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  1. 1. Pr´tica 1: Medidas e Desvios a0.1 Introdu¸ao c˜ O objetivo de uma ciˆncia ´ entender o mundo no qual vivemos, em rela¸˜o a algum e e caaspecto bem determinado. Para isto n˜o basta a simples observa¸˜o. Poder´ a ca ıamos fazer umaanalogia entre a natureza e um jogo, ambos com regras complexas e desconhecidas. Cabe,ent˜o, aos pesquisadores descobrirem estas regras, ou leis da natureza. Para descobrir atais leis, atrav´s da pesquisa experimental, faz-se necess´ria uma combina¸˜o de observa¸˜o, e a ca caracioc´ınio e experimenta¸˜o, que s˜o as etapas do M´todo Cient´ ca a e ıfico de trabalho. O M´todo Cient´ e ıfico pode ser resumido, de forma simples, `s seguintes etapas: a i. o primeiro passo ´ a observa¸˜o; e ca ii. realiza-se um conjunto de experiˆncias com o objetivo de isolar o fenˆmeno que se quer e o estudar. Com isso, pode-se observ´-lo in´meras vezes, identificando (separadamente) a u os fatores que s˜o respons´veis ou que, de algum modo, interferem no fenˆmeno; a a o ´ iii. nesta etapa surgem as hip´teses de trabalho. E neste momento que, com base nas o observa¸˜es, o pesquisador tenta inferir as leis que regem o fenˆmeno em estudo, ou as co o “regras do jogo”. O pesquisador precisa fazer abstra¸˜es, eliminando de sua pesquisa co aqueles fatores n˜o essenciais, de modo a simplificar o problema; a iv. finalmente, as hip´teses elaboradas s˜o testadas com novos experimentos. Uma boa o a teoria deve apresentar as seguintes caracter´ ısticas: a) ser capaz de explicar um grande n´mero de fenˆmenos com o menor n´mero u o u poss´ de leis f´ ıvel ısicas; b) ter o poder de previs˜o de novos fenˆmenos, os quais possam ser observados a o (testados). No estudo de um fenˆmeno f´ o ısico ´, portanto, fundamental a realiza¸˜o de medidas. A e camedida de grandezas f´ ısicas nos permite obter informa¸˜es acerca de como estas podem, ou con˜o, estar correlacionadas, caracterizando o fenˆmeno que se quer estudar. a o ´ E importante que, qualquer medi¸˜o que fazemos de uma grandez f´ ca ısica ser´ sujeita a aerros de v´rias fontes. Uma classifica¸˜o de erros poss´ os divide em trˆs tipos: a ca ıvel e(1) precis˜o do instrumento de medi¸˜o: a ca(2) erro humano:(3) erro sistem´tico. a Nesta experiˆncia a preocupa¸˜o principal ´ com os erros (ou desvios) causados pela e ca eprecis˜o finita do instrumento de medi¸˜o. Qualquer instrumento de medi¸˜o tem associ- a ca caado com ele uma precis˜o. Por exemplo, se estamos utilizando uma r´gua graduada em a emil´ ımetros (ou seja, com precis˜o de mil´ a ımetros), como mostra a figura 1, para medir umcomprimento provavelmente a melhor que podemos esperar ´ saber o comprimento para o emil´ ımetro mais pr´ximo. o 0
  2. 2. Figura 1: Medida de comprimento usando uma r´gua graduada em mil´ e ımetros. e ´ No exemplo acima, sabemos que a medida ´ entre 1,3 e 1,4 cm. E razo´vel, ent˜o, a aescrever que, qualquer que seja o comprimento “correto”, esse comprimento ´ 1, 35 ± 0, 05 ecm. Esse express˜o abrange um intervalo de valores entre 1,3 e 1,4 cm, com 1, 35 cm sendo ao que podemos chamar a melhor estimativa do comprimento. Os bons fabricantes de instrumentos de medida tomam o cuidado de n˜o marcar mais asubdivis˜es do que a precis˜o do instrumento permite. Por isso, podemos considerar, em o ageral, que o desvio (ou erro) introduzido pelo instrumento numa leitura ´ de aproximada- emente metade da menor divis˜o da escala do instrumento. A este desvio d´-se o nome a ade desvio avaliado ou erro absoluto. Uma unica medida deve ent˜o ser expressa como ´ a(melhor estimativa ± desvio avaliado) unidade. Erros e Algorismos Significativos Um erro absoluto deve apresentar um unico algarismo significativo. O motivo ´ que, ´ ese esse algarismo significativo j´ joga duvida sobre o d´ a ıgito correspondente na medida, opr´ximo algarismo do erro faz com que o pr´ximo d´ o o ıgito da medida possa assumir qualquervalor. Esse digitos, ent˜o, n˜o