERCÍCIOS Respostas: 1) C1x-4 + C2x51) x2y”- 20y = 0 C1 C2 C32) (1+x)3y”’+9(1+x)2y”+18(1+x)y’+6y = 0 2) y = + +3) 10x2y” + 46xy’+32,4y = 0 x + 1 (1 + x) 2 (1 + x) 34) x2y”+ xy’+y = 0 3) (C1 + C2 lnx) x-1,85) 4x2y”+24xy’+25y = 0 4) C1.cos(lnx) + C2.sen(lnx) com y(1) = 2 e y’(1) = - 6 −5 2 5) (2 – lnx) x6) x2y”- 3xy’+ 4y = 0 6) 3x2lnx com y(1) = 0 e y’(1) = 3 52
  • 54. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 145. 3 - EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS ⎧ y"+ p( x) y + q( x) y = r ( x) ⎪ P.V .I ⎨ y ( x0 ) = K 0 ⎪ y ( x ) = K ⎩ 0 1 y1(x).y2(x) → base para a solução da EDO-2 homogênea yh(x) → solução da EDO-2 homogênea yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) yp(x) → solução particular, função qualquer que satisfaz a EDO-2 não-homogênea A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma: y ( x) = y h ( x) + y p ( x)Teorema da existência da Unicidade: Se p(x) e q(x) são funções contínuas sobre ointervalo aberto I e x0 ∈ I, então o P.V.I. possuiu uma única solução y(x) sobre I. Para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintesmétodos: i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange iii. Método do operador derivada D.5.3.1 - Solução por coeficientes a determinar (Descartes): Vale somente para EDO-2 com coeficientes constantesPadrão para solução particular: Termo em r(x) Proposta para yp(x) αx αx ke Ce kx n (n = 0,1,...) C n x n + C n −1 x n −1 + ... + C1 x + C 0 K cos αx ⎫ ⎬ C1 cos αx + C 2 senαx Ksenαx ⎭ keαx cos β x ⎪ ⎫ ⎬ e αx (C1 cos β x + C 2 senβ x) keαx senβx ⎪ ⎭obs: 1. se r(x) é composição de funções da 1o coluna, yp(x) é composição das respectivas funções na 2o coluna. 2. se r(x) coincide com uma função que compões yh(x), multiplique por x (ou por x2) para considerar raiz dupla da equação característica. 53
  • 55. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides ⎧ y"−2 y + y = e x + x 2 ⎪Exemplo: ⎨ y (0) = 1 ⎪ y (0) = 0 ⎩ 54
  • 56. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 14 – EXERCÍCIOS −x 5 2 2) e (C1 cos 3x + C 2 sen3x) + x −x1) y” + 4y = sen 3x 2 3)2) y” + 2y’ +10y = 25x2 + 33) y” + 2y’ – 35y = 12e5x + 37 sen 5x C1e −7 x + C 2 e 5 x + xe 5 x − 0,1 cos 5 x − 0,6 sen5 x4) y” – 5y’ + 6y= 2x2 – 1 x 2 5x 5 4) y = C1e + C2 e3x + + + 2x5) y”’ – 4y’ = 1 – 3x6) y”’ – 2y” = 3x2 – 2x + 1 3 9 277) y” – 7y’ +12y = 3e −x −2 x 3 x 5) y = C1 + C 2 e + C3 e 2 x + x 2 −8) y” – 7y’ +10y = 8e2x 8 49) y” – 4y’ +4y = 8e2x x 4 x 3 3x 2 6) y = C1 + C 2 x + C 3 e − − − 2x10) y” + 4y = 3e4x11) y” – 4y” + 3y = 3sen2x 8 12 8 d4y d2y 3 −x 7) y = C1e + C 2 e + 3x 4x12) − 4 2 = 8sen4 x e dx 4 dx 2013) y”’ – 4y’ = 12sen2x 8 2x 8) y = C1e + C 2 e − xe 2x 5x14) y” + y = 4senx 3 d4y d2y 9) y = C1e + C 2 xe + 4 x e 2x 2x 2 2x15) + 2 2 + y = 4senx dx 4 dx 3 4x 10) y = C1 cos 2 x + C 2 sen 2 x + e 20 3 11) y = C1e + C 2 e − ( sen2 x − 8 cos 2 x) x 3x 65Problema de valor inicial: −2 x sen4 x 12) C1 + C 2 x + C 3 e + C4e 2 x +16) y” + 1,5y’ – y = 12x2 + 6x3 – x4 40 y(0) = 4 e y’(0) = - 8 −2 x 3 13) y = C1 + C 2 e + C 3 e 2 x + cos 2 x 417) y” – 4y = e-2x – 2x 14) y = C1 cos x + C 2 senx − 2 x cos x y(0) = 0 e y’(0) = 0 15) x2 y=− senx + (C1 + C 2 x) cos x + (C 3 + C 4 x) senxRespostas: 2 −2 x 16) 4e + x4 11) A cos 2 x + Bsen2 x − sen3x 5 1 −2 x 1 2 x 1 1 17) e − e + x − xe − 2 x 16 16 2 4 55
  • 57. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 155.3.2 - SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS: Qualquer tipo de excitação r(x) Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contínuos. yn + Pn-1(x)yn-1 +...+ P1(x)y’ + P0(x)y = r(x) A solução geral da EDO é y = yh + yp como na resolução por coeficientes a determinar.mas a solução da particular fica yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn, onde y1, y2, ..., yn sãoas bases para a EDO homogênea. A idéia é constituir a solução particular com umacombinação destas bases utilizando parâmetros variáveis. Onde W1 ( x).r ( x) W ( x).r ( x) W ( x).r ( x) u1 = ∫ dx , u 2 = ∫ 2 dx , .... u n = ∫ n dx W ( x) W ( x) W ( x) Sendo que W = W(y1,y2,...,yn), que é o Determinante de Wronski (Wronskiano) y1 y2 L yn y1 y2 L yn W ( y1 , y 2 ,..., y n ) = = W ( x) M M L M y1n −1 y 2 −1 L y n −1 n n Para calcularmos W1(x), substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0, 0, 0, ... ,1),para calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente: 0 y2 L yn y1 0 L yn y1 y2 L 0 0 y2 L yn y1 0 L yn y 1 y 2 L 0 W1 = , W2 = , ...., Wn = M M L M M M L M M M L M n −1 n −1 n −1 1 y 2 L y n y1 1 L y n −1 n y1n −1 y 2 −1 L 1 nCuidado: Antes de aplicar o método, verificar o que acompanha yn. Se tiver f(x).yn, não seesqueça de dividir r(x) por f(x). Se a Equação Diferencial for de ordem 2, tempos como solução da particular yp(x) =u(x)y1(x) + v(x)y2(x)onde, y 2 ( x) r ( x) y1 ( x)r ( x) u ( x) = − ∫ dx e v( x) = ∫ dx w( x) w( x)e y1(x) e y2(x) são as bases da homogênea. 56
  • 58. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides −2Exemplo: x y "+ x y"−2 xy +2 y = x 3 2 57
  • 59. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 15 – EXERCÍCIOS Respostas:1) y” + 4y’ + 3y = 65x −3 x 65 2602) x2y” – 2xy’ +2y = x3cosx 1) y = C1e + C2e −x +x−3) x2y” – 4xy’ + 6y = 21x-4 3 9 2) y = C1 x + C 2 x − x cos x 24) 4x2y” + 8xy’ – 3y = 7x2 – 15x35) x3y”’- 3x2y” +6xy’ – 6y = x4lnx 1 −4 3) y = c1 x + c 2 x + x 2 36) xy”’ + 3y” = ex 2 d4y d2y7) − 4 2 = 3x 2 − 2 x + 1 1 −3 (x 2 − x3 ) dx 4 dx 4) y = C1 x 2 + C 2 x 2 +8) y”’ – y” – 4y’ + 4y = 12e-x 39) y”’ – y” – 2’ = x - 2 x4 ⎛ 11 ⎞ 5) y = C1 x + C 2 x + C 3 x + ⎜ ln x − ⎟ 2 3 6 ⎝ 6⎠ −1 −1 x 6) y = C1 + C 2 x + C 3 x + x e 4 3 2 7) y = C1 + C2 x + C3e −2 x + C4 e 2 x − x + x − x + x − 10 16 12 8 8 64 −x 8) y = C1e + C 2 e x + C 3 e 2 x + 2e − x −x x2 5 9) y = C1 + C 2 e + C3 e 2 x − + x 4 4 58
