수 ,  거듭제곱 ,  로그 아꿈사 :  http://cafe.naver.com/architect1 김태우 :  [email_address]
수 Number
실수 유리수 무리수 정수 자연수 수의 체계
정수 <ul><li>Integer </li></ul><ul><li>소수부가 없는 온전한 수  (Whole Number) </li></ul><ul><li>음수 ,  양수 모두 </li></ul><ul><ul><li>......
유리수 <ul><li>Rational Number </li></ul><ul><li>두 정수의 비율 ( 나누기 ) p/q </li></ul><ul><ul><li>여기서 , q 는 양수 </li></ul></ul>
실수 <ul><li>Real Number </li></ul><ul><li>소수 전개 (decimal expansion) 를 가진 수량  x </li></ul><ul><ul><li>(1) </li></ul></ul><ul...
실수 <ul><ul><li>(1) </li></ul></ul><ul><li>위  (1) 의 표현은 다음을 의미한다 </li></ul><ul><li>여기서 , k 는 모든 양의 정수 </li></ul><ul><li>실수이...
복소수 <ul><li>Complex Number </li></ul><ul><li>z = x + iy </li></ul><ul><ul><li>x, y 는 실수 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>x: ...
복소수 <ul><li>켤레 복소수 </li></ul><ul><li>복소수와 켤레 복소수의 관계 </li></ul>
구간 <ul><li>Interval </li></ul><ul><li>닫힌 구간 </li></ul><ul><ul><li>u, v 가 실수이고  u < v 일 때 </li></ul></ul><ul><ul><li>닫힌 구간 ...
구간 <ul><li>열린 하계 (lower bound) ,  상계 (upper bound) 에서 u 가 음의 무한대이거나  v 가 양의 무한대인 것도 가능 </li></ul><ul><ul><li>이 경우는 하계 또는 상...
지수 Exponent
지수 <ul><li>이번 절 전체에서 문자  b 를 양의 실수라고 하자 </li></ul><ul><li>n 이 정수이면  b^n 은 다음처럼 정의 된다 . </li></ul><ul><ul><li>,  만일  n>0 이면...
지수 법칙 <ul><li>Laws of Exponents </li></ul><ul><li>귀납법으로 쉽게 증명할 수 있다 </li></ul><ul><ul><li>(5) </li></ul></ul><ul><ul><li>증...
추론 Reasoning 뜬금없이  -_-
추론 <ul><li>명제 ( 논리적 주장 )   에 대한 논거 ( 이론적 근거 ) </li></ul><ul><li>대표적 추론 </li></ul><ul><ul><li>연역법 </li></ul></ul><ul><ul><l...
연역법 <ul><li>일반적 원리로부터 구체적 사실로 추리 ! </li></ul><ul><li>대전제로부터 소전제를 매개로 하여 대전제의 개념 속에 포함되어 있는 결론을 논리적으로 이끌어 내는 방법 </li></ul><...
귀납법 <ul><li>구체적 사실에서 일반적 원리로 ! </li></ul><ul><li>객관적인 관찰로 결론을 도출하는 것 . </li></ul><ul><li>예 )  </li></ul><ul><ul><li>소크라테스는...
변증법 <ul><li>정  반  합 의 순서를 거쳐  진리를 이끌어내는 것  </li></ul><ul><li>동일률 ( 同一律 ) 을 근본원리로 하는 형식논리에 대하여 ,  모순 또는 대립을근본원리로 하여 사물의 운...
수학적 귀납법 <ul><li>주어진 명제  P(n) 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 보이는 증명법 </li></ul><ul><ul><li>n=1 에 대해 성립하고 </li></ul></ul><ul><ul><li>k 와...
수학적 귀납법 <ul><li>예 )  자연수  n 에 관한 어떤 명제  P(n) 에서 명제  P(n) 이 임의의 자연수에 대하여 성립하는 것을 증명하라 </li></ul><ul><ul><li>다음  2 가지를 증명하면 ...
예제 풀이 <ul><li>P(n) :  홀수의 합은 제곱수이다 . </li></ul><ul><ul><li>1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2  - (1) </li></ul></ul><ul><li>[1] ...
제곱근 <ul><li>u 가 양의 실수 , m 이 양의 정수일 때 </li></ul><ul><li>가 되는 고유한 양의 실수  v 가 존재 </li></ul><ul><li>이를  u 의  m  제곱근이라고 부르며 ,  ...
실수 <ul><li>모든 실수  x 에 대해  를 정의하자 </li></ul><ul><li>우선  b >1  라고 하자 </li></ul><ul><li>x 가 식 (1)  로 주어졌을 때  다음이 성립해야 함    (7...
