04 eac proj vest mat módulo 1 função logarítmica

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA LOGARITMO. 2) log a a = 1Definição: Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ Demonstração:log a a = x , pela definição1, chama-se logaritmo de a na base b , o expoente quese deve dar à base b de modo que a potência obtida x x 1 a = a >> a = a >> x = 1, dai log a a = 1seja igual a a.Em simbolos: se a , b ∈ R, 0 < b ≠ 1 e a > 0, então: 3) b log b a = a log b a = x ⇔ b x = a Demonstração: Suponha log b a = x pela definição x b = a, o que ja diz a propriedade acima quandoDizemos que: a é o logaritmando, b é a base dologarítmo, e x é o logarítmo. fazemos à substituição.Exemplos: x x 2 4) Logaritmo do produto:a) log 2 4 = x >> 2 = 4 >> 2 = 2 >> x = 2, log c (a.b) = log c a + log c b daí log 2 4 = 2 xb) log 3 3 = x >> 3 = 3 >> 3 = 3 x 1 >> x = 1, Demonstração: Fazendo, x log c a = x por def. temos: a = c daí log 3 3 = 1 y log c b = y por def. temos: b= c x x 0c) log 6 1 = x >> 6 = 1 >> 6 = 6 >> x = 0, z log c (a.b) = z por def. temos: a. b = c daí log 6 1 = 0 x y z x+y z c . c = c >> c = c , Daí: x  1 x 1 -xd) log 0,2 5 = x >>> (0,2) = 5 >>>   = 5 >>> 5  5 z = x + y 1= 5 - x = 1 e x = -1 , log c (a.b) = log c a + log c b daí log 0,2 5= 1 5) Logaritmo do quociente:Nomenclaturas:  a1) Antilogarítmo: log b a = x ⇔ a = anti log b x log c   = log c a − log c b  bExemplo antilog 3 2 = 9 , pois log 3 9 = 2 Demosntração: Fazendo, x2) Cologarítmo: colog b a = − log b a. log c a = x por def. temos: a = cSe 0 < b ≠ 1 e a > 0. log c b = y por def. temos: b= c y 1  a  a zExemplo: colog 2 5 = − log 2 5 = log 2 log c   = z por def temos:   = c substituindo 5  b  bPropriedades: x y z x y z c : c = c >> c - = c , Daí:1) log b 1 = 0 z = x − y  a log c   = log c a − log c bDemonstração: log b 1 = x , pela definição x x 0  bb =1 >> b =b >> x = 0, dai log b 1 = 0 2011 1

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA6) Logaritmo da potência: Exemplos: m a) f(x) = log3 x log b n a m = . log b a n b) f(x) = 4 + log2 xDemonstração: Fazendo, Obs: xlog b a = x por def. temos: a = b log x = log10 xlog b n a m = z por def. temos: am = (bn)z Função Log é a inversa da função exponencial x m n z m.x n.zSubstituindo: (b ) = (b ) >>b =b ,daí Vejamos como construir os gráficos das funções: m f(x) = log 2 xn .z = m . x >> z = x y n x f(x) 1/4 1 1/8 -3 m O log bn a m = . log b a 1/4 -2 x n 1/2 -1 1 0 2 17) Mudanças de base: -2 4 2 8 3 log c a log b a = log c b Obs: gráfico corta o eixo X e se aproxima do eixo YDemonstração: Fazendo, (Dica: usar x = 1 e x = base) xlog b a = x por def. temos: a = blog c a = y por def. temos: a = c y f(x) = log 1 x 2 y zlog c b = z por def. temos: b = c x f(x) z x x y z x y(c ) = b = a = c , Daí (c ) = c >> 8 -3 2 4 -2 y log c a 2 -1z .x = y >> x = >> log b a = 1 0 z log c b 1/2 1 1/4 2 1/8 3 O 1/4 1 x FUNÇÃO LOGARÍTMICA. Obs:DefiniçãoDado o número real positivo b, diferente de 1 (1 ≠ b > 0) , uma 1) Se a base b > 1 f é crescenteaplicação f de IR*+ em IR recebe o nome de funçãologarítmica, quando a cada elemento x ∈ IR*+ associa o 2) Se a base 0< b < 1 f é decrescenteelemento logb x ∈ IR.Usando a notação de função temos: 2011 2