  • 60. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 165.3.3 - MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA5.3.3.1 – Operador “D” (operador derivada): Os operadores são símbolos sem nenhum significado isolado que indicam, de modoabreviado, as operações que devem ser efetuadas Dada uma função definida por y=f(x), chama-se operador derivada, denotado por D, a d 2 d2 3 d3D= , D = , D = , ... dx dx 2 dx 35.3.3.2 - Propriedades: Sejam u=u(x) e v =v(x):P1. D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)P2. D(m.u)=m.Du, (propriedade comutativa, sendo m uma constante)P3. Dm(Dnu)=Dm+nu, (sendo m e n constantes positivas) 1P4. O operador inverso u = e ax ∫ e −ax .u.dx , a ∈ℜ. D−a duP5. O operador direto ( D − a )u = Du − a.u = − au , a ∈ℜ. dx5.3.3.3 – Resolução de Equações Lineares d2y dy1) Resolver, empregando operadores: 2 − 7 + 12 y = 0 dx dx. d2y dy2) 2 − 4 + 4y = 0 dx dx 59
  • 61. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides3) Vamos resolver utilizando operador direto, inverso, coeficientes a determinar e variação de d2yparâmetro a equação 2 − y = e −x . dx 60
  • 62. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 16 – EXERCÍCIOS 1) (D2 – D – 12)y = 0 d2y dy 2) 2 − 5 + 6 y = senx dx dx 2 d y dy 3) 2 − 3 + 2 y = e x senx dx dx 4) (D3-16D)y=e4x + 1 5) (D2 – 7D+12)y = 5e3x 6) (D3 – 3D + 2)y = xe-2x 7) (D − 1) (D − 2) y = 3e + 2e 2 x −x 8) (D 2 − 4)y = x − 1 9) (D 2 ) − 5D + 6 y = e 3 x Respostas: 1) y = C1e4x + C2e-3x 1 1 2) y = C1e + C2 e3x +senx + cos x 2x 10 10 x 3) y = C1e + C 2 e + x 2x e (cos x − senx ) 2 −4 x x x 4) y = C1 + C 2 e + C3 e 4 x + e 4 x − 32 16 5) y = C1e + C 2 e − 5 xe 3x 4x 3x −2 x 2 x −2 x x 2 −2 x 6) y = C1e + C 2 xe + C 3 e + e + x x e 27 18 3 2 x 1 −x 7) y = Ae + Bxe + Ce − x e − e x x 2x 2 6 −2 x x 1 8) y = Ae + Be 2 x − + 4 4 9) y = xe − C1e 2 x + C 2 e 3 x 3x 61
  • 63. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 17 6 - EXERCÍCIOS GERAISCalcule as Equações Diferenciais abaixo: 21) x 2 y"−2 xy +2 y = 3x 3 d y dy 1) 3 +4 = 3e 2 x − x − 2sen2 x RESPOSTAS: dx dx 3e 2 x x 2 xsen2 x d3y d2y dy 1) y = C1 + C 2 cos 2 x + C 3 sen2 x + − + 2) 3 −5 2 +6 = 2 x + 3e 2 x 16 8 4 dx dx dx 2 d y x2 5 3 xe 2 x 3) − y = 3senx − e 2 x + 1 2) y = C1 + C 2 e 2 x + C 3 e 3 x + + x− dx 2 6 18 2 d2y 3senx e 2 x 4) − 4 y = 8 x 2 − x + 12 3) y = C1e − x + C 2 e x − − −1 dx 2 2 3 x d3y d2y dy 4) y = C1e −2 x + C2e 2 x − 2 x 2 + −4 5) 3 − 2 −2 = x−2 4 dx dx dx x 2 5x d4y d2y 5) y = C1 + C 2 e − x + C 3 e 2 x − + 6) − 4 2 = 3x 3 − 2 x + 1 4 4 dx 4 dx −2 x 3x 5 5 x 3 x 2 2 6) y = C1 + C 2 x + C 3 e + C 4 e − 2x − − d y dy 80 48 8 7) − 3 + 2 y = 3e − x dx 2 dx e− x 2 7) y = C1e x + C2e 2 x + d y 2 8) − 4 y = 4e 2 x −2 x dx 2 8) y = C1e + C2e + xe 2 x 2x d2y dy 3 9) − 4 + 4 y = 3e 2 x 9) y = C1e 2 x + C2 xe 2 x + x 2e 2 x dx 2 dx 2 2 d y dy 10) y = e (C1 + C2 x + x ) x 2 10) − 2 + y = 2e x dx 2 dx 3 1 11) y = C1e x + C2e 2 x + cos x + senx 2 d y dy 5 5 11) 2 − 3 + 2 y = 2senx 3 dx dx 12) y = C1 + C2e −4 x + (cos x + 4senx) 2 d y dy 17 12) +4 = 3 cos x 3 x cos 2 x dx 2 dx 13) y = C1e −2 x + C2 e 2 x + C3 cos 2 x + C4 sen 2 x + 32 d4y 13) − 16 y = 3sen2 x 5 cos 2 x dx 4 14) y = C1e −2 x + C2e 2 x − d2y 8 14) − 4 y = 5 cos 2 x 5 x xe 2 x dx 2 15) y = C1 + C2e 2 x − + d2y dy 2 2 15) −2 = e2x + 5 ⎛ dx 2 dx x ⎞ 3 y = ⎜ C1 + C2 x + ⎟e 2 x ⎜ 6⎟ 16) 2 d y dy ⎝ ⎠ 16) 2 − 4 + 4 y = xe 2 x dx dx 1 1 17) y = C1e −2 x + C2e 4 x − e ex + (3 cos 2 x + sen2 x) 2 d y dy 9 5 17) 2 − 2 − 8 y = e x − 8 cos 2 x x +1 dx dx 18) y = (C1 + C2 x + x 2 )e 2 x + 2 d y dy x 8 18) 2 − 4 + 4 y = 2e 2 x + dx dx 2 19) y = (C1 + xC2 )e x − xe x + xe x ln x 2 x d y dy e 19) 2 −2 + y = dx dx x 20) y = C1 cos x + C2 senx + cos x ln cos x + xsenx 2 d y 1 y = C1 cos x + C2 senx − x cos x + senx ln senx 20) 2 +y= 21) dx cos x 62
  • 64. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides AULA 18 7 – MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR Vimos que uma única equação pode servir como modelo matemático para fenômenosdiversos. Por essa razão, examinamos uma aplicação, o movimento de uma massa conectadaa uma mola, detalhadamente na seção 8.1 abaixo. Veremos que, exceto pela terminologia epelas interpretações físicas dos quatro termos na equação linear ay” + by’ + cy = g(t), amatemática de um circuito elétrico em série é idêntica à de um sistema vibratório massa-mola.Formas dessa equação diferencial linear de segunda ordem aparecem na análise de problemasem várias áreas da ciência e da engenharia. Na seção 8.1, consideramos exclusivamenteproblemas de valor inicial, enquanto na seção 8.2 examinamos aplicações descritas porproblemas de contorno conduzem-nos aos conceitos de autovalor e autofunção. A seção 8.3começa com uma discussão sobre as diferenças entre mola linear e mola não-linear; emseguida, mostraremos como um pêndulo simples e um fio suspenso levam a modelos não-lineares.8.1 – EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:8.1.1 - Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecidoLei de Hooke: Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um suporterígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre. A distensão ouelongação da mola naturalmente dependerá da massa; massas com pesos diferentesdistenderão a mola diferentemente. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora Foposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Enunciado de forma simples, F= ks, onde k é a constante de proporcionalidade chamado constante da mola. A mola éessencialmente caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa de 10 libras alongaem ½ pé uma mola, então 10 = k(½) implica que k = 20 lb/pés. Então uma massa de,digamos, 8 lb necessariamente estica a mesma mola somente 2/5 pé.Segunda Lei de Newton: Depois que uma massa m é conectada a uma mola, provoca umadistensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio no qual seu peso W é igual à forçarestauradora ks. Lembre-se de que o peso é definido por W = mg, onde g= 32 pés/s2, 9,8m/s2ou 980 cm/s2. l Posição inicial s K(s+x) x equilíbrio mg 63
