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  • 1. 1<br />Cap III<br />Teoremas Eléctricos<br />
  • 2. 2<br />3.1 introducción<br />Los teoremas de redes complementan los métodos de análisis de circuitos eléctricos explicados en capítulos anteriores.<br />Teorema de Superposición de Fuentes:<br />El voltaje o la corriente sobre un elemento es igual a la suma de cada una de las respuestas obtenidas de cada fuente independiente, actuando separadamente de las otras fuentes.<br />El Teorema de Thevenin y el de Norton:<br />Desde el punto de vista de un par de nodos, un circuito puede ser sustituido por:<br />Una fuente de tensión y una resistencia serie equivalente<br />Una fuente de corriente y una resistencia en paralelo equivalente.<br />Los demás teoremas presentan formas de manipular los circuitos para poder simplificar el análisis.<br />Antes de iniciar con los teoremas sobre redes debemos tener en claro que la mayoría de los teoremas solo son utilizables cuando la red es lineal; hasta ahora los circuitos que se han analizado tienen como característica que se componen de resistencias, fuentes independientes y dependientes de voltaje y fuentes independientes y dependientes de corriente; y que estos elementos solo se han trabajado con características lineales.<br />
  • 3. 3<br />3.2 teorema de superposición<br />En cualquier circuito resistivo lineal que contenga dos o más fuentes independientes, cualquier voltaje o corriente del circuito puede calcularse como la suma algebraica de todos los voltajes o corrientes individuales originados por cada fuente independiente actuando por sí sola, es decir, con todas las demás fuentes independientes eliminadas.<br />El termino "eliminar" las fuentes es lo <br /> mismo que decir llevarlas a cero,<br /> según esto al eliminar una fuente de<br /> voltaje se esta diciendo que la dife-<br /> rencia de potencial o voltaje entre<br /> las dos terminales del elemento es<br /> es igual a cero lo que sería dicho de otra forma un cortocircuito, como se muestra en la figura a.<br />El termino "eliminar" una fuente independiente de corriente es lo mismo que decir, que entre los terminales de esta; pasa una corriente eléctrica igual a cero, en otras palabras se tendría un circuito abierto.<br />Eliminar una fuente de voltaje  v=0. Eliminar una fuente de corr.  i=0<br />
  • 4. 4<br /><ul><li>Por el principio de superposición, la corriente que circula por la resistencia de 2 Ohms es igual a:
  • 5. I = I’ + I’’
  • 6. I = 1.075+2.48 = 3.555A</li></ul>3.2.1 ejemplo<br />
  • 7. 5<br />3.3 teoremas de thevenin y norton<br />Los teoremas de Thevenin y Norton pueden ser considerados generalizaciones de los conceptos hasta aquí estudiados, ellos demostraron que cualquier circuito lineal tiene un circuito equivalente, compuesto de una resistencia equivalente y una fuente independiente; como se muestra en la figura.<br />El circuito lineal de la figura, se<br /> puede tener cualquier número<br /> de resistencias y fuentes, no<br /> importa si son dependientes o<br /> independientes, lo importante <br /> es que si a cualquiera de los tres<br /> circuitos se le conecta la misma<br /> carga (resistencia de carga o un<br /> circuito cualquiera), tanto el voltaje entre sus terminales como la <br /> corriente que circule por estos deben ser idénticos.<br />
  • 8. 6<br />3.3.1 deducciones para thevenin y norton 1<br />Analizando el circuito a, se<br /> puede decir que:<br />Vth = Rth * Ith + Vab<br />Dado que por R∞ no puede<br /> pasar ninguna corriente,<br /> entonces se tiene: <br />Vth = Vab = V ∞<br />El termino V ∞ es el llamado voltaje de circuito<br /> abierto (open circuit), de la figura b se observa: Vab = Rn * In<br />Dado que por R ∞ no puede pasar ninguna corriente entonces toda pasa por RN, entonces en conclusión se puede decir:<br />Vth = Vab = V ∞ = Rn * In<br />Esto significa que la fuente de tensión en el circuito equivalente Thevenin tiene el valor de voltaje de la tensión de circuito abierto.<br />
