Apostila mb cefet

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Apostila mb cefet

  1. 1. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior APOSTILA MATEMÁTICA BÁSICA Este material serve como introdução aos conceitos matemáticos,adequando-se às necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED deSertãozinho. Nele estão conteúdos dos níveis básico e intermediário damatemática, dos ensinos fundamental e médio. Os pontos, aquiabordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessários à ascensãonos cursos oferecidos pela unidade. Este material tem por objetivo oferecer subsídios e conhecimentobásicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aosdiscentes a base matemática para prosseguir em seus estudos. O material contém as definições matemáticas de uma maneiraclara e objetiva, exemplos e uma série de exercícios de fixação. Aluno: _____________________________________________________ Curso: _____________________________________ Turma: ________ 1
  2. 2. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior ÍNDICE GERAL I. Conjuntos numéricos 2 II. As quatro operações fundamentais (números decimais) e Expressões 2 III. Frações Ordinárias 9 IV. Potências 13 V. Operações algébricas 20 VI. Equações do 1º grau 23VII. Equações do 2º grau 28VIII. Inequações do 1º grau 30 IX. Proporcionalidade 31 X. Juros 38 XI. Relações Trigonométricas 41XII. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções) 44XIII. Noções de Geometria Plana e Espacial 48 2
  3. 3. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior I - CONJUNTOS NUMÉRICOS São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração.  17 5 4 1 1 1 7  Q=  , - ,− ,− ,− ,0, , , ,  6 2 3 2 3 2 4  Exemplos: Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272}; Números decimais na forma periódica: 2,333333 = 2, 3 3,0222 = 3,02 10,232323 = 10, 23 Esta figura representa a classe dos números. I  Irracionais Veja a seguir: São todas as decimais não exatas e não periódicas.  2 π  N  Naturais I=  , - , 3 , π , ,  6 6  São os números positivos inclusive o zero, que representem umacontagem inteira. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} R  Reais Não há números naturais negativos. É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real). Z  Inteiros As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são São os números naturais e seus opostos – negativos. reais. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Não há números inteiros em fração ou decimal. II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS Q  Racionais DECIMAIS) 1) Adição 3
  4. 4. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorNa adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo aaditiva, e o resultado é a soma. operação a subtração, e o resultado é o minuendo. 2+2=4 Subtração Parcelas adição Soma 3–2=1Exemplos: Minuendo Subtraendo diferença4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049 Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, 4,32  portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a  Observe que as parcelas são operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é+ 2,3  parcelas dispostas de modo que se tenha 1,429  menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e  vírgula sobre vírgula. igual a -3. 8,049 } soma 3) Multiplicação Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a1 2 1 15 + 40 + 12 67 operação multiplicativa, e o resultado é o produto. + + = = ≅ 1,11664 3 5 60 60ou 22 * 3 = 661 2 1 2,25 + 6 + 1,8 10,05 + + = = ≅ 1,11664 3 5 9 9 Fatores Multiplicação Produto Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .2) Subtração Exemplo: 4
  5. 5. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior7,32 * 12,5 = 91,500 Exemplo: Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma Na multiplicação começa-se divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor, veja no7,32   fatores operar da esquerda para a direita.*12,5 exemplo a seguir:  Quando a multiplicação envolver 3660 números decimais (como no 843 / 5 = 168 exemplo ao lado), soma-se a Para verificar se o resultado é 1464 + 34 quantidade de casas após a verdadeiro basta substituir os valores 732 + 43 na seguinte fórmula: vírgula. 3  resto (r) D=d*q+r 91,500 } produto 843 = 5 * 168 + 31 2 8 16 8 * * = = ≅ 2,6 Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.2 3 1 6 3 5) Casos particulares da multiplicação e divisãoNa multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo Multiplicaçãocom dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo N*1=Npelo de baixo). N*0=04) Divisão DivisãoNa divisão, os números são chamados de dividendo( a parte que está N/1=Nsendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está N/N=1sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente. 0 / N = 0 (N ≠ 0 ) Divisão N / 0 = Não existe!!!! 7 / 4 = 1,75 6) Exercícios Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q) a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = 5
