06 eac proj vest mat módulo 1 noções de probabilidade
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  • 1. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade Noções de Probabilidade Dividindo todos os membros da desigualdade por n(U), vem: Experimento determinístico 0 n( A ) n(U) ≤ ≤ ∴ 0 ≤ P( A ) ≤ 1 n(U) n(U) n(U) Experimentos que ao serem realizadosrepetidas vezes em condições consideradas idênticas,apresentam resultados essencialmente idênticos são Probabilidade de Não Ocorrer Um Eventodenominados experimentos determinísticos. Sendo A evento complementar do evento A do espaço amostral U, temos: Experimento aleatório Experimentos que ao serem realizados P( A ) + P( A ) = 1repetidas vezes em condições consideradas idênticas,apresentam resultados diferentes, não sendo possívelportanto a previsão lógica dos resultados, são Exercícios Resolvidosdenominados experimentos aleatórios (ou casuais). 01) Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a Espaço Amostral probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? É o conjunto de todos os resultados possíveisde um experimento aleatório. Indicaremos o espaço Espaço amostral U = {1,2,3,...,13,14,15}amostral por U. Evento requerido A = {11,12,13,14,15} (Nºs maiores ou iguais a 11) Evento n(A) = 5 É qualquer subconjunto do espaço amostral. n(U) = 15 O conjunto Ø é chamado evento impossível. O conjunto espaço amostral U é também um n( A) 5 1evento, chamado de evento certo. p( A) = = = ≅ 33,3% Os subconjuntos unitários de U são chamados n(U ) 15 3eventos elementares ou eventos simples. É certo que também podemos simplificar a idéia de probabilidade quando as situações estudadas são Espaço Amostral Eqüiprovável de fácil compreensão: n º de casos favoráveis 5 1 O espaço amostral de um experimento aleatório p= = = ≅ 33,3%é chamado eqüiprovável se todos os seus eventos n º total de casos 15 3elementares têm a mesma chance de ocorrer 02) Um dado é lançado e observa-se o número da face Probabilidade voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser: Seja U um espaço amostral eqüiprovável e A 2 1um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do a) menor que 3? p= = ≅ 33,3%evento A o número P(A) tal que: 6 3 n( A ) 4 2 P( A ) = b) maior ou igual a 3? p = = ≅ 66,6% n(U) 6 3 onde: n(A) = número de elementos do evento A. 1 2 n(U) = número de elementos do espaço Observe que P(A) + P(B) = + =1amostral U. 3 3 Ou seja, como P( A ) + P( A ) = 1 , temos que P( B) = P( A) Como A é subconjunto de U, decorre que: 0 ≤ n(A) ≤ n(U) 2011 1
  • 2. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade Probabilidade da união de eventos 12 8 4 16 p( A ∪ B) = + − = = 0,64 = 64% 25 25 25 25 Se A e B são eventos quaisquer de umexperimento aleatório do mesmo espaço amostral U, b) Qual a probabilidade do nº da bola sorteada serentão: múltiplo de 5 ou de 7? n( A U B) = n( A ) + n(B) − n( A I B) 5 Múltiplos de 5 > p ( A) = 25 Dividindo ambos os membros dessa igualdade 3por n(U), temos: Múltiplos de 7 > p ( B ) = 25 n( A U B) n( A ) n(B) n( A I B) = + − n(U) n(U) n(U) n(U) Múltiplos de 5 e 7 > p( A ∩ B) = Ø Onde concluímos que: 5 3 8 p( A ∪ B) = + = = 0,32 = 32% P( A U B) = P( A ) + P(B) − P( A I B) 25 25 25 Pode ocorrer que os eventos A e B do Probabilidade Condicionalespaço amostral U não tenham elementos comuns.Nesse caso, são chamados de eventos mutuamente Denomina-se probabilidade de Bexclusivos ( ou eventos disjuntos ). Quando isso condicionada a A a probabilidade de ocorrência doocorre, temos: evento B, sabendo que vai ocorrer ou que já ocorreu o evento A. Representaremos esse caso por P( B | A ) A IB = { } ⇒ P(A I B) = 0 (lê-se probabilidade de B dado A ). Logo, se A e B são eventos mutuamenteexclusivos, temos: U B A P( A U B) = P( A ) + P(B) Resumindo: p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) ⇔ A ∩ B = Ø A∩ ou B p( A ∪ B ) = p ( A) + p( B) − p( A ∩ B ) ⇔ A ∩ B ≠ Ø Observe que, sabendo que o evento A ocorreu, então os casos favoráveis à ocorrência do evento BExercício Resolvido: estão em A ∩ B. Temos então:03) Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. n( A I B)Uma bola é extraída ao acaso. P(B | A ) = n( A )a) Qual a probabilidade de o nº da bola sorteada sermúltiplo de 2 ou de 3? Dividindo numerador e denominador do segundo membro da igualdade por n(U), temos: 12Múltiplos de 2 > p ( A) = n( A I B) 25 n(U) P( A I B ) P(B | A ) = ==> P(B | A ) = 8 n( A ) P( A )Múltiplos de 3> p( B ) = 25 n(U) 4 Logo:Múltiplos de 2 e 3 > p( A ∩ B) = 25 P( A I B ) = P( A ) ⋅ P(B | A ) 2011 2
  • 3. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade Então, para a ocorrência ao mesmo tempo de 02) (UNI-RIO) – O dispositivo que aciona a abertura dodois eventos, temos que a probabilidade de ocorrer A e cofre de uma joalheria apresenta um teclado com noveB é igual à probabilidade de ocorrer A multiplicada pela teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letrasprobabilidade condicional de B dado A. (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a Os eventos A e B são chamados eventos probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, aoindependentes ou seja, a ocorrência de um evento não acaso, abrir o cofre ?depende da ocorrência do outro, quando vale aigualdade: (A) 1 / 7 200 (B) 1 / 1 500 P( A I B) = P( A ) ⋅ P(B) (C) 1 / 2 000 (D) 1 / 720 (E) 1 / 200Exercícios Resolvidos 03) (UNIRIO-2000) Numa urna existem bolas de04) Uma urna contém exatamente sete bolas: quatro plástico, todas do mesmo tamanho e peso, numeradasazuis e três vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola da de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A probabilidade deurna, registra-se sua cor e repõe-se a bola da urna. A se sortear um número primo ao pegarmos uma únicaseguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra- bola, aleatoriamente, é de:se sua cor. Calcular a probabilidade de: (A) 45% (B) 40% (C) 35%a) sair uma bola azul e outra vermelha. (D) 30% (E) 25% 04) (UERJ-02) Em uma experiência de fecundação in vitro, 4 óvulos humanos, quando incubados com 4 suspensões de espermatozóides, todos igualmenteQueremos que a primeira bola retirada seja azul e a viáveis, geraram 4 embriões, de acordo com a tabelasegunda seja vermelha. A probabilidade de a primeira abaixo.bola ser azul é 4 , e a probabilidade de a segunda bola 7sair vermelha é 3 . Assim, a probabilidade de obtermos 7a sequência: A e V é P = 4 ⋅ 3 = 12 7 7 49b) saírem duas bolas de cores diferentes. Observe os gráficos:Temos duas sequências possíveis, com as respectivasprobabilidades:A e V → P1 = 4 ⋅ 3 = 12 OU V e A → P2 = 3 ⋅ 4 = 12 7 7 49 7 7 49Assim a probabilidade total é: P = P1 + P2 = 12 + 12 = 24 Considerando a experiência descrita, o gráfico que 49 49 49 indica as probabilidades de os 4 embriões serem do sexo masculino é o de número:Exercícios Propostos (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 401) Estudando Genética, os alunos da E.A. Corcovadoconstruíram o quadro ao lado, em que os quatro 05) (UERJ-06-2ºex) Com o intuito de separar o lixo paraeventos são prováveis. Qual a probabilidade de que fins de reciclagem, uma instituição colocou em suasocorra o evento aa (em que o filho de um casal híbrido dependências cinco lixeiras de diferentes cores, dede olhos castanhos teria olhos azuis) ? acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro,Masc Fem A a plástico, metal, papel e lixo orgânico. A AA (castanho) Aa (castanho) A Aa (castanho) aa (azul)(A) 50% (B) 25% (C) 75%(D) 10% (E) 20% 2011 3
