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    08 eac proj vest mat módulo 2 geometria plana 08 eac proj vest mat módulo 2 geometria plana Document Transcript

    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno ViannaSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS: Exemplo 2: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm,possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os ↔lados homólogos proporcionais. AC = 13 cm e BC = 15 cm. A reta DE paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm. Vamos calcular AD =x e AE =y A x y 13 12 E D Dois lados homólogos (homo = mesmo , logos = 5lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulose ambos são opostos a ângulos congruentes. B C 151.1) Razão de Semelhança: Sendo k a razão entre os lados homólogos, x y 5AB AC BC DE // BC ⇒ ∆ADE ≈ ∆ABC ⇒ = = = = =k , k é chamado razão de 12 13 15DE DF EF 13semelhança dos triângulos. x=4 e y= 3 Logo: AD = 4cm e AE = 13 / 3 cmExemplo 1 : Sendo dado que os triângulos ABC e A’B’C’ sãosemelhantes, que os lados do segundo têm medidas A’B’ = 3cm , A’C’ = 7 cm e B’C’ = 5 cm e que a medida do lado AB 1.3) Casos Especiais de Semelhançado primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança dostriângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo. 1º Caso) (AA) Dois triângulos são semelhantes quando possuírem dois ângulos em comum. Exemplo 3: Calcule x e y nos triângulos abaixo: x y 6Então: = = =2 Logo x = 14 cm e y =10cm 7 5 3AC = 14 cm e BC = 10 cm A soma dos ângulos internos garante que A = DOBS: Se dados dois triângulos temos k = 1, os triângulos são 3 y 5 1congruentes. Logo: = = = x=6 e y=4 x 8 10 21.2) Teorema Fundamental da Semelhança : Se uma reta é paralela a um dos lados de um 2º Caso) (LpLpLp) Dois triângulos são semelhantes se todos ostriângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, seus lados homólogos proporcionais.então o triângulo que ela determina é semelhante aoprimeiro. A 3º Caso) (LpALp) Dois triângulos são semelhantes se dois lados de um dos triângulos são proporcionais aos seus homólogos D E do outro triângulo e os ângulos compreendidos entre estes lados forem congruentes. B C Se DE // BC ⇒ ∆ADE ≈ ∆ABC 2011 1
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna1.4) Observação Importante: c)Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então: - a razão entre os lados homólogos é k ; - a razão entre os perímetros é k ; - a razão entre as alturas é k ; - a razão entre as medianas é k ; ...-a razão entre dois segmentos lineares homólogos é k ; 2 - a razão entre as áreas é k .Se dois sólidos são semelhantes e a razão de semelhança é k,então: 02) (Enem-98) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de 2 altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a - a razão entre as áreas de faces homólogas é k . 3 sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, - a razão entre os volumes é k . a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: (A) 30cm (B) 45cm (C) 50cm (D) 80cm (E) 90cm 03) (ENEM-09-prova anulada) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.Cubo ABCDEFGH (I) Cubo PQRSTUVX (II)Aresta = a Aresta = k . aPerímetro de ABCD = 2pI= 4a Perímetro de PQRS= 2pII= 4ka 2pII = k . 2pIDiagonal = AG Diagonal = PV = k . AG 2 2 2ÁREA DE ABCD = AFACE I = a ÁREA DE PQRS = k a 2 AFACE II = k . AFACE I 3 3 3VOLUME I = VI = a VOLUME II = VII = k a 3 VII = kEXERCÍCIOS01) Calcule x e y nos triângulos abaixo:a)b) Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade soa representadas por d e d´, respectivamente, que a distância da 2011 2
