Mat potenciação é uma multiplicação

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Mat potenciação é uma multiplicação

  1. 1. Inclusão para a vida Matemática B UNIDADE 1 Nomenclatura n Em a = b, temos: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO  n é o índice  a é o radicando POTENCIAÇÃO  b é a raizDefinição Condição de existênciaPotenciação é uma multiplicação de fatores iguais.Sendo a  R e a  0 e m  Z. Tem-se que: Em a , se n for par, então é necessário que a seja maior n n m a = a. a. a. a. a..... a. ou igual a zero. Se n for ímpar então a sempre existe.  m fatores  PropriedadesCasos Particulares  n a .n b  n a.ba0 = 1 para a  0a1 = a na a  n 1 nb ba-n = n a  na   m n m  aPropriedades m n.p m.p na  aSe a e b são números reais e m e n, números inteiros,tem-se:  n m a  n.m a m am.an = am + n  n am  a n am  a m n Racionalização de denominadores an Dada uma fração com denominador contendo radical, (a ) = a m n m.n racionalizar o denominador é um processo no qual se (a.b)n = an.bn obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto, n  a  an n com o radical no denominador.    b b n m 1º CASO: O denominador é do tipo a Neste caso, multiplica-se numerador e denominadorPotência de base 10 pelo fator: n anm .Sabe-se que: 100 = 1 101 = 10 2º CASO: O denominador é do tipo a  b Neste caso, 102 = 100 multiplica-se numerador e denominador. Pelo fator: 103 = 1000 a b nEntão 10 = 100...........00  n zeros Exercícios de Sala Observe ainda que: 10-1 = 1 = 0,1 1. Calcule: 10 a) 24 d) 17 g) 3-2 10 = 1 = 0,01 -2 b) – 24 e) 03 h)  2  4 10 2   3 10 = 1 = 0,001 -3 c) (– 2) 4 f) 214 0 10 3Então 10–n = 0,000.............001 2. Transforme cada expressão em uma única potência de  n casas decimais base 3. a) 37 . 3-5 . 36 = c) (34)2 = 2 5 2 RADICIAÇÃO b) 3 .3 = d) 34 = 3Definição 3b é a raiz n-ésima de a, se bn = a. 3. Calcule:Representação a) 0,25 d) 3 64n a = b  bn = a b) 0,01 e)  9 4 2Pré-Vestibular da UFSC 1
  2. 2. Matemática B Inclusão para a Vidac) 3 125 f) 50  32  2 2  242 8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?  2 2 3 2 3 1  1 2  1   8 a)   b)   c)   d)   e)  4. Racionalize:  80  8  5  800   10  5a) 3 b) c) 3 d) 2 9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão 5 3    5 2 5 2 4 2 a.b 2 . a 1.b 2 . a.b 1 3 2 , quando a = 10 e b = 10Tarefa Mínima   a  3 .b. a 2 .b 1 . a 1.b  a) 106 b) 102 c) 103 d) 109 e) 1071. Determine o valor das expressões: 10. (FGV-SP) Simplificando aa) 34 g) 4-2 2n  4  2n  2  2n 1 temos: 3 expressãob) – 3 4 5 h)   2 n 2  2 n 1 2 3 87 82 34c) (– 3)4 i) 24 + 1201 + 03 + 40 a) b) c) d) 4 4 3 3d) 1201 j) 4 2 3 ( 2)  (2 ) 2 4 11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, entãoe) 080 k) 2 2 3 1 (abc)12 vale:     a) 9912 d) 9988 3 2f) 5000 b) 9921/2 e) 9999 c) 99282. Transforme cada expressão em uma única potência debase 2. 12. Determine a soma dos números associados àsa) 25.23.27 b) (23 ) 2 .23 2 proposições corretas: 43. Sendo A = 2100, obtenha: 01. A expressão 45  20  80 é 5a) sucessor de A d) quadrado de A equivalente a 3 15b) o dobro de A e) metade de A 02. O valor de 2  2  2  2  4 é 2c) quádruplo de A f) raiz quadrada de A 1 14. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das 04. O valor de 8 3  16 2 é4raízes: 4 obtém-se 2 2 08. Racionalizando 5a) 4 625 c) 0 e) 81 2 16 16. A expressão 3  5 é igual a 8 15 3 5 3 15b) 5 32 d) 1 f) 3  0,125 13. Calculando 313  312 , acha-se:5. Racionalize: 25 : 23 a) 32 c) 36 e) n.d.a.a) 5 b) 6 c) 2 d) 5 3 b) 34 d) 38 2 3 5 3 2 14. (UEL-PR) A expressão 1 1   1 é equivalenteTarefa Complementar 2 2 2 2 a) – 1 d) 2 –16. O valor da expressão 100.(0,1)3 é equivalente a: 0,01 b) 2 –2 e) 2 +1a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 10 c) 2 +27. Assinale a soma dos números associados às proposições 15. (UEL-PR) Seja o número realcorretas:01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 500  3 20  2  2 5 x= . Escrevendo x na forma x = a02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 5 104. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é zero. +b c , tem-se que a + b + c é igual a:08. A metade de 48 + 84 é 17.211 a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8Pré-Vestibular da UFSC 2