  • 9. 7<br />3.3.2 deducciones para thevenin y norton 2<br />Ahora colocamos en los circuitos<br /> equivalentes una resistencia de<br /> valor cero, o un corto circuito.<br />En el circuito a<br /> se tiene que:<br />Isc = Vth / Rth<br />Donde Isc es la llamada corriente de corto circuito (short circuit)<br />En el circuito b, se observa que toda la<br /> corriente suministrada por la fuente se<br /> va por el corto circuito:<br />Isc = In = Vth/ Rth<br />Vth = In*Rn<br />Se concluye que la fuente de corriente en el circuito<br /> equivalente Norton, tiene la corriente de corto<br /> circuito, si igualamos las ecuaciones tenemos:<br />Vth = In * Rth = In * Rn, entonces: Rth = Rn<br />Thevenin como fuente de tensión. Norton como fuente de corriente<br />
  • 10. 8<br />3.3.3 conclusiones thevenin y norton<br />La resistencia en serie del circuito equivalente Thevenin es idéntica a la resistencia en paralelo del circuito Norton.<br />Para poder hallar el valor de la resistencia equivalente se pueden seguir los siguientes pasos:<br />Igualar a cero todas las fuentes independientes internas de la red sustituyéndolas por corto circuitos o circuitos abiertos según corresponda.<br />Determinar la resistencia equivalente vista desde los terminales, para ello utilizamos métodos de reducción de circuitos sencillos.<br />Si existen fuentes dependientes, se dejan invariables y se conecta entre los terminales una fuente independiente de corriente (Io) de valor 1 A y se halla el valor de voltaje (Vo) sobre estos terminales, luego se halla la resistencia equivalente a partir de la siguiente ecuación:<br />Rth = Vo / Io<br />Se puede observar que también se puede utilizar una fuente independiente de voltaje de valor 1 V, y que después se halla el valor de la resistencia equivalente simplemente hallando el inverso del valor de la corriente obtenida.<br />Se concluye que el valor de la fuente de tensión en el circuito equivalente de Thevenin tiene la tensión de circuito abierto y la fuente de corriente en el circuito equivalente de Norton tiene la corriente de corto circuito.<br />
  • 11. 9<br />En el circuito de la figura, se desea conectar sucesivamente resistencias de 5 y 10 Ohms a los terminales AB. Determinar la potencia suministrada a cada resistencia (para la de 5 y la de 10 Ohms independientemente).<br />I = (20-10) / (5+15) = 0.5 A<br />V5 = 0.5*5 = 2.5V<br />VAB = V10 + V5 = 10 + 2.5 = 12.5 V<br />Rth = (5*15)/(5+15) = 3.75 Ohms<br />Con RL = 5 Ohms:<br />I = 12.5 / (3.75+5) = 1.43A<br />P = I2 * R5 = 1.432 * 5 = 10.2W<br />Con RL = 10 Ohms:<br />I = 12.5 / (3.75+10) = 0.91A<br />P = I2 * R10 = 0.912 * 10 = 8.26W<br />3.3.4 ejemplo<br />
  • 12. 10<br />En muchas aplicaciones eléctricas, se desea<br /> encontrar la potencia máxima suministrada.<br />Se utiliza el concepto de transferencia de<br /> máxima potencia.<br />Se tiene un circuito lineal del cual se<br /> desea obtener la máxima potencia posible, para esto se coloca una resistencia de carga RL. Normalmente la carga es una resistencia o circuito que se desea alimentar.<br />El objetivo es encontrar el valor correcto de RL con el cual se puede maximizar la potencia, para encontrar este valor se hace lo siguiente: <br />Como primer paso se reemplaza el circuito lineal por su equivalente Thevenin.<br />Luego se encuentra el valor de la función de potencia disipada para RL, para esto se encuentra el valor de Vo por división de voltaje.