  6. 6. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) 4,03 + 200 + 51,2 = −9=9 c) 32,4 – 21,3 = − 2= 2 d) 48 – 33,45 = Exemplos: 0= 0 e) 2,1 * 3,2 = 7= 7 f) 48,2 * 0,031 = g) 3,21 * 2,003 = h) 8,4708 / 3,62 = 8) Soma e subtração algébrica i) 682,29 / 0,513 = Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal j) 2803,5 / 4450 = comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal 0,2 * 0,3 k) (FUVEST) = do maior. 3,2 − 2,0 Exemplos: l) 0,041 * 21,32 * 401,05 ≅ a) 2 + 4 = 6 m) 0,0281 / 0,432 ≅ b) – 2 – 4 = – 6 2,31 * 4,82 c) 5 – 3 = 2 n) ≅ 5,1 d) – 5 + 3 = – 2 0,021 * 4,32 e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 o) ≅ 0,285 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 227) Valor absoluto ou Módulo 9) Multiplicação e divisão algébricaRepresenta a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo Sinais iguais  resposta positivaassim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e Sinais diferentes  resposta negativarepresentado por | |. Isto é: (+ ) * (+ ) = (+ ) (+ ) : (+ ) = (+ ) (− ) * (− ) = (+ ) (− ) : (− ) = (+ ) 6 (+ ) * (− ) = (− ) (+ ) : (− ) = (− ) (− ) * (+ ) = (− ) (− ) : (+ ) = (− )
  7. 7. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.Exemplos: Exemplo: a) 12 * 3 = 36 b) (-12) * (-3) = 36 a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] c) 2 * (-2) = -4 b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 d) (-2) * 3 = -6 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 4 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1 e) =2 2 20 11) Números Primos f) = -4 (− 5) São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1. Obs.: O número 1, por definição, não é primo. (− 20) g) =4 (− 5) Método para obtenção de números primos (− 20) h) = -4 Faremos isso através de um exemplo: 5 Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50.10) Expressões numéricasPara resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações 1º Passo: Enumera-losde multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que 7
  8. 8. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 30 241 42 43 44 45 46 47 48 49 50 15 3 30 = 2 * 3 * 5 5 52º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre 1 30os indicados, ou seja, encontrar o maior número que se conheça a raizquadrada exata. 21 3No caso, 49 = 7 . 7 7 21 = 3 * 7 1 213º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provém do 2º passo. OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados: número 1.{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}. 13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)Obs.: O número 2 é o único número primo e par. O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. 12) Decomposição de um número em um produto de fatores Exemplo: primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos é a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos: 8
  9. 9. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 12 12 45 2 Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum 06 08 45 2 apresentados acima: 03 04 45 2 m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6. 03 02 45 2 03 01 45 3 Quando o m.d.c. entre dois números é igual a 1, dizemos que eles são 01 01 15 3 relativamente primos. 01 01 05 5 Exemplo: 5 e 9 são relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 32.1. 01 01 01 720 Sendo 1 o único fator comum a estes números. O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720 Confirme os resultados abaixo: Confirme os resultados abaixo. b) m.m.c. (9, 6) = 3 b) m.m.c. (4, 3) = 12 c) m.m.c. (36, 45) = 9 c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120 d) m.m.c. (12, 64) = 4 d) m.m.c. (8, 4) = 8 e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5 e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 6014)Máximo Divisor Comum (m.d.c.) 15) Exercícios:O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36. a) 2 + 3 – 1 = b) – 2 – 5 + 8 =Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos: c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =12 = 22.3 d) 2 * (-3) =18 = 2.32 e) (-2) * (-5) =36 = 22.32. f) (-10) * (-1) = 9
