1. 8_Matrizes e Operações com Em cada matriz dos exemplos acima tem ao
lado indicando o número de linhas e o de
Matrizes colunas referente, o primeiro exemplo esta
indicado 2 x 3 que lê-se: a matriz é de ordem
Podemos dizer de forma simplificada que uma dois por três. Assim como no capítulo de
matriz é uma tabela com colunas (vertical) e conjuntos numéricos, cada número pertencente
linhas (horizontal). a uma matriz é considerado seu elemento.
Definição para Sistemas: Matrizes são tabelas Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x
retangulares utilizadas para organizar dados n, como iríamos representá-la?
numéricos, onde cada número é chamado Cada elemento de uma matriz pertence a uma
elemento da matriz, as filas horizontais são linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x
chamadas linhas e as filas verticais são 2:
chamadas colunas
Então chamaremos de matriz toda tabela (m x n)
sendo que “m” e “n” podem assumir qualquer
valor natural menos o zero. Sendo “m” é o
número de linhas e “n” o número de colunas.
O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna.
Para representar uma matriz devemos colocar as O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
linhas e colunas entre parênteses, chaves ou
entre duas barras duplas, observe os exemplos: Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2
onde não temos seus elementos definidos,
Representação Genérica de uma matriz: representamos da seguinte forma:
Onde, a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz
de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º
coluna.
Exemplo:
Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3, tal que ai j = 2i
+ j.
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos
escrevê-la assim:
A=
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11,
a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação
dada no enunciado: ai j = 2i + j.
Então iremos calcular cada elemento sabendo
que:
i é a linha que o elemento pertence.

2. j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1
a11 = 3 a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2
a12 = 4 a22 = 6 (Podendo ser representada por 03 x 2 ).
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 Matriz quadrada
a13= 5 a23 = 7
Matriz quadrada é toda matriz que o número de
Então os elementos que pertencem a matriz A colunas é o mesmo do número de linhas. Por
são:
exemplo:
Uma matriz recebe certo tipo de nome
dependendo da quantidade de elementos em
suas linhas e colunas ou apenas por Quando a matriz é quadrada nela podemos
características específicas. perceber a presença de uma diagonal secundária
e uma diagonal principal.
Matriz linhas
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que
possui apenas uma linha. O número de colunas é
independente. Exemplo:
1x3
Matriz coluna
Matriz diagonal
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz
que possuir apenas uma coluna. O número de Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada
linhas é independente. Exemplo: que os elementos que não pertencem à diagonal
principal sejam iguais a zero. Sendo que os
elementos da diagonal principal podem ser
iguais a zero ou não. Por exemplo:
5x1
Matriz nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que
independentemente do número de linhas e
colunas todos os seus elementos são iguais a
zero. Exemplo:

3. uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos
elementos.
Matrizes iguais ou igualdade de matrizes
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas
poderão ser iguais se somente seus elementos
correspondentes forem iguais.
Matriz identidade
As matrizes A e B são iguais, pois seus
Para que uma matriz seja matriz identidade ela elementos correspondentes são iguais.
tem que ser quadrada e os elementos que
pertencerem à diagonal principal devem ser Matriz Transposta (At)
iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a
zero. Veja o exemplo: É a matriz que se obtém trocando
ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz
dada.
Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então
bij = aij.
Matriz oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B.
Se tivermos uma matriz: Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de
mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij =
bij.
A matriz oposta a ela é:
Propriedades da Igualdade
- Se A = B, então At = Bt
- (At)t = A
Adição e subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B =
É simples: para encontrar a matriz oposta de (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C =

4. (aij)mxn tal que C = aij + bij.
Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de
A subtração de matrizes é dada pela sentença: mesmo tipo, valem as propriedades da
multiplicação de numero real por matriz:
A – B = A + (– B )
1.A = A
(-1).A = -A
0.A = 0
p.(A + B) = p.A + p.B
(p + q).B = p.B + q.B
p.(q.A) = (p.q).A
Propriedades do Produto de Matrizes
Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e
Propriedades da adição de Matrizes supondo as operações abaixo possíveis, temos
que:
a) A + B = B + A (COMUTATIVA) a) A.(B.C) = (A.B).C (associativa)
b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA) b) A.(B+C) = A.B + A.C (distributiva à direita)
c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)
c) (A+B).C = A.C+B.C (distributiva à esquerda)
d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO
OPOSTO)
e) (A + B)T = AT + BT (TRANSPOSTA DA
d) I é a identidade
SOMA)
Multiplicação de número real por matriz e) (A . B) = A . (B) = . (A . B)
f) (A . B)T = BT . AT
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real
Observações Importantes:
k, denomina-se matriz produto do numero real
K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada
1.ª A multiplicação de matrizes não é
um dos seus elementos por k.
comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais
que AB BA.
2.ª Na multiplicação de matrizes não vale o
anulamento do produto, isto é, podemos ter A .
Observe como exemplo a determinação da B = 0 mesmo com A 0eB 0.
matriz 3ª, a partir de
3.ª Não vale também a simplificação, isto é,
podemos ter AB = AC, mesmo com A 0eB
C.
Multiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo “mxn” e B uma
matriz do tipo “nxp”, define-se produto da
matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo
“mxp”, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:

5. Em outras palavras, cada elemento de C é
calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos
elementos correspondentes da coluna j da matriz
B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos.
Veja abaixo:
O produto entre duas matrizes A e B é definido
se , e somente se, o número de “colunas” da
matriz A for igual ao numero de “linhas” da
matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicação de matrizes
é a matriz identidade(I).