Teorema de bernoulli

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Teorema de bernoulli

  1. 1. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 3 Práctica nº 1 : ECUACIÓN DE BERNOULLI1.1. INTRODUCCIÓN La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio deconservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, esdecir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre delteorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo del siglo XVIII (1700-1782),quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar loscambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro“Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos,que data de 1738. Para la deducción de la ecuación deBernoulli en su versión más popular seadmitirán las siguientes hipótesis (enrealidad se puede obtener una ecuación deBernoulli más general si se relajan las dosprimeras hipótesis, es decir, si reconsideraflujo incompresible y no estacionario): • Flujo estacionario (es decir, invariable en el tiempo). • Flujo incompresible (densidad ρ constante). Figura 1. Retrato de Daniel Bernoulli
  2. 2. 4 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 2. Portada del libro “Hidrodynamica”, y esquema de un ensayo. • Fluido no viscoso. • Fuerzas presentes en el movimiento: fuerzas superficiales de presión y fuerzas másicas gravitatorias (= peso del fluido). • No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo. Considérese un tubo de corriente como el representado en la Figura 2, con unaporción de fluido delimitada por las secciones rectas S1 y S2 en un cierto instante, conáreas A1 y A2, y situadas a cotas z1 y z2 respecto a una referencia de altitud. Como lasuperficie del tubo de corriente está formada por líneas de corriente, es decir, el vectorvelocidad es tangente a ellas y el fluido no las puede atravesar, y además la densidad esconstante, el caudal Q = vA , circulante por el interior del tubo de corriente habrá de serel mismo para cualquier sección. Se admitirá que el tubo de corriente es lo bastanteestrecho como para que en ambas secciones transversales S1 y S2 la velocidad y lapresión del flujo se puedan considerar uniformes, con valores v1 y p1, y v2 y p2respectivamente (en caso necesario, el tubo de corriente podría quedar reducido a unasola línea de corriente). Al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, dt, la porción de fluido se habrádesplazado ligeramente hasta quedar delimitada por las nuevas secciones transversales S1 y S2 . Estas nuevas secciones están separadas respectivamente de S1 y S2 por las distancias dx1 = v1dt , y dx2 = v2 dt . Este desplazamiento conlleva un cambio en laenergía de la porción de fluido considerada, cambio que, según el Primer Principio dela Termodinámica, deberá ser igual al trabajo de las fuerzas actuantes sobre ese
  3. 3. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 5elemento, es decir, al trabajo de las fuerzas de presión y de las fuerzas gravitatorias.Para estas últimas, que están generadas por un campo conservativo (el campogravitatorio), su trabajo se puede interpretar como una variación de energía potencial. S1 S1 v1 S2 p1 S2 v2 p2 z1 z2 dx1 dx2 Figura 2. Elemento de fluido considerado. Así pues, la variación de energía en la porción de fluido considerada, durante eltiempo dt, se puede expresar como: dE = dEC + dEPG = dWP (1)donde dEC y dEPG son las variaciones de energía cinética y de energía potencialgravitatoria, y dWP es el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el elementode fluido. La variación de energía cinética es igual a la ganancia de energía cinéticahabida en la zona de las secciones S 2 − S2 , menos la correspondiente reducción habida en la zona de las secciones S1 − S1 : v22 v2 v2 v2 dEC = dEC 2 − dEC1 = dm2 − dm1 1 = ρ A2 dx2 2 − ρ A1dx1 1 = 2 2 2 2 (2) v 2 v 2 ⎛v v ⎞ 2 2 = ρ A2 v2 dt 2 − ρ A1v1dt 1 = ρ Qdt ⎜ 2 − 1 ⎟ 2 2 ⎝ 2 2⎠ De modo análogo, la variación de energía potencial gravitatoria es:
  4. 4. 6 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS dEPG = dEPG 2 − dEPG1 = dm2 gz2 − dm1 gz1 = ρ A2 dx2 gz2 − ρ A1dx1 gz1 = (3) = ρ A2 v2 dt gz2 − ρ A1v1dt gz1 = ρ Qdt ( gz2 − gz1 ) Por su lado, el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el contorno sepuede determinar evaluando por separado los trabajos sobre las secciones S1 y S2, comoproducto de las correspondientes fuerzas de presión por los desplazamientos habidosdurante el intervalo de tiempo dt: dW1 = p1 A1dx1 = p1 A1v1dt = p1Qdt ⎫ ⎬ ⇒ dW = dW1 + dW2 = ( p1 − p2 ) Qdt (4) dW2 = − p2 A2 dx2 = p2 A2 v2 dt = − p2Qdt ⎭ Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), y dividiendo por Qdt resulta elteorema o ecuación de Bernoulli: ρ v12 ρ v2 2 + p1 + ρ gz1 = + p2 + ρ gz2 (5) 2 2que puede expresarse en la forma, más habitual en hidráulica: v12 p v2 p + 1 + z1 = 2 + 2 + z2 (6) 2g ρ g 2g ρ gdonde ρ ·g = ϖ es el peso específico del elemento de fluido. En las ecuaciones (5) y (6)cada uno de los términos representa una energía específica. En el caso de la ecuación(5) se trata de energía por unidad de volumen de fluido en circulación, o lo que es lomismo, potencia por unidad de caudal o, simplemente, presión (las unidades son:J/m3=W/(m3/s)=Pa). En el caso de la ecuación (6) las unidades son de energía porunidad de peso de fluido, que es equivalente a una longitud (J/N=m). La interpretaciónde cada término es la siguiente: Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energía potencial o de posición, referida al plano de referencia situado en cota cero: E p = mgz . El término z representa por tanto la energía potencial del fluido por unidad de peso, y se le designa como altura de posición. El término p / ρ g representa la energía necesaria para elevar la unidad de peso del elemento de fluido hasta la altura p / ρ g . Se le denomina altura de presión. A la suma de las alturas de potencial y de presión se le conoce como altura piezométrica, porque se corresponde con la altura de columna observada con un tubo piezométrico conectado a una conducción con un líquido.
