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  • 1. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Statistique de l’assurance, STT 6705 Statistique de l’assurance II Arthur Charpentier Universit´ Rennes 1 & Universit´ de Montr´al e e e arthur.charpentier@univ-rennes1.fr ou ou charpentier@DMS.UMontreal.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ 1er septembre 2010 1
  • 2. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V R´f´rences ee Denuit, M. & Charpentier, A. (2005). Math´matiques de l’assurance non-vie, tome e ´ II. Economica. Charpentier, A., Goulet, V. & Planchet, F. (2010). Actuariat avec R. Springer Verlag (` paraˆ a ıtre) Denuit, M. Marechal, X., Pitrebois, S. & Wahlin, J.F. (2009). Actuarial ´ Modelling of Claim Counts : Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. Wiley. Frees, E. (2009). Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications. Cambridge University Press. de Jong, P. & Helle, G. (2008). Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge University Press. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J. & Denuit, M. (2006). Modern Actuarial Risk Theory. Springer Verlag. 2
  • 3. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Barˆme du cours e Le barˆme pour l’´valuation du cours consistera en e e – un projet (50) de tarification – un projet (25) de provisionnement – un projet (25) de mortalit´ prospective e 3
  • 4. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Programmation et langage Les graphiques pr´sent´s en cours, et les applications sont programm´s en R. e e e Les codes seront mis en ligne sur le blog, ainsi que les bases de donn´es. e 4
  • 5. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Plan du cours • Introduction g´n´rale e e • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres ` payer (IBNR) a • Les tables de mortalit´ prospectives e 5
  • 6. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V • Plan du cours • Introduction g´n´rale e e N ◦ Le mod`le collectif en tarification, E e i=1 Yi = E(N ) · E(Yi ) ◦ Les mod`les lin´aires g´n´ralis´s, E(Yi |X i ) = g −1 (X i ) e e e e e ◦ Les mod`les dynamiques Yi,t e • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres ` payer (IBNR) a • Les tables de mortalit´ prospectives e 6
  • 7. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Le mod`le collectif e En tarification, on cherche ` pr´dire la charge totale de sinistre sur une ann´e de a e e couverture. Soit N le nombre (al´atoire) de sinistres survenu sur un an, et e Y1 , · · · , YN les coˆts des sinistres (si N > 0). La charge totale annuelle est u S = Y1 + · · · + YN . Sous des hypoth`ses d’ind´pendance, e e E(S) = E(N ) · E(Yi ) La probabilit´ P peut ˆtre remplac´e par n’importe quelle mesure garantissant e e e l’ind´pendance, et l’identique distribution des nombres et des coˆts, e u E(S|X ) = E(N |X ) · E(Yi |X ) o` X d´signe le facteur d’h´t´rog´n´it´ (i.e. la classe tarifaire). Un proxy sera u e ee e e e obtenu a l’aide de variables de tarificaiton {X1 , · · · , Xk } ` E(S|X1 , · · · , Xk ) = E(N |X1 , · · · , Xk ) · E(Yi |X1 , · · · , Xk ) ◦ 7
  • 8. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Le mod`le lin´aire g´n´ralis´ e e e e e En ´conom´trie lin´aire (classique), on cherche ` approcher E(Y |X1 , · · · , Xk ) par e e e a une forme lin´aire e Y = β0 + β1 X1 + · · · + βk Xk + ε = Xβ + ε o` g´n´rallement ε est suppos´ N (0, σ 2 ), i.e. u e e e (Y |X) ∼ N (Xβ, σ 2 ) Or les mod`les gaussiens ne sont pas appropri´s en assurance. On peut consid´rer e e e un mod`le Poisson, e (N |X) ∼ P(exp(Xβ)) i.e. on change la loi et le lien entre E(Y ) et le score Xβ ◦ 8
  • 9. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les approches dynamiques En provisionnement, on s’int´ressera aux cadences de paiements, i.e. combien ` e a ´t´ pay´ l’ann´e t pour les sinistres survenus l’ann´e i, Yi,t . ee e e e En assurance-vie, on s’int´ressera aux nombres de d´c`s l’anne t d’individus d’ˆge e e e a i. Le vieillissement des sinistres et des assur´s se visualise classiquement via un e diagramme de Lexis. 9
  • 10. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance Lexis diagrams have been designed to visualize dynamics of life among several individuals, but can be used also to follow claims’life dynamics, from the occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 10
