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05 eac proj vest mat módulo 1 noções de combinatória

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  • 1. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna CombinatóriaNOÇÕES DE ANÁLISE COMBINATÓRIA Observações Muito Importantes (Estratégias) A análise combinatória serve para desenvolver → Postura : Devemos sempre nos colocar no papel demétodos de contagem de elementos de um certo quem deve fazer a ação solicitada pelo problema e verconjunto, formado sob certas condições. que decisões devemos tomar. No exemplo 1, nos colocamos no papel de Eratóstenes ou da pessoa que1. Fatorial: escolheria suas possíveis combinações de roupas. Já no exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoaDenominamos fatorial de um número natural n (n > 1) que deveria escrever o número de três dígitos.ao produto de todos os números desde n até a unidade. → Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir asRepresentamos o fatorial de n por : n! decisões a serem tomadas em decisões mais simples. No exemplo 2, formar um nº de 3 dígitos foi dividido emLogo: n! = n.(n-1) . (n-2). ... . 2 . 3 . 1 escolher cada um dos três dígitos.Exemplos: → Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldadesa) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 adiadas costumam se transformar em imensasb) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é a decisão que devePor convenção, temos: ser tomada em primeiro lugar. No exemplo 2, a escolha do primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que 1! = 1 e 0! = 1 as outras, pois o primeiro não pode ser igual a 0. Assim, conforme acabamos de ver, postergá-la só serve paraObs.: Para simplificar expressões contendo fatoriais, causar problemas.devemos impor com que os maiores fatoriais se igualemao menor. 3 - Permutação Simples2- Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.): Número de maneiras de “embaralhar” elementos, sem que estes se repitamSe um certo acontecimento pode ocorrer de m modosdistintos e um outro acontecimento de n modos Ex 3) Quantos anagramas existem da palavra SOL ?também distintos, então, ambos ocorrerão de m.nmodos distintos. SOL ,SLO ,OSL, OLS , LOS , LSO (6 anagramas)Ex 1) Eratóstenes tem 2 calças e 3 blusas quantas 3 x 2 x 1 . = 6 anagramascombinações de roupas Eratóstenes ter? 4 - Permutação com Repetição2 calças : C1 e C2 3 blusas: B1, B2 e B3 Número de maneiras de “embaralhar” elementos,Combinações: C1B1 C1B2 C1B3 contado que alguns elementos apareçam repetidos. C2B1 C2B2 C2B3 Ex 4) Quantos anagramas tem a palavra6 combinações: 3 x 2 . PROGRESSAO ? Blusas calças Observe a letra: - R repete-se (2x)Ex 2) Quantos são os números de 3 algarismos - O repete-se (2x)distintos? - S repete-se (2x) O primeiro dígito pode ser escolhido de 9modos, pois ele não pode ser igual a zero. O segundo 10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ 1pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual P= = = 453.600ao primeiro. O terceiro de 8 modos, pois não pode ser 2! ⋅ 2! ⋅ 2! 8igual ao primeiro e ao segundo. 5 -Permutações CircularesA resposta é 9 x 9 x 8 = 648 São as realizadas em torno de um círculo e contadas sempre no mesmo sentido, a partir de um mesmo elemento. 2011 1
  • 2. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna CombinatóriaRepresentamos as permutações circulares de n 05) (PM-05-1) Cada soldado de um quartel deveelementos distintos é dado por: registrar uma senha para sua identificação. A senha deve ser formada por quatro símbolos – duas letras (Pc)n = (n - 1)! diferentes da palavra BRASIL, seguidas de dois algarismos quaisquer (que não precisam ser diferentes).Ex 5) De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem O número de senhas distintas que podem sersentar-se em volta de uma mesa circular. registradas é: (PC)5 = (5 – 1)! = 4! = 24 maneiras (A) 2700 (B) 3000 (C) 3240 (D) 36006 - Arranjo Simples 06) (PM-04-1) Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se que o veículo suspeitoSão agrupamentos que diferem entre si pela ordem ou de causar o acidente tinha placa do Rio de Janeiro,pela natureza. começava com KN, terminava em 32 e apresentava