  10. 10. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniorg) (-1) * (-1) * (-2) = c. 12, 18 e 32 4h) = − 2 IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS −8i) = 2 Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o − 20 numerador e o divisor é o denominador.j) = − 5 As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um círculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações (− 4) * (− 1)k) = − 2 (− 1 + 3 - 5) * (2 - 7)l) = −1 1 3 (2 + 3 * 4 - 2 * 5 - 3) 2 4m) = =0,5 =0,75 −1n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 =o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =p) 0,5 * 0,4 : 0,2 = 1 1 4 8q) 0,6 : 0,03 * 0,05 = =0,25 =0,125r) 5 : 10 =s) 3 : 81 * 0,5 =t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre: a. 36 e 60 7 b. 18, 20 e 30 8 = 0,875 1
  11. 11. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior Exemplos:A fração é própria quando o numerador é menor do que o 1 1* 2 2 1 3 120 a) = =denominador: , , , etc. 2 2*2 4 2 5 210 3 3 * 5 15A fração e imprópria quando o numerador é maior que o b) = = 4 4 * 5 20denominador, sendo possível representá-la por um número misto e 20 20 :10 2reciprocamente. c) = = 30 30 :10 3Exemplos: 4 4:4 1 d) - = - = - 8 8: 4 2 10 3 10 a) =1 pois possui resto 3 7 7 7 17) Soma algébrica de frações 28 25 + 3 25 3 3 28 b) = = + =5 pois possui resto 3 Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se 5 5 5 5 5 5 algebricamente os numeradores. 11 2 c) =3 OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores. 3 3 1 7 d) 2 = Exemplos: 3 3 1 5 e) -1 =- 1 1 3 2 3+ 2 5 4 4 a) + = + = = 2 3 6 6 6 6 1 5 2 3 5 4 3+ 5-4 4 216) Propriedade b) + - = + - = = = 2 6 3 6 6 6 6 6 3Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número 1 3 4 1 9 16 24 1 - 9 + 16 - 24 16 4 1diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial. c) - + -2= - + - = = - = - = -1 12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3 1
  12. 12. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 1 2 = 1 * 3 = 3 = 1118) Multiplicação de frações a) 1 2 1 2 2Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz 3com os denominadores. (− 2 3 ) =  - 2  * 2 = - 4 = - 1 1 b)   1  3 1 3 3Exemplos: 2 1 c) 2 = 1*1 = 1 1 3 3 3 2 3 6 a) * = 2 5 10 5 5 3 15 1  1 1 1 d) 2 = 1 * 2 = 2 = 7 2 b)  −  * = - 3  4 2 8 41 13  1  2 2 3 = 3 = 13 *  − 4  = - 52 = - 1 25 c)  −  *  −  =  3   5  15 e) ( − 21 4 ) ( − 9 4 )  3  9  27 27 d) ( − 3) *  − 1  2  * −  = - 3  4  7 14 3 1 11 16 44 4 20) Comparação de Frações e) 2 * 3 = * = =8 4 5 4 5 5 5 Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior será a19) Divisão de frações maior fração.Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b” a > b lê-se “a é maior do que b”Exemplos: 1
  13. 13. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 6 2 2 Exemplo: Comparar e : a) = 7 3 4 Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3: 9 b) = m.m.c.(3, 7) = 21. 27 Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar 12 os numeradores pelo fatores de transformações. c) = 486 * 3 2 * 7 ⇒ 18 14 e e7 *3 3* 7 21 21 Comparar as frações :Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que: 1 2 a) ,18 14 2 3 > .21 21 2 5 b) , 3 6 O fator de transformação da fração é 3 pois 3*7 = 21, e o da fração é 7, pois 3*7 = 4 3 21. c) , 7 8 Resolva: 1 1 a) + = 5 10 2 4 b) - = 3 3 21) Exercícios 1 1 1 c) - + = 2 3 6 Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível: 1
  14. 14. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 1 2 Simplifique:d) * = 3 5 3 1 2 1e) * * = 1+ 7 3 5 1+ 1 = a) 1  1  2 1+f)  -  *  -  = 1 1+  6  5 1+ 1 1 1 1 1g) 3= + + 1 2 3 4 :  9 + 1 = 2 b)   2 3  17  + 2  1 3 4h) : -  = 3  5 V - POTÊNCIAS 1 2 1i) : * = Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n 2 3 4 fatores iguais a A. 2 1j) 2 :1 = A n = A∗A∗.. .∗A 5 5 n vezes  1 2 1k)  +  : = A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina  3 4 2 seu grau. 1+ 1 Assim:l) 3= 3 2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8 (- 1) = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ 4 (- 1)4 = 1 1+ 1 1+ 2m) 2 = CASOS PARTICULARES: 1 2 a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: 1