  • 11. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance but usually we do not work on continuous time individual observations (individuals or claims) : we summarized information per year occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 11
  • 12. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance individual lives or claims can also be followed looking at diagonals, occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 12
  • 13. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance and usually, in nonlife insurance, instead of looking at (calendar) time, we follow observations per year of birth, or year of occurrence occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 13
  • 14. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance and finally, recall that in standard models in nonlife insurance, we look at the transposed triangle occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 14
  • 15. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance note that whatever the way we look at triangles, there are still three dimensions, year of occurrence or birth, age or development and calendar time,calendar time calendar time in life insurance in nonlife insurance 15
  • 16. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance and in both cases, we want to answer a prediction question...calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar timer time calendar time in life insurance in nonlife insurance 16
  • 17. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V What can be modeled in those triangles ? In life insurance, • Li,j , number of survivors born year i, still alive at age j • Di,j , number of deaths of individuals born year i, at age j, Di,j = Li,j − Li,j−1 , • Ei,j , exposure, i.e. i, still alive at age j (if we cannot work on cohorts, exposure is needed). In nonlife insurance, • Ci,j , total claims payments for claims occurred year i, seen after j years, • Yi,j , incremental payments for claims occurred year i, Yi,j = Ci,j − Ci,j−1 , • Ni,j , total number of claims occurred year i, seen after j years, ◦ 17
  • 18. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V • Plan du cours • Introduction g´n´rale e e • La tarification a priori ◦ Tarification a priori vs. a posteriori ◦ Les variables explicatives : par classes vs. continues ◦ Mod´liser la fr´quence de sinistres : r´gression de Poisson e e e ◦ La non d´claration de sinistres et les mod`les ` inflation de z´ros e e a e ◦ Mod´liser les coˆts de sinistres : r´gression Gamma vs. lognormale e u e ´ e ◦ Ecrˆter les gros sinistres • Les provisions pour sinistres ` payer (IBNR) a • Les tables de mortalit´ prospectives e 18
  • 19. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Tarification a priori vs. a posteriori A la fin de l’ann´e t, on souhaite estimer la prime ` demander ` l’assur´, e a a e πt = E(St+1 |X ) En assurance a priori, on recherche un proxi de X , i.e. la classe de risque, ` l’aide a de variables exog`nes, X1 , · · · , Xk , alors qu’en assurance a posteriori, un proxi de e X est obtenu ` l’aide de l’historique de l’assur´, Yt−h , · · · , Yt−1 , Yt . a e ◦ 19
  • 20. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les variables explicatives Les variables explicatives peuvent ˆtre discr`tes (classes ou facteurs).... e e 10% 9% 8% 7% 6% 5% 20
  • 21. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les variables explicatives ... mais aussi continues... 0.30 q q 0.25 Fréquence annuelle de sinistre q 0.20 q 0.15 q q q q q 0.10 qq q q q qqq qq q qq q q qqqqqqq q qqqqqqqqq q qqq qq q qqq q qqq qq qq q qqq q q q 0.05 qqq q q q qq q q q q 0.00 q qqq q 20 40 60 80 100 Age du conducteur principal 21
  • 22. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les variables explicatives ... que l’on pourra chercher ` lisser a 0.12 0.10 Fréquence annuelle de sinistres 0.08 0.06 0.04 3 degrés de liberté 5 degrés de liberté 10 degrés de liberté 0.02 20 40 60 80 100 Age du conducteur principal 22
  • 23. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les variables explicatives On parlera aussi des arbres de r´gression afin de constituer des classes (e.g. e d’ˆge)◦ a zone:bcdef | puissance < 5.5 0.005648 zone:bdf zone:bce agevehicule < 10.5 0.004274 0.001162 0.003053 puissance < 7.5 agevehicule < 2.5 0.004592 0.001323 0.004648 0.002260 23