os demais algarismos distintos entre si. Pelas informaçõesEx 6) A senha de um cartão é formada por duas letras obtidas, pode-se concluir que o número total de placas adistintas acompanhadas por uma seqüência de três serem investigadas é igual a:algarismos distintos. Quantas senhas podem serconfeccionadas? (A) 2340 (B) 2480 (C) 2500 (D) 2600 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468.000 07) (PM-04-1) Durante 30 dias, será feita por dois( Letras ) ( Algarismos ) policiais militares a segurança de uma testemunha- chave. Considerando que a mesma dupla nunca se n! n repetirá, o melhor número possível de policiais que7 - Combinação Simples Cn, p = =  participarão dessa operação é: p !(n − p )!  p    (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13São agrupamentos que diferem entre si apenas pelanatureza. (não importa a ordem) 08) Obter o número de anagramas da palavra PERNAMBUCO, tais queEx 7) Em uma turma de 15 alunos queremos formargrupos de 6 alunos quantos grupos poderemos formar? a) começando pelas letras PER nesta ordem. b) terminando pelas letras BUCO em qualquer ordem. 15 ! 15 .14 .13 .12 .11.10 .9 ! c) Tendo as letras PERNA juntas nesta ordem.C15, 6 = = = 5005 d) tendo as letras NAMBUC juntas em qualquer ordem. 9 ! (15 − 6) ! 9 ! . 6 .5 .4 . 3 . 2 .1 09) O número de anagramas da palavra MATEMATICAEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO é: 10! 10!01) Lançando-se uma moeda cinco vezes seguidas, (A) 10! (B) 6! (C) (D) 7! 3!⋅2!⋅2!quais os resultados possíveis ? EXERCÍCIOS PROPOSTOS02) Tenho 5 tintas de cores diferentes, obter o nº demaneiras de pintar uma bandeira formada por 4 listras 10) (UFF-97-1ªF) Com as letras da palavra PROVAverticais e iguais. podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por03) Quantos anagramas da palavra ABRIL existem? consoante. Os valores de x e y são, respectivamente:(A) 25 (B) 120 (C) 720 (D) 3125 (A) 48 e 3604)De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar (B) 48 e 72numa mesa circular ? (C) 72 e 36 (D) 24 e 36(A) 12 (B) 24 (C) 50 (D) 60 (E) 120 (E) 72 e 24 2011 2
  • 3. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Combinatória11) (UFRJ) -As antigas placas para automóveis, com 17) Dos 10 candidatos a um emprego, apenas 3 serãoduas letras seguidas de quatro algarismos, estão sendo convocados. Quantos grupos distintos de convocadossubstituidas por novas com três letras seguidas de poderão ser formados?quatro algarismos. Nestas placas, bem como nasantigas são utilizadas as 23 letras do alfabeto (A) 3 (B) 120 (C) 720 (D) 1000português, mais as letras K, W e Y. Calcule quantoscarros a mais podem ser emplacados com o novo 186) O número de anagramas da palavra POLICIAsistema. existem?12) (PUC) - A figura a seguir mostra o mapa com 4 (A) 2520 (B) 5040 (C) 720 (D) 360regiões disjuntas. De quantas maneiras podemos coloriresse mapa, usando apenas as cores verde, amarelo,azul e branco, se as regiões vizinhas não podem 19) (UFRJ-adap) Uma agência de turismo está fazendoreceber a mesma cor ? uma pesquisa entre seus clientes para montar um pacote de viagens à Europa e pede aos interessados(A) 36 que preencham o formulário abaixo com as seguintes(B) 48 informações:(C) 72(D) 108 → a ordem de preferência entre as 3 companhias(E) 256 aéreas com que trabalha a agência; → a 1° e a 2° opções dentre 4 possíveis datas de partida apresentadas pela agência; → os nomes de 4 cidades diferentes a serem visitadas,13) (UNAMA-PA) – Dispõe-se de oito tipos de frutas que devem ser escolhidas de uma lista de 10 fornecidapara fazer uma salada. Se cada salada é composta de pela agência (sem ordem de preferência).cinco frutas diferentes, então o número de saladasdiferentes que se pode preparar é:(A) 8 (B) 10 (C) 56 (D) 120 (E) 6.72014) Um "Shopping Center" possui 4 portas de entradapara o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreoao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem doprimeiro para o segundo pavimento.De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindode fora do "Shopping Center" pode atingir o segundopavimento usando os acessos mencionados? Supondo que nenhum campo seja deixado em(A) 12 (B) 17 (C) 19 (D) 23 (E) 