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  1. 1. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Actuariat IARD - ACT2040 Partie 1 - introduction Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.hypotheses.org/ Hiver 2013 1
  2. 2. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Plan du cours• Motivation et introduction : tarification et provisionnement• Mod´lisation de la survenance d’un sinistre e◦ R´gressions logit et probit, Yi |X i ∼ B(π[X i β]) e◦ Les arbres de r´gression e• Fr´quence de survenance de sinistres e◦ R´gression de Poisson Yi |X i ∼ P(λ[X i β]) e◦ Surdispersion : quasi-Poisson, Binomiale N´gative & inflation de z´ros e e• Coˆ ts individuels de sinistres u◦ R´gressions Gamma et lognormale e◦ ´ Ecretement des grands sinistres, et mutualisation• Provisionnement pour sinistres ` payer a◦ Les triangles de provisionnement◦ M´thode de Mack e◦ R´gression de Poisson e 2
  3. 3. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Pr´rquis et ouvrages de r´f´rence e eeCe cours suppose acquises les m´thodes vues au cours ACT6420, m´thodes de e epr´vision. e 3
  4. 4. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 L’h´t´rog´n´it´ e e e e e 4
  5. 5. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La prime purePour une variable de comptage E(N ) = nP(N = n) = P(N > n) n∈N n∈NPour une variable continue positive E(X) = xf (x)dx = P(X > x)dx x∈R+ x∈R+ ∞o` P(X > x) = F (x) = u f (t)dt. x 5
  6. 6. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La prime purePlus g´n´ralement, e e E(X) = xdF (x) x∈Ro` F admet un nombre fini (ou d´nombrable) de discontinuit´ {d1 ≤ d2 ≤ · · · }. u e e   F (d ) − F (d− ) si x = d n n n dF (x) = ˜  f (x) sinono` u F (x) = P(X = dn ) + ˜ f (t)dt dn ≤x t≤xD´finition 1. Etant donn´ un risque X, la prime pure est πX = E[X]. e e 6
  7. 7. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Exemples de calculs d’esp´rance ePour les lois discr`tes classiques e n k• si N ∼ B(n, p), P(N = k) = p [1 − p]n−k , alors E(X) = np, k k −λ λ• si N ∼ P(λ), P(N = k) = e , alors E(X) = λ, k! Γ(r + k) r r[1 − p]• si N ∼ N B(r, p), P(N = k) = p [1 − p]k, alors E(X) = , k! Γ(r) pPour les lois continues classiques 2 1 (x − µ)• si N ∼ N (µ, σ 2 ), ϕ(x) = √ exp − , alors E(X) = µ, σ 2π 2σ 2 2 2 1[ln(x) − µ]• si N ∼ LN (µ, σ ), f (x) = exp − √ 2 , alors xσ 2π 2σ σ2 E(X) = exp µ + , 2 α −β x α−1 β e α• si N ∼ G(α, β), f (x) = x , alors E(X) = , Γ(α) β 7
  8. 8. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Esp´rance pour une loi compos´e e e NDans un mod`le collectif, on s’int´resse ` S = e e a Xi si N ≥ 1, 0 sinon. n=1Si les Xi sont i.i.d., ind´pendants de N , alors e +∞ k E[S] = E[E(S|N )] = Pr[N = k] · E Xi k=1 i=1 +∞ = Pr[N = k] · k E[X1 ] = E[N ] · E[X1 ]. k=1o` u• E[N ] est la fr´quence e• E[X1 ] est le coˆt moyen u 8
  9. 9. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 De l’esp´rance a la prime pure ePascal, Fermat ou Condorcet (XVIII`me si`cle) proposaient d’´valuer le “produit e e escalaire des probabilit´s et des gains”, e n < p, x >= pi xi = EP (X), i=1selon la “r`gle des parties”. e=⇒ garantie un ´quilibre du syst`me, en moyenne. e eL’esp´rance math´matique est un prix “juste” (Feller (1943)), e e– moindres carr´s, E(X) = argmin{ X − c L2 , c ∈ R} e X1 + ... + Xn P– loi des grands nombres, → E(X), n X1 + ... + Xn L V ar(X)– th´or`me central limite, e e ∼ N E(X), √ , n n X1 + ... + Xn– probabilit´ de ruine, lim P e > π = 1 pour π < E(X). n→∞ n 9
