1. UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU
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Universidad Peruana Unión – Juliaca Mg. Carlos M. Coaquira Tuco
Programa Nacional de Beca 18 Lic. Joel Chavarrí Becerra
Lic. Derly Huanca Quispe
En matemática, generalmente usamos símbolos para
representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto
la notación x , significa que x es un número real,
aunque no especifique un número real en particular.
Un símbolo literal que se usa para representar
cualquier elemento de un conjunto dado, se llama
variable. Las últimas letras del alfabeto tales como x, y, z,
w, ....., se emplean a menudo como variables. En cambio,
el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de
un conjunto numérico se llama constante.
En una expresión matemática las variables y
constantes se diferencian al usar la notación matemática,
lo cual consiste en indicar los símbolos que representan a
las variables dentro de un paréntesis.
Ejemplo:
E (x; y; z) = 5x + 3ay2
+ 2bz3
* las variables son:
* las constantes son:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es un conjunto de letras y números donde las
variables están relacionadas con cualquiera de las 6
operaciones aritméticas (+ ; – ; ; ; ()n
;
n
); en un
número limitado de veces.
Ejemplos:
E(x) = x3
– 2x +
x
3
E(x,y) =
1y
x3xy2
Q(x) = x4
– sen y
P(x) = x2
+ x2
+ sen x
R(x) = 1 + x + x2
+ x3
………..
G(x) = x2
+ 2x
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión algebraica donde no están presente
las operaciones de adición y sustracción.
Ejemplo:
M(x,y) = –4 x5 y3
TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos serán semejantes si a los
exponentes de las respectivas variables son iguales.
Ejemplos:
P(x;y) = 4x2
y7
y Q(x;y) = –2x2
y7
P(x;y) = 5x2
y3
y S(x;y) = 2xy7
M(x;y) = –
2
3
y
x4
y N(x) =
2
3
y
x2
POLINOMIO
Son expresiones algebraicas racionales enteras en las
cuales las variables están afectadas solo de exponentes
enteros positivos.
Ejemplos:
P(x;y) = 5x3
y7
(monomio)
R(x;z) = 2x2
z + 5z5
(binomio)
F(x) = 3 – 5x + 3 x2
(trinomio)
GRADO DE UN MONOMIO
A. Grado Relativo:
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor
es el exponente que afecta a dicha variable.
Ejemplo:
Sea P(x;y;z) = 5 x5
y3
z
GR(x) =
GR(y) =
GR(z) =
B. Grado Absoluto:
Es la suma de los grados relativos.
Ejemplo:
Sea R(x;y;z) = 2x4
y5
z3
GA =
GRADO DE UN POLINOMIO
A. Grado Relativo:Exponentes
Variables
Coeficiente
2. - 2 -
Es el grado del polinomio respecto de una de sus
variables y el valor es el mayor de los grados relativos de
la variable en cada término.
Ejemplo:
Sea P(x,y) = 3x3
y5
– 7x2
y9
+ 5x7
GR(x) =
GR(y) =
B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Ejemplo:
Si F(x;y) = 2x2
y3
– 7x6
y + 4x4
y4
POLINOMIO EN UNA VARIABLE
Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente
forma general:
P(x) = b0 xn
+ b1 xn–1
+ ……….. + bn–1x + bn
x: variable de P
b0, b1, ......, bn: coeficientes
b0: coeficiente principal (C. P.)
bn: término independiente (T. I.)
Nota:
Término independiente: (T. I.)
T. I. (P) = bn = P(0)
Suma de coeficientes ( coef.)
coef. (P) = b0 + b1 + ….. bn = P(1)
VALOR NUMÉRICO (V. N.)
Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar
las operaciones que en ella se indica, luego de haber
asignado a sus variables, valores determinados.
Ejemplo:
Sea P(x) =
1x
2x2 2
Hallar el V. N: de P(2)
Escribe de los enunciados las expresiones algebraicas que
representan dichos enunciados:
1. Número de ruedas necesarias para fabricar x coches.
2. Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b”
conejos.
3. Un número menos 3.
4. La mitad de un número.
5. Restar la mitad de un número al 2.
6. Doble de un número menos 5.
7. Doble de un número, menos 5.
8. Cuadrado de un número más 7.
9. Cuadrado de un número, más 7.
10. La tercera parte de un número más su quinta parte.
11. Dos quinto de un número.
12. El triple de un número más 1.
13. La edad de Pedro hace cuatro años.
14. La edad de Juan dentro de 15 años.
15. Mi padre me da el doble del dinero que tenía.
¿Cuánto tengo ahora?
16. Dos números se diferencian en 5 unidades.
17. El cociente de dos números es igual a tres veces su
suma.
18. El producto de dos números dividido por su suma es 5.
19. La diferencia de los cubos de dos números.
20. El área de un rectángulo.
21. El perímetro de un rectángulo.
22. El área de un cuadrado.
23. El perímetro de un cuadrado.
24. El área de un círculo.
25. El perímetro de un círculo.
26. La raíz cuadrada de un número menos 3.
27. La raíz cuadrada de un número, menos 3.
28. La diferencia de las raíces cuadradas de un número y
de 3.