60 branco, determine de quantas maneiras diferentes pode o formulário ser corretamente preenchido.15) Um campo de futebol tem 7 entradas. O número demodos desse campo estar aberto pode ser expresso (A) 10.205 (B) 12.520 (C) 15.120 (D) 5.210por:(A) 2 7 (B) 2 − 1 7 (C) 7! (D) 7! − 1 20) Num programa transmitido diariamente, uma––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas,16) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas aspaíses, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre possíveis seqüências dessas músicas serãoos países que se classificariam nos três primeiros lugares necessários aproximadamente:(por exemplo: 1º lugar - Brasil; 2º lugar - Nigéria; 3º lugar -Holanda). (A) 100 dias Se, em cada tampinha, os três países são (B) 10 anosdistintos, quantas tampinhas diferentes poderiam (C) 1 séculoexistir? (D) 10 séculos (E) 100 séculos(A) 69 (B) 2024 (C) 9562 (D) 12144 (E) 13824––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2011 3
  • 4. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Combinatória21) (UFRJ – 97- PNE) Um construtor dispõe de quatro 24) (PUC-2000) - A partir de outubro, os telefones docores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco Rio de Janeiro irão gradualmente adotar oitocasas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa algarismos, em vez de sete, por causa da necessidadeseja pintada com apenas uma cor e que duas casas de oferta de novas linhas. O algarismo a serconsecutivas não possuam a mesma cor. acrescentado será o primeiro e será necessariamente 3 ou 8. Supondo-se que, no sistema em vigor, qualquerPor exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura combinação de sete algarismos é um número de linhaseriam: possível, o número de possíveis novas linhas é: 10 (A) 7 7 (B) 10 7 (C) 2x10 7 (D) 3x10 8 (E) 10 25)(ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4Determine o número de possibilidades diferentes de times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os timespintura. do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria22) Na figura a seguir temos um esboço de parte do em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.centro da cidade do Recife com suas pontes. As setas A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A eindicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos. De a quantidade total de escolhas dos times do jogo dequantas maneiras, utilizando apenas o esboço, poderá abertura podem ser calculadas através deuma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B e retornarao ponto de partida passando exatamente por três (A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.pontes distintas? (B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. (C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. (D) duas combinações. (E) dois arranjos. 26) (UERJ-2001)(A) 8 (B) 13 (C) 17 (D) 18 (E) 20 Trechos complementares de duas cadeias de23) (UFF) Um piano de brinquedo possui sete teclas, nucleotídeos de uma molécula de DNA. Observe queque emitem sons distintos entre si, correspondentes às uma cadeia se dispõe em relação à outra de modosete notas da pauta acima. se forem pressionadas ao, invertidomesmo tempo, no mínimo três teclas e no máximo seis (Adaptado de LOPES. Sônia. "BIO 3". São Paulo.teclas, o total de sons diferentes que podem ser obtidos Saraiva,1993.)é: Considere as seguintes condições para a obtenção de fragmentos de moléculas de DNA: Sí - todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares Sol Lá de bases nitrogenadas; Fá Dó Ré Mí - cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases nitrogenadas.(A) 21 (B) 28 (C) 42 (D) 63 (E) 98 O número máximo de fragmentos diferentes que podem ser assim obtidos corresponde a: (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 24 2011 4