  10. 10. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 De l’esp´rance a la prime pure eRemarque : Paradoxe de Saint P´tersbourg : l’esp´rance de gain est infinie, e e ∞ ∞ ∞ 1 P(arrˆt au ni`me coup) · 2n = e e · 2n = 1 = ∞. i=1 i=1 2n i=1Peut-ˆtre pas forc´ment le m´thode la plus intuitive, pour les grands risques... e e e 10
  11. 11. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La prime pure - sans segmentationPour tarifer, il est raisonnable de choisir une constante c “la plus proche” de lavariable al´atoire S, i.e. c qui minimise E([S − c]2 ). Or e E([S − c]2 ) = E([S − E(S) + E(S) − c]2 ) = E([S − E(S)]2 ) + E([E(S) − c]2 )+0i.e. E([S − c]2 ) = [E(S) − c]2 + quelque chose ind´pendant de c. edonc E([S − c]2 ) est minimal pour c = E(S).Remarque : cf m´thode des moindres carr´s dans le cours de pr´vision. e e e 11
  12. 12. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 L’exc´dant moyen de sinistre eL’exc´dant moyen de sinistre (encore appel´ dur´e de vie moyenne restante en e e eassurance sur la vie) est d´fini par e eX (x) = E[X − x|X > x] +∞ 1 = (s − x)dFX (s), x ≥ 0. F X (x) s=x 12
  13. 13. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 L’exc´dant moyen de sinistre e Loi de probabilit´ e eX (x) 1 E(λ) θ α 1 − Γ(α + 1, βx) G(α, β) −x β 1 − Γ(α, βx) ln(x) − µ − σ 2 Φ 2 σ LN (µ, σ 2 ) exp(µ + σ ) −x 2 ln(x) − µ Φ σ x0 + x Pareto(α, x0 ) α−1 13
  14. 14. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Primes stop-loss (contrat avec franchise)Etant donn´ un risque X, la prime stop-loss pour une franchise d ≥ 0 est d´finie e epar πX (d) = E[(X − d)+ ] = eX (d)F (d)..Un trait´ de r´assurance stop-loss (ou exc´dent de perte) consiste ` faire prendre e e e aen charge par le r´assureur la partie de la charge totale S des sinistres qui d´passe e eune certaine somme d. La portion r´assur´e, not´e S R , est donc d´finie par e e e e   0, si S ≤ d, S R = (S − d)+ =  S − d, si S > d.La prime pure que la c´dante devra verser au r´assureur pour un tel contrat, e eappel´e prime stop-loss, est donn´e par e e E[S R ] = E[(S − d)+ ]. 14
  15. 15. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013D´finition 2. Etant donn´ un risque X, la prime stop-loss pour une r´tention e e et ≥ 0 est d´finie par e πX (t) = E[(X − t)+ ].La fonction πX est encore appel´e la transform´e stop-loss de la variable al´atoire e e eX.Proposition 3. La transform´e stop-loss peut s’exprimer e +∞ πX (t) = F X (x)dx. x=tProposition 4. Supposons E[X] < +∞. La transform´e stop-loss πX poss`de les e epropri´t´s suivantes : ee(i) elle est d´croissante et convexe. e(ii) limt→+∞ πX (t) = 0 et limt→−∞ {πX (t) + t} = E[X]. 15
  16. 16. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Primes d’EsscherD´finition 5. Etant donn´ un risque X, la prime d’Esscher de param`tre α est e e ed´finie par e EP (XeαX ) πX (α) = αX ) = EQ (X), EP (eo` sous Q, la fonction de r´partition de X qui s’´crivait auparavant (sous P) u e eFX (·) devient ici eα· dFX (·) GX (·) = . eαt dFX (t) R 16