로그 Logarithm
로그 <ul><li>양의 실수  y 가 주어졌다고 할 때 ,  </li></ul><ul><li>인 실수  x 를 찾을 수 있을까 ?  </li></ul><ul><ul><li>식 (7) 을 거꾸로 적용해서 </li></u...
로그 <ul><li>상용로그 </li></ul><ul><ul><li>Common Logarithms </li></ul></ul><ul><ul><li>기수가  10 인 로그 </li></ul></ul><ul><li>이진로...
자연로그 <ul><li>Natural Logarithms </li></ul><ul><li>왜 자연스러운가 ? </li></ul><ul><ul><li>색칠된 영역의 면적이  ln x  이다 </li></ul></ul><u...
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Taocp 1 2-2

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  • 정수로는 어려운 문제를 실수로는 쉽게 풀 수 잇는 경우가 있는가 하면 , 실수로 풀기 어려운 문제를 수의 좀 더 일반적인 부류인 복소수로는 풀 수 있는 경우가 있다 .
  • 복소수는 일반적으로 고급 주제 . 그러므로 이 책에서는 실수에 초점 .
  • 반개구간 [u..v) 또는 (u..v]
  • 보편적인 진리나 사실로 구체적인 사실을 이끌어 내는 추리 . 연역법에서 대전제가 되는 근거는 일반적으로 귀납의 방법에 의해 만들어 짐
  • 연역법에서… 모든 사람이 죽으니까 소크라테스도 죽는다고 결론을 내리면서 &apos; 모든 사람이 죽는다 &apos; 는 말을 근거로 삼고 있는데 , 과연 모든 사람이 죽는다는 것은 어떻게 생겨난 말일까 하는 것이지요 . &apos; 모든 사람이 죽는다 &apos; 는 일반적 원리는 관찰 을 통해 찾아낸 것입니다 . 다시 말해 연역법에서 근거가 되는 대전제는 귀납법을 통해 만들어졌다는 것이지요 .
  • Taocp 1 2-2

    1. 1. 수 , 거듭제곱 , 로그 아꿈사 : http://cafe.naver.com/architect1 김태우 : [email_address]
    2. 2. 수 Number
    3. 3. 실수 유리수 무리수 정수 자연수 수의 체계
    4. 4. 정수 <ul><li>Integer </li></ul><ul><li>소수부가 없는 온전한 수 (Whole Number) </li></ul><ul><li>음수 , 양수 모두 </li></ul><ul><ul><li>..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... </li></ul></ul>
    5. 5. 유리수 <ul><li>Rational Number </li></ul><ul><li>두 정수의 비율 ( 나누기 ) p/q </li></ul><ul><ul><li>여기서 , q 는 양수 </li></ul></ul>
    6. 6. 실수 <ul><li>Real Number </li></ul><ul><li>소수 전개 (decimal expansion) 를 가진 수량 x </li></ul><ul><ul><li>(1) </li></ul></ul><ul><ul><li>여기서 , n 은 정수이고 , 각 d i 는 0 에서 9 사이의 숫자 </li></ul></ul><ul><ul><li>이 숫자들의 열은 끝나지 않고 , 무한히 많은 9 들로 이어짐 </li></ul></ul>
    7. 7. 실수 <ul><ul><li>(1) </li></ul></ul><ul><li>위 (1) 의 표현은 다음을 의미한다 </li></ul><ul><li>여기서 , k 는 모든 양의 정수 </li></ul><ul><li>실수이지만 유리수는 아닌 예 </li></ul><ul><ul><li>- 원 둘레와 지름의 비율 </li></ul></ul><ul><ul><li>- 황금비 (1 + root5)/2 </li></ul></ul>(2)
    8. 8. 복소수 <ul><li>Complex Number </li></ul><ul><li>z = x + iy </li></ul><ul><ul><li>x, y 는 실수 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>x: z 의 실수부 (Real Part) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>y: z 의 허수부 (Imaginary Part) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>i 는 을 만족하는 특별한 값 </li></ul></ul><ul><ul><li>z 의 절대값 </li></ul></ul>(3)
    9. 9. 복소수 <ul><li>켤레 복소수 </li></ul><ul><li>복소수와 켤레 복소수의 관계 </li></ul>