  • 5. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Combinatória27) (UFRJ-00-PNE) Em todos os 53 finais de semanas Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço édo ano 2.000, Júlia irá convidar duas de suas amigas constituído por quatro campos, separados por pontos.para sua casa em Teresópolis, sendo que nunca o Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no 8mesmo par de amigas se repetirá durante o ano. intervalo [0, 2 - 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistemaa) Determine o maior número possível de amigas está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cadaque Júlia poderá convidar. endereço é constituído por oito campos e cada campo é 16 um número inteiro no intervalo [0, 2 - 1].b) Determine o menor número possível de amigasque ela poder· convidar. 28) (UFRJ-99-PE) Um campeonato de futebol foidisputado por 10 equipes em um único turno, de modoque cada time enfrentou cada um dos outros apenasuma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos eo perdedor não ganha ponto algum; em caso deempate, cada equipe ganha 1 ponto. Com base nessas informações, é correto afirmar queAo final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação: (A) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4. 8 (B) existem exatamente 4.(2 - 1) endereços diferentes no sistema IPv4. 32 (C) existem exatamente 2 endereços diferentes no sistema IPv4. (D) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4. 8 4Determine quantos jogos desse campeonato (E) existem exatamente (2 - 1) endereços diferentesterminaram empatados. no sistema IPv4.29) (UFRJ – 2001 – PE) - A mala do Dr. Z tem umcadeado cujo segredo é uma combinação com cinco 31) (UERJ-07-01ºEX.QUAL) Sete diferentes figurasalgarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, oEle esqueceu a combinação que escolhera como Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007.segredo, mas sabe que atende às condições: Um desses grupos está apresentado a seguir.a) se o primeiro algarismo é ímpar, então o últimoalgarismo também é ímpar;b) se o primeiro algarismo é par, então o últimoalgarismo é igual ao primeiro;c) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5. Considere que cada grupo de quatro figuras que poderiaQuantas combinações diferentes atendem às ser formado é distinto de outro somente quando pelocondições estabelecidas pelo Dr. Z ? menos uma de suas figuras for diferente.30) (UFF-2011-1ªF) Muitos consideram a Internet como Nesse caso, o número total de grupos distintos entre sium novo continente que transpassa fronteiras que poderiam ser formados para ilustrar o Manual égeográficas e conecta computadores dos diversos igual a:países do globo. Atualmente, para que as informaçõesmigrem de um computador para outro, um sistema de (A) 24 (B) 35 (C) 70 (D) 140endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol 2011 5
  • 6. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Combinatória32) (UERJ-2010-1ºEX) 35) (UFRJ-2010) Considere trajetórias estabelecidas no espaço por segmentos de reta consecutivos de modo que todos os segmentos tenham comprimento 1 e sejam paralelos a um dos seguintes vetores: (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0). Assim, as duas sequências de pontos a seguir definem trajetórias diferentes que partem do ponto (0,0,0) e chegam ao ponto (2,1,2); a primeira tem comprimento 5, e a segunda, comprimento 7. Trajetória 1:Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 (0,0,0) →(1,0,0) →(1,1,0) →(2,1,0) →(2,1,1) →(2,1,2)meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partirdesse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, Trajetória 2:que apresentam um número igual de meninos e de (0,0,0) →(0,1,0) →(0,1,1) →(0,1,2) →(0,1,3) →(0,1,2)meninas. →(1,1,2) →(2,1,2)O maior valor de n é equivalente a: Determine quantas trajetórias assim definidas partem do ponto (0,0,0), chegam ao ponto (4,3,2) e(A) 45 (B) 56 (C) 69 (D) 81 têm o menor comprimento possível.33) (UERJ-2010-2ºEX) Ao refazer seu calendário 36) (UFRJ-07-PNE) Nove pessoas serão distribuídasescolar para o segundo semestre, uma escola decidiu em três equipes de três para concorrer a uma gincana.repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábadosdisponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, O número de maneiras diferentes de formar as trêscom a condição de que não fossem utilizados 4 sábados equipes é menor do que 300?consecutivos. Para atender às condições de reposiçãodas aulas, o número total de conjuntos distintos que 37) (UFF-2011-2ªF) O