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Viannaesfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano RELAÇÕES MÉTRICAShorizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada NO TRIÂNGULO RETÂNGULOpor b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. AA razão entre b e a será dada por: b c b d´ b 2d b 3d ´(A) = (B) = (C) = h a c a 3c a 2c n m b 2d ´ b 2d ´ B C(D) = (E) = H a 3c a c a04) (UFFR-05) Observe a figura abaixo que demonstra um A Apadrão de harmonia, segundo os gregos. b c h h I II n H H m C B A bHá muito tempo os gregos já conheciam o número de ouro c 1+ 5Φ= que é aproximadamente 1,618. Tal número foi III 2durante muito tempo “padrão de harmonia”. Por exemplo, B Cao se tomar a medida de uma pessoa (altura) e dividi-la pelamedida que vai da linha umbilical até o chão, vê-se que a arazão é a mesma que a da medida do queixo até a testa, em Observe que:relação à medida da linha dos olhos até o queixo, e é igual ao h n  m = h ⇒ h = m.n 2número de ouro. Considere a cantora Ivete Sangalo,harmoniosa, segundo os padrões gregos. h n c h c Assumindo que a sua distância da linha umbilical até o chão é I ≈ II ⇒ = = ⇒  = ⇒ b.h = c.m m h b m b 22( 5 − 1)  n = c ⇒ c.h = b.nigual a metros, determine a altura da mesma. h b 25   h n  b = c ⇒ ok05) (UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQ,inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12 cm e a altura h n c h c relativa a esse lado mede 8 cm. Sejam x e z os comprimentos I ≈ III ⇒ = = ⇒  = ⇒ a.h = b.cde MN e MQ, respectivamente. b c a b a  n = c ⇒ c 2 = a.n c a   h m  = ⇒ ok c b h m b   h b II ≈ III ⇒ = = ⇒  = ⇒ ok c b a  c aa) Exprima a altura z do retângulo em função da base x. m b = ⇒ b 2 = a.m b  ab) Calcule os valores de x e z para os quais a área S doretângulo é a maior possível. 2011 3
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno ViannaOu seja: Dado um triângulo retângulo de: 07) (Enem-2006) Na figura abaixo, que representa o projetoHipotenusa : a de uma escada com 5 degraus de mesma altura, oCatetos : b e c comprimento total do corrimão e igual a:Projeções : m e nAltura: hTeremos: 21) h = m . n 2) a . h = b . c 2 23) b = a . m 4) c = a . nsomando-se “(3)” com “(4)” teremos:b 2 = a.m 2 ⇒ am + an = b 2 + c 2 c = a.n⇒ a ( m + n) = b 2 + c 2⇒ a.a = b 2 + c 2 (A) 1,8 m. (B) 1,9 m. (C) 2,0 m.⇒ a 2 = b 2 + c 2 (teorema de Pitágoras ) (D) 2,1 m. (E) 2,2 m.Conseqüências Importantes: 08) (UERJ-99-1ª fase) Observe a figura:1) Diagonal de um quadrado : d =l 2 l 32) Altura de um triângulo eqüilátero: h= 2Resumo:1) c . h = b . n 2) b . h = c . m 2 23) b = a . m 4) c = a . n 25) h = m . n 6) a . h = b . c 2 2 2 2 2 27) a = b + c 8) 1 / h = 1 / b + 1 / cExercícios Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu06) (UFF 1999) - A figura abaixo representa o quadrado fazer uma brincadeira:MNPQ de lado ℓ = 4cm. 1º) esticou uma linha , cujo comprimento é metade da altura dela; 2º) ligou B ao seu pé no ponto C; 3º) fez uma rotação de com centro B, obtendo o ponto D sobre ; 4º) fez uma rotação com centro C, determinando E sobre . Para surpresa da modelo, é a altura do seu umbigo. Tomando como unidade de comprimento eSabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, ovalor da medida do segmento YK é: considerando = 2,2 , a medida da altura do umbigo da modelo é:(A) 3 2 cm (B) 2 3 cm (C) 2 2 cm (A) 1,3 (B) 1,2 (C) 1,1 (D) 1,0(D) 2 cm (E) 2 2 cm 2011 4
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna09) (Uerj-2010-2ªfase) Observe a figura abaixo, que 12) (UFF- 2010- 1ª fase)representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementosos pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo,dividido em quatro partes para formar um jogo. metron, significa “medida”. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1,O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:retângulo cuja base seja maior que a altura. Oretângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problemaproposto no jogo. 13) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB . Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:10)(UFRJ-PE-99) Na figura, o triângulo AEC é equilátero eABCD é um quadrado de lado 2 cm. (A) 0,300 (B) 0,325 (C) 0,375 (D) 0,450 (E) 0,500 14) (OBM-99-1F) Um quadrado ABCD possui lado 40cm. Uma circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. O raio desta circunferência é:Calcule a distância BE.11) (OBM-2004-1ªF) Dois espelhos formam um ângulo de 30 o (A) 20cm (B) 22cm (C) 24cmno ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido (D) 25cm (E) 28cmparalelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outroespelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de umacerta quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV 15) (Escola Naval - 1990) Os centros de dois círculos de raiostêm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo 1 e 4 distam 13 entre si. O segmento da tangente comumraio de luz, em metros, é interna compreendido entre os pontos de tangência mede:(A) 2 (A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 8 S A(B) 2 + 3(C) 1 + 2 + 3(D) ( 2 1+ 3 ) 30° V(E) 5 3 2011 5
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno ViannaCÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIADefinição 1: Dado um ponto O e uma distância r. Chamamosde circunferência o conjunto de pontos P que tenham C C ≅ 3,14 → =π →distância r de O. d 2r *P r → C = 2πr O* Comprimento do arco AB:Definição 2: Dado um ponto O e uma distância r. Chamamos C = 2πr − − − 360ºde círculo o conjunto de pontos P que tenham distância AB − − − αmenor que r do ponto O. C 2πr 360º 2πrα A = ⇒ AB = ⇒ AB α 360 O* πrα ⇒ AB = B 180º ExercíciosAB é diâmetro AO é raio AC é corda 16) (UERJ) O Ceará atravessa a maior seca do século. Há mais de cinco meses. Fortaleza vem sofrendo racionamento deI) Ângulos na Circunferência : água e estava ameaçada por um colapso no fornecimento, em setembro. Para combater este problema, o Governo do 1) Ângulo Central: Estado construiu a maior obra da história do Ceará: o CANAL Ângulo central relativo a uma circunferência que DO TRABALHADOR, ligando o rio Jaguaribe ao Açude Pacajus.tem o vértice no centro da circunferência é o ângulo que tem Com 115 quilômetros de extensão. Para se ter uma idéia dao vértice no centro da circunferência. dimensão desta obra, basta dizer que ela é 18 quilômetros A maior que o canal do Panamá em extensão e que representa um grau da curvatura da Terra.(Revista VEJA, 22/09/93) ac Considere a Terra esférica e o canal construído como parte de um círculo máximo. Com essas informações e usando o valor 3 para π, o raio da Terra em Km, seria: B ∩ (A) 20.700 (B) 13.800 (C) 10.350 a c = AB (D) 6.900 (E) 6.300 17) (UERJ-06-2ºex) 2) Ângulo Inscrito : Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é umângulo que tem o vértice na circunferência e os lados sãosecantes a ela. A ai No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois B atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos ∩ diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles AB ai = segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e 2 2011 6
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Viannaraio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos 20) (UERJ-2003-1ª fase)-José deseja construir, com tijolos,centros são P e Q. um muro de jardim com a forma de uma espiral de doisConsiderando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver centros, como mostra a figura abaixo. 3percorrido do seu trajeto de A para B, a distância entre 4eles será igual a:(A) 0,4 R (B) 0,6 R (C) 0,8 R (D) 1,0 R18) (UFF-07-1ªfase) No Japão, numerosos lugares deperegrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletasmatemáticas de Sangaku, onde estão registrados belosproblemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um metro um do outro. A espiral temexemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.tangenciam. