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Una breve introducción a los autómatas celulares
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Una breve introducción a los autómatas celulares

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11.octubre.2011 "Una Breve introduccióno a los autómatas celulares" ponente: Mtro. Gustavo Carreón

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  • 1. I SCE Seminario de Complejidad y Economía Una breve introducción a los autómatas celulares Aspectos computacionales y simulación Gustavo Carreón gcarreon@unam.mx Instituto de Investigaciones Económicas / Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de MéxicoCEIICH, UNAM Octubre 11, 2011
  • 2. PRESENTACIÓN Historia Dinámica de ACE • Complejidad • Propiedades emergentes • Ejemplos LIFE. Juego de la Vida • Estructuras • Propiedades Loop de Langton Pila de Arena Agentes autónomos Modelos Multiagentes Dinámica de insectos “sociales” Modelo del Bar “El Farol”
  • 3. HISTORIA En 1936 Alan Turing resolvió el problema de decisión, Entscheidungsproblem, propuesto por David Hilbert. ¿Todo enunciado en matemáticas es decidible? Si existe un procedimiento que pueda ser aplicado a cualquier sentencia de tal forma que nos diga si es verdadera o falsa. Introdujo el concepto de Máquina de Turing
  • 4. En 1940 John Von Neumann inicia el desarrollo de la teoría deHISTORIA autómatas, inspirado en el fenómeno biológico de la autoreproducción. Constructor Universal 29-estados ¿Qué tipo de organización lógica es suficiente para que un autómata sea capaz de autoreproducirse? Si la autoreproducción es ejecutada por una máquina bioquímica (altamente compleja), entonces el comportamiento de la máquina puede ser descrito por una secuencia lógica de pasos, es decir por un algoritmo. Ahora, si el algoritmo puede ser ejecutado por alguna máquina, entonces existe una máquina de Turing la cual pueda ejecutar el mismo algoritmo.
  • 5. HISTORIA Stanislaw Ulam contribuyo al trabajo de Von Neumann Stanislaw Ulam (1909-1984) Ulam sugirió el modelo de configuración celular en 1950, propuso considerar una grafica finita de puntos, donde cada punto tenía un número finito de conexiones a ciertos vecinos, cada punto podía usar un valor de un conjunto finito de estados. Los estados de los vecinos de un punto y el estado mismo del punto en el tiempo n, podía inducir el estado del punto al tiempo n+1 por medio de una función. El trabjo de Von Neumann fue publicado postumamente por Arthur W. Burks, Theory of Self-Reproducing Automata (1966).
  • 6. HISTORIA Edgar F. Codd (1923-2003) Konrad Zuse (1910-1995) Edward Fredkin (1934- ) 1968. Diseño un AC para 1967. Konrad Zuse. Tesis: Pionero en Autómatas recrear la computación y El universo entero esta Celulares y Computo construcción-universalidad siendo “computado” por un Reversible del modelo de Neumann automata celular. con solo 8 estados. Calculating Space (1969).
  • 7. HISTORIA Christopher Langton (1949- ) Stephen Wolfram (1959- ) Fundador del campo “vida Estudio de las dinámicas de los artificial”. “Computación al autómatas celulares borde del caos”. elementales, clasificación de sus Autoreproducción en AC dinámicas: estables (punto fijo), (Loop de Langton). periódicas, caóticas y complejas. Hormiga de Langton. SFI A new Kind of Science (2002).
