1. Metaheur í sticas para el problema de la selecci ó n de portfolio (PSP)
2. Metaheuristics for the Portfolio Selection Problem Andrea Roli DEIS Universit`a di Bologna Giacomo di Tollo Dipartimento di Scienze Universit`a “G.D’Annunzio” Chieti–Pescara
La teoría de selección de cartera toma en consideración el retorno esperado a largo plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo. La volatilidad se trata como un factor de riesgo, y la cartera se conforma en virtud de la tolerancia al riesgo de cada inversor en particular, tras ecuacionar el máximo nivel de retorno disponible para el nivel de riesgo escogido. Los instrumentos de renta fija aseguran un retorno "fijo" al momento de invertir, pero normalmente con una rentabilidad menor a la de uno de renta variable, que no asegura un retorno inicial pero puede ofrecer retornos más altos. Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. La idea de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo. instrumentos financieros no contemplado: depósitos a plazo, efectivo, monedas internacionales, bonos, bienes raíces, fondos mutuos y más.
La formulación original de Markowits se presenta como un proble de criterio singular. La formulación extendida con restricciones puede aparecer como un problema de criterio múltiple.
Donde: n representa la cantidad total de activos disponibles. x_i es la proporcion del total del capital invertido en el i-esimo activo. Para cada activo la taza de ganancia se representa con una variable aleatoria R_i , cuya media es dada por r_i y representa la ganacia esperada por periodo para el activo i. σij es la covarianza de la ganancia esperada entre los activos i y j. La función objetivo es la varianza σ_p^2 (aquí llamada medida del riesgo) r_p representa el retorno mínimo desado.
Vemos que en la formulación de Markowitz sólo se consideran variables reales. Sin embargo, existen extensiones que utilizan variables enteras. Además, el modelo posé un único criterio que es la minimización de la varianza. Algunas extensiones agregan multiples criterios incrementando la dificultad del problema. Inicialmente las únicas restricciones consideradas son el capital inicial y el retorno deseado. Pero esto no es representativo de las restricciones del mundo real.
Cuando lambda es igual a cero el inversor apunta a maximizar la ganancia dejando de lado el riesgo. Inversamente cuando lambda es uno el inversor se concentra sólo en evitar el riesgo. Lo que busca es la frontera efectiva asociada al protfolio de riesgo mínimo (UEF). Muchos algoritmos utilizan, por simplicidad, una aproximación a la frontera efectiva (AUEF). Cuando considramos un modelo con restricciones esto es llamado CEF y ACEF. Donde R es una distribución de retornos, rj es el retorno de j y pj su probabilidad.
Diapo 10: La extensión de la diapo anterior muestra pérdida cuando se cae por debajo de la esperanza. Un inversor puede querer ver como périda un valor de tolerancia tao, por este motivo se agrega lo siguiente. Cuando q = 2 la primer fórmula es llamada target semi variance; En este cuaso cuando tao = E[r] esta formulación es equivalente a la semi variancia. Otro modelo relevante es el de Mean-Absolute-Variance (MAD). En el cual el riesgo se define como la desviación media absoluta de la tasa de retorno del portfolio. Este modelo no hace presunciones probabilisticas sobre los retornos (es equivalente a Markowitz con una distribución normal)
Budget return es la única restricción contemplada en el modelo de Markowitz sin restricciones. Cardinality es una restricción que indica la máxima cantidad de activos deseada. Floor and ceiling limitan la proporción del portfolio destinado a un asset determinado. Short sales representa una venta rápida de activos por menor valor que el esperado ante una predicción de una baja sustancial de valor. Rounds, como se llaman a los lotes mínimos en los mercados europeos y japoneses, permite ver a las inversiones como partes enteras en vez de fraccionarias. Esto no es importante para los grandes inversionistas dado que la diferencia entre esto y el truncamiente es mínima, pero puede ayudar a los pequeños inversionistas agregando más información. Class evita riesgos relacionados con efectos adversos sobre una industria dada. Por ejemplo las sequías y la industría agropecuaria, o el mal clima y la industria naval. Esta diversificación adicional permite considerar estos tipos de riesgos. Preassignment posibilita la elección de assets según la preferencia del inversor.
Aquí vemos como creció el modelo. Se consideran formulaciones enteras y algoritmos de criterios múltiples. Adicionalmente se distinguen dos clases de resitricciones: 1. Las restricciones teóricas que son las que ya conocíamos. 2. Las restricciones prácticas que son las que surjen de la experiencia en el mundo real. Vemos que en este modelo se menciona la restriccion de Turnover and return por completitud. Esta restricción aparece en modelos que contemplan períodos multiples, pero ese problema está fuera del alcance de esta presentación.
Espacio de búsqueda: Cuando se cuenta con muchas restricciones asegurar la validez de una solución puede ser costoso. O quizás está asegurado por la técnica de generación de vecinos. Lo cierto es que en la literatura es difícil de encontrar casos en donde se asegure que cada solución visitada es factible, por la dificultad que representa demostrarlo. Función de costos: Hay ejemplos de esto pero no los entiendo :S Soluciones vecinas: Están relacionadas con el espacio de búsqueda. Pueden o no generar soluciones inválidas. En la primer categoría es más fácil mantener una solución factible. En la segunda categoría entran los criterios de los algoritmos evolutivos.
Minimun variance: No se preocupa por el retorno, pero de todas formas encuentra buenas soluciones. Minimun variance given return: Cuando se cumple la condición del retorno esperado se sigue trabajando en explaración con la lista tabu, pero con el criterio de reparación de minimun variance. Es útil cunado sólo se requiere un nivel de retorno. Es menos poderoso que buscar el UEF, pero se ha implementado con buena performance. Hay dos criterios de vecindad: RollandI: Incrementa o decrementa la participación de un solo asset en un step predefinido. RollandII: Incrementa la participación de un asset y decrementa la de otro el mismo step. Estos criterios se tomaron como base y fueron extendidos para atacar el problema de un modelo con restricciones.
1. La población es única. Hay muchas especies, cada una representa un trade off entre el retorno y el riesgo. Se generarán individuos proporcianlmente a la preferencia del inversionista. 2. Las poblaciones vecinas son aquellas con lambdas similares. 3. C puede estar entre 0 y 1. 4. Down side risk da lugar a espacios de búsqueda rugosos. Mientras que expected short fall genera espacios más suaves. 5. Se han agregado restricciones de costo de transacciones con buenos resultados.
1. Las migraciones se realizan aleatoriamente. 2. Se buscan valores optimos para portfolios con distinta cantidas de acciones en paralelo. 3. El más usado en la literatura contempla todas estas restricciones. También se ha aplicado con MAD.
1. Los criterios de riesgos y muchas de las restricciones sólo pueden verse desde el punto de vista financiero. Mientras que la generación de los modelos y la evaluación de los métodos queda del lado de la computación. Decidir qué restricciones usar es una tarea que requiere ambos conocimientos y mucha cocina. 2. Si bien se han obtenido buenos resultados y se ha mejorado mucho. Todavía no se contemplan muchas restricciones del mundo real, algunas son muy difíciles de medir y modelar, como por ejemplo la confianza. 4. Como dijimos al principio las estimaciones estás sujetas a errores de medición.
