Inclusão para a vida                                                                               Matemática A UNIDADE 1 ...
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  1. 1. Inclusão para a vida Matemática A UNIDADE 1 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. ARITMÉTICA BÁSICA Exemplos: 5716, 8700, 198200. MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Divisibilidade por 5Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0múltiplo de a e b. ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Divisibilidade por 6Observações: Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. O zero é múltiplo de todos os números. Exemplos: 24, 288, 8460. Todo número é múltiplo de si mesmo. Os números da forma 2k, k N, são números Divisibilidade por 8 múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos Os números da forma 2k + 1, k N, são números forem divisíveis por 8 ou forem três zeros. ímpares. Exemplos: 15320, 67000. DIVISOR DE UM NÚMERO Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seusSendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e algarismos for um número divisível por 9.b são divisores c. Exemplos: 8316, 35289.Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisibilidade por 10Observações: Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. O menor divisor de um número é 1. Exemplos: 5480, 1200, 345160. O maior divisor de um número é ele próprio. NÚMEROS PRIMOS Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um Um número p, p 0 e p 1, é denominado número primo número procede-se assim: se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. a) Decompõem-se em fatores primos o número Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a Observação: Um número é denominado composto se não cada um desses expoentes adiciona-se uma for primo. unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUMExemplo: Determinar o número de divisores de 90 Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) 1 2 90 = 2 . 3 . 5 1 de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 questão. Logo, 90 possui 12 divisores Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....}Divisibilidade por 2 M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}Um número é divisível por 2 se for par. Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24Exemplos: 28, 402, 5128. Processo 2:Divisibilidade por 3 6–8 2Um número é divisível por 3 se a soma dos valores 3–4 2absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 3–2 2Exemplos: 18, 243, 3126. 3–1 3 1–1 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24Pré-Vestibular da UFSC 1
  2. 2. Matemática A Inclusão para a Vida encontrar de novo no ponto de partida, levando em MÁXIMO DIVISOR COMUM consideração ambas as velocidades constantes?Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou 5. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m emais números o maior dos seus divisores comuns. 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguaisExemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente:Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} a) 12 m b) 18 m c) 24 m d) 30 m e) 36 m Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Tarefa Complementar  Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto aExercícios de Sala  cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas e) 320 horas1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites c) 32 horas d) 360 horasartificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar odesmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos 7. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábuauma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. medirá:Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9dias para darem uma volta completa em torno da Terra, a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cmentão o número de dias para o próximo alinhamento é: d) 12 cm e) 4 cm2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,respectivamente. O valor de x. y é: 8. Sejam os númerosa) 240 b) 120 c) 100 A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52d) 340 e) 230 Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem3. O número de divisores naturais de 72 é: respectivamente:a) 10 b) 11 c) 12 a) 180 e 60 b) 180 e 600d) 13 e) 14 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60Tarefa Mínima  e) n.d.a. 9. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x indica1. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. o algarismo das unidades. Sabendo que esse número éDetermine: divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é: a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C a) 0 b) 2 c) 4 c) M.M.C entre A, B e C d) 6 e) 8 d) M.D.C entre A, B e C 10. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo?2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36,respectivamente. O valor de x. y é: a) 121 b) 401 c) 362 d) 201 c) n.d.a. a) 240 b) 720 c) 120 d) 340 e) 230 11. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um3. Determine o número de divisores naturais dos números mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a a) 80 b) 120 largura das peças e o maior comprimento possível, de4. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhossegundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ele deverá obter?ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão sePré-Vestibular da UFSC 2