1. Después de simplificar:
3 3 22
9 2217
yxyx
y.x
; se observa que el grado absoluto de
la expresión es:
2. Hallar el valor de “n” para que el monomio:
E = 3
3 3
2n21n
x
x.x
sea de primer grado
3. Si la expresión:
2m3nm
n5mn
zyx
zyx
tiene por grado relativo a “x”, 12 y por grado relativo a
“y”, 10. El grado relativo a “z” es:
4. Si la expresión:
3. - 3 -
201
16
2)2(
22
2m2
1m2
m
11m m
x.x
xx
es de octavo grado con respecto a “x”, calcular el valor
de “m”.
5. Si el grado de la expresión:
n
n2n
n
x es 256, calcular el valor de “n”.
6. Sabiendo que los términos:
(a+2) x2a–3
y3b–1
; (b–5) xa+5
y2a+b+7
son semejantes.
Calcular la suma de sus coeficientes.
7. Si el polinomio P(x) = 4xa–2
yb–5
+ 5x3
y4
+ 6xm–1
yp–4
tiene un solo término, halle “m + p + a + b”
8. Si el grado de: (x)
2
(x) QP , es 13 y el grado de
(x)
3
(x)
2
QP , es 22; calcular el grado de:
E = (x)
3
(x)
3
QP
9. Calcular el grado absoluto del polinomio:
P(x;y) = xn–3
+ x4
yn+3
– y5–n
10. Si P(x–1) = x2
– 4
halle:
)1(P
)1(P)0(P
11. Calcular:
P
333 , siendo: P(x) = x40
– 3x39
+ 1
12. Si P(x) = x2
– 2
calcular:
veces2000
)))2(P(P(P
13. Sea: P(x) = 2x + 1
hallar: P(P(x))
14. Sea: P
x
2
= 3x + 1
halle: P(4x)
15. Si: P(x+1) – P(x) = 3x
halle: P(2) – P(0)
16. Hallar el término independiente y la suma de
coeficientes del polinomio:
P(x–1) = (2x–3)2n
+ 4x4
17. Si la suma de los coeficientes del polinomio:
P(x) = (4x3
+ 3) (5x7
– 3)n–2
(x8
+ 3)
+ (13x3
+ 3)5
(x4
+ 1)n–20
(x5
– 5) + (3x2
– 1)n+1
es 1280
calcular el valor de “n”.
1. Hallar el grado de la expresión
M(x) = 3a4
x7
y2
z
A) 14 B) 7 C) 10 D) 11 E) N.A.
2. Hallar el grado de:
P(x,y) = 5abxm+3
y2m+1
zm+3
A) 3m+4 C) m+3 E) N.A.
B) 4m+7 D) 2m+1
3. Hallar el grado de: P(x,y,z) = 3x5y7z6
A) 18 B) 15 C) 7 D) 6 E) 5
4. Calcular el grado absoluto de:
M(x,y) = 9x7
y12
– 3x9
y12
+ 2x11
y13
A) 24 B) 18 C) 19 D) 21 E) 23
5. Hallar el valor de “b” para que el grado de:
P(x,y) = (3abx3b+3
y2
) sea 20
A) 5 B) 8 C) 10 D) 3 E) 12
6. Si: P(x) = x3
– 2x2
+ x + 5
hallar P(1)
A) 5 B) 7 C) 6 D) 9 E) 3
7. Dado el monomio:
M(x,y) = 4mn
x2m+3n
y5n–m
Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7
Señalar su coeficiente
A) 2 B) 4 C) 8 D) 64 E) 16
8. Hallar el coeficiente de:
4. - 4 -
M(x,y) = ba5b2a3b
a
yx2.
5
1
Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es
14.
A) 4/625 C) 2/25 E) 16/25
B) 16/125 D) 8/625
9. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. R(x,y) = 3x5
+ 2
x
y4
; es un término algebraico
II. H(x,y,z) = 5x2
y +
3
z +log z; es un polinomio
III. T(x,y) = ax3
+by4
+ (a + b)
y
x
; es un monomio
A) FVV C) VFF E) FVF
B) FFV D) VFV
10. Si: P(x–2) = x + 1
P(Q(x)) = 5x + 9
indicar Q(3)
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
11. Siendo: G(x) = x
Además: P(x) + Q(x) = 2x2
+ 8
P(x) – Q(x) = 8x
calcular: G(Q(P(0)))
A) 1 B) 4 C) 8 D) 3 E) 5
12. Dado el polinomio: P(x) = x3 – 5x2 + 4x + 1
Hallar: P(2) + P(–1)
A) 5 B) 9 C) –25 D) –16 E) –12
13. Dado P(x) = ax2
+ 2x – 1
Si: P(–2) = 7; entonces “a” vale
A) 1 B) 3 C) 7 D) 2 E) 1
14. Hallar el valor de n si el término algebraico 7xn+3
y5
zn–2
es de grado 12.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. Si el siguiente monomio 9x3
y4n
zm–n
tiene G.R.(y) =
16 y G.A. = 20, hallar “m . n”
A) 5 B) 20 C) 12 D) 10 E) 24
16. Si P(x) = 3x3
+ 2
calcular: E =
2
)0(P )1(P
)2(P
A) 20 B) 22 C) 26 D) 30 E) 60
17. Si P(x) = x2
– x + 2,
calcular: A = P {P 2 – P(–1)}
A) 10 B) 23 C) 37 D) 58 E) 77
18. Si la expresión:
1mm3261nn
y.xy.x
, se reduce a un monomio.
