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  • 1. XXIX OPM - 1a Eliminatoria - 10.11.2010 - Categoria Junior - 6o /7o ´ ´ Questao 1: ˜ cada opcao correcta: 4 pontos ¸˜Sugestoes para a resolucao dos problemas ˜ ¸˜ cada opcao errada: -1 ponto ¸˜ Questoes 2, 3, 4: 8 pontos cada ˜ S1. (a) Opcao D. ¸˜ (b) Opcao B. ¸˜ (c) Opcao A. ¸˜ E (d) Opcao C. ¸˜2. Considere-se o terreno da Joana na figura seguinte: D G C H A CO ¸ ˜E I J F B Como a area do quadrado ´ [AEIH] mede 4 m2 , entao AE = EI = 2 m. Da mesma forma se conclui que ˜ CG = CF = 3 m. Solucao 1: Assim, HJ ¸˜ = HI + IJ = 2 + 5 = 7 m e IF = IJ + JF = 5 + 3 = 8 m. Logo, a area de [HJGD] ´ mede 7 × 3 = 21 m2 e a area de [EBF I] mede 8 × 2 = 16 m2 . Portanto, a area do terreno plantado com ´ ´ batatas mede 21 + 16 = 37 m2 . Solucao 2: Assim, AB ¸˜ = AE +EB = AE +IJ +JF = 2+5+3 = 10 m e AD = AH +HD = AH +CF = 2 + 3 = 5 m. Portanto, a area do terreno rectangular mede 10 × 5 = 50 m2 . A area do terreno plantado com LU ´ ´ batatas e a area do terreno rectangular menos as areas dos terrenos plantados com alfaces e nabos, ou seja, ´ ´ ´ mede 50 − 9 − 4 = 37 m2 . ¸˜3. Solucao 1: Se houvesse apenas 5 alunos do 7◦ ano, entao haveria apenas 1 aluno do 6◦ ano, ou seja, ao ˜ todo seriam apenas 6 participantes. Se houvesse apenas 6 alunos do 7◦ ano, entao haveria apenas 2 alunos ˜ do 6 ◦ ano, ou seja, ao todo seriam apenas 8 participantes. Continuando esta sequˆ ncia, observa-se que se e houver 16 alunos do 7◦ ano, entao ha 12 alunos do 6◦ ano, ou seja, ao todo ha 28 participantes. Portanto, ˜ ´ ´ participaram 12 alunos do 6◦ ano no torneio. Solucao 2: Como o ultimo aluno do 6◦ ano jogou com todos os alunos do 7◦ ano, entao ha mais quatro ¸˜ ´ ˜ ´ SO participantes do 7◦ ano que do 6◦ ano. Entao, para alem destes 4 alunos a mais do 7◦ ano, existem 24 ˜ ´ participantes, em igual numero do 6◦ ano e do 7◦ ano. Portanto, participaram ´ 24 : 2 = 12 alunos do 6◦ ano no torneio.4. Como a Lu´sa e mais alta do que o Pedro e a diferenca entre as alturas da Lu´sa e da Beatriz e igual a diferenca ı ´ ¸ ı ´ ` ¸ entre as alturas da Beatriz e do Pedro, podemos afirmar que a Lu´sa e mais alta do que a Beatriz e que esta ı ´ e mais alta do que o Pedro. Se o David fosse mais baixo do que a Lu´sa, entao a soma das alturas dos dois ´ ı ˜ rapazes seria inferior a soma das alturas das duas raparigas. Logo o David e mais alto do que a Lu´sa e portanto ` ´ ı e o mais alto dos quatro amigos. ´ spm

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