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Mat razao e proporcao
 

Mat razao e proporcao

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    Mat razao e proporcao Mat razao e proporcao Document Transcript

    • Inclusão para a vida Matemática C UNIDADE 1 b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. NÚMEROS PROPORCIONAIS Tarefa Mínima  RAZÕES E PROPORÇÕES 1. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatosRazão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas para o curso de Odontologia. Sabendo que foramde duas grandezas na mesma unidade. fornecidas 100 vagas, qual a razão do número deEntão, dados dois números a e b , denomina-se razão ao candidatos em relação ao número de vagas? aquociente de a por b e indica-se por 2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é b 60 e que a razão entre eles é 2 . aObs.: a razão é usualmente lida assim: “a está para b”. 3 b 3. Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 eA igualdade entre duas razões é uma proporção. y 1 a c x 3Representação: b donde: a, d = extremos b, c = meios 4. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a cA expressão lê-se assim: a está para b, assim b d a) x = 1 e y=6como c está para d. b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12Observações: d) x = 4 e y=2Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas 5. Divida o número 360 em partes proporcionais aossucessões numéricas dadas nessa ordem. números 2, 3, 4 e 6. A e B são diretamente proporcionais se: Tarefa Complementar a b c k d e f 6. Divida o número 220 em partes inversamente proporcionais aos números 2 , 3 e 4 . k é a constante de proporção. 3 4 7 a b c a b c 7. A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos ePropriedade: d e f d e f estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas. A e B são inversamente proporcionais se: a.d=b.e=c.f=k 8. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente a b c proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdadePropriedade: a . d = b . e = c . f = 9 x 5 1 1 1 , os valores de x e y devem ser d e f y 8 20Exercícios de Sala  respectivamente: a) 2 e 36 b) 1 e 1 4 51. Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão c) 2 e 5 d) 5 e 35entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê- e) n.d.a.la é: 9. (F.Carlos Chagas) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b)2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é são de números inversamente proporcionais e a + mb = 3 10, então m é igual a:42 e que a razão entre eles é . a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 4 d) 2,5 e) 5,03. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3,5 e 7.Pré-Vestibular da UFSC 1
    • Matemática C Inclusão para a Vida10. p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que 1 1 grau é da circunferência.p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? 360 a) – 2 b) 0 c) 0,5 Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´ d) 2 e) 3 Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua11. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que abertura. x y z , o valor de x é: Ângulo Agudo2 3 412. (UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. Asmedidas de seus lados são inversamente proporcionaisa 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor ladodesse terreno, é: Ângulo Reto13. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.Entre as galinhas vacinadas, a razão do número demortas para o número de vivas é: 1 1 4 4 a) b) c) d) e) n.d.a. 4 5 1 5 Ângulo Obtuso14. (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamenteproporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p em. x y 1 2 Dois ângulos e podem ser: 2 p m 8 a) complementares: + = 90º b) suplementares: + = 180º15. Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25 c) replementares: + = 360ºlitros de gasolina. Determinar as razões das medidas. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE a) do óleo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura UNIDADE 2 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. GEOMETRIA PLANA ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E ÂNGULOS UMA TRANSVERSALÂngulo é a região formada por duas semi retas que têm amesma origem (vértice).O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice Triângulos UNIDADES ANGULARES Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dosSistema Sexagesimal (Grau) segmentos AB, AC e BC.Pré-Vestibular da UFSC 2
    • Inclusão para a vida Matemática C Exercícios de Sala  1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede:Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: 2. Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então, esse ângulo mede:Quanto aos lados a) 30° b) 45° c) 60° d) 80° e) 15° 3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x.Quanto aos ângulos a) r //sCRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo considerando a, o lado maior temos: equilátero. a2 < b 2 + c 2 triângulo acutângulo a2 = b 2 + c 2 triângulo retângulo a2 > b 2 + c 2 triângulo obtusângulo ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A + B + C = 180° Tarefa Mínima Triângulo Equilátero 1. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é: a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10° 2. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede: a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°Se AB = BC = AC então A = B = C = 60° 3. Determine o valor de x na figura abaixo:Triângulo Retângulo 25º r//s 130º x sPré-Vestibular da UFSC 3
    • Matemática C Inclusão para a Vida4. Nas figuras abaixo, o valor de x é: 7. (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: a) a) 100° b) 144° c) 36° c) 80° e) n.d.a. 8. (UFSC) Dados os ângulos: Â = 22°3215 C 75°0152 b) B = 17°4947 D = 32°4420 Calcular o valor, em graus, da expressão: A C B Dc) 9. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença x y é: r // s // t 23o rd) s y t o x 1125. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: 10. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo y, em graus, é: a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2yTarefa Complementar  11. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por6. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, uma transversal de modo que a soma de dois ângulosdo arco x é: agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 142° b) 144° c) 148° d) 150° e) 152° 12. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em graus do ângulo 3 é:Pré-Vestibular da UFSC 4
