Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010
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Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010 Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010 Document Transcript

  • 1Geometria AnalíticaLicenciatura em Matemática1° Semestre - 2010- Introdução ao Estudo do Ponto;- Ponto médio de um segmento;- Bissetrizes dos quadrantes;- Estudo da reta;- Equação da reta;- Equação reduzida, coef. angular e linear da reta;- Equação segmentária da reta;- Equações paramétricas;- Condição de colinearidade;- Posição relativa entre retas;- Distância entre ponto e reta;- Triângulos no plano cartesiano;- Baricentro, área, perímetro;- Estudo das Cônicas;- Circunferências; Equação Geral;- Posições relativas;- Elipse;- Hipérbole;- Parábola;- Translação;- Rotação.Marcos Okamoto de AzevedoEng° Mecânico11-7316-9583marcos.okamotoaz@hotmail.comgeometriadantas@hotmail.comgeometriadantas.blogspot.com
  • 2IntroduçãoA Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismofaltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípiounificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente noséculo XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque degenialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi deuma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650),curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são osresponsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grandeamor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharamjuntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas eindependentes.Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento deToulouse dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não eraporque faltasse outra maneira de preencher o seu tempo disponível. Na verdade Fermatsimplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemáticacomo hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciênciaquanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do CálculoDiferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo damatemática que estuda as propriedades dos números inteiros.A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intituladoIntrodução aos Lugares Planos e Sólidos (1636 no máximo) que só foi publicado em 1679,postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso apublicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser maislembrado como criador da Geometria Analítica.O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do maisalto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razãomuito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações oujustificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentarrodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamentena carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele,oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em váriosexércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que asbatalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e dafilosofia.A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometriacomo um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofiamoderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para aaquisição de conhecimentos em todos os campos.A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat eDescartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada pornenhum deles.Mais, cada um a seu modo, sabia que a idéia central era associar equações a curvas esuperfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz mas, Descartes superou Fermat na notaçãoalgébrica.HYGINO H. DOMINGUES
  • 3A geometria analítica foi um estudo realizado pelo matemático René Descartes que aliou osconhecimentos da álgebra ao estudo das figuras geométricas. No entanto, antigamente ageometria analítica era conhecida como Geometria de coordenadas e geometria cartesiana, poiscom a aplicação da álgebra na geometria é possível fazer qualquer representação geométrica pormeio de pares ordenados, equações e inequações.Nessa seção iremos estudar todos os elementos necessários para as representações algébricasda geometria, como: plano cartesiano, coordenadas, pares ordenados. E as suas aplicações, noponto, na reta, na formação de equação da reta, na complementação do estudo da reta, naequação da circunferência.O estudo da geometria contribui não só para o conhecimento dos matemáticos, mas também paraprofissionais de outras áreas como os da construção civil, engenharia elétrica, mecatrônica,robótica, dentre outras.- Introdução ao estudo do ponto:Sejam os conjuntos B = {1,2} e A ={3,4}. De certo, são conjuntos finitos, de números reais e como auxílio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos.É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz comoresultado um outro conjunto, em que os novos elementos são entidades matemáticas, formadaspor duas partes, uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemática édenominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre osconjuntos A e B. A× B ={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. Veja que nos elementos de A× B , o primeironúmero no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do conjunto B.Vamos definir uma maneira de representar o conjunto A× B e para issoutilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. Veja!!!Utilizando-se de retas reais podemos representar esseresultado do conjunto A× B , porém a questão é que essas retas reaisestão dispostas convenientemente, uma perpendicular à outra. Aessas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados. Na retaque está na posição horizontal, representaremos os elementosadvindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos doconjunto B. Como podemos perceber, os quatro elementos doconjunto A× B foram representados fazendo-se o cruzamento de umnúmero advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B.
  • 4Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: A ={x E R / 3 ≤ x ≤ 4} e que o conjunto B sejaexpresso daforma B ={xE R /1≤ x ≤ 2}. Fazendo agora a operação A× B , chega-se em uma nova figuramostrada a seguir:Como podemos perceber o resultado dessa operação foi uma região, um contorno geométricofechado e seu interior. Agora imagina o que acontece se definirmos o conjunto A como sendo osreais e o conjunto B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto cartesiano dos reaiscom o próprio conjunto dos reais, teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de R 2. A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultado do produtocartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produtocartesiano entre dois conjuntos não vazios.O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa posição num dado plano. Como se poderepresentar pontos com pares de números reais, é possível definir operações algébricas comesses pontos.B é um ponto qualquer, do plano XOY e para cada B está assossiado um par ordenado, par esseque é representado da seguinte forma: (xb ,yb) onde xb é a posição relativa ao eixo X e yb é aposição relativa ao eixo Y.Como dito acima, o ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x, denominadade abscissa e uma coordenada y, 3 chamada ordenada. Dizemos que dois pontos são iguaisquando acontece a seguinte propriedade:A (xA yA ) = B(xB , yB ) xA = xB e yA = yB