  3. 3. Inclusão para a vida Matemática BUNIDADE 2 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOConsidere o triângulo retângulo ABCNesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: ____ ___ AC e AB são os catetos ___ BC é a hipotenusa   B e C são os ângulos agudosPelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos  agudos são complementares, ou seja, B  C = 90ºRELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.Sendo assim, temos que: Exercícios de Sala  1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura: b c b sen  = cos  = tg  = a a cObservação:Se  +  = 90° tem-se que sen  = cos Tabela de arcos notáveis 2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suasalturas, dividimos o triângulo em dois triângulosretângulos congruentes.Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal eobtemos dois triângulos retângulos isósceles.Em resumo, temos: a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a. 3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2 =  e BP2P1 =  e que tg  = 2 e tg  = 4, a distância entre as margens (em metros) é:Pré-Vestibular da UFSC 3
  4. 4. Matemática B Inclusão para a VidaTarefa Mínima  Tarefa Complementar 1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x: 5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:a) 12 X 30°b) 01. h = 2m 6 02. h = 3m 60° 04. a = (1 + 3 ) mc) X 08. O triângulo ACD é isósceles ____ x 16. O lado AC mede 6m 5 6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e 45° paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um = 0,93; tg 20º = 0,36)ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cimada torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de 7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:comprimento. A que distância se encontra o ponto maisalto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)a) 55 metros d) 42 metros c) 45 metrosb) 15 metros e) 51 metros3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construiruma rampa que vai da parte inferior de uma parede até otopo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Paraem graus, que a rampa formará com o solo. sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. a) b cos  c) a sen  e) b sen  b) a cos  d) b tg  9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B ___ localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, ePré-Vestibular da UFSC 4
  5. 5. Inclusão para a vida Matemática Bleva meia hora para atingir o ponto D. A partir destesdados, assinale o que for correto. Exercícios de Sala  1. Determine o valor de x na figura abaixo: ___01. AC = 10km ___02. AD = 2,5 km ____04. BC = 5 3 km ˆ08. O ângulo BAD mede 60°16. A velocidade média do barco é de 15km/h 2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x raio da circunferência que circunscreve o triângulo B 3. Determine o valor de x na figura abaixo: 30° 60° D C A AD = x DC= x - 38 BD = yUNIDADE 3 TEOREMA DOS CO-SENOS 4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo abaixo, é:Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um ladoé igual à soma dos quadrados das medidas dos outros doislados, menos duas vezes o produto das medidas desteslados pelo co-seno do ângulo formado por eles. Tarefa Mínima  1. Determine o valor de x na figura abaixo: TEOREMA DOS SENOSNum triângulo qualquer, os lados são proporcionais aossenos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o 2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. Adiâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. medida, em cm, do lado AB será:Pré-Vestibular da UFSC 5
  6. 6. Matemática B Inclusão para a Vida A a) 22 c) 2 3 b) 3 d) 3 2 e) 4 2 45° 30° 9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = B C cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência decentro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a 10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =soma dos números associados às proposições verdadeiras: ˆ ˆ 3cm, AB = 2cm, A D C = 60° e A B C = 90°. D A C 75° O 60° B C A B O perímetro do quadrilátero, em cm, é:01. O triângulo ABC é equilátero a) 11 c) 13 e) 1502. o raio da circunferência vale 2cm ___ b) 12 d) 1404. AB = 2 2 cm08. O comprimento da circunferência é 4 cm UNIDADE 4 e 54. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIAparalelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um TRIGONOMÉTRICAângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, emcentímetros, mede: ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIAa) 4 c) 3 e) 4 2b) 11 d) 135. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e6. O co-seno do maior ângulo de T é:a) 5/6 c) ¾ e) 1/8b) 4/5 d) 2/3Tarefa Complementar  Arco de uma circunferência é cada uma das partes que6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer demedem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o seus pontos.ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:a) ½ c) ¾ e) 5/6b) 2/3 d) 4/57. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um ___triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da ˆcircunferência. O ângulo B A C mede:a) 15° c) 36° e) 60°b) 30° d) 45° A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa possui vértice no centro da circunferência).sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,quando o navio está em A, observa o farol L e mede o Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. ˆângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica  Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo ˆo ângulo L B C = 75°. Quantas milhas separam o farol do 1 do comprimento da comprimento é igual aponto B? 360 circunferência.Pré-Vestibular da UFSC 6