<br />La potencia disipada entonces es igual a:<br />PRL = Vo2/RL = Vth2/RL * RL2/ (Rth+RL)2 = RL * Vth2 / (Rth+RL)2 <br />Para hallar el máximo de PRL se halla su derivada con respecto a RL y se la iguala a cero<br />δPRL/ δRL = Vth2 * [ ( (Rth+RL)2 – 2*RL*(Rth+RL) ) / (Rth+RL)4 ]= 0<br />Como ni Vth, ni el termino que se encuentra dividiendo pueden ser iguales a cero:<br />0 = (Rth + RL)2 – 2 * RL * (Rth + RL) = Rth2 + 2*Rth*Rl + RL2 -2*RL*Rth – 2*RL2 = Rth2 – RL2 <br />Rth2 = RL2<br />Conclusión:<br />Para obtener la máxima transferencia de potencia de un circuito o fuente, el valor de la resistencia de carga debe ser igual a la resistencia equivalente o resistencia Thevenin del circuito interno.<br />3.4 teorema de máxima transferencia de potencia<br />
  • 13. 11<br />3.5 transformación de fuentes<br />En capítulos anteriores definimos las fuentes independientes considerando que eran ideales.<br />Una batería de 12V ideal suministra estos 12V independientemente de la carga que se encuentra conectada entre sus terminales.<br />Sin embargo, una fuente real de 12V suministra 12V cuando sus terminales se encuentran en circuito abierto y menos de 12V cuando entre estos se encuentra pasando una corriente.<br />Esto revela que la fuente de voltaje tiene una caída de voltaje interna, y esta caída disminuye el voltaje entre los terminales.<br />
  • 14. 12<br />3.5.1 fuente de voltaje real<br />Una fuente real de voltaje (vg con Rg), conectado a una resistencia de carga RL. Basándonos en este modelo vemos que la fuente esta conformada por una fuente (vg) ideal en serie con una resistencia interna (Rg), el voltaje v visto por la resistencia de carga es igual a: v = vg + Rg * i<br />En el caso de circuito abierto (i=0) se tiene que v = vg, y bajo condiciones de corto circuito i = vg/Rg<br />Teniendo en cuenta que Rg siempre es mayor que cero en una fuente verdadera, la fuente nunca podría entregar una corriente infinita.<br />En una fuente dada, con los valores vg y Rg seleccionados, la resistencia de carga RL es la que determina el flujo de corriente entre las terminales, debido a que: i = vg / (Rg+RL), y aplicando un divisor de voltaje se tiene: v = RL*vg / (Rg+RL)<br />Por lo tanto cuando se varia RL tanto i como v varían.<br />En la gráfica inferior vemos, la diferencia entre la conducta de una fuente de voltaje ideal y una real.<br />Al aumentar el valor de RL, el valor de v se acerca al valor de vg y cuando RL sea infinita (circuito abierto), el valor de v es igual al de vg.<br />
  • 15. 13<br />3.5.2 fuente de corriente real<br />Se puede remplazar la fuente real de voltaje por una fuente real de corriente, escribiendo:<br />i = vg/Rg – v/Rg<br />Si se hace:<br />ig = vg/Rg<br />Entonces se tiene:<br />i = ig – v / Rg<br />Ahora el circuito escrito por la anterior ecuación, seria como el de la figura superior.<br />Las figuras tanto de la fuente real de voltaje como la de la fuente real de corriente son equivalentes entre terminales, si Rg es igual en ambos casos y se cumple que:<br />ig = vg / Rg<br />Y si se hace un divisor de corriente para obtener i, se encuentra la siguiente ecuación:<br />i = Rg*ig / (Rg+RL)<br />Si se varia RL con respecto a la corriente, se puede obtener la gráfica (inferior) del comportamiento de la fuente real de corriente.<br />Como se puede observar, la fuente ideal a medida que la resistencia de carga aumenta, disminuye la cantidad de corriente que puede suministrar.<br />
  • 16. 14<br />3.6 Transformación Y-Δ, Δ-Y<br />Algunas veces los circuitos presentan una configuración tal que se presentan configuraciones en estrella o en delta.<br />Para simplificar los circuitos se puede hacer una transformación a conveniencia de Y a Δ o viceversa.<br />En ambos casos los elementos externos a las resistencias (impedancias) involucradas permanecen intactos desde los puntos X, Y y Z de acuerdo a la gráfica siguiente:<br />
  • 17. 15<br />3.6.1 ejemplo<br />

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