halle el grado absoluto de la expresión:
m
m n 3 2m212
z;y;x z.yxM
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 1
19. Hallar el valor que debe darse a “m” para que la
expresión:
3
6 4m5
4 m1m
x
x.x
R
sea de 6to. grado
A) 20 B) 18 C) 44 D) 52 E) 60
20. Si el polinomio:
P(x;y) = 7xa+5
yb–1
+ 3 xa+2
yb+1
– xa+3
yb+2
tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a – b
A) 6 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3
21. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:
P(x)=(5x4
–3)n
+(4x5
–3)n–1
+(7x3
–5)n–2
+5(x7
+1)n–2
(x–2)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
22. Calcular el valor de “m – n” en el monomio:
n13/2
3 6nnm
b.a
ba
P
si es de 2do. grado respecto a “a” y de 7mo. grado
absoluto.
A) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
23. El grado absoluto de M es 6, hallar “b” si:
M = b2
3a
2a 2a
2a
3a 3a
y.
xx
xx
A) 2 B) 6 C) 4 D) 3 E) 5
24. Hallar el grado de:
5. - 5 -
P(x;y;z;w) =
3
1
a1
1
a a a3
3 w
1
z
y
1
x
A) a B) a2
C) a – 1 D) a + 1 E) 1
25. Hallar “a . b” si el G.A. del monomio es igual a 17, y su
coeficiente tiene el mismo valor que el G.R. (x), siendo
el monomio:
P(x,y) = (a + b) x2(a–1)
y3b
A) 3 B) 5 C) 15 D) 10 E) 25
26. Si Q(x) =
1x
1x
, calcular “E” donde:
E = )Q( ))25(Q(
Q
A) 0 B) 5 C) 12 D) 4 E) 1
27. Si P(x) = x3
+ ax2
– bx + c
y P(0) = 5, P(1) = 9, P(2) = 25
hallar: a . b . c
A) 15 B) 75 C) 225 D) 30 E) 0
28. Si P(x) = x (2 – x) + 5, calcular:
)5x)(5x(P
PP
R
)x(
)x()x(
A) 1 B 2 C) 3 D) 4x E) x
29. En la siguiente expresión:
1
a1
aa
a1
2a2
1aa
1a
2
2
2
3
x
x.x
tiene el grado igual a 13, hallar a.
A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) N.A.
30. Calcular: A = P(x+1) + P(x–1) – 2 P(x),
si: P(x) = 3x2
+ 2x – 4
A) 2 B) 4 C) 10 D) 6 E) 8
31. Sea P(x) = (ax2
+ 3x + b) (x + c) – 2x3
Si GR (P) = 0, hallar el término independiente.
A) 9/4 B) 27/4 C) –27/4 D) –9/4 E) 9/2
32. Hallar el grado absoluto de:
P(x;y;z) =
22 2c)ba( ac2bc6a7
z.y.x
Si:
ac
c
cb
b
ba
a
A) 1 B) 3 C) 9 D) 27 E) N.A.
33. P(x) = x – 1
Q(x)= 2x – 4
Halle:
P(Q(P(x + 1))) – Q(P(Q(x/2 + 2)))
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) –4
34. Se definen:
P(x) = 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
Q(x) = 1 – x + x2
– x3
+ x4
– x5
+ x6
halle:
)17(
)17(
Q
P
E
A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) 17
35. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo
del siguiente polinomio:
P(x–1) = (3mx – 4m)2
+ (3x – 4)2m
– x2
+ 4 ; m Z
Sabiendo que es cuádruplo de su término
independiente.
A) 512 B) 256 C) 128 D) 32 E) 1/2
36. Sea la expresión:
P(x) = 1 +
x
1
Encuentre:
P(1) . P(2) . P(3) …………. P(20)
A) 1 B) 20 C) 21 D) 22 E) 0
37. Determinar la suma de coeficientes reales de aquel
polinomio cúbico P(x) de coeficientes no nulos para
que la división P(x2
) P(–x) sea exacta y tenga por
cociente a P(x).
A) 0 B) –3 C) 3 D) 5 E) –7
38. Si el polinomio:
P(x) = x3
+ a1x2
+ a2x +a3; es un cubo perfecto; halle el
valor de:
3
3
1
2
2
1
a
a
a
a
A) 31 B) 27 C) 30 D) 35 E) 82/3
39. Dado el polinomio P tal que:
