• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Apostila mb cefet
 

Apostila mb cefet

on

  • 3,254 views

 

Statistics

Views

Total Views
3,254
Views on SlideShare
3,254
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
50
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Apostila mb cefet Apostila mb cefet Presentation Transcript

    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior APOSTILA MATEMÁTICA BÁSICA Este material serve como introdução aos conceitos matemáticos,adequando-se às necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED deSertãozinho. Nele estão conteúdos dos níveis básico e intermediário damatemática, dos ensinos fundamental e médio. Os pontos, aquiabordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessários à ascensãonos cursos oferecidos pela unidade. Este material tem por objetivo oferecer subsídios e conhecimentobásicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aosdiscentes a base matemática para prosseguir em seus estudos. O material contém as definições matemáticas de uma maneiraclara e objetiva, exemplos e uma série de exercícios de fixação. Aluno: _____________________________________________________ Curso: _____________________________________ Turma: ________ 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior ÍNDICE GERAL I. Conjuntos numéricos 2 II. As quatro operações fundamentais (números decimais) e Expressões 2 III. Frações Ordinárias 9 IV. Potências 13 V. Operações algébricas 20 VI. Equações do 1º grau 23VII. Equações do 2º grau 28VIII. Inequações do 1º grau 30 IX. Proporcionalidade 31 X. Juros 38 XI. Relações Trigonométricas 41XII. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções) 44XIII. Noções de Geometria Plana e Espacial 48 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior I - CONJUNTOS NUMÉRICOS São todos os números na forma decimal exata, periódica ou na forma de fração.  17 5 4 1 1 1 7  Q=  , - ,− ,− ,− ,0, , , ,  6 2 3 2 3 2 4  Exemplos: Números decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272}; Números decimais na forma periódica: 2,333333 = 2, 3 3,0222 = 3,02 10,232323 = 10, 23 Esta figura representa a classe dos números. I  Irracionais Veja a seguir: São todas as decimais não exatas e não periódicas.  2 π  N  Naturais I=  , - , 3 , π , ,  6 6  São os números positivos inclusive o zero, que representem umacontagem inteira. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} R  Reais Não há números naturais negativos. É a união dos conjuntos numéricos citados acima. Portanto, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real). Z  Inteiros As raízes em que o radicando seja negativo e o índice par não são São os números naturais e seus opostos – negativos. reais. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Não há números inteiros em fração ou decimal. II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS Q  Racionais DECIMAIS) 1) Adição 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorNa adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo aaditiva, e o resultado é a soma. operação a subtração, e o resultado é o minuendo. 2+2=4 Subtração Parcelas adição Soma 3–2=1Exemplos: Minuendo Subtraendo diferença4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049 Exemplos: As regras para a subtração são as mesmas da adição, 4,32  portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a  Observe que as parcelas são operação. Numa subtração do tipo 4-7 temos que o minuendo é+ 2,3  parcelas dispostas de modo que se tenha 1,429  menor que o subtraendo; sendo assim a diferença será negativa e  vírgula sobre vírgula. igual a -3. 8,049 } soma 3) Multiplicação Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a1 2 1 15 + 40 + 12 67 operação multiplicativa, e o resultado é o produto. + + = = ≅ 1,11664 3 5 60 60ou 22 * 3 = 661 2 1 2,25 + 6 + 1,8 10,05 + + = = ≅ 1,11664 3 5 9 9 Fatores Multiplicação Produto Pode-se representar a multiplicação por: *, x ou .2) Subtração Exemplo: 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior7,32 * 12,5 = 91,500 Exemplo: Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma Na multiplicação começa-se divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor, veja no7,32   fatores operar da esquerda para a direita.*12,5 exemplo a seguir:  Quando a multiplicação envolver 3660 números decimais (como no 843 / 5 = 168 exemplo ao lado), soma-se a Para verificar se o resultado é 1464 + 34 quantidade de casas após a verdadeiro basta substituir os valores 732 + 43 na seguinte fórmula: vírgula. 3  resto (r) D=d*q+r 91,500 } produto 843 = 5 * 168 + 31 2 8 16 8 * * = = ≅ 2,6 Se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.2 3 1 6 3 5) Casos particulares da multiplicação e divisãoNa multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo Multiplicaçãocom dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo N*1=Npelo de baixo). N*0=04) Divisão DivisãoNa divisão, os números são chamados de dividendo( a parte que está N/1=Nsendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte está N/N=1sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente. 0 / N = 0 (N ≠ 0 ) Divisão N / 0 = Não existe!!!! 7 / 4 = 1,75 6) Exercícios Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q) a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = 5
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) 4,03 + 200 + 51,2 = −9=9 c) 32,4 – 21,3 = − 2= 2 d) 48 – 33,45 = Exemplos: 0= 0 e) 2,1 * 3,2 = 7= 7 f) 48,2 * 0,031 = g) 3,21 * 2,003 = h) 8,4708 / 3,62 = 8) Soma e subtração algébrica i) 682,29 / 0,513 = Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal j) 2803,5 / 4450 = comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal 0,2 * 0,3 k) (FUVEST) = do maior. 3,2 − 2,0 Exemplos: l) 0,041 * 21,32 * 401,05 ≅ a) 2 + 4 = 6 m) 0,0281 / 0,432 ≅ b) – 2 – 4 = – 6 2,31 * 4,82 c) 5 – 3 = 2 n) ≅ 5,1 d) – 5 + 3 = – 2 0,021 * 4,32 e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 o) ≅ 0,285 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 227) Valor absoluto ou Módulo 9) Multiplicação e divisão algébricaRepresenta a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo Sinais iguais  resposta positivaassim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e Sinais diferentes  resposta negativarepresentado por | |. Isto é: (+ ) * (+ ) = (+ ) (+ ) : (+ ) = (+ ) (− ) * (− ) = (+ ) (− ) : (− ) = (+ ) 6 (+ ) * (− ) = (− ) (+ ) : (− ) = (− ) (− ) * (+ ) = (− ) (− ) : (+ ) = (− )
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.Exemplos: Exemplo: a) 12 * 3 = 36 b) (-12) * (-3) = 36 a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] c) 2 * (-2) = -4 b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 d) (-2) * 3 = -6 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 4 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1 e) =2 2 20 11) Números Primos f) = -4 (− 5) São aqueles números divisíveis somente por eles mesmos e por 1. Obs.: O número 1, por definição, não é primo. (− 20) g) =4 (− 5) Método para obtenção de números primos (− 20) h) = -4 Faremos isso através de um exemplo: 5 Encontre os números primos compreendidos entre 1 e 50.10) Expressões numéricasPara resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações 1º Passo: Enumera-losde multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que 7