  3. 3. Inclusão para a vida Matemática A12. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É Conjunto dos Números Racionaisverdade que o número p2 – 1 é divisível por: Os números Racionais surgiram com a necessidade de a) 3 b) 4 c) 5 dividir dois números inteiros, onde o resultado era um d) 6 e) 7 número não inteiro.13. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o amínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. Q={x|x , com a Z, b Z* } bO produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale: Ou seja, todo número que pode ser colocado em14. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de forma de fração é um número racional.zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeitoé: São exemplos de números racionais: a) Naturais a) 6 b) 12 c) 15 b) Inteiros d) 18 e) 24 2 c) decimais exatos ( 0,2 = ) 1015. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais 1três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, d) dízimas periódicas ( 0,333... = )42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos 3pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos As quatro operações são definidas nos racionais.com as três vigas é: Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também). a) 18 b) 21 c) 210 d) 180 e) 20 Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se UNIDADE 2 chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procedemos assim: a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário CONJUNTOS NUMÉRICOS cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por CONJUNTOS NUMÉRICOS tantos noves quantos forem os algarismos do período. Conjunto dos Números Naturais Exemplos: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 7 a) 0777...=Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto 9N* ( naturais sem o zero ) 3 1N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } b) 0,333....= 9 3 a, b N, (a + b) N e (a . b) N 43 c) 0,434343... = 99 Conjunto dos Números Inteiros b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódicaOs números inteiros surgiram com a necessidade de seguida de um período e a parte não periódica, e cujo ocalcular a diferença entre dois números naturais, em que o denominador é um número formado de tantos novesprimeiro fosse menor que o segundo. quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Exemplos:Podemos citar alguns subconjuntos dos inteirosZ* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 37 3 34 17 a) 0,3777... =Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } 90 90 45Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... }Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} 3251 32 3219 1073Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } b) 0,32515151... = 9900 9900 3300 a, b Z, (a + b) Z, (a . b) Z e (a – b) ZPré-Vestibular da UFSC 3
  4. 4. Matemática A Inclusão para a VidaConjunto dos Números Irracionais INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DEApesar de que entre dois números racionais existir sempre UM NÚMERO REALum outro racional, isso não significa que os racionaispreencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. INTERVALOS NUMÉRICOSDado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1.Calcular o valor da hipotenusa. Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de . Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir: x1 {x R| p x q} = [p, q] {x R| p < x < q} = ]p, q[ 1 {x R| p x < q} = [p, q[ {x R| p < x q} = ]p, q]Aplicando o teorema de Pitágoras temos: {x R| x q} = [q, [x2 = 12 + 12 {x R| x > q} = ]q, [x= 2 {x R| x q} = ] - , q] {x R| x < q} = ] - , q[Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não énatural, inteiro, nem racional, surge então os números Os números reais p e q são denominados, respectivamente,irracionais. extremo inferior e extremo superior do intervalo.Os números irracionais são aqueles que não podem sercolocados em forma de fração, como por exemplo: Observações a) = 3,14... O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x} b) e = 2, 71... O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { } c) toda raiz não exata O intervalo ( , + ) representa o conjunto dos números reais (R) Conjunto dos Números Reais (x, y) = ]x, y[Os números reais surgem da união dos números racionais | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = kcom os irracionais. Pode -se representar um intervalo real de 3 maneiras: Notação de conjunto. Exemplo: {x R| 2 < x 3} QUADRO DE RESUMO Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representação Gráfica. Q I Exemplo: Z N Veja outros exemplos: 1) {x R| x > 2} = ]2, [Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dosreais. Porém, é necessário saber que existem números quenão são reais, estes são chamados de complexos e serãoestudados mais detalhadamente adiante. 2) {x R| x 1} = ] - , 1]PROPRIEDADES EM Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a 3) {x R| 3 x < 4} = [3, 4[ Simétrico: a + (– a) = 0 1 Inverso: a . = 1, a 0 aPré-Vestibular da UFSC 4
