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Segunda Unidad Para Entregar

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  • 1. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD Probabilidades Contenidos: - Conceptos básicos de experimento aleatorio, espacio muestral, suceso, probabilidad, etc. - Calculo de probabilidades: reglas básicas, Probabilidad condicionada, regla de Bayes, Independencia - Concepto de variable aleatoria. - Modelos probabilísticos para variables discretas. - Modelos probabilísticos para variables continuas.
  • 2. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD - Experimento Aleatorio Principales Conceptos - Espacio Muestral - Evento o Suceso Experimento Aleatorio (E) Espacio Muestral (EM) Es cualquier proceso en el cual se recoge Es el conjunto de todos los posibles resultados de información de un fenómeno que presenta un Experimento. variación en sus resultados. Ejemplos: Ejemplos: E1: Medir la concentración de gases contaminantes EM1: Si x=% de gases contaminantes, los posibles resultados en E1 son {x / 0 ≤ x ≤ 100} en los tubos de escape de un conjunto de vehículos. EM2: Si x=Nº en la cara superior, los posibles resultados en E2 son {x / x = 1, 2, 3, 4, 5, 6} E2: Lanzar un dado y observar el Nº sobre la cara superior. EM3: Si x = peso ganado, y =estatura ganada; los E3: Damos una dosis de vitaminas a un niño y posibles resultados en E3 son {(x; y) / - ∞ ≤ x ≤ ∞; y ≥ 0} observamos el peso y la estatura del niño después de 12 semanas.
  • 3. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD - Experimento Aleatorio Principales Conceptos - Espacio Muestral - Evento o Suceso Evento o Suceso Sea un Experimento (E) y su Espacio Muestral (EM): “un Evento o Suceso es cualquier subconjunto del EM”. A cada uno de los resultados en el EM se le llama Evento Simple o Suceso Elemental. del ejemplo anterior En EM1 {x / 0 ≤ x ≤ 100} algunos eventos son A = {x / 0 ≤ x ≤ 5} B , {x / 10 ≤ x ≤ 20} = En EM2 {x / x = 1, 2, 3, 4, 5, 6} algunos eventos son A=“Nº par”, B=“Nº impar”, C=“Nº 4”. En EM3 {(x; y) / - ∞ ≤ x ≤ ∞; y ≥ 0} algunos eventos son A = {(x; y) / x ≥ 30; y = 0} B = {(-100; 3)} donde B es un evento Simple (suceso elemental)
  • 4. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD - Experimento Aleatorio PROBABILIDAD - Espacio Muestral Propiedades - Evento o Suceso Sean A y B dos sucesos cualquiera: Se escribe (A∪B) si ocurre A o si ocurre B o ambos Se escribe (A∩B) si ocurre A y B C representa el complemento de A, cuando no ocurre A ocurre AC. A Definición 1: Si A y B son eventos, se dice que A y B son excluyentes o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, (A∩B) =∅. Ejemplos: E: Determinar si una persona porta o E: Lanzar un dado y observar el no un arma blanca. número en la cara superior. EM= {si, no} EM= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A={si}, B={no} A={4}, B=Nº impar={1, 3, 5} (A∩B) =∅ (A y B son excluyentes) (A∩B) =∅ (A y B son excluyentes)
  • 5. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD - Experimento Aleatorio PROBABILIDAD - Espacio Muestral Propiedades - Evento o Suceso Sean A y B dos sucesos cualquiera: Se escribe (A∪B) si ocurre A o si ocurre B o ambos Se escribe (A∩B) si ocurre A y B C representa el complemento de A, cuando no ocurre A ocurre AC. A Definición 2: Sea E un experimento y EM el espacio muestral, con cada suceso A se asocia un número que medirá la probabilidad de que A ocurra, donde P(A) será la probabilidad de A. Si EM={A1, A2,...,Ar} con s=1, 2,..., r. 1) 0≤P(Ai)≤1 2) P(EM)=1 Si A1,A2,...,Ar son sucesos mutuamente excluyentes, es decir (Ai∩Aj) =∅; la probabilidad de la 3) unión de todos los sucesos es: EM r r = ∑ P(A s ) A1 A2 P(A1)+ P(A2)+... +P(Ar)= P(U A s ) A3 s =1 s =1 A5 A4