  5. 5. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 7 Finalmente, el término v 2 / 2 g representa la energía cinética por unidad de peso del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad. Se denomina carga o altura de energía, H, a la suma de la altura de velocidadmás la altura piezométrica, es decir, a la suma de los tres términos de cada miembro enla ecuación de Bernoulli: p v2 H = z+ + (7) ρ g 2g La carga representa la energía mecánica del fluido que fluye en la sección porunidad de peso del mismo. Así pues el teorema de Bernoulli establece que la carga esconstante a lo largo de una línea de corriente bajo las hipótesis iniciales consideradas. En la práctica todos los fluidos reales son viscosos, y la aplicación de laecuación de Bernoulli podrá perder validez en función de la importancia relativa de lasfuerzas viscosas en cada caso. En efecto, la presencia de los esfuerzos viscosos en elseno del fluido y, en particular, en las zonas inmediatamente adyacentes a los contornos(zonas de capa límite), hace que el fluido deba emplear parte de su energía mecánica encompensar el trabajo de oposición de las fuerzas viscosas; éste es un trabajo noreversible, por lo que paulatinamente se produce una transformación de energíamecánica en energía interna (es decir, calor). Altura total v1 hf 2g Línea de energía v2 p1 2g ρg Línea piezométrica p2 ρg z1 Línea de posición z2 Figura 4. Representación gráfica de las líneas de energía, piezométrica y de posición.
  6. 6. 8 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Desde el punto de vista de la ecuación de Bernoulli, esta transformación secontabiliza como una disminución progresiva de la altura de energía o pérdida decarga hf. Si H1 es la carga del fluido en la sección S1 y H2 la carga del fluido en lasección S2, se tendrá: ⎛ v2 p ⎞ ⎛ v2 p ⎞ h f = H1 − H 2 = ⎜ 1 + 1 + z1 ⎟ − ⎜ 2 + 2 + z2 ⎟ (8) ⎝ 2g ρ g ⎠ ⎝ 2g ρ g ⎠ La pérdida de carga hf será tanto mayor cuanto más separadas estén entre sí lasposiciones S1 y S2. Ello significa que, a lo largo de una conducción, la línea de energía,que es la representación gráfica de la altura de energía para cada posición, será unalínea con pendiente negativa (Figura 4). En el caso de una tubería de sección constante la altura de velocidad ha depermanecer invariable, y en ese caso las líneas de energía y piezométrica son paralelas;si además se trata de una tubería horizontal, la pérdida de carga se manifiestaexclusivamente como una pérdida de presión.1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en ellaboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo. En la Figura5 se muestran dos fotografías de dicho dispositivo experimental. Como puedeobservarse en esa figura, el dispositivo consta de nueve tubos verticales, llamados tubospiezométricos o piezómetros, soldados a un tubo horizontal. Las secciones de cada tubopiezométrico se indican en la Tabla I. Tabla I. Secciones de los tubos piezométricos. Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S(cm2) 6.45 5.48 3.81 2.69 2.69 3.48 4.64 5.81 6.45 El conducto horizontal, al que van soldados los tubos piezométricos, presentaun estrechamiento de su sección, similar a un Venturi, como el que se representa en laFigura 6. La disminución de la sección de paso del fluido en el Venturi, provocará unaumento de la velocidad del flujo en dichas secciones, que debe ser compensado conuna disminución de la altura piezométrica, puesto que el teorema de Bernoulli establecela conservación de la carga o energía mecánica del fluido en cada línea de corriente.
  7. 7. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 9 Figura 5. Dispositivo experimental. Arriba: inclinado. Abajo: horizontal. Nótese en el caso inferior la curva piezométrica definida por la altura del agua en cada piezómetro En los extremos del conducto de paso de la corriente de agua se encuentranubicados dos depósitos: uno a la izquierda, por el que el fluido penetra en la instalacióny otro a la derecha, por el que el fluido abandona la instalación. En la parte posterior de los piezómetros, sobre un panel, se encuentra una escalagraduada en mm, sobre la que se determina la altura piezométrica alcanzada por elfluido en cada tubo.
