2. SAS
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Índice
Tema:...........................................................................................................................................................2
Objetivos:...................................................................................................................................................2
Introducción ..............................................................................................................................................2
Modelamiento del sistema.....................................................................................................................5
Variables de Estado:..............................................................................................................................5
Selección de variables de estado:...................................................................................................5
Desarrollo: ...............................................................................................................................................8
DISEÑO DEL CONTROLADOR EN CONTINUO ..........................................................................................12
Cálculos para la obtención del periodo de muestreo .....................................................................18
Detalle de discretización del sistema.......................................................................................19
Matrices en discreto para Tiempo de muestreo de 0.01..................................................20
Diseño detallado del controlador discreto..............................................................................21
Para T=0.01 ..................................................................................................................................22
Esquema de implementación en tiempo real .........................................................................22
Simulación en simulink del controlador de estados:...........................................................23
Para T=0.01 ..................................................................................................................................23
Resultados del controlador.................................................................................................24
Simulación del Sistema de Control discreto funcionando .........................................................24
Salida de alfa1 (posición del brazo de la rueda)............................................................................25
Salida de alfa2 (posición del brazo superior).................................................................................25
Validación de Resultados ...................................................................................................................26
Análisis de resultados..........................................................................................................................26
Conclusiones y Recomendaciones......................................................¡Error! Marcador no definido.
Bibliografía..................................................................................................¡Error! Marcador no definido.
3. SAS
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Tema:
Diseño de controladores discretos en espacio de estado y un controlador PID por ubicación de
polos para el sistema semi-activo de suspensión SAS
Objetivos:
Realizar el respectivo modelamiento de la planta mediante los puntos de operación y
parámetros a controlar del sistema.
Diseñar un controlador discreto por ubicación de polos más acción integral discreto y
un controlador con estimación de estados, de acuerdo con la ecuación del SAS.
Implementar el controlador obtenido de manera teórica y aplicarlo de manera practica
en la planta ubicada en el laboratorio de servomecanismos.
Introducción
El SAS ha sido diseñado para funcionar con un controlador digital externo, basado en PC.
El ordenador de control se comunica con los sensores de nivel, válvulas y bombas por un
sistema de suspensión semi-activa de E / S dedicada.
La placa de E / S es controlado por el software de tiempo real, que opera en un entorno de
prototipo rápido MATLAB / Simulink / RTWT.
Este manual describe:
El sistema
La instalación del software SAS
Los modelos matemáticos y la teoría relacionados con los experimentos de control
Los procedimientos de identificación
Cómo utilizar la biblioteca de listas para utilizar los controladores en tiempo real
Paso a paso la forma de diseñar y aplicar los controladora propia en el MATLAB / Simulink
entorno de tiempo real.
La capacidad de los fluidos (magnetoreológico MR) para cambiar rápidamente las propiedades
reológicas con la exposición a un campo magnético aplicado se utiliza en implementaciones de
dispositivos de RM de los cuales proporcionan una solución eficaz para el control de SAS en
una variedad de aplicaciones.
El amortiguador de MR incorporado en SAS actúa como una interfaz entre los sensores
electrónicos, algoritmos de control pre-programados y la estructura mecánica de la suspensión,
4. SAS
3
el uso de la corriente para ajustar la amortiguación del amortiguador bobina externa. La fuerza
de recuperación en un amortiguador MR depende de la velocidad del pistón y la fuerza del
campo magnético.