  • 5- Distância entre dois pontos no plano cartesiano.Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a álgebra e a geometria,abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básicode geometria deve ser aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos, “pordois pontos passa apenas uma reta”.Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A(xa,ya) e B(xb,yb), notea formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, quepode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da álgebra e deconhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine adistância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.Cateto BC: yb – yaCateto AC: xb – xaHipotenusa AB: distância (D)Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados doscatetos”Exemplo 1 Exemplo 2Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9).distância entre eles: xa: 2 xb: 4 ya: -3 yb: 5 xa: -2 xb: -5 ya: 3 yb: -9
  • 6Exemplo 3Dado o triângulo ABC, sabe-se que: o ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ;dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ânguloreto . Determinar o ponto A:Solução:Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC éretângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dosquadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2+ AC2= BC2(BC é a hipotenusa porqueé o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever,considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o pontoA está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:AB2= ( 0 - 2 )2+ ( y - 3 )2= 4 + ( y - 3 )2AC2= ( 0 - (-4))2+ ( y - 1)2= 16 + ( y - 1 )2BC2= ( 2 - (-4))2+ ( 3 - 1 )2= 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2+ 16 + ( y - 1 )2= 40 ( y - 3 )2+ ( y - 1)2= 40 - 4 - 16 = 20Desenvolvendo, fica: y2- 6y + 9 + y2- 2y + 1 = 20 2y2- 8y - 10 = 0 y2- 4y - 5 = 0 , queresolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que oponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A (0,5).- Ponto médio de um segmento:Nestas condições, dados os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) , as coordenadas do ponto médioM (xm, ym) serão dadas por:Exemplo:Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) eC(2,4) , então qual o valor de W2?Solução:Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vérticeao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une oponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o pontomédio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será adistância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34 ou sejaraiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W2= 34.- Baricentro de um triângulo:Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do ladooposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) ,B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :
  • 7Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médiasaritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triânguloABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4).Verifique com o uso direto das fórmulas.Exemplo:Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimentodo segmento BZ?Solução:Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),encontraremos BZ = 651/2u.c. (u.c. = unidades de comprimento).Agora resolva este:Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o pontoG(6, 11). Calcule o valor de m2+ n2.Resposta: 850- Equação Geral da reta, dados dois pontos:Existe um postulado da Geometria Euclidiana que afirma:Na Geometria Analítica, dois pontos podem ser interpretados como dois pares ordenados e areta, como uma equação do 1º grau nas incógnitas x e y. Assim, conhecendo-se as coordenadasde dois pontos no plano cartesiano, podemos obter a equação da reta que os contém. Observe oexemplo:Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (2,2) e B (4, –3).Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a equação da reta que os contém é obtida por:método de Sarrus:(-) (-) (-)X1 Y1 1 X1 Y1 1 X1 Y1X2 Y2 1 = 0 X2 Y2 1 X2 Y2X Y 1 X Y 1 X Ytemos: (+) (+) (+)ax + by + c = 0A equação ax + by + c = 0, para a, b e c reais é dita equação geral da reta.
  • 8- Cálculo do Coeficiente Angular (m) e equação reduzida da reta:A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de uma reta sópoderá ser utilizada por retas não-verticais, ou seja, retas onde sua inclinação é maior ou igual a0° e menor que 180°, sendo diferente de 90°.Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do coeficiente angularde uma reta.Considere os pontos A(xA, yA) e B(yB, yB), esses formam uma reta t no plano cartesiano deinclinação α:Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A paralelo ao eixo Ox formamos umtriângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta.Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos como catetooposto a yB – yA e cateto adjacente xB – xA.Sabendo que:• O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.• A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente.Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será calculado através daseguinte fórmula:m = tg α = yB – yAxB – xAoum = ∆y∆x
  • 9- Equação Geral de retas perpendiculares:Em um plano cartesiano as retas podem ser paralelas ou coincidentes, se no ponto comum asduas retas formarem um ângulo de 90° graus podemos dizer que são perpendiculares, para queisso seja verdade os seus coeficientes deverão ser o oposto do inverso um do outro. Veja algunsexemplos onde aplicamos essa comparação dos coeficientes de duas retas coincidentes eperpendiculares.Exemplo 1: obtenha a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(9,-1) e é perpendicular àreta s: y = x/5 + 2.Resolução:A reta s tem equação reduzida igual a y = x/5 + 2, nela podemos identificar o coeficiente angularde s: ms = 1/5. Como foi dito no enunciado que as retas s e t são perpendiculares, podemosconsiderar as seguintes informações pertencentes à reta t:t: P(9,-1) e seu coeficiente será o oposto do inverso do coeficiente da reta s: mt = -5. Com essasinformações e utilizando a definição de equação fundamental da reta podemos encontrar aequação geral da reta t.y – y0 = m(x – x0)y – (-1) = -5(x – 9)y + 1 = - 5x + 45 5x + y – 45 = 0 é a equação geral da reta t.Exemplo 2: Considerando o gráfico:Responda:a) Obtenha uma equação da reta r.Com os pontos pertencentes à reta r, podemos calcular seu coeficiente que será igual à mr = -2,com esse valor mais um dos dois pontos e utilizando a definição de equação fundamental da reta,a reta r terá a seguinte equação:y – y0 = m(x – x0)y – 0 = - 2(x + 1)2x + y + 2 = 0b) Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.Como as retas r e s são perpendiculares e o coeficiente da reta r é mr = -2, podemos concluir peladefinição de coeficiente de retas paralelas que o coeficiente da reta s será ms = 1/2, como oponto P pertence à reta s, concluímos pela definição da equação fundamental da reta, que a retas terá equação igual a:y – y0 = m(x – x0)y + 2 = 1/2 (x – 5)
