Funciones exponenciales

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Se trata de definir y dar algunos ejemplos sobre esta función

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Funciones exponenciales

  1. 1. Prof. Carlos Mario Calle
  2. 2. JUSTIFICACIÓNLas funciones exponenciales sonuna de las familias de funciones más importantes enlas matemáticaspor la gran cantidad deaplicaciones que tienen..
  3. 3. Funciones Exponenciales Pre-prueba A. Traza la gráfica las B. Resuelve las siguientes siguientes de funciones de ecuaciones exponenciales exponenciales 1. f ( x ) 2 x 1. 23 x 6 2x 3 x 2. f ( x) 5 1 x 2. 34 x 2 3 x 4 3. f ( x ) 3 3. 9x 3x 1 4. f ( x) 3x 1 5. f ( x ) e x
  4. 4. Funciones Exponenciales Definición de una función exponencial •Sea b 0 y b 1 un número real. A una función de la forma f ( x) b x b. •La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales, R , . •Como la b 0 y b 1 los resultados al evaluar las funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, A 0, . •Si b 1 la función será f ( x) 1 una función constante, que no es exponencial.
  5. 5. Funciones Exponenciales “Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.” Ejemplos de funciones exponenciales 1. f ( x) 3x 2. f ( x) 4 x x 2 3. f ( x) 3 4. f ( x) 5 x x 5. f ( x) 10
  6. 6. Funciones Exponenciales Gráficas de funciones exponenciales Ejemplos: Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales. 1. f ( x) 3x Solución 2. f ( x) 2 x Solución x 1 3. f ( x) Solución 2 x 2 4. f ( x) Solución 3 5. f ( x) 10 x Solución
  7. 7. Funciones Exponenciales 1. f ( x) 3x 9 y 8 7 6 x f(x) 5 4 3 0 1 2 1 1 3 x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 2 9 -2 -3 1 -4 1 3 -5 -6 1 2 9 -7 -8 -9 -10Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si losvalores de x tienden a menos infinito, x , los valores de la funcióntienden a 0. Ejercicios
  8. 8. Funciones Exponenciales x 2. f ( x) 2 y 9 x f(x) 8 7 6 0 1 5 4 1 2 3 2 1 2 4 x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 3 8 -2 -3 1 1 -4 -5 2 -6 2 1 -7 4 -8 -9 Ejercicios -10
  9. 9. Funciones Exponenciales x 1 3. f ( x) y 2 9 8 x f(x) 7 6 5 0 1 4 3 1 1 2 2 1 x 1 2 4 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 1 2 -3 -4 -5 2 4 -6 -7 -8 -9 Ejercicios -10
  10. 10. Funciones Exponenciales x 24. f ( x) 3 9 x f(x) 8 7 6 0 1 5 4 2 3 1 3 2 1 4 2 9 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 1 3 -2 -3 2 -4 2 9 -5 -6 4 -7 -8 Ejercicios -9 -10
  11. 11. Funciones Exponenciales x 5. f ( x) 10 9 8 7 x f(x) 6 5 4 0 1 3 2 1 1 1 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 -1 2 100 -2 -3 -4 1 10 -5 -6 2 100 -7 -8 -9 -10 Ejercicios
  12. 12. Funciones Exponenciales Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. Si b > 0 la función es creciente. 3. Si b < 0 la función es decreciente. 4. El eje de x es una asíntota horizontal. 5. El dominio es el conjunto de los números reales. 6. El alcance es el conjunto de números reales positivos. 7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
  13. 13. Funciones ExponencialesTransformaciones de las funciones exponenciales Al igual que las funciones estudiadas anteriormente podemos transformar las funciones exponenciales variando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación.