diretor de uma escola querpodem ser formados contendo 4 sábados é de: montar uma equipe de quatro monitores voluntários, sendo que cada um deles atuará em apenas uma das(A) 80 (B) 96 (C) 120 (D) 126 quatro disciplinas: Matemática, Física, Química e Português. Sete alunos se candidatam para serem34) (UERJ-2010-2ªF) Um cofre eletrônico possui um monitores: Abel, Bia, Cauê, Davi, Enzo, Fábio e Lia.painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por Sabe-se que, entre os candidatos apenas Fábio e Liameio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas apresentaram algumas restrições para participar dadistintas dentre seis habilitadas previamente pelo equipe de monitores: Lia não aceita ser monitora defabricante. Considere n o número máximo de conjuntos Matemática ou Física e Fábio só aceita participar se eledistintos de três teclas que abrem o cofre. for monitor de Matemática. Sabe-se também que, casoNa figura em destaque, as teclas azuis representam as sejam escolhidos para compor uma equipe dehabilitadas previamente. monitores, as restrições de Fábio e Lia serão atendidas. Determine: a) quantas equipes diferentes de monitores o diretor poderá formar, excluindo Lia e Fábio ao mesmo tempo; b) quantas equipes diferentes de monitores o diretor poderá formar, incluindo Lia e Fábio ao mesmo tempo; c) quantas equipes diferentes de monitores o diretor poderá formar ao todo.Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclashabilitadas, haveria entre elas um total dem conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir ocofre.Calcule o valor de n - m. 2011 6
  • 7. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna CombinatóriaDESAFIOS: GABARITO :38) (UFRJ – 2000 – PE) Uma estante de biblioteca tem 01) 32 02) 320 03) B 04) E16 livros: 11 exemplares do livro “Combinatória é fácil” e5 exemplares de “Combinatória não é difícil”. 05) B 06) A 07) BConsidere que os livros com mesmo título sejam 08) a) 7! b) 6! . 4! c) 6! d) 5! . 6!indistinguíveis. 09) D 12) C 13) C 14) EDetermine de quantas maneiras diferentes podemosdispor os 16 livros na estante de modo que dois 15) B 16) D 17) B 18) Aexemplares de Combinatória não é difícil nuncaestejam juntos. 19) C 20) E 21) 324 22) C 23) E 24) B 25) A 26) D39) Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoresestá disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo 27) a) 106 b) 11 28) 17do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até3 substituições e, para isto, o técnico dispões de 4 29) 1800 30) C 31) B 32) Cjogadoras no banco. Quantas formações distintaspodem iniciar o segundo tempo? 33) C 34) 10 35) 1260 36) Sim40) (ITA-2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se 37) a) 120 b) 40 c) 340 38) 792 39) 195formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal 40) 125 41) Dcomissão poderá ser formada? Resolução de algumas questões:41) (IME-2011- Objetiva) Um trem conduzindo 4homens e 6 mulheres passa por seis estações. Sabe-se 6⋅5⋅4 5⋅ 4⋅3que cada um destes passageiros irá desembarcar em 34) n= = 20 e m= = 10qualquer uma das seis estações e que não existe 3 ⋅ 2 ⋅1 3 ⋅ 2 ⋅1distinção dentre os passageiros de mesmo sexo. O Logo: n – m = 20 – 10 = 10número de possibilidades distintas de desembarquedestes passageiros é: 35) Nas condições apresentadas, uma trajetória ligando(A) 1 287 (B) 14 112 (C) 44 200 (0,0,0) a (4,3,2) é mínima se, e somente se, seu(D) 58 212 (E) 62 822 comprimento é 9 e é determinada por uma sequência, em qualquer ordem, de 4 segmentos paralelos ao vetor (1,0,0), 3 segmentos paralelos ao vetor (0,1,0) e 2 segmentos paralelos ao vetor (0,0,1). Seja N a quantidade dessas trajetórias. 9! 9⋅8⋅7 ⋅6 ⋅5 Tem-se N= = = 1260 4!⋅ 3!⋅ 2! 6⋅2 Resp: 2060 36) Sim, pois o número de formas diferentes de organizar as nove pessoas em três equipes de três é 280:  9   6  3    ⋅     3   3  3  C9 , 3 ⋅ C6 , 3 ⋅ C3 , 3 =      = 9! = 280 3! 3! (3!)4 R: Sim, porque 280 é menor do que 300. 2011 7