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICAEXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: EXERCÍCIOS PROPOSTOS01) Calcule pela definição os seguintes logaritmos: 08) (UFF) Sejam x, y e p números reais positivos e p ≠a) log 5 125 = c) log 1 32 = 1. Se log p(x+y) = m e logp x + logp y = n , então 4  x + y log p   é: 1  xy b) log 5 = d) log 0,01 100 = 25 m n (A) m (B) (C) m . n02) (Cesgranrio) Se log10 123 = 2,09, o valor de log10 n1,23 é: (D) m + n (E) m - n(A) 0,0209 (B) 0,09 (C) 0,209 09) (uerj-2005) Um aluno, para calcular o pH da água, sabendo que seu produto iônico, a 25ºC, corresponde a -14(D) 1,09 (E) 1,209 10 , utilizou, por engano, a seguinte fórmula:03) O valor de log 2 1.024 é :(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 1204) O valor de log 2 256 é : O valor encontrado pelo aluno foi igual a:(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 (E) 16 (A) 1,4 (B) 3,5 (C) 7,0 (D) 10,005) (UFF-97) Pode-se afirmar que o valor de log 18 é 10) (UFRS) - A raiz da equação log(log(x+1))=0 é:igual a: (A)0 (B) 1 (C) 9 (D) 10 (E) 11(A) log 20 - log 2 (B) 3 log 6 10 11)(Cesgranrio) O valor de ∑ log j é: log 36 j=1(C) log 3 + log 6 (D) (E) (log 3) (log 6) (A) log (10!) (B) log (9!) (C) log 10 2 10 (D) log 10 (E) 006) (UFRuRJ) O valor da soma : 12)(PUC) - O valor de : log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 , é igual a:log 1 + log 2 + ... + log 25 é: (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 10 (E)1.000(A) log (25!) (B) log 25 (C) log (1 + 2 +...+ 25) log2 9 25 13) (UNI-RIO) O valor de 4 é:(D) (log 25) (E) log 575 (A) 81 (B) 64 (C) 48 (D) 36 (E) 907) As indicações R1 e R2 , na escala Richter, de doisterremotos estão realacionadas pela fórmula: 14) (UFF-2000) A figura representa o gráfico da função f M  definida por: yR 1 − R 2 = log 1  f ( x ) = log 2 x  M2  Qem que M1 e M2 medem a energia liberada pelos Pterremotos sob a forma de ondas que se propagam pelacrosta terrestre. Houve dois terremotos: umcorrespondente a R1 = 8 e outro correspondente aR2 = 6 . O 1 2 4 x M1Calcule a razão . M2 A medida do segmento PQ é igual a: (A) 6 (B) 5 (C) log 2 5 (D) 2 (E) log 2 2011 3

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA15) A figura a seguir mostra o gráfico da funçãologaritmo na base B. O valor de B é: (A) 1/4 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 1016) (UERJ 2003-1ª fase) O logaritmo decimal donúmero positivo x é representado por log x. 2 3Então, a soma das raízes de log x — log x = 0 éigual a: 19) (UERJ-2004-1ªfase) Seja ββ a altura de um som,(A) 1 (B) 101 (C) 1000 (D) 1001 medida em decibéis. Essa altura βββ está relacionada com a intensidade do som, I, pela expressão abaixo, na -12 217) (UERJ-2006-1ºEX) O pH desse sistema-tampão qual a intensidade padrão, I0, é igual a 10 W / m .pode ser calculado pela seguinte expressão:pH = pKa + log10 [HCO ] − 3 [H 2 CO3 ] Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes deConsidere o pH fisiológico e o pKa iguais a 7,4 e 6,1, som.respectivamente. [HCO ] − 3Para que esse pH seja mantido, a razão [H 2CO3 ]deverá ser igual a:(A) 0,1 (B) 2,5 (C) 10,0 (D) 20,018) (UERJ-2006-1ºEX) A intensidade I de um terremoto, Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partirmedida pela escala Richter, é definida pela equação de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidadeabaixo, na qual E representa a energia liberada em de emissão de sons está na faixa de risco é de:kWh. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 20) (uff-2003-1f) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol. 2, 4ª ed., a intensidade relativa IR de uma onda sonora, medida em decibel (dB), é definida por:O gráfico que melhor representa a energia E, em função  I  -3da intensidade I, sendo E0 igual a 10 kWh, está I R = 10 log 10   I indicado em:  0 2 sendo I a intensidade sonora medida em Watt/m e Io a intensidade sonora de referência (correspondente ao 2 limiar da audição humana) também medida em Watt/m . Apresentam-se, a seguir, os valores em dB das intensidades relativas (IR) das ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares. 2011 4