SAS es accionado por un motor de corriente continua plana acoplada a una pequeña rueda
excéntrica. La rueda de coche rueda suspendida debido a la rotación de la rueda pequeña y
oscila arriba y abajo debido a la pequeña excentricidad de la rueda. Cuanto mayor es la
velocidad angular del motor de corriente continúa mayor frecuencia de oscilaciones verticales
de las ruedas de automóviles. En lo que se refiere a la amplitud de las oscilaciones se puede
notar que se produce la magnitud máxima en la resonancia del cuerpo de coche (aprox. 1,6
Hz). El primer pico de amplitud se lleva a cabo a la frecuencia resonante de la rueda (aprox. 0,7
Hz). El objetivo de SAS es reducir tanto como sea posible la magnitud de las oscilaciones en el
intervalo operativo de frecuencias aplicadas. Uno puede aplicar los algoritmos de control pre-
programados o escribir su propio algoritmo de control de la suspensión sobre la base de tres
señales medidas. Hay: dos ángulos de palanca
La suspensión de la rueda de coche (no suspendido masa) y la suspensión carrocería del
vehículo (masa suspendida) y el pequeño ángulo de giro de la rueda excéntrica.
Ilustración 1 Elementos del SAS
Ilustración 2 El acoplamiento del DC Flat Motor y ruedas de aluminio excéntrico
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4
Ilustración 3 rueda y coche de la rueda de aluminio (masa no suspendido)
Ilustración 4 Amortiguador y resorte
Ilustración 5 VISTA DEL SAS
6. SAS
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Modelamiento del sistema
Las siguientes variables son definidas en el diagrama:
Ilustración 6 Diagrama Geométrico del SAS
Variables de Estado:
Es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas,
salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden.
Selección de variables de estado:
Elementos almacenador de energía: variable física de estado
Capacitor C Voltaje v
inductor L corriente I
masa m velocidad V
momento de inercia J velocidad angular w
resorte k elongación x
amortiguador b elongación x
7. SAS
6
Para realizar la representación en espacio de estados se sigue el siguiente
procedimiento:
1. Seleccionar la variable de estado a partir de los elementos almacenadores de energía.
2. Plantear las ecuaciones de estados y las relaciones de dependencia de las variables.
3. Reemplazar las variables de estado en las ecuaciones del sistema de manera que solo
se tenga ecuaciones de primer orden para esto se deberá realizar n cambios de
variables hasta conseguir expresiones de primer orden.
4. Seleccionar las variables de salida y relacionarlas por medio de las variables de estado
vs la entrada sin contener ninguna derivada.
5. Construir la ecuación de estado y de salida.
ELEMENTOS ELECTRICOS ALMACENADORES DE ENERGIA
Los elementos electrónicos almacenadores de energía, son aquellos, que permiten "acumular"
la energía, con el fin de ser proporcionada en el instante requerido.
CONDENSADORES (C)
Acumulan, energía eléctrica, por medio de dos placas metálicas, que son polarizadas a un
voltaje requerido, su variable de estado es el voltaje.
BOBINAS (L)
Son acumuladores, que a partir de un cable enrollado, al ser polarizado, circula una corriente la
cual genera un campo magnético, es decir que acumula Energía Electromagnética, su variable
de estado es la corriente.
8. SAS
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MASA (m)
Es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo, su variable de estado es la
velocidad.
RESORTES (J)
Es un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir
deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido.
Su variable física de estado es la elongación
AMORTIGUADORES (B)
El amortiguador es un dispositivo construido de materiales resistentes cuya función es la de
controlar las fuerzas axiales, radiales, centrifugas y de carga a las que es sometido un objeto
para mantenerlo en equilibrio dinámico. Su variable física de estado es la elongación.
9. SAS
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Desarrollo:
𝑚1=0.035 [𝑚] Distancia entre el conjunto amortiguador y la línea de palanca basculante
(el inferior y superior)
𝑚2=0.035 [𝑚] Distancia entre el conjunto amortiguador y la línea de palanca basculante
(el inferior y superior)
𝑟1=0.025 [𝑚] Distancia entre la articulación de resorte y la línea de palanca basculante
(el inferior y superior)
𝑟2=0.025 [𝑚] Distancia entre la articulación de resorte y la línea de palanca basculante
(el inferior y superior)
𝑟3=0.050 [𝑚] Distancia entre el eje de la rueda y la línea de balancín inferior
𝑙1=0.125 [𝑚] Distancia entre la articulación del amortiguador y la línea de balancín
inferior.
