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Slides udm-220910

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Slides udm-220910 Slides udm-220910 Presentation Transcript

  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Statistique de l’assurance, STT 6705 Statistique de l’assurance II Arthur Charpentier Universit´ Rennes 1 & Universit´ de Montr´al e e e arthur.charpentier@univ-rennes1.fr ou ou charpentier@DMS.UMontreal.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ 22 septembre 2010 1
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Mod´liser les coˆ ts individuels e u Les deux mod`les les plus classiques permettant de mod´liser les coˆts e e u individuels de sinistre sont – le mod`le Gamma sur les coˆts individuels Yi e u – le mod`le log-normal sur les coˆts individuels Yi , ou plutt un mod`le Gaussien e u e sur le logarithme des coˆts, log(Yi ), la loi lognormale n’appartenant pas la u famille exponentielle. Pour rappel la loi Gamma admet pour densit´ e x xα−1 e− 1/β f (x; α, β) = Γ (α) β −α d’esp´rance α/β et de variance α/β 2 . Et la loi lognormale, e −(ln x−µ)2 /(2σ 2 ) e f (x; µ, σ) = √ xσ 2π 2 2 2 d’esprance eµ+σ /2 et de variance (eσ − 1)e2µ+σ . 2
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Le mod`le Gamma e Bien que le lien canonique de la loi Gamma soit la fonction inverse, il est plus fr´quent d’utiliser un lien logarithmique. En effet, la forme multiplicative donne e des interpr´tations simples dans le cas des mod`les multiples. e e > reggamma <- glm(cout~ageconducteur,family=Gamma(link="log"), + data=sinistres) > summary(reggamma) Call: glm(formula = cout ~ ageconducteur, family = Gamma(link = "log"), data = sinistres) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -3.6322 -0.9769 -0.6110 -0.3917 52.5993 3
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 8.180643 0.208009 39.328 <2e-16 *** ageconducteur -0.010440 0.004383 -2.382 0.0172 * --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1 (Dispersion parameter for Gamma family taken to be 109.7107) Null deviance: 46482 on 26443 degrees of freedom Residual deviance: 45637 on 26442 degrees of freedom AIC: 458704 Number of Fisher Scoring iterations: 9 Si on s’int´resse la valeur pr´dite pour une personne d’ˆge ageconducteur=50, e e a on obtient 4
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V > predict(reggamma,newdata=data.frame(ageconducteur=50), + type="response") 1 2118.879 5
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Le mod`le lognormal e La r´gression lognormale peut ˆtre obtenue en consid´rant une r´gression lin´aire e e e e e (Gaussienne) sur le logarithme du coˆt, u log(Yi ) = X i β + εi avec εi ∼ N (0, σ 2 ). En effet, par d´finition de la loi lognormale, Y ∼ LN (µ, σ 2 ) si e et seulement si log Y ∼ N (µ, σ 2 ). Le principal soucis dans cet ´criture est que e   E(Y ) = exp µ + σ2 = exp(µ) = exp[E(log Y )]  2  Var(Y ) = exp 2µ + σ 2 exp σ 2 − 1 = exp(σ 2 ) = exp[Var(log Y )]  Autrement dit, il sera d´licat de passer des estimations faites partir du mod`le e e sur log Y des pr´dictions sur le coˆt Y . Une r´gression sur le logarithme des e u e coˆts donnerait par exemple, u > reglm <- lm(log(cout)~ageconducteur,data=sinistres) > summary(reglm) 6
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Call: lm(formula = log(cout) ~ ageconducteur, data = sinistres) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 6.7501521 0.0224328 300.905 < 2e-16 *** ageconducteur 0.0021392 0.0004727 4.525 6.06e-06 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 1.13 on 26442 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.0007738, Adjusted R-squared: 0.0007361 F-statistic: 20.48 on 1 and 26442 DF, p-value: 6.059e-06 > sigma=summary(reglm)$sigma Si on s’int´resse la valeur pr´dite pour une personne d’ˆge ageconducteur=50, e e a on obtient 7
