• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Vektor di ruang 2 dan 3
 

Vektor di ruang 2 dan 3

on

  • 12,000 views

 

Statistics

Views

Total Views
12,000
Views on SlideShare
11,976
Embed Views
24

Actions

Likes
2
Downloads
384
Comments
3

1 Embed 24

http://elearning.unsyiah.ac.id 24

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

13 of 3 previous next Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Vektor di ruang 2 dan 3 Vektor di ruang 2 dan 3 Document Transcript

    • VEKTOR DI RUANG DIMENSI 2 DAN 3Setiap objek pembicaraan dalam matematika memiliki ruang himpunan di mana objek ituberasal. Di dalamnya terdapat aturan-aturan yang berlaku yang dipenuhi oleh setiapanggotanya. Misalnya, semua bilangan nyata tergabung dalam sebuah himpunanbilangan yang dinamakan himpunan bilangan real (ℝ). Semua sifat-sifat dan aturanperhitungan bilangan real berlaku bagi semua himpunan anggotanya, seperti padabilangan rasional, irasional, bulat, pecahan, dan lain- lain.Sebelum membahas lebih jauh mengenai vektor, akan diperkenalkan tentang konsepruang, mulai dari dimensi terkecil hingga dimensi yang digeneralisasi, sebagai ruang-n.1. Ruang Dimensi-n Himpunan bilangan nyata (real) biasanya digambarkan ke dalam sebuah gambar sederhana yang disebut garis bilangan. Garis bilangan dapat dianggap sebagai grafik sederhana yang menyatakan letak suatu bilangan, di mana bilangan yang lebih besar berada di sebelah kanan bilangan yang lebih kecil. Karena garis bilangan hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang, maka himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai ruang berdimensi-1. Meskipun kata „ruang‟ menunjukkan suatu tempat berdimensi-3, namun dalam matematika „ruang‟ mempunyai makna tersendiri. Berdasarkan definisinya, ruang dalam matematika merupakan himpunan dari objek-objek yang memiliki sifat yang sama dan memenuhi semua aturan yang berlaku dalam ruang tersebut. Definisi Ruang-1 atau 𝑅 1 Ruang dimensi-1 atau ruang-1 (𝑅 1 ) adalah himpunan semua bilangan real (ℝ). Himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real : Bil. Rasional & irasional -3 -2 -1 0 1 2 3 Bulat Negatif Nol Bulat Positif Jadi, garis bilangan berfungsi untuk menunjukkan letak suatu titik pada s uatu garis berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunculkan gagasan berikutnya bahwa suatu titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke-17 lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19 para ahli matematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 29
    • Definisi Ruang-2 atau 𝑅 2Ruang dimensi-2 atau ruang-2 (𝑅 2 ) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan(𝑥, 𝑦), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan (𝑥, 𝑦)dinamakan titik (point) dalam 𝑅 2 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦). Bilangan xdan y disebut koordinat dari titik P.Untuk menggambarkan titik-titik di 𝑅 2 secara geometris, koordinat x dan y dianggapberada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat.Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebutdigambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistemkoordinat siku-siku. Pada 𝑅 2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistemkoordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh : Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0). Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y).Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point) ditulisO(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan. y x ODefinisi Ruang-3 atau 𝑅 3Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (𝑅 3 ) adalah himpunan tripel bilangan berurutan(𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧)dinamakan titik (point) dalam 𝑅 3 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilanganx, y, dan z, disebut koordinat dari titik P.Seperti halnya 𝑅 2 , 𝑅 3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz,dengan titik asal 𝑂 0, 0, 0 , yang dibangun oleh : Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (𝑥, 0, 0). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 30
    •  Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, 𝑦, 0). Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, 0, 𝑧).Menjelang akhir abad 19, para matematikawan dan fisikawan mulai menemukangagasan bahwa dimensi tidak hanya terbatas pada dimensi-3 dengan tripelbilangannya, tetapi juga kuadrupel sebagai titik pada ruang dimensi-4, kuintupel padaruang dimensi-5, dan seterusnya. Hal ini menghasilkan generalisasi untuk ruangdimensi-n.Definisi tupel -n-berurutanJika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel-n-berurutan (ordered-n-tuple)adalah sebuah urutan n buah bilangan real (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ).Definisi Ruang-n atau 𝑅 𝑛Ruang dimensi-n atau ruang-n (𝑅 𝑛 ) adalah himpunan semua tupel-n-berurutan(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ), dengan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎 𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Tupel-nbilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 dinamakan titik (point) dalam 𝑅 𝑛 , misal suatu titik P dapatditulis 𝑃(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎 𝑛 ). Bilangan 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , dan 𝑎 𝑛 disebut koordinat dari P.Jelas bahwa ruang dimensi-n dengan n > 3 tidak dapat divisualisasikan secarageometris, namun penemuan ini sangat berguna dalam pekerjaan analitik dan numerik,karena tidak sedikit permasalahan nyata tidak dapat divisualisasikan dengan grafisnamun memerlukan penalaran dan penyelesaian secara matematis.𝑅 𝑛 yang merupakan generalisasi dari 𝑅 1 , 𝑅 2 , dan 𝑅 3 , menyebabkan sifat-sifat danaturan-aturan di dalamnya adalah sama, perbedaannya hanya terletak pada ukuran atau Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 31
    • banyak komponen yang akan dihitung. Walaupun bab ini hanya menyajikan definisi, teorema, atau sifat-sifat dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 , tetapi semuanya akan berlaku untuk 𝑅 𝑛 , setelah dimodifikasi sesuai dimensinya. Seperti definisi jarak antar dua titik dalam 𝑅 2 dan 𝑅 3 berikut yang dapat digeneralisasi untuk 𝑅 𝑛 . Definisi Jarak Dua Titik Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦1 ) dan 𝐵(𝑥 2 , 𝑦2 ) di 𝑅 2 didefinisikan oleh : 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥 1 2+ 𝑦2 −𝑦1 2 Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥 1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) dan 𝐵(𝑥 2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) di 𝑅 3 didefinisikan oleh : 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 −𝑦1 2 + 𝑧2 −𝑧1 22. Titik dan Garis Pada bagian sebelumnya telah dibahas pengertian titik pada 𝑅 2 dan 𝑅 3 serta 𝑅 𝑛 secara umum. Definisi titik ini sama untuk semua rua ng, yang berbeda hanyalah kedudukannya di dalam masing- masing ruang tersebut. Dua titik atau lebih jika dihubungkan akan membentuk garis, kumpulan garis-garis akan menjadi bidang, dan kumpulan bidang-bidang akan menjadi ruang. Geometri adalah cabang matematika yang khusus mempelajari titik, garis, dan bidang. Mengenai garis, geometri hanya terbatas pada kuantitas dan kedudukan, seperti panjang garis atau besar sudut antara dua garis, tetapi tidak pada arahnya serta kedudukannya dalam suatu bidang atau ruang. Ilmu vektor merupakan cabang dari matematika yang mempelajari ruas garis berarah yang dinamakan vektor.3. Vektor Banyak kuantitas fisis, seperti luas, panjang, massa, suhu, dan