𝑙2=0.130 [𝑚] Distancia entre la articulación del amortiguador y la línea de balancín
superior.
𝑙3=0.200 [𝑚] Distancia entre el eje de la rueda y la palanca basculante inferior
𝑠1=0.135 [𝑚] Distancia entre la articulación del resorte y la línea de balancín inferior
𝑠2=0.160 [𝑚] Distancia entre la articulación del resorte y la línea de balancín superior.
𝛼1𝑓=𝑎𝑟𝑐tan(𝑚1𝑙1)=0.2730 [𝑟𝑎𝑑] Angulo de fijación del amortiguador
𝛼2𝑓=𝑎𝑟𝑐tan(𝑚1𝑙2)=0.2630 [𝑟𝑎𝑑] Angulo de fijación del amortiguador
𝛼1𝑠=𝑎𝑟𝑐tan(𝑟1𝑠1)=0.1831 [𝑟𝑎𝑑] Angulo de fijación del resorte
𝛼2𝑠=𝑎𝑟𝑐tan(𝑟2𝑠2)=0.1550 [𝑟𝑎𝑑] Angulo de fijación del resorte
𝛽=𝑎𝑟𝑐tan(𝑟3𝑙3)=0.2450 [𝑟𝑎𝑑] Angulo de fijación del eje de la rueda
𝑟1𝑓= √𝑚12+𝑙12 =0.1298 [𝑚] Radio de giro inferior de la suspensión del amortiguador
𝑟2𝑓= √𝑚22+𝑙22 = 0.1346 [𝑚] Radio de giro superior de la suspensión del amortiguador
𝑟1𝑠= √𝑟12+𝑠12 =0.1373 [𝑚] Radio de giro inferior de la suspensión del resorte.
𝑟2𝑠= √𝑟22+𝑠22 = 0.1619 [𝑚] Radio de giro superior de la suspensión del resorte.
𝑅= √𝑟32+𝑠32 = 0.2062 [𝑚] Radio de giro del eje de la rueda.
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𝐷𝑥=0.249 [𝑚] Distancia entre el eje de rotación palanca basculante y la parte inferior de
la rueda (excentricidad mínima).
𝑟=0.06[𝑚] Radio de la llanta.
𝐼0=0.07 [𝑚] Espesor del neumático.
𝑏=0.330[𝑚] Distancia entre el eje de rotación de la palanca oscilante y el cuerpo | del
coche.
El sistema esta descrito por las siguientes ecuaciones diferenciales.
Los torques de accionamiento de la palanca oscilante superior (la carrocería).
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Torques que se producen por el amortiguador magneto y el resorte se expresan en las
siguientes fórmulas:
Es el ángulo de inclinación de la línea operativa del resorte.
Es el ángulo de inclinación de la línea operativa amortiguador magneto.
Fuerza generada por la línea operativa amortiguador magneto.
Es la fuerza generada por el resorte.
12. SAS
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MODELAMIENTO POR ESPACIOS DE ESTADOS:
Las variables de estado para este sistema son:
El ángulo 𝛼
El ángulo 𝛼
El velocidad angular con respecto al ángulo 𝛼 ;
El velocidad angular con respecto al ángulo 𝛼 ;
Por tanto las ecuaciones diferenciales con referencia al manual de usuario del Sistema de suspensión
semi activa son:
𝛼̇
𝛼̇
̇ ∑
̇ ∑
Y las matrices de estado son:
*Todos los cálculos se encuentran desarrollados en los archivos (modelo2.m ¨matriz A¨, modeloB.m
¨matriz B¨, modelofinal.m ¨función de transferencia a partir de espacio de estados¨ )
[ ]
[ ]
[ ]
Por tanto la función de transferencia queda de la siguiente manera:
(𝑠)
( ) ( )
( )( )( )
13. SAS
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DISEÑO DEL CONTROLADOR EN CONTINUO
Parámetros para el diseño del controlador
ess=0%
Mp=13%
Ts= 1s
Para corregir el error en estado estacionario se debe añadir un polo en el origen y para corregir
los parámetros en régimen transitorio es necesario la adición de ceros ya sea uno o varios.