  • 6. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD Propiedades 1.- Si ∅ es un conjunto vacío (suceso imposible) la probabilidad es cero: - P(∅ )=0 (A ∪ ∅) =A ⇒ P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)= P(A) - (A ∩ ∅) = ∅, A y ∅ son sucesos excluyentes - 2.- Si A un suceso cualquiera y AC un suceso complementario, EM={A,AC }: P(A) + P(AC) =1 - EM P(A) =1- P(AC) - A P(AC) =1- P(A) AC - P(EM)=P(A ∪ AC)= P(A) + P(AC) - EM 3.- Sean A y B sucesos cualquiera: P(A ∪ B)= P(A) + P(B)- P(A ∩ B) A B - Si A y B son sucesos independientes: P(A ∩ B)=P(A ) P(B) - Si A y B son sucesos excluyentes: P(A ∩B)= ∅ - A EM 4.- Sean A y B sucesos tales que B≤A: P(B)≤P(A) B 5.- Sean A, B y C sucesos cualquiera: P(A∪B ∪C)= P(A) + P(B)+ P(C)- P(A∩B)- P(A ∩C)- P(B ∩C) + P(A ∩B∩C) -
  • 7. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD Definición 3: Sea E un experimento y EM el espacio muestral, A es el suceso de interés, entonces P(A)= (Nº de elementos de A) / (Nº de elementos en EM) Observación: la dificultad en el calculo de la probabilidad está en determinar el Nº de elementos en el espacio muestral. 1 2 3 4 5 6 E: se lanzan 2 dados y se observan los Ejemplo: 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 números en las caras superiores. 3 31 32 33 34 35 36 EM= {(1,1) (1,2) (1,3).....(6,6)} 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 A= La suma de los números de las caras 6 61 62 63 64 65 66 superiores es 4. A ={(1,3) (3,1) (2,2)} Problema: Determinar probabilidad de A Problema Nº de elementos en EM= 36 Ejercicio: Nº de elementos en A= 3 Experimento: lanzar una moneda; Suceso A: que salga P(A)=3/36=0,083 (8,3%) cara; calcular P(A). Obtener la frecuencia relativa del suceso A: cuando el experimento se repite 30 veces, 50 veces y 100 veces.
  • 8. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD Ejemplos 1) Una persona tiene 20 lápices en su bolso, 4 de los cuales no funcionan, si tiene que firmar una carta y saca al azar un lápiz del bolso, ¿cuál es la probabilidad de que saque un lápiz bueno?. E: Sacar un lápiz del bolso. EM= {L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7, L8, L9, L10, L11, L12, L13, L14, L15, L16, L17, L18, L19, L20} A= Sacar un lápiz bueno. Nº de elementos en EM= 20; Nº de elementos en A= 16; P(A)=16/20= 0,8 (80%) 2) Una bolsa de caramelos de 3 sabores (Sandía, Naranja y Limón) contiene 20 unidades de las cuales el 50% es de Limón, el 25% de Sandía y el otro 25% de Naranja. Si un niño saca al azar un caramelo: a) ¿Cuál el la probabilidad que saque uno de limón? En este ejemplo determine: b) ¿Cuál es la probabilidad que saque uno de sandia? Experimento, Espacio c) ¿Cuál es la probabilidad que saque uno de naranja? Muestral, Suceso y Si el niño saca al azar dos caramelos: probabilidad del Suceso a) ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean de limón? b) ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean de naranja? c) ¿Cuál es la probabilidad que uno sea de sandía y otro de naranja?
  • 9. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD - Principio Multiplicativo PROBABILIDAD Técnicas de Conteo - Permutaciones - Combinaciones “ Permiten determinar el Nº de elementos del Espacio Muestral de un experimento” 1.- PRINCIPIO MULTIPLICATIVO - Suponemos un Experimento que consiste en k etapas o procedimientos, donde la etapa ei puede tener ni posibles resultados, i=1,...k. - En el experimento, cada una de las formas de efectuar e1 puede ser seguida por cualquiera de los resultados de e2 y así sucesivamente por cualquiera hasta concretar la última etapa del experimento, que es ek. - Por lo tanto el experimento puede tener (n1 x n2 x … x nk) posibles resultados. Ejemplo: 1) Sea E= se lanza un dado 2 veces: e1= lanzar el dado por primera vez y e2= lanzar el dado por segunda vez. Los posibles resultados en cada etapa del experimento son: n1=6 y n2= 6. El número posible de resultados es: n1n2= 6 6=36.