lainnya, dapat dijelaskan secara lengkap hanya dari besarnya, misalnya 50 kg, 100 m, 30 ℃, dll. Kuantitas fisis ini dinamakan skalar. Dalam matematika, skalar mengacu pada semua bilangan yang bersifat konstan. Namun, ada kuantitas fisis lain yang tidak hanya memiliki besar/nilai tapi juga arah, seperti kecepatan, gaya, pergeseran, dan lain- lain. Kuantitas fisis ini dalam fisika maupun matematika dinamakan vektor. Dalam matematika, ilmu vektor menjadi salah satu cabang ilmu yang semakin luas perkembangannya serta penerapannya, dan tidak terbatas pada mempelajari besaran-besaran yang memiliki nilai dan arah tetapi sebagai suatu besaran yang memiliki banyak komponen yang membentuk satu kesatuan dari besaran itu sendiri. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 32
    • Notasi VektorVektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil tebal (a), atau diberi tanda panah diatasnya (𝑎), atau tanda garis bawah ( 𝑎 ).Definisi VektorSebuah vektor a dengan komponen-n (berdimensi-n) di dalam 𝑅 𝑛 adalah suatu aturantupel-n dari bilangan-bilangan yang ditulis sebagai baris (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) atau sebagai 𝑎1 𝑎2kolom ⋮ , dengan 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bilangan-bilangan real dan dinamakan 𝑎𝑛komponen dari vektor a. 𝑎1Dengan demikian, di 𝑅 2 vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 ) atau 𝐚 = 𝑎2 , dan di 𝑅 3 𝑎1vektor dapat ditulis : 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) atau 𝐚 = 𝑎2 . Pada bagian berikutnya, vektor 𝑎3akan sering disajikan dalam bentuk baris (vektor baris).Berdasarkan definisi titik dan vektor, simbol (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) mempunyai dua tafsirangeometrik yang berbeda, yaitu sebagai titik dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah koordinat,dan sebagai vektor dalam hal 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 adalah komponen.Arti Geometrik VektorSecara geometris, vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah. Arahpanah menentukan arah vektor dan panjangnya menyatakan besar vektor. Ekor panahdinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik ujung/terminal(terminal point). Titik ujung a Titik awalKomponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor. Misal pada 𝑅 2 ,vektor 𝐯 = (2, 3) berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke kanan, kemudian 3satuan ke atas. Pada 𝑅 3 , misalkan sebuah vektor 𝐯 = 3, 4, −2 berarti dari titik awalbergerak 2 satuan ke depan (x-positif), 4 satuan ke kanan (y-positif), dan 2 satuan kebawah (z- negatif).Definisi berikut dapat memperjelas tafsiran geometrik vektor. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 33
    • Definisi Vektor PosisiVektor posisi dari 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ) adalah suatu vektor yang titik awalnya adalah titikasal O dan titik ujungnya adalah A, dan ditulis 𝑂𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛 ).Berdasarkan definisi ini dapat dibuktikan bahwa, dari sebuah titik dapat dibuat tepatsatu buah vektor posisi. Dengan kata lain setiap titik dalam ruang memiliki vektorposisi yang berbeda-beda.Jika vektor v dengan titik awal A dan titik ujung B, maka v dapat ditulis sebagai : 𝐴𝐵 .Komponen-komponen dari 𝐴𝐵 akan dijelaskan setelah mempelajari aritmetika vektor.Definisi Vektor-Vektor EkuivalenVektor- vektor ekuivalen adalah vektor- vektor yang memiliki panjang dan arah yangsama.Vektor- vektor ekuivalen dianggap sebagai vektor yang sama meskipun kedudukannyaberbeda-beda. Jika v dan w ekuivalen maka dapat dituliskan v = w.Contoh 1 :Keempat ruas garis berarah di atas berawal di suatu titik tertentu yang kemudiandigerakkan 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas. Keempatnya dinamakan vektor dan −2dapat dinotasikan oleh 𝐯 = −2, 5 = . Keempat ruas garis berarah di atas 5dinamakan representasi dari vektor v. ∎Definisi Vektor NolVektor nol adalah vektor yang semua komponennya adalah nol, dan ditulis𝟎 = (0, 0, 0).Dengan demikian vektor nol adalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan arah. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 34