  • 4. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna ProbabilidadeSem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas 11) (UERJ)uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra,uma garrafa de vidro.A probabilidade de que ele tenha usado corretamentepelo menos uma lixeira é igual a:(A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40%06) (OBMEP-05) Brasil e Argentina participam de umcampeonato internacional de futebol no qual competemoito seleções. Na primeira rodada serão realizadasquatro partidas, nas quais os adversários sãoescolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de Brasile Argentina se enfrentarem na primeira rodada? Protéticos e dentistas dizem que a procura por(A) 1/8 (B) 1/7 (C) 1/6 dentes postiços não aumentou. Até declinou um(D) 1/5 (E) 1/4 pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem07) (PM-05-1) Pedro brinca com um dado com seus nenhum dente na boca e 80% delas já usam dentadura.amigos. Ele não gosta do número 3. Se Pedro lançar o Assunto encerrado.dado duas vezes, a probabilidade de que o número 3 (Adaptado de Veja, outubro/97)não apareça em nenhum dos lançamentos é de,aproximadamente: Considere que a população seja de 160 milhões de habitantes.(A) 40% (B) 50% (C) 60% (D) 70% Escolhendo ao acaso um desses habitantes, a probabilidade de que ele não possua nenhum dente na08) (PM-04-2) Em certo quartel, a probabilidade de um boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:soldado ser torcedor do Flamengo é 0,60 e de gostar depraticar exercício de tiro é 0,70. As probabilidades (A) 0,28%; (B) 0,56%; (C) 0,70%; (D) 0,80%.mínima e máxima de um soldado deste quartel sertorcedor do Flamengo e, simultaneamente, gostar depraticar exercícios de tiro, são, respectivamente: 12) Numa urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas pretas, cada vez que se retira uma delas procede-se da(A) 10% e 60% (B) 20% e 60% seguinte maneira:(C) 30% e 60% (D) 40% e 60% − Se a bola for branca: não se repõe esta bola, porém acrescenta-se 6 outras bolas pretas;09) (PM-04-2) Um comandante deseja premiar três dos − Se a bola for preta: repõe-se esta bolasete soldados mais qualificados de seu quartel, juntamente com outras 5 bolas brancas.adotando o critério de sorteio. Todos os soldadosqualificados têm nomes diferentes e João e Pedro estão A probabilidade da SEGUNDA bola retirada desta urna serentre eles. A probabilidade de João e Pedro serem dois branca, é:dos nomes sorteados é de: (A) 20% (B) 25% (C) 33,333...% (D) 40% (E) 50%(A) 1/7 (B) 2/7 (C) 3/7 (D) 4/7 13) Uma urna A contém x bolas vermelhas e y bolas10) (UERJ-99) brancas. Uma urna B contém z bolas vermelhas e w bolas brancas. Uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B e, então, uma bola é retirada da urna B. A probabilidade desse última bola ser vermelha é: z +1 x+z(O Dia, 25/08/98) (A) (B) z + 1+ w x+y+z+wSuponha haver uma probabilidade de 20% para umacaixa de Microvlar ser falsificada. Em duas caixas, a 1  x + xz + zy  1  xy + xz + zy  (C)   (D) x + y  z + w +1   probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é:   x + y  z + w +1 (A) 4 % (B) 16 % (C) 20 % (D) 36 % 2011 4
  • 5. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade14) (Enem-2001) Uma empresa de alimentos imprimiu 16) (PUC-RIO-2010) Quatro moedas são lançadasem suas embalagens um cartão de apostas do seguinte simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrertipo: coroa em uma só moeda? 1 2 1 (A) (B) (C) 8 9 4 1 3 (D) (E) 3 8 17) (PUC-RIO-2011) Jogamos três dados comuns simultaneamente. Qual a probabilidade de que os três números sorteados sejam distintos? 1 1 5 (A) (B) (C) 2 36 9 17 5 (D) (E) 36 17 18) (Enem-2001) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura: Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de,Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de circulando livremente pelo município, encontrar-se nafutebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 área de alcance de pelo menos uma das emissoras.espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade deum cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Essa probabilidade é de, aproximadamente,Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 eduas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%.de o cliente ganhar o prêmio é (D) 35%. (E) 40%.