    • Inclusão para a vida Matemática C Triângulos - 3 lados Quadriláteros - 4 lados Pentágono - 5 lados Hexágono - 6 lados Heptágono - 7 lados Octógono - 8 lados Eneágono - 9 lados a) 50 b) 55 c) 60 Decágono - 10 lados d) 80 e) 100 Undecágono – 11 lados Dodecágono - 12 lados13. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o Pentadecágono – 15 ladosseu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em Icoságono - 20 ladosgraus a medida do ângulo: Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).14. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. r NÚMERO DE DIAGONAIS 60° O número de diagonais de um polígono de n lados é dado s pela expressão: Y 70°15. Na figura , o valor de x é: SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n 3) é dado pela expressão: SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n 3) é sempre igual a 360° UNIDADE 3 Observações ESTUDO DOS POLÍGONOS Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes ELEMENTOS relações: CLASSIFICAÇÃOOs polígonos podem ser classificados quanto o número de Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par,lados. Os mais conhecidos são: então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro. Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.Pré-Vestibular da UFSC 5
    • Matemática C Inclusão para a Vida POLÍGONOS REGULARES 2. Em um icoságono regular ABCDE... calcule:Um polígono é regular quando tem lados e ângulos a) a soma dos ângulos internos.congruentes. Todo polígono regular é inscritível e b) a soma dos ângulos externos.circunscritível a uma circunferência. c) cada ângulo interno e externo.Nomenclatura 3. Dado um triângulo eqüilátero de lado 2 3 cm, determine: é o lado do polígonoR é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a) altura do triângulo.a é o raio da circunferência inscrita ou apótema b) raio da circunferência circunscrita. c) raio da circunferência inscrita.Triângulo Equilátero 4. Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a: h a) 5 2 b) 10 c) 10 2 d) 20 2 e) 3 2 5. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida doQuadrado lado desse hexágono, em centímetros, é: a) 3 b) 2 e) 2,5 d) 3 c) 4 Tarefa Mínima  1. O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágonoHexágono Regular e) não existe 2. Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150° 3. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) HexágonoExercícios de Sala  4. Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculosegmento de reta que une dois vértices nãoconsecutivos do polígono. Se um polígono convexotem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18Pré-Vestibular da UFSC 6
    • Inclusão para a vida Matemática C a) 2a b) a 2 b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo c) a 3 d) a 3 2 e) 2a 2 3 11. (ACAFE-SC) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo a) 2 b) 3 c) 2 2 3 d) 2 3 e) 2 12. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:5. O lado de um triângulo equilátero inscrito numacircunferência mede 2 6 cm. Determine a medida da a) 90 b) 100 c) 110altura do triângulo. d) 120 e) 150 13. Calcule a medida do ângulo central de um eneágono a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 e) n.d.a. Regular.6. (ACAFE-SC) O diâmetro mínimo de um tronco de 14. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito eárvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, inscrito de um triângulo equilátero de lado a?cujas arestas das bases meçam 20cm, é: a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2 cm e) 80 cm 15. Determinar em função do raio R, o lado de um decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.Tarefa Complementar  UNIDADE 47. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dosângulos internos mede 1.440° tem exatamente: CIRCUNFERÊNCIA a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais ELEMENTOS e) 35 diagonais8. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cujarazão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre onúmero de lados é 1/3.9. ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígonoregular medem 20°. Então o número de diagonais dessepolígono é: Raio: segmento CB. a) 90 b) 104 Corda: segmento MN. c) 119 d) 135 Diâmetro: segmento AB. e) 152 ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA10. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro dalado “a”. A diagonal AB mede: circunferência. A BPré-Vestibular da UFSC 7
    • Matemática C Inclusão para a Vida SEGMENTOS TANGENTESÂngulo Inscrito: ângulo que tem vértice nacircunferência. TEOREMA DE PITOT Propriedade: Em todo quadrilátero convexo circunscrito a umaConsequências circunferência a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois:Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem umlado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.Ângulo excêntrico (fora do centro) interior SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULO RETÂNGULO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temos:Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior ˆ A ˆ D a b c ˆ Se : B ˆ E então k d e f ˆ C ˆ F k é a constante de proporção ou constante de semelhança.Quadrilátero Inscrito na circunferência Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer. Triângulo Retângulo – relações métricas Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.Pré-Vestibular da UFSC 8