  • 8. MÓDULO I – PARTE 5 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Noções de Prof. Bruno Vianna Combinatória37) a) Excluindo-se Lia e Fábio, sobram 5 alunos que 39) Nenhuma substituição: 1 formação.podem ser alocados, sem restrições, para atuarem nas4 disciplinas. Portanto, utilizando-se o Princípio 1 substituição: Há 4 maneiras de escolher a substituta eFundamental da Contagem, tem-se 5 x 4 x 3 x 2 = 120 6 maneiras de escolher quemequipes distintas que podem ser formadas. será substituída dando 4 . 6 = 24 formações diferentes. 2 substituições: Há 6 maneiras de escolher asb) Se Fábio participa da equipe, a escolha do aluno que substitutas e 15 maneiras de escolher asatuará em Matemática é única. Como Lia não aceita ser que serão substituídas, dando 6 .15 = 90 formaçõesmonitora de Física, a escolha para a monitoria dessa diferentes.disciplina pode ser feita de 5 maneiras distintas,utilizando-se os candidatos restantes. Prosseguindo, se 3 substituições: Há 4 maneiras de escolher asLia atuar em Português, restam 4 possibilidades para o substitutas e 20 maneiras de escolher aspreenchimento da vaga de Química e se ela atuar em que serão substituídas, dando 4 . 20 = 80 formaçõesQuímica, restam 4 possibilidades para a escolha do diferentes.aluno que atuará em Português. Portanto, tem-se: Total:(1 x 5 x 1 x 4) + (1 x 5 x 1 x 4) = 40 equipes diferentesde monitores com as participações simultâneas de Lia e 1 + 24 + 90 + 80 = 195 formações diferentes.Fábio. 40) As opções possíveis para o par (m, r) representandoc) Examinemos o que acontece se Lia participar das número de moças e rapazes são:possíveis equipes e Fábio na. Como Lia não aceita (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)trabalhar em Matemática e nem em Física, feita a Totalizando:escolha para a atuação em Matemática (5 modosdistintos) existirão 4 possibilidades para o C4,1 ⋅ C5, 4 + C4, 2 ⋅ C5,3 + C4,3 ⋅ C5, 2 + C4, 4 ⋅ C5,1 = 125preenchimento da vaga em Física. Feitas essas Resp: 125 formas distintasescolhas, se Lia atuar em Português restarão 3maneiras distintas de se preencher a vaga de Química e 41) Lembremos que numa equação linear comse ela atuar em Química, restarão 3 maneiras distintas coeficientes inteiros da forma x1 + x2 + x3 +...+ xk = n, ode preencher a vaga em Português. Portanto, tem-se: nº de soluções inteiras não-negativas é dado por:(5 x 4 x 1 x 3) + (5 x 4 x 3 x 1) = 120 equipes diferentes  n + k − 1que podem ser formadas.   k −1   Examinemos o que acontece se Fábio participar  das possíveis equipes e Lia não. Como Fábio só aceita Chamando de hi e mi a quantidade de homens e deatuar em Matemática, sobram 5 alunos que podem ser mulheres, respectivamente, que vão descer na estaçãoalocados, sem restrições, nas 3 disciplinas restantes. i, se não há distinção entre os passageiros do mesmoTem-se então 1 x 5 x 4 x 3 = 60 equipes diferentes de sexo, então só é importante quantos passageiros demonitores com a participação de Fábio e a exclusão de cada sexo descerão em cada estação (e não quais).Lia. Assim, temos que: O número total de equipes de monitores é igual (i) Sendo um total de 4 homens, a quantidade deao número de equipes sem Fábio e sem Lia (120), mais maneiras distintas de os homens desembarcarem éo número de equipes com Fábio e com Lia (40), mais o dada pelo nº de soluções inteiras não-negativas danúmero de equipes sem Fábio e com Lia (120), mais o equação: h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 = 4, que é igual a:número de equipes com Fábio e sem Lia (60):  4 + 6 − 1  9   6 − 1  =  5  = 126120 + 40 + 120 + 60 = 340        38) Coloquemos os 11 exemplares de Combinatória é (ii) Sendo um total de 6 mulheres, a quantidade defácil na estante, deixando espaço entre cada um dos maneiras distintas de as mulheres desembarcarem éexemplares (como indica a figura). Dispomos, então, de dada pelo nº de soluções inteiras não-negativas da12 posições (10 interiores e 2 extremidades) para equação: m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6 = 6, que é igualcolocar os 5 exemplares de Combinatória não é difícil . a:O número total de escolhas de 5 posições dentre as 12  6 + 6 − 1 11  6 − 1  =  5  = 462é:         (iii) Pelo princípio fundamental da contagem, o total de possibilidades distintas de desembarque é: 12!C12,5 = = 792 Resp.: 792 maneiras 126 x 462 = 58 212 maneiras 5!⋅ 7! 2011 8

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