Prismas
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  • 1. DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS DE LA BASE: Sólidos limitados por una superficie prismática o  Prisma Triangular si la base es un triángulo. piramidal y 2 planos paralelos secantes ó 1 plano  Prisma Cuadrangular si la base es un cuadrilátero. secante respectivamente  Prisma Pentagonal si la base es un pentágono.  Prisma Hexagonal si la base es un hexágono.  Prisma Heptagonal si la base es un heptágono. Prisma  Prisma Octogonal si la base es un octógono y así sucesivamente - Recto Paralelepípedo - Oblicuo PARALELEPIPEDO - Irregular Es el prisma cuyas caras - Regular son paralelogramosOBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la CLASES:capacidad de:  Deducir las características principales del prisma. RECTOEDRO: Es el paralelepípedo formado por seis  Establecer las relaciones para el cálculo del área rectángulos, sus dimensiones se denominan largo, ancho y el volumen del prisma. y alto:CONCEPTO:Es aquel sólido formado por dos polígonos iguales yparalelos llamados BASES y por paralelogramosLATERALES. Es el sólido o poliedro limitado por lasuperficie prismática cerrada y por dos planos paralelos ysecantes a dicha superficie los cuales son polígonos Diagonal de la basecongruentes.CLASES: EXAEDRO REGULAR O CUBO:Es el paralelepípedo formado por seis cuadrados iguales.Existen los siguientes tipos: Arista: a PRISMA OBLICUO: Es Diagonal de una cara: a 2 el que tiene sus aristas Diagonal de cubo: a 3 laterales oblicuas con respecto a la base. B C A D PRISMA RECTO: ROMBOEDRO: Es el paralelepípedo cuyas bases sonEs el que tiene sus aristas F E rombos aLlaterales perpendiculares a B´ C´las bases. A´ D´ ÁREAS Y VOLUMEN DE UN PRISMA P F´ E´ PRISMA RECTO PRISMA REGULAR: Es aquel prisma cuyas BEs el que tiene como base a un aristas laterales sonpolígono regular. perpendiculares a las basesEjemplo: El prisma cuadrangularregular B PRISMA CÓNCAVO :Cuando la base es un  ÁREA LATERAL ( A L ): AL=Pbxapolígono cóncavo. Es igual al perímetro de la base por la arista
  • 2. El área total es el duplo de la suma de las combinaciones ÁREA TOTAL ( A T ): A T = A L + 2Sb binarias de sus 3 dimensiones. Es igual al área lateral más dos veces el área de la  VOLUMEN ( V ) : V = a.b.cbase El volumen es el producto de sus 3 dimensiones: largo VOLUMEN ( V ): V=Sbxh (a), ancho (b) y alto (c). El volumen es el producto del área de la base (S b ) pora altura. EXAEDRO REGULAR PRISMA OBLICUOEs aquel cuyas arista Es el sólido formado por seislaterales son oblicuas a las cuadrados iguales, tiene dos clasesbases SR de diagonales: ÁREA LATERAL ( A L ) : ÁREA LATERAL ( AL ) : A L = 4a 2 A L = PS.R. x a El área lateral es igual a cuatro veces su arista alEs igual al perímetro de la sección recta por la arista cuadrado ÁREA TOTAL ( A T ): A T = A L + 2Sb ÁREA TOTAL ( A T ): A T = 6a 2Es igual al área lateral más dos veces el área de la base El área total es igual a seis veces su arista al cuadrado. VOLUMEN ( V ) : V=SbxhEl volumen es el producto del área de la base (S b ) por aaltura. VOLUMEN ( V ) : V=a3 El volumen es igual a su arista al cubo VOLUMEN ( V ) : V = A S.R. x aEl volumen también es el producto del área de su sección TRONCO DE PRISMArecta (A S.R.) por la arista lateral (a). CONCEPTO: Es el sólido que se obtiene al RECTOEDRO cortar a un prisma con un plano que no es paralelo a sus bases. Por ejemplo el tronco ABCDEFGH.Es el prisma cuyas bases son rectángulas TRONCO DE PRISMA RECTO Es la porción de un prisma recto limitado por una de sus bases y un plano no paralelo a DIAGONAL ( D ) : D2 = a2 + b2 + c2 dicha base Es el cuadrado de su diagonal es igual a la suma delos cuadrados de sus 3 dimensiones.  ÁREA LATERAL ( A L ): ÁREA LATERAL ( A L ) : A L = 2 (ac + b c) El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios laterales. El área lateral es el doble de la suma del producto de laaltura por el largo y por el ancho.  ÁREA TOTAL ( A T ): A T = AL + S1 + S2 El área total es la suma del área lateral (AL) y de las ÁREA TOTAL ( A T ): A T = 2 (ab + ac + bc) áreas de las 2 bases (S1 y S2)
  • 3. 3. Si las aristas de un cubo se aumenta respectivamente VOLUMEN ( V ) : en 2,4 y 6 el volumen del sólido obtenido excede enSolo si el tronco es 3 V = S1 a b c 568 m , al volumen del cubo dado. Hallar la longitudtriangular, el volumen es 3 de la diagonal de este cubo.igual al área de la base por lamedia aritmética de las 3 a) 5 3 b) 2 3 c) 5aristas laterales, perpendiculares a dicha base. d) 3 e) 2 3 TRONCO DE PRISMA OBLICUO 4. La altura de un prisma triangular es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. Determinar el volumen del prisma si el producto de los 3 lados de la base es 36. a) 14 b) 22 c) 20 d) 18 e) 10 5. Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular son entre sí como 3,4 y 12 ÁREA LATERAL ( A L ) : respectivamente. Su diagonal mide 6,5 m. Hallar suEl área lateral es la suma de las áreas de los trapecioslaterales. área total. a) 24 b) 32 c) 40 d) 48 e) 50 ÁREA TOTAL ( A T ): A T = A L + S 1 + S2 El área total es la suma del área lateral (SL) y de las 6. La diagonal de un rectoedro mide 10m. y su área totaláreas de las 2 bases (S1 y S2) 2 es 261 m . Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas. VOLUMEN ( V ) : b c a V = S SR 3 a) 70 b) 74 c) 76EL volumen del tronco oblicuo triangular es igual al d) 80 e) 82producto del área de la sección recta por la mediaaritmética de las 3 aristas laterales, "a", "b" y "c". 7. En una piscina de 40m. de largo 12. de ancho y 3,5 m. de alto se introducen 720000 lts. de agua. ¿A qué distancia del borde llega el agua? PROBLEMAS PROPUESTOS a) 1m b) 2m c) 0,5m d) 3 m e) 4m1. Si a, b y c son las dimensiones de un paralelepípedo 8. Si las aristas de un cubo se aumentan rectangular, calcular el área total si: respectivamente en 1; 3 y 5 m, el volumen del I. a + b + c = 12 m 3 2 2 2 2 paralelepípedo obtenido excede en 477 m al II. a + b + c = 50 m 2 2 2 volumen del cubo dado. Hallar la longitud de la a) 94 m b) 102 m c) 64 m 2 2 d) 44 m e) 78 m diagonal de este cubo. a) 7 3 m b) 8 3 m c) 6 3 m2. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es d) 5 3 m e) 9 3 m falso. I. Todo prisma recto es regular. 9. Calcular el volumen de un prisma triangular regular II. Solo el prisma recto puede ser regular. cuya altura mide 6 3 , y el desarrollo de su III. En un prisma regular, la base es un polígono superficie lateral tiene por diagonal 12 . regular. a) 18 3 b) 16 3 c) 30 3 3 3 a) FVV b) FFV c) FVF d) 32 e) 40 d) VFV e) FFF
  • 4. 10. La base de un prisma es un cuadrado de lado 4; y su 17. La base de un prisma oblicuo es un hexágono regular altura es igual al perímetro de la base. Hallar su de 5 m de lados, en la que las aristas laterales miden o volumen. 10 m y forman 60 con la base. Determinar el volumen a) 32 b) 156 c) 256 del prisma. d) 64 e) 128 3 3 3 a)560m b) 561,5m c)562,5m 3 3 d)564,5m e)567,5 m 311. En un recipiente cubico que contiene 42 cm de agua se introduce un cubo macizo de tal manera que el 18. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular, 2 agua se eleva hasta enrazar el nivel del recipiente. Si el área de la superficie totales 180 m la diagonal de la la arista del cubo macizo es igual a la mitad de la base mide 10 m y la suma de las longitudes de las tres arista del recipiente, hallar el volumen del recipiente. dimensiones es 17 m. 3 3 3 3 3 3 a) 48 m b)30 m c) 44 m a)148 m b)150 m c) 144 m 3 3 3 3 d) 28 m e) 32 m d)124 m e) 180 m12. Un paralelepípedo rectangular tiene un volumen de 60 19. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular 3 m , la suma de las longitudes de todas sus aristas es sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones 2 2 de 48 m y su área lateral es 70 m . Hallar las se hallan en progresión aritmética y que ellas suman 2 longitudes de sus dimensiones. 18m. su área total es 208m 3 3 3 a) 5,4,3 b) 6,3,2 c) 7,2,1 a) 192 m b) 190 m c) 184 m 3 3 d) 5,4,4 e) 6,3,3 d) 194 m e) 180 m13. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular, 20. En un paralelepípedo rectángulo el área de la base es 2 2 el área de la superficie total es 180 m . La diagonal de 60m , la suma de las longitudes de todas las aristas es la base mide 10m., la suma de las longitudes de las 3 96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de 2 dimensiones es 17m. sus tres dimensiones es 200m . Hallar la longitud de la 3 3 3 a) 120 m b) 130 m c) 144 m altura del sólido. 3 3 d) 128 m e) 132 m a) 8 m b) 6 m c) 7 m d) 4 m e) 10 m14. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular, sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones 21. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular si se hallan en prog. aritmética y que ellos suman 18m. su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45º 2 Su área total es 208m con la base y un ángulo que mide 30º con una de la 3 3 3 a) 190 m b)192 m c)194 m cara lateral. 3 3 d)196 m e)198 m 3 3 3 a)125 2 u b)148 2 u c)136 2 u 3 315. las diagonales de tres caras diferentes de un d) 125 3 u e) 148 3 u paralelepípedo rectangular miden 61 , 22. El producto de las longitudes de todas las aristas 74 y 85 .calcular su volumen. básicas de un prisma triangular es de 9m y la altura a) 214 b) 220 c) 210 del solido es el doble del diámetro de la circunferencia d) 218 e) 120 circunscrita a la base. Calcular el volumen del sólido. 3 3 316. ¿Cuál es el volumen de un prisma oblicuo si la sección a) 4 m b) 1 m c) 3 m 3 3 d) 14 m e) 5 m recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3m. 2 de radio y el área lateral del sólido es 28 m . 23. Se tiene un prisma triangular ABC – DEF, si 2 (AB) = a) 38 b) 42 c) 60 d) 52 e) 64 BE, calcule m entre AE y BF. a) 30º b) 80º c) 60º d) 150º e) 100º