  15. 15. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior A1 = A; 21 = 2 6 vezes  6 b) Toda potência de 1 é igual a 1: 5 5*5*5*5*5*5 Realmente: = = 56 - 4 = 52 4 5 * 55 * 5 * 1² = 1; 1³ = 1 5    4 vezes c) Toda potência de 0 é igual a 0: Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 0² = 0; 0³ = 0 d) Toda potência de expoente par é positiva: 24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes) (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9 Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27 Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)² 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32 Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 37522) Multiplicação de potências de mesma base 25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes. Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. 2³ * 2² = 2 ** 2 * 2 * 2 = 2 3 + 2 = 2 5  2    2Realmente: vezesvezes 3  2  22 2*2 2 2  2  Realmente: = = * =   5 vezes 72 7*7 7 7  7Exemplo:5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 6423) Divisão de potências de mesma base 26) Potenciação de potênciaMantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Eleva-se a base ao produto dos expoentes. 3 2 3∗2 6. Realmente: 2  =2 =2 1
  16. 16. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorExemplo: (35 )2 = 310 = 59 049 Exemplo: 5 −2 = 1 52 = 1 = 1 5 * 5 2527) Expoente nulo 29) Potências de 10Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantosunidade. zeros quantas forem as unidades do expoente.  a4 :a4 = a4 - 4 = a0  Exemplos:Realmente:  a0 = 1  a4 :a4 = 1  a) 10² = 100Exemplo: (- 5)0 = 1 b) 107 = 10 000 000 c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²28) Expoente negativo d) 4000 = 4 * 10³Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é e) 300 000 = 3 * 105igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é f) 3 * 108 = 300 000 000a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinalpositivo. 30) Números decimais Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o  23 23 1 número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com  7 = 3 4= 4 2 2 *2 2 1 expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são asRealmente:  2-4 =  23 3-7 24 ordens decimais.  7 = 2 = 2- 4 2 −n 1 a = n a 1
  17. 17. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 25 25 j) 34 : 3² * 35 =Realmente: 0,0025 = = = 25 * 10 - 4 10 000 10 4 k) 24 * 54 = l) (- 3)5 * (- 5)5 =Exemplos: m) 153 : 33 = n) (- 4)6 : 26 = a) 0,001 = 10 -3 o) (3³)2 = b) 0,002 = 2 * 10 -3 p) (2³)5 = c) 0,00008 = 8 * 10 -5 q) (33)2 = d) 1,255 = 1255 * 10 -3 r) [ (3³)² ]² = e) 2 * 10 = 0,002 -3 s) (2 * 3)³ = t) (3² * 5 * 2)4 =31) Exercícios 5 u)   = 5   a) 1³ =  3 b) 04 = 3  2  v)   4 =  c) (- 2)³ = 3  d) (- 4)³ = 2 e) (- 2)4 =  2 2 * 33  w)   =  53  f) (- 4)4 =   g) 2³ * 25 = x) (2 * 3²)0 = h) 3² * 3 * 35 = y) 4-2 = i) 35 : 34 = z) 2 * 3-1 = 1
  18. 18. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 2 Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao aa) −4 = 3 número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. bb) (2-3 * 5-2)-4 = OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo cc) 2x + 1 * 4x =  n - índice da raiz dd) 32x * 24x = n A  A - radicando   ee) 54x : 252x =  - radicalExprimir, utilizando potências de 10: Assim: a) 20 000 = b) 4 800 000 = a) 16 = 4 porque 4² = 16 c) 0,01 = d) 0,000045 = b) 3 8 = 2 porque 2³ = 8 c) 4 81 = 3 porque 34 = 81Efetuar, utilizando potência de 10: 2 000 * 48 000 a) = 32) Propriedade 80 É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o 28 * 0,000032 expoente do radicando pelo índice do radical. b) = 0,00002 Exemplos: a) 12 = 22 * 3 = 2 3RADICAIS b) 180 = 2 2 * 32 5 = 2 * 3 5 = 6 5 1
  19. 19. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior Exemplo: c) 4 38 * 5 4 * 2 = 3 2 * 5 4 2 a) 2* 3= 2*3 = 6 d) 4 38 = 38 : 4 = 3 2 6 6 b) = = 3 2 2Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se oexpoente do fator pelo índice do radical. Assim: c) 3* 5* 2 = 3*5* 2 = 30 4 5 *4 3 4 15 15 d) = = 4 3 3 42 42 233 2 = 3 *233) Adição e subtração de radicais semelhantes 35) Potenciação de radicaisRadicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientese conserva-se o radical. Exemplo: a) (4 3 )3 = 4 33 = 4 27Exemplos: ( ) 2 2 b)  5 2 2 * 3  = 5 2 2 * 3 = 5 2 4 * 3 2     a) 3 2 + 5 2 - 10 2 = 8 2 - 10 2 = - 2 2 36) Radiciação de radicais b) 3 3 2 + 6 3 2 - 5 3 2 - 3 2 = 9 3 2 - 6 3 2 = 3 3 2 Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Exemplos:Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto a) 3 = 2*2 3 = 4 3(quociente) o índice comum. 1