  • 24. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les nombres de sinistres N La loi la plus classique pour mod´liser les nombres de sinistres est la loi de e Poisson, e−λ λk P(N = n) = k! qui v´rifie E(N ) = Var(N ) (´quidispersion). Cette loi est de la famille e e exponentielle, n log λ − λ P(N = n) = exp − log(n!) 1 avec comme param`tre naturel, θ = log λ = log E(Y ). e ◦ 24
  • 25. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V La surdispersion et la non-d´claration e Si N ∼ P(λ), alors E(N ) = Var(N ). Si N suit une loi Poisson m´lange, de facteur d’h´t´rog´n´it´ (inobservable) Θ, e ee e e e i.e. (N |Θ) ∼ P(λΘ ), alors E(N ) < Var(N ) En pratique, si la variance est plus grande que l’esprance, c’est qu’il reste de l’h´t´rog´n´it´ au sein des classes. ee e e e Il est possible d’utiliser une loi binomiale n´gative, ou quasi-Poisson e n log λ − λ P(N = n) = exp − log(n!) ϕ avec ϕ ∈ R+ le param`tre de surdispersion. e 25
  • 26. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V La surdispersion et la non-d´claration e Il est aussi possible de consid´rer un mod`le ` inflation de z´ros, e e a e   π + [1 − π ] · p (0) si k = 0, i i i P(Ni = k) = [1 − πi ] · pi (k) si k = 1, 2, · · · Si pi correspond un mod`le Poissonnien, on peut alors montrer facilement que e Var(Ni ) = πi µi + πi µ2 [1 − πi ] > E(Ni ) = [1 − πi ]µi i 26
  • 27. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V La surdispersion et la non-d´claration e si  π (X ) + [1 − π (X )] · p (0|X ) si k = 0, i i i i i i P(Ni = k|X i ) =  [1 − πi (X i )] · pi (k|X i ) si k = 1, 2, · · · la forme de πi (X i ) est ici ◦ 0.9 Probabilité de ne pas déclarer un sinistre 0.8 0.7 0.6 0.5 20 30 40 50 60 70 80 Age du conducteur princpal 27
  • 28. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les coˆ ts de sinistres u La loi Gamma est une loi de la famille exponentielle mais pas la loi lognormale. Mais si log Y = Xβ+ (mod`le lognormale), alors e 1 E(Y ) = exp Xβ + σ 2 = exp (Xβ) 2 ◦ 28
  • 29. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les gros sinistres Il est possible de mutualiser les gros sinistres parmi tous les assur´s, pas e seulement ceux de la classe tarifaire, ◦ 29
  • 30. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V 1.4 Impact relatif 0.8 0.2 20 30 40 50 60 70 80 90 Age du conducteur principal 1.4 Impact relatif 0.8 0.2 20 30 40 50 60 70 80 90 Age du conducteur principal 30
  • 31. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V • Plan du cours • Introduction g´n´rale e e • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres ` payer (IBNR) a ◦ La probl´matique des provisions, et les IBNR e ◦ La m´thode Chain Ladder e ◦ Le mod`le de Mack, E(Ci,t ) = λt · Ci,t−1 e ◦ Les mod`les factoriels, E(Yi,t ) = exp[αi + βt ] e ◦ Incertitude ` ultime vs. incertitude ` un an a a ◦ Bornhuter-Ferguson, Cape-Code et les mod`les bay´siens e e • Les tables de mortalit´ prospectives e 31
  • 32. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Introduction au provisionnement “ Les provisions techniques sont les provisions destin´es ` permettre le r´glement e a e int´gral des engagements pris envers les assur´s et b´n´ficaires de contrats. Elles e e e e sont li´es ` la technique mˆme de l’assurance, et impos´es par la r´glementation.” e a e e e ◦ 32
  • 33. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Chain Ladder 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 3209 4372 4411 4428 4435 4456 0 3209 4372 4411 4428 4435 4456 1 3367 4659 4696 4720 4730 1 3367 4659 4696 4720 4730 4752.4 2 3871 5345 5398 5420 et et 2 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.8 3 4239 5917 6020 3 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.1 4 4929 6794 4 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.1 5 5217 5 5217 7204.3 7286.7 7318.3 7331.9 7366.7 Le montant total de provision est 2427 ◦. 33
  • 34. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Le mod`le de Mack e   H1   E (Ci,j+1 |Ci,1 , ..., Ci,j ) = λj · Cij pour tour i = 0, 1, .., n et j = 0, 1, ..., n − 1 H2 (Ci,j )j=1,...,n et (Ci ,j )j=1,...,n sont ind´pendant pour i = i . e   2 H3 Var (Ci,j+1 |Ci,1 , ..., Ci,j ) = Ci,j σj pour tout i = 0, 1, ..., n et j = 0, 1, ..., n − 1  n−i−1 2 2 σi+k σn−1 E [Ri − Ri ]2 |Fi = Ri 2 + k=0 λ2 i+k C·,i+k [λn−1 − 1]2 C·,i+k ◦ 34
  • 35. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les mod`les factoriels e Assume that Yi,j ∼ P(µi,j ) where µi,j = exp[αi + βj ]. the occurrence factor αi the development factor βj 35