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 30 241 42 43 44 45 46 47 48 49 50 15 3 30 = 2 * 3 * 5 5 52º Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior número quadrado dentre 1 30os indicados, ou seja, encontrar o maior número que se conheça a raizquadrada exata. 21 3No caso, 49 = 7 . 7 7 21 = 3 * 7 1 213º Passo: Extrair da lista acima os números múltiplos dos números {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provém do 2º passo. OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo4º Passo: Os números que sobraram são os números primos procurados: número 1.{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}. 13) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)Obs.: O número 2 é o único número primo e par. O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. 12) Decomposição de um número em um produto de fatores Exemplo: primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos é a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos: 8
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 12 12 45 2 Agora tomemos as menores potências dos fatores em comum 06 08 45 2 apresentados acima: 03 04 45 2 m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6. 03 02 45 2 03 01 45 3 Quando o m.d.c. entre dois números é igual a 1, dizemos que eles são 01 01 15 3 relativamente primos. 01 01 05 5 Exemplo: 5 e 9 são relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 32.1. 01 01 01 720 Sendo 1 o único fator comum a estes números. O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720 Confirme os resultados abaixo: Confirme os resultados abaixo. b) m.m.c. (9, 6) = 3 b) m.m.c. (4, 3) = 12 c) m.m.c. (36, 45) = 9 c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120 d) m.m.c. (12, 64) = 4 d) m.m.c. (8, 4) = 8 e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5 e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 6014)Máximo Divisor Comum (m.d.c.) 15) Exercícios:O m.d.c. a vários números é o maior número que os divide.Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36. a) 2 + 3 – 1 = b) – 2 – 5 + 8 =Fatorando cada um dos números em fatores primos, temos: c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =12 = 22.3 d) 2 * (-3) =18 = 2.32 e) (-2) * (-5) =36 = 22.32. f) (-10) * (-1) = 9
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniorg) (-1) * (-1) * (-2) = c. 12, 18 e 32 4h) = − 2 IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS −8i) = 2 Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o − 20 numerador e o divisor é o denominador.j) = − 5 As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um círculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as frações (− 4) * (− 1)k) = − 2 (− 1 + 3 - 5) * (2 - 7)l) = −1 1 3 (2 + 3 * 4 - 2 * 5 - 3) 2 4m) = =0,5 =0,75 −1n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 =o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =p) 0,5 * 0,4 : 0,2 = 1 1 4 8q) 0,6 : 0,03 * 0,05 = =0,25 =0,125r) 5 : 10 =s) 3 : 81 * 0,5 =t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre: a. 36 e 60 7 b. 18, 20 e 30 8 = 0,875 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior Exemplos:A fração é própria quando o numerador é menor do que o 1 1* 2 2 1 3 120 a) = =denominador: , , , etc. 2 2*2 4 2 5 210 3 3 * 5 15A fração e imprópria quando o numerador é maior que o b) = = 4 4 * 5 20denominador, sendo possível representá-la por um número misto e 20 20 :10 2reciprocamente. c) = = 30 30 :10 3Exemplos: 4 4:4 1 d) - = - = - 8 8: 4 2 10 3 10 a) =1 pois possui resto 3 7 7 7 17) Soma algébrica de frações 28 25 + 3 25 3 3 28 b) = = + =5 pois possui resto 3 Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se 5 5 5 5 5 5 algebricamente os numeradores. 11 2 c) =3 OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores. 3 3 1 7 d) 2 = Exemplos: 3 3 1 5 e) -1 =- 1 1 3 2 3+ 2 5 4 4 a) + = + = = 2 3 6 6 6 6 1 5 2 3 5 4 3+ 5-4 4 216) Propriedade b) + - = + - = = = 2 6 3 6 6 6 6 6 3Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número 1 3 4 1 9 16 24 1 - 9 + 16 - 24 16 4 1diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial. c) - + -2= - + - = = - = - = -1 12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 1 2 = 1 * 3 = 3 = 1118) Multiplicação de frações a) 1 2 1 2 2Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz 3com os denominadores. (− 2 3 ) =  - 2  * 2 = - 4 = - 1 1 b)   1  3 1 3 3Exemplos: 2 1 c) 2 = 1*1 = 1 1 3 3 3 2 3 6 a) * = 2 5 10 5 5 3 15 1  1 1 1 d) 2 = 1 * 2 = 2 = 7 2 b)  −  * = - 3  4 2 8 41 13  1  2 2 3 = 3 = 13 *  − 4  = - 52 = - 1 25 c)  −  *  −  =  3   5  15 e) ( − 21 4 ) ( − 9 4 )  3  9  27 27 d) ( − 3) *  − 1  2  * −  = - 3  4  7 14 3 1 11 16 44 4 20) Comparação de Frações e) 2 * 3 = * = =8 4 5 4 5 5 5 Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior será a19) Divisão de frações maior fração.Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b” a > b lê-se “a é maior do que b”Exemplos: 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 6 2 2 Exemplo: Comparar e : a) = 7 3 4 Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3: 9 b) = m.m.c.(3, 7) = 21. 27 Então, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar 12 os numeradores pelo fatores de transformações. c) = 486 * 3 2 * 7 ⇒ 18 14 e e7 *3 3* 7 21 21 Comparar as frações :Como 18 é maior que 14, podemos afirmar que: 1 2 a) ,18 14 2 3 > .21 21 2 5 b) , 3 6 O fator de transformação da fração é 3 pois 3*7 = 21, e o da fração é 7, pois 3*7 = 4 3 21. c) , 7 8 Resolva: 1 1 a) + = 5 10 2 4 b) - = 3 3 21) Exercícios 1 1 1 c) - + = 2 3 6 Simplifique as frações, ou coloque-as na forma irredutível: 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 1 2 Simplifique:d) * = 3 5 3 1 2 1e) * * = 1+ 7 3 5 1+ 1 = a) 1  1  2 1+f)  -  *  -  = 1 1+  6  5 1+ 1 1 1 1 1g) 3= + + 1 2 3 4 :  9 + 1 = 2 b)   2 3  17  + 2  1 3 4h) : -  = 3  5 V - POTÊNCIAS 1 2 1i) : * = Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n 2 3 4 fatores iguais a A. 2 1j) 2 :1 = A n = A∗A∗.. .∗A 5 5 n vezes  1 2 1k)  +  : = A é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina  3 4 2 seu grau. 1+ 1 Assim:l) 3= 3 2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8 (- 1) = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ 4 (- 1)4 = 1 1+ 1 1+ 2m) 2 = CASOS PARTICULARES: 1 2 a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior A1 = A; 21 = 2 6 vezes  6 b) Toda potência de 1 é igual a 1: 5 5*5*5*5*5*5 Realmente: = = 56 - 4 = 52 4 5 * 55 * 5 * 1² = 1; 1³ = 1 5    4 vezes c) Toda potência de 0 é igual a 0: Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 0² = 0; 0³ = 0 d) Toda potência de expoente par é positiva: 24) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes) (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9 Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27 Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)² 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32 Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 37522) Multiplicação de potências de mesma base 25) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes. Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. 2³ * 2² = 2 ** 2 * 2 * 2 = 2 3 + 2 = 2 5  2    2Realmente: vezesvezes 3  2  22 2*2 2 2  2  Realmente: = = * =   5 vezes 72 7*7 7 7  7Exemplo:5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 6423) Divisão de potências de mesma base 26) Potenciação de potênciaMantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Eleva-se a base ao produto dos expoentes. 