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  • 1. XXIX OPM - 1a Eliminatoria - 10.11.2010 - Categoria B - 10o /12o ´ Duracao: 2 horas ¸˜ Cada questao vale 10 pontos ˜Justifica convenientemente as tuas respostas e indica os principais calculos. ´Nao e permitido o uso de calculadoras. ˜ ´1. A Patr´cia precisa de comprar canetas. Numa papelaria vendem-se conjuntos de ı 2 canetas por 4 euros e conjuntos de 3 canetas por 5 euros. Qual e a quantia m´nima que a Patr´cia tem que gastar para comprar 40 ´ ı ı canetas?2. Uma maquina tem ´ 2010 componentes ligadas entre si. Cada componente e composta por dois mostradores ´ e pode ter carga completa, meia carga ou carga vazia. Os dois mostradores pretendem indicar o numero de ´ componentes da maquina com carga completa e o numero de componentes da maquina com carga vazia. ´ ´ ´ Quando uma componente tem carga completa, os numeros dos dois mostradores estao correctos; quando ´ ˜ tem meia carga, apenas um dos numeros esta correcto; quando tem carga vazia, nenhum dos numeros esta ´ ´ ´ ´ correcto. Quantas das 2010 componentes tinham meia carga no momento em que os seus mostradores indicavam o seguinte: Completas 1 2 3 4 2009 2010 ... Vazias 1 2 3 4 2009 20103. Na figura seguinte, a circunferˆ ncia e tangente aos lados do triˆ ngulo [ABC] nos pontos A′ , B ′ e C ′ . Sabendo e ´ a que B AC = 20◦ , determina a amplitude de ∡B ′ A′ C ′ . B C′ A′ C A B′4. Efectua-se a adicao 9 + 99 + 999 + 9999 + · · · ate que aparecam exactamente 9999 algarismos 1 na soma ¸˜ ´ ¸ resultante. Quantas parcelas tem a adicao? ¸˜ spm

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