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  • La teoría de selección de cartera toma en consideración el retorno esperado a largo plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo. La volatilidad se trata como un factor de riesgo, y la cartera se conforma en virtud de la tolerancia al riesgo de cada inversor en particular, tras ecuacionar el máximo nivel de retorno disponible para el nivel de riesgo escogido.   Los instrumentos de renta fija aseguran un retorno "fijo" al momento de invertir, pero normalmente con una rentabilidad menor a la de uno de renta variable, que no asegura un retorno inicial pero puede ofrecer retornos más altos.  Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. La idea de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo. instrumentos financieros no contemplado: depósitos a plazo, efectivo, monedas internacionales, bonos, bienes raíces, fondos mutuos y más.
  • La formulación original de Markowits se presenta como un proble de criterio singular. La formulación extendida con restricciones puede aparecer como un problema de criterio múltiple.
  • Donde: n representa la cantidad total de activos disponibles. x_i es la proporcion del total del capital invertido en el i-esimo activo. Para cada activo la taza de ganancia se representa con una variable aleatoria R_i , cuya media es dada por r_i y representa la ganacia esperada por periodo para el activo i. σij  es la covarianza de la ganancia esperada entre los activos i y j. La función objetivo es la varianza σ_p^2 (aquí llamada medida del riesgo) r_p representa el retorno mínimo desado.          
  • Vemos que en la formulación de Markowitz sólo se consideran variables reales. Sin embargo, existen extensiones que utilizan variables enteras. Además, el modelo posé un único criterio que es la minimización de la varianza. Algunas extensiones agregan multiples criterios incrementando la dificultad del problema. Inicialmente las únicas restricciones consideradas son el capital inicial y el retorno deseado. Pero esto no es representativo de las restricciones del mundo real.
  • Cuando lambda es igual a cero el inversor apunta a maximizar la ganancia dejando de lado el riesgo. Inversamente cuando lambda es uno el inversor se concentra sólo en evitar el riesgo.   Lo que busca es la frontera efectiva asociada al protfolio de riesgo mínimo (UEF). Muchos algoritmos utilizan, por simplicidad, una aproximación a la frontera efectiva (AUEF).   Cuando considramos un modelo con restricciones esto es llamado CEF y ACEF.  Donde R es una distribución de retornos, rj es el retorno de j y pj su probabilidad.
  • Diapo 10: La extensión de la diapo anterior muestra pérdida cuando se cae por debajo de la esperanza. Un inversor puede querer ver como périda un valor de tolerancia tao, por este motivo se agrega lo siguiente. Cuando q = 2 la primer fórmula es llamada target semi variance; En este cuaso cuando tao = E[r] esta formulación es equivalente a la semi variancia. Otro modelo relevante es el de Mean-Absolute-Variance (MAD). En el cual el riesgo se define como la desviación media absoluta de la tasa de retorno del portfolio. Este modelo no hace presunciones probabilisticas sobre los retornos (es equivalente a Markowitz con una distribución normal)
  • Budget return es la única restricción contemplada en el modelo de Markowitz sin restricciones. Cardinality es una restricción que indica la máxima cantidad de activos deseada. Floor and ceiling limitan la proporción del portfolio destinado a un asset determinado. Short sales representa una venta rápida de activos por menor valor que el esperado ante una predicción de una baja sustancial de valor. Rounds, como se llaman a los lotes mínimos en los mercados europeos y japoneses, permite ver a las inversiones como partes enteras en vez de fraccionarias. Esto no es importante para los grandes inversionistas dado que la diferencia entre esto y el truncamiente es mínima, pero puede ayudar a los pequeños inversionistas agregando más información. Class evita riesgos relacionados con efectos adversos sobre una industria dada. Por ejemplo las sequías y la industría agropecuaria, o el mal clima y la industria naval. Esta diversificación adicional permite considerar estos tipos de riesgos.   Preassignment posibilita la elección de assets según la preferencia del inversor.  
  • Aquí vemos como creció el modelo. Se consideran formulaciones enteras y algoritmos de criterios múltiples. Adicionalmente se distinguen dos clases de resitricciones: 1. Las restricciones teóricas que son las que ya conocíamos. 2. Las restricciones prácticas que son las que surjen de la experiencia en el mundo real. Vemos que en este modelo se menciona la restriccion de Turnover and return por completitud. Esta restricción aparece en modelos que contemplan períodos multiples, pero ese problema está fuera del alcance de esta presentación.