  • 10y + 2 = x/2 – 5/2y - x/2 + 2 + 5/2 = 0 x – 2y – 9 = 0c) Determinar o ponto A (x,y) de interseção de r com a reta s obtida no item b.Se é intersecção deve satisfazer as duas equações, logo é só resolver o sistema formado pelasequações:2x + y + 2 = 0x – 2y – 9 = 0Com essas duas equações podemos formar um sistema que terá como solução o par ordenado(1,-4) que corresponde ao ponto A.Notemos que o ponto A encontrado satisfaz as duas equações.- Bissetriz dos quadrantes:. Bissetriz de um quadrante é uma reta com extremidade no ponto (0,0) que divide o ângulo dosquadrantes pares e ímpares em dois ângulos congruentes.• Bissetrizes dos quadrantes ímpares.A bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) divide-os em dois ângulos congruentes, cada ummedindo 45°. Dessa forma, essa reta (bissetriz) terá ponto (0,0), inclinação da reta igual a 45° ecoeficiente angular igual a m = tg45° = 1.Aplicando a regra da equação fundamental, iremos concluir que:y – y0 = m (x – x0)y – 0 = 1 (x – 0)y = xA equação da bissetriz dos quadrantes ímpares será sempre representada por y = x, pois todosos valores do eixo Ox serão iguais aos do eixo Oy. Veja alguns dos possíveis pontospertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares: (1,1), (-4,-4), (1/2,1/2). Genericamante podemosdizer que os pontos serão iguais a (x,x).• Bissetriz dos quadrantes paresA bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) divide-os em dois ângulos congruentes, cada ummedindo 45°. Dessa forma, essa reta (bissetriz) terá ponto (0,0), inclinação da reta igual a 135° ecoeficiente angular igual a m = tg135º= -1.Aplicando a regra da equação fundamental iremos concluir que:y – y0 = m (x – x0)y – 0 = -1 (x – 0) y = -x
  • 11A equação da bissetriz dos quadrantes pares será sempre representada por y = -x, pois todos osvalores do eixo Oy serão opostos aos do eixo Ox. Veja alguns dos possíveis pontos pertencentesà bissetriz dos quadrantes pares: (1,-1), (-4,+4), (1/2,-1/2). Genericamente podemos dizer que ospontos serão iguais a (x,-x).- Equação reduzida da reta:Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por umaequação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintesformas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de umaequação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angulara, observe:y – y1 = a * (x – x1)Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:y – b = a * (x – 0)y – b = a * x – a * 0y – b = axy = ax + bPortanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:y = ax +bDados P1(2,7) e P2(-1 ,-5), temos:1ª situação:Utilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:y – y1 = a * (x – x1)y – 7 = 4 * (x – 2)y – 7 = 4x – 8y = 4x – 8 + 7y = 4x – 12ª situação:A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o pontoP1(2, 7), temos:y = ax + b 7 = a * 2 + b 2a + b = 7
  • 12Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:–5 = a * (–1) + b–5 = –a + b–a + b = –5Resolvendo o sistema, , determinamos o coeficiente angular e o linear.Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:y = ax + by = 4x – 13ª situação:Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). Odeterminante dessa matriz será a equação da reta. Observe:P1(2, 7) e P2(–1, –5)Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos dadiagonal secundária.[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 07x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 012x – 3y – 3 = 0–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)y = 4x – 1 y = ax + ba = coeficiente angular da retab = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção da reta com o eixo y)Note que a equação reduzida da reta se apresenta fornecendo a coordenada y em função de x.
  • 13- Equações paramétricas:As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja,uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta sdeterminadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessasequações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos:Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.x = t + 9x – 9 = ty = 2t – 1y = 2 (x – 9) – 1y = 2x – 18 – 1y = 2x – 192x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.Da equação geral da reta é possível chegar às suas paramétricas. Considerando a mesmaequação geral encontrada acima, veja como chegar às equações paramétricas da reta s.É preciso fazer as seguintes transformações na equação geral da reta, seguindo sempre ospassos abaixo:2x – y – 19 = 0 → 2x – y – 1 – 18 = 0 →→2x – 18 = y + 1 → 2(x – 9) = 1(y + 1) →→ x – 9 = y + 11 2Para qualquer valor que atribuirmos para x e y teremos um único valor t R, assim:x – 9 = t → x = t + 91y + 1 = t → y = 2t - 12Portanto, as equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as equações paramétricas da reta s.Com as equações paramétricas é possível representar a reta no plano cartesiano, basta escolhervalores aleatoriamente para o parâmetro, determinando dois pontos distintos pertencentes à reta.
  • 14- Condição de alinhamento de três pontos (Colinearidade):Sabemos que com dois pontos formamos uma reta, mas três pontos só irão formar uma reta seestiverem alinhados, ou seja, deverão ser colineares.Uma das formas de verificar a condição de alinhamento de três pontos é graficamente, mas não étão precisa, pois um dos pontos pode estar fora da reta a uma distância mínima que não sejadetectada pelo gráfico, assim teremos que utilizar outros recursos para encontrar a condição dealinhamento de três pontos.Considere os pontos A (2,5), B (3,7) e C (5,11). Para verificar se eles pertencem a uma mesmareta é preciso levar em consideração dois teoremas. Um deles é a propriedade que diz: se duasretas são paralelas e têm um ponto em comum, então são paralelas coincidentes. O outro é afórmula para calcular o coeficiente angular de uma reta.Considerando as retas AB e BC, o ponto B é comum, as duas retas e os seus coeficientesangulares são iguais a: mAB = 2 e mBC = 2, como são iguais podemos dizer que os três pontospertencem a uma mesma reta.Com esse exemplo podemos concluir que três pontos quaisquer A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) serãocolineares se o coeficiente angular de AB for igual ao coeficiente angular de BC.Exemplo 1:Verifique se os três pontos são colineares: A (3,6) B (1,4) C (4,1).MAB = 6-4 = 2 = 13-1 2MBC = 4-1 = 3 = -11-4 -3Como os coeficientes são diferentes, os três pontos não são colineares.Exemplo 2:O valor de x para que os pontos A(1,3), B(-2,4) e C(x,0) no plano sejam colineares, deverá ser?MAB = MBC4 - 3 = 0 – 4 1 = -4 x +2 = 12 x = 10-2 - 1 x - (-2) -3 x + 2 x = 12- 2Portanto, para que A, B e C sejam colineares, x deverá ser igual a 10.Aproveitando o exemplo 2, podemos descobrir se os pontos são colineares, pelo cálculo dodeterminante, formado pelos três pontos.1 3 1 4+30-(40-6)=0 34-34=0-2 4 1 = 0 ou seja, toda vez que o determinante formado pelos três pontos10 0 1 resultar em zero, prova-se a colinearidade dos pontos.
  • 15- Resumo das Equações da Reta:R.1- Equação fundamental da reta:Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equaçãopode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA).Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.A equação fundamenta da reta é:R.2- Equação geral da reta:Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:Em que:• a, b, e c são números reais;• a e b não são simultaneamente nulos.Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.