  • 65. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Conforme indicado na figura acima, a condição de equilíbrio é mg = ks ou mg – ks = 0.Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio, a forçarestauradora da mola será então k(x + s). Supondo que não haja forças de retardamentosobre o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas –movimento livre – podemos igualar F com a força resultante do peso e da forçarestauradora: d 2x m 2 = −k ( s + x) + mg = − kx + mg − ks = −kx (1) dt 12 3 4 4 zero O sinal negativo indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao domovimento. Além disso, podemos adotar a convenção de que os deslocamentos medidosabaixo da posição de equilíbrio são positivos.7.1.1.1 - ED do Movimento Livre não amortecido: Dividindo a equação (1) pela massa m obtemos a equação diferencial de segundaordem d 2x 2 +ω2x = 0 (2) dtonde ω2 = k /m A equação (2) descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre nãoamortecido. Duas condições iniciais óbvias associadas com (2) são x(0) = x0 e x’(0) = x1,representando, respectivamente, o deslocamento e a velocidade iniciais da massa. Porexemplo, se x0 > 0, x1 < 0, a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio comuma velocidade inicial dirigida para cima. Quando x1 = 0, dizemos que ela partiu do repouso.Por exemplo, se x0 < 0, x1 = 0, a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acimada posição de equilíbrio.7.1.1.2 - Solução e Equação do Movimento: Para resolver a Equação (2), observamos que as soluções da equação auxiliarm2+ϖ 2=0 são números complexos m1 = ϖ i, m2 = - ϖ i. Assim, determinamos a soluçãogeral de (2) como: x(t ) = C1 cos ωt + C 2 senωt (3) O período das vibrações livres descritas por (3) é T = 2 π / ω e a freqüência é f = 1 / T = ω / 2π . Por exemplo, para x(t) = 2 cos 3t – 4 sen 3t, o período é 2 π /3 e afreqüência é 3/2 π unidades; o segundo número significa que há três ciclos do gráfico a cada2 π unidades ou, equivalentemente, que a massa está sujeita a 3/2 π vibrações completas porunidade de tempo. Além disso, é possível mostrar que o período 2 π /ϖ é o intervalo de tempoentre dois máximos sucessivos de x(t). Lembre-se de que o máximo de x(t) é umdeslocamento positivo correspondente à distância máxima de x(t) é um deslocamento positivocorrespondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio,enquanto o mínimo de x(t) é um deslocamento negativo correspondente à altura máximaatingida pela massa acima da posição de equilíbrio. Vamos nos referir a cada caso comodeslocamento extremo da massa. Finalmente, quando as condições iniciais forem usadaspara determinar as constantes C1 e C2 em (3), diremos que a solução particular resultante ou aresposta é a equação do movimento.Exemplo: Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t = 0, a massa é soltade um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 4 pés/s para 3cima. Determine a equação do movimento livre. 64
  • 66. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesSolução: Convertendo as unidades: 6 polegadas = ½ pé 8 polegadas = 2/3 pé Devemos converter a unidade de peso em unidade de massa M = W/g = 2/32 = 1/16 slug Além disso, da lei de Hooke , 2 = k(½) implica que a constante de mola é k = 4 lb/pé,Logo, (1) resulta em: 1 d 2x = −4 x 16 dt 2 d 2x + 64 x = 0 dt 2 ϖ 2 = - 64 ϖ = 8i x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t O deslocamento e a velocidade iniciais são x(0) = 2/3 e x’(0) = - 4/3, onde o sinalnegativo na última condição é uma conseqüência do fato de que é dada à massa umavelocidade inicial na direção negativa ou para cima. Aplicando as condições iniciais a x(t) e a x’(t), obtemos C1 = 2/3 e C2 = - 1/6, assim, aequação do movimento será: 2 1 x(t ) = cos 8t − sen8t 3 167.1.2 – Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal, uma vez que édescrito pela Equação (1) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre amassa em movimento. A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito, haverápelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente.7.1.2.1 - ED do Movimento Livre Amortecido: No estudo de mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo sãoconsideradas proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. Em particular, vamossupor durante toda a discussão subseqüente que essa força é dada por um múltiplo constantede dx/dt. Quando não houver outras forças externas agindo sobre o sistema, segue nasegunda lei de Newton que d 2x dx m 2 = −kx − β (4) dt dtonde β é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é umaconseqüência do fato de que a força amortecedora age no sentido oposto ao do movimento. Dividindo-se (4) pela massa me, obtemos a equação diferencial do movimento livreamortecido d 2 x ⎛ β ⎞ dx ⎛ k ⎞ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟x = 0 (5) dt 2 ⎝ m ⎠ dt ⎝ m ⎠ou d 2x dx 2 + 2λ +ω2x = 0 (6) dt dtonde 65
  • 67. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides β k 2λ = e ω2 = m m O símbolo 2 λ foi usado somente por conveniência algébrica, pois a equação auxiliar é: m2 + 2 λ m + ω = 0 2e as raízes correspondentes são, portanto, m1 = −λ + λ2 − ω 2 e m 2 = −λ − λ − ω 2 2 Podemos agora distinguir três casos possíveis, dependendo do sinal algébrico de − λtλ2 − ω 2 . Como cada solução contém o fator de amortecimento e , λ >0, o deslocamento damassa fica desprezível após um longo período.CASO I: Superamortecido λ2 − ω 2 > 0 x(t ) = C1e m1t + C 2 e m2t (7) Essa equação representa um movimento suave e não oscilatório.CASO II: Amortecimento Crítico λ2 − ω 2 = 0 x(t ) = e − λt (C1 + C 2 t ) (8) Observe que o movimento é bem semelhante ao sistema superamortecido. É tambémevidente de (8) que a massa pode passar pela posição de equilíbrio no máximo uma vez.Qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório.CASO III: Subamortecido λ2 − ω 2 < 0 Como as raízes m1 e m2 agora são complexas, a solução geral da Equação (6) é: ( x(t ) = e −λt C1 cos ω 2 − λ2 t + C 2 sen ω 2 − λ2 t ) (9) − λt O movimento descrito em (9) é oscilatório; mas, por causa do fator e , as amplitudesde vibração → 0 quando t → ∞ .Exemplos: 1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 pés/s para cima. 66