  7. 7. Inclusão para a vida Matemática B Logo, a circunferência tem 360º. ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: ângulo central . 1º = 60 1= 60 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido. Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus eradianos. Portanto: Denomina-se sen  a projeção do raio OM, pela 360º  2 rad extremidade M do arco sobre o eixo y. 180º   rad Denomina-se cos  a projeção do raio OM, sobre o eixo x. CICLO TRIGONOMÉTRICOQuando numa circunferência de raio unitário se estabeleceum sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclotrigonométrico.Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partesdenominadas quadrantes.  Anti Horário  Positivo 2. SinaisORIENTAÇÃO  Horário  Negativo ARCOS CÔNGRUOSDois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entreseus valores é um múltiplo de 360º.Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110.......... TABELAVeja que esses arcos possuem a mesma extremidade ediferem apenas no número de voltas.A expressão x = 30º + 360º . k, com k  Z, é denominadaexpressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeiradeterminação positiva.A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:  + k . 360º, com k  Z. Se um arco mede  radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:  + k . 2, com k  Z. SENO e CO-SENO DE UM ARCO DEFINIÇÃOConsidere o arco que possui extremidades na origem doPré-Vestibular da UFSC 7
  8. 8. Matemática B Inclusão para a Vida 1. Expresse em radianos os seguintes arcos: a) 300º b) 60º c) 12º 2. Um arco de 200° equivale em radianos a: 2 5 10 a) b) c) 4 d) e) 6 3 2 9 3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: 23 a) 930º b) rad 6 4. Determine o valor de:Note que: – 1  sen   1 e – 1  cos   1 a) sen 150°OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é b) cos 150°possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos c) sen 210°do 2º, 3º e 4º quadrantes. d) cos 210° e) sen 330°Equações trigonométricas num intervalo dado: f) cos 330°Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as 5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5funções Trigonométricas em seus membros. admite solução.São exemplos de equações trigonométricas: a) -1m11) sen x = 1 b) -2m52) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 c) 2m3 d) 2<m<3Não é possível estabelecer um método para resolver todas e) 1<m<2as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidadedelas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: Tarefa Mínima  x  a  2k (congruos) 1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos: sen x = sen a  x    a  2k (suplementares) a) 2 b)  3 6 2. (UFMG) Transformando 7º30 em radianos, teremos: a) /24 c) /30 e) 5/32 b) /25 d)3/25 3. Determine o valor da expressão sen 90. cos 0  cos180.sen 270 sen 2 0  cos 2 180 4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do: x  a  2k (congruos) a) 1º quadrante cos x = cos a  x   a  2k (suplementares) b) 2º quadrante c) 3º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a. 5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: a) 2m3 b) 1m4 c) -1  m  1 d) 2<m<3 e) 0m1Exercícios de Sala Pré-Vestibular da UFSC 8
  9. 9. Inclusão para a vida Matemática B6. Resolver, no intervalo 0  x < 2, as seguintes UNIDADE 6equações:a) sen x = 1 RELAÇÕES FUNDAMENTAL DAb) cos x = 0 TRIGONOMETRIAc) sen x =  1 2 2  sen2  + cos2  = 1 (Relação Fundamental)d) cos x = 2 A relação acima também vale para arcos com extremidades fora do primeiro quadrante.7. Sabendo que 0  x < 2, o conjunto solução daequação: sen 2 x  3sen x  4 = 0 é: Exemplos: sen230° + cos230° = 1 sen2130° + cos2130° = 1a) {90º}b) {-90º} Convém lembrar que se  +  = 90°, sen  = cos .c) {270º} Logo, vale também relações do tipo:d) {180º}e) {30º} sen2 50° + sen2 40° = 1 sen 210° + sen2 80° = 1Tarefa Complementar  TANGENTE DE UM ARCO8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é: DEFINIÇÃOa) 100° c) 40º e) n.d.a.b) 140º d) 80º Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo, a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM1000º? ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.a) 270º c) 290º e) 310ºb) 280º d) 300º10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, omenor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:a) 135º c) 145º e) n.d.a.b) 140º d) 150º11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de SINAISum relógio, às 23h45min, vale:a) 189º30 c) 270º e) 277º50b) 277º30 d) 254º4512. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumirquando 37  2senx , é: y 3 TABELA13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação2 sen x = 1 é:a) /6 c) /3 e) n.d.a.b) /4 d) /214. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual 19- cos x = é: 3     2a) b) c) d) e) 6 4 3 2 315. Determinar o número de soluções da equação2sen x cos x = sen x no intervalo 0  x < 2.Pré-Vestibular da UFSC 9
  10. 10. Matemática B Inclusão para a Vida  2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0  x  na 2 equação: 1  cos2x + sen x = 0 é: 3. O valor de tg 315° + tg 225° é 4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x | 5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0  x < 2 a) tg x = 3 b) tg2x + tg x = 0 Tarefa Complementar 6. Determine m de modo que se obtenham EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA simultaneamente, sen x = m e cos x = 3  3m tg x = tg a  x  a  2k 7. No intervalo 0  x < 2, determine o número de soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x. 8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x – 3 tg x + 2cos 3x para x = é: 4 9. (PUC-RS) O valor numérico de x 3x sen  2tg 2 4 para x =  é:Exercícios de Sala 3 cos x 3 2 1. Sabendo que sen x = e que  x   , calcule a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0 3 2cos x: 10. No intervalo 0  x < 2, a equação 3 tg2x + tg x = 0 possui quantas soluções?2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =2 a  1 são verdadeiras para todo x real, se e somente a) 1 c) 3 e) 5se: b) 2 d) 4a) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 UNIDADE 7b) a = -5 ou a = -1 e) n.d.a.c) a = 5 ou a = 1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS3. Resolver no intervalo 0  x < 2, a equação2cos2x = – 3sen x  sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)4. Determina o valor de: As demais Relações Trigonométricas com as condições de existência obedecidas são:a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330° sen x cotg x = 1 tg x = cos x tg x5. Resolva no intervalo 0  x < 2 as seguintes equações: 3 sec x = 1 cossec x = 1a) tg x = b) tg2x – 1 = 0 3 cos x sen xTarefa Mínima A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas relações derivadas.1. No intervalo 3  x  2 se sen x =  , calcule 1 Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos: 2 3cos x. 1 + cotg2 x = cossec2 xPré-Vestibular da UFSC 10
  11. 11. Inclusão para a vida Matemática B a) cos2x d) sec x + cos xE dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos: b) 1 + sen2x e) n.d.a. c) cos x - sen x tg2 x + 1 = sec2 x 8. Determine a soma dos números associados à(s)Sinais das Funções Trigonométricas proposição(ões) correta(s). 1°Q 2°Q 3°Q 4°Q 01. A medida em radianos de um arco de 225º é 11π rad. seno e cossecante + +   6 cosseno e secante +   + 02. A menor determinação positiva de um arco de tangente e cotangente +  +  1000° é 280°. 04. Os valores de m, de modo que a expressãoExercícios de Sala  sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].  1. Determine o valor de: 08. sen x > cos x para  x . 4 4a) cossec 30° d) cossec 210° 3 3b) sec 30° e) sec 315° 16. Se tg x = e x , então o valor de 4 2c) cotg 30° f) cotg 300° 1 sen x – cos x é igual a . 4 3 52. Sendo sen  =  e    2 , calcular: 32. Se sen x  0, então cosec x  0. 5 2 64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 paraa) cos  c) cotg  e) cosec   5 0  x  2 é x = ou x = .b) tg  d) sec  6 6Tarefa Mínima  3 9. (UFSC) Dado sen x = ex     , calcule o valor 5 0 2   1. Determine o valor de: 1   numérico da expressão:  sec x cotgx  cosecx tgx  2a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o  6 senx cosec x 2 2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x  4º quadrante,então tg x é: 10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que e x  e xtg 4 xa) 3/4 d) 3/4 y= , então:b) 1/2 e) 4/5 sec x  tg 2 x.sec xc) 4/5 ex a) y = ex d) y = 3  sec x3. (UFSC) Dados sen x = e  x   , determine o 5 2 b) y = ex(1 + tg x) e) n.d.a.valor de:  32 tg x + 1 e x c) y =4. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão cos xsena tga coseca , obtém-se:cosa cotga secaa) 0 d) 1b) sec2a e) tg2ac) sen2aTarefa Complementar  UNIDADES 8 e 95. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro GEOMETRIA ANALÍTICAquadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: ESTUDO DO PONTO6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão: O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos emsen30  cos120 cosec150  cotg330  funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares sec300  tg60  cotg225  entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.7. (UFCE) Para todo x  1º quadrante, a expressão(sec x - tg x)(sec x + tg x)  sen2x é igual a:Pré-Vestibular da UFSC 11
  12. 12. Matemática B Inclusão para a VidaOs dois eixos dividem o plano em quatro regiões d AB   xB  x A  2   y B  y A  2denominadas quadrantes numerados no sentido anti-horário. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Considere um segmento AB de extremidades A(x A, yA) e B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B. Observe a figura:A cada ponto do plano cartesiano está associado um parordenado (x, y). Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo, no eixo x tem-se: xA  xB xM  xA = xB  xM  xM  2 no eixo y tem-se:Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde yM  yA = yB  yM  y A  yB yM o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número 2real yp é chamado ordenada do ponto. Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão asOBSERVAÇÕES seguintes coordenadas: Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua  x  xB y A  yB  M A   ordenada é nula.  2 2  P (xp, 0) Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua abscissa é nula. ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS P (0, yp) COORDENADAS DO VÉRTICE Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais Considere o triângulo abaixo: xp = yp y Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes yB B pares, então suas coordenadas são simétricas. xp = - yp yC C DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano yA Acartesiano, a distância entre eles pode ser calculada emfunção de suas coordenadas. Observe a figura abaixo: xA xB xC x Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por: xA yA 1 1 A= .x B yB 1 2 xC yC 1 OBSERVAÇÕES:O triângulo ABC é retângulo em C, então: xA y A 1 AB 2  AC2  BC2  O determinante xB yB 1 foi tomado em módulo, xC y C 1Daí vem a fórmula que calcula a distância entre doispontos: pois a área é indicada por um número positivo.Pré-Vestibular da UFSC 12
  13. 13. Inclusão para a vida Matemática B xA y A 1 7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos Se o determinante xB yB 1 for nulo, dizemos (1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: a) equilátero d) retângulo xC y C 1 b) escaleno e) n.d.a. que os pontos estão alinhados. c) isóscelesExercícios de Sala  8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: B é:a) distância entre A e B 9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontosb) Ponto Médio do segmento AB médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices?2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é equidistante dos pontos a) (-1,2), (5,0), (7,4)A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P. b) (2,2), (2,0), (4,4) c) (1,1), (3,1), (5,5)3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); d) (3,1), (1,1), (3,5)C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triânguloABC é: 10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremosa) 3 c) 5 c) 7 (-2,-7) e (-4,1) é:b) 4 d) 6 a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 24. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices deum triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo. 11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:Tarefa Mínima  a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 51. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: 12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) ema) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. unidades de área, é:b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. UNIDADE 10d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. ESTUDO DA RETAe) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação podemos determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e merecem destaque:N(-1,7) do plano x0y vale:  A Equação Geral3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7)  A Equação Reduzidaé 10. O valor de y é: EQUAÇÃO GERAL DA RETAa) -1 d) -1 ou 10 A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição deb) 0 e) 2 ou 12 alinhamento de 3 pontos.c) 1 ou 13 Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).4. (Cescea-SP) O ponto do eixo das abscissas, x y 1equidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:a) A(2,0) d) D(0,2) A, B e P estão alinhados se e só se: xA yA 1  0b) B(5,0) e) E(4,0) xB yB 1c) C(3,0) x y 15. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, Desenvolvendo x A y A 1  0 temos:7) e C(2, 1) xB yB 1Tarefa Complementar  x . yA + xA . yB + y . xB  yA . xB  x . yB  y . xA = 06. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos (yA  yB) x + (xB  xA) y + xAyB  xByA = 0pontos A e B. a b cPré-Vestibular da UFSC 13
  14. 14. Matemática B Inclusão para a VidaLogo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso, usa-se a relação: y  yo = m(x  xo)2. Equação Reduzida da RetaPode-se obter a equação reduzida da reta se isolando naequação geral y.Veja: ax + by + c = 0 by = ax  c a c a cy  substituindo  por m e  por n temos: b b b b y = mx + n Equação Reduzida da RetaNo qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular Exercícios de Sala da reta, e n o coeficiente linear da reta.3. Coeficiente Angular e Linear da Reta 1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e B(4, 9), determine: Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que mé o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da a) equação geralreta. b) equação reduzidaVejamos, agora, o significado geométrico deles. c) coeficiente angular e linear da retaCOEFICIENTE LINEARO coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta cortao eixo y. 2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:COEFICIENTE ANGULAR a) r: 2x + 3y + 1 = 0Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do b)ângulo , onde  indica a inclinação da reta em relação aoeixo x. c) y y m = tg  ou m  B A xB  x ACASOS PARTICULARES Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo  é igual a 0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. 3. Determine a equação da reta representada pela figura abaixo: Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo  é igual a 90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é definido. Tarefa Mínima  1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, - 3), determine: a) equação geral b) equação reduzida4. Equação do Feixe de Retas c) coeficiente angular e linear da retaPré-Vestibular da UFSC 14
  15. 15. Inclusão para a vida Matemática B2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 04. o ponto de intersecção das retas r e s possui coordenadas (2, 1) 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3) 8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0, e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo ponto P(a,b). O valor de a + b é:Assinale a soma dos números associados às 9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,proposições corretas: 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0. 01. A equação da reta r é y = x – 1 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um 45o quadrado. É correto afirmar que:08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 01. a origen do sistema de coordenadas está no interior16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de do quadrado. coordenadas (1,0) 02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente angular 1/23. Determine a equação da reta r indicada abaixo 04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a diagonal BD do quadrado. 08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto (0, -4) 16. o centro do quadrado é o ponto (1,3) UNIDADE 11 ESTUDO DA RETA4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem àreta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETASa) 3 d) 2 No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:b) 3,25 e) 9  Concorrentesc) 2 13  Paralelas  Coincidentes Considere as retas r e s de equações:5. (Fac.Moema-SP) O coeficiente linear e angular dareta 2x  3y + 1 = 0 são, respectivamente: r = m1x + n1 e s = m2x + n2a) 2 e 3 d) 1/3 e 2/3 Assim, podemos ter as seguintes situações:b) 2/3 e 1 e) n.d.a.c) 2/3 e 1/3  PARALELAS DISTINTAS: m1 = m2Tarefa Complementar   PARALELAS COINCIDENTES:6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem m1 = m2 e n1 = n2coeficiente angular 3.  CONCORRENTES7. Considere as retas r e s indicadas abaixo: m1  m2  CONCORRENTES E PERPENDICULARES: m1 . m2 =  1 DISTÂNCIA DE PONTO À RETA Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela expressão:Determine a soma dos números associados àsproposições corretas:01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0Pré-Vestibular da UFSC 15