  • 10. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD - Principio Multiplicativo PROBABILIDAD Técnicas de Conteo - Permutaciones - Combinaciones “ Permiten determinar el Nº de elementos del Espacio Muestral de un experimento” 1.- PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Ejemplo 2) ¿De cuantas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones diferentes, 2 camisas distintas y 2 pares de zapatos?. E= la persona se viste: e1= se pone pantalón, e2= se pone camisa y e3= se pone zapatos . Los posibles resultados en cada etapa del experimento son: n1=3, n2= 2 y n3= 2. El número posible de formas de vestirse es: n1n2 n3 = 3 *2* 2=12.
  • 11. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD - Principio Multiplicativo PROBABILIDAD Técnicas de Conteo - Permutaciones - Combinaciones “ Permiten determinar el Nº de elementos del Espacio Muestral de un experimento” 2.- PERMUTACIONES y 3) COMBINACIONES PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. n! P= El Nº de posibles resultados en un experimento es (n − r )! COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. n! El Nº de posibles resultados en un experimento es C = r! (n − r )! donde n!=1x 2 x 3 x … x (n-1) x n por ejemplo 3!= 1x 2 x 3 = 6
  • 12. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD - Principio Multiplicativo PROBABILIDAD Técnicas de Conteo - Permutaciones - Combinaciones “ Permiten determinar el Nº de elementos del Espacio Muestral de un experimento” Nº experimento” 2.- PERMUTACIONES y 3) COMBINACIONES n! n! COMBINACIÓN: C = P= PERMUTACIÓN: r! (n − r )! (n − r )! Ejemplo: Hay cuatro personas (Ana, Rosa, Miguel Ejemplo: Se tienen 4 banderas (Roja, Amarilla, Verde Claudia) ¿Cuántos grupos se pueden tener mezclando 2 Blanca) ¿Cuántas señales se pueden tener mezclando 2 personas? 1× 2 × 3 × 4 banderas? 4! 12 1× 2 × 3 × 4 Rpta.: C = = = =6 4! Rpta.: P = = = 12 2! ( 4 − 2)! (1× 2) × (1× 2) 2 ( 4 − 2)! 1× 2 E= de 4 personas formar grupos de 2 E= de 4 banderas sacar dos banderas y formar señales EM={AR, AM, AC, RM, RC, MC} EM={RA, AR, RV, VR, RB, BR, AV, VA, AB, BA, A= el grupo esta formado sólo por mujeres VB, BV} P(A)= 3/6=0,5 A= la señal tiene una bandera Roja B= el grupo es mixto P(A)= 6/12=0,5 P(B)=3/6=0,5
  • 13. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD PROBABILIDAD CONDICIONADA -La idea de probabilidad condicionada permite incorporar información relevante para hallar la probabilidad de un suceso. - La expresión de la probabilidad condicionada es la siguiente: P( A y B) P( A ∩ B) sabiendo que P ( A y B ) = P ( A ∩ B ) P( A / B) = = P(B) P( B) es decir, los dos sucesos ocurren al mismo tiempo P( A ∩ B) = P( A / B) ⋅ P( B) Ejemplo: En una población de N mujeres y hombres, donde NM son mujeres y NH son hombres, se sabe que Nc consumen cierto producto, de los cuales NcM mujeres consumen ese producto. Experimento: se elige al azar una persona y se le pregunta si consume el producto. A: la persona consume el producto. P( A) = N c N Si sabemos que la persona seleccionada es mujer, la probabilidad de que consuma el producto condicionada a que es mujer se obtiene como sigue: A: la persona consume el producto; B: la persona es mujer. N cM ( A ∩ B) P( A ∩ B) E N cM =N= P( A / B) = NM NM P( B) Esquemáticamente: Esquemá A B N