  • 68. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Solução: Com base na lei de Hooke, vemos que 8 = k(2) nos dá k = 4 lb/pés e que W = mg nos dá m = 8/32=1/4 slug. A equação diferencial do movimento é então: 1 d 2x dx 2 = −4 x − 2 4 dt dt 2 d x dx 2 + 8 + 16 x = 0 dt dt Resolvendo a equação temos: X(t)= C1 e – 4t + C2te - 4t (amortecimento crítico) Aplicando as condições iniciais x(0) = 0 e x’(0) = - 3, obtemos c1 = 0 e c2 = -3, logo, a equação do movimento é: X(t) = - 3te -4t 2) Um peso de 16 lb é atado a uma mola de 5 pés de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 8,2 pés. Se o peso for puxado para cima e solto do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio, qual será o deslocamento x(t) se for sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea. Solução: O alongamento da mola depois de preso o peso será de 8,2 – 5 = 3,2 pés; logo, segue da lei de Hooke que 16 = k(3,2) ou k = 5 lb/pés. Alem disso, m = 16/32 = ½ slug. Portanto, a equação diferencial é dada por: 1 d 2x dx 2 = −5 x − 2 dt dt 2 d x dx 2 + 2 + 10 x = 0 dt dt Resolvendo a equação temos: x(t ) = e − t (C1 cos 3t + C 2 sen3t ) (subamortecido) Aplicando as condições iniciais x(0) = - 2 e x’(0) = 0, obtemos c1 = - 2 e c2 = - 2/3, logo a equação do movimento é: ⎛ 2 ⎞ x(t ) = e −t ⎜ − 2 cos 3t − sen3t ⎟ ⎝ 3 ⎠ 7.1.3 – Sistema Massa Mola: Movimento Forçado 7.1.3.1 - ED do Movimento Forçado com Amortecimento: Considerando agora uma força externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola. Por exemplo, f(t) pode representar uma força que gera um movimento oscilatório vertical do suporte da mola. A inclusão de f(t) na formulação da segunda lei de Newton resulta na equação diferencial do movimento forçado ou induzido d 2x dx m 2 = − kx − β + f (t ) (10) dt dt Dividindo (10) por m, obtemos: 67
  • 69. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides d 2x dx 2 + 2λ + ω 2 x = F (t ) (11) dt dt Onde F(t) = f(t)/m. Como no item anterior, 2 λ = β / m , ω = k / m . Para resolver essa 2última equação não homogênea, podemos usar tanto o método dos coeficientes a determinarquanto o de variações de parâmetro. Exemplo: 1 d 2x dx Interprete e resolva o problema de valor inicial 2 + 1,2 + 2 x = 5 cos 4t , com x(0) = 5 dt dt½ e x’(0) = 0Solução: O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 1/5 slugou quilograma) presa a uma mola (k = 2 lb/pés ou N/m). A massa é solta do repouso ½unidade (pé ou metro) abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido ( β = 1,2 ) eesta sendo forçado por uma força externa periódica (T = π ) que começa em t=0. 2Intuitivamente, poderíamos esperar que, mesmo com o amortecimento, o sistema continuasseem movimento até o instante em que a força externa fosse “desligada”, caso em que aamplitude diminuiria. Porém, da forma como o problema foi dado, f(t)=5cos4t permanecerá“ligada” sempre. Em primeiro lugar, multiplicaremos a equação dada por 5 e resolvemos a equaçãod 2x dx 2 + 6 + 10 x = 0 empregando os métodos usuais e usando o método dos coeficientes adt dtdeterminar, procuramos uma solução particular, achando como solução: 25 50 x(t ) = e −3t (C1 cos t + C 2 sent ) − cos 4t + sen4t 102 51 Aplicando as condições iniciais, temos que a equação do movimento é: 38 86 25 50 x(t ) = e −3t ( cos t − sent ) − cos 4t + sen4t 51 51 102 517.1.3.2 – ED de um Movimento Forçado Não Amortecido: Se houver a ação de uma força externa periódica, e nenhum amortecimento, nãohaverá termo transiente na solução de um problema. Veremos também que uma força externaperiódica com uma freqüência próxima ou igual às das vibrações livres não amortecidas podecausar danos severos a um sistema mecânico oscilatório.Exemplo: d 2x Resolva o problema de valor inicial: 2 + ω 2 x = F0 senγt , x(0) = 0 e x’(0) = 0,, onde F0 dté uma constante e γ ≠ ω .Solução: A função complementar é xc(t) = c1cos ω t + c2 sen ω t. Para obter uma soluçãoparticular, vamos experimentar xp(t) = A cos γ t + B sen γ t de tal forma que: x "p + ω 2 x p = A(ω 2 − γ 2 ) cos γt + B(ω 2 − γ 2 ) senγt = F0 senγt 68
  • 70. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides F0Igualando os coeficientes, obtemos imediatamente A = 0 e B = . Logo: (ω 2 − γ 2 ) F0x p (t ) = senγt (ω − γ 2 ) 2 Aplicando as condições iniciais dadas à solução geral, obtemos a solução final que será: F0 x(t ) = (−γsenωt + ωsenγt ) , com γ ≠ ω (ω − γ 2 ) 27.1.4 – Circuito em Série Análogo Circuitos elétricos RLC em série Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, chegamos a: R d 2q dq q L L 2 +R + = E (t ) (12) C dt dt C E Se E(t) = 0, as vibrações elétricas do circuito são consideradas livres. Como aequação auxiliar da equação (11) é Lm2 + Rm + 1/C = 0, haverá três formas de solução comR ≠ 0, dependendo do valor do discriminante R2 -4L/C. Dizemos que o circuito é: 4L Superamortecido: R − >0 2 C 4L Criticamente amortecido: R − =0 2 C 4L Subamortecido: R − <0 2 C Em cada um desses três casos, a solução geral de (12) contém o fator e-Rt/2L e,portanto, q(t) → 0 quando t → ∞ . No caso subamortecido, se q(0) = q0, a carga sobre ocapacitor oscilará à medida que decair, em outras palavras, o capacitor é carregado edescarregado quanto t → ∞ . Quando E(t) = 0 e R = 0, dizemos que o circuito é nãoamortecido e as vibrações elétricas não tendem a zero quando t cresce sem limitação; aresposta do circuito é harmônica simples.Exemplos: 1) Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando L=0,25 henry(h), R = 10 ohms( Ω ), C = 0,001 farad(f), E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0.Solução: Como 1/C = 1000, a equação (12) fica: 1 q"+10q+1000q = 0 4 q"+40q+4000q = 0 69