  14. 14. Funciones ExponencialesTransformaciones de las funciones exponencialesTraza la gráfica de las siguientes funciones. 1. f ( x) 3x 2 Solución x 1 2. f ( x) 2 Solución x 1 3. f ( x) 2 Solución 2 x 2 4. f ( x) .5 Solución 3 x 1 5. f ( x) 2 2 Solución 6. f ( x) 2 x 2 Solución
  15. 15. Funciones Exponenciales1. f ( x) 3x 2 9 8 f ( x) 3x 2 x f(x) 7 6 5 f ( x) 3x 0 3 4 3 1 5 2 1 2 11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 1 1 2 3 -3 -4 1 -5 2 2 9 -6 -7 -8 -9 -10 Ejercicios
  16. 16. Funciones Exponenciales x 1 2. f ( x) 2 9 8 x f(x) 7 6 1 5 0 2 4 3 2 1 1 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 -1 -2 -3 3 4 -4 -5 1 1 -6 4 -7 2 1 -8 -9 8 -10 Ejercicios
  17. 17. Funciones Exponenciales x 1 3. f ( x) 2 8 f(x) 2 7 x f(x) 6 5 4 0 2 3 2 1 1 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1 2 1 -2 2 -3 3 1 4 -4 -5 -6 1 4 -7 -8 2 8 -9 Ejercicios
  18. 18. Funciones Exponenciales x 2 4. f ( x) .5 8 8 f(x) f(x) 3 7 7 x f(x) 6 6 5 1 4 0 2 3 2 1 1 1 3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 xx 2 2 -1 9 -2 1 3 -3 4 -4 -5 2 9 8 -6 -6 -7 -7 3 27 -8 -8 16 -9 -9 Ejercicios
  19. 19. Funciones Exponenciales x 15. f ( x) 2 2 f(x) 8 7 x f(x) 6 5 5 4 0 2 3 2 9 1 4 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 17 -1 2 8 -2 -3 1 3 -4 -5 2 4 -6 -7 3 6 -8 -9 Ejercicios
  20. 20. Funciones Exponenciales x 2 6. f ( x) 2 2 2 4 1 1 a. f ( 2) 2 2 x y 24 16 -2 1/16 1 2 3 1 1 b. f ( 1) 2 2 3 -1 1/8 2 8 0 1/4 2 1 1 c. f (0) 20 2 2 1 1/2 22 4 1 1 2 1 1 2 1 d . f (1) 2 2 1 3 2 2 2 2 2 0 e. f (2) 2 2 1 3 2 f . f (3) 2 21 2 Ejercicios
  21. 21. x 2f ( x) 2 4 x y 3 -2 1/16 2 -1 1/8 1 0 1/4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 1/2 -1 2 1 -2 3 2 -3 4 3 -4 Ejercicios
  22. 22. Funciones Exponenciales RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. LAS FUNCIONES EXPONENCIALES SON FUNCIONES UNO A UNO, POR x y LO TANTO a a SI Y SOLO SI X = Y . ESTA PROPIEDAD NOS PERMITE RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES IGUALANDO LAS BASES. O SEA SI LAS BASES SON IGUALES ENTONCES LOS EXPONENTES SON IGUALES. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones. 3x 8 x 2 Solución 1. 2 2 4x 6 x 2. 3 3 Solución x x 1 3. 27 3 Solución
  23. 23. Funciones Exponenciales 4x 2 1 4. 2x 2 Solución 2 x x 2 2 5. 16 Solución 64 6 x 10 x 1 2 3 6. Solución 3 2 x 2 4x 2 1 Solución 7. e e x2 2 x x2 5 Solución 8. 4 2
  24. 24. Funciones Exponenciales 3x 8 x 2 1. 2 2 Verificación 33 8 3 2 3x 8 x 2 2 2 9 8 1 3x x 2 8 2 2 2x 6 2 2 x 3 C.S 3 Ejercicios
  25. 25. Funciones Exponenciales 4x 6 x 2. 3 3 Verificación 6 6 4 6 4x 6 x 3 5 3 5 4x x 6 24 30 6 5 5 5 3 3 5x 6 6 6 6 3 5 3 5 x 5 6 C.S 5 Ejercicios
  26. 26. Funciones Exponenciales x x 1 3. 27 3 Verificación 1 1 3 x x 1 1 3 3 27 2 3 2 1 3 3x x 1 3 2 2 3 3 2x 1 3 3 2 2 1 3 3 x 2 1 C.S 2 Ejercicios
  27. 27. Funciones Exponenciales 4x 2 1 x 2 4. 2 2 1 4x 2 x 2 2 2 4x 2 x 2 2 2 4x 2 x 2 5x 4 4 4 C.S x 5 5 Ejercicios
  28. 28. Funciones Exponenciales x x2 2 5. 16 64 4 x2 5 x 2 2 5 2 C.S. = 0, 4x 5x 4 4 x2 5x 0 x 4x 5 0 x 0 4x 5 0 5 x 4 Ejercicios
  29. 29. Funciones Exponenciales 6 x 10 x 1 2 3 6. 7x 11 3 2 x 1 11 6 x 10 1 x 2 2 7 3 3 11 C.S.= 6x 10 x 1 7 6x x 1 10 Ejercicios
  30. 30. Funciones Exponenciales x 2 4x 2 1 7. e e 4x 2 x 2 4x 2 x 2 4x 2 x 2 4x 2 x 2 4x x 2 2 4x x 2 2 3x 0 5x 4 x 0 4 x 4 5 C.S.= 0, 5 Ejercicios
  31. 31. Funciones Exponenciales x2 2 x x2 5 8. 4 2 2 x2 2 x x2 5 2 2 2 2 2x 4x x 5 2 2 2x x 4x 5 0 2 x 4x 5 0 x 5 x 1 0 x 5 0 x 1 0 C.S. 5, 1 x 5 x 1 Ejercicios
  32. 32. Funciones ExponencialesLAS FUNCIONES EXPONENCIALES APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES TIENEN MUCHAS APLICACIONES EN CIENCIAS, MATEMÁTICAS, COMERCIO Y EN OTRAS DISCIPLINAS. VEREMOS AQUÍ ALGUNAS DE ESAS APLICACIONES. 1. Fórmula de interés compuesto r nt A P 1 m A es la cantidad acumulada o valor futuro P es el principal de la inversión r es la tasa de interés anual n es el número de periódos de tiempo por año t es el número años
  33. 33. Funciones Exponenciales 2. Fórmula de interés continuo A Pe it A es la cantidad acumulada o valor futuro P es el principal de la inversión i es el interés anual t es el número de años de la inversión 3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial A t A0e kt A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t A0 es la cantidad inicial k es la constante de crecimiento o decaimiento, t es el tiempo Si k 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A, si k 0 elvalor de A decae o decrece.