  • 16R.3- Equação reduzida da reta:Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é ocoeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzidapode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:Onde:R.4- Equação segmentária da reta:Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).Vamos escrever a equação da reta r:Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
  • 17- Posições relativas de duas Retas:Considere duas retas distintas do plano cartesiano:Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.- Retas Paralelas:As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.Assim para r//s, temos:- Retas Concorrentes:As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.Assim para r e s concorrentes, temos:- Retas Perpendiculares:É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seuscoeficientes angulares são tais que:
  • 18-Distância entre ponto e reta:Considere um ponto A (x0, y0) e uma reta s: ax + by + c = 0 pertencente a um mesmo plano, adistância desses pontos poderá ser calculada através da fórmula:Exemplo 1:Calcule a distância da reta P à reta r, em cada um dos casos:• P(1,3) e r: 5x + 12y – 2 = 0Iremos substituir 1 = x0; 3 = y0; a = 5; b = 12; c = -2.d = 3913• P(-2,-4) e r: y = x – 8Nesse caso a reta está na forma reduzida, portanto é preciso transformá-la para a forma geral.y = x – 8 → x – y – 8 = 0Assim, iremos substituir -2 = x0; -4 = y0; a = 1; b = -1; c = -8.d = |-6|√2d = 6 . √2 = 6√2 = 6√2 = 3 √2√2 . √2 (√2)22Exemplo 2:- Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda:a) Qual é a equação geral da reta AB?
  • 19Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficienteangular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental.mAB = 0 – 3 = - 35 – 1 4y – y0 = m (x – x0)y – 0 = -3/4 (x – 5)y = -3/4x + 15/44y = - 3x + 1543x + 4y – 15 = 0b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C.Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores0 = x0; 5 = y0; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula:.d = |20 – 15| d = 5 = 1√25 5c) Encontre agora a equação geral da reta CB e a intersecção com a reta AB.Resolução: B(5,0) e C(0,5)5 0 1 5 0 5x + 5y - 25 = 00 5 1 0 5 = 0 x + y - 5 = 0 x = 5 - yx y 1 x y 3x + 4y - 15 = 0 3(5-y) + 4y - 15= 0y = 0 x = 5 - 0 x = 5y=0 e x=5 ou seja o ponto B (5,0) é solução das duas equações
  • 20- Área de um Triângulo pela geometria analítica:Na geometria plana encontramos a área de um triângulo fazendo uma relação com o valor desuas dimensões, e na trigonometria, com o valor do seno de um ângulo interno relacionado comos lados do triângulo é possível também encontrar a sua área.A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nessecaso é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possaser representado em um plano cartesiano.Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em umplano cartesiano:A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo atravésdos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido pordois.A = |D| Onde D = .2Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qualserá o possível valor de k?Sabemos que a área A = |D|, portanto é preciso que encontremos o valor de D.2D = D = -7 + 2k + 28 -2D = 2k + 19Substituindo a fórmula teremos:A = |D| 25 - 19 = 2k2 6 = 2k25= 2k + 19 6=k2 2 225 = 2k + 19 k = 3
  • 21A (0,0)B (-2,4)C (0,8)D (2,7)E (1,4)F (6,7)G(6,-1)- Exercícios de Fixação:1- Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente a quais quadrantes:2- O ponto A = (m+3, n-1) pertence ao 3º quadrante, quais os possíveis valores de m e n:3- Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,3) e C um ponto pertencente ao eixo Ox comAC = BC. O ponto C tem como coordenadas?4- Qual a distância entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, 8 )?5- O valor de x para que os pontos A = (x, 5), B = (-2,3) e C = (4,1) estejam alinhados.6- Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. Pede-se:- o comprimento da mediana AM;- a área do triângulo;- o perímetro do triângulo.- a equação da reta que passa pelos pontos A e B.- a equação da reta que passa pelos pontos B e C.- provar que o ponto B é intersecção das duas retas.- o baricentro do triângulo.7- O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,2) e B = (3,6).8- A equação da reta que passa pelo ponto (-1,-2) e tem coeficiente angular -1.9- Equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1).10- O ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y – 5 = 011- O valor de “a” para que as retas r: ax + y – 4 = 0 e s: 3x + 3y – 7 = 0 sejam paralelas.12- Calcule a área e o respectivo perímetro das figuras:y yB CDA C BxA (0,0)B (2,2)D C (4,0)D (-2,-2) A E xA (1,0) B (0,3) C (4,6)D (8,4) E ( 6,0)
  • 22- Estudo das Cônicas:Nesse capítulo vamos estudar alguns tipos particulares de lugares geométricos. Esse nomecônicas, realmente, não vem à toa, ele surge pois as figuras que vamos estudar são resultadosde cortes de planos em cones duplos. Veja as figuras abaixo:Veja que quando se toma um cone duplo e se faz um corte através de um plano paralelo à basedesse cone, a figura resultante é o que chamamos de circunferência. Ao inclinarmos esse planode secção, o corte resultante gera outra figura que é chamada de elipse. No caso de se fazer umcorte nesse mesmo cone através de um plano paralelo à geratriz do cone obtém-se como figuraresultante uma parábola. No último caso, faz-se um corte usando um plano perpendicular aoplano da base do cone, assim se obtém dois ramos de hipérbole.- Circunferência:Equações da circunferência:- Equação reduzida:Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo,desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