    • Definisi Negatif VektorNegatif dari vektor v, atau –v didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besaryang sama dengan v, namun arahnya berlawanan dengan v.Definisi Vektor satuan/unit (Unit Vectors)Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya adalah 1.Definisi Vektor Basis/Satuan Standar (Standard Unit Vectors)Vektor satuan baku adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjangsumbu-sumbu koordinat.Untuk 𝑅 2 , vektor satuan baku ditulis : i = 1, 0 dan j = 0, 1 .Untuk 𝑅 3 , vektor satuan baku ditulis : i = 1, 0, 0 , j = 0, 1, 0 , dan k = 0, 0, 1 .Dengan demikian setiap vektor v = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) di 𝑅 3 dapat ditulis v= 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = 𝑣1 1, 0, 0 + 𝑣2 0, 1, 0 + 𝑣3 0, 0, 1 = 𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 + 𝑣3 𝐤Contoh 2 :Nyatakan v = 2, −3, 4 dalam vektor basis.Penyelesaian : 𝐯 = 2, −3, 4 = 2 1, 0, 0 + −3 0, 1, 0 + 4 0, 0, 1 = 2𝐢 − 3𝐣 + 4𝐤 ∎ Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 35
    • 4. Aritmetika Vektor Pada bagian ini, definisi serta teorema yang diberikan hanya untuk vektor-vektor di 𝑅 3 , sedangkan interpretasi geometris sedapatnya diberikan dalam 𝑅 3 , namun kebanyakan dalam 𝑅 2 . Hal ini bertujuan hanya untuk mempermudah pemahaman analitik dan geometrik. Secara konsep, teoretis, dan numeris, semua definisi, teorema, dan rumus-rumus dapat dengan mudah dimodifikasi sesuai dimensi yang diinginkan. Definisi Penjumlahan Vektor Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka penjumlahan a dan b didefinisikan oleh 𝐚 + 𝐛 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 ) Secara geometris, penjumlahan a + b dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga (triangle law) dan aturan jajar genjang (parallelogram law). Aturan segitiga dilakukan dengan menghubungkan titik awal b dengan titik ujung a, kemudian menghubungkan titik awal a dan titik ujung b sebagai (a + b). Sedangkan aturan jajar genjang dilakukan dengan menghubungkan kedua titik asal a dan b, sehingga a dan b membentuk jajaran genjang. Diagonal yang dibuat dari titik awal kedua vektor akan menjadi (a + b). Seperti ilustrasi berikut : 𝒂+ 𝒃 𝒃 𝒂 Contoh 3 : Misalkan 𝐮 = 1, 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 , dan 𝐰 = (3, 2, −1) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka 𝐮 + 𝐯 + 𝐰 = (1 + 2 + 3, 2 + −3 + 2, 3 + 1 + −1 = 6, 1, 3 ∎ Definisi Pengurangan Vektor Diberikan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐛 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), maka pengurangan a oleh b didefinisikan oleh : 𝐚 − 𝐛 = 𝐚 + −𝐛 = [ 𝑎1 + (−𝑏1 , 𝑎2 + (−𝑏2 ), 𝑎3 + (−𝑏3 )] = ( 𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 ) Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 36