  17. 17. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 H´t´rog´n´it´ d’un portefeuille avec information parfaite e e e e eConsid´rons une assurance voyage, avec les indemnit´es e e– pays A, $ 250 avec probabilit´ 10% e– pays B, $ 250 avec probabilit´ 20% eLa d´pense sera, conditionnelle ` la destination e a   0, avec la probabilit´ 0.9, e SA =  250, avec la probabilit´ 0.1 eet   0, avec la probabilit´ 0.8, e SB =  250, avec la probabilit´ 0.2. eSi la destination n’est pas observ´e e   0, avec la probabilit´ 0.85, e SAB =  250, avec la probabilit´ 0.15. e 17
  18. 18. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 H´t´rog´n´it´ d’un portefeuille avec information parfaite e e e e eLa prime pure– sans segmentation sera E(SAB ) = 37.5– avec segmentation sera E(SA ) = 25 ` destination de A et E(SB ) = 50 ` a a destination de BS’il y a deux compagnies qui se font concurence, une qui segmente, l’autre pas... 18
  19. 19. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 H´t´rog´n´it´ et m´lange de loi e e e e e eSupposons qu’il existe un effet al´atoire Θ repr´sentant le niveau de risque e e(inconnu) d’un assur´ pris au hasard dans le portefeuille. On suppose que X esachant Θ = θ admet pour loi Fθ . Alors P(X ≤ x) = E[P(X ≤ x|Θ)] = Fθ (x)dΠ(θ) Ω(moyenne des Fθ pond´r´e par dΠ). ee 19
  20. 20. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion eD´finition 6. La variable al´atoire de comptage N est de loi de Poisson e em´lange de moyenne λ et de niveau de risque relatif Θ lorsque e (λΘ)k Pr[N = k] = E exp(−λΘ) k! +∞ (λθ)k = exp(−λθ) dFΘ (θ), k ∈ N, (1) θ=0 k!o` FΘ est la fonction de r´partition de Θ, telle que E[Θ] = 1. On notera u eMPoi(λ, FΘ ) ou MPoi(λ, Θ). 20
  21. 21. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion eConsid´rons l’exemple classique des bons et mauvais conducteur, e– pour les bons, N ∼ Poi(λθ1 )– pour les mauvais, N ∼ Poi(λθ2 )avec θ2 > 1 > θ1 .Si la proportion de bons risques est ,   θ , avec une probabilit´ , e 1 Θ=  θ2 , avec une probabilit´ 1 − , eo` θ1 , θ2 et u sont contraints par E[Θ] = θ1 + (1 − )θ2 = 1. 21
  22. 22. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion eLa probabilit´ qu’une police (dont on ne sait pas s’il s’agit d’un bon ou d’un emauvais risque) donne lieu ` k sinistres durant la p´riode de r´f´rence est alors de a e ee (λθ1 )k (λθ2 )k P[N = k] = exp(−λθ1 ) + (1 − ) exp(−λθ2 ) , k! k!Si Θ devient une variable al´atoire continue, de densit´ de probabilit´ fΘ alors e e e +∞ (λθ)k Pr[N = k] = exp(−λθ) fΘ (θ)dθ, k ∈ N. (2) θ=0 k! 22
  23. 23. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion eSoit N ∼ MPoi(λ, Θ), alors +∞ +∞ (λθ)k E[N ] = k exp(−λθ) dFΘ (θ) θ=0 k! k=0 +∞ = λ θdFΘ (θ) = λ. θ=0et +∞ +∞ 2 (λθ)k Var[N ] = k exp(−λθ) dFΘ (θ) − λ2 θ=0 k! k=0 +∞ = (λθ + λ2 θ2 )dFΘ (θ) − λ2 = λ + λ2 Var[Θ]. θ=0Comme Var[N ] = E[N ] + λ2 Var[Θ] > E[N ]pour autant que Θ ne soit pas constant. 23
  24. 24. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion eTout m´lange de Poisson implique donc une surdispersion des donn´es. La e efonction g´n´ratrice des probabilit´s de N ∼ MPoi(λ, Θ) et la tranform´e de e e e eLaplace de Θ sont li´es par la formule e +∞ MN (z) = exp(λθ(z − 1))fΘ (θ)dθ = LΘ (λ(1 − z)). (3) θ=0Si nous consid´rons que Θ ∼ G(α, α), e −α λ(1 − z) MN (z) = 1+ , αqui est la fonction g´n´ratrice des probabilit´s associ´e ` la loi BN (α, α/(α + λ)). e e e e aLes m´langes de Poisson sont identifiables, i.e. si N1 ∼ MPoi(λ, Θ1 ) et eN2 ∼ MPoi(λ, Θ2 ) alors L L N1 = N2 ⇒ Θ1 = Θ2 . 24