    10. 10. 구간 <ul><li>Interval </li></ul><ul><li>닫힌 구간 </li></ul><ul><ul><li>u, v 가 실수이고 u < v 일 때 </li></ul></ul><ul><ul><li>닫힌 구간 [u..v] 는 u <= x <= v 인 실수들의 집합 </li></ul></ul><ul><li>열린 구간 </li></ul><ul><ul><li>u, v 가 실수이고 u < v 일 때 </li></ul></ul><ul><ul><li>열린 구간 (u..v) 는 u < x < v 인 실수들의 집합 </li></ul></ul>
    11. 11. 구간 <ul><li>열린 하계 (lower bound) , 상계 (upper bound) 에서 u 가 음의 무한대이거나 v 가 양의 무한대인 것도 가능 </li></ul><ul><ul><li>이 경우는 하계 또는 상계가 없다는 뜻 </li></ul></ul><ul><ul><li>모든 실수들의 집합 </li></ul></ul><ul><ul><li>음이 아닌 실수들의 집합 </li></ul></ul>
    12. 12. 지수 Exponent
    13. 13. 지수 <ul><li>이번 절 전체에서 문자 b 를 양의 실수라고 하자 </li></ul><ul><li>n 이 정수이면 b^n 은 다음처럼 정의 된다 . </li></ul><ul><ul><li>, 만일 n>0 이면 , 만일 n<0 이면 </li></ul></ul><ul><li>b = 2, n = 3 </li></ul><ul><ul><li>b^3 = b^2 * b 8 = 4 * 2 </li></ul></ul><ul><li>b = 2, n = -3 </li></ul><ul><ul><li>b^-3 = b^-2 / b </li></ul></ul><ul><ul><li>1/8 = (1/4) / 2 </li></ul></ul>(4)
    14. 14. 지수 법칙 <ul><li>Laws of Exponents </li></ul><ul><li>귀납법으로 쉽게 증명할 수 있다 </li></ul><ul><ul><li>(5) </li></ul></ul><ul><ul><li>증명은 모르겠으니 , 귀납법이나 알아 봅시다 . -_-;; </li></ul></ul>
    15. 15. 추론 Reasoning 뜬금없이 -_-
    16. 16. 추론 <ul><li>명제 ( 논리적 주장 ) 에 대한 논거 ( 이론적 근거 ) </li></ul><ul><li>대표적 추론 </li></ul><ul><ul><li>연역법 </li></ul></ul><ul><ul><li>귀납법 </li></ul></ul><ul><ul><li>변증법 </li></ul></ul>
    17. 17. 연역법 <ul><li>일반적 원리로부터 구체적 사실로 추리 ! </li></ul><ul><li>대전제로부터 소전제를 매개로 하여 대전제의 개념 속에 포함되어 있는 결론을 논리적으로 이끌어 내는 방법 </li></ul><ul><li>즉 , 일반적인 사실을 근거로 구체적 사실을 이끌어 내는 것 </li></ul><ul><li>예 ) 연역법을 이용한 대표적인 삼단논법 추리 </li></ul><ul><ul><li>사람은 죽는다 . ( 대전제 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>소크라테스는 사람이다 . ( 소전제 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>소크라테스는 죽는다 . ( 결론 ) </li></ul></ul>
    18. 18. 귀납법 <ul><li>구체적 사실에서 일반적 원리로 ! </li></ul><ul><li>객관적인 관찰로 결론을 도출하는 것 . </li></ul><ul><li>예 ) </li></ul><ul><ul><li>소크라테스는 죽었다 . </li></ul></ul><ul><ul><li>세종대왕도 죽었다 . </li></ul></ul><ul><ul><li>누구누구도 죽었다 . 등등등 . </li></ul></ul><ul><ul><li>그러므로 모든 인간은 죽는다 . </li></ul></ul>
    19. 19. 변증법 <ul><li>정  반  합 의 순서를 거쳐 진리를 이끌어내는 것 </li></ul><ul><li>동일률 ( 同一律 ) 을 근본원리로 하는 형식논리에 대하여 , 모순 또는 대립을근본원리로 하여 사물의 운동을 설명하려고 하는 논리 </li></ul><ul><li>예 ) 소크라테스의 ' 나는 무지하다 ' </li></ul><ul><ul><li>소크라테스는 가장 많은 지식을 가진 사람인데 , 자신이 제일 무지하다고 해버림 . </li></ul></ul><ul><ul><li>바보 귀족들이 그들의 무지를 인정 하지 않음을 비꼼 </li></ul></ul>
    20. 20. 수학적 귀납법 <ul><li>주어진 명제 P(n) 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 보이는 증명법 </li></ul><ul><ul><li>n=1 에 대해 성립하고 </li></ul></ul><ul><ul><li>k 와 k+1 에 대해 각각 성립함을 보인다 </li></ul></ul>