3 2 3∗2 6. Realmente: 2  =2 =2 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorExemplo: (35 )2 = 310 = 59 049 Exemplo: 5 −2 = 1 52 = 1 = 1 5 * 5 2527) Expoente nulo 29) Potências de 10Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantosunidade. zeros quantas forem as unidades do expoente.  a4 :a4 = a4 - 4 = a0  Exemplos:Realmente:  a0 = 1  a4 :a4 = 1  a) 10² = 100Exemplo: (- 5)0 = 1 b) 107 = 10 000 000 c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²28) Expoente negativo d) 4000 = 4 * 10³Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é e) 300 000 = 3 * 105igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é f) 3 * 108 = 300 000 000a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinalpositivo. 30) Números decimais Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o  23 23 1 número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com  7 = 3 4= 4 2 2 *2 2 1 expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são asRealmente:  2-4 =  23 3-7 24 ordens decimais.  7 = 2 = 2- 4 2 −n 1 a = n a 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 25 25 j) 34 : 3² * 35 =Realmente: 0,0025 = = = 25 * 10 - 4 10 000 10 4 k) 24 * 54 = l) (- 3)5 * (- 5)5 =Exemplos: m) 153 : 33 = n) (- 4)6 : 26 = a) 0,001 = 10 -3 o) (3³)2 = b) 0,002 = 2 * 10 -3 p) (2³)5 = c) 0,00008 = 8 * 10 -5 q) (33)2 = d) 1,255 = 1255 * 10 -3 r) [ (3³)² ]² = e) 2 * 10 = 0,002 -3 s) (2 * 3)³ = t) (3² * 5 * 2)4 =31) Exercícios 5 u)   = 5   a) 1³ =  3 b) 04 = 3  2  v)   4 =  c) (- 2)³ = 3  d) (- 4)³ = 2 e) (- 2)4 =  2 2 * 33  w)   =  53  f) (- 4)4 =   g) 2³ * 25 = x) (2 * 3²)0 = h) 3² * 3 * 35 = y) 4-2 = i) 35 : 34 = z) 2 * 3-1 = 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 2 Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao aa) −4 = 3 número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. bb) (2-3 * 5-2)-4 = OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo cc) 2x + 1 * 4x =  n - índice da raiz dd) 32x * 24x = n A  A - radicando   ee) 54x : 252x =  - radicalExprimir, utilizando potências de 10: Assim: a) 20 000 = b) 4 800 000 = a) 16 = 4 porque 4² = 16 c) 0,01 = d) 0,000045 = b) 3 8 = 2 porque 2³ = 8 c) 4 81 = 3 porque 34 = 81Efetuar, utilizando potência de 10: 2 000 * 48 000 a) = 32) Propriedade 80 É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o 28 * 0,000032 expoente do radicando pelo índice do radical. b) = 0,00002 Exemplos: a) 12 = 22 * 3 = 2 3RADICAIS b) 180 = 2 2 * 32 5 = 2 * 3 5 = 6 5 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior Exemplo: c) 4 38 * 5 4 * 2 = 3 2 * 5 4 2 a) 2* 3= 2*3 = 6 d) 4 38 = 38 : 4 = 3 2 6 6 b) = = 3 2 2Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se oexpoente do fator pelo índice do radical. Assim: c) 3* 5* 2 = 3*5* 2 = 30 4 5 *4 3 4 15 15 d) = = 4 3 3 42 42 233 2 = 3 *233) Adição e subtração de radicais semelhantes 35) Potenciação de radicaisRadicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientese conserva-se o radical. Exemplo: a) (4 3 )3 = 4 33 = 4 27Exemplos: ( ) 2 2 b)  5 2 2 * 3  = 5 2 2 * 3 = 5 2 4 * 3 2     a) 3 2 + 5 2 - 10 2 = 8 2 - 10 2 = - 2 2 36) Radiciação de radicais b) 3 3 2 + 6 3 2 - 5 3 2 - 3 2 = 9 3 2 - 6 3 2 = 3 3 2 Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.34) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Exemplos:Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto a) 3 = 2*2 3 = 4 3(quociente) o índice comum. 1
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) 3 4 3 = 24 3 1 1* 2 2 2 a) = = = 2 2* 2 4 237) Expoente fracionário 1 1* 3 3 3 3 b) = = = =Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa 2 3 2 3* 3 2 9 2*3 6raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, 2 2* 3 6 6 c) = = =sendo o numerador o expoente do radicando. 3 3* 3 9 3 2 2 2 2* 6 2 12 2 12 2 12 12Exemplos: d) = = = = = 5 6 5 6* 6 5 36 5*6 30 15 p a) q a q = ap 2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em 1 b) a 2 = a que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso 2 multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada c) 2 3 = 3 2 2 = 3 4 do denominador. 3 OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b. d) 4 6 3 = 6 4 Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a – b) = a² - b²38) Racionalização de denominadores Assim:1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso (5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador dafração. Exemplos: 1 = ( 1* 5 - 2 ) = 5- 2 = 5- 2 = 5- 2Exemplo: a) 5+ 2 ( )( 5+ 2 * 5- 2 ) ( 5)2 - ( 2)2 5-2 3 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 5 ( 5* 2 - 3 ) ( 5* 2 - 3 ) ( ) ( 5* 2 - 3 5* 2 - 3 ) ( ) l) 3 3 3 2 2 2 = b) 2 + 3 = ( 2 + 3 ) * ( 2 - 3 ) = 2 = = = 5* 2 - 3 2 - ( 3) 2 4-3 1 Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:39) Exercícios a) 2 3 4 =Efetuar: b) 2 − 1 2 = a) 5 - 2 5 + 10 5 = 1  1  2 b) 32 + 3 2 - 8 = c)  2 2    =   c) 3 3 + 3 - 4 729 = d) 3* 6 = d) ( 2* 3 6 = )1 e) (- 3 2 ) * (- 3 4 ) = Racionalizar o denominador das frações seguintes: 48 f) = 42 1 a) = g) (3 2 ) 6 = 5 3 2 b) = h)  3 2 * 3 2  =   7   3 33 c) = i) 3= 2 2 j) 32 = 2 d) = 5-2 k) 3 2 2 = 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 5 e) = 4 - 11 41) Operações com expressões algébricas 1. Soma algébricaSimplifique: Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou 50 - 8 a) = subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) 2 repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. b) 2352 = Exemplo: 1 1 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy² c) - = 1- 2 2+1 2. Multiplicação VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os40) Expressões algébricas termos semelhantes.São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Exemplo: (3a²y) * (2ay) = 6a³y²Exemplos: a) 5ax – 4b b) ax² + bx + c c) 7a²bOBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou dediferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico ea²b é a parte literal. 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 3. Divisão (a - b)² = a² - 2ab + b² 1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado pela do divisor, observando-se as regras para do segundo. divisão de potências de mesma base. 2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada Exemplo: termo do dividendo pelo monômio divisor. (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9 Exemplo: III. Produto da soma de dois termos por sua diferença: (42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx² (a + b) * (a – b) = a2 – b2 42) Produtos notáveis Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: do primeiro menos o quadrado do segundo. I. Quadrado da soma de dois termos: Exemplo: (a + b)² = a² + 2ab + b² (1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do 43) Fatoração segundo. Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Exemplo: (2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x² Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos II. Quadrado da diferença de dois termos: 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniortermos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns e) (x 3 - 3x 2 y + x ) * (x 2 - y) =com os menores expoentes.Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o f) (6 x 2 - 4x 5 + 2x 4 - 2x 2 ) : 2x =produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido g) (2a 2 bc + 3a 3 b 3 c 2 − abc ) : abc =dividindo-se o polinômio original pelo fator comum. h) ( x + 2) 2 + ( 3x - 3) 2 =Exemplos: a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se: i) (3xy + 8a 2 )2 = j) ( 5ab + 3c ) * ( 5ab − 3c ) =  4ax ² 8a ² x ³ 2a ³x  4ax ² + 8a ² x ³ + 2a ³x = 2ax  + +  = 2ax ( 2x + 4ax² + a² )  2ax 2ax 2ax  Fatorar: b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x². a) 15a² - 10ab = Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2) b) 3a²x – 6b²x + 12x =44) Exercícios VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAUEfetuar: UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO a) 3a 2 - 7ab + 4b 2 - 5a 2 + 3ab - 4b 2 = As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, b) (3xy 2 - 7x 2 y + 3y3 ) - (2y3 - 8x 2 y + 3xy 2 ) = Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas c) (7xy 2 ) * (- 8x 2 y) * ( xy) = com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma d) (a + b + c) * ( a - b) = 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junioridéia simples, mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de umrepresentar os números nas equações. problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele nãoexistiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro Exemplo:matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e a) - = x2 5  só é verdade para x = 7começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades 1º membro 2º membrosão iguais: b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, Exemplo: como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4. _________ 400 cm _________ 4m Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes da equação. Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoenteequações de Viète. dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1º grau a Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram uma incógnita. expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para 46) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra. equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando- se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os 45) Equação termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). e divisão; potenciação e radiciação). 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorExemplos: 3x - 2 3x + 1 4x - 6 - = a) x + 2 = 7 ⇒ x+2–2=7–2 ⇒ x=5 2 3 5 b) x – 3 = 0 ⇒ x–3+3=0+3 ⇒ x=3 1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: 2x 8 c) 2 x = 8 ⇒ = ⇒ x= 4 m.m.c. (2; 3; 5) = 30 2 2 Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6) x 3* x d) =5⇒ = 3 * 5 ⇒ x = 15 3 3 2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém utilizar as 45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36operações dos sinais: 3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º - 2x - 8− 2x = - 8 ⇒ = ∴ x= 4 membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o -2 -2 2º, efetuando as operações necessárias:Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou 45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que sefaz mediante a aplicação da seguinte regra: 4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro: -9x = 4 Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e 5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicam-se os resultados pelos respectivos multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita: numeradores. − 9x 4 = − 9 -9Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir: 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duasser negativa também: equações. Por exemplo, o sistema:x= - 4  5x + y = 16 x = 3  tem solução para  9  2 x − 3y = 3 y= 1 Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente àsVERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL” duas igualdades. (Verifique!)Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema,dada. Os valores numéricos devem ser iguais são eles: Substituição, comparação e adição.47) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas SUBSTITUIÇÃOA forma genérica de um sistema é:  2 x + 3y = 8 equação 1 ax + by = c 1º) Seja o sistema:  onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ (Reais) e x e y são as  5x − 2 y = 1 equação 2 mx + ny = pingógnitas. 2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação 1: a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas 2 x + 3y = 8 admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 2 x = 8 − 3y 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores 8 − 3y x= equação 3 de x e y; entre estes pares estariam: 2 (x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc. 3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3): b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior  8 - 3y  2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:5*  − 2y = 1 equação 4  2  33 − 3y 7 + 2y x= e x=4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y: 7 55 * ( 8 − 3y ) − 4 y = 2 3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x40 − 15 y − 4 y = 219 y = 38 = x):∴ y= 2 33 - 3y 7 + 2 y = 7 55º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está 4º) Resolve-se a equação e determina-se y:isolado) e determina-se x: 5 * ( 33 − 3y ) = 7 * ( 7 + 2 y ) 8 − 3 * ( 2)x= 165 − 15 y = 49 + 14 y 2 8− 6 29 y = 16x= 2 ∴ y= 4∴ x= 1 5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está6º) A solução do sistema é: isolado e determina-se o valor de x:x=1 e y=2 33 - 3y 33 − 3 * ( 4 ) 33 − 12 21 x= = = = 7 7 7 7 COMPARAÇÃO ∴ x= 3  7 x + 3y = 33 6º) A solução do sistema é:1º) Seja o sistema:   5x − 2 y = 7 x=3 e y=4 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior ADIÇÃO 3 *1 + 2y = 7 ∴ 3 + 2y = 7 ∴ 2y = 4 ∴ y = 2Este método consiste em somar, membro a membro, as duas 48) Exercíciosequações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma dasincógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das Resolver as seguintes equações:incógnitas serem simétricos. a) 4 x = 8 b) − 5x = 10Exemplos: c) 7 + x = 8 d) 3 − 2 x = − 7 x+ y= 4 equação 1 a)  e) 16 + 4 x − 4 = x + 12 x− y= 0 equação 2 Somando, membro a membro, vem: f) 8 + 7 x − 13 = x − 27 − 5x 2x = 4 ∴ x = 2 2x 3 g) = Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a 3 4 critério do aluno), vem: 1 3x h) = 2+ y = 4 ∴ y = 2 4 10 i) 9 x + 2 − ( 4 x + 5) = 4 x + 3  3x + 2 y = 7  3x + 2y = 7 j) 3 * ( 2 − x ) − 5 * ( 7 − 2 x ) = 10 − 4x + 5 b)  ⇒   5x − y = 3 → * (2)  10x - 2y = 6 x − 2 12 − x 5x − 36 k) − = −1 Somando, membro a membro, vem: 3 2 4 13x = 13 ∴ x = 1 5x + 3 3 − 4 x x 31 9 − 5x l) − + = − Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério 8 3 2 2 6 do aluno), vem: 2