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICASituação Particular IR (dB)Limiar da audição humana 0Susurro médio 20Conversa normal 65Limiar da dor 120 2Na unidade Watt/m , pode-se afirmar que:(A) a intensidade sonora do sussurro médio é menorque 10 vezes a intensidade sonora do limiar da audiçãohumana; Sejam M,N os pontos de interseção dos dois gráficos e P,Q susa respectivas projeções sobre o eixo x.(B) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes aintensidade sonora do limiar da audição humana; Determine a área do trapézio MNQP. 10(C) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 10 25) (UFRJ-2001-PE) Seja x0 , x1 , ... , xn , ... umavezes a intensidade sonora de um sussurro médio; seqüência infinita de números reais. Sabendo que x0 =10 e que os logaritmos decimais(D) a intensidade sonora do limiar da dor é,aproximadamente, o dobro da intensidade sonora deuma conversa normal; a 0 = log x0 , a1 = log x1 ,..., a n = log x n ,...(E) a intensidade sonora de uma conversa normal é formam uma PG de razão 1/2, calcule o valor limite do 4menor que 10 vezes a intensidade sonora de um produtosussurromédio. Pn = x0 ⋅ x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n 1 quando n tende a infinito.21) (UFRJ 2001) - Considere log b = x , sendo a > 0, a a 2 26) (UFRJ-98) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico≠ 1, b > 0 e b ≠ 1. Calcule o valor de log a b . abaixo expressa a variação de log y em função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal. log y22) (ufrj-2001-não esp)Os números a, b e c são tais que seus logaritmos 6decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão emprogressão aritmética.Sabendo que log b = 2, determine o produto abc. 223) (UFF - 2ºFASE) -Determine o valor de x naequação 2 log x 2 3 18log x + log x + log x + ... + log x = 342 Determine uma relação entre x e y que não24) (UFRJ-2000) A figura a seguir mostra os gráficos envolva a função logaritmo.das funções f e g, definidas no intervalo de ]0,4] por: x xf ( x) = − ln x e g( x ) = − (ln x ) 2 , 27) (uerj-2005) Um pesquisador, interessado em 2 2 estudar uma determinada espécie de cobras, verificouonde ln expressa o logaritmo na base neperiana e (e ≅ que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas2,7). M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de seus 3 comprimentos L, em metros, ou seja M = a x L , em que a é uma constante positiva. Observe os gráficos abaixo. 2011 5

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA. (A) 9 h 20 min (B) 10 h 36 min (C) 8 h 50 min (D) 10 h 10 min 30) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. 4 Admita um filtro que deixe passar da intensidade da 5 luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a: (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 31) (UFF-2011-1ªF) O índice de Theil, um indicadorAquele que melhor representa log M em função de log L usado para medir desigualdades econômicas de umaé o indicado pelo número: população, é definido por:(A) I M (B) II T = ln A M  sendo: (C) III  G (D) IV 1 n x1 + x 2 + ... + x n28) (uerj-2005-2f) Em uma cidade, a população quevive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. MA = N ∑x i =1 i = NA primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto asegunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas ede crescimento permaneçam constantes nos próximosanos. nA) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios MG = N ∏x i =1 i = N x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n ,hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule onúmero de habitantes das favelas daqui a um ano. respectivamente, as médias aritmética e geométrica das rendas x1 , x2, ..., xN (consideradas todas positivas eB) Essas duas populações serão iguais após um medidas com uma mesma unidade monetária) de cadadeterminado tempo t , medido em anos. um dos N indivíduos da população. Com base nessas informações, assinale a afirmativa 1 incorreta.Se t= , determine o valor de x. log x (A) T = ln (M A ) − ln (M G )29) A temperatura do cadáver de uma vítima de M assassinato foi medida as 11 h. Neste momento, o (B) ln A  ≥ 0 para todo x >0 , i = 1,...,N  x médico da polícia constatou que a temperatura era de  i 33,9ºC. Admite-se que a temperatura normal de uma xpessoa viva é de 36,5º e que o corpo esfria obedecendo (C) i ≤ M A para todo i = 1,...,Nà Lei T = k ⋅ 2 −0 , 25 t em que T é a temperatura do corpo N(em ºC) t horas após a morte e k é uma constante. (D) Se x1 = x 2 = ... = x n , então T = 0Pode-se afirmar que a morte da vítima ocorreu n MA  1  MA  MA   M  (E) T = 1aproximadamente às: N ∑ ln   =  ln  N   x  + ln x    + ... + ln A     x (Use: log 2 = 0,30 ; log 33,9 = 1,53 e log 36,5 = 1,56) i =1  xi    1   2   N  2011 6