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V > mu=predict(reglm,newdata=data.frame(ageconducteur=50)) > exp(mu+sigma^2/2) 1 1799.239 On notera que les deux mod`les donnent des r´sultats tr`s sensiblement diff´rents e e e e (en terme de signe par exemple). On peut comparer les pr´dictions sur la Figure e 1 (sur laquelle des r´gressions nonparam´triques ont ´t´ superpos´es). e e ee e 8
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 3500 3000 2500 Coût individuel d'un sinistre 2000 1500 1000 Gamma 500 Lognormal Gamma (splines) Lognormal (splines) 0 20 40 60 80 100 Age du conducteur principal Figure 1 – R´gressions lognormale versus Gamma, o` le coˆt individuel est ex- e u u pliqu´ par l’ˆge du conducteur. e a 9
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V La Figure 2 montre les mˆmes types de mod`les si l’on cherche expliquer le coˆt e e u par l’anciennet´ du v´hicule. En particulier, la croissance du coˆt moyen en e e u fonction de l’ˆge du v´hicule est surprenante compte tenu de la baisse de la cote a e du v´hciule l’argus, e 10
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 3500 3000 2500 Coût individuel d'un sinistre 2000 1500 1000 Gamma 500 Lognormal Gamma (splines) Lognormal (splines) 0 0 5 10 15 20 25 Ancienneté du véhicule Figure 2 – R´gressions lognormale versus Gamma, o` le coˆt individuel est ex- e u u pliqu´ par l’anciennet´ du v´hicule. e e e 11
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V En fait, la divergence entre les deux mod`les vient du fait que le mod`le Gamma e e est tr`s sensible aux valeurs extrˆmes. Un avantage du mod`le lognormal est e e e qu’en prenant le logarithme des coˆts, on att´nue l’importance des sinistres de u e coˆt exceptionnel. En ´cartant les sinistres tels que sinistres$cout>200000, on u e obtient des mod`les comparables (et proches de ce que donnait la r´gression e e lognormale sur l’ensemble de la base) > sinistrescap <- sinistres[sinistres$cout<200000,] 12
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 3500 3000 2500 Coût individuel d'un sinistre 2000 1500 1000 Gamma 500 Lognormal Gamma (splines) Lognormal (splines) 0 0 5 10 15 20 25 Ancienneté du véhicule Figure 3 – R´gressions lognormale versus Gamma, o` le coˆt individuel est ex- e u u pliqu´ par l’anciennet´ du v´hicule. e e e 13
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Nous reviendrons plus en d´tails sur la prise en compte de ces sinistres e exceptionnels (qui ici ont simplement ´t´ ´cart´s). eee e 14
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Montant plafonn´s et censure e Dans la plupart des assurances associ´es aux dommages mat´riels, les polices e e indiquent des montants maximals. Dans le cas o` seul le v´hicule de l’assur´ est u e e couvert, le montant maximal d’un sinistre mat´riel est la valeur du v´hicule. e e Dans la garantie vol des contrats habitations, le montant maximal sera la valeur des biens assur´s. Y est ainsi une variable censur´e par ce coˆt maximal (qui e e u peut li´ la police). e Les library(Zelig) et library(HMisc) permettent de faire une r´gression e lognormale, dans le contexte des mod`les de dur´e. Pour utiliser la fonction e e library(Zelig) on va indiquer que tous les coˆts sont noncensur´s (car ici on ne u e dispose pas de l’information) > library(Zelig) > regloglm <- zelig(Surv(cout, rep(1,length(cout))) ~ ageconducteur, + model = "lognorm", data = sinistres) > summary(regloglm) 15
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Call: zelig(formula = Surv(cout, rep(1, length(cout))) ~ ageconducteur, model = "lognorm", data = sinistres) Value Std. Error z p (Intercept) 6.75015 0.022432 300.92 0.00e+00 ageconducteur 0.00214 0.000473 4.53 6.03e-06 Log(scale) 0.12183 0.004348 28.02 9.76e-173 Scale= 1.13 Log Normal distribution Loglik(model)= -221797.7 Loglik(intercept only)= -221807.9 Chisq= 20.47 on 1 degrees of freedom, p= 6.1e-06 Number of Newton-Raphson Iterations: 2 n= 26444 16