  • 71. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesResolvendo a equação homogênea de maneira usual, verificamos que o circuito ésubamortecido e q(t) = e-20t(C1 cos60t +C2 sen60t). Aplicando as condições iniciais, obtemos: 1 q(t ) = q 0 e − 20t (cos 60t + sen60t ) 3 Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibrações elétricas são chamadasforçadas. No caso em que R ≠ 0, a função complementar qc(t) de (12) é chamada de soluçãotransiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) de (12) seráuma solução estacionária.7.2 – EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO7.2.1 – Deflexão de uma viga: Muitas estruturas são construídas usando grandes suportes de aço ou vigas, as quaisdefletem ou distorcem sob seu próprio peso ou em decorrência de alguma força externa. Adeflexão y(x) é governada por uma equação diferencial linear de quarta ordem relativamentesimples. L Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogênea e tenha seção transversaluniforme ao longo de seu comprimento. Na ausência de qualquer carga sobre a viga (incluindoo próprio peso), a curva que liga os centróides de todas as suas seções transversais é umareta chamada eixo de simetria. Se for aplicada uma carga à viga em um plano contendo oeixo de simetria, ela sofrerá uma distorção e a curva que liga os centróides de todas as seçõestransversais será chamada então de curva de deflexão ou curva elástica. A curva dedeflexão aproxima o formato da viga. Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo desimetia da viga e que a deflexão y(x), medida a partir desse eixo, seja positiva se dirigida parabaixo. Na teoria da elasticidade, mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x aolongo da viga está relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equação: d 2M = w( x) (12) dx 2 Além disso, momento fletor M(x) é proporcional à curvatura k da curva elástica M ( x) = EIk (13)onde E e I são constantes; E é o módulo de elasticidade de Yang do material de que é feita aviga e I é o momento de inércia de uma seção transversal da viga (em torno de um eixoconhecido como o eixo neutro). O produto EI é chamado de rigidez defletora da viga. y" Agora, do cálculo, a curvatura é dada por k = . Quando a deflexão y(x) for [1 + ( y ) ] 2 3 2 [ ] 3pequena, a inclinação y’ ≈ 0 e, portanto, 1 + ( y ) 2 ≈ 1, Se fizermos k = y”, a Equação (13) 2vai se tornar M = Ely”. A derivada segunda dessa última expressão é: d 2M d2 d4y = EL 2 y" = EL 4 (14) dx 2 dx dx Usando o resultado dado em (1) para substituir d2M/dx2 em (14), vemos que a deflexãoy(x) satisfaz a equação diferencial de quarta ordem d4y EL = w( x) (15) dx 4 70
  • 72. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides As condições de contorno associadas à Equação (15) dependem de como asextremidades da viga estão apoiadas. Uma viga em balanço é engastada ou presa em umaextremidade e livre de outra. Trampolim, braço estendido, asa de avião e sacada são exemploscomuns de vigas, mas até mesmo árvores, mastros, edifícios e o monumento de GeorgeWashington podem funcionar como vigas em balanço, pois estão presos em uma extremidadee sujeitos à força fletora do vento. Para uma viga em balanço, a deflexão y(x) deve satisfazeràs seguintes condições na extremidade engastada x = 0: y(0) = 0, uma vez que não há deflexão e y’(0) = 0, uma vez que a curva de delexão é tangente ao eixo x (em outras palavras, a inclinação da curva de deflexão é zero nesse ponto).Em x = L, as condições da extremidade livre são: y”(L) = 0, uma vez que o momento fletor é zero e y”’(L) = 0, uma vez que a força de cisalhamento é zero.A Tabela abaixo resume as condições de contorno que estão associadas com a equação (15) Extremos da viga Condições de contorno engastada y = 0, y’ = 0 Livre y” = 0 m y”’ = 0 Simplesmente y = 0, y” = 0 apoiada7.2.1.1 – Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: Resolva o problema de valores de contorno y” + λ y = 0, y(0) = 0 e y(L) = 0 Consideremos três casos: λ = 0, λ <0e λ > 0.Caso I: Para λ = 0, a solução de y” = 0 é y = C1x + C2. As condições y(0) = 0 e y(l) = 0implicam, sucessivamente que c2 = 0 e c1= 0. Logo, para λ = 0, a única solução do problemade contorno é a solução trivial y = 0.Caso II: Para λ <0, temos que y = c1cosh − λ x + c2senh − λ x. Novamente y(0) = 0 nosdá c1 = 0 e, portanto, y = c2senh − λ x. A segunda condição y(l) = 0 nos diz quec2senh − λ L = 0. Como − λ L ≠ 0, precisamos ter c2 = 0. Assim y = 0Obs.: − λ parece um pouco estranho, mas tenha em mente que λ < 0 é equivalente a -λ >0.Caso III: Para λ >0, a solução geral de y”+ λy = 0 é dada por y = c1cos λx + c2sen λ x.Como antes, y(0) = 0 nos dá que c1 = 0, mas y(L) = 0 implica c2sen λ L = 0. Se c2 = 0, então, necessariamente, y = 0. Porém, se c2 ≠ 0, então sen λ L = 0. Aúltima condição implica que o argumento da função seno deve ser um múltiplo inteiro de π . n 2π 2 λ L = nπ ou λ= , n = 1, 2, 3... L2 Portanto, para todo real não nulo c2, y = c2sen(n π x/L) é uma solução do problemapara cada n. Como a equação diferencial é homogênea, podemos, se desejarmos, não escrever π 2 4π 2 9π 2c2. Em outras palavras, para um dado número na seqüência, , , ,..., a função L2 L2 L2 π 2π 3πcorrespondente na seqüência sen x, sen x, sen x,... é uma solução não trivial do L L Lproblema original. 71
  • 73. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides7.2.1.2 – Deformação de uma Coluna Fina: No século XVIII, Leonhard Euler dói um dos primeiros matemáticos a estudar umproblema de autovalor quando analisava como uma coluna elástica fina se deforma sob umaforça axial compressiva. Considere uma longa coluna vertical fina de seção transversal uniforme de comprimentoL. Seja y(x) a deflexão da coluna quando uma força compressiva vertical constante ou carga Pfor aplicada em seu topo conforme mostra a figura. Comparando os momentos fletores emqualquer ponto ao longo da coluna, obtemos d2y d2y EL = − Py ou EL 2 + Py = 0 (16) dx dx onde E é o módulo de elasticidade de Yang e I é o momento de inércia de uma seção transversal em torno de uma reta vertical pelo seu centróide.Exemplo: Determine a deflexão de uma coluna vertical fina e homogênea de comprimento Lsujeita a uma carga axial constante P, se a coluna for simplesmente