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA32) (UFF-2010-1ªF) 34) (UFRJ-07-PNE) Seja f :]0, ∞[ → R dada por f (x) = log 3 xA Escala de Palermo foi desenvolvida para ajudarespecialistas a classificar e estudar riscos de impactosde asteróides, cometas e grandes meteoritos com aTerra. O valor P da Escala de Palermo em função dorisco relativo R é definido por: Sabendo que os pontos (a,-β), (b,0), (c,2) e (d,β) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. P = log10 ( R) 35) (UFRJ-2008-PNE)Por sua vez, R é definido por: Dados a e b números reais positivos, b ≠ 1, define-se σ logaritmo de a na base b como o número real x tal que R= x f × ∆T b = a, ou seja, x = logb a. Para α ≠ 1, um número real positivo, a tabela ao ladoSendo σ a probabilidade de o impacto ocorrer, ∆T otempo (medido em anos) que resta para que o impacto fornece valores aproximados para α x e α −x .ocorra e −4 f = 0,03× E 5a frequência anual de impactos com energia E (medidaem megatoneladas de TNT) maior do que ou igual àenergia do impacto emquestão. Fonte: http://neo.jpl.nasa.gov/risk/doc/palermo.htmlDe acordo com as definições acima, é correto afirmarque:(A) P = log 10 (σ ) + 2 − log 10 (3) + log10 (E ) + log10 (∆T ) 4 5 P = log10 (σ ) + 2 − log10 (3) − log10 (E ) + log10 (∆T ) 4(B) 5 P = log10 (σ ) + 2 − log10 (3) + log10 (E ) − log10 (∆T ) 4(C) 5 Com base nesta tabela, determine uma boa P = log10 (σ ) + 2 log10 (3) + log10 (E ) − log10 (∆T ) 4 aproximação para:(D) 5 a) o valor de α; P = log10 (σ ) − 2 log10 (3) + log10 (E ) − log10 (∆T ) 4(E) 5 1 b) o valor de logα .33) (UERJ-2010-2ªfase) Suponha que x e y são 10números reais positivos que apresentam logaritmos combases diferentes, conformeas igualdades a seguir: 2011 7

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA36) (UERJ-2011-2ªfase) b) o valor de x que satisfaz a equação f(x) = −1;Considere a equação: c) os valores de x que satisfazem a inequação f(x) > 0. DESAFIOS: com x > 0 39) (IME-2005) Sejam a,b,c e d números reais positivosUm aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para e diferentes de 1. Sabendo que loga d, logb d e logca solução dessa equação: d são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que: c 2 = (ac) loga d Obs: Esta questão foi anulada por erro no enunciado. 40) (IME-2011) O valor de y real positivo na equação: (5 y )log x 5 − (7 y ) log x 7 = 0 , onde x é um número real maior do que 1, é:O conjunto-solução encontrado pelo aluno está (A) 70 (B) 35 (C) 1incompleto. 1 1 (D) (E)Resolva a equação e determine corretamente o seu 35 70conjunto-solução.37) (UERJ-2008-1ªFASE) Admita que, em um GABARITO:determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, aintensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a 01) a) 3 b) -2 c) -5/2 d) -1 02) B 03) Dequação 04) C 05) C 06) A 07) 100 08) E 09) C 10) C 11) Ana qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h,em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. 12) C 13) A 14) B 15) DUm nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que aintensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquelaobservada na superfície. 16) D 17) D 18) B 19) BA profundidade do ponto P, em metros, considerandolog2 = 0,3, equivale a: 2 −2 21) log a b = 6 20) C 22) a.b.c=10(A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2 x38) (UFF-2011-2ªF – G) Seja f a função definida por 5 7 (e − 1)2f ( x) = x , x ∈ R , x ≠ ln 23) 100 24) 25) 100 3e − 7 3 4Determine: 2 26) y = 100 x 27) Ca) o menor inteiro maior do que f(ln 3); 2011 8

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA28) a) 1,265 milhões 29) B 30) C 35) a) α = α 3 × α −2 = 15,625 × 0,16 = 2,5 1+ 531) B 32) C 33) 2 1 1 b) x = log α   ⇔ α x = = 0,1. Da tabela,  10  1034) 11 35) a) 2,5 b) aprox −2,5 verifica-se que 0,1 ≈ 0,101 = α −2 , 5 . Então x ≈ −2,536) S = {1,8} 37) C 36)38) a) 3 b) ln (2/3) c) x > ln (7/3)Gabarito de alguns exercícios resolvidos:33) 38) Desafios:34) 39)Como log 3 x = y ⇔ 3 y = x e os pontos dadospertencem ao gráfico da função f (x) = log 3 x segueque:R: 11 2011 9

MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA Projeto Vestibular FUNÇÃO Prof. Bruno Vianna LOGARÍTMICA40) 2011 10

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