    • Inclusão para a vida Matemática C x 40° Seus elementos são:  a: hipotenusa 3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC ( AB =8, AC=9 e BC=7 )  b e c: catetos  h: altura relativa à hipotenusa . Então, x vale: A  n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.Relações MétricasAtravés da semelhança de triângulos podemos estabelecer B P Cas seguintes relações: x  a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0  a.h = b.c d) 4,6 e)5,0  b2 = a.n  c2 = a.m ˆ 4. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B D são  h2 = m.n congruentes. Então, o valor de x é:Exercícios de Sala 1. Determine o valor de x em cada caso abaixo: a) a) 42 b) 32 c) 21 d) 60 e) 10 Tarefa Mínima  b) 1. Nas figuras abaixo, determine o valor de x: x 20° Oc) 2. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é: C A 3x O 150° B2. Determine o valor do complemento do ângulo x a) 25° b) 30° c) 50°indicado na figura abaixo: d) 75º e) 100°Pré-Vestibular da UFSC 9
    • Matemática C Inclusão para a Vida3. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dosarcos (AC) mede: C 40° A B 9. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.4. ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é: x 2 3 10 10. Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono abaixo, calcule x + y.5. ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas condições, determine o valor de x + y. C 10 E 11. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: x+1 15 x 10 2x 3x A y D 18 BTarefa Complementar  3x + 16. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na 12. (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cmcircunferência de centro O é: e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm e) 5cm, 14cm e 19cm 13. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´7. (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dospentágono regular. A medida em graus do ângulo é: segmentos AB´, B´C´ e C´D´ 14. ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao8. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. Oo ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do perímetro desse retângulo, em cm, é:ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH dotriângulo.Pré-Vestibular da UFSC 10
    • Inclusão para a vida Matemática C C Q P A M B N a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 1615. Na figura abaixo as circunferências de centros A e Btêm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distânciaentre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior ascircunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros,a medida do segmento CD. Círculo e suas partes UNIDADE 5 Círculo ÁREAS DE FIGURAS PLANAS TRIÂNGULOS QUAISQUER A = R2 Coroa Circular A= (R2 – r2 ) Setor Circular TRIÂNGULO EQUILÁTERO απR 2 A= 360 Exercícios de Sala  1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m: QUADRILÁTEROS A E D Paralelogramo 10 F 2 B C A = a.hPré-Vestibular da UFSC 11
    • Matemática C Inclusão para a Vida 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2. a) 4 b) 5 c) 2 5 02. A área de A é 1/6 da área de C. d) 5 2 e) 6 04. A área de A é 24m2. 08. Um dos lados de A mede 2m.2. A área da coroa limitada pelas circunferências 16. Um dos lados de C mede 8m. inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é: 5. (UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de a) 2,25 b) 5 c) 4 16 cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois d) 2 e) 8 raios é de 2cm, determine o valor numérico do produto desses raios.Tarefa Mínima 1. ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é: C Tarefa Complementar  6. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm 4 e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um 120° losango de área 8cm2 B A 3 A a) 3 b) 2 3 P M c) 3 d) 4 3 e) 62. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito B N Cnuma circunferência de raio 2 é igual a: A medida, em graus, do ângulo BNP é: a) 3 3 cm2 b) 3 2 cm2 a) 15 b) 30 c) 45 c) 2 3 cm2 d) 2 2 cm 2 c) 60 d) 75 e) n.d.a. 7. (CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é3. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm.Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em a) 1,04 S b) 1,02 Scentímetros quadrados, é: c) S d) 0,98 S e) 0,96 S 8. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: D C4. (UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está divididoem três retângulos, A, B e C, dispostos conforme afigura abaixo, de modo que a área de B é a metade da B A E F Gde A e um terço da de C. a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 B C e) 1/10 ACom base nessas informações, é correto afirmar:Pré-Vestibular da UFSC 12
    • Inclusão para a vida Matemática C9. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita ecircunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm éigual a: A O UNIDADE 6 B C GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS10. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.1, a área do setor assinalado é: 7π 7π 5π a) b) c) 9 18 18 5π 8π d) e) 9 9 Relação de Euler: V + F = A + 211. (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2)medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito onde “v” é o número de vértices.nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cmde comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de umárea do retângulo seja máxima? poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?12. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercadode pastagem, cuja forma é um quadrado, com ladomedindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m queestá fixada num dos cantos do quadrado. Considerando =3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região docercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque estáamarrado. a) 1244 b) 1256 c) 1422 d) 1424 e) 1444 Poliedros Regulares13. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, suaárea cresce: Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais. a) 14% b) 14,4% c) 40% d) 44% e) 144%14. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r eC2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro deC2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pelacircunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados,calcule em cm2 a área do círculo limitado pelacircunferência C2.15. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o pontomédio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN =NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM eCDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.Pré-Vestibular da UFSC 13
