Geometria plana
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Geometria plana Geometria plana Document Transcript

  • Matemática Fascículo 02Manoel Benedito Rodrigues
  • ÍndiceGeometria PlanaResumo Teórico .................................................................................................................................1Exercícios ...........................................................................................................................................3Dicas .................................................................................................................................................5Resoluções ........................................................................................................................................6
  • Geometria PlanaResumo TeóricoPrincipais FórmulasLei dos Senos g a b R b a a b c c = = = 2R sena senb sengLei dos Cossenos a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a g a b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos bb a b c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g cRelações Métricas no Triângulo Retângulo h2=m × n b × c=a × h b h c b2=a × m a2=b2 + c2 m n c2=a × n aRelações Métricas no Círculo B P A B AA C P DC P B D TPA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT)2 = PA × PB 1
  • Razões Trigonométricas a b b c b a sen a = , cos a = e tg a = a a c cPolígonos ConvexosSendo n= número de lados; d= número de diagonais; Si= soma dos ângulos internos e Se= soma dos ângulos externos, n(n – 3)temos: d= Si = (n – 2) × 180º e Se = 360º 2Teorema da Bissetriz Interna A b c x y S b c = x yTeorema da Bissetriz Externa A b c c y C S b c B = x y x2
  • Semelhança de Triângulos Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos: A P b H c y h z B C Q R a x a b c H Área DABC = = = =k = k2 x y z h Área DPQR Comprimento da Circunferência R R a l a C = 2pR a em graus: l = ×(2pR) 360º a em radianos: l = aR Áreas Círculo Setor Circular R R R R a a l a ×p ×R2 a ×R2 l ×R A = p ×R2 A= A= A= 360º 2 2 a em graus a em radianos Exercícios01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: a. 50 b. 55 c. 60 d. 80 e. 100 3
  • 02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’ de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’ (ambos medidos em cm), obtém–se 11 a. 6 b. 2 11 c. 3 22 d. 3 e. 11 $03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é: a. 10 b. 15 c. 20 d. 30 e. 4004. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale a. 24 b. 12 5 3 c. 2 d. 6 2 e. 2 305. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m, EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados? a. 37,2 b. 38,2 c. 40,2 d. 41,2 e. 42,2 4
  • 06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a. 6e 3 b. 5e 3 c. 6e 2 d. 6e 5 e. 3e 507. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é a. 3 b. 2 3 c. 4 3 d. 6 3 e. 8 3 Dicas01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo. Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a 2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade da medida do terceiro lado.04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.05. A seguinte figura pode ajudar: Área do retângulo = base x altura 5
  • 06. Note que o triângulo BCD é isósceles. Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD.07. Considere a seguinte figura: Resoluções01. Alternativa e. $ $ $ 1. DBA = D = 1 (alternos internos) $ 2. DABC: 3 é ângulo externo, logo: $ $ $ 3 = 1+2 $ 3 = 45º +55º $ 3 = 100º02. Alternativa c. 360º 110º 55p = Þ AB = cm 2p ×10 9 AB 360º 60º 5p = Þ A B= cm 2p × 5 3 A B 55p AB 11 = 9 = 5p 3 A B 303. Alternativa c. M ponto médio de CD ü 1. ý Þ MN // BD; BD = 4cm N ponto médio de BC þ DADB é equilátero ü $ 2. $ ý Þ DBC = 90º ABC = 150º þ 3. Sendo ABCD a área do DBCD, tem-se: (BC) × (BD) 10 × 4 ABCD = = Þ ABCD = 20cm2 2 2 6
  • 04. Alternativa a. $ 1. Se AB é diâmetro, o ângulo C é reto. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos: AC2 + BC2 = AB2 AC2 + 62 = 102 Þ AC = 8 cm (AC) × (BC) 8 × 6 2. ADABC = = ADABC = 24 cm2 2 205. Alternativa e. 1.a resolução: AI = 6 × 2,5 = 15 m2 AII = 5 × 4,8 = 24 m2 AIII = 4 × 0,8 = 3,2 m2 AT: área total AT = AI + AII + AIII AT = 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2 2.a resolução: Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2 Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2 Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2 Área da sala ABCDEFGH = 51 – 6 – 2,8 = 42,2 m206. Alternativa c. 1. DBCD $ B= 45º Þ BC = 2 dm BD2 = 22 + 22 Þ BD = 2 2 2. DBCD x 3 x cos 30º = Þ = Û x = 6 dm 2 2 2 2 2 y 1 y sen 30º = Þ = Û y = 2 dm 2 2 2 2 2 7
  • 07. Alternativa e Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD. Temos: 1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAAo. Logo, ABCD é trapézio isósceles 2. No triângulo ADE: x 3 x sen 60º = Þ = Û x = 2 3 cm 4 2 4 y 1 y cos 60º = Þ = Û y = 2 cm 4 2 4 3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD 4. Seja A a área do trapézio ABCD (AB + CD) × DE (6 + 2) × 2 3 A= ÞA= Û A = 8 3 cm 2 2 2 8