  • 23Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C aP(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:Portanto, (x - a)2+ (y - b)2=r2é a equação reduzida da circunferência e permite determinar oselementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação dacircunferência será x2+ y2= r2.- Equação geral:Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r= 4.A equação reduzida da circunferência é:( x - 2 )2+( y + 3 )2= 16Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:- Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral:Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômioquadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e oraio da circunferência.Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:os coeficientes dos termos x2e y2devem ser iguais a 1;não deve existir o termo xy.Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é:x2+ y2- 6x + 2y - 6 = 0.Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independentex2- 6x + _ + y2+ 2y + _ = 6
  • 242º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y,somando a ambos os membros as parcelas correspondentes3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos( x - 3 ) 2+ ( y + 1 ) 2= 164º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio- Posição de um ponto em relação a uma circunferência:Em relação à circunferência de equação ( x - a )2+ ( y - b )2= r2, o ponto P(m, n) pode ocupar asseguintes posições:a) P é exterior à circunferênciab) P pertence à circunferência
  • 25c) P é interior à circunferênciaAssim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, bastasubstituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2+ ( y - b )2- r2:se ( m - a)2+ ( n - b)2- r2> 0, então P é exterior à circunferência;se ( m - a)2+ ( n - b)2- r2= 0, então P pertence à circunferência;se ( m - a)2+ ( n - b)2- r2< 0, então P é interior à circunferência.- Posição de uma reta em relação a uma circunferência:Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2+ ( y - b)2=r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferênciacalculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C= 0 e a circunferência :(x - a)2+ ( y - b )2= r2, temos:
  • 26Assim:- Equação da circunferência a partir de três pontos que pertençam a mesma, método de Cramer:Dados os pontos A(2;3), B(-2;0) e C(0;-7) , vamos determinar a equação da circunferência.Já sabemos da Geometria Analítica que a equação geral simplificada de uma circunferência é daforma:x2+ y2+ D x + E y + F = 0 onde P(x;y) é um ponto qualquer pertencente à circunferência.Substituindo os pontos dados na equação geral, fica:Para o ponto A(2;3), temos x = 2 e y = 3. Então:22+ 32+ 2D + 3E + F = 0 2D + 3E + F = -13Para o ponto B(-2;0), temos x = -2 e y = 0. Substituindo, vem:(-2)2+ 02–2D + 0.E + F = 0 -2D + F = - 4Para o ponto C(0;-7), temos x = 0 e y = -7. Substituindo, fica:02+ (-7)2+ 0.D – 7E + F = 0 -7E + F = - 49Temos então o seguinte sistema de equações lineares:2D + 3E + F = -13-2D + F = - 4-7E + F = - 49
  • 27Para resolver o sistema de equações lineares acima, vamos utilizar a Regra de Cramer.Nota: Gabriel CRAMER - 1704 - 1752 - matemático suíço.Observe que o sistema acima pode ser escrito como:2D + 3E + F = -13-2D + 0E +F = - 40D -7E + F = - 49Teremos então pela Regra de Cramer:Analogamente,E, finalmente,Nota: os determinantes foram calculados, usando a Regra de Sarrus.Nota: Pierre Frederic SARRUS (pronuncia-se sarri) - 1798 - 1861 - matemático francês.Portanto, como D = -99/17, E = 81/17 e F = -266/17, substituindo os valores encontrados para D,E e F, vem:x2+ y2+ (-99/17)x + (81/17)y + (-266/17) = 0, que é equivalente a:x2+ y2– (99/17)x + (81/17)y – (266/17) = 0 , que é a equação da circunferência procurada.
  • 28Se quisermos, poderemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros por 17,resultando:17x2+ 17y2– 99x + 81y – 266 = 0 , que é equivalente à anterior e outra forma de apresentar aequação da circunferência procurada, o que nos leva à alternativa A.2 – Verifique se o ponto P(-5;0) fica dentro ou fora da circunferência do problema anterior.Solução:Observe que um ponto qualquer do plano em relação à uma circunferência pode ocupar trêsposições possíveis: ou o ponto é interior à circunferência, ou é exterior ou pertence àcircunferência. Se você substituir as coordenadas (x;y) do ponto no primeiro membro da equaçãoda circunferênciax2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 e encontrar zero, isto significa que o ponto pertence à circunferência, oque é óbvio.Se você obtiver um valor positivo, o ponto é obviamente exterior e se o valor obtido for negativo, oponto é obviamente interior. Isto parece-me por demais óbvio e, portanto, omitirei a justificativa.Substituindo o ponto P(-5;0) onde x = -5 e y = 0 no primeiro membro da equação dacircunferência17x2+ 17y2– 99x + 81y – 266 = 0, teremos:17x2+ 17y2– 99x + 81y – 266 = 17.(-5)2+ 17.02– 99.(-5) + 81.0 – 266 = +654 > 0.Portanto, o ponto P(-5,0) fica fora da circunferência 17x2+ 17y2– 99x + 81y – 266 = 0.- Posições relativas entre circunferências:Seja dC1C2 a distância entre os centros das circunferências e r1 e r2 os seus raios.Semelhantemente ao feito com as intersecções de retas e circunferências, podemos fazer entrecircunferências, ou seja, isolamos o x ou o y das equações e as igualamos. Resolvendo a novaequação podemos encontrar uma, duas ou nenhuma solução, assim, podemos dizer se sãotangentes, secantes ou sem pontos em comum, respectivamente. O problema é que apenas asolução da equação não é suficiente para saber se são tangentes exteriores ouinteriores, por exemplo. Assim fazemos as seguintes análises abaixo:dC1C2 > r1 + r2 dC1C2 = r1 + r2 + d , d > 0, trata-se de circunferências exteriores;