    • Matemática C Inclusão para a Vida I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras.Exercícios de Sala  Tarefa Complementar 1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces 6. Some as alternativas corretas:quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas,faces e vértices. 01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices. 02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 somente faces triangulares possui 9 arestas.faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face 04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possuihexagonal. Determine o número de vértices. 15 arestas. 08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular vértices pentaédricos possui 12 faces.de aresta l. 16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas. 7. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. QuantasTarefa Mínima  faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais?1. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 facestriangulares. O número de vértices desse poliedro é: 8. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dosa) 12 b) 15 ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:c) 18 d) 20 e) 24 a) 180 b) 360 c) 540 d) 720 e) 9002. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas facestriangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. 9. (UFRGS) Um octaedro regular possui:Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) mais diagonais do que vértices;a) 3240º b) 3640º c) 3840º b) mais faces que arestas;d) 4000º e) 4060º c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual número de vértices e de arestas.3. (PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 facespentagonais e algumas faces triangulares. Qual o númerode faces desse polígono, sabendo-se que o número de 10. (PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de umarestas é o quádruplo do número de faces triangulares? poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é:a) 6 b) 4 c) 5d) 3 e) 8 a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 44. (PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual onúmero total de faces desse poliedro?a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 125. (PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças:Pré-Vestibular da UFSC 14
    • Inclusão para a vida Matemática C UNIDADE 7 PRISMAS DEFINIÇÃOPrismas são poliedros que possuem duas faces paralelas econgruentes denominadas bases, e as demais faces em No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais aforma de paralelogramos. altura. Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base. ELEMENTOSBASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDEFACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;BCB´C; CDC´D´; ……ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´;CC´; DD´ e EE´ALTURA: A distância EH entre as duas bases édenominada altura do Prisma.ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´;C´D´ ; D´E´ e E´A´ Exercícios de Sala  NOMENCLATURA 1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateralO nome do prisma se dá através da figura da base. igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine: Prisma Triangular: As bases são triangulares. Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. Prisma Hexagonal: As bases são hexágonosObservação: Se o polígono da base forregular, o prisma também será chamados de Regular. a) a área total do prisma b) o volume do prisma 2. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular de 2cm de aresta da base é 42 3 cm3. A medida, em cm2, da área lateral desse prisma é: Tarefa Mínima  CLASSIFICAÇÃO 1. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por baseDe acordo com sua inclinação um prisma pode ser: um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:Reto: quando as arestas Oblíquo: quando as arestas 2. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma árealaterais são laterais são oblíquas aos total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da baseperpendiculares aos planos planos da base. mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura doda base. prisma é:Pré-Vestibular da UFSC 15
    • Matemática C Inclusão para a Vida3. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m dealtura, cuja base é um hexágono de 2 m de lado, é: a) 3 m3 b) 3 3 m3 c) 9 m3 d) 3 m3 e) 8 3 m3 UNIDADE 84. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é 6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é emcm3: TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULOTarefa Complementar  Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos e as faces opostas são retângulos congruentes.5. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% b) aumenta 15% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) não se altera6. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango Possui três dimensões:cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. comprimento (a)Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desseprisma, em cm3, é: largura (b) altura (c)7. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base Fórmulasquadrada, cuja altura mede 3m e com área total de Área Total: ST = 2(ab + ac + bc)80m2. O lado dessa base quadrada mede: Volume: V = a.b.c8. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto debase triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2a área total desse prisma, em cm2, é: RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST Cubo – Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais. a) 1852 b) 1016 c) 926 d) 680 e) 508 Todas as faces são quadrados9. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE éparalelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é Fórmulasparalelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem oslados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o Área Total: ST = 6  2trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos Volume: V =  3paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume(em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, Diagonais: d =  2 D=  3ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.Pré-Vestibular da UFSC 16