  25. 25. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion eLes m´langes de Poisson jouissent d’une propri´t´ trs importante ´tablie par e ee eShaked (1980) et connue comme le “Shaked’s Two Crossings Theorem”.Proposition 7. Si N ∼ MPoi(λ, Θ) alors il existe deux valeurs enti`res e0 ≤ k0 < k1 telle que λk Pr[N = k] ≥ exp(−λ) pour k = 0, 1, . . . , k0 , k! λk Pr[N = k] ≤ exp(−λ) pour k = k0 + 1, . . . , k1 , k! λk Pr[N = k] ≥ exp(−λ) pour k ≥ k1 + 1. k! 25
  26. 26. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion e> library(stats4); library(MASS)> FREQUENCE=c(7840,1317,239,42,14,4,4,1)> x=rep(0:7,FREQUENCE)> table(x)x 0 1 2 3 4 5 6 77840 1317 239 42 14 4 4 1> mean(x)[1] 0.2143537> var(x)[1] 0.2889314 26
  27. 27. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion e> fitdistr(x,"poisson") lambda 0.21435366 (0.00475989)> fitdistr(x,"negative binomial") size mu 0.701486138 0.214355746 (0.062786579) (0.005438638)Messages d’avis :1: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN2: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN3: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN> library(vcd)> model.poisson=goodfit(x,type="poisson",method="ML") 27
  28. 28. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion e> model.poissonObserved and fitted values for poisson distributionwith parameters estimated by ‘ML’count observed fitted 0 7840 7635.622 1 1317 1636.724 2 239 175.4188 3 42 12.53389 4 14 0.671671 5 4 0.028795 6 4 0.001028 7 1 0.000031 28
  29. 29. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion e> model.poisson> summary(model.poisson) Goodness-of-fit test for poisson distribution X^2 df P(> X^2)Likelihood Ratio 302.484 6 2.401523e-62> plot(model.poisson) 29
  30. 30. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion e> model.nb=goodfit(x,type="nbinomial",method="ML")> model.nbObserved and fitted values for nbinomial distributionwith parameters estimated by ‘ML’count observed fitted 0 7840 7847.0055590 1 1317 1288.3613321 2 239 256.5374241 3 42 54.0688144 4 14 11.7105586 5 4 2.5772550 6 4 0.5732035 7 1 0.1284389 30
  31. 31. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 M´lange de loi de Poisson et surdispsersion e> summary(model.nb) Goodness-of-fit test for nbinomial distribution X^2 df P(> X^2)Likelihood Ratio 17.00285 5 0.00449439> plot(model.nb) 31
  32. 32. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation en assuranceD´finition 8. On qualifie de segmentation toute technique que l’assureur utilise epour diff´rencier la prime, et ´ventuellement aussi la couverture, en fonction e ed’un certain nombre de caract´ristiques sp´cifiques du risque ` assurer, et ce afin e e ade parvenir ` une meilleure concordance entre les coˆts qu’une personne a ud´termin´e met ` charge de la collectivit´ des preneurs d’assurance et la prime e e a eque cette personne doit payer pour la couverture offerte. Dans certains cas, celapeut impliquer que l’assureur refuse le risque ` assurer. a 32