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorResolver os seguintes sistemas de equações: A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x  x + y = 12 apresentar o maior expoente igual a 2. a)  Se tivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa.  3x + y = 24 Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.  5x + 6 y = 19 b)   7x + 2y = 1 49) Resolvendo Equações de 2º Grau  x + 5 y = 12 c)   3x − 4 y = − 2 Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja: x y 4+ 5= 2  d)   2x + 1 − y − 3 = 2 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:  3  2 a . x² = 0Considere o problema: Exemplo:A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade 3 x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho? 2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então: IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU a . x² + b . x = 0Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo: Exemplo: a . x² + b . x + c = 0 3 x² - 12 x = 0 ⇒ x . (3 x – 12) = 0 ⇒ x = 0 ou 3 x – 12 = 0 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {0; 4}onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a ≠ 0). 3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então: 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 50) Exercícios a . x² + c = 0 Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas: Exemplo: a) x 2 − 7 x + 6 = 0 x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x= ± 4 ⇒ x’ = 2 e x’’ = -2 ⇒ b) x 2 + 3x − 28 = 0 ⇒ S = {-2; 2} c) 3x 2 − 5x + 2 = 0A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma d) 16 x 2 + 16 x + 3 = 0fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido e) 4 x 2 − 16 = 0em 1 114, por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz aigualdade: f) 2 x 2 − 18 = 0 g) 3x 2 = 5x − b± b ² − 4.a.c Fórmula de Bhaskara x = 2.a h) 2 x 2 + 8x = 0 i) ( 2x − 3) 2 = ( 4x − 3) 2A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja: Prever a natureza das raízes das equações: ∆ = b 2 − 4ac a) 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ∆ > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes ∆ = 0 têm-se duas raízes reais e iguais b) x 2 + x + 3 = 0 ∆ < 0 têm-se duas raízes imaginárias c) 2 x 2 − 4 x + 2 = 0OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de Determinar mentalmente as raízes das equações:segundo grau visto que o x² seria anulado. a) x 2 − 6 x + 5 = 0 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) x 2 + 2x − 15 = 0 d) y ≥ 4 (y é maior ou igual a 4). e) 1 < x ≤ 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a c) x 2 − 4 x − 12 = 0 4). d) x 2 − 10x + 21 = 0 e) x 2 + 5x − 50 = 0 51) Inequação do 1º grau Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau. Resolver as seguintes equações: Exemplo: a) ax 2 = b 2x > 4 b) x ( x − 1) = x ( 2 x − 1) − 18 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x. Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:Símbolos de desigualdades x>2 São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação a > b (a é maior do que b) do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma a < b (a é menor do que b) equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a a ≥ b (a é maior ou igual a b) inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da a ≤ b (a é menor ou igual a b) desigualdade. Exemplos: Exemplos: a) 7 > 5 (7 é maior do que 5). b) 3 < 6 (3 é menor do que 6). c) x ≤ 1 (x é menor ou igual a 1). 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 4− x ≤ 2 2x + 1 ≥ 1 Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é − x ≤ 2− 4 2x ≥ 1− 1 a) b) a − x≤ −2 2x ≥ 0 representada por , a/b ou a : b, sendo b ≠ 0. b x≥ 2 x≥ 0 VII - PROPORÇÃO52) Exercícios Proporção é a igualdade de duas razões. a cResolver as seguintes inequações: Seja a proporção: = ou a : b = c : d ou a : b :: c : d. b d Seus elementos se denominam: a) 2 x + 1 ≤ − 1 b) − 3x ≤ x + 2 a - primeiro termo a e b - extremos c) x > 5x − 16 b - segundo termo b e c - meios d) 2( x + 1) + 3x > 5 − 7 x c - terceiro termo a e c - antecedentes 2 1 4x d - quarto termo b e d - conseqüentes e) x− ≥ −1 5 2 5 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos 7x 2 f) − 7≤ x+ meios é igual ao produto dos extremos. 3 3 Considerando as proporções: 3x 2x g) − 9< + 4 a c 4 7 = então a * d = b * c b d 4 8 XII – PROPORCIONALIDADE = então 4 * 6 = 3 * 8 3 653) Razão 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniorx 3 Tempo (s) Deslocamento (m) = então 5 * x = 2 * 3 1 20 A pergunta é: tempo e2 5 2 40 deslocamento são 3 60 4 80 grandezas diretamente ouA principal aplicação desta propriedade é a determinação de um 5 100elemento desconhecido na proporção. Exemplificando: inversamente 10 200Determine x na proporção: Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se que a proporcionais?x 20 = 5 * x = 4 * 20 ou x = 16 razão x4 5 então t é constante.54) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais x 20 40 60 80 100 200 = = = = = = = 20Duas grandezas x e y são denominadas: t 1 2 3 4 5 10  Diretamente proporcionais: quando a razão entre x e y é Assim x e t são grandezas diretamente proporcionais e a constante. constante de proporcionalidade vale 20 (que é a velocidade x do carro). = k ou x = ky y b) Um gás é mantido à temperatura constante em um  Inversamente proporcionais: quando o produto delas é constante. recipiente de volume variável. Quando se altera o k volume do gás a sua pressão também se modifica. x * y = k ou x = y Registraram-se em uma tabela os valores Sendo k denominada constante de proporcionalidade. correspondentes da pressão P e V volume (V). (P) e são grandezasExemplos: Pressão Volume diretamente ou 20 20 40 10 inversamente a) Seja um carro que se desloca com velocidade constante 80 5 proporcionais? em trajetória retilínea. A tabela mostra o deslocamento do 100 4 200 2 carro em função do tempo. 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 400 1 40 1 Note que PV é constante. = (as grandezas são dispostas na mesma ordem de 100 x PV = 20.20 = 40.10 = 80.5 = 100.4 = 200.2 = 400.1 = 400 correspondência). Assim: P e V são grandezas inversamente proporcionais com Aplicando a propriedade fundamental das proporções, vem: constante de proporcionalidade igual a 400. 40 * x = 1 *100 ∴ x = 2,5 horas55) Regra de três simplesUtilizamos regra de três simples na solução de problemas que b) Dois litros de gás exercem uma pressão de 0,4 atm. Cincoenvolvem grandezas proporcionais. litros do mesmo gás, à mesma temperatura, exercerão que pressão?Exemplos: SOLUÇÃO As grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, a) Um automóvel se desloca com velocidade constante teremos uma regra de três simples e inversa. percorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto para Dispondo os dados do problema: percorrer 100 km? Volume Pressão SOLUÇÃO 2L 5L IP 0,4 atm x As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Teremos então uma regra de três simples e direta. Dispomos os dados do problema colocando frente `frente Sendo a regra de três inversa, as grandezas são dispostas de aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do valor forma que na proporção os termos do 2º membro ficam procurado: invertidos. Distância Tempo 2 x = ou 2 * 0,4 = 5 * x ∴ x = 0,16 atm 40 km 100 km DP 1h x 5 0,4 56) Exercícios Sendo a regra de três simples e direta, tem-se: Resolva os seguintes exercícios: 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior h) Uma máquina tem duas rodas dentadas que se engrenam.a) Uma bomba eleva 272 litros de água em 16 minutos. A maior tem 30 dentes e a menor, 18 dentes. Quantas Quantos litros elevará em 1 hora e 20 minutos? voltas dá a menor enquanto a maior dá 150 voltas?b) Doze operários levaram 25 dias para executar uma i) Um Boeing vai do Rio de Janeiro a Recife em 2 horas e 40 determinada obra. Quantos dias levarão 10 operários para minutos, num vôo sem escalas. Numa das viagens, executar a mesma obra? ocorreu um pequeno defeito em