  34. 34. Funciones Exponenciales 4. Fórmula de enfriamiento de Newton u t T u0 T e kt , k 0 u es la temperatura del objeto en un tiempo t T es la temperatura del medioambiente u0 es la temperatura inicial del objeto t es el tiempo k es una constante negativa 5. Fórmula de crecimiento logístico c P t 1 ae bt P es la población en un tiempo t a , b, c son constantes, c 0, b 0 t es el tiempo en años c es la capacidad de crecimiento pues lim P t c t
  35. 35. Funciones Exponenciales Resuelve el ejercicio. 1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 700e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos) A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g 2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 900e-0.032t, donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos) A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g 3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano. A) 6,629 millones B) 6,872 millones C) 6,750 millones D) 36,152,864 millones 4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e0.018t, donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano. A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones
  36. 36. Funciones Exponenciales Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares decimales. 5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual A) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15 6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual A) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86 D) $1,422.10 7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente A) $189.65 B) $642.35 C) $669.65 D) $657.07 8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente A) $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49 D) $22,614.49 Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t años. Redondea a centavos. 9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual A) $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10 10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual A) $8,889.96 B) $9,707.84 C) $1,165.54 D) $9,334.46
  37. 37. 11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestralA) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78 D) $4,164.2212) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensualA) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87 D) $11,956.18Resuelve el ejercicio.13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Quécantidad habrá luego 300 años?A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.60414) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Quécantidad habrá luego 300 años?A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.13815) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal decarbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida delcarbono 14.A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,26616) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal decarbono- 14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida delcarbono-14.A) 27,429 B)2876 C) 34,262 D)9709
  38. 38. 17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal decarbono-14. ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida delcarbono 14.A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,45318) Un termómetro con una lectura de 11 C se ubica en un salón con una temperaturaconstante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 17 C luego de 6 minutos,encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos.A) 7.91 C B) 18.56 C C) 21.44 C D) 20 C19) Un termómetro con una lectura de 13 C se ubica en un salón con una temperaturaconstante de 20 C. Si el termómetro tiene una lectura de 18 C luego de 6 minutos,encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos.A) 11.350C B) 18.93 C C) 21.07 C D) 20 C20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98 F colocándola en unanevera con una temperatura constante de 35 F. Si la temperatura de la carne bajó a 91 Fen 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52 F?Ley de enfriamiento de Newton:U = T + (U0 – T)ekt : T = Ta + (T0 - Ta)ekt.A) 18 minutos B) 56 minutos C) 3 minutos D) 16 minutos
  39. 39. 93021) La ecuación de crecimiento logístico P(t) = 1 30e 0.348tmodela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas.¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620?A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horas D) 6.02 horas 24022) La ecuación de crecimiento logístico P(t) = 1 59e 0.189trepresenta la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de taños. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie.A) 178 B) 102 C) 240 D) 113
  40. 40. Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares.23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar unainversión en 4 años.A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607%24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa deinterés es de 5.25% compuesto continuo.A) 14.114 años B) 20.926 años C) 6.601 años D) 13.203 años25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa deinterés es de 7.25% compuesto continuo.A) 16.362 años B) 9.561 años C)7.577años D) 15.153 años
  41. 41. Funciones Exponenciales Post-prueba B. Resuelve las siguientes A. Traza la gráfica las de ecuaciones exponenciales siguientes de funciones exponenciales 1. 23 x 6 2x 3 1. f ( x ) 2 x 4x 2 x 4 2. f ( x) 5 x 2. 3 3 x 1 x x 1 3. f ( x ) 3. 9 3 3 x 1 4. f ( x) 3 5. f ( x ) e x
  42. 42. Funciones Exponenciales Respuestas de la pre y post- prueba x A 1. f ( x) 2 y 9 x f(x) 8 7 6 0 1 5 4 1 2 3 2 1 2 4 x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 3 8 -2 -3 1 1 -4 -5 2 -6 2 1 -7 4 -8 -9
  43. 43. Funciones ExponencialesA 2. f ( x) 5 x y x f(x) 0 1 1 5 x 2 25 1 1 5 1 2 25
  44. 44. Funciones Exponenciales x 1 A 3. f ( x) 3 y x f(x) 0 1 1 1 3 1 2 9 x 1 3 2 9
  45. 45. Funciones ExponencialesA 4. f ( x) 3x 1 x f(x) 1 0 3 1 1 2 3 1 1 9 3 9
  46. 46. Funciones Exponenciales A 5. f ( x) e x , e 2.71 y x f(x) 0 1 1 e x 2 2 e 1 1 e 1 2 2 e
  47. 47. Funciones Exponenciales 3B 1. 2 3x 6 2 x 3 x 2 2 B 2. 3 4x 2 3 x 4 x 5 x x 1 B 3. 9 3 x 1
  48. 48. DEFINICIÓN La función f definida por: f x bx , b 0 y b 1 Se llama función exponencial con base b.