    • Inclusão para a vida Matemática CExercícios de Sala  7. (Fatec-SP) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metrosquadrados, a área total desse paralelepípedo. a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2 d) 294cm2 e) 290cm22. No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm2. 8. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dmCalcule o volume do cubo. agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.Tarefa Mínima 1. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, operímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm.Calcule o volume do cubo em cm3. 01. A área do triângulo ABC é 2 dm2. 02. AD 2 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm.2. ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um 9. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, temparalelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Umadimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, emdm2, a área total desse paralelepípedo. decímetros cúbicos, é:3. ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em 10. (UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de água dequanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixaque seu volume se torne igual a 216 m3? 20 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa.4. ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de b) calcule sua capacidade em litros.dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa semtampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cmde lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. Aterça parte do volume da caixa, em cm3, é: UNIDADE 95. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das PIRÂMIDESarestas estão em progressão aritmética de razão 3. Amedida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse DEFINIÇÃOparalelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é: Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares.Tarefa Complementar  Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular6. (UFSC) A área total de um paralelepípedo retoretângulo é de 376 m2 e as suas dimensões sãoproporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décimaparte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe oresultado para o cartão resposta.Pré-Vestibular da UFSC 17
    • Matemática C Inclusão para a Vida Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as seguintes relações: Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base  ap Área Lateral : SL = n. 2 NOMENCLATURA Área Total: ST = SB + SLDá-se o nome da pirâmide através do polígono da base.Observe alguns exemplos. SB.h Volume V = 3 Relações Auxiliares na Pirâmide Pirâmide Triangular a base é um triângulo ap2 = H2 + ab2 2  a  = ap + 2 2 2 a  2 = H2 + R2 Pirâmide quadrangular a base é um quadrado Exercícios de Sala  1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide. Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono 2. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja altura mede 3 3 m e o perímetro da base mede 12 m? 3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da pirâmide?Pirâmides Regulares Tarefa Mínima Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular,a pirâmide é regular. 1. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, temElementos e Formulário aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide. 2. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide. 3. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é: 4. (Cescem-SP) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a aresta da base - ℓ área lateral é: aresta lateral -aℓ altura – h a) 240cm2 b) 260cm2 c) 340cm2 apótema da base – ab d) 400cm2 e) n.d.a. apótema da pirâmide – ap Raio da circunferência circunscrita – RPré-Vestibular da UFSC 18
    • Inclusão para a vida Matemática C5. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm2medindo 2. Então, a sua altura mede: c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.d.a. e) 24 3 cm2Tarefa Complementar  13. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 3 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide6. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm de mede, em m2.volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da a) 6.10-4 b) 6.10-2 -4base? c) 12.10 d) 12.10-2 -4 e) 15.107. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta éigual ao volume de uma pirâmide regular que tem para 14. (EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 225base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm dopirâmide, em cm, é: vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm b) 7,5 cm8. O apótema de uma pirâmide regular é igual ao c) 1,5 cm d) 9,5cmsemiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num e) 3,5cmcírculo de 8 metros de raio. Calcule a área total dapirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez ). AULAS 109. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regularde aresta igual a 4 cm. CILINDRO, CONE e ESFERA 2 2 a) 4 3 cm b) 8 3 cm 2 CILINDRO DE REVOLUÇÃO c) 12 3 cm d) 16 3 cm2 e) 24 3 cm2 Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região retangular. Também é10. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação chamado de cilindro circular.de um sólido. O volume desse sólido é de: Elementosa) 1152cm3 b) 1440cm3 Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da basec) 384cm3 d) 1200cm3 dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é ditoe) 240cm3 cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h11. (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de Fórmulasmadeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N eP são os pontos médios das arestas, como se mostra na Considere um cilindro reto.ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedroque resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 1 3 2 5 3a) V b) V c) V d) V e) V 2 4 3 6 8 Área da Base: SB = r212. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedroregular de aresta igual a 4 cm. Área Lateral: SL = 2 rhPré-Vestibular da UFSC 19
