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Geometria analítica

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  • 1. Ponto, reta e circunferência
    Geometria Analítica
  • 2. Distância entre dois pontos
    Ponto médio
    Razão de secção
    Condição de alinhamento de três pontos
    Estudo do ponto
  • 3. Distância entre dois pontos
    Ponto médio
    dA,B = √(xB-xA)² + (yB – yA)²
    M = (xA + xB /2, yA + yB/2)
    Estudo do ponto
  • 4. Origem, e extremidade
    Ponto divisor
    OP = r PE
    Estudo do ponto – Razão de secção
  • 5. Condição de alinhamento de três pontos
    xaya 1
    xbyb 1 = 0
    xc yc 1
  • 6. Equações da reta
    Posições relativas entre retas
    Ângulos entre retas
    Distância entre
    • ponto e reta
    • 7. Retas
    Inequações no plano
    Estudo da reta
  • 8. Reduzida:
    y = mx + p
    Segmentária:
    x/p + y/q = 1
    Equações da reta
  • 9. Equação geral:
    ax + by + c = 0
    Equação fundamental:
    y - yA = m (X- XA)
    Equações da reta
  • 10. Posições relativas entre retas
    Retas Paralelas
    As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.
    Assim para r//s, temos:
  • 11. Posições relativas entre retas
    Retas Concorrentes
    As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.
    Assim para r e s concorrentes, temos:
  • 12. Posições relativas entre retas
    Retas Perpendiculares
    É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:
  • 13. Ângulos entre retas
  • 14. Distância entre ponto e reta
    A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento perpendicular a reta. Para estabelecer a distância:
    equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0
    coordenada do ponto: P(x0,y0)
  • 15. Distância entre retas
    No caso geral:
    Seja x = 0 em r:
    a(0) + by + cr= 0
    y = -cr/b
    Logo:
    P( 0, -cr/b)
    Portanto:
    dP,s = |a(0) + b(-cr/b) + cs|
    √a² + b²
    dP,s = |b(-cr/b) + cs|
    √a² + b²
    r
  • 16. Equação geral e reduzida da circunferência
    Posições relativas
    Ponto e circunferência
    Reta e circunferência
    Circunferência e circunferência
    Estudo da circunferência
  • 17. Equações da circunferência
    Geral
    x² – 2xa + a² + y² - 2by + b² = r²
    Reduzida
    r2 = (x – a)2 + (y – b)2
  • 18. Ponto e circunferência
    dQ,0 < Raio
    Q é interno a λ
    dP,0 = Raio
    P é pertencente a λ
    dL,0 < Raio
    L é externo a λ
    P
    Q
    y0
    o
    L
    x0
  • 19. Reta externa
    Reta tangente
    A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência. D > R.
    A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida. D = R
    Reta e circunferência
  • 20. Reta secante
    A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante.
    Reta e circunferência
  • 21. Externa
    Interna
    dO1,O2 > r1 + r2
    λ1 ∩ λ2 = Ø
    dO1,O2 < r1 + r2
    λ1 ∩ λ2 = Ø
    Circunferência e circunferência – não possuem ponto comum
  • 22. Tangente interna
    Tangente Externa
    dO1,O2 = r1 + r2
    λ1 ∩ λ2 = {P}
    dO1,O2 > r1 - r2
    λ1 ∩ λ2 = {P}
    Circunferência e circunferência –Um ponto em comum
  • 23. Secante
    Cocêntrica
    |r1 – r2|< dO1,O2 < r1 + r2
    λ1 ∩ λ2 = {A,B}
    dO1,O2 = 0
    λ1 ∩ λ2 = Ø ou
    λ1 ∩ λ2 = λ1= λ2
    Circunferência e circunferência – Dois pontos em comum