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: (A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130 21) (UFF-96) O quadrilátero MNPQ está inscrito no círculo de centro O e raio 10,0 cm conforme a figura abaixo. Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações: , pode-se concluir que é igual a:(A) 0,65 (B) 0,6555... (C) 0,666... P(D) 0,7 (E) 0,7333... Sabendo-se que a diagonal MP passa por O, o valor de MH , em cm, é:19) (UFRJ-99-PE) Na figura a seguir, os círculos de centros O1e O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm. (A) 4,0 (B) 4,5 (C) 4,8 (D) 5,0 (E) 5,3Determine o comprimento da curva ABC. 2011 7
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno ViannaPolígonos Regulares – Inscritos e Circunscritos Em função do raio (R) da circunferência circunscrita: Um polígono convexo é regular se, e somente se, Polígonos Lados Apótematem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos → Triângulo l3 = R 3 a3 = Rinternos congruentes. Eqüilátero 2Assim o único triângulo regular é o eqüilátero. →Quadrado l4 = R 2 R 2E o único quadrilátero regular é o quadrado. a4 = 2► Todo polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo . →Hexágono l6 = R R 3 Regular a6 = 2► Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência. Nomenclatura:► Todo polígono regular é circunscritível a umacircunferência. R – Raio do círculo circunscrito r – Raio do círculo inscrito► Todo polígono regular que possui número par de lados, ln – lado do polígono de n ladospossui diagonais passando pelo seu centro(as que unem an – apótema do polígono de n ladosvértices opostos). 2► Todo polígono regular que possui número ímpar de lados,  ln  R = (an) +   2 2 Relações:não possui diagonais passando pelo seu centro. 2Centro do polígono regular → é o centro comum das 22) (UFF-97) - A razão entre o lado do quadrado inscrito e ocircunferências circunscrita e inscrita no polígono. lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio R é:Ângulo cêntrico → é o ângulo central da circunferência quecircunscreve este polígono, formado pelos raios que unem ocentro da circunferência a vértices consecutivos do polígono. 1 1 3 2 (A) (B) (C) (D) (E) 2 3 2 3 2 360ºac = n 23) (UERJ-2010-2º ex qual) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular queAPÓTEMA → é o segmento com uma extremidade no centro tangencia as faces do prisma.e a outra no ponto médio de um lado. E D ac C F ai O Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a: A B MM ponto médio do lado ABOD e OE → raios da circunferênciaO → centro da circunferência e do hexágono regularOM → Apótemaac → ângulo cêntricoai → ângulo interno do hexágono regular. 2011 8
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno ViannaÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS : Trapézio: b Retângulo: a h b B (b + B). h A= 2 A = a.b Polígono Regular: Quadrado: x x 2 A=x A = p.a Paralelogramo: Circunferência: r h b A = π.r 2 A = b.h Setor Circular: Triângulo: h b α em graus α em radianos b. h πr α 2 α r2 A= Aset = ou Aset = 2 360º 2 2 l 3 (eqüilátero : ) Segmento Circular: 4 Losango: d1 Aseg = Aset − A∆ d2 r2 Aseg = (α − senα ) 2 α em radianos d1. d 2 A= 2 2011 9
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna Coroa Circular 25) A figura 1. representa uma folha de cartolina, com a parte da frente cinza e a de trás branca. Desta cartolina, foram retirados através de cortes, dois triângulos retângulos (fig .2). Obtendo assim um triângulo eqüilátero (fig. 3). Após isso foram dobrados para dentro, três triângulos eqüiláteros menores (com lado igual ¼ do lado do ∆ grande) (figuras 4 e 5). Sabe-se que a área cinza da última figura é de 360 3 cm 2 . ( Aco = π R 2 − r 2 ) Principais Fórmulas sobre áreas de triângulosFórmula de Heron : A = p( p − a)( p − b)( p − c) Daí podemos afirmar que o perímetro da cartolina retangular p semiperímetro da fig. 1 é de:Fórmula do Seno: A= bc ⋅ senα (A) ( 48 2 + 3 cm) 2 (B) 480 3 cm (C) ( ) 24 1 + 3 cm (D) 24 (2 + 3 ) cmTriângulo Circunscrito: A = p . r (E) 240 3 cm 26) (UFRJ-2001-PNE) As cinco circunferências da figura são a.b.c tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma dasTriângulo Inscrito: A = 4R exteriores também tangencia duas das demais exteriores.Exercícios24) (Unirio) Considere um tablado para a Escola de Teatro daUNIRIO com a forma trapezoidal abaixoQuantos metros quadrados de madeira serão necessáriospara cobrir a área delimitada por esse trapézio? Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1,(A) 75 m 2 2 (B) 36 m 2 2 (C) 96 m (D) 48 m (E) 60 m 2 calcule a área da região sombreada situada entre as cinco circunferências. 2011 10
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna27) (UFRJ-96-PE) O hexágono ABCDEF é construído de modo Considere u a unidade de área equivalente ao menorque MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN quadrado que pode ser construído com vértices em quatrosejam quadrados. pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo elástico. 30) (AMAM-05) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado “ a ”. A área hachurada, limitada por quartos de circunferências centradas nos vértices do quadrado e passando pelo seu centro, é: (A) a 2 (π − 2 ) A D 2 (B) a 2 (π − 3 )A área do hexágono ABCDEF é igual a (3 + 3 ) cm2 2Determine o comprimento, em centímetros, do lado do (C) a 2 (π − 2 )triângulo MNP.28) (UFRJ-2004-PE) A figura a seguir representa a planta de 3 B Cum terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados a 2 (π − 2 )40m , 50m , 35m , 45m e 40m. Em toda a volta deste (D)terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: 4 πa 2a distância de qualquer ponto da borda desta calçada aoterreno é exatamente 2m) (E) 3 31) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.Determine a área total da calçada.29) (UERJ-2008-ESP) Um tabuleiro retangular com pregosdispostos em linhas e colunas igualmente espaçadas foiusado em uma aula sobre área de polígonos. A figura abaixo representa o tabuleiro com um elásticofixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco. As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo. 2011 11
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna 33) (UFRJ-2008-PNE) A, B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1 , C2 e D são colineares, como indica a figura a seguir. Se S1 indica a área do triângulo ABC1 e S2 , a área do triângulo ABC2 , e sabendo que DC1 = 7, C1C2 = 9 e S2 = 4, determine S1.Considere que João recortou a dobradura referente à figurada etapa 3 na linha que corresponde à corda AB indicada 34) (UFF-2ªFASE(I,J)-2009) Na figura ao lado, os pontos D, E eabaixo. F pertencem, respectivamente, aos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Eles foram escolhidos de tal forma que o quadrilátero ADEF é um losango. Sabe-se que o perímetro deste losango é 20 cm e que o segmento AB mede 7 cm. Determine: a) a medida do lado AD do losango ADEF; b) a medida do segmento AC;Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedaço recortado, quehavia formado o seguinte polígono: ( c) a área do losango ADEF, sabendo que cos FAD = 3 ˆ ) 5Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte.32) (UFRJ-2009-PE) Um disco se desloca no interior de umquadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seuslados.Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados 2divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos 35) (uerj-05) Um canteiro de flores possui 25 m de área epontos que foram encobertos pela passagem do disco e a tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foiregião B dos pontos que não foram encobertos. O raio do dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmentedisco mede 2cm e o lado do quadrado mede 10cm. espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura ao lado. Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura?Determine a área da região B. 2011 12