    • Matemática C Inclusão para a VidaÁrea Total: ST = 2SB + SLVolume: V = r2hSecção Meridiana:A secção feita no cilindro reto por um plano que contém oseu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A Secção de uma esferasecção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando asecção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero. Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R(g = h = 2r) determina como secção plana um círculo de raio r. 2RhCONE DE REVOLUÇÃO d é a distância entre o plano e o centro da esfera.Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um R é o raio da esfera.triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este r é o raio da secção.cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a Relação: R2 = r2 + d2hipotenusa é a geratriz do mesmo. Fórmulas da esfera 4 3 superfície esférica: As = 4 R2 volume: V = πR 3 Exercícios de Sala  1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27 dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:Fórmulas a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dmÁrea da Base: SB = r2 Área Lateral: SL = rg 1 2. (UFSC) Determinar do volume em m3 de um cone 2 πr hÁrea Total: ST = SB + SL Volume: V = de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área 3 lateral, 20 m2.Relação auxiliar: g2 = h2 + r2 3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h =Secção Meridiana 20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro eNo cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. exterior às esferas vale:Quando a secção meridiana for um triângulo eqüiláteroteremos um cone eqüilátero ( G = 2R )h g 2R a) 102 cm3 b) 80 cm3 c) 40 cm3ESFERA 3 3 d) 160cm3 e) 80 cm3Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distânciasao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera tambémpode ser considerada um sólido determinado pela rotaçãode um círculo em torno de um de seus diâmetros.Pré-Vestibular da UFSC 20
    • Inclusão para a vida Matemática CTarefa Mínima  9. Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da1. (UFSC) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de secção. 1 a) 39 b) 36 c) 32 2 336 m . O valor, em m , de do volume desse cilindro é: d) 65 e) n.d.a. 10. (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área2. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma 1 total é 2. O valor de do volume da esfera, inscrita 15 3 cônica, de cm de altura e 12 cm de raio da base. O nesse cubo, é: volume, em cm3, de ferro que sobrou após a 11. (UFSC) O volume, em cm3, de um cubo modelagem, é: circunscrito a uma esfera de 16 cm2 de superfície é:3. (UDESC) Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem 12. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo docaixa é: raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é: a) 3,2 m b) 3,6 m a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 c) 4,0 m d) 4,8 m d) 2/3 e) 14. (SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento 13. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone eqüiláteroe 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, emvertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois cm3, é:litros de água em seu interior, a água: a) 144 b) 152 c) 192 d) 288 e) 302 a) ultrapassa o meio do cano b) transborda 14. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro c) não chega ao meio do cano está completamente cheia de massa para doce, sem d) enche o cano até a borda exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces e) atinge exatamente o meio do cano em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:5. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é a) 300 b) 250 c) 200cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do d) 150 e) 100centro da superfície esférica, determinando umacircunferência, em cm, é: 15. (UFSC) A geratriz de um cone eqüilátero medea) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, emTarefa Complementar  cm2, multiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no cartão-resposta.6. (UFSC) Um cilindro reto tem 63 cm3 de volume.Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, emcentímetros, a sua altura. UNIDADE 117. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto é aumentadode 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste PROGRESSÃO ARITMÉTICAcilindro sofrerá um aumento de: a) 2% b) 4% c) 6% CONCEITOS INICIAIS d) 8% e) n.d.a. Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1,8. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de sendo n inteiro positivo. Temos:hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos. a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.Qual é o volume do sólido de revolução gerado? (4, 7, 10, 13, ...........) a) 3 2 cm3 b) 9 cm3 c) 18 cm3 d) 27 cm3 Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor e) 1/3 cm3 se mantém igual a 3. Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas.Pré-Vestibular da UFSC 21
    • Matemática C Inclusão para a Vida DEFINIÇÃO Três termos em P.A.Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a :x–r. x.x+rpartir do segundo elemento, a diferença entre cada Quatro termos em P.Aelemento e seu antecessor é constante. Essa constante é : x – 3r . x – r . x + r . x + 3rdenominada razão da P.A. e é indicada por r. Cinco termos em P.A. : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2rVeja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. énecessário que: Propriedades da P.A. a2 a1 = a3 a2 = ...... an an 1 = ..... = r Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos eVeja os exemplos: razão r, podemos observar as seguintes propriedades:a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois, Um termo qualquer, excetuando os extremos é a 5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3. média aritmética entre o termo anterior e o posterior.b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois, 4 – 1 5 – 4. a a an n 1 n 1 CLASSIFICAÇÃO DA P.A. 2Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor darazão. Observe o quadro abaixo: Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) r>0 P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 8 14 r<0 P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 11 2 r=0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. é igual à soma dos termos eqüidistantes dos extremos.Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo dadefinição temos: Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos a2 = a 1 + r extremos temos: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r p+q=n+1 . . Com essa igualdade é possível saber se dois termos an = a1 + (n – 1).r quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não. Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a 16 e a35 sãoImportante: eqüidistantes dos extremos, pois 16 + 35 = 50 + 1.Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , dafórmula do termo geral temos: INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICAan = a1 + (n – 1)r (1) Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre aak = a1 + (k – 1)r (2) e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com m + 2 elementos.Subtraindo-se (1) de (2) vem: Para determinarmos os meios aritméticos, devemosan – ak = (n – 1)r – (k – 1)r calcular a razão da P.A.an – ak = (n – 1 – k + 1) ran = ak + (n – k)r SOMA DOS TERMOS DA P.A.Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemosescrever: a an an = ak + (n – k).r Sn 1 .n 2Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r Exercícios de Sala Representações EspeciaisPara facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos 1. A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termosutilizar os seguintes artifícios: consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:Pré-Vestibular da UFSC 22
    • Inclusão para a vida Matemática C2. Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da 10. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21eP.A. 623 é:3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA 11. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 –proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, 3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo dacompreendidos entre 1e1995, é P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é: 01. 198.000 a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56 02. 19.950 04. 199.000 12. (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e 08. 1.991.010 a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado 16. 19.900 do quadrado mede:Tarefa Mínima  a) 2 b) 2 2 -1 c) 1 + 2 d) 4 e) 21. Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que 13. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não sãoas seqüências representem três números consecutivos em divisíveis por 15, é:P.A. a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1)c) (x + 4)2, (x – 1)2 , (x + 2)2 14. (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A. 2. (FGV-SP) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é umaprogressão aritmética. Sua razão é: 15. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.3. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. sãorespectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é: 16. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro4. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida doterceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o maior lado desse triângulo.décimo segundo é 110.5. (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos 17. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo éentre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão 150, determine o raio da circunferência inscrita nessearitmética cujo quinto termo vale: triângulo.6. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. Asoma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: 18. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo primeiro termo e último termos são respectivamente, 7 e 17 é:7. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros númerosnaturais ímpares é dada por: 19. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A.,a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3 na qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é:8. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os 20. (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos daformandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar seqüência ( 133, 126, 119, 112...) para que a soma deum triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3 seus termos seja positiva.formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assimpor diante, constituindo uma progressão aritmética. O UNIDADE 12número de formandos na cerimônia é:a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 PROGRESSÃO GEOMÉTRICATarefa Complementar DEFINIÇÃO É uma sequência de números não nulos em que cada termo9. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado pordos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois um número fixo chamado razão da PG.primeiros termos é 5. O valor do 1º termo é: Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :anPré-Vestibular da UFSC 23
    • Matemática C Inclusão para a Vida onde Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), a1 é o primeiro termo podemos dizer que o termo central é a média geométrica a2 é o segundo termo entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja: a3 é o terceiro termo an é o enésimo ou último termo a22 = a1.a3 ou an2 = an - 1.an + 1 n é o número de termos q é a razão da P.G. 2ª Propriedade a2 a3 a4 an Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual aoq produto dos termos eqüidistantes dos extremos. a1 a2 a3 an 1 Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 CLASSIFICAÇÃO DA P.G. 3. Interpolação Geométrica1º caso: a1 > 0 Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m Se q > 0 P.G. crescente ( 2, 6, 18, 54,...) + 2 elementos. Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...) Para determinarmos os meios aritméticos, devemos Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 256, 64, calcular a razão da P.G.16,...) 