  5. 5. Inclusão para a vida Matemática A MÓDULO DE UM NÚMERO REAL | x | < k, com k > 0, então: k<x<kMódulo ou valor absoluto de um número real x é a Exemplos: |x|<3 –3<x<3distância da origem ao ponto que representa o número x. | x | < 10 – 10 < x < 10Indicamos o módulo de x por | x |.Definição | x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k Exemplos: |x|>3 x < – 3 ou x > 3 x, se x 0 | x | > 10 x < –10 ou x > 10 x  - x, se x 0 Exercícios de SalaExemplos: 1. Calcule o valor das expressões abaixo: a) como 3 > 0, então | 3 | = 3 b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3 a) 3 1 2 1 4 8 5 3Propriedades |x| 0 | x |2 = x2 b) 2 3 : 1 4 x2 | x | 5 3 |x – y| = |y – x| |x . y| = | x |. | y | 2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações: x x I - x2 + 4 = 0 y y II - x2 – 4 = 0 III - 0,3x = 0,1Equação Modular Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que:Equação Modular é a equação que possui a incógnita x a) II são números irracionaisem módulo. b) III é um número irracionalTipos de equações modulares: c) I e II são números reais d) I e III são números não reaisExemplo 1: | x | = 3 e) II e III são números racionais x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3} 3. Resolva em as seguintes equações:Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7 x+2=6 ou x + 2= - 6 x=4 ou x=-8 c) |x2 –5x | = 6 d) |x + 2| = –3 S = {-8, 4} e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0 | x | = k, com k = 0, então: x = 0 Tarefa Mínima  | x | = k, com k < 0, então: não há solução 1. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:Exemplo 1: | x | = - 3 a) {x N| x é divisor de 12} S= b) {x N| x é múltiplo de 3} c) {x N| 2 < x 7}Exemplo 2: |x + 2| = -10 d) {x Z| - 1 x < 3} S= e) {x| x = 2k, k N} f) {x| x = 2k + 1, k N}Inequação ModularSendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | k,| x | > k, | x | k denominam-se inequações modulares.Tipos de inequações modulares:Pré-Vestibular da UFSC 5
  6. 6. Matemática A Inclusão para a Vida2. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com bsão respectivamente: sendo um número ímpar, então a é par. 23 23 20 43 23 43 04. O número 7 5 2 é real. a) e b) e c) e 08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos 100 99 99 99 99 198 tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos 1 1 2 1 outros dois. d) e e) e 3 10 10 5 16. o número 247 é um número primo.3. (ACAFE) O valor da expressão , a.b c2 quando 10. (FUVEST) Os números inteiros positivos são c 1 dispostos em “quadrados” da seguinte maneira: a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a: 1 2 3 10 11 12 19 .. ..4. Resolva em as seguintes equações: 4 5 6 13 14 15 .. .. .. a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 7 8 9 16 17 18 .. .. .. c) |x – 2| = -3 d) x 2 + 3 x - 4 = 0 é: O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente:5. A solução da inequação (2 x 1) 2 5 a) 2 e 2 b) 3 e 3 a) {x |–2 x 3} c) 2 e 3 d) 3 e 2 b) {x |–1 x 6} e) 3 e 1 c) {x | x 3} 1 d) {x | x 7} 11. A expressão|2x – 1| para x < é equivalente a: 2 e) {x |–3 x 2} a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1 d) 1 + 2xTarefa Complementar  e) – 1 12. Assinale a alternativa correta:6. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333... ec = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a: 2 a) Se x é um número real, então x |x |7. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0irracional y, pode-se dizer que: c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| a) x.y é racional d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, b) y.y é irracional então |a + b| > |a| + |b| c) x + y racional e) | x | = x, para todo x real. d) x - y + 2 é irracional e) x + 2y é irracional 2x 1 13. (UFGO) Os zeros da função f(x) = 3 são:8. (FUVEST) Na figura estão representados 5geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual aposição do número xy? a) 7 e 8 b) 7 e 8 c) 7 e 8 d) 7 e 8 e) n.d.a. a) à esquerda de 0 b) entre zero e x 14. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1 (1 x) 1? 2 a) {x R - 5 x - 1}9. Determine a soma dos números associados às b) {x R - 4 x 0}proposições corretas: c) {x R - 3 x 0} d) {x R - 2 x 0}01. É possível encontrar dois números naturais, ambos e) Todos os conjuntos anteriores divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39.Pré-Vestibular da UFSC 6
  7. 7. Inclusão para a vida Matemática A15. (ITA-SP) Os valores de x R para os quais a função d) 502x = 500xreal dada por f(x) = 5 || 2 x 1 | 6 | está definida, e) 0.x = 0formam o conjunto: f) 0.x = 5 a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5,0] [1, ) d) (- , 0] [1, 6] x 1 3x e) [-5, 0] [1, 6] g) 2 8 UNIDADE 3 2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20 EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES 3. Resolva em R, o seguinte sistema: DEFINIÇÃO x 3y 1Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grauquando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a 2x 3 y 2diferente de zero. RESOLUÇÃO Tarefa Mínima Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9. Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O 1. Resolver em R as equações:número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação a) 6x – 6 = 2(2x + 1) Duas equações que têm o mesmo conjunto solução b) 2(x + 1) = 5x + 3são chamadas equivalentes. c) (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 d) 2(x – 2) = 2x – 4 PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA e) 3(x – 2) = 3x IGUALDADE f) x 1 x 1Se: a = b então para m a+m=b+m 2 3 4Se: a = b então para m 0 a.m=b.m x x 1 2. A solução da equação x é: 3 2 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU a) x = – 2 b) x = – 3 c) x = 3Inequações são expressões abertas que exprimem uma d) x = 2 e) x = 1desigualdade entre as quantidades dadas. x 1 2x 1Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita 3. (FGV–SP) A raiz da equação 1 é: 3 4na forma: a) um número maior que 5 ax + b > 0 ax + b < 0 b) um número menor que – 11 c) um número natural ax + b 0 ax + b 0 d) um número irracional e) um número realNas inequações do 1º grau valem também, os princípioaditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: 4. Determine a solução de cada sistema abaixo:Se: a > b então para m a + m > b + m x y 5Se: a > b então para m > 0 a.m>b.m a) 2 x y 3 b) c) 3x y 1Se: a > b então para m < 0 a.m<b.m x y 3 x y 1 2x 2 y 1 5. Resolva em R as inequações:Exercícios de Sala  x 10 3x a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b)1. Resolva em R as seguintes equações e inequações: 4 2 1 x 1 a) ax + b = 0, com a 0 c) 3 2 4 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) x 1 2 x 3 10 3 4Pré-Vestibular da UFSC 7
  8. 8. Matemática A Inclusão para a Vida  homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageirosTarefa Complementar no vagão no início da viagem? 2x 3y 21 UNIDADE 46. O valor de x + y em é: 7x 4y 1 EQUAÇÕES DO 2º GRAU7. Obtenha o maior de três números inteiros e Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que podeconsecutivos, cuja soma é o dobro do menor. ser reduzida a forma:8. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a 0.intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x +3 2 e 2x - 1 17; é: RESOLUÇÃO9. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente bautomóveis, para veículos idênticos, são: for igual a zero procede-se assim: agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 ax2 + c = 0 por quilômetro rodado. Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 ax2 = c por quilômetro rodado. c x2 =Seja x o número de quilômetros percorridos durante um adia. Determine o intervalo de variação de x de modo queseja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência c x=AGENOR do que na agência TEÓFILO. a10. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal c c S= , 8 a aque 5 m + 24 > 5500 e m + 700 > 42 – m, é: 511. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de for igual a zero procede-se assim:123,50, independente da quantidade de objetos produzidos.O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número ax2 + bx = 0mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que x(ax + b) = 0recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é: x = 0 ou ax + b = 0 b12. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 S = {0, } aanos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do 3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c 0filho. A idade do pai será: aplica-se a fórmula de Bháskara13. (UFSC) Na partida final de um campeonato debasquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma b Δ x= onde: = b2 – 4acdiferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe 2avencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duasequipes estão na razão de 23 para 21? Nessa fórmula, = b2 – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções14. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para simetade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro > 0. Existem duas raízes reais e distintasmenino também tirou para si metade dos bombons que = 0. Existem duas raízes reais e iguaisencontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calculequantos bombons havia inicialmente na caixa. < 0. Não há raiz real RELAÇÕES DE GIRARD15. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha emum de seus vagões um certo número de passageiros. Na Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:primeira parada não subiu ninguém e desceram dessevagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um númerode mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda b c x1 + x2 = x1 . x2 =parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse a avagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número dePré-Vestibular da UFSC 8
  9. 9. Inclusão para a vida Matemática AExercícios de Sala  Tarefa Complementar 1. Resolva, em reais, as equações: 2 1 6. Resolver em R a equação 2 1 x 1 x 1 a) 2x2 – 32 = 0 b) x2 – 12x = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0 7. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é:2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x.Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2iguais? 8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, a) 0 e 4 b) 0 e 2 determine a soma dos números associados às proposições c) 0 e 1 d) 1 e 3 verdadeiras: e) 1 e 4 01. x1 e x2 são iguais 23. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x – 6x + 1 = 0, 02. x1 + x2 = 3determine: 3 04. x1 . x2 = 2 a) x1 + x2 b) x1 . x2 1 1 08. = –2 c) 1 1 x1 x 2 x1 x2 16. x12 + x22 = 12 9 32. x12.x2 + x1.x22 =Tarefa Mínima  2 9. A solução da equação x – 3 = x 3 é:1. Resolva em R, as equações: a) x2 – 5x + 6 = 0 10. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais b) – x2 + 6x – 8 = 0 que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale: c) 3x2 – 7x + 2 = 0 d) x2 – 4x + 4 = 0 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6 e) 2x2 – x + 1 = 0 f) 4x2 – 100 = 0 11. Determine a soma dos números associados às g) x2 – 5x = 0 proposições corretas:2. Os números 2 e 4 são raízes da equação: 01. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5, então a soma dos quadrados desse a) x2 – 6x + 8 = 0 b) x2 + x – 6 = 0 número com o seu inverso é 23. c) x2 – 6x – 6 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0 02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, e) x2 + 6x – 1 = 0 9 então o valor de x12.x2 + x1.x22 = 23. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 04. Se x e y são números reais positivos, tais que2x2 – 2x + 1 = 0? x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2 08. Se x é solução da equação a) 0 b) 1 c) 2 2 d) 3 e) 4 x2 – 3 + x 3 = 2, então, o valor de x4 = 16 1 14. A soma e o produto das raízes da equação 16. O valor de 8 3 16 2 é 5 2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente: 12. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2, a) 3 e 4,5 b) 2 e 4 c) – 3 e 2 raízes dessa equação, pode-se afirmar: d) 4,5 e 5 e) n.d.a. 01. x1 x25. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0. 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5 04. a soma das raízes dessa equação é 3Obtenha 1 1 08. a soma dos inversos das raízes é 6 x1 x2 16. a equação não possui raízes reaisPré-Vestibular da UFSC 9
  10. 10. Matemática A Inclusão para a Vida13. A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1 abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y.14. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 3 01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 2 2 02. A maior raiz da equação 3x – 7x + 2 = 0 é 2 04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 16. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais Domínio = [a, b] Imagem = [c, d]15. Determine o valor de x que satisfaz as equações: Valor de uma Função a) x 1 3 x Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída b) 3 2x x 1 2 por um valor que lhe é atribuído. Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor UNIDADE 5 de x corresponde um único valor de y. Assim se x = 3, então y = 9. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 ESTUDO DAS FUNÇÕES Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor deSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de f(3)A em B, essa relação será chamada de função quando todoe qualquer elemento de A estiver associado a um único Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2elemento em B. f(3) = 5Formalmente: Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine of é função de A em B ( x A, | y B|(x, y) f) valor de f(-1).Numa função podemos definir alguns elementos. Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 Conjunto de Partida: A f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 Domínio: Valores de x para os quais existe y. f(-1) = 1 + 5 + 6 Contra Domínio: B f(-1) = 12 Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x. Exemplo 3: Dada a função f(x 1) = x2. Determine f(5). Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5). Exercícios de Sala  1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a somaObservações: dos números associados às proposições corretas: A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im C.D) Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.Pré-Vestibular da UFSC 10
  11. 11. Inclusão para a vida Matemática A d) e) 01. O domínio da função f é {x R | - 3 x 3} 02. A imagem da função f é {y R | - 2 y 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio 2. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas:2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cadafunção: a) y = 2x + 1 b) y = 7 2x 7 x 3 c) y= 3x 2 d) y= 2x 2 2x -1, se x 03. Seja f ( x) 5, se 0 x 5 . 01. O domínio da função f é {x R | - 2 x 2} x 2 5x 6, se x 5 02. A imagem da função f é {y R | - 1 y 2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1Calcule o valor de: f ( 3) f ( ) 08. para x = 2, tem-se y = 2 f (6) 16. A função é crescente em todo seu domínioTarefa Mïnima  3. Determine o domínio das seguintes funções: 21. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não a) y = b) y = x 3 3x 9 representa uma função f: R R? a) x 6 3 c) y = d) y = x 5 x 2 4. (UFSC) Considere as funções f: R R e g: R R 3 b) dadas por f(x) = x2 x + 2 e g(x) = 6x + . Calcule 5 1 5 f( ) + g( 1). 2 4 5. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e c) B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}Pré-Vestibular da UFSC 11