  • Espacio de búsqueda: Cuando se cuenta con muchas restricciones asegurar la validez de una solución puede ser costoso. O quizás está asegurado por la técnica de generación de vecinos. Lo cierto es que en la literatura es difícil de encontrar casos en donde se asegure que cada solución visitada es factible, por la dificultad que representa demostrarlo.   Función de costos: Hay ejemplos de esto pero no los entiendo :S Soluciones vecinas: Están relacionadas con el espacio de búsqueda. Pueden o no generar soluciones inválidas. En la primer categoría  es más fácil mantener una solución factible. En la segunda categoría entran los criterios de los algoritmos evolutivos.
  • Minimun variance: No se preocupa por el retorno, pero de todas formas encuentra buenas soluciones. Minimun variance given return: Cuando se cumple la condición del retorno esperado se sigue trabajando en explaración con la lista tabu, pero con el criterio de reparación de minimun variance.  Es útil cunado sólo se requiere un nivel de retorno. Es menos poderoso que buscar el UEF, pero se ha implementado con buena performance. Hay dos criterios de vecindad: RollandI: Incrementa o decrementa la participación de un solo asset en un step predefinido. RollandII: Incrementa la participación de un asset y decrementa la de otro el mismo step. Estos criterios se tomaron como base y fueron extendidos para atacar el problema de un modelo con restricciones.
  • 1. La población es única. Hay muchas especies, cada una representa un trade off entre el retorno y el riesgo. Se generarán individuos proporcianlmente a la preferencia del inversionista.   2. Las poblaciones vecinas son aquellas con lambdas similares.     3. C puede estar entre 0 y 1.   4. Down side risk da lugar a espacios de búsqueda rugosos. Mientras que expected short fall genera espacios más suaves. 5. Se han agregado restricciones de costo de transacciones con buenos resultados.
  • 1. Las migraciones se realizan aleatoriamente.   2. Se buscan valores optimos para portfolios con distinta cantidas de acciones en paralelo.   3. El más usado en la literatura contempla todas estas restricciones. También se ha aplicado con MAD.
  • 1. Los criterios de riesgos y muchas de las restricciones sólo pueden verse desde el punto de vista financiero. Mientras que la generación de los modelos y la evaluación de los métodos queda del lado de la computación. Decidir qué restricciones usar es una tarea que requiere ambos conocimientos y mucha cocina. 2. Si bien se han obtenido buenos resultados y se ha mejorado mucho. Todavía no se contemplan muchas restricciones del mundo real, algunas son muy difíciles de medir y modelar, como por ejemplo la confianza. 4. Como dijimos al principio las estimaciones estás sujetas a errores de medición.

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  • Metaheur í sticas para el problema de la selecci ó n de portfolio (PSP)
  • Metaheuristics for the Portfolio Selection Problem Andrea Roli DEIS Universit`a di Bologna Giacomo di Tollo Dipartimento di Scienze Universit`a “G.D’Annunzio” Chieti–Pescara
  • I ndice
    •   1. Presentación del problema
    •   
    •   2. Motivación
    •  
    •   3. Modelo de Markowitz
    •  
    •   4. Extensiones al modelo
    •  
    •   5. Restricciones
    •  
    •   6. Metaheurísticas en la literatura
    •  
    •   7. Resultados
    •  
    •   8. Conclusiones
  • El problema de selección de portfolio
      • La cartera de inversiones o portfolio, es el conjunto de activos financieros compuesto por una combinación de instrumentos de renta fija y renta variable.
      • Cada inversión conlleva un riego asociado y una ganancia potencial.
      • El modelo aquí presentado es una simplificación que considera sólo la adquisición de acciones.
      • Se intenta minimizar el riesgo maximizando la ganancia.
      • Los riesgos y las ganancias son estimados mediante procesos estocásticos sujetos a errores de medición. 
      • Es difícil incorporar al modelo restricciones que se presentan en la realidad, como el tamaño mínimo de las operaciones, el tamaño máximo de la cartera o los costos y comisiones por operaciones, entre otros.
  • El problema de selección de portfolio(II)
    • PSP:
      •   Presentado por Harry Markowitz formula un problema de optimización donde se debe minimizar el riesgo.
      • Sin embargo, falla en capturar muchos aspectos del mundo real.
    •  
    • PSP restringido:
      • Es el resultado de agregar restricciones encontradas en el mundo real al modelo original.
      • Se ha demostrado que es un problema de dificultad NP-Completo
  • Algunos problemas de eficiencia    
      •   En algunos casos, los problemas son de gran tamaño, con restricciones particulares o se dispone de poco tiempo de computo. Esto hace de los métodos exactos no sean una herramienta conveniente para atacar instancias de gran envergadura.
    •  
      •   En estos casos los investigadores han desarrollado algoritmos aproximados, en particular se han focalizado en metaheurísticas y técnicas híbridas, dando como resultado "solvers" para algunas formulaciones del problema.
  • Modelo PSP
    • En la formulación de Markowitz el riesgo se mide con la varianza del portfolio.