  • 8. AUTÓMATAS CELULARES ELEMENTALESDefiniciónEl autómata celular elemental es una colección unidimensional de celdascon dos posibles estados {0,1}, evoluciona a través de pasos de tiempodiscretos de acuerdo a un conjunto de reglas basadas en los estados desus celdas vecinas. ai (t ) Indica el estado de la celda i-ésima (i=1,2,...,N) en el instante discreto t.La dinámica de dicho elemento se define a partir de una “vecindad” ai (t + 1) = F (ai −1 (t ), ai (t ), ai +1 (t ))Donde los valores de F pertenecen a una tabla de transicionescompuesta por las posibles ternas formadas con el alfabeto k = {0,1} ai −1 (t ) ai (t ) ai +1 (t ) → ai (t + 1)
  • 9. CONSTRUCCIÓN DEL ACECon una vecindad de radio 1 y un alfabeto binario se tienen 256 tablas detransiciones o reglas. Por ejemplo: 000 → 0 001 → 1 010 → 0 011 → 1 100 → 1 101 → 0 110 → 1 111 → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 1 0 0 0 0 . 0 0 1 0 = 2 . . 1 1 1 1 1 1 1 1 = 255
  • 10. CONSTRUCCIÓN DEL ACE
  • 11. EVOLUCIÓN DEL ACE
  • 12. CLASIFICACIÓN DE LOS ACE Un problema fundamental en la teoría de autómatas celulares es la clasificación. Una buena clasificación divide un AC en grupos con propiedades relacionadas. 1 Clasificación de Wolfram • Clase I (24): la evolución del sistema lleva a un estado homogéneo, sin estructuras espaciales ni temporales de ningún tipo.. • Clase II (194): la evolución del sistema da lugar a estructuras separadas de tipo estable o periódico. • Clase III (26): la evolución da lugar a patrones caóticos. Espacialmente surgen estructuras fractales y temporalmente hay ciclos de longitud muy grande. • Clase IV (12): la evolución genera estructuras complejas localizadas.1 Wolfram, S., Physica 10D:1 (1984).
  • 13. EJEMPLOS DE ACE – CONDICIÓN ALEATORIA 0 7 9 12 22 26 29 41 42 45 50 54 57 60 73 85 106 109 110 129 144 147 150 173 211 228 232 248
  • 14. TRANSICIÓN DE FASE Conjetura: propiedades de computo universal
  • 15. AUTOMATA CELULAR BIDMENSIONAL. LIFE Octubre de 1970 en la revista Scientific American en la columna de juego de Martin Gardner Celda prendida o “viva” Celda apagada o “muerta” John H. Conway (1937- ) Reglas sencillas → Comportamiento complejo 1. Una celda muerta con exactamente 3 celdas vecinas vivas "nace“. 2. Una celda viva con 2 ó 3 celdas vecinas vivas sigue viva. 3. Una celda con solo un 1 vecino vivo, muere por “soledad”. 4. Una celda con 4 o más vecinos vivos, muere por “sobrepoblación”.
  • 16. ANIMACIÓN LIFE t=0Correr programa
  • 17. Algunas estructuras emergentes Gosper’s gun Eater Glider Implementación de compuertas lógicas
  • 18. LOOP DE LANGTONEn 1984 Christopher Langton mostró la capacidad de autoreproducción de losautómatas celulares a partir de los modelos de Von Neumann y Codd. Se llegó ala conclusión de que la construcción-universalidad es una condición suficientepara la autoreproducción, pero no necesaria. El loop de Langton es un modelosimple el cual satisface los criterios de autoreproducción. Esta estructura logra susimplicidad almacenando su descripción en un “loop” dinámico más que en una“cinta” estática.