  16. 16. Matemática B Inclusão para a Vida c) são concorrentes mas não perpendiculares. d) interceptam-se no 1º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares. 2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é paralela à reta de equação 5x + y = 0 é: a) 5x + y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0 c) 5x – y + 10 = 0 3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax +Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: r de equação 5x + 2y  6 = 0. a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3 5.4  2.3  6 4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) eResolução: d  20 d  d 4 C(4,1). A altura em relação à base BC mede: 4 2  32 5 5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - yPortanto a distância entre P e r é de 4 unidades. + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se: a) k = 0 c) k = 8 e) k = -4 ou k = 8Exercícios de Sala  b) k = 4 d) k = 0 ou k = 81. Considere a reta r indicada pela figura abaixo: Tarefa Complementar  6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. 7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale a(s) proposição(ões) verdadeira(s).Determinar:a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta r.b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é perpendicular à reta r.2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r deequação y = 2x + 5.3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) 02. A reta s e a reta r são perpendiculares.proposição(ões) verdadeira(s). 04. As retas r e s se interceptam no ponto de01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto (1, -2) é 17. abscissa 4 .02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam 5 08. A distância da origem do sistema de coordenadas no ponto  0 7  é 25/7.    5 cartesianas à reta r é de 2 unidades. 204. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 . 16. A área da região do plano limitada pelas retas r, s e08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s pelo eixo das abscissas é igual a 3 unidades de área. no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 1016. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta r é 20. 8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são extremidades de uma das diagonais de um quadrado. ATarefa Mínima  equação da reta suporte da outra diagonal é: a) 2x - 3y - 1 = 01. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y - b) 2x + 3y - 7 = 04 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0: c) 3x + 2y - 8 = 0a) são paralelas d) 3x - 2y - 4 = 0b) são coincidentesPré-Vestibular da UFSC 16
  17. 17. Inclusão para a vida Matemática B9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um pontopontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é: genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência.10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintesno gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – formas:3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixodas abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é Equação Reduzida:perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: (x  a)2 + (y  b)2 = R2 Exemplo: Determine equação da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5): Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 Logo, a equação procurada é: (x  2)2 + (y  5)2 = 9 CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). centro na origem então a equação02. o ponto C é (0, 3 ). (x  )2 + (y  )2 = R2 2 fica reduzida a: x2 + y2 = R204. a distância entre r e s é 3. Equação Geral:08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, A Equação Geral da circunferência é obtida respectivamente, 1 , 1 e –2. desenvolvendo a equação reduzida. Veja: 2 216. a equação da reta t é y = –2x + 6. (x  a)2 + (y  b)2 = R232. a equação da reta horizontal que passa por A é x2  2ax + a2 + y2  2by + b2 = R2 x = 0. x2 + y2  2ax  2by + a2 + b2  R2 = 064. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3. x2 + y2 + Ax + By + C = 0UNIDADE 12 onde: A =  2a; B =  2b; C = a2 + b2  R2 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA de raio 3 e centro C(2, 5) DEFINIÇÃO Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de (x  2)2 + (y  5)2 = 32um plano  que se equidistam de um ponto C denominado (x  2)2 + (y  5)2 = 9centro da circunferência. Essa distância é denominada raio x2  4x + 4 + y2  10y + 25  9 = 0da circunferência. Logo, a equação geral é x2 + y2  4x  10y + 20 = 0 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Vamos comparar a equação de uma circunferência com R uma equação do 2º grau completa. x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0 C Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de  uma circunferência se e só se:  Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero. EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA  Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.  A2 + B2  4AC > 0 POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA Ponto e Reta Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência (x  )2 + (y  )2 = R2. Em relação a circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições:Pré-Vestibular da UFSC 17