  • 14. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD REGLA DE BAYES - En algunos casos, el espacio muestral de un Experimento se puede partir en varios sucesos, los llamaremos B1, B2, …, Br, incompatibles entre si o excluyentes (no hay intersección), tal como se presenta en el esquema: E B1 B2 B3 B5 B4 B6 - En ese mismo experimento existe un suceso A cualquiera de nuestro interés, representado en el siguiente esquema: E B1 B2 B3 A B5 B4 B6 -La probabilidad del suceso A puede calcularse a partir de las probabilidades de A condicionado por los diferentes sucesos B1, B2, …, Br, utilizando la formula de probabilidad total: r P ( A) = ∑ P( A / Bi ) ⋅ P ( Bi ) i =1 -Sobre la base de la formula anterior, se puede calcular la probabilidad de que ocurra el suceso Bi P( Bi y A) P( Bi ∩ A) P ( A / Bi ) P( Bi ) (i=1,2,…,r) dado el suceso A mediante la formula: P( Bi / A) = = = P( A) P( A) P( A)
  • 15. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD REGLA DE BAYES r -La probabilidad del suceso A: P ( A) = ∑ P( A / Bi ) ⋅ P ( Bi ) P( Bi y A) P( Bi ∩ A) P( A / Bi ) P( Bi ) P( Bi / A) = = = i =1 P( A) P( A) P( A) -La Prob. que ocurra el sucesoBi (i=1,2,…,r) dado el suceso A: -Ejemplo: Estudio de la situación laboral de los trabajadores en 4 sectores de la economía, denotados por B1, B2, Ejemplo B3 y B4. a) Interesa determinar la probabilidad que una persona este en paro y b) de que una persona que esta sin trabajo pertenezca al segundo sector Sea el suceso A: estar sin trabajo (estar en paro) - La probabilidad de que una persona este sin trabajo en el sector B1 es P(A/B1)=0,05 - La probabilidad de que una persona este sin trabajo en el sector B2 es P(A/B2)=0,01 - La probabilidad de que una persona este sin trabajo en el sector B3 es P(A/B3)=0,02 -La probabilidad de que una persona este sin trabajo en el sector B4 es P(A/B4)=0,1 Se sabe que la mitad de las personas pertenecen al primer sector y y el resto se divide en partes iguales entre los otros 3, por lo tanto: - La probabilidad de que una persona proceda del sector B1 es P(B1)=0,5 - La probabilidad de que una persona proceda de los sectores B2, B3 y B4 es P(B2) = P(B3) = P(B4) = 0,16 a) La probabilidad que una persona este en paro es: P( A) = P( A / B1 ) + L + P( A / B4 ) = 0,05 ⋅ 0,5 + L + 0,1 ⋅ 0,16 = 0,0458 b) La probabilidad que una persona que está sin trabajo pertenezca al sector 2 (B2) es: P( A / B 2 ) P( B 2 ) 0,01 ⋅ 0,16 P( B 2 / A) = = = 0,03 P( A) 0,0458
  • 16. PROBABILIDAD: SEGUNDA UNIDAD PROBABILIDAD INDEPENDENCIA - Dos sucesos son independientes cuando la aparición de uno de ellos no modifica la probabilidad de que ocurra el otro. Por lo tanto, dos sucesos A y B son independientes si: P ( A / B ) = P ( A) P ( A y B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) Si A y B son independientes, entonces: Ejemplo a: no hay independencia entre los sucesos A y B Experimento: se lanza dos veces un dado equilibrado. El suceso A: en el segundo lanzamiento sale un Nº par. El suceso B: La suma de los resultados es al menos 9 -Los elementos de A son {12, 22, 32, 42, 52, 62,14, 24, 34, 44, 54, 64, 16, 26, 36, 46, 56, 66} -Los elementos de B son { 63, 36, 54, 45, 64, 46, 56, 65, 66, 55} -Los elementos de A y B son {54, 64, 36, 46, 56, 66} P ( A) = 12 / 36 = 0,5, P ( B ) = 10 / 36 P ( A y B ) = P ( A ∩ B ) = 6 / 36 Por lo tanto: y Ejemplo b: hay independencia entre los sucesos A y B Experimento: se lanza dos veces una moneda equilibrada donde {CC, CX, XC, XX} El suceso A: en primer lanzamiento sale cara A={CC, CX}. El suceso B en el segundo sale cara, B={XC,CC}. Que resulte A y B es {CC}. La P(A)=2/4=0,5 y P(B)=2/4=0,5 y P(AyB)=1/4=0,25 por lo tanto P(AyB)=P(A)xP(B)=0,5 x 0,5 = 0,25

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