  33. 33. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle eSi N ∼ MPoi(λ, Θ), la fonction de r´partition de Θ sachant que N = n, not´e e eFΘ (·|n), Pr[Θ ≤ t, N = n] FΘ (t|n) = Pr[N = n] t (λθ)n 0 exp(−λθ) n! dFΘ (θ) = (λθ)n R+ exp(−λθ) n! dFΘ (θ) t 0 exp(−λθ)θn dFΘ (θ) = n dF (θ) . R+ exp(−λθ)θ ΘOn peut alors en calculer l’esp´rance : e E[Θ|N = n] = θdFΘ (θ|n) R+ 33
  34. 34. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle equi donne finalement t exp(−λθ)θn+1 dFΘ (θ) 0 E[Θ|N = n] = n dF (θ) . θ∈R+ exp(−λθ)θ Θ 34
  35. 35. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle eOn v´rifie ais´ment que l’esp´rance conditionnelle poss`de les propri´t´s e e e e eesuivantes : quelles que soient les variables al´atoires X1 , X2 et X3 , et la constante er´elle c, e (i) E[c|X1 = x1 ] = c quel que soit x1 ∈ R.(ii) E[X1 + X2 |X3 = x3 ] = E[X1 |X3 = x3 ] + E[X2 |X3 = x3 ] quel que soit x3 ∈ R.(iii) E[cX1 |X2 = x2 ] = cE[X1 |X2 = x2 ], quel que soit x2 ∈ R.(iv) quelle que soit la fonction g, E[g(X1 , X2 )|X2 = x2 ] = E[g(X1 , x2 )|X2 = x2 ] quel que soit x2 ∈ R.(v) si X1 et X2 sont ind´pendantes alors E[X1 |X2 = x2 ] = E[X1 ]. e 35
  36. 36. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle eA moins que X1 et X2 ne soient ind´pendantes, la loi de X1 sachant X2 = x2 ed´pend de x2 . En particulier, E[X1 |X2 = x2 ] est une fonction de x2 , i.e. e E[X1 |X2 = x2 ] = h(x2 ).On pourrait ainsi s’int´resser ` la variable al´atoire e a e h(X2 ) = E[X1 |X2 ].Proposition 9. La variable al´atoire E[X1 |X2 ] a mme moyenne que X1 : e E E[X1 |X2 ] = E[X1 ]. 36
  37. 37. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle eD´monstration. Lorsque X1 et X2 sont continues, cette ´galit´ s’´tablit comme e e e esuit : E E[X1 |X2 ] = E[X1 |X2 = x2 ]f2 (x2 )dx2 x2 ∈R = x1 f1|2 (x1 |x2 )dx1 f2 (x2 )dx2 x2 ∈R x1 ∈R = x1 fX (x1 , x2 )dx1 dx2 x2 ∈R x1 ∈R = x1 f1 (x1 )dx1 = E[X1 ]. x1 ∈RLe raisonnement est similaire dans les cas discret et mixte. 37
  38. 38. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle eEpinglons ` pr´sent une caract´ristique remarquable de l’esp´rance a e e econditionnelle, qui peut tre prise comme d´finition g´n´rale de ce concept. e e eProposition 10. Quelle que soit la fonction h : R → R, nous avons E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] = 0.D´monstration. La Propri´t´ 9 nous permet d’´crire e ee e E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] = E E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] X2 = E h(X2 )E X1 − E[X1 |X2 ] X2 = 0,ce qui ach`ve la v´rification du r´sultat annonc´. e e e e 38
  39. 39. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013On peut voir X1 − E[X1 |X2 ] comme un r´sidu (c’est-`-dire comme la partie de e aX1 que ne parvient pas ` expliquer X2 ). aCeci garantit que E[X1 |X2 ] est le meilleur pr´dicteur de X1 au sens des moindres ecarr´s, comme l’indique le r´sultat suivant. e eProposition 11. La variable al´atoire h∗ (X2 ) = E[X1 |X2 ] est celle minimisant eE[(X1 − h(X2 ))2 ] sur toutes les fonctions h.D´monstration. Ecrivons e E[(X1 − h(X2 ))2 ] = E[(X1 − E[X1 |X2 ] + E[X1 |X2 ] − h(X2 ))2 ] = E[(X1 − E[X1 |X2 ])2 ] +E[(E[X1 |X2 ] − h(X2 )2 ] ind´pendant de h e +2 E[(X1 − E[X1 |X2 ])(E[X1 |X2 ] − h(X2 ))] =0 par d´finition de l’esp´rance conditionnelle e esera minimum lorsque h(X2 ) = E[X1 |X2 ]. 39