    • Seperti halnya pada penjumlahan vektor, secara geometris pengurangan vektor dapatdilakukan dengan aturan segitiga ataupun jajar genjang seperti ilustrasi berikut.Contoh 4 :Misalkan 𝐮 = 1, 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 , dan 𝐰 = (3, 2, −1) vektor- vektor di 𝑅 3 , maka 𝐮 − 𝐯 − 𝐰 = (1 − 2 − 3, 2 − −3 − 2, 3 − 1 − −1 = −4, 3, 3 ∎Berdasarkan definisi ini, komponen-komponen dari vektor yang titik awalnya bukantitik asal, misal 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan titik ujung 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), sehingga 𝐚 = 𝑂𝐴 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan 𝐛 = 𝑂𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 adalah : 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴 = 𝐛 – 𝐚 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 − 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 = (𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 , 𝑏3 − 𝑎3 )Contoh 5 :Vektor dengan titik awal dan titik ujung berturut-turut 𝑃1 2, −7, 0 dan 𝑃2 (1, −3, −5)adalah 𝑃1 𝑃2 = 1 − 2, −3 − −7 , −5 − 0 = −1, 4, −5 ∎Dengan memisalkan semua koordinat ada di sumbu-sumbu positif, vektor 𝐴𝐵 di 𝑅 3 ,dengan koordinat 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), dapat digambarkan sebagai berikut.Sehingga 𝐴𝐵 = (𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 37
    • Definisi Perkalian Skalar-VektorJika 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor tak- nol dan k adalah bilangan real tak-nol, makahasil kali kv didefinisikan oleh 𝑘𝐯 = 𝑘 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = (𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2 , 𝑘𝑣3 )Secara geometris, hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya k kali panjang v, yangarahnya sama dengan v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan v jika k < 0.Contoh 6 : 1Misalkan suatu vektor di 𝑅 2 , 𝐚 = (2, 4). Hitunglah 3𝐚, 𝐚, dan − 2𝐚, dan gambarkan 2keempat vektor tersebut ke dalam satu sistem koordinat.Penyelesaian :Berdasarkan definisi perkalian skalar-vektor, maka 1 3𝐚 = 6, 12 ; 𝐚 = 1, 2 ; −2𝐚 = (−4, −8) 2 ∎Norma/Panjang VektorPanjang suatu garis dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Phytagoras. Karenavektor adalah ruas garis berarah, maka panjang vektor, baik di 𝑅 2 maupun 𝑅 3 dapatdiperoleh dengan rumus yang sama.Definisi Norma VektorNorma atau panjang vektor 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) didefinisikan oleh : 𝐯 = 𝑣1 2 + 𝑣2 2 + 𝑣3 2Berdasarkan definisi di atas, jika 𝐯 = 0 maka 𝐯 = 𝟎. Dan, jika v vektor satuan,maka 𝐯 = 1, begitu pula dengan vektor basis 𝐢 = 1, 𝐣 = 1, dan 𝐤 = 1.Contoh 7 :Misalkan 𝐚 = (3, −5, 10) maka 𝐚 = 9 + 25 + 100 = 134 ∎ Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 38
    • Teorema : Aturan Dasar Aritmetika Vektor Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 , dan k serta l adalah skalar (bilangan real), maka hubungan berikut akan berlaku, a. u+v=v+ u b. (u + v) + w = u + (v + w) c. u+0=0+ u= u d. u + (-u) = 0 e. k( lu ) = ( kl )u f. k(u + v) = ku + kv g. (k + l)u = ku + lu h. 1u = u5. Perkalian Titik / Perkalian Dalam (Dot Product/Inner Product) Definisi pertama dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan sifat-sifat geometrisnya, yaitu norma kedua vektor dan besar sudut di antara keduanya, dengan asumsi titik-titik awalnya berimpit. Definisi 1 Jika u dan v adalah vektor-vektor di 𝑅 2 dan 𝑅 3 , dan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner product) 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh 𝐮 𝐯 cos 𝜃 ; jika 𝐮 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ≠ 𝟎 𝐮∙ 𝐯= 0 ; jika 𝐮 = 𝟎 atau 𝐯 = 𝟎 Pekalian ini juga dinamakan perkalian skalar (scalar product) karena hasil perkalian titik dua vektor akan menghasilkan skalar (bilangan real). Dari definisi jelas bahwa norma vektor u dan v serta nilai cosinus sebarang sudut di antara keduanya adalah bilangan real, sehingga hasil kali ketiganya adalah bilangan real. Jika salah satu atau kedua vektor merupakan vektor nol, maka hasilnya adalah nol. a 𝐚 b 𝜽 𝐛 Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 39