  20. 20. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) 3 4 3 = 24 3 1 1* 2 2 2 a) = = = 2 2* 2 4 237) Expoente fracionário 1 1* 3 3 3 3 b) = = = =Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa 2 3 2 3* 3 2 9 2*3 6raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, 2 2* 3 6 6 c) = = =sendo o numerador o expoente do radicando. 3 3* 3 9 3 2 2 2 2* 6 2 12 2 12 2 12 12Exemplos: d) = = = = = 5 6 5 6* 6 5 36 5*6 30 15 p a) q a q = ap 2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em 1 b) a 2 = a que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso 2 multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada c) 2 3 = 3 2 2 = 3 4 do denominador. 3 OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b. d) 4 6 3 = 6 4 Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a – b) = a² - b²38) Racionalização de denominadores Assim:1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso (5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador dafração. Exemplos: 1 = ( 1* 5 - 2 ) = 5- 2 = 5- 2 = 5- 2Exemplo: a) 5+ 2 ( )( 5+ 2 * 5- 2 ) ( 5)2 - ( 2)2 5-2 3 2
  21. 21. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 5 ( 5* 2 - 3 ) ( 5* 2 - 3 ) ( ) ( 5* 2 - 3 5* 2 - 3 ) ( ) l) 3 3 3 2 2 2 = b) 2 + 3 = ( 2 + 3 ) * ( 2 - 3 ) = 2 = = = 5* 2 - 3 2 - ( 3) 2 4-3 1 Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:39) Exercícios a) 2 3 4 =Efetuar: b) 2 − 1 2 = a) 5 - 2 5 + 10 5 = 1  1  2 b) 32 + 3 2 - 8 = c)  2 2    =   c) 3 3 + 3 - 4 729 = d) 3* 6 = d) ( 2* 3 6 = )1 e) (- 3 2 ) * (- 3 4 ) = Racionalizar o denominador das frações seguintes: 48 f) = 42 1 a) = g) (3 2 ) 6 = 5 3 2 b) = h)  3 2 * 3 2  =   7   3 33 c) = i) 3= 2 2 j) 32 = 2 d) = 5-2 k) 3 2 2 = 2
  22. 22. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 5 e) = 4 - 11 41) Operações com expressões algébricas 1. Soma algébricaSimplifique: Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou 50 - 8 a) = subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) 2 repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. b) 2352 = Exemplo: 1 1 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy² c) - = 1- 2 2+1 2. Multiplicação VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os40) Expressões algébricas termos semelhantes.São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Exemplo: (3a²y) * (2ay) = 6a³y²Exemplos: a) 5ax – 4b b) ax² + bx + c c) 7a²bOBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou dediferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico ea²b é a parte literal. 2
  23. 23. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 3. Divisão (a - b)² = a² - 2ab + b² 1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado pela do divisor, observando-se as regras para do segundo. divisão de potências de mesma base. 2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada Exemplo: termo do dividendo pelo monômio divisor. (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9 Exemplo: III. Produto da soma de dois termos por sua diferença: (42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx² (a + b) * (a – b) = a2 – b2 42) Produtos notáveis Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: do primeiro menos o quadrado do segundo. I. Quadrado da soma de dois termos: Exemplo: (a + b)² = a² + 2ab + b² (1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do 43) Fatoração segundo. Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Exemplo: (2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x² Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos II. Quadrado da diferença de dois termos: 2
  24. 24. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniortermos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns e) (x 3 - 3x 2 y + x ) * (x 2 - y) =com os menores expoentes.Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o f) (6 x 2 - 4x 5 + 2x 4 - 2x 2 ) : 2x =produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido g) (2a 2 bc + 3a 3 b 3 c 2 − abc ) : abc =dividindo-se o polinômio original pelo fator comum. h) ( x + 2) 2 + ( 3x - 3) 2 =Exemplos: a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se: i) (3xy + 8a 2 )2 = j) ( 5ab + 3c ) * ( 5ab − 3c ) =  4ax ² 8a ² x ³ 2a ³x  4ax ² + 8a ² x ³ + 2a ³x = 2ax  + +  = 2ax ( 2x + 4ax² + a² )  2ax 2ax 2ax  Fatorar: b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x². a) 15a² - 10ab = Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2) b) 3a²x – 6b²x + 12x =44) Exercícios VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAUEfetuar: UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO a) 3a 2 - 7ab + 4b 2 - 5a 2 + 3ab - 4b 2 = As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, b) (3xy 2 - 7x 2 y + 3y3 ) - (2y3 - 8x 2 y + 3xy 2 ) = Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas c) (7xy 2 ) * (- 8x 2 y) * ( xy) = com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma d) (a + b + c) * ( a - b) = 2