  40. 40. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation et esp´rance conditionnelle eIl n’y a bien entendu aucune raison de se limiter ` une seule variable aconditionnante, et on peut consid´rer un vecteur X de dimension n et d´finir e eE[X1 |X2 , . . . , Xn ].D´finition 12. Consid´rons un vecteur al´atoire X de dimension n. e e eL’esp´rance conditionelle E[X1 |X2 , . . . , Xn ] de X1 sachant X2 , . . . , Xn est la evariable al´atoire h∗ (X2 , . . . , Xn ) telle que l’´galit´ e e e E h(X2 , . . . , Xn ){X1 − h∗ (X2 , . . . , Xn )} = 0, (4)est v´rifi´e pour toute fonction h : Rn−1 → R. e e 40
  41. 41. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Transfert de risque sans segmentationTentons ` pr´sent de formaliser le probl`me de la segmentation. Consid´rons un a e e eassur´ soumis ` un risque S, pr´lev´ au hasard au sein d’un portefeuille e a e ed’assurance. Supposons que toutes les caract´ristiques de l’assur´ influen¸ant le e e crisque soient reprises dans un vecteur al´atoire Ω = (Ω1 , Ω2 , . . .). La notation e“om´ga” rappelle que le vecteur du mme nom contient toute l’information ` e apropos de l’assur´, qu’elle soit observable ou non par l’assureur. eOn peut imaginer que l’assureur ne tienne compte en aucune mani`re des ecaract´ristiques Ω de l’assur´, et lui r´clame donc une prime pure de montant e e eE[S], la mme que celle qu’il r´clame ` tous les assur´s du portefeuille. Dans ce e a ecas, la situation est telle que pr´sent´e au Tableau 1. e e 41
  42. 42. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Transfert de risque sans segmentation Assur´s e Assureur D´pense e E[S] S − E[S] D´pense moyenne e E[S] 0 Variance 0 Var[S] Table 1 – Situation des assur´s et de l’assureur en l’absence de segmentation. eL’assureur prend donc l’enti`ret´ de la variance des sinistres Var[S] ` sa charge, e e aque celle-ci soit due ` l’h´t´rog´n´it´ du portefeuille, ou ` la variabilit´ a ee e e e a eintrins`que des montants des sinistres. e 42
  43. 43. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information parfaiteA l’autre extrˆme, supposons que l’assureur incorpore toute l’information Ω dans ela tarification. On serait alors dans la situation d´crite au Tableau 2. e Assur´s e Assureur D´pense e E[S|Ω] S − E[S|Ω] D´pense moyenne e E[S] 0 Variance Var E[S|Ω] Var S − E[S|Ω]Table 2 – Situation des assur´s et de l’assureur dans le cas o la segmentation est eop´r´e sur base de Ω. eeContrairement au cas pr´c´dent, la prime pay´e par un assur´ pr´lev´ au hasard e e e e e edans le portefeuille est ` pr´sent une variable al´atoire : E[S|Ω] d´pend des a e e ecaract´ristiques Ω de cet assur´. e e 43
  44. 44. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information parfaiteComme la variable al´atoire S − E[S|Ω] est centr´e, le risque assum´ par e e el’assureur la variance du r´sultat financier de l’op´ration d’assurance, i.e. e e 2 Var S − E[S|Ω] = E S − E[S|Ω] 2 = E E S − E[S|Ω] Ω = E Var[S|Ω] .On assiste dans ce cas ` un partage de la variance totale de S (c’est-`-dire du a arisque) entre les assur´s et l’assureur, mat´rialis´ par la formule e e e Var[S] = E Var[S|Ω] + Var E[S|Ω] . →assureur →assur´s e 44