    • Contoh 8 :Misalkan 𝐮 = 0, 0, 1 dan 𝐯 = (0, 2, 2) sedangkan sudut di antaranya adalah 45°, 1maka 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 45° = 02 + 02 + 12 02 + 22 + 22 =2∎ 2Definisi ke-dua dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan komponen-komponen dari masing- masing vektor.Definisi 2Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 ) adalah vektor di 𝑅 2 , maka perkalian titik/perkaliandalam 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh : 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢 1 𝑣1 + 𝑢 2 𝑣2Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian titik𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh : 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢 1 𝑣1 + 𝑢 2 𝑣2 + 𝑢 3 𝑣3Contoh 9 :Misalkan 𝐚 = 0, 3, −7 dan 𝐛 = (2, 3, 1) maka 𝐚 ∙ 𝐛 = 0.2 + 3.3 + −7 . 1 = 2 ∎Kedua definisi ini saling berkaitan karena salah satu definisi diperoleh dari definisiyang lain. Dalam beberapa buku, salah satu definisi dituliskan sebagai “definisi”,kemudian definisi yang lainnya dituliskan sebagai “teorema” yang diturunkan daridefinisi sebelumnya. Biasanya kedua definisi digabungkan untuk mencari besar sudutdi antara u dan v jika komponen u dan v diketahui.Contoh 10 :Misalkan 𝐮 = (2, −1, 1) dan 𝐯 = (1, 1, 2), Hitunglah 𝐮 ∙ 𝐯 dan tentukan sudut diantara keduanya.Penyelesaian : 𝐮 = 22 + (−1)2 + 12 = 6 ; 𝐯 = 12 + 12 + 22 = 6 ; dan 𝐮 ∙ 𝐯 = 2.1 + −1 . 1 + 1.2 = 3sehingga, 𝐮∙ 𝐯 3 1 1𝐮∙ 𝐯 = 𝐮 𝐯 cos 𝜃 ⇔ cos 𝜃 = = = ⇔ 𝜃 = arccos = 60° ∎ 𝐮 𝐯 6 6 2 2Teorema : Sudut Antara Dua VektorJika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dan 𝜃 adalah besar sudut di antara keduavektor tersebut, maka Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 40
    • 𝜃 lancip (0° < 𝜃 < 90°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 > 0 𝜃 tumpul (90° < 𝜃 < 180°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 < 0 𝜃 siku-siku (𝜃 = 90°) jika dan hanya jika 𝐮∙ 𝐯 = 0 Dua vektor yang membentuk sudut siku-siku dinamakan ortogonal (tegak lurus). Teorema : Sifat-sifat Perkalian Titik Jika u, v, dan w adalah vektor- vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan k adalah skalar, maka a. 𝐮∙ 𝐯 = 𝐯∙ 𝐮 b. 𝐮∙ 𝐯+ 𝐰 = 𝐮∙ 𝐯+ 𝐮 ∙ 𝐰 c. 𝑘 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑘𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ (𝑘𝐯) d. 𝐯 ∙ 𝐯 > 0 jika 𝐯 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ∙ 𝐯 = 0 jika 𝐯 = 𝟎6. Proyeksi Dua vektor yang titik asalnya berimpit dapat menghasilkan vektor lain yang dinamakan vektor proyeksi. Perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan a dan b berimpit di titik asalnya. Jika dari titik ujung b ditarik garis menuju a sedemikian sehingga tegak lurus a (diproyeksikan terhadap a), maka vektor yang dapat dibuat dengan titik asal yang sama dan berujung di titik di mana b diproyeksikan pada a dinamakan vektor proyeksi b terhadap a. Vektor ini disebut juga proyeksi ortogonal b pada a. Dengan cara yang sama dapat diperoleh vektor proyeksi a terhadap b. Notasi Vektor Proyeksi Vektor proyeksi b terhadap a dinotasikan proy 𝐚 𝐛 Vektor proyeksi a terhadap b dinotasikan dengan proy 𝐚 𝐛 Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 41
    • Teorema : Proyeksi Ortogonal Jika u dan v adalah vektor di 𝑅 2 atau 𝑅 3 dan keduanya bukan vektor nol, maka 𝐚∙ 𝐛 𝐚∙ 𝐛 proy 𝐚 𝐛 = 𝐚 dan proy 𝐛 𝐚 = 𝐛 𝐚 2 𝐛 2 Sedangkan panjang dari vektor-vektor proyeksi tersebut adalah 𝐚∙ 𝐛 𝐚∙ 𝐛 proy 𝐚 𝐛 = dan proy 𝐛 𝐚 = 𝐚 𝐛 Contoh 11 : Jika 𝐚 = (1, 0, −2) dan 𝐛 = (2, 1, −1) , tentukan vektor proyeksi a pada b. 2 Penyelesaian : 𝐚 ∙ 𝐛 = 4 dan 𝐛 = 6 maka proyeksi ortogonal a pada b adalah 𝐚∙ 𝐛 4 4 2 2 proy 𝐛 𝐚 = 2 𝐛 = 2, 1, −1 = , ,− ∎ 𝐛 6 3 3 37. Perkalian Silang (Cross Product) Berikut akan diperkenalkan sebuah operasi antar vektor dalam 𝑅 3 . Jika perkalian titik akan menghasilkan skalar/bilangan, maka perkalian silang akan menghasilkan vektor. Dan jika proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor la in akan menghasilkan vektor baru yang berimpit dengan vektor tersebut, maka perkalian silang dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut. Definisi Perkalian Silang Jika 𝐮 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) dan 𝐯 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) adalah vektor di 𝑅 3 , maka perkalian silang 𝐮 × 𝐯 didefinisikan oleh 𝐮 × 𝐯 = (𝑢 2 𝑣3 − 𝑢 3 𝑣2 , 𝑢 3 𝑣1 − 𝑢 1 𝑣3 , 𝑢 1 𝑣2 − 𝑢 2 𝑣1 ) atau dalam notasi determinan 𝑢2 𝑢3 𝑢 𝑢3 𝑢 𝑢2 𝐮× 𝐯= 𝑣2 𝑣3 , − 𝑣1 𝑣3 , 𝑣1 𝑣2 1 1 Rumus di atas dapat dibuat pola yang mudah diingat. Bentuklah matriks 2 × 3 : 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Komponen pertama dari 𝐮 × 𝐯 adalah determinan matriks tersebut setelah kolom pertama dicoret, komponen ke-2 adalah negatif dari determinan matriks setelah kolom ke-2 dicoret, dan komponen ke-3 adalah determinan matriks setelah kolom ke-3 dicoret. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 42
    • Contoh 12 :Misalkan 𝐮 = (1, 2, −2) dan 𝐯 = (3, 0, 1), maka 1 2 −2 3 0 1 2 −2 1 −2 1 2 𝐮× 𝐯 = ,− , = 2, −7, −6 ∎ 0 1 3 1 3 0Secara geometris, perkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat diinterpretasikn oleh gambar berikut,Arah 𝐮 × 𝐯 dapat ditentukan dengan “aturan tangan kanan” (right hand rule).Misalkan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terotasi sejauh sudut 𝜃menuju v (sehingga berimpit dengan v). Jika jari-jari tangan kanan menunjukkan arahrotasi u maka ibu jari menunjukkan arah 𝐮 × 𝐯.Dengan menggunakan definisi ataupun dengan mempraktekkan aturan ini, dapatdiperoleh hasil- hasil berikut : 𝐢× 𝐢= 𝐣× 𝐣= 𝐤× 𝐤= 𝟎 𝐢× 𝐣= 𝐤, 𝐣× 𝐤= 𝐢, 𝐤× 𝐢= 𝐣 𝐣 × 𝐢 = −𝐤 , 𝐤 × 𝐣 = −𝐢 , 𝐢 × 𝐤 = −𝐣Diagram berikut dapat membantu untuk mengingat hasil perkalian di atas. i k jPerkalian silang 𝐮 × 𝐯 dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan3×3 : 𝐢 𝐣 𝐤 𝑢 𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 𝑢2 𝐮 × 𝐯 = 𝑢1 𝑢2 𝑢3 = 𝑣 2 2 𝑣3 𝐢 − 𝑣1 𝑣3 𝐣 + 𝑣1 𝑣2 𝐤 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 43
    • Contoh 13 :Contoh 11 dapat dikejakan dengan cara : 𝐢 𝐣 𝐤 2 −2 1 −2 1 2 𝐮× 𝐯 = 1 2 −2 = 𝐢− 𝐣+ 𝐤 = 2𝐢 − 7𝐣 − 6𝐤 ∎ 0 1 3 1 3 0 3 0 1Teorema : Hubungan Perkalian Silang dan Perkalian titikJika u dan v adalah vektor di 𝑅 3 , maka :a. 𝐮 ∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u )b. 𝐯∙ 𝐮× 𝐯 = 0 ( 𝐮 × 𝐯 ortogonal ke u ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐c. 𝐮× 𝐯 = 𝐮 𝐯 − 𝐮∙ 𝐯 (Identitas Lagrange/Lagrange Identity)Teorema : Sifat-Sifat Perkalian SilangJika u, v, dan w dalah sebarang vektor di 𝑅 3 ddan k adalah sebarang skalar, maka :a. 𝐮× 𝐯=− 𝐯× 𝐮b. 𝐮 × 𝐯 + 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 + (𝐮 × 𝐰)c. 𝐮 + 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐰 + (𝐯 × 𝐰)d. 𝑘 𝐮× 𝐯 = 𝑘𝐮 × 𝐯 = 𝐮 × (𝑘𝐯)e. 𝐮× 𝟎= 𝟎× 𝐮= 𝟎f. 𝐮× 𝐮= 𝟎 𝑢1 𝑢2 𝑢3g. 𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 = 𝐮 × 𝐯 ∙ 𝐰 = 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑤1 𝑤2 𝑤3Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, dapat diturunkan teorema berikut.Teorema : Aplikasi Geometri Perkalian SilangJika u, v, dan w vektor- vektor di 𝑅 3 dengan titik asal yang sama, makaa. Jika 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka 𝐮× 𝐯 = 𝐮 𝐯 sin 𝜃b. Norma dari 𝐮 × 𝐯 sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v, atau Luas jajar genjang = 𝐮× 𝐯c. Volume bangun yang dibentuk oleh ketiganya adalah 𝑎𝑏𝑠[𝐮 ∙ 𝐯 × 𝐰 ].Contoh 14 :a, b, dan c adalah sebarang vektor di 𝑅 3 yang berimpit di titik awalnya. Jikaketiganya dihubungkan akan membentuk suatu bangun dimensi-3 (parallelpiped). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 44