  • 29dC1C2 = r1 + r2 trata-se de circunferências tangentes exteriores;dC1C2 = [ r1 - r2] , temos circunferências tangentes interiormente;[ r1 - r2] dC1C2 < r1 + r2 , temos circunferências secantes;dC1C2 < [ r1 - r2] , caso em que a circunferência de raio menor é interior à outra;- Dadas as equações abaixo, determine a posição relativa entre as circunferências. Lembre-seque não é necessário desenhar as circunferências, basta calcular a distância entre os seuscentros e comparar com a somados raios e a diferença dos raios.a) x² + y² = 1 e ( x - 1)² + y² = 1b) (x – 1)² + (y – 5)² = 1 e (x – 2)² + (y – 3)² = 1c) x² + (y – 2)² = 1 e x² + y² + 6y – 2x + 6 = 0d) x² + y² – 2y = 3 e x² + y² – 10y + 21 = 0e) x² + y² = 121 e x² + y² – 4y – 4x = 8
  • 30- Elipse:A elipse é o nome dado ao LG dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquerponto desse LG a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a. Vamos achar aequação de uma elipse.Sejam dois pontos F1 e F2 do espaço de dimensão 2, de modo que a distância entreF1 e F2 sejaconstante e igual a 2c, com c> 0 , ou seja:d(F1, F2) = 2 c.Seja a > c. Chama-se elipse o conjunto de todosos pontos P que satisfazem:d(P,F1) + d(P , F2) = 2a.O ponto médio O do segmento F1F2 é o centro.A reta F1F2 é um eixo de simetria da curva. Ela intecepta a elipse nos pontos A1 e A2 tais que adistância entre eles é 2a. O seguimento A1A2 é chamado eixo maior da elipse.dA1A2 = 2a (eixo maior)A reta perpendicular F1F2, pelo centro O, é outro eixo de simetria da curva. Ela intercepta a elipsenos pontos B1 e B2. O segmento B1B2 é chamado eixo menor da elipse e vamos representar suamedida por 2b.dB1B2 = 2b (eixo menor)Do triângulo retângulo OF2B2 decorre que:a2= b2+ c2Chamamos excentricidade da elipse ao número e, razão entre a distância focal e o eixo maior.Decorre que:e =ca
  • 31A propriedade característica dos pontos P da curva édPF1 + dPF2 = 2a- Equação da elipse:Vamos obter a equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focosno eixo das abscissas. Notemos que:F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0)A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)B1 = (0, –b) e B2 = (0, b)Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da elipse:dPF1 + dPF2 = 2a(x + c)2+ y2+ (x – c)2+ y2= 2a( )(x + c)2+ y2 2= (2a – (x – c)2+ y2)2x2+ 2cx + c2+ y2= 4a2– 4a (x – c)2+ y2+ x2– 2cx + c2+ y24a (x – c)2+ y2= 4a2– 4cx(a (x – c)2+ y2)2= (a2– cx)2a2x2– 2a2cx + a2c2+ a2y2= a4– 2a2cx + c2x2(a2– c2)x2+ a2y2= a4– a2c2(a2– c2)x2+ a2y2= a2(a2– c2)Como a2– c2= b2, vem queb2x2+ a2y2= a2b2
  • 32e dividindo por (a2b2) ficax2a2 +y2b2 = 1 que é a chamada equação reduzida da elipse.- Observações:1) Para y = 0, na equação acima, obtemos x2= a2; logo x = a, que são as abscissas dospontos onde a curva corta o eixo x.Para x = 0 obtemos y2= b2; logo, y = b, que são as ordenadas dos pontos de intersecçãocom o eixo y.2) No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação:x2b2 +y2a2 = 13) Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos de simetrianão paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, porém é ainda umaequação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra na forma geralAx2+ By2+ Cxy + Dx + Ey + F = 0.A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seu eixo.Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
  • 33Exemplo:Obter a equação da elipse de focos F1(–3, 0) e F2(3, 0) e eixo maior 2a = 10.Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F1F2, é a origemO (0, 0). Então, a equação é:x2a2 +y2b2 = 1Temos a = 5 e c =dF1F22 = 3Da relação a2= b2+ c2vem b2= a2– c2= 52– 32= 16Logo, a equação éx225 +y216 = 1 , ou ainda, 16x2+ 25y2= 400- Elipse com Centro fora da Origem do sistema cartesiano:Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da elipse com centro O′(h, k) fora da origem dosistema Oxy e cujo eixo focal é paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso bastatransladarmos o sistema Oxy para uma nova origem coincidindo com o centro O′, obtendo-se umnovo sistema O′x′y′.Assim, as equações destas elipses se restringirão a um dos casos a seguir:x′² + y′² = 1 ou x′² + y′² = 1a² b² b² a²Porém, pelas equações de translação temos que :x′ = x − hy′ = y − k.Logo,(x − h)² + (y − k)² = 1 ou ( x − h)² + (y − k)² = 1a² b² b² a².Exemplo:Determine a equação reduzida da elipse de centro O′(−3, 2), eixo focal paralelo ao eixodas ordenadas e comprimentos dos eixos maior e menor iguais a 6 e 4, respectivamente.Solução: Como o eixo focal é paralelo ao eixo das ordenadas, a equação éx′² + y′² = 1b² a²O centro é O′(−3, 2). Segue que x′ = x + 3 e y′ = y − 2. 2a = 6 e 2b = 4, ou seja, a = 3 e b = 2.Logo, a equação reduzida procurada é:(x + 3)² + ( y - 2 )² = 14 9
  • 34- Hipérbole:Hipérbole de centro na origem (0,0)1 – Definição:Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cadaum de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2Assim é que temos por definição:PF1 - PF2 = 2 aOs pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focalda hipérbole.O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um númeropositivo maior que a unidade.A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 édenominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima queé válida a relação:c2= a2+ b2O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:PF1 - PF2 = 2 aUsando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:Observe que x – (-c) = x + c.Quadrando a expressão acima, vem:Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois dedesenvolvida e simplificada, chegará a:b2.x2- a2.y2= a2.b2, onde b2= c2– a2, conforme pode ser verificado na figura acima.Dividindo agora, ambos os membros por a2b2vem finalmente:
  • 35Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixonão transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole decentro na origem (0,0) passa a ser:EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2- 16y2– 400 = 0.SOLUÇÃO: Temos: 25x2- 16y2= 400. Observe que a equação da hipérbole não está na formareduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:Portanto, a2= 16 e b2= 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.Como c2= a2+ b2, vem substituindo e efetuando que c = 41Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 41 /4 = 1,60Resposta: 1,60.2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2– 9y2= 225 .SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.Portanto, c2= a2+ b2= 9 + 25 = 34 e então c = 34.Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2 34.3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).xNOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas quepassam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado noinfinito.Dada a hipérbole de equação:Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).xVeja a figura ao lado:
  • 36- Parábolas:- DefiniçãoConsidere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente aoeixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano,tais quePF = Pd onde:PF = distância entre os pontos P e FPP = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2- Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origemObservando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - umponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PPDaí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equaçãoreduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:y2= 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.- Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:(y - y0)2= 2p(x-x0)- Parábola de eixo vertical e vértice na origemNão é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equaçãoreduzida será: x2= 2py
  • 37- Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), aequação acima fica: (x - x0)2= 2p(y - y0)ElementosObserve a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:foco: o ponto Fdiretriz: a reta dvértice: o ponto Vparâmetro: pEntão, temos que:o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta,o eixo de simetria e.Assim, sempre temos .DF =pV é o ponto médio deEquaçõesVamos considerar os seguintes casos:a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontalComo a reta d tem equação e na parábola temos:;P(x, y);dPF = dPd ( definição);obtemos, então, a equação da parábola:y2= 2px
  • 38b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontalNessas condições, a equação da parábola é:y2= -2pxc) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria verticalx2=2pyd) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria verticalx2= - 2py
  • 39Exercícios resolvidos1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?Solução: Temos p/2 = 2 p = 4Daí, por substituição direta, vem:y2= 2.4.x y2= 8x ou y2- 8x = 0.2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.Logo, (y - 0)2= 2.4(x - 2)2 2= 8(x-2) y2- 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.Daí, vem: (y - 3)2= 2.8(x - 2) y2- 6y + 9 = 16x - 32 y2- 6y - 16x + 41 = 0, que é a equaçãoprocurada.4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,(x - 0)2= 2.6(y - 1) x2= 12y - 12 x2- 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.Exercício propostoDetermine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).Resposta: x2- 4x - 4y + 8 = 0
  • 40- Translação e Rotação no Plano, Transformação de coordenadas:Frequentemente, em Geometria Analítica, somos levados a passar de um sistema decoordenadas adotado inicialmente (antigos eixos) para outro mais conveniente (novos eixos).Essa maior conveniência pode ser devida a vários fatores, por exemplo: se o primeiro sistemanão for ortogonal pode surgir à necessidade de mudar para um sistema ortogonal; outras vezes, oobjetivo é simplificar os cálculos algébricos, ou explorar melhor certas simetrias, etc. O problemacentral será sempre estabelecer relações entre as “antigas” e as “novas” coordenadas. Esseproblema se resolve pela dedução de fórmulas, denominadas fórmulas de transformação decoordenadas, que relacionam as coordenadas de um ponto qualquer do plano, referidas aoprimeiro sistema, com as coordenadas do mesmo ponto referidas ao segundo sistema.A principal aplicação da transformação de coordenadas é a simplificação das equacões pelaescolha conveniente dos eixos.Estudaremos dois casos de transformacão de coordenadas:- Translacão dos Eixos Coordenados;- Rotação dos Eixos Coordenados.Definição (Transformação de coordenadas). Uma transformação de coordenadas é umaoperação a qual modifica uma expressão, relação ou figura e tem como objetivo simplificarequações.Uma translação é um deslocamento de figuras do plano, nos sentidos horizontal e/ou vertical. Emgeral, a translação é utilizada para simplificar equações.Por exemplo, as equações x2+y2=4 e x2+y2–6x+4y+9=0 representam circunferências de raio 2. Éclaro que ambas têm as mesmas propriedades geométricas e que é mais interessante trabalharcom a primeira equação, por sua simplicidade.A maneira usual de trabalhar com translação é definir um novo sistema cartesiano de forma que afigura a ser estudada, neste novo sistema, tenha uma equação mais simples. O que se faz édefinir o novo sistema cartesiano de modo que sua origem coincida com um ponto desejado, quepode ser o centro de uma circunferência, de uma elipse, de uma hipérbole ou o vértice de umaparábola.Por exemplo, dada a elipse de equação: ( x - 4 )² + ( y - 2 )² = 14 9seu centro está no ponto (4,2) . Para deslocar o sistema de forma que o centro do novo sistemacoincida com o centro da elipse, basta definir o novo sistema de coordenadas por u=x-4 e v=y-2.A equação da elipse, neste novo sistema será: : u² + v² = 14 9Neste caso, deslocamos o centro do sistema cartesiano para o ponto (4,2). Assim, paraconseguir um novo sistema com centro no ponto (a,b), basta definir o novo sistema decoordenadas por u = x–a e v = y – b pois, quando u=v=0 temos x=a e y=b.