apoiada em ambas asextremidades.Solução: ⎧ d2y ⎪ EI + Py = 0 ⎪ dx 2 O problema de contorno a ser resolvido é: ⎨ y (0) = 0 ⎪ y ( L) = 0 ⎪ ⎩ Observe primeiramente que y = 0 é uma solução perfeitamente aceitável desseproblema. Essa solução tem uma interpretação intuitiva e simples: se a carga P não for grandeo suficiente, não haverá deflexão. A questão é esta, para que valores de P a coluna vaidefletir? Em termos matemáticos: para quais valores de P o problema de contorno dado temsoluções não triviais? ⎧ y"+ λy = 0 ⎪ Escrevendo λ = P , vemos que: ⎨ y (0) = 0 EI ⎪ y ( L) = 0 ⎩é idêntico ao problema dado no item 8.2.1.1. Com base no Caso III daquela discussão vemosque as curvas de deflexão são y n ( x ) = c 2 sen( nπx / L) , correspondentes aos autovaloresλ n = Pn / EI = n 2π 2 / L2 , n = 1,2,3... Fisicamente, isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando aforça compressiva assumir um dos valores Pn = n 2π 2 EI / L2 , n = 1,2,3... Essas forças sãochamadas cargas criticas. A curva de deflexão correspondente a menor carga críticaP1 = π 2 EI / L2 , chamada de carga de Euler, é y1 ( x) = c 2 sen(πx / L) e é conhecida como oprimeiro modo de deformação. As curvas de deflexão correspondentes a n = 1, n = 2 e n = 3 são apresentadas nafigura abaixo. Observe que, se a coluna original tiver algum tipo de restrição física em x = L/2,então a menor carga crítica será P2 = 4π EI / L e a curva de deflexão será aquela da figura 2 2(b). Se a restrição for colocada na coluna em x = L/3 e x = 2L/3, a coluna somente vai se 72
  • 74. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevidesdeformar quando a carga critica P3 = 9π EI / L for aplicada. Nesse caso a curva de deflexão 2 2será aquela da figura (c).7.2.1.3 – Corda Girando: A equação diferencial linear de segunda ordem y"+ λy = 0 (17)ocorre muitas vezes como modelo matemático. Já vimos nas formas d x dt + ( k / m) x = 0 e 2 2d 2 q dt 2 + (1 / LC )q = 0 como modelos para, respectivamente, um movimento harmônicosimples e um sistema massa-mola e a resposta harmônica simples de um circuito em série. Éevidente que o modelo para deflexão de uma coluna fina dado em (16) quando escrito comod 2 y dx 2 + ( P / EL) y = 0 , é igual ao que foi dado em (17). Vamos encontrar a Equação (17)como um modelo que define a curva de deflexão ou a configuração y(x) assumida por umacorda girando. A situação física é análoga aquela de duas pessoas segurando uma corda efazendo-a girar sincronizadamente. Veja as figuras (a) e (b) abaixo. Suponha que uma corda de comprimento L e densidade linear constante ρ (massa por unidade de comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada em x = 0 e x = L. Suponha que a corda seja então girada em torno do eixo x a uma velocidade angular constante ω . Considere uma parte da corda sobre o [ ] intervalo x, x + Δx , onde Δx é pequeno. Se a magnitude T da tensão T, tangencial a corda, for constante ao longo dela, a equação diferencial desejada pode ser obtida igualando-se duas formulações diferentes da força liquida que age sobre a corda [ ] no intervalo x, x + Δx . Em primeiro lugar, vemos na figura (c), que a força liquida vertical é: F = Tsenθ 2 − Tsenθ 1 (18) Se os ângulos θ1 e θ 2 (medidos em radianos) forem pequenos, teremos senθ 2 ≈ tgθ 2 e senθ1 ≈ tgθ1 . Alem disso, como tgθ 2 e tgθ 1 são, por sua vez, inclinações das retas contendo os vetores T2 e T1, podemos também escrever tgθ 2 = y ( x + Δx) e tgθ1 = y ( x) Assim sendo, (18) vai se tornar: F ≈ T [ y ( x + Δx) − y ( x)] (19) 73
  • 75. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides Em segundo lugar, podemos obter uma forma diferente dessa mesma força liquidausando a segunda lei de Newton, F = m.a. Aqui, a massa da corda no intervalo é m = ρΔx ; aaceleração centrípeta de um corpo girando a uma velocidade angular ω em um circulo comraio r é a = rω . Sendo Δx pequeno, podemos tomar r = y. Assim sendo, a força liquida 2vertical é também aproximada por F ≈ −(ρΔx ) yω 2 (20)onde o sinal de subtração justifica-se pelo fato de a aceleração ter o sentido oposto ao do eixoy. Igualando-se (20) e (19), temos: T [ y ( x + Δx) − y ( x)] ≈ −( ρΔx) yω 2 Ou (21) y ( x + Δx) − y ( x) T ≈ − ρω 2 y Δx y ( x + Δx) − y ( x) Para Δx próximo a zero, o quociente da diferença em (21) é Δxaproximado pela derivada segunda de d2y/dx2. Finalmente chegamos ao modelo d2y T 2 = − ρω 2 y dx Ou (22) 2 d y T + ρω 2 y = 0 dx 2 Como a corda esta fixa em ambas as extremidades, x = 0 e y = L, esperamos que asolução y(x) da última equação em (22) também satisfaça as condições de contorno y(0) = 0 ey(L) = 0.AULA 18 – EXERCÍCIOS Movimento Livre AmortecidoMovimento Livre não amortecido 4) Uma massa de 1 quilograma é presa a 1) Um peso de 4 lb é preso a uma mola cuja uma mola cuja constante é 16 N/m e todo constante é 16 lb/pés. Qual é o período o sistema é então submerso em um do movimento harmônico simples? líquido que oferece uma força de 2) Um peso de 24 libras, preso a uma das amortecimento numericamente igual a 10 extremidades de uma mola, distende-a vezes a velocidade instantânea. em 4 polegadas. Ache a equação de Determine as equações do movimento, movimento, considerando que o peso será considerando que: solto do repouso, de um ponto 3 a) o peso é solto do repouso 1 metro polegadas acima da posição de equilíbrio. abaixo da posição de equilíbrio. 3) Um peso de 20 libras distende uma mola b) O peso é solto 1 metro abaixo da em 6 polegadas. O peso é solto do posição de equilíbrio a uma repouso 6 polegadas abaixo da posição de velocidade de 12 m/s para cima. equilíbrio. 5) Um peso de 10 libras é preso a uma mola, a) Determine a posição do peso em t distendendo-a em 2 pés. O peso está π π π π 9π preso a uma dispositivo de amortecimento = , , , , que oferece uma resistência igual a 12 8 6 4 32 β ( β > 0) vezes a velocidade b) Qual será a velocidade do peso instantânea. Determine os valores da 3π quanto t = 16 s? Qual será o constante de amortecimento β de tal sentido do movimento do peso forma que o movimento subseqüente nesse instante? seja: c) Em que instante o peso passa pela a) superamortecido posição de equilíbrio b) criticamente amortecido c) subamortecido 74