  • 19. Reglas (Tabla de transiciones)
  • 20. EVOLUCIÓN LOOP DE LANGTON t=0 t = 1800Correr programa
  • 21. MODELACIÓN DE FENÓMENOS CON ACDinámica del tráficoNagel, K., y Schreckenberg, M. (1992). A cellular automaton model for freeway traffic. J. Physics I.France, 2, 2221-2229.Dinámica de epidemiasChing Fu, y Milne . Epidemic Modelling Using Cellular Automata.Modelos de evacuaciónTissera, P. C., Printista, M., Errecalde, M. L. (2007). Evacuation Simulations Using Cellular Automata.JCS&T Vol. 7, No. 1.Crecimiento urbanoBatty, M. (2005), Cities and complexity: understanding the city with cellular automata, agent based modelsand fractals. The MIT press, pp 26Modelos de segregaciónSchelling, T. (1971). Dynamic Models of Segregation. Journal of Mathematical Sociology 1:143-186.Crecimiento de bosquesIwasa Y., Sato, K., y Nakashima, S. (1991). Dynamic modeling of wave regeneration (Shimagare) inSubalpine Abies Forests. J. Theor. B. 152, 143-158.Dinámica de incendios forestalesChen, K., y Bak, P. (2002). Forest fires and the structure of the universe. Physica A 306 15-24.Comunidades de insectos sociales, reacciones químicas, crecimiento de bacterias, DLA, …
  • 22. CRITICALIDAD AUTOORGANIZADA Modelo de la pila de arena Per Bak, Chao Tang, Kurt Wiesenfeld El sistema dinámico tiende a un estado crítico de forma autoorganizada a diferencia de otros sistemas donde el parámetro de control debe ser ajustado para alcanzar el estado crítico.
  • 23. MODELO DE LA PILA DE ARENA Estados 1 2 3 0 Donde se ha superado el umbral ReglasCorrer programa
  • 24. HORMIGA VIRTUAL La hormiga de Langton 1986 Agente Autónomo es una unidad que interactúa con su ambiente pero que actúa de forma independiente, no es controlado por algún líder y no sigue ningún plan global. Reglas a) Si la hormiga se encuentra en una celda blanca, gira 90°a la derecha y pinta la celda de color negro. b) Si la hormiga se encuentra en una celda negra, gira 90°a la izquierda y pinta la celda de color blanco.Correr programa
  • 25. PROPIEDAD EMERGENTE. CARRETERA
  • 26. VARIAS HORMIGASCorrer programa
  • 27. SISTEMAS MULTIAGENES Los sistemas multiagentes son una rama de la Inteligencia Artificial Distribuida. Puede definirse como el campo del conocimiento que estudia e intenta construir conjuntos de entidades autónomas e inteligentes, las cuales cooperan entre sí para desarrollar un trabajo o tarea específica. Además, estas entidades se comunican por medio de mecanismos basados en el envío y recepción de mensajes (Ferber, 1994). Un modelo basado en agentes (MBA) es un tipo de modelo computacional que permite la simulación de acciones e interacciones de individuos autónomos dentro de un entorno, y permite determinar que efectos producen en el conjunto del sistema.1 Combina elementos de teoría de juegos, sistemas complejos, emergencia, sociología computacional, sistemas multi agente, y programación evolutiva. Los modelos simulan las operaciones simultáneas de entidades múltiples (agentes), en un intento de recrear y predecir las acciones de fenómenos complejos. Es un proceso de emergencia desde el nivel mas elemental (micro) al más elevado (macro). Supuestamente los agentes individuales actúan según lo que perciben como sus intereses propios, tales como reproducción, beneficio económico, o status social, y su conocimiento es limitado. Los agentes MBA pueden experimentar “aprendizaje”, adaptación y reproducción. (wikipedia)
  • 28. AGENTES Agentes reactivos Responden a mensajes del entorno, enviando también mensajes a los otros agentes. Actualizan permantemente su representación del universo recogiendo continuamente la información de sus sensores. No tiene capacidad para actuar más que de acuerdo con planes o reglas prefijadas que no pueden ser modificadas por ellos mismos. Agentes intencionales Tienen las mismas capacidades que los reactivos, aunque aplican reglas para definir objetivos dependiendo de su motivación y necesidades. Son capaces de detectar conflictos en sus metas. Pueden, incluso, estar informados de las metas de otros agentes, de sus acciones e intereses. Agentes sociales Este tipo de agentes, tiene, adicionalmente a los anteriores, modelos explícitos sobre los otros agentes. Esto les da la capacidad de razonar sobre las metas, expectativas y creencias de los demás.Ferber, J. (1999). Multi-agent systems: An introduction to distributed artificial intelligence. NY: Addison Wesley.