  • 41Teorema. Se os eixos coordenados são transladados para uma nova origem O′(h, k) e se ascoordenadas de qualquer ponto P do plano, antes e depois da translação de eixos são(x, y) e (x′, y′), respectivamente, então as equações de translação de coordenadas são dadaspor: x = x′ + hy = y′ + kProva: Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O′(h, k), arbitrário, e introduzamos umnovo sistema x′O′y′ tal que os eixos O′x′ e O′y′ tenham a mesma unidade de medida, a mesmadireção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Seja P um ponto qualquer do plano tal que suascoordenadas em relação ao sistema xOy sejam x e y e, em relação ao sistema x′O′y′, sejam x′ ey′. Desta forma, e de acordo com a figura, temos:y y’----------------------------- Po’ ( h, k ) x’ x = OC = OA + AC = x′ + hy = OD = OB + BD = y′ + ko ( 0, 0 ) xEstas equações de translação nos permitem transformarcoordenadas de um sistema para outro.Exemplo 1.1. Transforme a equação: y³−x²−6y²−2x+12y = 9 por uma translação de eixoscoordenados à nova origem (−1, 2).Como a origem do sistema x′O′y′ é (−1, 2), as equações de translação sãox = x′ − 1y = y′ + 2Substituindo os valores de x e de y na equação, temos(y′+2)³−(x′−1)²−6(y′+2)²−2(x′−1)+12(y′+2) = 9.y′³+6y′²+12y′+8−x′²+2x′−1−6y′²−24y′−24−2x′+2+12y′+24 = 9y′³ − x′² = 0Exemplo 1.2. Por meio de uma translação de eixos transforme a equaçãox³ − 3x² − y² + 3x + 4y − 5 = 0em outra mais simples `a nova origem (1, 2).Resolução: Pelo Teorema, as equações de transformação são x = x′ + 1 e y = y′ + 2.Substituindo estes valores na equação, obtemos:(x′ + 1)³ − 3(x′ + 1)² − (y′ + 2)² + 3(x′ + 1) + 4(y′ + 2) − 5 = 0em que desenvolvendo e simplificando chegamos ax′³ − y′² = 0
  • 42Exemplo 1.3. Por meio de uma translação de eixos transforme a equaçãox² − 4y² + 6x + 8y + 1 = 0em outra desprovida de termos de 1° grau.Resolução: Pelo Teorema 1.4, as equações de transformação são;x = x′ + k e y = y′ + h.Substituindo estes valores na equação, obtemos(x′ + k)² − 4(y′ + h)² + 6(x′ + k) + 8(y′ + h) + 1 = 0que, após desenvolvimentos e redução de termos semelhantes assume a formax′² − 4y′² + (2k + 6)x′ − (8h − 8)y′ + k² − 4h² + 6k + 8h + 1 = 0Como devemos encontrar os valores de k e h tal que a equação seja desprovida dos termos de1° grau, igualaremos a zero os coeficientes de x′ e y′ na última equação. Portanto:2k + 6 = 08h − 8 = 0 ⇒ k = −3 h = 1Dessa forma, a nova origem é o ponto (−3, 1) e substituindo esses valoresobtemos a equação procurada:x′² − 4y′² = 4Observação. Note que nesse último exemplo, a equação foi dada sem o termo xy, e isso decerta forma facilitou nosso trabalho. No caso que equações do 2◦ grau desprovidas desse termo,é possível também, em alguns casos, efetuar a transformação pelo método de completar osquadrados.Lembre que podemos obter a partir da expressão x² + bx o trinômio quadrado perfeito( x + b )² se adicionarmos o termo b²2 4Assim completando quadrado em (x² + 6x) − (4y² − 8y) + 1 = 0, temos:(x² + 6x + 9) − 4(y² − 2y + 1) + 1 − 9 + 4 = 0ou ainda, (x+3)² −4(y−1)² = 4substituindo x′ = x+3 e y′ = y−1 , obteremos:x′² − 4y′² = 4Notemos então,que a principal aplicação de Translação dos Eixos Coordenados é a remoção dostermos de 1° grau.Rotação dos eixos coordenados:Definição: A operação de mover os eixos coordenados no plano coordenado para uma posiçãodiferente de maneira que os novos eixos e os antigos eixos possuam a mesma origem, édenominado rotação dos eixos coordenados.Consideremos o plano Oxy e seja θ o ângulo de rotação o qual é obtido um novo sistema tal queos eixos O′x′ e O′y′ tenham a mesma unidade de medida de Ox e Oy.
  • 43Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas em relação ao sistema Oxy sãox e y e, em relação aos sistemas O′x′y′ são x′ e y′. Desta forma e de acordo com a figura,temos:x′ = OA′ = rcosφy′ = A′P = rsenφx = OA = rcos(θ + φ) = rcosθcosφ − rsenθsenφy = AP = rsen(θ + φ) = rsenθcosφ + rcosθsenφsubstituindo, teremos:x = x′cosθ − y′senθy = x′senθ + y′cosθ que são as equações de rotação.Teorema. Se girarmos os eixos coordenados de um ângulo θ em torno de sua origem O e se ascoordenadas de qualquer ponto P do plano antes e depois da rotação dos eixos são(x, y) e (x′, y′), respectivamente, então as equações de rotação das antigas para as novascoordenadas são dadas por:x = x′cosθ − y′senθy = x′senθ + y′cosθExemplo . Determinar as novas coordenadas do ponto (3,−4) quando os eixos coordenados sãogirados em 45°.Resolucão: Pelo teorema acima, as equações de transformação são:3 = x′cos45° − y′sen45°−4 = x′sen45° + y′cos45°x′ = 3cos(−45°) + 4sen(−45°) = 3cos45° − 4sen45° = −√22y′ = 3sen(−45°) − 4cos(−45°) = −3sen45° − 4cos45° = −7√22___Exemplo . Transformar a equação 2x² +√3xy +y² = 4, por rotação de eixos coordenados de umângulo de 30°As equacões de transformação sãox = x′cos30° − y′sen30° =√3 x′ − 1 y′2 2y = x′sen30° + y′cos30° = 1 x′ + √3 y′2 2
  • 44após desenvolvimentos e simplificação, obtemos a equação transformada pedida5x′² + y′² = 8, que é uma elipse.Observação. Note que neste último exemplo, o ângulo de rotação foi dado. Geralmente,entretanto,o ângulo de rotação deve ser determinado a fim de alcançar alguma condiçãoestabelecida.Exemplo . Por uma rotação de eixos coordenados, transformar a equação3x² − 2xy + 3y² − 16 = 0 em outra desprovida do termo misto de grau 2Substituindo na equação as equações de transformação, temos3(x′cosθ − y′senθ)² − 2(x′cosθ − y′senθ)(x′senθ + y′cosθ) + 3(x′senθ + y′cosθ)² − 16 = 0Desenvolvendo e pondo x′², y′² e x′y′ em evidência, ficamos com:x′²(3cos²θ − 2cosθsenθ + 3sen²θ) + x′y′(−6cosθsenθ + 2sen²θ − 2cos²θ + 6cosθsenθ)+y′²(3sen²θ + 2cosθsenθ + 3cos²θ) = 16e como queremos eliminar o termo x′y′ dessa última equação, faremos o coeficiente desse termoigual a zero, ou seja:−6cosθsenθ + 2sen²θ − 2cos²θ + 6cosθsenθ = 0e portanto 2sen²θ = 2cos²θ onde θ = 45°. Usando este ângulo, obtemos 2x′² + 4y′² = 16, ousimplesmente x′² + 2y′² = 8, que é uma elipse.Exercícios Propostos:Por Translação de eixos, simplifique as equações:Por uma rotação dos eixos coordenados, transformar a equação dada em outra desprovida dotermo x′y′.