  • 76. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesMovimento Forçado Respostas: 6) Um peso de 16 libras distende uma mola 2π 1) em 8/3 pé. Inicialmente, o peso parte do 8 repouso 2 pés abaixo da posição de 1 equilíbrio. O movimento subseqüente em 2) x(t ) = − cos 4 6t lugar em um meio que oferece uma força 4 amortecedora numericamente igual a ½ ⎛π ⎞ 1 ⎛π ⎞ 1 da velocidade instantânea. Qual é a 3) a) x⎜ ⎟ = − , x⎜ ⎟ = − equação do movimento se o peso sofre a ⎝ 12 ⎠ 4 ⎝8⎠ 2 ação de uma força externa igual a f(t) = ⎛π ⎞ 1 ⎛π ⎞ 1 10 cos 3t? x⎜ ⎟ = − , x⎜ ⎟ = , 7) Quando uma massa de 2 quilogramas é ⎝6⎠ 4 ⎝4⎠ 2 presa a uma mola cuja constante de elasticidade é 32 N/m, ela chega ao ⎛ 9π ⎞ 2 x⎜ ⎟ = repouso na posição de equilíbrio. A partir ⎝ 32 ⎠ 4 de t=0 uma força igual a f(t)=68e-2t cos 4t b) 4 pés/s para baixo é aplicada ao sistema. Qual é a equação de movimento na ausência de (2n + 1)π c) t= , n= 0, 1, 2, ... amortecimento? 16 4 1Circuito em Série Análogo 4) a) x(t ) = e − 2t − e −8t 3 3 8) Ache a carga no capacitor em um circuito 2 − 2 t 5 −8 t em série LRC em t=0,01s quando b) x(t ) = − e + e L=0,05h, R=2 Ω , C=0,01f, E(t)=0V, 3 3 q0=5C e i(0)=0A. Determine a primeira 5) a) β > 5/2 b) β = 5/2 vez em que a carga sobre o capacitor é c) 0 < β < 5/2 igual a zero. 9) Ache a carga no capacitor, a corrente no −t ⎛ 4 47 64 47 ⎞ circuito em série LRC e a carga máxima x(t ) = e 2 ⎜ − cos t− sen t⎟ + ⎜ 3 2 3 47 2 ⎟ no capacitor quando:L= 5/3h R=10 Ω , 6) ⎝ ⎠ C=1/30f, E(t)=300V, q(0)=0C, i(0)=0A. 10 10) Determine a carga no capacitor em um + (cos 3t + sen3t ) 3 circuito em série LRC, supondo L = ½ h, R=10 Ω , C = 0,01f, E(t) = 150V, 1 9 1 q(0)=1C e i(0) = 0A. Qual é a carga no x(t ) = − cos 4t + sen4t + e − 2t cos 4t − capacitor após um longo período? 7) 2 4 2Corda Girando − 2t 11) Considere o problema de contorno − 2e sen4t introduzido na construção do modelo matemático para a forma de uma corda 8) 4,1078C; 0,0509s 2 9) q(t)=10+10e-3t(cos3t+sen3t) d y i(t) = 60e-3tsen3t; 10,432 C T 2 + ρω 2 y = 0 girando: dx 1 3 3 10) q(t ) = − e −10t (cos10t + sen10t ) + ; C y (0) = 0, y ( L) = 0 2 2 2 nπ 1 11) Wn = L P n = 1, 2, 3… nπx y = sen L 75
  • 77. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 19 8 - TRANSFORMADA DE LAPLACE8.1 – INTRODUÇÃO: A transformação de Laplace é um método de resolução de equações diferenciais e doscorrespondentes problemas de valor inicial e de valor de contorno. O processo de resoluçãoconsiste em três etapas principais: i. Um problema “difícil” é transformado numa equação “simples” (equação subsidiária) ii. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas. iii. A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado. Desta maneira, a transformação de Laplace reduz o problema de resolução de umaequação diferencial a um problema algébrico. A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujopapel é análogo ao das tabelas de integras na integração. Essas tabelas também são úteis naprimeira etapa. Seja f(x) definida para todo x ≥ 0, sua transformada F(s) é dada por: ∞ F (s) = L( f ( x)) = ∫ e −sx f ( x)dx (1) 0 A função F(s) é chamada a transformada de Laplace da função original f(x) e serárepresentada por L (f).Notação: Representaremos a função original por uma letra minúscula e sua transformada pelamesma letra maiúscula, de modo que F(s) designe a transformada de f(x).Exemplos: - Seja f(x) = 1 quando x >0. Determinar F(s).- Seja f(x) = x quando x >0. Determinar F(s). 76
  • 78. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides8.2 – PRINCÍPIO DA LINEARIDADE: Se F(s) = L(f(x)) e G(s) = L(g(x)) então para C1 e C2 constantes, L(C1f(x) +C2g(x)) =C1F(s) + C2G(s)Exemplos:- h(x) = 3 + 4x H(s) = L(h(x)) =- f(x) = eax, onde a é qualquer, logo L (eax) =8.3 – TABELA: Na tabela abaixo encontramos uma pequena lista de algumas funções elementaresimportantes e suas transformadas de Laplace (essas transformadas encontram-se no formulárioPrandiano e também encontra-se uma lista mais completa na Tabela Schaum)f1 ( x) = 1 1 f12 ( x) = cos ax s → L [ f1 ( x)] = → L [ f 12 ( x)] = s s + a2 2f 2 ( x) = x 1 f13 ( x) = e bx . cos ax s−b → L [ f1 ( x)] = 2 → L [ f13 ( x)] = s ( s − b) 2 + a 2f 3 ( x) = x 2 2! f14 ( x) = x cos ax s2 − a2 → L [ f 3 ( x)] = 3 → L [ f 14 ( x)] = s (s 2 + a 2 ) 2f 4 ( x) = x n n! f15 ( x) = 1 − cos ax a2 → L [ f 4 ( x)] = → L [ f 15 ( x)] = s n +1 s( s 2 + a 2 )f 5 ( x) = e ax 1 f16 ( x) = e − ax cos bx s+a → L [ f 5 ( x)] = → L [ f 16 ( x)] = s−a ( s + a) 2 + b 2f 6 ( x) = xe ax 1 f17 ( x) = cosh ax s → L [ f 6 ( x)] = → L [ f 17 ( x)] = 2 ( s − a)2 s − a2f 7 ( x) = x n ⋅ e − ax n! f18 ( x) = x cosh ax s2 + a2 → L [ f 7 ( x)] = → L [ f 18 ( x)] = ( s + a) n +1 (s 2 − a 2 ) 2f 8 ( x) = sen ax a x2 s 3 + 3a 2 s → L [ f8 ( x)] = f19 ( x) = cosh ax → L [ f 19 ( x)] = s + a2 2 2 (s 2 − a 2 ) 2f 9 ( x) = x sen ax 2as f 20 ( x) = senh ax a → L [ f 9 ( x)] = → L [ f 20 ( x)] = 2 (s + a 2 )2 2 s − a2f10 ( x) = e ax senbx b senh ax s → L [ f10 ( x)] = f 21 ( x) = → L [ f 21 ( x)] = 2 ( s − a) 2 + b 2 2a (s + a 2 ) e ax − e bx 1 f 22 ( x) = lnx − γ − lnsf11 ( x) = → L [ f11 ( x)] = → L [ f 22 ( x)] = a−b ( s − a)( s − b) s 77
  • 79. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides8.4 - TRANSLAÇÃO E DESLOCAMENTO: Se F(s) = L (f(x)) L (eaxf(x)) = ? s L(cos 2 x) = s +4 2 L (e-xcos 2x)) = 78