Al requerir un error en estado estacionario de cero es totalmente necesario introducir en
nuestro controlador un factor integral, para ello será necesario un control integral PI o PID.
Al introducir el polo en el origen en nuestro sistema tenemos lo el siguiente G(s):
(𝑠)
( ) ( )
( )( )( )
Como se necesita realizar cambios en los valores del régimen transitorio se necesitan obtener
raíces que permitan añadir los cambios a nuestra planta, para el cálculo de las raíces se
realizó:
√
0.5446
𝑠
√
Con estas raíces podemos obtener los valores del máximo pico y tiempo de establecimiento
planteados.
14. SAS
13
LGR de la planta
Para saber si estas raíces pertenecen o no al lugar geométrico se debe comprobar mediante el
criterio del ángulo del LGR
𝑙 (𝑠 ) 𝑙 (𝑠 ) 𝑙 (𝑠 ) 𝑙 (𝑠 )
𝑙 ( ) 𝑙 (𝑠) 𝑟
𝑟
Por tanto, las raíces no pertenecen al lugar geométrico, por lo que es necesario modificar el
LGR a conveniencia con el controlador para que estas raíces pertenezcan al lugar geométrico.
Ángulo a compensar:
El controlador debe compensar un ángulo de 179.512
Un controlador PID agrega un polo en el origen y dos ceros que juntos pueden aportar un
máximo de 180°. El PID se usa cuando se desea mejorar tanto la respuesta transitoria así
como el error de estado estacionario, ya que, usa las ventajas de los tres tipos de
controladores: P, PI, PD permitiendo así mejorar los parámetros de la respuesta transitoria así
como obtener un valor en error en estado estacionario de cero y en nuestro caso nos ayuda a
compensar el ángulo que se requiere para el diseño mediante LGR. Se decide entonces optar
por un controlador PID
𝑐(𝑠)
𝑑𝑠 𝑠
𝑠
Se ha realizado un análisis con ceros complejos conjugados y ceros reales.
-1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
15. SAS
14
( )
𝑥
𝑥 𝑥
Con lo cual el punto será:
Para hallar el valor de K para ese punto usamos la definición de magnitud de LGR:
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
( )( )( )(𝑠)
( ) ( )( )( )
]
𝑐
Por tanto el PID quedara:
( )
( )( )
16. SAS
15
( )
𝑥
𝑥
Con lo cual el punto será:
Para hallar el valor de K para ese punto usamos la definición de magnitud de LGR:
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
( )( )( )(𝑠)
( ) ( )( )
]
𝑐
Por tanto el PID quedara:
( )
( )
17. SAS
16
PID con ceros reales VS PID con ceros complejos conjugados
Por tanto el controlador a escogido es el PID con ceros complejos conjugados.