  12. 12. Matemática A Inclusão para a Vida  expressão:Tarefa Complementar 1 4 h g 46. (UFC) O domínio da função real y = x 2 é: 2 x 7 f ( 1) a) {x R| x > 7} b) {x R| x 2} 14. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por c) {x R| 2 x < 7} f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) 15. Determine o valor de d) {x R| x 2 ou x > 7} f(0).7. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine: 15. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. a) f(3) Nessas condições, f(3x + 2) é igual a: b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0 UNIDADE 68. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa estárelacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 5p 28pé pela fórmula S = . Qual é o comprimento do FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 4pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x R, a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm associa o elemento ax + b. d) 29,5 cm e) 27,2 cm Forma: f(x) = ax + b com a 0.9. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.após um desconto de 3% sobre o valor x de umamercadoria é: Gráfico a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = - 3x O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e e) f(x) = 1,03x decrescente se a for negativo.10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a: a) 3.f(x) b) 3 + f(x) c) f(x3) d) [f(x)]3 e) f(3) + f(x)11. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço daenergia elétrica consumida é a soma das seguintesparcelas: Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo 1ª . Parcela fixa de R$ 10,00; é necessário definir apenas dois pontos para obter o 2ª . Parcela variável que depende do número de gráfico. quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu: Interceptos: a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer c) menos de 65 kWh d) entre 65 e 80 kWh x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem e) entre 80 e 110 kWh coordenadas (0,b). Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer12. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem bmarcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT coordenadas ( ,0). O ponto que o gráfico corta o(unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro arodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o eixo x é chamado raiz ou zero da função.taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetroscorridos foi:13. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5,g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x, o valor em módulo daPré-Vestibular da UFSC 12
  13. 13. Inclusão para a vida Matemática A RESUMO GRÁFICO Exercícios de Sala f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais. Determine a soma dos números associados às proposições corretas : 01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais Função crescente Função decrescente 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função unidades de área. f(x) = – 3x + 1. 2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) =Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter: gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1). 2 2 2 2 2 a) k b) k c) k d) k e) k Para determinar o ponto que o gráfico corta o 3 3 3 3 3 eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0. 3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se – 3x + 1 = 0 que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8). 1 x= 3 Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem Tarefa Mínima  1 coordenadas ( , 0) 3 1. Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1 2. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em módulo:D= C.D. = Im = 3. ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0, a única FUNÇÃO CONSTANTE representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:Uma função f de R em R é constante se, a cada x R,associa sempre o mesmo elemento k R.D(f) = R e Im (f) = kForma: f(x) = kGráfico:Exemplo: y = f(x) = 2D= C.D. = Im = {2}Pré-Vestibular da UFSC 13
  14. 14. Matemática A Inclusão para a Vida4. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresaeixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, gasta menos do que para fabricar o quinto litro. 3), então f(x) é: 11. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 a) f(x) = x 3 b) f(x) = x 4 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é: c) f(x) = 2x 5 d) f(x) = 2x 1 e) f(x) = 3x 6 12. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale5. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de f (t ) f( ) R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu t valor, em reais, daqui a três anos será:com t .  a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416Tarefa Complementar 13. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do6. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função ponto R é:f(x) = 2x + k, deve-se ter a) k=0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 27. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) eintercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a 2b éigual a: a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a. a) A = x2 – 3x b) A = - 3x2 + 9x c) A = 3x2 – 9x8. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em d) A = - 2x2 + 6x e) A = 2x2 – 6xrelação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com oseixos do sistema um triângulo cuja área é: 14. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16 apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.9. O gráfico da função f(x) está representado pela figura Distânc ia (em km )abaixo:Pode-se afirmar que f(4) é igual a:10. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheirogasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de Temp o (em horas)perfume, varia com a quantidade de perfume produzida(x). Assim, podemos afirmar: Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km 15. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) = 1 a) Quando a empresa não produz, não gasta. x b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 5 litros de perfume.Pré-Vestibular da UFSC 14