  • 29. INSECTOS SOCIALESTermitas apiladoras de astillas de madera Resnick M. (1994). Turtles, termites, and traffic jams: explorations in massively parallel microworlds. MIT Press.Definición: hay N termitas distribuidas aleatoriamente sobre el espacio(retícula). Existen astillas de madera regadas aleatoriamente.Objetivo: apilar las astillas de madera Reglas • Si la termita no esta cargando nada y se encuentra con una astilla de madera, la recoge. • Si la termita esta cargando una astilla de madera y se encuentra con otra, suelta la astilla de madera que esta cargando y continua su camino.
  • 30. TERMITAS APILADORASEstrategia “descentralizada”No hay una termita a cargo y no hay un sitio prediseñado para la ubicaciónde las pilas. Cada termita sigue un conjunto simple de reglas, pero lacolonia como un todo logra tareas sofisticadas.
  • 31. COLONIA DE HORMIGASDinámica Fuente de comidaCuando una hormiga encuentra unpedazo de comida, lo carga yregresa al nido soltando un químicoen el regreso. Cuando las otrashormigas “olfatean” el químico, Fuente de comidasiguen el químico hasta la fuente decomida, cuantas más hormigascarguen pedazos de comida hacia al Hormiguerohormiguero se refuerza el rastro delquímico. Fuente de comida
  • 32. MODELO DE SEGREGACIÓN DE SCHELLINGMuestra como una ciudad integrada por dos clases de personas (verdes y rojos),pueden cambiar a una ciudad con alto grado de segregación, incluso si la gentetiene sólo la mitad de preferencia de vivir con los suyos.Estados• 0, si no hay ninguna casa• 1, si hay una casa de rojos• -1, si hay una casa de verdesVecindad de Moore (8-vecinos)Función de “felicidad”• Una persona con sólo un vecino, se mudará si su vecino es de una clase diferente.• Una persona con dos vecinos, se mudará a menos que uno de sus vecinos sea de su misma clase.• Una persona que tenga de 3 a 5 vecinos, se mudará a menos que 2 de sus vecinos sean de su misma clase.• Una persona que tenga de 6 a 7 vecinos, se mudará a menos que 3 de sus vecinos sean de sus misma clase• Una persona que tenga 8 vecinos, se mudará a menos que 4 de sus vecinos sean de su misma clase
  • 33. MODELO DE SEGREGACIÓN DE SCHELLING Actualización de forma asíncrona Condiciones de frontera periódicas
  • 34. MODELO DE BAR EL FAROL W. Brian Arthur, “Inductive Reasoning and Bounded Rationality”, American Economic Review (Papers and Proceedings), 84,406-411, 1994.
  • 35. MODELO DE BAR EL FAROL Algunas hipotesis o predicciones para la asistencia de la próxima semana puede ser: • La misma que la semana pasada. • Promedio de las últimas 4 semanas • La misma que hace 2 semanas (ciclos de periodo 2) Asistencia al bar en las últimas 100 semanas • La misma que hace 5 semanas (ciclos de periodo 5) • Etc…Los individuos pueden formar prediccioneso hipótesis, en forma de funciones quemapean las asistencias de las d semanasanteriores en la asistencia de la siguientesemana. …, 44, 78, 56, 15, 23, 67, 84, 34, 45, 76, 40, 56, 22, 35.
  • 36. MODELO DE BAR EL FAROL BAR “EL FAROL”
  • 37. PARA FINALIZAR La modelación basada en agentes (sistema multiagentes sobre automatas celulares) como por ejemplo en el estudio de la Vida Artificial se realiza con un enfoque Bottom-Up Simulación Sistema Comportamiento emergente!! Reglas locales La dinámica local es el resultado de las relaciones básicas entres sus componentes
  • 38. PARA FINALIZAR Fenómenos sociales, ? económicos, biológicos …..¿Cuáles son las reglaslocales subyacentes alos fenómenos? Sistemas Complejos Computación Evolutiva
  • 39. Y AHORA SI PARA FINALIZAR …. GRACIAS!!