( )
( )( )
Se debe llevar al controlador a la forma:
𝑐(𝑠) ( 𝑑𝑠
𝑠
)
Realizando los cambios respectivos llegamos a una forma más simple para obtener los
parámetros:
𝑐(𝑠)
(𝑠 𝑠 )
𝑠
𝑐(𝑠) ( 𝑠 )
𝑑
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Step Response
Time (sec)
Amplitude
PID con ceros reales
PID con complejos conjugados
18. SAS
17
Simulación en simulink del controlador de PID:
Salida de alfa1 (posición del brazo de la rueda)
Salida de alfa2 (posición del brazo superior)
19. SAS
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DISEÑO DEL CONTROLADOR DIGITAL
Cálculos para la obtención del periodo de muestreo
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
(𝑐 𝑠( ) 𝑠 ( ))
( )
𝑓 𝑚𝑎𝑥
𝑓
𝑓
𝑓𝑚𝑎𝑥
Ts1: 𝑓𝑠 𝑓𝑚𝑎𝑥
20. SAS
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𝑓𝑠
𝑓𝑠
𝑠
𝑓𝑠
𝑠
𝑠
Ts2: 𝑓𝑠 𝑓𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑠
𝑓𝑠
𝑠
𝑓𝑠
𝑠
𝑠
Siguiendo las especificaciones del manual de usuario decidimos utilizar un tiempo de muestreo
menor el cual seria 0.1
Detalle de discretización del sistema
Para obtener las matrices en discreto se utiliza las siguientes formulas:
∫ ( ) 𝑑
Con la ayuda del matlab obtenemos las matrices de una manera más sencilla, las matrices de
estados son las siguientes:
21. SAS
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A=[ ] B=[ ] C=[ ] D=[ ]
Mediante el matlab obtenemos las matrices discretizadas con la siguiente fórmula:
Matrices en discreto para Tiempo de muestreo de 0.01
[Ak,Bk]=c2d(A,B,0.01)
22. SAS
21
Diseño detallado del controlador discreto
Parámetros a optimizar:
MP=3%
ts=5 seg
ess<<0
Máximo Impulso:
Es el máximo valor del pico de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad.
( )
√
( )
√
( )
( )
√
( )
( )
√
( )
(√ ) (
( )
)
( )
Tiempo de asentamiento o establecimiento:
Es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del
valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2
o 5%).
Criterio del 2%:
23. SAS
22
Atenuación:
Frecuencia natural No amortiguada.
𝑑 √
𝑑 √
𝑑 Frecuencia natural amortiguada.
Punto de Análisis:
𝑑
Escogemos de igual manera dos polos más que nos permitan realizar nuestro controlador los
cuales serán seis veces mayores a los dos primeros y son los siguientes:
Pasamos a discretica dichos puntos para poder realizar nuestro controlador en discreto y poder
obtener nuestras respectivas constantes:
Para T=0.01
( ) 𝐼
𝐼 𝑎 𝑎 𝑎 ( )
𝑎 [ ][ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ] ( )
[ ]
Esquema de implementación en tiempo real
25. SAS
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Resultados del controlador
Simulación del Sistema de Control discreto funcionando
A continuación mostraremos los resultados de nuestro controlador probado en el simulador el
cual es dado por el programa del sistema SAS
26. SAS
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Salida de alfa1 (posición del brazo de la rueda)
Salida de alfa2 (posición del brazo superior)
27. SAS
26
Validación de Resultados
Validación de Resultados T=0.01
Requeridos Simulink
Simulador SAS
Alfa 1 Alfa 2
Mp 3% 3.5% 4.5% 4.5%
Ts 5 segundos 6 segundos 5 segundos 7 segundos
Ess 0% 0.2% 0.03% 0%
Análisis de resultados
Podemos observar una variación del 1 a 2 segundos entre lo que establecimos en
nuestro control, esto puede ser dado puesto que no se tomaron todos los decimales los
cuales pueden causar un error.
Para poder ver un correcto funcionamiento de nuestro control se debería realizar un
estimador el cual nos permitiría observar que los diferentes valores establecidos se
están cumpliendo.
Solo se puede concluir que el control que está realizando es correcto puesto que como
vemos en la gráfica de simulación en simulink nos dice que este se establece según lo
acordado, pero el comportamiento real de la planta no se puede simular, ya que este es
vibratorio como podemos observar en nuestra simulación realizada en el sistema SAS,
dificultando nuestro análisis de los resultados.
Los valores de MP no pueden ser muy bien apreciados en nuestro simulador SAS,
puesto que este nos muestra un comportamiento vibratorio realizado por el
amortiguador, hasta que el mismo se establezca en los ángulos deseados.