  18. 18. Matemática B Inclusão para a Vida 02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8. 04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes. 08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raioPara determinar a posição do ponto P em relação a 2 é tangente externamente à circunferência C.circunferência, substitui-se as coordenadas de P na 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-equação da circunferência. Assim, podemos ter: se afirmar que o ponto P é exterior à C. Tarefa Mínima  (xP  ) + (yP  )  R < 0  P interior à 2 2 2 circunferência 1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e (xP  )2 + (yP  )2  R2 = 0  P pertence à tangente aos eixos coordenados é: circunferência a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 (xP  )2 + (yP  )2  R2 > 0  P exterior à b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 circunferência c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2 d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4Reta e Circunferência e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e umacircunferência (x  )2 + (y  )2 = R2 . Em relação à 2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6xcircunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: a) 2 d) – 2 b) – 3 e) – 1 c) 3 3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é um ponto localizado no: a) primeiro quadrante d) quarto quadrante b) segundo quadrante e) eixo xPara determinar a posição da reta r em relação à c) terceiro quadrantecircunferência, substitui-se a equação da reta na equaçãoda circunferência. Assim, teremos uma equação do 4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma2º Grau. Então, se: circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de C1 é:  < 0  reta externa (não existe ponto de intersecção) a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0  = 0  reta tangente (existe um ponto de intersecção) b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0  > 0  reta secante (existe dois pontos de c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0 intersecção) d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são 5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 -obtidos por um sistema de equações. 4x = 0. Determinar a área da região limitada por . a) 4 c) 5 e) n.d.a.Exercícios de Sala  b) 2 d) 31. Determinar a equação da circunferência na formareduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: Tarefa Complementar a) C(4, 7) e R = 2 d) C(0, 3) e R = 5b) C(2, -3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3 6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que ac) C(3, 0) e R = 5 equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma circunferência, é:2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de a) 10 c) 13 e) 16 2 2equação x + y - 4x - 6y - 12 = 0, é: b) 12 d) 15a) 4 c) 6 e) 8b) 5 d) 7 7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. 8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda deDetermine a soma dos números associados à(s) comprimento igual a:proposição(ões) verdadeira(s).01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da a) 3 c) 2 3 e) 2 2 circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente. b) 3 d) 6Pré-Vestibular da UFSC 18
  19. 19. Inclusão para a vida Matemática B Assinale no cartão-resposta a soma dos números9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que associados à(s) proposição(ões) correta(s).a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência. 01. r  C = .a) 16 c) 2 e) n.d.a. 02. O centro de C é o ponto (3, 4).b) 4 d) 32 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto.10. (UFSC) Considere a circunferência C: 08. A distância da reta r ao centro de C é menor dox  4   y  3 2 2  16 e a reta r: 4x + 3y  10 = 0. que 4. 16. A função y dada pela equação da reta r é Decrescendo.Pré-Vestibular da UFSC 19

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