  45. 45. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information parfaiteAinsi, lorsque toutes les variables pertinentes Ω ont ´t´ prises en compte, eel’intervention de l’assureur se limite ` la part des sinistres due exclusivement au ahasard ; en effet, Var[S|Ω] repr´sente les fluctuations de S dues au seul hasard. eDans cette situation id´ale, l’assureur mutualise le risque et il n’y a donc aucune esolidarit´ induite entre les assur´s du portefeuille : chacun paie en fonction de son e epropre risque. 45
  46. 46. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information imparfaiteBien entendu, la situation d´crite au paragraphe pr´c´dent est purement e e eth´orique puisque parmi les variables explicatives Ω nombreuses sont celles qui ene peuvent pas ˆtre observ´es par l’assureur. En assurance automobile par e eexemple, l’assureur ne peut pas observer la vitesse ` laquelle roule l’assur´, son a eagressivit´ au volant, ni le nombre de kilom`tres qu’il parcourt chaque ann´e. e e eD`s lors, l’assureur ne peut utiliser qu’un sous-ensemble X des variables eexplicatives contenues dans Ω, i.e. X ⊂ Ω. La situation est alors semblable ` acelle d´crite au Tableau 3. e 46
  47. 47. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information imparfaite Assur´ e Assureur D´pense e E[S|X] S − E[S|X] D´pense moyenne e E[S] 0 Variance Var E[S|X] E Var[S|X]Table 3 – Situation de l’assur´ et de l’assureur dans le cas o la segmentation est eop´r´e sur base de X ⊂ Ω. eeIl est int´ressant de constater que e E Var[S|X] = E E Var[S|Ω] X + E Var E[S|Ω] X = E Var[S|Ω] + E Var E[S|Ω] X . (5) mutualisation solidarit´ e 47
  48. 48. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information imparfaiteOn peut interpr´ter cette d´composition du risque pris en charge par la e ecompagnie comme suit : l’assureur, lorsque tous les facteurs de risque ne sont paspris en compte, intervient pour r´parer les cons´quences fˆcheuses du hasard e e a(premier terme de (5) traduisant la mutualisation du risque), mais doit aussiprendre en charge les variations de la prime pure exacte E[S|Ω] qui ne sont pasexpliqu´es par les facteurs de risque X int´gr´s au tarif (second terme de (5), e e etraduisant la solidarit´ induite par une personnalisation imparfaite du montant ede la prime). En d’autres mots, en plus de contrer les mauvais coups du sort,l’assureur doit ´galement supporter la variabilit´ des sinistres due aux e ecaract´ristiques des assur´s, non prises en compte par le tarif. e e 48
  49. 49. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Segmentation avec information imparfaiteDans une tarification segment´e en fonction de X ⊂ Ω, le partage de la variance ede S s’effectue comme suit : Var[S] = E Var[S|X] + Var E[S|X] = E Var[S|Ω] + E Var E[S|Ω] X mutualisation solidarit´ e →assureur + Var E[S|X] . →assur´s e 49
  50. 50. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Tarifications a priori et a posterioriToute l’id´e qui sous-tend la tarification d’exp´rience est que l’historique des e esinistres r´v`le les caract´ristiques non observables des assur´s. Plus pr´cis´ment, e e e e e esi on note S les informations concernant la sinistralit´ pass´e des assur´s e e edisponibles pour l’assureur, l’information contenue dans (X, S) devientcomparable ` Ω, tant et si bien que E[S|X, S] devrait converger vers E[S|Ω] a(dans un sens ` pr´ciser). a e 50
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