  • 80. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 19 – EXERCÍCIOS Respostas: 3 4Determine a transformada de Laplace das 1) F ( s ) = + s s3seguintes funções: 2 3s 1) f(x) = 3 + 2x2 2) F ( s ) = + 2 s +1 s + 4 2 2) f(x) = 2 senx + 3 cos2x 4 3 4 3) F ( s ) = 3 − 2 + 3) f(x) = 2x2 – 3x + 4 s s s 4) L (xe4x) 1 4) F ( s ) = 5) L (e-2xsen5x) ( s − 4) 2 5 6) L (x cos ax) 5) F ( s ) = -x ( s + 2) 2 + 25 7) L (e x cos 2x) s2 − a2 8) f(x)=x2.e2x 6) F ( s ) = (s 2 + a 2 ) 2 9) f(t) = t cost ( s + 1) 2 − 4 10) f(t) = t sen2t 7) F ( s + 1) = 11) f(t) = 2t4 [(s + 1) 2 +4 ] 2 2 12) f(t) = t5 8) F ( s − 2) = ( s − 2) 3 13) f(t) = 4t – 10 s2 −1 14) f(t) = 7t + 3 9) F ( s ) = ( s 2 + 1) 2 15) f(t) = t2 + 6t – 3 4s 16) f(t) = - 4t2 + 16t + 9 10) F ( s ) = 2 ( s + 4) 2 17) f(x) = x3 + 3 cos2x 48 18) f(x) = 5e2x + 7e-x 11) F ( s ) = 5 s 19) f(t) = t2 – e-9t + 5 120 12) F ( s ) = 6 20) f(t) = 4t2 – 5sen3t s 21) f(t) = cos5t + sen2t 4 10 13) F ( s ) = 2 − s s 7 3 14) F ( s ) = 2 + s s 2 6 3 15) F ( s ) = 3 + 2 − s s s − 8 16 9 16) F ( s ) = 3 + 2 + s s s 6 3s 17) F ( s ) = 4 + 2 s s +4 5 7 18) F ( s ) = + s − 2 s +1 2 1 5 19) F ( s ) = 3 − + s s+9 s 8 15 20) F ( s ) = 3 − 2 s s +9 s 2 21) F ( s ) = 2 + 2 s + 25 s + 4 79
  • 81. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 208.5 – TRANFORMADA INVERSA DE LAPLACE: A função original f(x) em L{ f ( x )} = F ( s ) é chamada de transformada inversa ou,simplesmente, a inversa de F(s), e será representada por L -1 (F), assim, escreveremosL−1 {F ( s )} = f ( x)Exemplos: −1 ⎧ 2s ⎫1) L ⎨ 2 ⎬ ⎩ ( s + 1) ⎭ 2 −1 ⎧ 1 ⎫2) L ⎨ ⎬ ⎩s + 9⎭ 2 −1 ⎧ 4 ⎫3) L ⎨ ⎬ ⎩s − 2⎭ 80
  • 82. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides8.5.1 – MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS: P( s) Qualquer função racional , onde P(s) e Q(s) são polinômios, com o grau de P(s) Q( s )menor do que o grau de Q(s), pode ser escrita como soma de funções racionais (frações A Bs + cparciais) tendo a forma , onde r = 1, 2, 3,... (as + b) (as + bs + c) r r Encontrando a transformada inversa de Laplace de cada uma das frações parciais, −1 ⎧ P( s) ⎫podemos encontrar L ⎨ ⎬ ⎩ Q( s) ⎭Exemplos: 3s 2 − 4s + 2 As + B Cs + D E a) = 2 + 2 + ( s + 2s + 4) ( s − 5) ( s + 2s + 4) 2 2 2 ( s + 2s + 4) ( s − 5) 2s − 5 A B C D b) = + + + (3s − 4)(2s + 1) 3 (3s − 4) (2s + 1) 3 (2s + 1) 2 (2s + 1) As constantes A, B, C, D,... podem ser encontradas eliminando os denominadores eequacionando potências semelhantes de s em ambos os lados da equação resultante.Exemplos: 11) Dado F ( s ) = , qual a função f(t) que gerou F(s)? ( s − a )( s − b) 81
  • 83. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides ⎧ −1 2s 2 − 4 ⎫2) L ⎨ ⎬ ⎩ ( s + 1)( s − 2)( s − 3) ⎭ 82
  • 84. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides ⎧ −1 s 2 + 2s + 3 ⎫3) L ⎨ 2 ⎬ ⎩ ( s + 2 s + 2)( s + 2 s + 5) ⎭ 2AULA 20 – EXERCÍCIOS −1⎧ 6s ⎫1) L ⎨ ⎬ ⎩ s − 16 ⎭ 2 −1 ⎧ 1 ⎫2) L ⎨ 2 ⎬ Respostas: ⎩ s − 3⎭ 1) 6 cosh 4 x −1 ⎧ 5s + 4 2 s − 18 24 − 30s ⎫3) L ⎨ − 2 + ⎬ 3senh 3 x ⎩ s 3 s +9 s4 ⎭ 2) 3 −1 ⎧ 5s 2 − 15s − 11⎫ 3) 4 x − 13 x + 5 x − 2 cos 3 x + 6 sen3 x 3 24) L ⎨ 3⎬ ⎩ ( s + 1)( s − 2) ⎭ 1 −x 7 2 2x 1 2x 4) − e − x e + 4 xe + e 2x −1 ⎧ 3s + 1 ⎫ 3 2 35) L ⎨ ⎬ 5) 2e − 2 cos x + senx x ⎩ ( s − 1)( s + 1) ⎭ 2 83
  • 85. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 218.6 - TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS E INTEGRAIS8.6.1 - Transformada de Laplace de Integrais: Se L(f(t)) = F(s) temos que { t } L ∫ f (u)du = 0 F(s) sExemplo:1) L {∫ sen2udu} 0 t2) L {∫ e t 0 3t cos tdt } 84
  • 86. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides8.6.2 - Transformada de Laplace de Derivadas: L{ f (t )} = s.F ( s ) − f (0)generalizando: { } [ L f n (t ) = s n F ( s) − s n −1 f (0) + s n − 2 f (0) + ... + f n −1 (0) ]Exemplo: y” + 6y’ + 8y = e-3t – e-5t y(0) = 0 y’(0) = 0 85
  • 87. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 21 – EXERCÍCIOS1) L {∫ tsentdt} t 02) y’ – y = 1 com y(0) = 03) 2y’ + y = 0 com y(0) = - 34) y’ + 6y = e4t com y(0) = 25) y’ – y = 2cos5t com y(0) = 06) y” + 4y = sen2t com y(0) = 10 e y’(0) = 07) y” + 4y’ + 4y = t2.e-2t com y(0) = 0 e y’(0) = 08) y” + 5y’ + 4y = 0 com y(0) = 1 e y’(0) = 09) y” – 4y’ = 6e3t – 3e- t com y(0) = 1 e y’(0) = - 1Respostas: 21) F ( s ) = ( s + 1) 2 2 12) F ( s ) = s −s 2 −63) F ( s ) = 2s + 1 2s − 74) F ( s ) = s + 2s − 24 2 2s5) F ( s ) = s + 25s − s 2 − 25 3 2 10 s6) F ( s ) = + 2 ( s + 4) 2 2 ( s + 4) 27) F ( s ) = ( s + 2) 5 s+58) F ( s ) = s + 5s + 4 2 s 3 − 7 s 2 + 10s + 309) F ( s ) = ( s − 3)( s + 1)( s 2 − 4s ) 86
  • 88. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides AULA 228.7 - APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS8.7.1 - Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes: A transformada de Laplace é útil na resolução de equações diferenciais ordinárias comcoeficientes constantes. Por exemplo, suponha que queiramos resolver a equação diferenciallinear de segunda ordem y"+αy´+ β y = f (t )onde α e β são constantes, sujeita às condições de contorno y(0) = A e y´(0) = B, onde A eB são constantes dadas. Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados e usando ascondições de contorno obtemos uma equação algébrica para a determinação de L{y (t )} = Y ( s ) .A solução desejada é então obtida encontrando a transformada inversa de Laplace de Y(s). Ométodo é facilmente estendido a equações diferenciais de ordem mais alta.Exemplo: y” + 6y’ + 8y = e-3t – e-5t com y(0) = 0 e y’(0) = 0 87
  • 89. Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides8.7.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis: A transformada de Laplace também pode ser usada na resolução de algumas equaçõesdiferenciais ordinárias nas quais os coeficientes sejam variáveis. Uma particular equaçãodiferencial onde o método resulta útili é essa, na qual os termos tem a forma t y (t ) e da m n L{y n (t )} dmqual a transformada de Laplace é ( −1) m m dsExemplo: ty” +y´+ 4ty = 0 com y(0) = 3 e y´(0) = 0 88
  • 90. Equações Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 22 – EXERCÍCIOS −t1) y"−3 y´+2 y = 6e com y(0) = 3 e y´(0) = 32) y” – 4y = 8t2 – 4 com y(0) = 5 e y´(0) = 103) y” + 2y´ + y = 2cos t com y(0) = 3 e y´(0) = 04) y ´´´ − 3 y"+3 y´− y = t 2 e t com y(0) = 1, y´(0) = 0 e y”(0) = -25) y” – ty´ +y = 1 com y(0) = 1 e y´(0) = 2Respostas1) y = 2e2t + e-t2) y = - 2t2 + 5e2t3) y = (2t + 3)e-t + sen t t 2et t 5et4) y = e − te − + t t 2 605) y = 1 + 2t 89