    • Luas masing- masing sisinya adalah : 𝐚× 𝐛 , 𝐛× 𝐜 , 𝐚× 𝐜Sedangkan volume bangun tersebut adalah : 𝑎𝑏𝑠(𝐚 ∙ 𝐛 × 𝐜 )Rumus volume di atas biasanya digunakan untuk mengetahui apakah ketiga vektorberada pada bidang yang sama. Jika volume yang dihitung bernilai nol, makaketiganya berada pada bidang yang sama, dan sebaliknya jika volumenya tidak samadengan nol. Fungsi abs(absolute)/mutlak berguna untuk mempositifkan hasil akhirperhitungan volume.Contoh 15 :Tentukan apakah ketiga vektor 𝐚 = (1, 4, −7), 𝐛 = (2, −1, 4), dan 𝐜 = (0, −9, 18)terletak pada satu bidang di 𝑅 3 atau tidak.Penyelesaian : 1 4 −7 1 4𝐚∙ 𝐛× 𝐜 = 2 −1 4 2 −1 0 −9 18 0 −9 = 1 −1 18 + 4 4 0 + −7 2 −9 — { 7 −1 0 + 1 4 −9 + 4 2 18 } = −18 + 126 − 144 + 36 =0Jadi, ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang di 𝑅 3 ∎Contoh 16 :Carilah luas segitiga yang dibentuk oleh 𝑃1 2, 2, 0 , 𝑃2 −1, 0, 2 , dan 𝑃3 (0, 4, 3) . Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 45
    • Penyelesaian : z 𝑃2 −1, 0, 2 𝑃3 (0, 4, 3) y 𝑃1 2, 2, 0 x Luas segitiga tersebut adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk 𝑃1 𝑃2 dan 𝑃1 𝑃3, di mana 𝑃1 𝑃2 = −1, 0, 2 − 2, 2, 0 = (−3, −2, 2) 𝑃1 𝑃3 = 0, 4, 3 − 2, 2, 0 = (−2, 2, 3) 𝑃1 𝑃2 × 𝑃1 𝑃3 = (−10, 5, −10) 1 1 1 Sehingga Luas segitiga = 𝑃1 𝑃2 × 𝑃1 𝑃3 = 15 = 7 2 ∎ 2 2 Latihan I1. Carilah komponen vektor yang mempunyai titik awal 𝑃1 dan titik ujung 𝑃2. a. 𝑃1 3, 5 ; 𝑃2 (2, 8) b. 𝑃1 7, −2 ; 𝑃2 (0, 0) c. 𝑃1 6, 5, 8 ; 𝑃2 (8, −7, 3) d. 𝑃1 0, 0, 0 ; 𝑃2 (−8, 7, 4)2. Misalkan 𝐮 = 1, − 2, 3 , 𝐯 = 2, −3, 1 dan 𝐰 = (3, 2, −1). Carilah komponen- komponen dari : a. u – w b. 7v + 3w c. –w + v d. 3(u – 7v) e. – 3v – 8w f. 2v – (u + w)3. Carilah vektor dengan titik awal 𝑃(2, −1, 4) yang mempunyai arah yang sama dengan 𝐯 = (7, 6, −3).4. Carilah vektor yang berlawanan arah dengan 𝐯 = (−2, 4, −1) yang mempunyai titik terminal di 𝑄(2, 0, −7). Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 46
    • 5. Misalkan 𝑃(2, 3, −2) dan 𝑄(7, −4, 1). a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q. b. Carilah titik pada segmen garis 𝑃𝑄 sehingga dari P ke titik itu adalah ¾ dari 𝑃𝑄. Latihan II1. Hitunglah norma/panjang v jika a. 𝐯 = (3, 4) b. 𝐯 = (−1, 7) c. 𝐯 = (0, −3) d. 𝐯 = (1, 1, 1) e. 𝐯 = (−8, 7, 4) f. 𝐯 = (9, 0, 0)2. Hitunglah jarak di antara A dan B. a. 𝐴 2, 3 , 𝐵(4, 6) b. 𝐴 −2, 7 , 𝐵(0, −3) c. 𝐴 8, −4, 2 , 𝐵(−6, −1, 0) d. 𝐴 1, 1, 1 , 𝐵(6, −7, 3)3. Misalkan 𝐮 = 1, −3, 2 , 𝐯 = 1, 1, 0 dan 𝐰 = (2, 2, −4). Carilah : a. 𝐮+ 𝐯 b. 𝐮 + 𝐯 c. −2𝐮 + 2 𝐮 d. 3𝐮 − 5𝐯 + 𝐰 1 e. 𝐰 𝐰 1 f. 𝐰 𝐰4. Carilah semua skalar k sehingga 𝑘𝐯 = 3, di mana 𝐯 = 1, 2, 4 . Latihan III1. Carilah 𝐮 ∙ 𝐯 untuk : a. 𝐮 = 1, 2 , 𝐯 = 6, −8 b. 𝐮 = −7, −3 , 𝐯 = 0, 1 c. 𝐮 = 1, −3, 7 , 𝐯 = 8, −2, −2 d. 𝐮 = −3, 1, 2 , 𝐯 = 4, 2, −52. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul, atau keduanya ortogonal. Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 47
    • a. 𝐮 = 7, 3, 5 , 𝐯 = −8, 4, 2 b. 𝐮 = 6, 1, 3 , 𝐯 = 4, 0, −6 c. 𝐮 = 1, 1, 1 , 𝐯 = −1, 0, 0 d. 𝐮 = 4, 1, 6 , 𝐯 = −3, 0, 23. Carilah proyeksi ortogonal u pada a, jika : a. 𝐮 = 2, 1 , 𝐚 = −3, 2 b. 𝐮 = 2, 6 , 𝐚 = −9, 3 c. 𝐮 = −7, 1, 3 , 𝐚 = 5, 0, 1 d. 𝐮 = 0, 0, 1 , 𝐚 = 8, 3, 44. Carilah 𝑝𝑟𝑜𝑦 𝐚 𝐮 , jika : a. 𝐮 = 2, −1 , 𝐚 = 3, 4 b. 𝐮 = 4, 5 , 𝐚 = 1, −2 c. 𝐮 = 2, −1, 3 , 𝐚 = 1, 2, 2 d. 𝐮 = 4, −1, 7 , 𝐚 = 2, 3, −65. Misalkan 𝐮 = 1, 2 , 𝐯 = 4, −2 , dan 𝐰 = (6, 0). Carilah : a. 𝐮 ∙ 7𝐯 + 𝐰 b. 𝐮∙ 𝐰 𝐰 c. 𝐮 𝐯∙ 𝐰 d. 𝐮 𝐯 ∙ 𝐰 Latihan IV1. Misal 𝐮 = 2, −1, 3 , 𝐯 = 0, 1, 7 , dan 𝐰 = (1, 4, 5). Nyatakan dalam vektor basis : a. 𝐯 × 𝐰 b. 𝐮 × (𝐯 × 𝐰) c. 𝐮× 𝐯 × 𝐰 d. (𝐮 × 𝐯) × (𝐯 × 𝐰) e. 𝐮 × (𝐯 − 2𝐰) f. 𝐮 × 𝐯 − 2𝐰)2. Carilah vektor yang ortogonal terhadap u dan v. a. 𝐮 = −7, 3, 1 , 𝐯 = 2, 0, 4 b. 𝐮 = −1, −1, −1 , 𝐯 = 2, 0, 23. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik sudut P, Q, dan R. a. 𝑃 1, 5, −2 𝑄 0, 0, 0 𝑅 3, 5, 1 b. 𝑃 2, 0, −3 𝑄 1, 4, 5 𝑅(7, 2, 9) Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3 | 48