  15. 15. Inclusão para a vida Matemática A Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b)) O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0. UNIDADE 7 Coordenadas do vértice FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) ondeUma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada bx R associa o elemento ax2 + bx + c, com a 0 x v e yv = 2a 4a 2Forma: f(x) = ax + bx + c, com a 0 Imagem da função quadráticaGráfico Se a > 0, então Im = {y R| y } 4aO gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R Se a < 0, então Im = {y R| y }é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada 4apelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim,quando: Resumo gráfico a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima >0 a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixoInterceptos O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c) Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, onde: b Δ x , onde b 2 4ac 2a =0 Se >0 Duas Raízes Reais Se =0 Uma Raiz Real Se <0 Não possui Raízes ReaisEstudo do vértice da parábolaA Parábola que representa a função do 2º Grau é divididaem duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixochamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixocom a parábola recebe o nome de vértice da parábola. <0Pré-Vestibular da UFSC 15
  16. 16. Matemática A Inclusão para a Vida 08. O gráfico não intercepta o eixo x. 16. A imagem da função é { y R| y 4} 32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4) 64. A função é crescente em todo seu domínio. 3. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é: 4. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 deExercícios de Sala  domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]- , 4] d) [-3, 1] e) [-5, 3]1. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de é correto afirmar: 5. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x) 01. 2 e 4 são os zeros da função f = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localiza- 02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos se: números reais. a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. 08. A imagem da função é: { y R| y 1} c) no terceiro quadrante. 16. A área do triângulo cujos vértices são o d) sobre o eixo das coordenadas. vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de e) sobre o eixo das abscissas. área.2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu Tarefa Complementar conjunto imagem. 2 6. (UFSC) Seja f: R R, definida por: f(x) = - x , 2 a) f: , f(x) = x – 2x termine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: b) f: , f(x) = – x2 + 4 01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem. c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 – 2x 02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais.3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de . 08. f(x) é decrescente em [0, + )Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): 16. Im(f) = { y R y 0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x. a) tenha duas intersecções com o eixo 7. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função b) tenha uma intersecção com o eixo x f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta: c) não intercepte o eixo xTarefa Mínima 1. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas dovértice e a imagem de cada função. a) f: , f(x) = x2 – 2x – 3 b) f: , f(x) = (x + 2)(x – 4) c) f: , f(x) = – x2 + 2x – 1 a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 d) f: , f(x) = x2 – 3x c) a > 0, b < 0, c = 0 d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 02. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinaleas verdadeiras: 8. Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de 01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto? coordenadas (0,12). 02. As raízes de f são 2 e 6. 9. (UFPA) As coordenadas do vértice da função 04. O domínio de f é o conjunto dos números reais. y = x2 – 2x + 1 são:Pré-Vestibular da UFSC 16
  17. 17. Inclusão para a vida Matemática A Inequação do 2º grau é toda inequação da forma: a) (-1, 4) b) (1, 2) c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0) ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0 com a 010. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o ax 2 bx c 0gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o ax 2 bx c 0eixo x é: Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão a) { 7} b) { 0 } a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação c) { 2} d) { 2 7} de sinais em função da variável. Posteriormente, selecionam-se os valores da variável que tornam a11. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjunto-ponto V( 1, 4). O valor de k + m em módulo é: solução.12. (UFSC) Dada a função f: R R definida por f(x) = Exemplos: 2ax + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10.Determine o valor de a - 2b + 3c. a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 013. A equação do eixo de simetria da parábola deequação y = 2x2 - 10 + 7, é: a) 2x - 10 + 7 = 0 b) y = 5x + 7 c) x = 2,5 d) y = 3,5 e) x = 1,8 S = {x R | x -1 ou x 3} ou 2 2 314. O gráfico da função f(x) = mx – (m – 3)x + m S = ]- , -1] [3, + [intercepta o eixo x em apenas um ponto e temconcavidade voltada para baixo. O valor de m é: b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 0 a) – 3 b) – 4 c) – 2 d) 2 e) – 115. (UFSC) Marque no cartão a única proposiçãocorreta. A figura abaixo representa o gráfico de umaparábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é: S={x R|2 x 5} S = [2, 5] c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0 01. y = -2x + 2 S = { x R | 1 < x < 4} 02. y = x + 2 S = [1, 4] 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 Inequações Tipo Produto 16. y = -2x – 2 Inequação Produto é qualquer inequação da forma: UNIDADE 8 a) f(x).g(x) 0 b) f(x).g(x) > 0 c) f(x).g(x) 0 d) f(x).g(x) < 0 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE regra da multiplicação. INEQUAÇÕES DO 2O GRAU Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0Pré-Vestibular da UFSC 17
  18. 18. Matemática A Inclusão para a Vida a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0 2 b) x 7 x 10 0 x 4 Tarefa Mínima  1. Resolver em as seguintes inequações: S={x R | x < 1 ou 2 < x < 3} a) x2 – 6x + 8 > 0 b) x2 – 6x + 8 0Inequações Tipo Quociente c) – x2 + 9 > 0 d) x2 4Inequação quociente é qualquer inequação da forma: e) x2 > 6x f(x) f(x) f(x) f(x)a) 0 b) >0 c) 0 d) <0 f) x2 1 g(x) g(x) g(x) g(x)Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se 2. (Osec-SP) O domínio da funçãofaça o estudo dos sinais de cada função separadamente e,em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É f(x) = x2 2x 3 , com valores reais, é um dosnecessário lembrar que o denominador de uma fração não conjuntos seguintes. Assinale-o.pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerarg(x) 0. a) {x R -1 x 3} b) { x R -1 < x < 3 } 2 c) { } d) { x R x 3}Exemplo: Resolver a inequação x 4x 3 e) n.d.a. 0 x 2 3. Resolva, em R, as seguintes inequações: a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0 b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) 0 c) (x – 3) (x2 – 16) < 0 d) x3 x e) x3 – 3x2 + 4x – 12 0 4. Resolva, em R, as seguintes inequações: S={x R|1 x < 2 ou x 3} 2 a) x 5x 6Exercícios de Sala  2 0 x 161. Resolver em as seguintes inequações: b) x 2 5x 6 2 0 a) 2 x – 8x + 12 > 0 x 16 c) x x 0 2 x 1 x 1 b) x – 8x + 12 0 2 d) <1 c) x2 – 9x + 8 0 x 12. O domínio da função definida por 5. (ESAG) O domínio da função y = 1 2 x nos reais é: x2 1 x 2 3x 10 f(x) = é: x 6 a) (- , -1 ) b) (-1, ½] c) (- , ½] d) (- , -1) [1/2, 1) a) D = {x R| x 2 ou x 5} {6}. e) { } b) D = {x R| x - 2 ou x 5} {6}. c) D = {x R| x - 2 ou x 5} Tarefa Complementar  d) D = {x R| x - 2 ou x 7} {6}. e) n.d.a. 6. Resolver em as seguintes inequações:3. Determine o conjunto solução das seguintes a) x2 – 6x + 9 > 0 b) x2 – 6x + 9 0 inequações: c) x2 – 6x + 9 < 0 d) x2 – 6x + 9 0Pré-Vestibular da UFSC 18
  19. 19. Inclusão para a vida Matemática A7. Resolver em as seguintes inequações: a) x < 2 ou x > 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5 c) 4 < x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 a) x2 – 4x + 5 > 0 b) x2 – 4x + 5 0 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 c) x2 – 4x + 5 < 0 d) x2 – 4x + 5 0 15. (FUVEST) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que:8. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4 – x2 + bx + c temcomo solução o conjunto {x |0 x 3}, então b e c a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2valem respectivamente: c) – 1< x < 0 d) – 2< x < –1 e) x < –1 ou x > 1 a) 1 e – 1 b) – 1 e 0 c) 0 e – 1 d) 0 e 1 UNIDADE 9 e) 0 e 49. (UNIP) O conjunto verdade do sistema PARIDADE DE FUNÇÕES x 2 9x 8 0 é: FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA 2x 4 0 Função Par a) ]1, 2] b) ]1, 4] c) [2, 4[ d) [1, 8[ e) [4, 8[ Uma função é par quando para valores simétricos de x temos imagens iguais, ou seja:10. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é: f( x) = f(x), x D(f) Uma conseqüência da definição é: Uma função f a) { – 2 2;2 2} b) [– 2 2;2 2] é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. c) (– 2 2;2 2) d) (– ; 2 2) FUNÇÃO ÍMPAR e) (– ; 2 2] Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x11. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = as imagens forem simétricas, ou seja:100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Nestecaso podemos afirmar que o lucro é: f( x) = f(x), x D(f) a) positivo para x entre 3 e 8 Como conseqüência da definição os gráficos das funções b) positivo para qualquer que seja x ímpares são simétricos em relação à origem do sistema c) positivo para x maior do que 8 cartesiano. d) máximo para x igual a 8 e) máximo para x igual a 3 FUNÇÃO COMPOSTA12. (FATEC) A solução real da inequação produto Dadas as funções f: A B e g: B C, denomina-se(x2 – 4).(x2 – 4x) 0 é: função composta de g com f a função gof: definida de A C tal que gof(x) = g(f(x)) a) S={x R| - 2 x 0 ou 2 x 4} b) S={x R| 0 x 4} c) S={x R| x - 2 ou x 4} d) S={x R| x - 2 ou 0 x 2 ou x 4} e) S={}13. (MACK-SP) O conjunto solução de 6 x é: 5 x 3 a) { x R x > 15 e x < - 3} b) { x R x < 15 e x - 3} c) { x R x > 0} d) {x R - 3 < x < 15} f: A B g: B C gof: A C e) { x R - 15 < x < 15} Condição de Existência: Im(f) = D(g)14. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem ainequação (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 são:Pré-Vestibular da UFSC 19

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