Apostila

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Apostila

  1. 1. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA  Potenciação  Radiciação  Fatoração  Logaritmos  Equações  Polinômios  Trigonometria
  2. 2. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA PotenciaçãoO que é preciso saber (passo a passo)Seja:O expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada, isto é:Ex 1 ) 23 = 2 . 2 . 2 = 8Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8.Ex 2 ) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8Veja:-23 é o mesmo que -1 . 23 = -1 . 8 = -8(-2)2 é o mesmo que (-1 . 2)2 = [( -1 ) 2 . 22 ] = 1 . 4 = 4Então fica fácil explicar porque:Exercício:Será que a afirmação ( -2 ) n = - 2 n é verdadeira para todo “n” natural?É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja, se “n”é par ou ímpar.1º Caso: Se “n” é par temos: 1
  3. 3. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA2º Caso: se “n” é ímpar temos:Propriedades da potenciaçãoPropriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes: m p m+p a .a =aVeja:a m+p = a m . ap2n+3 = 2 n . 23 = 2 n . 82n+p+q = 2 n . 2p . 2qObs: caso existir uma série de termos, não se esqueça de colocar o termo comum em evidência.Ex: 2n+2 + 2n+3 + 2 n+12n . 22 + 2 n . 23 + 2 n . 212n( 22 + 23 + 2)2n( 14 )Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem serrepresentados na mesma base. Na multiplicação, use:8.49 . 275 . 25Os quais serão convertidos em:8 . 4 = 2 3 . 22 = 259 . 27 = 32 . 33 = 355 . 25 = 51 . 52 = 53Propriedade: em divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se osexpoentes. 2
  4. 4. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICAInteressantíssimo: você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1?a0 = 1 (a ≠ 0)Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejam iguais.Conclusão: a0 = 1 é uma consequência da propriedadePropriedade: (a m)p = a mpO expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada.Ex: (a3)2 = a6ou(a3)2 = a3 . a3 = a3+3 = a6Ex: (a2)4 = a8ou(a2)4 = a2 . a2 . a2 . a2 = a8Propriedade: ( am . b p ) q = amq . b pqEx: ( 23 . 52 )4 = 212 . 58Interessantíssimo: em física e química é comum às operações básicas serem efetuadas através depotência de 10.Obs: o coeficiente da potência de 10 sempre deverá ser um número no intervalo de 1 a 9. p . 10n,isto é, 1 < p < 9. 3
  5. 5. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA RadiciaçãoO que é preciso saberSeja: 4
  6. 6. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICASe “n” é ímpar, então:Se “n” e “p” tem representação par, então a raiz enésima de “xp” sempre será positiva.Propriedades da radiciação 5
  7. 7. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICAImportantíssimo: quando existir apenas produto e (ou) divisão de radicais é preferíveltransformar todas as raízes em forma de potência. 6
  8. 8. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA 7
  9. 9. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA FatoraçãoFatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadasfatores.Ex: ax + ay = a.(x+y)Existem vários casos de fatoração como: 1) Fator Comum em evidênciaQuando os termos apresentam fatores comunsObserve o polinômio: ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatoradaExercícios : Fatore:a) bx + by - bz = b.(x+y-z)b) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y) 2) Fatoração por agrupamentoConsiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.Como por exemplo: ax + ay + bx + byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem emcomum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + b.(x+y)Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b)Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)Exs: Fatore: a) x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma comum comum fatorada 3) Fatoração por diferença de quadrados:Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmenteextraindo a raiz quadrada de cada quadradoAssim:Exercícios: Fatore: 8
  10. 10. APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICAa)b)c)Note que é possível fatorar a expressão duas vezes 4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadradoperfeito.Por exemplo, os trinômios ( )e( ) são quadrados perfeitos porquesão obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.Assim: | | | | 2x 3y |__________| | 2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo dePortanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. = » forma fatorada |_______________| SinalLogo: = » forma fatorada |_______________| SinalExs:a)b)*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:Exercícios:a)b) 9

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