  25. 25. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junioridéia simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de umrepresentar os números nas equações. problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele nãoexistiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro Exemplo:matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e a) - = x2 5  só é verdade para x = 7começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades 1º membro 2º membrosão iguais: b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, Exemplo: como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4. _________ 400 cm _________ 4m Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes da equação. Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoenteequações de Viète. dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1º grau a Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram uma incógnita. expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para 46) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra. equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando- se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os 45) Equação termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). e divisão; potenciação e radiciação). 2
  26. 26. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorExemplos: 3x - 2 3x + 1 4x - 6 - = a) x + 2 = 7 ⇒ x+2–2=7–2 ⇒ x=5 2 3 5 b) x – 3 = 0 ⇒ x–3+3=0+3 ⇒ x=3 1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: 2x 8 c) 2 x = 8 ⇒ = ⇒ x= 4 m.m.c. (2; 3; 5) = 30 2 2 Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6) x 3* x d) =5⇒ = 3 * 5 ⇒ x = 15 3 3 2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém utilizar as 45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36operações dos sinais: 3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º - 2x - 8− 2x = - 8 ⇒ = ∴ x= 4 membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o -2 -2 2º, efetuando as operações necessárias:Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou 45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que sefaz mediante a aplicação da seguinte regra: 4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro: -9x = 4 Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e 5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicam-se os resultados pelos respectivos multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita: numeradores. − 9x 4 = − 9 -9Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir: 2
  27. 27. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duasser negativa também: equações. Por exemplo, o sistema:x= - 4  5x + y = 16 x = 3  tem solução para  9  2 x − 3y = 3 y= 1 Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente àsVERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL” duas igualdades. (Verifique!)Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema,dada. Os valores numéricos devem ser iguais são eles: Substituição, comparação e adição.47) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas SUBSTITUIÇÃOA forma genérica de um sistema é:  2 x + 3y = 8 equação 1 ax + by = c 1º) Seja o sistema:  onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ (Reais) e x e y são as  5x − 2 y = 1 equação 2 mx + ny = pingógnitas. 2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação 1: a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas 2 x + 3y = 8 admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 2 x = 8 − 3y 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores 8 − 3y x= equação 3 de x e y; entre estes pares estariam: 2 (x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc. 3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3): b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os 2
  28. 28. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior  8 - 3y  2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:5*  − 2y = 1 equação 4  2  33 − 3y 7 + 2y x= e x=4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y: 7 55 * ( 8 − 3y ) − 4 y = 2 3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x40 − 15 y − 4 y = 219 y = 38 = x):∴ y= 2 33 - 3y 7 + 2 y = 7 55º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está 4º) Resolve-se a equação e determina-se y:isolado) e determina-se x: 5 * ( 33 − 3y ) = 7 * ( 7 + 2 y ) 8 − 3 * ( 2)x= 165 − 15 y = 49 + 14 y 2 8− 6 29 y = 16x= 2 ∴ y= 4∴ x= 1 5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está6º) A solução do sistema é: isolado e determina-se o valor de x:x=1 e y=2 33 - 3y 33 − 3 * ( 4 ) 33 − 12 21 x= = = = 7 7 7 7 COMPARAÇÃO ∴ x= 3  7 x + 3y = 33 6º) A solução do sistema é:1º) Seja o sistema:   5x − 2 y = 7 x=3 e y=4 2