(A)1/27. (B) 1/36. (C) 1/54. 19) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo(D)1/72. (E) 1/108. vinte bolas numeradas de 1 a 20. Retiram-se três bolas simultaneamente e de maneira aleatória de dentro desta15) A figura abaixo representa um alvo de dardos, urna.composto de três círculos concêntricos de raios r, 2r e3r. Sabendo que um competidor acertou o alvo, qual é a) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 6?a probabilidade dele ter acertado a parte clara do alvo? b) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 8? c) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 15? 20) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo 5 bolas pretas e 5 bolas brancas. Retiram-se simultaneamente e de maneira aleatória 3 bolas de dentro desta urna. a) Qual a probabilidade de que todas as bolas retiradas sejam brancas?(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 b) Qual a probabilidade de que, entre as bolas retiradas,(D) 1/9 (E) 4/9 duas bolas sejam brancas e uma bola seja preta? 2011 5
  • 6. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade21) (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente,revista que os pés das mulheres estavam aumentando. uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na populaçãoHá alguns anos, a média do tamanho dos calçados das dos países desenvolvidos, será um número mais próximomulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não defosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez 1 7 8uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, (A) (B) (C) 2 20 25obtendo o quadro a seguir: 1 3 (D) (E)Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que 5 25ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de elacalçar 38,0 é: 23) (ENEM-09) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? 4 2 (A) 2 × (0,2%) . (B) 4 × (0,2%) . 2 2 1 1 2 (C) 6 × (0,2%) × (99,8%) . (D) 4 × (0,2%).(A) (B) (C) 3 5 5 (E) 6 × (0,2%) × (99,8%). 5 5(D) (E) 7 14 24) (ENEM-09) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis22) (ENEM-09) A população mundial está ficando mais dezenas da mega sena não é zero, mas é quase.velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas porde vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados essa loteria, especialmente quando o prêmio sedados obtidos por pesquisa realizada pela Organização acumula em valores altos. Até junho de 2009, cadadas Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01,pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.números da coluna da direita representam as faixas Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de Considere que uma pessoa decida apostar exatamentepessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertarnúmero entre 10% e 15% da população total nos paísesdesenvolvidos. apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, 1 1 (A) 1 vez menor (B) 2 vezes menor 2 2 (C) 4 vezes menor (D) 9 vezes menor (E) 14 vezes menor 25) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a: (A) 9,1% (B) 18,2%Disponível em: www.economist.com.Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado). (C) 27,3% (D) 36,4% 2011 6