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Prendre en compte les grands risques Il existe un grand nombre de fa¸ons de d´finir les lois queues ´paisses. La plus c e e ´l´gante d’un point de vue actuarielle est probablement la famille des lois sous ee exponentielles. Une loi de fonction de survie F sera dite sous-exponentielle si pour tout n ≥ 2, F n (x) lim =n x→∞ F (x) ou bien, si X1 , · · · , Xn , · · · sont des variables i.i.d. de loi F , P(X1 + · · · + Xn > x) ∼ P(max{X1 , · · · , Xn } > x). Autrement dit, la loi de la charge totale dans un portefeuille a des queues des distributions qui se comportent comme le plus gros sinistres. Ce sont donc des lois qui sont tr`s influenc´es par ces tr`s gros sinistres. Parmi les lois de la famille e e e sous-exponentielle, 1 – la loi lognormale, f (y) ∝ exp −[log y − µ]2 /2σ 2 yσ – la loi de Weibull, f (y) ∝ xk−1 exp[−xk ] si k < 1 17
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V mais la loi la plus utilis´e, en particulier en r´assurance, n’est pas dans la famille e e exponentielle, – la loi de Pareto, f (y) ∝ [µ + y]−α−1 Dans ces familles de lois queues ´paisses, on va ainsi retrouver une autre classe e relativement connue, savoir les lois dite variation r´guli`re. Ces lois sont aussi e e dite de type Pareto, au sens o` u P(Y > y) = y −α L(y) o` L est une fonction variation lente, i.e. u L(tx) lim = 1 pour tout t > 0. t→∞ L(x) La library(gamlss) propose d’autres familles de lois, comme les lois Reverse Gumbel ou Power Exponential Il est possible de d´finir une famille dite beta g´n´ralis´e de seconde esp`ce, not´e e e e e e e 18
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V GB2. On suppose que Γ1 L log Y = µ + σ log Γ2 o` Γ ∼ (αi , 1) sont ind´pendantes. Si Γ2 est une constante (α2 → ∞) on obtient u e la loi gamma g´n´ralis´e. e e e La densit´ de cette loi s’´crit : e e α1 −(α1 +α2 ) log y − µ log y − µ f (y) ∝ y −1 exp 1 + exp σ σ Supposons que µ soit une fonction lin´aire des variables explicatives, µ = X β. e Alors E(Y |X) = C exp[µ(X)] = C exp[X β] 19
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Ecrˆtement des grands sinistres e Si l’on consid`re des mod`les ´conom´triques bas´s uniquement sur des variables e e e e e cat´gorielles (en particulier des classes pour les variables continues) la prime pure e est alors g´n´ralement la moyenne empirique dans la classe consid´r´e (c’est en e e ee tous les cas ce que pr´conise par exemple la m´thode des marges). Mais cette e e m´thode devient alors vite tr`s sensible aux sinistres extrˆmes. e e e Afin d’´viter ce probl`me, il n’est pas rare d’´crˆter les sinistres : on calcule la e e e e prime moyenne par groupe tarifaire en ´cartant les gros sinistres, qui seront e r´partis sur l’ensemble de la population. On peut bien entendu raffiner cette e m´thode en consid´rant des mod`les hi´rarchiques et en r´partissant simplement e e e e e sur une surclasse. Supposons que les sinistres extrˆmes soient ceux qui d´passent un seuil s (connu). e e Rappelons que E(Y |X) = E(Y |X, Y ≤ s) + E(Y |X, Y > s) Le premier terme correspond aux sinistres ‘normaux’ par une loi ´voqu´e e e 20
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V pr´c´demment (r´gression Gamma par exemple). Pour le second terme, on le e e e r´´crira (Y > s|X) · E(Y |Y > s). Autrement dit, on ne distingue plus par classe ee pour le coˆt moyen. Mais on r´partira proportionnellement la fr´quence des u e e sinistres. La pr´diction sera donc bas´e sur deux parties, la premi`re pour les sinistres e e e usuels, et la seconde pour les grands sinistres, fonction de la probabilit´, par e classe tarifaire, d’avoir un sinistre exc´dant le seuil s. e > seuil=500000 > sinistres.inf = sinistres[sinistres$cout<=seuil,] > sinistres.sup = sinistres[sinistres$cout>seuil,] > sinistres$indic = sinistres$cout>seuil > proba=gam(indic~s(ageconducteur),data=sinistres,family=binomial) > probpred=predict(proba,newdata=data.frame(ageconducteur=age),type="resp > reg=gam(cout~s(ageconducteur),data=sinistres.inf,family=Gamma(link="log > Y.inf=predict(reg,newdata=data.frame(ageconducteur=age),type="response" > Y.sup=mean(sinistres.sup$cout) 21