  49. 49. GRÁFICA x f x 2 f(x)x 2x 8 7-2 ¼ 6-1 ½ 5 40 1 31 2 2 12 4 x -2 -1 1 2 33 8
  50. 50. GRÁFICA x 1 f(x)f x 2 8x (½)x 7 6-3 8 5-2 4 4-1 2 3 20 1 11 ½ -3 -2 -1 1 2 3 x2 ¼
  51. 51. EN GENERAL: Si b > 1 Si 0 < b < 1 f(x) f(x) f x bx x x x1 x2Si x1 x2 b b Si x1 x2 b x1 b x2 Dom f R Ran f 0,
  52. 52. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL:Es la función exponencial cuya base es igual a“e”, donde e = 2.71828… f(x) 8x ex 7-2 0.14 6 5-1 0.37 40 1 3 21 2.72 12 7.39 -2 -1 1 2 3 x3 20.01
  53. 53. Función Logarítmica: Introducción PREGUNTA DE REFLEXIÓN ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números: a. 1000 ? b. 0,001 ? c. -1000 ? d. 50 ?
  54. 54. LOGARITMO COMÚN (EN BASE 10) y = log x significa 10y = xEjemplos:log 1= 0, Porque 100=1log 0,01 = -2, Porque 10-2=0,01log 10 = ½ , Porque 101/2 = 10
  55. 55. LOGARITMO NATURAL COMÚN (BASE E) y = ln x significa ey = x Ejemplos: ln 1= 0, Porque e0=1 ln 10 = 2,3025… Porque e2,3025…=10 ln ek = k , Porque ek = k
  56. 56. LOGARITMO EN BASE “A” y = loga x significa ay = x  donde a: base y: exponente
  57. 57. FORMAEXPONENCIAL LOGARÍTMICA •32 = 9 •log3 9 = 2 •4-3 = 1/64 •log4 (1/64) = -3 •(1/5)-2 = 25 •log1/5 25 = -2 •103 = 1000 •log 1000 = 3 •e0 = 1 •ln 1 = 0
  58. 58. FUNCIÓN LOGARITMOLa función logaritmo de base a, donde a>0ya 1, se define como: f(x) = logax Observación: 1. Si x1 x2 , entonces loga x1 loga x2 2. Si loga x1= loga x2, entonces x1= x2
  59. 59. GRÁFICAS DE Y = 2X, Y = LOG2 X x y y = 2x1/4 -21/2 -1 2 1 . . y = log 2x 1 0 1/2 . 2 4 1 2 -1 . 0 1/2 1 2 4 -2
  60. 60. GRÁFICAS DE Y = EX, Y = LNX y y x x
  61. 61. GRÁFICA DE Y = LOG1/2 Xx y1/4 2 y = (1/2)x 21/2 1 1 . y = log1/2x12 0 -1 1/2 .4 -2 0 1/2 1 -1 . . 2 4 -2
  62. 62. GRÁFICA DE Y = LOGAX PARA A >1 y = bx De la gráfica: loga1 = 0 b logaa = 1 1 y = log bx loga0 no definido 1 b logax < 0 si x<1 logax > 0 si x>1 Es creciente
  63. 63. FUNCIÓN EXPONENCIAL1. Graficar: y = e-x2. Graficar: y = ex+23. Graficar: y = ex + 34. La población proyectada P de una ciudad 0.05t está dada por: P 100,000e Donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.
  64. 64. FUNCIÓN LOGARÍTMICAGraficar las siguientes funciones, indicando sudominio y rango: 1. y = ln(x-3) 2. y = ln(-x) 3. y = ln(x+1) – 2 4. y = -ln(x+3) + 1

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