  • 7. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade26) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Uma máquina contém 31) (UFF-2010-2ºF) Dois dados cúbicos não viciados,pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, são jogadossendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na aleatoriamente e simultaneamente sobre uma mesamáquina, uma bola é expelida ao acaso. plana. Se a soma dos valores sorteados(*) for umObserve a ilustração: número par, Paulo ganha a partida. Se a soma for um número ímpar, Lúcia ganha. Ao perder a primeira partida, Lúcia diz que não irá mais jogar porque a regra favorece Paulo. Seu argumento é o seguinte: dentre os onze valores possíveis para a soma (os inteiros de 2 a 12), há seis números pares e apenas cinco números ímpares. Logo, Paulo tem maior probabilidade dePara garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o ganhar.menor número de moedas a serem inseridas namáquina corresponde a: a) Calcule a probabilidade de Lúcia ganhar uma partida. Justifique sua resposta.(A) 5 (B) 13 (C) 31 (D) 40 b) Use o item a para verificar se o argumento de Lúcia27) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Inserindo-se 3 moedas, está correto.uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina (*) Valor sorteado é o número escrito na face do cubolibere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é oposta à face que está apoiada na mesa.aproximadamente de: 32) (PUC-2010 – 2ª f)(A) 0,008 (B) 0,025 Considere o lançamento de três dados comuns.(C) 0,040 (D) 0,072 a) Qual é a probabilidade de que a soma dos valores28) (UFRJ-2004-PE) Manoel e Joaquim resolveram sorteados seja igual a 5?disputar o seguinte jogo: uma bola será retirada aoacaso de uma urna que contém 999 bolas idênticas, b) Qual é a probabilidade de que os três númerosnumeradas de 1 a 999. Se o número sorteado for par, sorteados sejam diferentes?ganha Manoel; se for ímpar Joaquim ganha. Isto foiresolvido após muita discussão, pois ambos queriam as 33) (UERJ-2011-2ª FASE) Para a realização de umapares. partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz Se todas as bolas tem a mesma principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, queprobabilidade de serem retiradas, identifique quem ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragemtem mais chances de ganhar o jogo. Justifique sua seja escolhido aleatoriamente em um grupo compostoresposta. de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os29) (UFRJ-98-PE) Duzentas bolas pretas e duzentas três para determinar qual deles será o juiz principal.bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modoque cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.bolas brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola decada urna. 34) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao Determine a probabilidade de que as duas meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.bolas retiradas sejam de cores distintas.30) (UFRJ-2009) João criou uma senha de 4 algarismospara o segredo de seu cofre. Mais tarde, quando foiabrir o cofre, João percebeu que não lembrava maisqual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1,3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os númerospossíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida,tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, osnúmeros de sua lista, sem repetir números já testados.a) Determine quantos números João escreveu.b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na12ª tentativa. 2011 7
  • 8. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna ProbabilidadeDepois de fazer diversas dobras, abre o papel e colocao número 1 nas duas extremidades da primeira dobra.Sucessivamente, no meio de cada um dos arcosformados pelas dobras anteriores, João escreve a somados números que estão nas extremidades de cada arco.As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciaisdesse processo. Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, não rasgadas, foram guardadas em uma caixa. A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar- se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas: Calcule o valor de n. 36) (UERJ-2010-ESP) Uma criança guarda moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na caixa amarela, há, exatamente,A figura correspondente à etapa 3 foi colada em uma 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50.roleta, que após ser girada pode parar, ao acaso, emapenas oito posições distintas. Uma seta indica o Admita que, após a transferência de n moedas de R$número correspondente a cada posição, como ilustra a 1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidadefigura abaixo. de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela seja igual a 50%. Calcule o valor de n. 37) (UFRJ-2010) Um ponto P é aleatoriamente selecionado num retângulo S de dimensões 50 cm por 20 cm. Considere, a partir de S, as seguintes regiões: Região A – retângulo de dimensões 15 cm por 4 cmJoão girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou com centro no centro de S eos números indicados pela seta após cada parada. Região B – círculo de raio 4 cm com centro no centro deCalcule a probabilidade de a soma desses números S.ser par. Suponha que a probabilidade de que o ponto P35) (UERJ-2009-ESP) pertença a uma região contida em S seja proporcional àOs baralhos comuns são compostos de 52 cartas área da região.divididas em quatro naipes, denominados copas, Determine a probabilidade de que P pertençaespadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de simultaneamente às regiões A e B.cada um deles.Observe a figura que mostra um desses baralhos, no 38) (UFRJ-2011) Um ponto M é selecionado ao acasoqual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Emsão denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e seguida, constrói-se um quadrado, também centrado emrei. O, que tem M como ponto médio de um de seus lados. Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo C. 2011 8
  • 9. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Probabilidade39) (PUC-2010 – 2ª f) O diagrama abaixo mostra uma 40) (UNICAMP - 2002) Em Matemática, um númerosala do jogo Os Labirintos da Simetria. Isaac, o herói do natural a é chamado palíndromo se seus algarismos,jogo, entra na sala por um portão no extremo esquerdo escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número.da sala e precisa sair pelo portão que está no extremo Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:direito da sala e que inicialmente está fechado. a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999? b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse número sejaNo corredor entre os dois portões há sete cristais, cada palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor queum com uma cor do arco íris: Vermelho, Laranja, 2%? Justifique sua resposta.Amarelo, Verde, Azul, Índigo e Violeta. A cada partidaas posições dos cristais são sorteadas, com igual GABARITOSprobabilidade para cada uma das ordens possíveis.Para que o portão de saída se abra, Isaac precisa tocar 01) B 02) C 03) B 04) Aos sete cristais exatamente na ordem acima. Na sala háuma corrente de ar da esquerda para a direita. Assim, 05) C 06) B 07) D 08) CIsaac pode mover-se facilmente da esquerda para adireita, mas para mover-se da direita para a esquerda 09) A 10) D 11) C 12) Dele precisa acionar as suas Hélices Mágicas. Cada vezque ele aciona as Hélices ele gasta uma carga. Para 13) C 14) C 15) A 16) Ctocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e sedepois de tocar um cristal ele precisar se mover 18) B 19) a) 1/1140 b) 1/570 c) 1/95novamente para a esquerda ele precisará gastar outracarga. 