  • 36. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V The log-Poisson regression model Assume that Yi,j ∼ P(µi,j ) where µi,j = exp[αi + βj ]. It is then extremely simple to calibrate the model,◦ Yi,j = exp[αi + βj ] Yi,j = exp[αi + βj ] on past observations on the future 36
  • 37. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Mod´liser l’incertitude e 8 q 6 4 q 2 q q q 0 0 2 4 6 8 10 37
  • 38. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Bootstrap and GLM log-Poisson in triangles 10 15 20 25 30 Total amount of reserves ('000 000$) (log-Poisson + bootstrap versus lognormal distribution + Mack) ◦ 38
  • 39. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les mod`les bay´siens e e ◦ 39
  • 40. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V • Plan du cours • • Introduction g´n´rale e e • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres ` payer (IBNR) a • Les tables de mortalit´ prospectives e ◦ La mod´lisation de la mortalit´ en actuariat, h px = P(T > x + h|T > x) e e ◦ Lecture transversale ou longitudinale du diagramme de Lexis ◦ Le mod`le de Lee & Carter, E(µi,t ) = exp[αi + βi γt ] e ◦ De la mod´lisation du taux de d´c`s aux tables prospectives e e e 40
  • 41. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Les notions classiques en assurance vie Pour calculer la probabilit´ de survie, on note que e h px = P(T > x + h|T > x) = P(T > x + 1|T > x) · · · P(T > x + h|T > x + h − 1) i.e. h−1 h px = 1 px · 1 px+1 · · · 1 px+h−1 = px+i i=0 autrement dit seul le vecteur des px suffit pour calculer toutes les probabilit´s. e Mais ces probabilit´s ne prennent pas en compte le vieilissement, i.e. e t h px = Pt (T > x + h|T > x) = Pt (T > x + 1|T > x) · Pt+1 (T > x + 2|T > x + 1) ···P ◦ 41
  • 42. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Lecture transversable vs. lecture longitudinale Taux de mortalit´ µx,t , ◦ e −2 taux de mort −4 −6 alité −8 2000 1980 1960 An 80 1940 né 60 e 1920 40 20 Age 1900 0 42
  • 43. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Le mod`le de Lee & Carter e Assume here that E(D|α, β, γ) = Var(D|α, β, γ), thus a Poisson model can be considered. Then Dj,t ∼ P(Ej,t · µj,t ) where µj,t = exp[αj + βj γt ] the age factors (αj , βj ) the time factor t 43
  • 44. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V A stochastic model for mortality Two sets of parameters depend on the age, α = (α0 , α1 , · · · , α110 ) and β = (β0 , β1 , · · · , β110 ). qq qq q q qq q qq q q qq q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q qq q q qq q q q q q q q q qq q q q q q q q qq q q qq q qq q q q q qq q q qq q q qq q qq q q q q qq q qq q q q qq qq q q qq qq q qq q q q qqqq qqq qq qq q qq q q q qq qqq q qqq qqqq q q q qqqq qqq q q q q qq q q qq qq q q qq q q qq q q qq qq qq qq q 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 44
  • 45. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V A stochastic model for mortality and one set of parameters depends on the time, γ = (γ1899 , γ1900 , · · · , γ2005 ). q q q q q qq q qq q q qqqqqq q q q qq qq q qqqqq q qq q qqqq qq qqqqq q q q q q qq qq qqq q qqq qq q qqqqqq qqqq qqq qq qqq qq qq q qq qq q qq qqq qq q qq qq qq 1900 1920 1940 1960 1980 2000 45
  • 46. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Errors and predictions exp[αj + βj γt ] exp[αj + βj γt ] ˜ on past observations on the future 46
  • 47. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Forecasting γ Based on γ = (γ1899 , · · · , γ2005 ), we need to forecast γ = (γ2006 , · · · , γ2050 ). qqq q qqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqq q q q q q qq qq q q qqqqqqqqqq qqqqqqq qq q q q q q qq qqqqq q qqqqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqq qqqq qq qqqq qqqq qqq qqq qq qqq 1900 1950 2000 2050 47
  • 48. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Forecasting γ Classically integrated ARIMA processes are considered, ◦ qqq q qqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqq q q q q q qq qq q q qqqqqqqqqq qqqqqqq qq q q q q q qq qqqqq q qqqqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqq qqqq qq qqqq qqqq qqq qqq qq qqq 1900 1950 2000 2050 48
  • 49. ´ Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets speciaux, STT 6705V Des taux de d´c`s aux tables e e ◦ 49