Circunferencia matemática 4°

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Circunferencia matemática 4°

  1. 1. I.E.P. “ROBERT GAGNE”MATEMÁTICAPROF. RWRQ.GEOMETRÍA:CIRCUNFERENCIA4° grado.
  2. 2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométricode un conjunto de infinitos puntos queequidistan de un punto situado en el centro.
  3. 3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIAA BRectatangenteRectasecanteFlecha osagitaDiámetroAB( )CentroTPunto de tangenciaQPRadioArco BQCuerda PQ
  4. 4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA01.-Radio trazado al punto de tangencia esperpendicular a la recta tangente.LR
  5. 5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerdala biseca (divide en dos segmentos congruentes).PQMQPMPQR
  6. 6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentesentre las paralelas.A BC D mBDmACCD//AB:Si
  7. 7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferenciales corresponden arcos congruentes.ABCDCuerdas congruentesArcos congruentesLas cuerdasequidistan delcentromCDmABCDAB:Si
  8. 8. POSICIONES RELATIVAS DE DOSCIRCUNFERENCIAS01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.rd = Cero ; d : distancia
  9. 9. Distancia entrelos centros (d)02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.d > R + rR r
  10. 10. d = R + r03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Unpunto común que es la de tangencia.R rPunto de tangenciaDistancia entrelos centros (d)
  11. 11. dd = R - r04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen unpunto en común que es la de tangencia.d: Distancia entre los centrosRrPunto detangencia
  12. 12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunesque son las intersecciones.( R – r ) < d < ( R + r )Distancia entrelos centros (d)
  13. 13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios sonperpendiculares en el punto de intersección.d2 = R2 + r2Distancia entrelos centros (d)
  14. 14. 07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.dd < R - r d: Distancia entre los centros
  15. 15. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puedetrazar dos rayos tangentes que determinan dossegmentos congruentes.PROPIEDADES DE LAS TANGENTESAP = PBABPRR
  16. 16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentesAB = CDABCDRRrr
  17. 17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.AB = CDABCDRRrr
  18. 18. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la sumade longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusamas el doble del inradio.a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )abcrR RInradioCircunradio
  19. 19. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a unacircunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los ladosopuestos son iguales.a + c = b + ddabcCuadrilátero circunscrito
  20. 20. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a lamedida del arco que se opone.ABCrr= mAB
  21. 21. ACBD2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a lasemisuma de las medidas de los arcosopuestos2mCDmAB
  22. 22. ABC3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medidadel arco opuesto.2mAB
  23. 23. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medidadel arco opuesto.ABC2mAB
  24. 24. ABC2mABC5.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad dela medida del arco ABC.
  25. 25. ABC O6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Esigual a la semidiferencia de las medidas de los arcosopuestos.+ mAB = 180°2mAB-mACB
  26. 26. ABCODb.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a lasemidiferencia de la medida de los arcos opuestos.2mCD-mAB
  27. 27. ABCOc.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otrasecante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de losarcos opuestos.2mBC-mAB
  28. 28. 50°70º+xXRSQ140°2XX + (X+70) + 50° = 180°X = 30°Por ángulo semi-inscrito PQSProblema Nº 01RESOLUCIÓNPxº702x2º140PQSmReemplazando:En el triángulo PQS:Resolviendo la ecuación:PSQ = xSe traza la cuerda SQ2mQRSPQSmDesde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RSmide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule lamedida del ángulo PSQ.
  29. 29. 20°70°XX = 40°RQEn el triángulo rectángulo RHS140° Es propiedad, que:140° + X = 180°Por ángulo inscritoProblema Nº 02RESOLUCIÓNPSm S = 70ºResolviendo:PSQ = x2mQRº70 mQR = 140°Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.
  30. 30. x130°ACBDX = 40°250130X50°Problema Nº 03RESOLUCIÓNPResolviendo:APD = xMedida del ángulo interiorMedida del ángulo exterior902mBC130mBC = 50°Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas ACy BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medidadel ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
  31. 31. xX = 18°2X54XMN54°xxProblema Nº 04RESOLUCIÓNPABAPN = xSe traza el radio OM:oDato: OM(radio) = PMLuego triángulo PMO es isóscelesÁngulo central igual al arcoMedida del ángulo exteriorResolviendo:En una circunferencia, el diámetro AB se prolongahasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayosecante PMN tal que la longitud de PM sea igual alradio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.
  32. 32. x70°Medida del ángulo inscrito:X = 55°2110XABCPQR110°Problema Nº 05RESOLUCIÓNPRQ = xPor la propiedad del ángulo exteriorformado por dos tangentes:Resolviendo:70° + mPQ = 180° mPQ = 110°En un triángulo ABC se inscribe una circunferenciatangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide70º. Calcule la m PRQ.
  33. 33. Calcule la medida del ángulo “X”.Problema Nº 0670°BAX PResolución
  34. 34. RESOLUCIÓNPor la propiedad del ángulo exteriorformado por dos tangentes:Medida del ángulo inscrito:70°BAX PC140º140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º2mABº70 mAB=140º
  35. 35. Calcular la medida del ángulo “x”Problema Nº 07BAX P130ºResolución
  36. 36. RESOLUCIÓNBAX P130º CMedida del ángulo inscrito:En la circunferencia:260ºPor la propiedad del ángulo exteriorformado por dos tangentes:X = 80º2mABº130 mAB = 260ºmACB = 100ºmACB + x = 100º260º + mACB = 360º
  37. 37. Calcule el perímetro del triángulo ABC.Problema Nº 0825 5ABCResolución
  38. 38. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10(2p) = 24RESOLUCIÓN25 5ABCa ba + b = 14 (1)(2)Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10
  39. 39. XPLANTEAMIENTOQRS80º PaaProblema Nº 09Desde un punto “P” exterior a una circunferenciase trazan la tangente PQ y la secante PRS demodo que los arcos SQ y SR sean congruentes.Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR .Resolución
  40. 40. 2a + 80º = 360ºa = 140ºMedida del ángulo exterior:Xa 802140 802º º ºX = 30ºEn la circunferencia:RESOLUCIÓNXQRS80º Paa
  41. 41. PQRS23PLANTEAMIENTOProblema Nº 10En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se trazala diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR yPRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si elperímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule lalongitud de PRResolución
  42. 42. Teorema de Poncelet:a bcdPQR  a + b = PR+2(3) +a +b + c + d = 2PR + 10PR = 6cmDato:a + b + c + d = 22cmPSR  c + d = PR+2(2)22 = 2PR + 10RESOLUCIÓNPQRS23

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