contˆm informa¸˜o util e podem (devem) ser ignorados. a a e ca ´ Assim nunca devemos escrever que uma medida ´ 13, 56±0, 24 unidades. Arredondamos eo erro para um algarismo significativo (no caso 0, 24 → 0, 2) e arredondamos o d´ ıgito na casacorrespondente da medida (o primeiro depois da v´ ırgula) escrevendo o resultado da medi¸˜o cacomo 13, 6 ± 0, 2 unidades. Arredondamento Sempre arredonda para o d´ ıgito mais pr´ximo. Leve em considera¸˜o todos os d´ o ca ıgitossubseq¨entes. Se vocˆ tem que arredondar um 5 (seguido somente por zeros), arredonde u epara o d´ıgito par mais pr´ximo. o Exemplos de arredondamento para a primeira casa decimal.12, 43 → 12, 412, 47 → 12, 512, 349999 → 12, 312, 350001 → 12, 412, 350000 → 12, 4 Opera¸oes com erros e desvios c˜Soma e Subtra¸ao com Erros: c˜Consideramos duas medidas, x com um erro absoluto, ∆x e y com seu erro absoluto ∆y.Queremos considerar o intervalo de valores poss´ ıveis da soma “x + y”. N˜o ´ dificil ver que o a emaior valor poss´ da soma ´ x + y + ∆x + ∆y e o menor valor poss´ ´ x + y − ∆x − ∆y. ıvel e ıvel ePodemos dizer que o resultado da soma, levando em conta os erros, ´ e x + y ± (∆x + ∆y),ou seja o erro absoluto da soma ´ a soma dos erros absolutos de suas componentes. e 1
  3. 3. Da mesma maneira, o menor valor poss´ da diferenc,a ´ x − y − ∆x − ∆y e o maior ıvel ex − y + ∆x + ∆y. Outra vez podemos escrever o resultado com x − y ± (∆x + ∆y),que abrange todos os valores da diferen¸a consistentes com os erros em x e y. c Devemos lembrar que, ao escrever o resultado de nosso c´lculo, o erro absoluto final s´ a odeve conter um algarismo significativo, sendo arredondado se for necess´rio. A posi¸˜o do a caultimo algarismo significativo da resposta (antes ou depois da v´´ ırgula) deve ser a mesma doalgarismo significativo no erro. ExemploUma balan¸a de padaria tem precis˜o de 6g (ou seja o peso real ´ o peso marcado ±6 g). c a eNessa balan¸a um bolo “pesa” 306g e uma torta “pesa” 420g. Quais os pesos poss´ c ıveis dosdois juntos? Bem, sabemos que o peso da bola pode ser qualquer valor entre 300g e 312g. Chamandoo peso do bolo x, x = (306 ± 6) gDa mesma maneira, o peso da torta, y, ´ e y = (420 ± 6) g.Portanto os dois juntos podem pesar (306 + 420) ± (6 + 6) = 726 g ± 12 g.Mas nosso erro s´ deve ter um algarismo significativo. Portanto o erro que deve ser apre- osentado com ±10 g. Assim o algarismo significativo do erro ´ o segundo antes da virgula. eAssim o ultimo algarismo significativo do resultado tamb´m deveria ser o segundo antes da ´ ev´ırgula. Olhando a nosso c´lculo temos que arredondar 726 para 730. Finalmente o resultado a´ apresentado comoe 730 g ± 10 g. Erros relativos e percentuais ` As vezes ´ util ter uma no¸˜o de qu˜o grande ´ nosso erro em rela¸˜o ` medida. Um e´ ca a e ca aerro de ±1 m pode ser grande quando estamos medindo o comprimento de uma sala, masseria considerado um muito pequeno na distˆncia entre Rio e S˜o Paulo. Assim temos o a aconceito de erro relativo de uma grandeza, que ´ simplesmente o raz˜o entre o erro absoluto e ana medida dividido por seu valor. Destacamos que, outra vez, nos erros relativos devemconstar somente um algarismo significativo. Assim o erro relativo no peso do bolo acima ´ e 6 = 0, 0196 . . . = 0, 02. 306O erro percentual ´ simplesmente o erro relativo vezes 100%. Assim o erro percentual no epeso do bolo ´ 0, 02 × 100% = ±2%. e Multiplica¸ao e Divis˜o com Erros c˜ a Muitas vezes precisaremos calcular o produto de duas (ou mais) grandezas, cada umacom seu pr´prio erro. A regra simples de somar os erros absolutos n˜o funciona neste caso. o a 2