seus motores e ele fez ac) Num livro de 200 páginas há 30 linhas em cada página. Se viagem em 3 horas e 20 minutos, a uma velocidade de houvesse 25 linhas em cada página, quantas páginas 540 km/ h. Qual é a velocidade média com que ele faz teriam o livro? essa viagem em condições normais?d) Metade de uma obra foi feita por 10 operários em 13 dias. j) Para asfaltar 345 km de estrada, uma equipe de 15 Quantos tempo levarão para terminar essa obra com 3 pessoas levaria 8 dias. Se forem contratados outras 9 operários a mais? pessoas que trabalhem no mesmo ritmo das pessoas dae) Com uma certa quantidade de cobre, fabricam-se 1600 equipe que já existe, em quantos dias a nova equipe metros de fio com seção de 12 mm². Se a seção for de 8 asfaltará o mesmo trecho de estrada? mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos? k) Para asfaltar 345 km de estrada, uma equipe de 15f) Um quintal pode ser ladrilhado com 500 ladrilhos de 225 pessoas levaria 8 dias. Qual o número de pessoas que cm2 de área cada um. Quantas lajotas de 900 cm2, cada devem ser contratadas para que a mesma obra fique uma, são necessárias para recobrir o mesmo quintal? completa em 5 dias, desde que todos trabalhadoresg) Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros tenham o mesmo ritmo de trabalho. que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser l) Lisa e Rute aproveitaram uma liquidação. Lisa comprou 18 construído em duas semanas, no mesmo ritmo de camisetas e pagou o equivalente a 14 camisetas. Rute trabalho, quantos pedreiros deverão ser contratados? também comprou camisetas na mesma liquidação e pagou o equivalente a 49 camisetas. Quantas camisetas Rute comprou? 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior Quando o número de pintores é 20, a obra fica pronta em 4 dias, para 57) Regra de três Composta uma carga de trabalho diária fixa. Se diminuirmos o número de pintores, o tempo para conclusão da obra, aumenta ou diminui? É claro que aumenta. Algumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e Logo, pode-se concluir que essas colunas são IP (pois as flechas estãoa resolução de problemas desta natureza podem envolver uma regra de apontando em direções opostas.)três composta. Análise II: Exemplos: Trabalho diário (Hs) Tempo (dias) 6 4 a) 20 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 8 X4 dias. Quantos dias serão necessários para que 6 pintores, trabalhando 8horas por dia, pintem o mesmo edifício? Fixado o número de pintores. Quando o número de horas trabalhadas por SOLUÇÃO: dia é 6, a obra fica pronta em 4 dias. Se aumentarmos a carga horária por Qtde de Pintores Trabalho diário (Hs) Tempo (dias) dia para 8, o tempo para conclusão da obra, aumenta ou diminui? É claro 20 6 4 que diminui. 6 8 X Logo, pode-se concluir que essas colunas são IP (pois as flechas estãoA partir de agora, adotaremos o procedimento da análise com relação a apontando em direções opostas.)variável X, ou seja, analisaremos as colunas Qtde de Pintores e a coluna Agora, faremos o seguinte procedimento, como as colunas Qtde deTrabalho diário (Hs) em relação à coluna Tempo (dias), onde está a pintores e Trabalho diário (Hs) são IP com relação à coluna Tempo (dias)variável. teremos que inverter as frações das duas colunas mencionadas, e manter,Análise I: do outro lado da igualdade, a coluna que contém a variável. Qtde de Pintores Tempo (dias) 20 4 6 8 4 6 X . = 20 6 x 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorResolvendo essa igualdade, temos 20.6.4 = 6.8.x, que resulta em É claro que aumenta. Isto é, ele precisará de mais tempo para cumprir a distância. 20.6.4x= ⇒ x = 10. Logo, pode-se concluir que essas colunas são DP (pois as flechas estão 6.8 apontando em mesma direção.)Logo, Serão necessários 10 dias para pintar o edifício. Análise II: b) Paulo é representante da Loja A Barateira. Ele costuma Tempo (dias) Horas em viagempercorrer 1260 km em 5 dias viajando 6 horas por dia. Em quantos dias 5 6ele percorrerá 2520 km, viajando 4 horas por dia? X IP 4 SOLUÇÃO: Fixada a distância a ser percorrida. Quando gasta-se 6 horas por dia na Distância (km) Tempo (dias) Horas em viagem 1260 5 6 viagem, o tempo necessário para concluir a mesma é de 5 dias. Quando 2520 X 4 diminui-se o número de horas de viagem por dia para 4, pode-se concluir que: Será necessário mais tempo para concluir a viagem.A partir de agora, adotaremos o procedimento da análise com relação a Logo, essas colunas são IP (pois as flechas estão apontando em direçõesvariável X, ou seja, analisaremos as colunas Distância e a coluna Horas em opostas.)viagem em relação à coluna Tempo (dias), onde está a variável. Dessa forma, faremos o seguinte procedimento: Manteremos a fração daAnálise I: coluna DP, e invertemos a fração da coluna que é IP com a coluna que Distância (km) Tempo (dias) contém a variável, sendo esta isolada no outro lado da igualdade. 1260 5 2520 DP X 1260 4 5Quando a distância percorrida é 1260 km o tempo gasto na viagem é de 5 . = 2520 6 xdias, para um tempo de viagem por dia fixo. Se aumentarmos a distânciaa ser percorrida, o tempo para conclusão da viagem, aumenta ou diminui? 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorResolvendo essa igualdade, temos 2520.6.5 = 1260.4.x, que resulta em e) Um criador usava 2400kg de ração para alimentar 120 cães 2520.6.5x= ⇒ x = 15. durante 45 dias. Para economizar gastos com o canil, ele vendeu alguns 1260.4 cães e passou a usar 1200kg de ração para 3 meses. Quantos cães eleLogo, Paulo fará esse percurso em 15 dias. vendeu? (Use 1 mês = 30 dias.)EXERCÍCIOS: XIII - JUROSa) 4 trabalhadores colhem 200 caixas iguais de laranja, em 5 dias,trabalhando num certo ritmo. Quantas caixas de laranjas, iguais a essas, 58) Juros Simplesserão colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo decolheita? O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transações comerciais não utilizamb) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a dos juros simples e sim o regime de juros compostos.uma velocidade de 75 km/h, viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 90 A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é:km/h, durante 5 horas por dia, em quantos dias iríamos de uma cidade àoutra? J=C.i.nc) 3 torneiras iguais enchem um tanque de 5000l de capacidade, em 10 J = juros C = capitalhoras. Fechando uma das torneiras, em quanto tempo as outras i = taxa da aplicaçãodespejarão 3000l nesse tanque? n = tempo que durou a aplicaçãod) Em 50 dias, uma escola usou 6000 folhas de papel para imprimir Exemplo 1:provas do tipo A e do Tipo B, para 1200 alunos. A escola tem 1150 alunos, Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00,no momento. Quantas folhas serão usadas, durante 20 dias, para imprimir comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, á taxa de juros simples dedois tipos de provas semelhantes às anteriores? 3