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V > Y=Y.inf*(1-probpred)+Y.sup*probpred 22
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 15000 ensemble des sinistres base écrêtée à 500 000 base écrêtée à 100 000 Coût moyen d'un sinistre 10000 5000 0 20 30 40 50 60 70 80 90 Age du conducteur principal Figure 4 – Estimation de E(Y |X) avec ou sans ´crˆment (la surcrˆte ici ici r´partie e e e e entre les assur´s proportionnellement leur probabilit´ d’avoir un gros sinistre). e e 23
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V probpred est ici la pr´diction de (Y > s|X). La figure ?? montre comment la e charge surcrˆte est r´partie entre les assur´s : pour un seuil s 500 000 euros, les e e e tr`s jeunes conducteurs (moins de 22 ans) paieront moins, contrairement aux e assur´s de 25 35 ans. e 24
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 1.4 Impact relatif 0.8 0.2 20 30 40 50 60 70 80 90 Age du conducteur principal 1.4 Impact relatif 0.8 0.2 20 30 40 50 60 70 80 90 Age du conducteur principal Figure 5 – Impact (relatif) de l’´crˆtement, pour un seuil 100 000 euros en haut, e e et 500 000 en bas. 25
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Mod´liser les coˆ ts par police e u Dans certains cas, on ne dispose que de la charge totale annuelle par police d’assurance. Les mod`les Tweedie peuvent ˆtre vu comme des mod`les Poisson compos´s. On e e e e suppose que N Y = Zk k=0 o` les (Zk ) sont i.i.d., on on pourra supposer qu’ils suivent une loi Gamma u G(α, β), ind´pendament de N ∼ P(λ). Alors e α E(Y ) = E(N ) · E(Zk ) = λ =µ β et 2 2 α α2 Var(Y ) = E(N ) · E(Zk ) + Var(N ) · E(Zk ) = λ + 2 β2 β 26
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Supposons qu’il existe p ∈]1, 2[ et ψ > 0 tels que 2−p 1 µ2−p α= ,β = et λ = p−1 ψ(p − 1)µp−1 ψ(2 − p) alors on peut montrer que la loi de Y appartient la famille exponentielle avec E(Y ) = µ et Var(Y ) = ψµp o` le param`tre ψ est un param`tre de dispersion, et la fonction variance est u e e alors V (µ) = µp . Afin de mettre en oeuvre l’utilisation de ces mod`les, commen¸ons par sommer e c les coˆts de sinistres par police. u > base=sinistres[,1:2] > head(base) nocontrat cout 1 139 303.00 2 190 1981.84 3 414 1456.55 27
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 4 424 989.64 5 424 9844.36 6 463 3986.67 > somme <- aggregate(base[,2],by=list(base[,1]),sum) > names(somme)=c("nocontrat","cout") > head(somme) nocontrat cout 1 139 303.00 2 190 1981.84 3 414 1456.55 4 424 10834.00 5 463 3986.67 6 606 1840.14 > sinistres <- merge(somme,nombre,all=TRUE) > sinistres$cout=replace(sinistres$cout,is.na(sinistres$cout),0) On peut alors utiliser les mod`les Tweedie, par exemple avec un param`tre p=1.3, e e 28
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V > regTw <- glm(cout~ageconducteur+agevehicule+as.factor(puissance), + data=sinistres, tweedie(1.3,0)) > summary(regTw) Call: glm(formula = cout ~ ageconducteur + agevehicule, family = tweedie(puis, 0), data = sinistres) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -19.384 -8.516 -8.019 -7.481 2389.532 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 4.947441 0.224142 22.073 < 2e-16 *** ageconducteur -0.014533 0.004525 -3.212 0.00132 ** agevehicule 0.023133 0.010198 2.268 0.02330 * 29
  • ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1 (Dispersion parameter for Tweedie family taken to be 59123.96) Null deviance: 106887434 on 678012 degrees of freedom Residual deviance: 105804487 on 678010 degrees of freedom AIC: NA Number of Fisher Scoring iterations: 8 30