20) a) 1/12 b) 5/12 21) D 22) CAssim, por exemplo, se num jogo a posição dos cristais 23) C 24) C 25) C 26) Cfor: 27) BAmarelo - Laranja - Índigo - Verde - Violeta - Vermelho –Azul 28) Joaquim tem mais chances de ganhar o jogo, já que há 500 bolas com números ímpares e 499 bolas comentão Isaac chegará gratuitamente ao cristal Vermelho, números pares.gastará uma carga para voltar até Laranja e umasegunda para voltar até Amarelo. Depois disso ele se 29) 50% 30) a) 24 b) 1/24moverá gratuitamente até Verde e daí até Azul. Isaacgastará uma terceira carga para voltar até Índigo e 31) a) 50% b) 50% 32) a) 1/36 b) 5/9depois se moverá gratuitamente até Violeta e de lá parao portão de saída, finalmente aberto. Neste exemplo, 33) 1/10 34) 5/8 35) n = 40para passar pela sala, Isaac gastou três cargas. 16π + 24 3Considerando agora uma sala com cristais em posições 36) n = 3 37) P = 38) ½sorteadas, responda: 3000 39) a) 1/7! = 1/5040 b) 6/7! = 1/840 c) 120/7! = 1/42a) Qual a probabilidade de que Isaac possa passar pelasala sem gastar nenhuma carga? 40) a) 196 b) 1,96b) Qual a probabilidade de que Isaac passe pela salagastando uma carga para ir de Vermelho até Laranja edepois não precise gastar mais nenhuma outra carga?c) Qual a probabilidade de que Isaac precise gastarexatamente uma carga para passar pela sala? 2011 9
  • 10. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna ProbabilidadeAlgumas resoluções: Questão 30)Questão 8) a) São 4 algarismos distintos. Tem-se que 4! = 24. João escreveu 24 números. Fla Tiro b)Solução da Banca: Olhando-se uma lista qualquer dos 24 números 60 - x x 70 - x possíveis, observe que a probabilidade da senha correta estar na n-ésima posição não depende de n. Deste modo a probabilidade de João acertar na 12ª tentativa é60 – x + x + 70 –x = 100 >> x = 30% igual à probabilidade de João acertar na primeira, que é 1/24Como x ≥ 0 >> x ≤ 60% Solução mais simples: Para que João acerte apenas na 12ª tentativa,Questão 9) obrigatoriamente ele deve errar as onze tentativas anteriores e acertar a 12ª, logo: C 5,1 5 1 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 1 Resol: = = P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ C 7 ,3 35 7 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13As cinco são : João Pedro __ ____ ____ ____ ____ 1 P=Questão 19) 24Há C20,3 = 1140 maneiras de se retirarem 3 bolas da Questão 31)urna. a) O espaço amostral desse experimento é o conjuntoa) Soma igual a 6: 1 + 2 + 3 (somente um maneira). A, com 36 elementos:Logo P(a) = 1/1140. A = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2),b) Soma igual a 8: 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4 (duas (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3,maneiras). Logo P (b) = 2/1140 = 1/570. 5), (3, 6),(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,c) Soma igual a 15: 4), (6, 5), (6, 6) }.1 + 2 + 12, 1 + 3 + 11, 1 + 4 + 10, 1 + 5 + 9, 1 + 6 + 8, 2+ 3 + 10, 2 + 4 + 9, O evento “a soma dos valores sorteados é um número2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7, 3 + 4 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6 (doze ímpar” é o conjunto E, com 18 elementos:maneiras). Logo P (c) = 12/1140 = 1/95. E = { (1, 2), (1, 4), (1, 6),(2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4),Questão 20) (3, 6),(4, 1), (4, 3), (4, 5),(5, 2), (5, 4), (5, 6),(6, 1), (6, 3),Há C10,3 =120 maneiras de se retirarem 3 bolas da (6, 5) }.urna. Logo, a probabilidade de Lúcia ganhar é igual a 18/36 = C 10 1a) Tirar três bolas brancas: P (a ) = 5,3 = = 1/2 = 50%. C10,3 120 12 b) O cálculo feito no item (a) mostra que Paulo e Lúciab) Tirar duas brancas e uma preta: têm a mesma probabilidade de ganhar uma partida. C ⋅C 50 5 Questão 32)P(b) = 5, 2 5,1 = = Temos no lançamento de três dados 63 possibilidades. C10,3 120 12 a) O evento ter soma 5, tem casos : (1,2,2), (2,2,1) ,Questão 29) Qualquer que seja a cor da bola retirada (1,2,1),(1,1,3),(1,3,1) e (3,1,1) então,na primeira urna, a chance de se retirar uma bola de cor P= 6/216 = 1/36diferente da segunda urna é de 100/200. b) O evento ter todos os números diferentes, vale 6 × 5Logo: P = ½ = 50% × 4. Logo, P = (6.5.4)/216 = 5/9 2011 10
