1. Solvabilité II – Risque de réserve
Mesure de volatilité dans les provisions pour sinistres - Approche à 1 an
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2. Sommaire
 Risque de réserve dans le cadre du projet Solvabilité II
 Adaptation des méthodes de provisionnement stochastiques
 Résultats et perspectives
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3. Le principe de l’incertitude à un an
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4. Le principe de l’incertitude à un an
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5. Le principe de l’incertitude à un an
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6. Un peu de formalisme
 avec les notations usuelles
Année
de
développement
j
Année
de
développement
j
Exercice
i
1
2
…
I
Exercice
i
1
2
…
I
1
1
2
2
…
…
I
I
augmentation de l’information disponible
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7. Un peu de formalisme
 Mack (1993) a proposé le formalisme suivant, sur la charge cumulée
 i.e. hypothèse de link-ratio, classique dans Chain-Ladder
 i.e. hypothèse d’hétéroscédasticité
 Et une hypothèse d’indépendance entre années de survenances
 Alors on peut utiliser les facteurs de développement pour prédire la charge ultime
 Pour prédire la charge ultime, on utilise l’estimateur Chain-Ladder du link-ratio
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8. Un peu de formalisme
 Ces estimateurs sont des estimateurs sans biais, et indépendants,
 Aussi
 est un estimateur sans biais, i.e.
 Pour le paramètre de volatilité, on peut considérer
 qui est également un estimateur sans biais du paramètre de volatilité, i.e.
 avec
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9. Les estimateurs / prédicteurs usuels
 Pour quantifier l’incertitude d’un estimateur en statistique, on considère
 Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé
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10. Les estimateurs / prédicteurs usuels
 On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…
 L’estimateur naturel de cette quantité est
 On distingue trois types de mesures d’incertitude
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11. Les estimateurs / prédicteurs usuels
 Pour le mean squared error de prédiction,
 Notons que
 qui peut alors s’écrire
estimation error process error
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12. Les estimateurs / prédicteurs usuels
 Considérons un jeu simple de pile ou face. Le nombre total de lancers est supposé fixé
 On souhaite prédire le nombre de face pour les parties à venir…
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13. Les estimateurs / prédicteurs usuels
 … ou plus précisément, on cherche à comparer la prédiction faite à deux dates différentes
 i.e. avec davantage d’information…
 On s’intéresse alors à quantifier l’erreur associée à
 i.e. on cherche
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14. Incertitude d’un estimateur / prédicteur
 Dans notre modèle de pile ou face, rappelons que
 de telle sorte que
 dont un estimateur naturel est
 En revanche,
 dont une estimateur naturel est
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15. Incertitude d’un estimateur / prédicteur
 Pour le mean squared error de prédiction conditionnelle, rappelons que
 qui peut s’écrire
 Un estimateur naturel de cette quantité est alors
 i.e. on perd l’estimation de la process error. Mack (1993) proposait d’utiliser une
information partielle pour estimer le second terme,
 et donc
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16. Quantifier l’incertitude sans biais
 Un des problèmes est que la plupart de ces estimateurs sont biaisés. Si on regarde
 comme
 alors
 qui est un estimateur biaisé (cf. inégalité de Jensen).
 On peut utiliser le bootstrap pour réduire le biais de cet estimateur.
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17. Les formules de Mack
 Mack (1993) a donné des expressions numériques pour ces quantités,
 où
 Une alternative est d’utiliser des méthodes économétriques, en particulier la régression log-
Poisson, qui donne la même prédiction de réserve que Mack (1993), mais propose un
traitement différent de l’incertitude associée à cette estimation.
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18. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs
 Rappelons qu’un modèle classique en provisionnement est le modèle log-Poisson
(surdispersé), i.e.
 où
 (avec un effet ligne et un effet colonne). Alors
 (par la Delta méthode, i.e. asymptotiquement). Or comme on utilise un lien logarithmique
 On en déduit
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19. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs
 Cet estimateur est biaisé, mais en boostrapant les résidus, on peut réduire le biais
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20. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs
 En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de
survenance
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21. Utilisation du bootstrap, exemple des GLMs
 En reprenant le triangle de Mack (1993), on obtient les scénarios suivants, par années de
survenance
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22. De l’incertitude à un an dans les triangles
 Merz & Wüthrich (2008) ont proposé d’étendre les formules de Mack en calculant non plus
une incertitude à ultime, mais une incertitude à un an
 avec
 et
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23. De l’incertitude à un an dans les triangles
 Pour obtenir une formule à la Mack, Merz & Wüthrich (2008) font l’hypothèse suivante
 qui permet d’utiliser un développement limité
 alors
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24. Extension aux modèles GLMs
 De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack
(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)
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25. Extension aux modèles GLMs
 De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack
(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)
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26. Extension aux modèles GLMs
 De même que les GLMs proposaient une alternative intéressante au modèle de Mack
(1993), on peut utiliser ce modèle pour proposer une alternative à Merz & Wüthrich (2008)
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27. Contacts
 Arthur Charpentier
arthur.charpentier@univ-rennes1.fr
 Laurent Devineau – Senior Manager - Responsable du pôle R&D
laurent.devineau@milliman.com 06 87 30 44 30
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