  8. 8. 10 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Detrás del dispositivo experimental, se encuentra situada una llave de paso quepermite, mediante una menor o mayor apertura, la regulación del caudal que fluye porla instalación. Dicho caudal se determina mediante un método volumétrico, es decir, sedispone de un recipiente tipo probeta para calibrar el volumen de fluido, y se midemediante un cronómetro el tiempo necesario para alcanzar un volumen determinado defluido en la probeta. De esta forma se establece el caudal de fluido circulante, yconocida la sección de cada tubo, puede calcularse la altura de velocidadcorrespondiente a cada uno de ellos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figura 6. Posiciones de toma de presión en el conducto. Finalmente, el dispositivo puede situarse en una posición horizontal o con uncierto ángulo de inclinación α. En el caso de situar el dispositivo en posicióncompletamente horizontal, la altura de posición para todos los tubos piezométricos es lamisma, y se toma cono nivel de referencia con cota cero. Sin embargo, si el dispositivose inclina un cierto ángulo α, la altura de posición de los tubos piezométricos difiere deunos a otros y debe tenerse en cuenta en la ecuación de Bernoulli.1.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo fundamental de la práctica es comprobar el teorema de Bernoulliexperimentalmente. Para ello, será necesario determinar la altura piezométrica, la alturade velocidad y la altura de posición, cuando corresponda, en cada uno de los tubospiezométricos.
  9. 9. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 111.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal. Con el dispositivo experimental situado en posición completamente horizontal,de modo que la línea de posición para todos los tubos piezométricos sea la misma (quetomaremos como nivel de referencia cero), se procede a la apertura de la llave deregulación y se espera hasta que el caudal de fluido circulante se haya estabilizado paraasegurar que se dispone de un flujo en régimen permanente o estacionario. Una vez estabilizado el flujo, es necesario en primer lugar establecer el caudalque fluye por la instalación. Como se ha comentado anteriormente, se dispone para ellode una probeta calibrada en volumen y de un cronómetro. De este modo, determinadoel tiempo que el fluido circulante tarda en alcanzar un determinado volumen de laprobeta, podemos establecer el flujo volumétrico mediante la simple relación: Q = Volumen (9) Tiempo Es obvio que debe satisfacerse la ecuación de continuidad de la masa, por lo queel caudal se mantiene constante a lo largo de todo el tubo horizontal. De este modo, sepuede determinar la velocidad del fluido, y por tanto la altura de velocidad, en cadatubo piezométrico mediante la relación: Q vi = i = 1, 2,...,9 (10) Aidonde Ai es el área de cada tubo piezométrico indicada en la Tabla I. Falta tan solo determinar la altura piezométrica, que se obtiene mediante lecturadirecta de la altura alcanzada por la columna de fluido en cada tubo sobre la escalamilimétrica situada detrás de ellos. Una vez realizadas todas las medidas, deben exponerse en una tabla, que seincluirá en el informe posterior, y en la que debe indicarse cuál es la pérdida de cargaque tiene lugar en cada piezómetro, respecto del primer tubo piezométrico. Seprocederá a continuación a realizar una representación gráfica de estos resultados,similar a la que aparece en la Figura 7, comentando las peculiaridades que se observenen la misma. Téngase en cuenta que si no se produjesen pérdidas por rozamiento, lalínea de altura total que se obtendría sería una línea horizontal. El procedimiento descrito debe repetirse, como mínimo, para otro valor delcaudal de fluido circulante por la instalación.
  10. 10. 12 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS1.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado Se trata ahora de realizar una comprobación más general del teorema deBernoulli: cuando la altura de posición de los tubos piezométricos es diferente entreunos y otros. Para ello, se inclina el dispositivo experimental un cierto ángulo α que elalumno debe determinar. Teniendo en cuenta el ángulo de inclinación, se puededeterminar la altura de posición de cada tubo piezométrico mediante la aplicación dereglas trigonométricas sencillas. Repitiendo el procedimiento del apartado anterior, se calibra el caudal quecircula por la instalación y se determina la altura de velocidad de cada piezómetro. Lostubos piezométricos están ahora inclinados, por lo que la lectura directa de la altura decolumna de fluido alcanzada en cada uno de ellos no es vertical. La altura piezométricase obtiene entonces mediante relaciones trigonométricas sencillas. Comprobación del teorema de Bernoulli 33 30 Altura de velocidad 27 Altura piezométrica 24 Altura total 21 Altura (cm) 18 15 12 9 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de piezómetro Figura 7. Ejemplo de evolución de las alturas piezométrica, de velocidad y de energía (o total), a partir de los datos medidos. Se dispone ya de todos los datos experimentales que deben incluirse en formade tabla en el informe, indicando de nuevo, como en el apartado previo, cuál es la
  11. 11. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 13pérdida de carga o energía que corresponde a cada posición de medida respecto a la delprimer tubo piezométrico. A continuación debe realizarse una nueva representación gráfica de los datos talcomo la que se encuentra en la Figura 7, pero añadiendo la línea de posición. Elprocedimiento descrito debe repetirse como mínimo para dos valores distintos delcaudal de agua que circula por la conducción.

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