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna36) (ENEM-08) O tangram é um jogo oriental antigo, uma GABARITOespécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 01) a) 5 e 4 b) 9 e 32/3 c) 7 e 10quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se umquadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando- 02) B 03) B 04) 1,76se todas as sete peças, é possível representar uma grandediversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 05) a) z = -2/3 x + 8 b) x = 6 cm e z = 4 cme 3. 06) D 07) D 08) B 09) 5 10) 6− 2 11) B 12) E 13) C 14) D 15) A 16) D 17) B 5π 18) C 19) 20) A 21) C 3Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, 22) D 23) C 24) D 25) Aentão a área da figura 3, que representa uma “casinha”, éigual a 26) 4 − 4π + 2 2π 27) 1cm 2 2 2(A) 4 cm . (B) 8 cm . (C) 12 cm . 2 2 28) 420 + 4π 29) 25,5 30) C(D) 14 cm . (E) 16 cm .37) (UFRJ-2007-PNE) Tangram é um antigo quebra-cabeça ( 31) 100 π − 2 2 cm ) 2 32) 4(5- π) cm 2 33) 14chinês formado por um quadrado decomposto em sete 2 2peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, 34) a) 5 cm b) 35/2 cm c) 20 cm 35) 12 mcomo mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figuraA por meio de translações e rotações de seis dessas peças. 36) B 37) 8 7 Resolução de algumas questões Questão 9)Determine a razão da área da figura A para a áreada figura B. 2011 13
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno Vianna a a 2 a 2 x 2= ⇒x= . ⇒x= 2 2 2 2 4 r 2 = a + 2x a 2 r 2 = a + 2. 4 a 2 r 2 =a+ 2 2a + a 2 r= 2 2 a (2 + 2 ) 2 r= . 2 2 2 r 2 2+2 = a 4 r 2 +1 = a 2 Letra C Questão 28)Questão 23) 2 A área total da calçada é (420 + 4π) m . A calçada é composta de cinco retângulos e cinco setores circulares. Todos os retângulos têm um par de lados medindo 2 m; a soma de suas áreas é o perímetro do pentágono (40 + 40 + 45 + 35 + 50 = 210 m) vezes 2m. Os setores circulares têm todos raio igual a 2m; seus ângulos coincidem com os ângulos externos do pentágono, cuja soma é 2π; assim, suas áreas, somadas, têm o mesmo valor que a de um círculo de raio 2. Questão 29) Questão 31) Ângulo = 45O 1 2 100π Setor circular ⇒ S1 = πr = cm2 8 8 1 100 2 Triângulo ⇒ S2 = ab senθ = = 25 2 cm2 2 4 Área retirada ⇒ 8 (S1 − S2) = 8  100π 100 2    8 − 4  (  = 100 π − 2 2 cm2 )   2011 14
    • MÓDULO II – PARTE 8 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Plana Prof. Bruno ViannaQuestão 32) Questão 34) a) Como os lados de um losango têm a mesma medida, o ladoConsidere o quadrado que circunscreve o disco de raio 2 cm. AD mede 20 : 4 = 5 cm. b) Seja x a medida do segmento FC. O lado AC mede então 5 + x. Como os ângulos FEC e DBE são congruentes, assim como os ângulos CFE e EDB, tem-se que os triângulos ECF e BED são semelhantes e, portanto:A região interna ao quadrado e externa ao disco na figura étem a mesma área dos quatro cantos formados pelodeslocamento proposto ao disco na figura original. A área dos Daí segue-se que x = 25 / 2. Logo, a medida do lado AC é 5 +cantos é 16 – 4π 25/2 = 35/2A região B é formada por um quadrado de lado 2 cmcentrado na figura e pelos quatro cantos de área 16 – 4π cm 2 c) Tem-se quePortanto a área da região B é 16 – 4π + 4, A = 4(5- π) cm 2 Assim, a área do losango ADEF é igual a:Questão 33) Questão 35) ATot = 25 5h ⋅ 5 x hx = 25 ⇒ = 1 ⇒ hx = 2 2 2 ( B + b)h (4h + 2h) ⋅ 2 x 12hx ATrap = = = ⇒ 2 2 2 ⇒ ATrap = 6hx ⇒ ATrap = 6 ⋅ 2 ATrap = 12 Questão 37) Seja a a área da figura A. A única peça do Tangram que não entrou na figura B é o paralelogramo (não retângulo), cuja área é: 2 = 1 da área da figura A. Portanto, a razão da área 16 8 da figura A para a área da figura B é a a 8 = = a 7a 7 a− 8 8 8 R: 7 2011 15