  4. 4. Por´m existe uma regra parecida e simples de decorar, que rapidamente fornece o erro correto ena maioria dos casos. O erro RELATIVO de um produto (ou divis˜o) ´ igual ` soma dos erros a e aRELATIVOS das suas componentes. Esta regra funciona com boa precis˜o quando os erros relativos das componentes s˜o a a“pequenos”. Podemos ver porque ao elaborar o produto de x + ∆x com y + ∆y. (x + ∆x)(y + ∆y) = xy + y∆x + x∆y + ∆x∆y = xy + erro absoluto.Ora o erro relativo no produto ´ a raz˜o entre o erro absoluto e o valor do produto, xy, ou e aseja y∆x + x∆y + ∆x∆y ∆x ∆y ∆x ∆y erro relativo = = + + . xy x y x yPodemos indentificar os trˆs termos dessa soma como e1) o erro relativo em x,2) o erro relativo em y,3) o produto dos erros relativo em x e y. Se os erros relativos das componentes x e y s˜o pequenos, digamos 0,1 e 0,1 respecti- avamente o produto desses erros ´ s´ 0,01 e desprez´ e o ıvel. E olha que erros de 10% n˜o s˜o t˜o a a apequenos assim! Exemplo Medimos o comprimento, c, e a profundidade, p, de uma mesa com ummetro btendo os valores c = (1, 51 ± 0, 02) m, d = (0, 76 ± 0, 02) m.Qual ´ a melhor estimativa da ´rea da mesa, e o erro nesse valor? e a A melhor estimativa da ´rea ´ simplesmente o produto cp ou seja 1, 1476 m2 . Este a evalor ainda precisa ser ajustado para levar em conta os erros de medi¸˜o. O erro relativo em cac ´ 0, 02/1, 51 = 0, 013245033 e em p ´ 0, 026315789. Portanto a soma dos erros relativos ´ e e e0, 039560823. O erro (absoluto) no produto ´, portanto, e 0, 039560823 × 1, 1476 = 0, 0454 m2 .Antes de apresentar nosso resultado na sua forma definitiva, arredondamos o erro para umalgarismo significativo 0, 0454 → 0, 05. J´ que o erro est´ no segunda casa ap´s a v´ a a o ırgula,arredondamos o produto para concordar 1, 1476 → 1, 15 e apresentamos a ´rea como a A = 1, 15 m2 ± 0, 05 m2 .Experiˆncia 1: Precis˜o de Instrumentos e a Consideremos, por enquanto, a grandeza de comprimento e a sua medi¸˜o. Medir caum determinado comprimento significa compar´-lo com outro, escolhido previamente como apadr˜o (de medida). Este processo ´ comum a qualquer medi¸˜o. Assim, toda medida a e capressup˜e uma unidade b´sica a ser escolhida, sendo portanto arbitr´ria. o a a Podemos escolher qualquer cromprimento (desde que n˜o mude) como sendo uma aunidade padr˜o de medida para a grandeza (comprimento). a 3
  5. 5. 1. Tome como unidade de medida a tiras de cartolina distribu´ ıda. Escolha um nome para sua unidade de medida.2. Me¸a o comprimento, a largura e o diagonal da superf´ superior de sua bancada c ıcie usando esta tira como instrumento de medida.3. Quais s˜o sua melhores estimativas das dimens˜es da bancada em termos da sua a o unidade de comprimento, e quais s˜o os erros (absolutos) associados? a4. Calcule o perimetro e a ´rea da superf´ da bancada, em termos a unidade de com- a ıcie primento utilizada, bem com os erros absolutos das duas grandezas, usando as regras acima.5. Defina agora subm´ltiplos da sua unidade de comprimento, dividindo-a em 10 partes u iguais (utilize 11 pautas da folha de caderno). Cada peda¸o corresponder´ a um d´cimo c a e da unidade original.6. Me¸a novamente o comprimento, largura e diagonal da sua bancada. Expresse os c resultados (com erros) em termos da unidade de medida e de d´cimos desta. Compare e a precis˜o deste resultado com a precis˜o do resultado do item (4). Calcule o perimetro a a e a ´rea da superf´ da bancada, com erros absolutos. Compare os erros absolutos e a ıcie relativos com os obtidos no item (4).7. Calcule o valor esperado para o diagonal usando o comprimento, a largura e o teorema de Pitagoras. O resultado ´ igual ao valor que vocˆ mediu? Sen˜o, como explicar os e e a valores diferentes?8. Se vocˆ dividisse cada d´cimo da sua unidade de comprimento em mais 10 partes iguais e e e usasse esse novo instrumento de medida para medir o comprimento da bancada, com quantos algarismos vocˆ expressaria a sua medida? E a ´rea da superf´ da bancada, e a ıcie quantos algarismos seriam necess´rios para express´-la? a a9. Se voce registrasse essas medidas num relat´rio que informa¸˜es deveriam ser inclu´ o co ıdas para que, no futuro, outra pessoa pudesse conhecer as dimens˜es da superf´ de sua o ıcie bancada apenas lendo este relat´rio? o 4

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