    21. 21. 수학적 귀납법 <ul><li>예 ) 자연수 n 에 관한 어떤 명제 P(n) 에서 명제 P(n) 이 임의의 자연수에 대하여 성립하는 것을 증명하라 </li></ul><ul><ul><li>다음 2 가지를 증명하면 됨 </li></ul></ul><ul><ul><li>P(1) 이 성립한다 </li></ul></ul><ul><ul><li>P(k) 가 성립한다고 가정하면 , P(k+1) 도 성립한다 . </li></ul></ul><ul><li>P(n) : 홀수의 합은 제곱수이다 . </li></ul><ul><ul><li>1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 </li></ul></ul>
    22. 22. 예제 풀이 <ul><li>P(n) : 홀수의 합은 제곱수이다 . </li></ul><ul><ul><li>1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 - (1) </li></ul></ul><ul><li>[1] n = 1 일때 </li></ul><ul><ul><li>(1) 의 좌변은 1, 우변은 1^2 = 1 그러므로 참 </li></ul></ul><ul><li>[2] n = k 일때 성립한다고 가정하면 </li></ul><ul><ul><li>1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k^2 </li></ul></ul><ul><ul><li>이 식의 양변에 2k+1 을 더하면 </li></ul></ul><ul><ul><li>1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k+1) </li></ul></ul><ul><ul><li>이 식의 우변을 정리하면 , (k+1)^2 이 된다 . 따라서 , </li></ul></ul><ul><ul><li>1 + 3 + 5 +…+(2k-1) + (2k+1) = (k+1) ^2 </li></ul></ul><ul><ul><li>이 식은 (1) 식에 n = k + 1 을 대입한 것 </li></ul></ul><ul><li>여기서 n = k 일 때 성립한다고 가정하면 n = k + 1 일 때도 성립한다는 것이 증명된 셈이다 . </li></ul><ul><li>[1], [2] 에 의해서 등식 (1) 은 모든 자연수 n 에 대하여 성립 . </li></ul>
    23. 23. 제곱근 <ul><li>u 가 양의 실수 , m 이 양의 정수일 때 </li></ul><ul><li>가 되는 고유한 양의 실수 v 가 존재 </li></ul><ul><li>이를 u 의 m 제곱근이라고 부르며 , 로 표기한다 . </li></ul><ul><li>이제 유리수 r = p/q 에 대해 을 다음과 같이 정의 한다 </li></ul><ul><ul><li>이며 x 와 y 가 임의의 유리수일 때에도 지수법칙이 여전히 성립한다는 점에서 유용하다 . </li></ul></ul>(6)
    24. 24. 실수 <ul><li>모든 실수 x 에 대해 를 정의하자 </li></ul><ul><li>우선 b >1 라고 하자 </li></ul><ul><li>x 가 식 (1) 로 주어졌을 때 다음이 성립해야 함 (7) </li></ul><ul><li>이것은 를 하나의 교유한 양의 실수로 정의한다 . </li></ul><ul><li>왜냐하면 (7) 의 하한과 상한의 차이가 이기 때문이다 </li></ul><ul><li>이 차이는 보다 작으며 , k 를 충분히 크게 잡으면 원하는 만큼의 정밀도로 의 값을 얻을 수 있다 . </li></ul>
    25. 25. 로그 Logarithm
    26. 26. 로그 <ul><li>양의 실수 y 가 주어졌다고 할 때 , </li></ul><ul><li>인 실수 x 를 찾을 수 있을까 ? </li></ul><ul><ul><li>식 (7) 을 거꾸로 적용해서 </li></ul></ul><ul><ul><li>가 되는 n 과 d 1 , d 2 , ... 들을 구하면 된다 . </li></ul></ul><ul><li>그 결과로 얻은 x 를 y 의 기수 b 로그 (logarithm, 대수 ) 라고 부르고 로 표기한다 . </li></ul>(9) (11) (12)
    27. 27. 로그 <ul><li>상용로그 </li></ul><ul><ul><li>Common Logarithms </li></ul></ul><ul><ul><li>기수가 10 인 로그 </li></ul></ul><ul><li>이진로그 </li></ul><ul><ul><li>컴퓨터가 두 갈래로 분기하는 경우가 많기 때문에 , 이진로그가 컴퓨터 작업에서 상용로그 보다 유용 </li></ul></ul><ul><ul><li>앞으로 좀 더 간결하게 표현하자 </li></ul></ul><ul><li>상용로그와 이진로그의 관계 </li></ul>(13) (14) 좀 더 일반화…
    28. 28. 자연로그 <ul><li>Natural Logarithms </li></ul><ul><li>왜 자연스러운가 ? </li></ul><ul><ul><li>색칠된 영역의 면적이 ln x 이다 </li></ul></ul><ul><ul><li>은행이 이율 r 로 반년마다 복리 이자를 지급할 때 , 1 원 당 이자는 (1+r/2)^2 원이다 . </li></ul></ul>(15)
    29. 29. ?
    30. 31. Lisence

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