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior5% ao mês (a.m). 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos: 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.1951º) em um mês, os juros são de:5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00 j = 1200 x 0.195 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à2º) como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar: taxa de 36% a.a., durante 125 dias.J = 3 x 30,00 = 90,00 Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade deAssim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar: tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00600,00 + 90,00 = 690,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante.e montante M igual a : Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma M=C+J=C+Cin→ unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: M = C ( 1 + in) P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalizaçãoObservação importante: a taxa deve ser sempre compatível com a unidade simples?de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa for de 4%a.m., para um Objetivo: M = 2.Pprazo de 60 dias adotaremos n = 2 (2 meses). Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento:Exemplos 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior Substituindo o montante 2 no terceiro montante os termos: M3 = C (1 + i)2 (1 + i) 59) Juros Compostos M3 = C (1 + i)3 Se seguirmos essa seqüência veja as aplicações seguintes: O regime de juros compostos é conhecido como “juro sobre juro”, pois Ao término do 4º período:o juro incide sempre no capital anterior contrário dos juros simples. As M4 = C (1 + i)4financeiras, bancos, optam pela aplicação dos juros compostos, pois há Ao término do n-ésimo período:uma possibilidade maior de lucro. Mn = C (1 + i)n Então, para fazermos o cálculo do montante do juro compostos, utilizamosImagine a seguinte aplicação: Vamos supor que aplicamos um capital a seguinte fórmula:qualquer em um banco. Esse capital irá render uma taxa qualquer, assim,de período em período renderá um montante. ► Ao final do n-ésimo período:Veja agora como ficaria essa aplicação de período em período:Ao término do 1º período: Mn = C (1 + i)nIremos resgatar o primeiro montante M1 = C + i . CAo término do 2º período:Como se trata de regime de juros compostos o capital aplicado nesse Exemplo 1:segundo período da aplicação será o montante do período anterior e não ocapital inicial como é feito no regime de juros simples. Portanto, o Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m. a jurossegundo montante será: M2 = M1 + i . M1. compostos. ► O montante, ao final de 3 meses, é dado por:Ao término do 3º período:Seguindo a mesma regra do segundo período teremos: M3 = M2 + i . M2. M3 = 400 (1 + 0,02)3 = 400 . 1,061 = 424,48Com a aplicação nesses três períodos obtivemos três fórmulas: ► Ao final de 6 meses:M1 = C + i . C M2 = M1 + i . M1M3 = M2 + i . M2 M6 = 400 (1 + 0,02)6 = 400 . 1,126 = 450,46Colocando os termos em evidência teremos: ► Ao final de 1 ano (12 meses):M1 = C (1 + i) M2 = M1 (1 + i) M3 = M2 (1 + i)Substituindo o montante 1 no segundo montante os termos: M12 = 400 (1 + 0,02)12 = 400 . 1,26 = 507,29M2 = C (1 + i) (1 + i)M2 = C (1 + i)2 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior2 - Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros 02) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros compostos decompostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Qual foi esse tempo? Resolução: 03) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao P = R$6.000,00 mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 03) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 1,5% ao M=? mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00? log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788=> x = 1,509 04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização composta, para que depois de 4 meses, o montante seja de Então M = 6000.1,509 = 9054. R$ 5040,00? Portanto o montante é R$9.054,00 05) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % aõ mês, no final de 1 ano e 3 meses? 60)Exercícios 06) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros compostos com uma taxa de 2% ao mês, resultou um montante de R$ 880,00 após certo tempo.01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao Qual foi o tempo da aplicação?mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros compostos de 3% 06) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação? 7050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5350,00. O valor desse capital é:02) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. 07) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição deQual foi esse tempo? investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniormaior quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ b) Catetos: são os outros dois lados do triângulo. Nas500,00 de juros em um ano, é: figuras são catetos: b, c; y, z e s, t.08) No sistema de juros compostos com capitalização anual, um capital deR$ 20.000,00, para gerar em dois anos um montante de R$ 23.328,00, 62) Relações trigonométricas no triângulo retângulodeve ser aplicada a uma taxa:09) (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Suponha que uma pessoa Baplique R$ 2000,00 por dois meses, a juros compostos com umadeterminada taxa mensal, e obtenha um rendimento igual a R$ 420,00, a cproveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o mesmo valor por doismesses a juros simples com a mesma taxa anterior, ela terá, no final C Adesse período, um montante de R$ 2.400,00. b No triângulo retângulo ao lado consideremos o ângulo C formado pelo10) (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considere que um capital de R$4000,00 ficou aplicado por 2 meses à taxa de juros compostos de 10% lado b e a hipotenusa a.a.m. Se o montante obtido foi corrigido pela inflação do período obtendo- O lado b denomina-se cateto adjacente ao ângulo C. (É o catetose um total de R$ 5082,00, então a inflação do período foi superior a 7%. que faz parte da constituição do ângulo). O lado c denomina-se cateto oposto ao ângulo C. XIII – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Os lados do triângulo e um dos ângulos (não o reto), podem ser relacionados por: 61) Triângulo retângulo Um triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90º). cateto oposto c T sen C = = A Y r hipotenusa a S c b x z s t B C Z X a y R cateto adjacente b Em um triângulo retângulo temos: cos C = = hipotenusa a a) Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. Nas figuras acima são hipotenusas: a, x e r. 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior B sen C cateto oposto c c tg C = = = sen 60º = ∴ c = a sen 60º 60º cos C cateto adjacente b a a c 3 c = 4* = 2 3mExistem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, co-senos 2 C b A be tangentes dos mais diversos ângulos. Assim, conhecido um ângulo cos 60º = ∴ b = a cos 60º ade um triângulo retângulo e um dos lados, pode-se determinar os 1demais lados. A seguir temos uma tabela com os valores das funções b = 4* = 2 m 2trigonométricas para os ângulos de 30º, 45º e 60º. b) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determinar o ângulo formado 30 graus 45 graus 60 graus pela hipotenusa e por esse cateto. Determine o outro 1 2 3 cateto. Seno 2 2 2 c 2,5 1 3 2 1 1ª ) cos θ = = = a 5 2 Co-seno 2 2 2 da tabela θ = 60º 3 3 Tangente 3 1 3 2ª ) b = a sen θ = 5 * sen 60º = 5 * 2 ∴ b = 2,5 3 mExemplos: a) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 4 m e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os dois A catetos do triângulo. c = 2,5 m b B θ C a=5m 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior b) Um ângulo de um triângulo mede 30º e o cateto que c) Em um triângulo retângulo os lados valem 3 m, 4 m e se opõe a este ângulo vale 5 cm. Calcular a 5 m. Determine o seno, o co-seno e a tangente do hipotenusa e o outro cateto. ângulo formado entre o lado de 3 m e o de 5 m. θ c) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 3 cm e 4 sen θ = = 0,8 5m um dos ângulos agudos vale 45º. Calcular a medida 5 3m comum dos catetos. 