    • sujeto a:
    •  
    •  
  • Modelo PSP (II)
      • La covarianza nos indica el grado de correlación entre los variables aleatorias entre X e Y
      • El resultante de la cartera es representado por una variable aleatoria y el valor esperado es dado por (1) que es el valor mínimo de retorno requerido para el problema
  • Modelo PSP (III)
  • Modelo PSP extendido
    • Función objetivo (Lagrangean relaxation)
    • donde lambda es el coeficiente de trade-off.
    • El inversor puede elegir el portfolio dependiendo de requerimientos riesgo/retorno específicos.
    • Esta representación es poco representativa del problema real, incluso Markowitz recomendó usar la semivarianza que representa mejor el riesgo percibido por los inversores.
    •  
  • Modelo PSP extendido (II)
    • Target downside risk:
    • Donde el treshold tao conocido como Value-at-risk (VaR) puede ser percibido como una medida del riesgo catastrófico, ya que los inversores suelen preocuparse por eventos de baja probabilidad y alto impacto.
    • Short fall probability and expected short fall probability:
    • Es la probabilidad que el retorno caiga por debajo del VaR
    • Es el retorno esperado dado que que su valor está por debajo del VaR.
    • Si bien VaR falla en resaltar la importancia de la diversificación, el acuerdo de Basel permite a los bancos utilizarla para calcular el riesgo crediticio, por lo que es muy utilizada.
  • Restricciones
      • Budget and return
      • Las posibilidades están limitadas por el capital y el retorno. 
      • Cardinality
      •   Reduce los costos de managment
      • Floor and ceiling
      • Evita costos de transacciones y limita el riesgo. 
      • Short sales
      • Intenta reducir los efectos de una potencial baja de valor.  
      • Rounds
      • Modela la adquicición de activos enteros.  
      • Class
      • Permite diversificar por clases. 
      • Preassignment
      • Admite elecciones por parte del inversor. 
      • Transaction costs
      • Contempla varios costos fijos de las transacciones.
  •  
  • Criterios en la literatura
    • El espacio de búsqueda
    • En la literatura hay implementaciones que no permiten visitar soluciones inválidas, otros que dada una solución inválida la reparan y también se pueden encontrar métodos que aplican penalizaciones. Se hace un trade off entre la exploración y la intensificación.
    • La función de costos
    • En la mayoría de las implementaciones la función objetivo se usa como función de costos. Sin embargo, hay casos en los que se han utilizado otras funciones para guiar el proceso de búsqueda.
    •  
    • Soluciones vecinas
    • Se puede clasificar la construcción de soluciones vecinas en dos categorías: 
    • 1. Las que toman un pivot en el protfolio y la comparan con una cantidad x de otras acciones. 
    • 2. Las que modifican una cantidad arbitraria de acciones en el portfolio.
  • Metaherísticas (Simulated annealing)
      • Simulated annealing se caracteriza por la posibilidad de moverse a soluciones vecinas de un costo mayor.
      • La probabilidad de moverse hacia soluciones peores que la actual depende de la diferencia del costo entre ambas. 
      • Este criterio probabilístic o de aceptación permite que la búsqueda no caiga en óptimos locales.  
      • Los autores Crama y Schyns experimentaron en modelos de una sola restricción utilizaron 3 estrategias:
        • Corridas independientes usando la misma solución inicial.
        • Corridas subsecuentes usando como solución inicial la iteración anterior.
        • Ejecutar el algoritmo una candidad de veces tal que una lista P de soluciones interesantes es creada, se ejecuta el algoritmo tantas veces como elementos haya en P usando como solución inicial el i-esimo elemento de la lista.
  • Metaherísticas (Simulated annealing)
    • ACEF , UEF y CEF:
      • Ninguna de las 3 muestra un mejor desempeño, lo cual implica que la solución inicial no determina mejoras en la búsqueda
    • Multiobjetivo:
      • En este caso los movimientos aceptados solo aquellos que al menos un criterio es mejorado, mientras que las soluciones que deterioran son evaluadas de acuerdo al criterio probabilístic o escogido. Este enfoque fue aplicado a restricciones del tipo: Floor & ceiling y cardinalidad.
      • Para este modelo las soluciones encontradas son aquellas que viven en la parte baja de la región efectiva y minimizan tanto el riego como la ganancia.
  • Metaheurísticas (Tabu search)
    • Rolland utiliza el modelo sin restricciones e intenta construir un protfolio con un retorno dado, en vez de buscar el mejor.
    • Minimun variance:
      • Después de 5 pasos dentro del espacio de soluciones no factibles ejecuta un algoritmo de reparación.
      • Si la inversión excede el presupuesto toma el activo con mayor suma de covarianza y decrementa su participación.