  • 11. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna ProbabilidadeQuestão 33)A = {x; a2 ; a3 ; a4 ; ...; a10} 9 ⋅8 C9, 2 = 2 ⋅1 = 36 31º sorteio: P( x) = = C10,3 10 ⋅ 9 ⋅ 8 120 10 3 ⋅ 2 ⋅1 1 3 1 Observando-se o triângulo retângulo OLN, tem-se que oP( xJUÍZ ) = ⋅ = ângulo LÔN mede 60º. Assim, a medida da área do 3 10 10 8π 2 setor circular OMN é cm e a área do triângulo OLNQuestão 34) 3 1 é 2 3 cm . 2Probabilidade de ocorrer par e par ⇒ P1 = 16 Portanto, a medida da área da região CProbabilidade de ocorrer ímpar e ímpar ⇒ P2 = 9  8π  16 é − 2 3  cm2 .  3 Probabilidade de ocorrer soma par ⇒ Logo, a medida da área de A∩ B é: 10 5P1 + P2 = =   8π  2 16 8 16π − 4 3 − 2 3  cm    2Questão 35) Como a medida da área de S é 1000 cm , tem-se que a 16π + 24 3Número de cartas guardadas na caixa: n probabilidade solicitada é P = . 3000Probabilidade de retirada de:- um rei → P(R) = 0,075- uma carta de copas → P(C) = 0,25 Questão 38)- um carta de copas ou um rei → P(C ∩ R) = 0,3 A diagonal do quadrado inscrito é igual ao diâmetro do- o rei de copas → P(R ∩ C) = P(R) + P(C) – P(R ∪ C) círculo C, ou seja, d = 4. A medida L do lado deste 2 quadrado é, por Pitágoras, 2L = 16 , ou seja, L = 2 2 . 1P(R ∩ C) = 0,075 + 0,25 − 0,3 = 0,025 = n1 1 = ⇒ n = 40n 40Questão 36) 1 12 + n = Para que o quadrado esteja inteiramente contido em C, 2 12 + n + 15 a distância de M ao centro de C deve ser menor do que→ 12 + n + 15 = 2 (12 + n) → L→ n + 27 = 24 + 2n → ou igual a . Ou seja, M pertence a um círculo CM de→ 27 – 24 = 2n – n → 2→ n=3 L raio e mesmo centro C. 2Questão 37)Por hipótese, a probabilidade de que o ponto P pertença Então a probabilidade pedida é:a uma região F, contida em S, é dada pela razão entre amedida da área de F e a medida da área de S. área (CM ) 2π 1Assim, a probabilidade de que o ponto P pertença a p= = = área ( A ∩ B) área (C ) 4π 2ambas as regiões é dada por: área ( S )Seja C a região sombreada na figura abaixo. Então,aárea (A∩B) = 16π – 4 × área (C). 2011 11
  • 12. MÓDULO I – PARTE 6 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna ProbabilidadeQuestão 39)a) Isto só ocorrerá se os cristais estiverem na ordem:Vermelho - Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo -VioletaA probabilidade de isso ocorrer é 1/7! = 1/5040.b) Isto ocorrerá se as cores:Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo – Violetaaparecerem nesta ordem da esquerda para a direita,com Vermelho em qualquer posição exceto na primeira.Há, assim, 6 configurações possíveis e a probabilidadepedida é 6/7! = 1/840.c) Para formar uma configuração deste tipo, devemos 7primeiro selecionar um conjunto de posições (há 2 =128 maneiras de fazer isso).Primeiro preenchemos as posições do conjunto daesquerda para a direita com as cores na ordem em queIsaac deve tocá-las e depois preenchemos as posiçõesno complemento do conjunto. Isto só *não* funcionaráse as posições do conjunto estiverem todas à esquerdadas posições do complemento (pois neste caso Isaacnão gastaria nenhuma carga), ou seja, para os 8conjuntos {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ..., {1,2,3,4,5,6,7}.Assim há 128 - 8 = 120 configurações possíveis, e aprobabilidade pedida é 120/7! = 1/42.Questão 40)a) De 1 até 9.999, temos desde palíndromos de 1algarismo até palíndromos de 4 algarismos. Assim, x x x x ou ou ou 9 + 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 1 = 198 Considerando que “entre 1 e 9.999” não devam ser incluídos os extremos, temos 196 palíndromos. Resposta: 196b) “Entre 1 e 9.999” temos 9.997 números. Assim, a probabilidade pedida é: 196 P= ≈ 1,96 % 9.997Nota: Se interpretássemos o “entre 1 e 9.999” com apossibilidade da inclusão dos extremos, teríamos:a) 198 palíndromos. 198 2b) P = = ≈ 1,98 %. 9.999 101 2011 12