3 cos θ = = 0,6 5 4m 4 d) Num triângulo retângulo, as medidas dos dois catetos tg θ = = 1, 3 3 são iguais. Calcular a medida comum dos ângulos Todo triângulo de lado 3, 4 e 5, ou múltiplos destes agudos. valores, é denominado Triângulo Pitagórico. e) Calcular os ângulos formados pelos catetos com a63) Exercícios hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que a) Dado o triângulo retângulo abaixo, calcular: um dos catetos é a metade da hipotenusa. f) Calcular x e y na figura a seguir: 2 5 2 x 60º θ 4 i. sen θ y 6m ii. cos θ iii. tg θ 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior y XIV – PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAÇÕES E 5 FUNÇÕES) 4 3 2 P164) Os eixos cartesianosDois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens P1 ( 3, 2 ) -5 -4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 5coincidentes, são denominados eixos cartesianos. P2 (1, - 2 ) P4 P3 x -1 P3 ( 0, - 1) -2 P2 y (eixo das ordenadas) P4 ( - 2, 0) -3 5 -4 4 -5 3 2 O primeiro valor numérico representa a abscissa do ponto e o segundo 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 a ordenada do ponto. (eixo das abscissas) 0 x origem -1 -2 66) Uma reta no plano cartesiano -3 Um conjunto de pontos representados em um plano cartesiano pode -4 resultar em uma reta. Tal fato acontece quando atribuímos os mais -5 diversos valores a x em uma equação característica (a seguir representada) e obtemos os valores de y correspondentes.65) Um ponto no plano cartesiano y=a*x+bUm ponto situado em um plano cartesiano tem sua posição definidapor um par de números (coordenadas do ponto). Esta equação é denominada equação reduzida da reta, sendo que a e b necessariamente são valores constantes. A sua representação gráfica nos mostra que: 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior c) Reta paralela ao eixo y y a = tg α (coeficiente angular). O valor de x é constante. b = valor de y onde a reta α b intercepta o eixo das ordenadas y (coeficiente linear). 0 x 0 x67) Casos particulares a) Reta que passa pela origem Exemplos: O coeficiente linear (b) é igual a zero. a) Representar graficamente a equação y = 3*x. y Solução: O coeficiente angular é 3 . Como tg 60º = 3, A equação fica: y=a*x o ângulo que a reta forma com o eixo x é 60º. Ainda, a reta 0 x não apresenta coeficiente linear, isto é, a reta passa pela origem. Representando-a: b) Reta paralela ao eixo x y O coeficiente angular (a) é igual a zero. y 60º A equação fica 0 x y=b 0 x b) Representar graficamente y = 20. 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior y Solução: Como y é constante a reta deve ser 5 perpendicular ao eixo y. 4 Q 3 y 2 20 P 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 S 0 x -2 -3 R -468) Exercícios -5 a) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir. y c) Qual a representação gráfica da reta de equação 5 4 y= 3x− 2 3 2 y A ( 0, - 2 ) -5 -4 -3 -2 -1 1 1 2 3 4 5 B ( 4, 0 ) x -1 C (1, 3) 60º -2 0 x D ( - 2, - 3) -3 a. -4 y -5 30º x b) Dê as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a seguir. -2 b. 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior y y 5 45º 2 0 x 60º 0 x 5 c. b. y y 60º 5 0 x -2 0 x d. c. y y 2 30º 0 x 0 5º x e. d. y 5d) O gráfico da reta y = 5 é: 45º y 0 x e. 5 0 x a. 4
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 70) Apresentação das figuras planas e suas fórmulas XVI – NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Quadrado A = b * h mas comoGEOMETRIA PLANA b=leh=l ∴ A = l * l logo A = l²69) Definição e apresentação da Geometria PlanaGeometria Plana possui como sua principal característica pertencer aoR2, isto é, possui duas dimensões sendo estas x e y como em um P=l+l+l+l ∴plano cartesiano, também conhecidas como base (b) e altura (h). P=4*lOBS: o b da base e o h da altura provem do inglês onde base = basee altura = height. RetânguloNa Geometria Plana podemos encontrar a área (A) e o perímetro (P)das figuras, onde: A=b*h Podemos definir P=2*a+2*b Perímetros como sendo Área é o região do o comprimento do plano limitado pelo “contorno” de uma perímetro figura. LosangoToda figura plana possui uma fórmula para encontrar o valor de seuperímetro e sua área, veja: 5
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior D*d b*h A= A= 2 2 P=a+b+c P=4*l Triângulo Eqüilátero l2 3Paralelogramo A= 4 A = b*h P=3*l P=2*a+2*b CírculoTrapézio ( B * b) * h A = π * r2 A= 2 P=a+b+c+d CircunferênciaTriângulo Qualquer 5
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior A = 2*π *RGEOMETRIA ESPACIAL71) Definição e apresentação da Geometria Espacial PirâmideGeometria Espacial possui como sua principal característica pertencerao R³, isto é, possui três dimensões sendo estas x, y e z como no 1 V= *B*hespaço, também conhecidos como base (b) e altura (h) e espessura 3(e). B é a área da base da pirâmideNa Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a árealateral (S), onde: Cilindro circular reto72) Apresentação das figuras espaciais e suas fórmulasCubo V = π * r² * h V=b*h*e S= 2*π *r*h 5 S = 6 * l²
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior EXERCÍCIOS: 1) Determine a área das seguintes figuras (em cm): r a) b)Cone circular reto 1 V= * π * r2 * h 3 S = π * r * r2 + h2 d)Esfera c) 4 V= * π * r3 3 S = 4 * π * r2 5
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Juniore)2) Temos um triângulo eqüilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual 7) A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cercaé a área deste triângulo? de 230m de aresta na base e altura aproximada de 147m. Qual é o seu volume?3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e aaltura igual a 10. Qual a área deste trapézio?4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:a) a = 25 e b = 12b) a = 14 e b = 106) Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raioda base é de 10cm e a altura é de 20cm. 8) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? 5
    • Apostila de Matemática Básica Campus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 11) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e o coloca9) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico dosuperficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que chapéu à mesa? Dica = com um semi-círculo se origina um coneela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície eqüilátero.total. 12) As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. 13) Uma pirâmide tem a altura medindo 30 cm e área da base igual a 15010) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado cm². Qual é a área da seção superiorem outro recipiente que possui forma cilíndrica. Se o raio da base dos dois do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um planorecipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmideatingirá o líquido no cilindro? é 17 cm? 5
    • Apostila de Matemática BásicaCampus Sertãozinho Prof. Msc. Luiz Carlos Leal Junior 5