3. Soma dos termos de uma P.G. finita.2º caso: a1 < 0 A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..) Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...) a1 ( q n 1) an .q a1 Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -20, - Sn10,...) q 1 q 1Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temosem que cada termo tem sinal contrário ao do termo uma P.G. constante, e a soma dosanterior. Isso ocorre quando q < 0. termos dessa P.G será dada por: Sn = n. a1 TERMO GERAL 4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da Dada uma P.G. com: n e an 0, sua soma podedefinição temos: ser calculada pela expressão: a2 = a1.q a1 a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 S 0 < |q| < 1 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 1 q 5. Produto dos termos de uma P.G. finita an = a1.qn - 1 O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão:Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termosquaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma |Pn | = (a 1.an ) nP.G. am e ak, podemos dizer que: am = ak.qm - k Exercícios de Sala  x1. Representação de três termos em 1. (UEL-PR) A seqüência (2x + 5, x + 1, , ....) é uma P.G. 2 progressão geométrica de termos positivos. O décimox terceiro termo dessa seqüência é: , x , x qq a) 2 b) 3-10 c) 3 d) 310 e) 3122. Propriedades 2. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro1ª Propriedade: termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486Pré-Vestibular da UFSC 24
    • Inclusão para a vida Matemática C3. Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que 11. ( UFSC ) Na progressão geométrica (10, 2, 2 , 2 ,a razão vale 2, o valor do quinto termo é: 5 25 2 ...), a posição do termo é:a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56 625 x x x 12. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é4. A solução da equação: x 15 é: 3 9 27 aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior.Tarefa Mínima  Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão:1. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que a) aritmética de razão 12as seqüências representem três números consecutivos em b) aritmética de razão 0,12P.G. c) geométrica de razão 12 d) geométrica de razão 1,12a) (x + 1; x + 4; x + 10) e) geométrica de razão 0,12b) (4x, 2x + 1, x – 1)2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e oúltimo é 486. Calcular a razão dessa P.G. 13. (UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo.3. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimosvale 9. Calcule a razão da progressão. 14. ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º4. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde termo dessa seqüência.a soma de seus termos é 14 e o produto 64? a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245 a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1 x x x 15. (UFSC) Sejam x, 6 e y uma progressão aritmética5. (UFCE) A solução da equação x 60 onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 10 e 3 9 27 y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico deé: 11y - 7x é:a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51 16. (UDESC) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro6. A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é: quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os e) n.d.a. quadrados obtidos.Tarefa Complementar  17. (IME) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no7. (UFPA) A seqüência (a, ab, 3a), com a 0, é uma P.G. solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine aEntão, o número b é: distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. a) o triplo de a. b) a terça parte de a. c) racional d) irracional 18. (FGV-SP) O conjunto solução da equação e) n.d.a. x x x 1 x 2 x ... é:8. (UFPA) A razão da P.G. obtida ao somarmos um 3 9 27 2mesmo número a 1,3 e 2, nessa ordem é: 1 1 a) { , 1} b) {– , 1} c) {1, 4}a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3 2 2 d) {1, - 4} e) {1, 2}9. (FGV-SP) Em um triângulo, a medida da base, amedida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de 1 2 3 4razão 8. Então a medida da base vale: 19. Considere a expressão A = ... em 3 9 27 8110. (UFSC) Em uma progressão geométrica o 3º termo é que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo. formam uma P.G. Determine o valor de 12APré-Vestibular da UFSC 25
    • Matemática C Inclusão para a Vida20. (UFSC) Determine a soma dos números associados 08. A soma dos termos da P.G. 1 2 4 é igual a 1.à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 3 9 27 01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equação (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 é x=1 04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) é a8 = 16.GABARITOUnidade 1 Unidade 3 Unidade 5 Unidade 9 Unidade 111) 34,50 1) b 1) c 1) 64 1) a) – 1 b) 4 cand/vaga 2) c 2) a 2) 48 c) -9/82) 24 e 36 3) c 3) 12 3) 24 2) 073) x = 15 e y = 5 4) 13 4) b 3) 01 4) a) 10 3 b) 5) 15 5) b 4) 064) c 10 c) 10 2 6) b 6) 03 5) 545) 48, 72, 96, 144 5) c 7) e 7) 18 6) 04 6) d 8) c 8) 64 7) a6) 72, 64, 84 7) e 9) 9 cm2 9) d 8) a7) 35 anos e 20 8) quadrado e 10) b 10) c 9) 61 anos dodecágono 11) 03 11) d 10) 1208) a 9) d 12) a 12) d 11) d9) d 10) d 13) d 13) a 12) b 11) a 14) 16 14) b 13) b10) d 12) d 15) 20 14) 3011) 04 13) 40o Unidade 10 15) 60 14) 2 Unidade 6 1) 54 16) 9912) 10 15) 5 1 1) a 2) 09 17) 0213) a R 3) c 18) 35 2 2) a 1 3) a 4) a 19) 9014) p = m = 5) e 20) 40 2 Unidade 4 4) e 1) a) 43° b) 50° 5) e 6) 07 1 c) 75° 6) 23 7) d Unidade 12 2 2) a 7) 18 8) b 1) a) 2 b) – 1/815) 1 , 5 , 1 3) a 8) d 9) a 2) 03 5 6 6 4) 3/5 9) d 10) 96 3) 03 5) 29 10) a 11) 64 4) cUnidade 2 6) a 12) a 5) b1) c 7) c Unidade 7 13) d 6) c2) b 8) 50° 1) 32dm3 14) d 7) d3) 75° 9) 32 2) 16 15) 09 8) a4) a) 20° b) 44° 10) 215° 3) c 9) 16c) 20° d) 30o 11) 20 4) 36 10) 165) a 12) b 5) a 11) 066) 85° 13) 2,6; 3,9; 6,5 6) 96 12) d7) a 14) b 7) 04 13) 508) 47 15) 20 8) d 14) a9) 21 9) 72 15) 9610) 80 16) 3211) b Unidade 8 17) 3h12) e 1) 64 18) a13) 30° 2) 68 19) 0914) 130° 3) 02 20) 1515) 120 4) 64 5) 02 6) 48 7) a 8) 13 9) 06 10) a) 80 b) 512Pré-Vestibular da UFSC 26