      • Si la inversión está por debajo del presupuesto toma el activo con menor suma de covarianza e incrementa su participación.
    • Minimun variance given return:
      • Mientras el retorno esperado no se encuentre a 0,005% del dado:
    •  
    •   
      • Si la inversión supera el presupuesto decrementa xi.
      • Si la inversión está por debajo del presupuesto aumenta xi.
  • Metaheurísticas (Tabu search)
      • Glover et al. ataca un porblema similar a PSP pero que trabaja sobre períodos multiples (asset-allocation with fixed-mix).
      • Busca partir el portfolio en clases formadas por acciones, bonos y bonos del tesoro; para mantener un mismo riesgo en todos los períodos.
      • En cada período toma en cuenta el cash flow generado por el management, pues los dividendos generados por los activos son reinvertidos. 
      • Tiene en cuenta, también, el costo de las transacciones.
      • Permite agregar estrategias utilizadas en la práctica, como por ejemplo, vender los activos con retornos mayores a los esperados y comprar más de aquellos con retornos menores al esperado. 
  • Metaherísticas (Evolutionary algorithms)
      • Tettamanzi et al. usa una población con una especie por cada lambda. Se generan individuos proporcionalmente a la probabilidad de que pertenezcan a la especie de interés.
      • Las poblaciones vecinas son aquellas con lambdas similares.
      • La reproducción se realiza con un criterio elitista, donde sólo las mejores soluciones participan. El cross-over es una combinación lineal de los padres: c*padre + (1-c)*madre .
      • Fue la base de algunos algoritmos meméticos que utilizan SA y TA. Los resultados indican que TA trabaja mejor con una medida down side risk, mientras que SA mejora al usar expected shortfall.
      • Los resultados indican que se obtienen mejores resultados intensificando la búsqueda sobre espacios suaves lo que permite escapar de un optimo local sin grandes perdidas en performance.
  • Metaherísticas (Evolutionary algorithms)
      • Existen implementaciones distribuidas que agregan migraciones entre poblaciones vecinas para evitar la convergencia prematura. Cada subpoblación está relacionada con un lambda.
      • La restricción de cardinalidad permite buscar paralelamente distintas fronteras para cada valor k. La información intercambiada durante la reproducción y las migraciones mejora los procesos de búsqueda.
      • Se han incorporado restricciones de floor-ceiling y transaction cost con muy buenos resultados.
      • La naturaleza de estos algoritmos logra mejorar la performance en formulación con objetivos múltiples. Mientras que se considera muy poco flexible en formulaciones de objetivos singulares.
  • Metaherísticas (Ant colony)
      • Una aplicación exitosa de Ant Colony para el problema de PSP con restricción de cardinalidad fue realizado por D.G. Maringer.
      • Este aproach consiste en definir una población de n hormigas que exploran el grafo conexo de n nodos. 
      • En este modelo se mapea cada nodo a cada elemento disponible para invertir y el camino realizado por cada hormiga se utiliza como el conjunto de elementos del portfolio para invertir.
      • El tamaño del camino es k, donde k es el tamaño del portfolio.
  • Metaherísticas (Ant colony)
      • En el caso de multi restricción, las hormigas se dividen en poblaciones tales que cada población resuelve una restricción.
      • Cuando las hormigas terminan la exploración, una búsqueda golosa refina la solución. 
      • Ant Colony encuentra mejores soluciones que SA, los resultados obtenido por ACO pertenecen a la parte alta de la frontera, donde el riesgo y la ganancia son altos.
  • Comparaciones
    • Las diferentes implementaciones puede llevar a comparaciones injustas.
    • Tenemos que tener en cuenta criterios muy variados respecto a un modelo dado:
    •                             Eficiencia, Robustez, Performance
    •  
    • Usualmente se comparan los resultados obtenidos por implementaciones sobre modelos con restricciones contra  otros sin restricciones. Es importante utilizar el mismo set de datos.
    •  
    • Los resultados parecen indicar que los algoritmos evolutivos suelen obtener las mejores soluciones. Simulated annealing y colonia de hormigas no son tan efectivos, pero logran mayor performance. Finalmente, Tabu search es en general el peor.
  • Conclusiones
      • Este problema es intrínsicamente interdisciplinario y requiere grandes aportes tanto del mundo de la computación como del de las finanzas.
      • Los trabajos en la literatura muestran por un lado el potencial de estas estrategias de resolución, y por otro otro lado los numerosos problemas que surgen de las distintas modelizaciones y diseños de algoritmos.
      • Actualmente se está trabajando en algoritmos híbridos que resuelvan problemas sujetos a múltiples restricciones. La intención es lograr buenos resultados con un modelo lo más realista posible.
      • Todos estos modelos incluyen en alguna medida información estocástica, por lo que su importancia no puede quedar desapercibida.