  29. 29. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior ADIÇÃO 3 *1 + 2y = 7 ∴ 3 + 2y = 7 ∴ 2y = 4 ∴ y = 2Este método consiste em somar, membro a membro, as duas 48) Exercíciosequações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma dasincógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das Resolver as seguintes equações:incógnitas serem simétricos. a) 4 x = 8 b) − 5x = 10Exemplos: c) 7 + x = 8 d) 3 − 2 x = − 7 x+ y= 4 equação 1 a)  e) 16 + 4 x − 4 = x + 12 x− y= 0 equação 2 Somando, membro a membro, vem: f) 8 + 7 x − 13 = x − 27 − 5x 2x = 4 ∴ x = 2 2x 3 g) = Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a 3 4 critério do aluno), vem: 1 3x h) = 2+ y = 4 ∴ y = 2 4 10 i) 9 x + 2 − ( 4 x + 5) = 4 x + 3  3x + 2 y = 7  3x + 2y = 7 j) 3 * ( 2 − x ) − 5 * ( 7 − 2 x ) = 10 − 4x + 5 b)  ⇒   5x − y = 3 → * (2)  10x - 2y = 6 x − 2 12 − x 5x − 36 k) − = −1 Somando, membro a membro, vem: 3 2 4 13x = 13 ∴ x = 1 5x + 3 3 − 4 x x 31 9 − 5x l) − + = − Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério 8 3 2 2 6 do aluno), vem: 2
  30. 30. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorResolver os seguintes sistemas de equações: A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x  x + y = 12 apresentar o maior expoente igual a 2. a)  Se tivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa.  3x + y = 24 Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.  5x + 6 y = 19 b)   7x + 2y = 1 49) Resolvendo Equações de 2º Grau  x + 5 y = 12 c)   3x − 4 y = − 2 Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja: x y 4+ 5= 2  d)   2x + 1 − y − 3 = 2 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:  3  2 a . x² = 0Considere o problema: Exemplo:A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade 3 x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho? 2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então: IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU a . x² + b . x = 0Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo: Exemplo: a . x² + b . x + c = 0 3 x² - 12 x = 0 ⇒ x . (3 x – 12) = 0 ⇒ x = 0 ou 3 x – 12 = 0 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {0; 4}onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a ≠ 0). 3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então: 3
  31. 31. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 50) Exercícios a . x² + c = 0 Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas: Exemplo: a) x 2 − 7 x + 6 = 0 x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x= ± 4 ⇒ x’ = 2 e x’’ = -2 ⇒ b) x 2 + 3x − 28 = 0 ⇒ S = {-2; 2} c) 3x 2 − 5x + 2 = 0A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma d) 16 x 2 + 16 x + 3 = 0fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido e) 4 x 2 − 16 = 0em 1 114, por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz aigualdade: f) 2 x 2 − 18 = 0 g) 3x 2 = 5x − b± b ² − 4.a.c Fórmula de Bhaskara x = 2.a h) 2 x 2 + 8x = 0 i) ( 2x − 3) 2 = ( 4x − 3) 2A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja: Prever a natureza das raízes das equações: ∆ = b 2 − 4ac a) 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ∆ > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes ∆ = 0 têm-se duas raízes reais e iguais b) x 2 + x + 3 = 0 ∆ < 0 têm-se duas raízes imaginárias c) 2 x 2 − 4 x + 2 = 0OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de Determinar mentalmente as raízes das equações:segundo grau visto que o x² seria anulado. a) x 2 − 6 x + 5 = 0 3
  32. 32. Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) x 2 + 2x − 15 = 0 d) y ≥ 4 (y é maior ou igual a 4). e) 1 < x ≤ 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a c) x 2 − 4 x − 12 = 0 4). d) x 2 − 10x + 21 = 0 e) x 2 + 5x − 50 = 0 51) Inequação do 1º grau Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau. Resolver as seguintes equações: Exemplo: a) ax 2 = b 2x > 4 b) x ( x − 1) = x ( 2 x − 1) − 18 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x. Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:Símbolos de desigualdades x>2 São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação a > b (a é maior do que b) do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma a < b (a é menor do que b) equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a a ≥ b (a é maior ou igual a b) inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da a ≤ b (a é menor ou igual a b) desigualdade. Exemplos: Exemplos: a) 7 > 5 (7 é maior do que 5). b) 3 < 6 (3 é menor do que 6). c) x ≤ 1 (x é menor ou igual a 1). 3

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