Exercices act2121-session5

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Exercices act2121-session5

  1. 1. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Actuariat I ACT2121 cinquième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1
  2. 2. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 1Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. Que vaut P(X ≥ 2) siP(X = 0) = 2P(X = 1) ? 2 2 −1/3 2 −1/2 3 −1/2 A) B) e C) 1 − e D) 1 − e E) 1 − 3e−2 3 3 3 2 2
  3. 3. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 2Soit X et Y deux variables aléatoires continues de fonction de densité conjointefX,Y (x, y) = xe−x(y+1) pour x ≥ 0 et y ≥ 0. Trouver fY |X (y|x). A) xe−xy B) (y + 1)2 xe−x(y+1) C) (y + 1)−2 D) ye−y(y+1) E) xe−x(y+1) 3
  4. 4. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 3On lance trois fois un dé standard bien équilibré. Soit X1 , X2 et X3 les troisrésultats. Trouver la probabilité que : X1 ≤ X2 ≤ X3 . 1 1 1 7 1 A) B) C) D) E) 36 8 6 27 2 4
  5. 5. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 4 1Soit fX (x) = 2 pour |x| < 1 et Y = 3X + 2. Trouver la variance de Y . 1 1 3 A) B) C) D) 3 E) 9 4 3 4 5
  6. 6. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 5Soit X la variable aléatoire perte de fonction de densité fX (x), x ≥ 0. Si la policerembourse la perte jusqu’à un maximum de 1 000, laquelle des expressionssuivantes donne l’espérance du remboursement ? 1 000 1 000 ∞ ∞ A) xfX (x)dx B) xfX (x)dx + 1 000fX (x)dx C) xfX (x)dx 0 0 1 000 0 ∞ D) max(1 000, E[X]) E) (x − 1 000)fX (x)dx 1 000 6
  7. 7. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 6Pour les assurés d’une compagnie le nombre N de réclamations durant une année 24nest tel que P(N = n) = k 33n+1 où k est une constante.Trouver la probabilité qu’il y ait exactement une réclamation durant l’année. 16 1 176 16 16 A) B) C) D) E) 81 3 729 99 729 7
  8. 8. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 7Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition est :   0 si x ≤ 0 FX (x) =  1 − e−x si x > 0.Trouver P(0 < eX ≤ 4). −4 3 1 1 A) e B) C) D) E) 1 − e−4 4 2 4 8
  9. 9. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 8Le nombre de nids-de-poules sur 100 mètres d’une rue de Montréal suit une loi dePoisson de moyenne 0.3. Trouver la probabilité que sur une distance d’unkilomètre de cette rue il y ait 5 nids-de-poules ou moins. A) 0.92 B) 0.09 C) 0.82 D) 0.5 E) 0.33 9
  10. 10. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 9Soit X et Y deux variables de loi N (0, 1) chacune et telles que Cov(X, Y ) = 0.5. √Trouver P(X + Y ≤ 3). A) 0.11 B) 0.16 C) 0.84 D) 0.89 E) 0.96 10
  11. 11. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 10Dans une urne, il y a n boules rouges et n boules bleues. On tire sans remise trois 1boules de l’urne. Si la probabilité que les trois boules soient toutes rouges est 12alors n vaut ? A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12 11
  12. 12. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 11Soit X et Y des variables aléatoires de loi conjointe :   x + y pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1 fX,Y (x, y) =  0 sinon.Trouver P(X < 2Y ). 7 3 1 7 19 A) B) C) D) E) 32 4 4 8 24 12
  13. 13. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 12Supposons que le nombre d’erreurs typographiques par page dans les notes ducours ACT2121 suive une loi de Poisson de paramètre λ. Trouver la probabilitéque dans 10 pages prises au hasard il y ait un total d’exactement 10 erreurstypographiques. 1010 λ10 e−10λ −λ 10 −λ 10 −λ 10λ10 e−10λ A) B) (λe ) C) (1 − e ) D) 10λe E) 10! 10! 13
  14. 14. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 13Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes dont la fonction de probabilité 1conjointe est fX,Y (x, y) = 21 (x + y) pour x = 1, 2, 3 et y = 1, 2.La fonction de densité de X sachant que Y = 2 sera : 1 x+2 1 A) (x + 2), x = 1, 2, 3 B) , x = 1, 2, 3 C) (x + 2), x = 1, 2, 3 21 2x + 3 12 x+2 D) x + 2, x = 1, 2, 3 E) , x = 1, 2, 3 8 14
  15. 15. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 14Soit X une variable aléatoire dont la série génératrice des moments est MX (t) =e3t (1 − t2 )−1 . Trouver σX /E[X]. A) 0.125 B) 0.333 C) 0.471 D) 0.500 E) 0.667 15
  16. 16. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 15La durée de vie d’un néon A (respectivement B) suit une loi exponentielle demoyenne 5 ans (respectivement 2 ans). Trouver la probabilité que le néon A duremoins de 4 ans et le néon B plus de 3 ans. (On suppose l’indépendance) −4 − 23 3 −2 4 −5 −4 3 −2 3 −2 −4 A) 1 − e 7 B) e 10 C) e ·e D) e 5 1−e E) e 1−e 5 16
  17. 17. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 16Soit X et Y des variables aléatoires de variances 2 et 3 respectivement, et decovariance −1. Laquelle des variables aléatoires suivantes a la plus petitevariance ? A) 4X B) 3X − Y C) 3Y D) 2X + Y E) 2X − Y 17
  18. 18. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 17Le montant X de la réclamation annuelle d’un assuré de la compagnie azurtouta une moyenne µ et une variance σ 2 . Trouver le nombre nécessaire n d’assurés(d’un groupe de polices indépendantes) pour garantir que la réclamation moyenne X = Xi du groupe s’écarte de µ d’au plus (0.1)σ avec une probabilité au ¯ n ¯moins égale à 95% (c’est-à-dire n tel que P |X − µ| < 1 ≥ 0.95). 10 σ A) 149 B) 271 C) 385 D) 484 E) 541 18
  19. 19. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 18Calculer P(X = 6) pour la variable aléatoire X ayant la fonction (ou série) 4 etgénératrice des moments MX (t) = 3−2et . 20 40 20 80 160 A) B) C) D) E) 243 729 81 243 729 19
  20. 20. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 19Dans la province de Québec, le montant X d’une réclamation en assuranceautomobile se répartit autour d’une valeur moyenne de 725$. Calculer la valeurde l’écart-type σ de la variable X, si l’on sait que pour un groupe de 100réclamations indépendantes, P(63 500 ≤ M ≤ 81 500) = 0.7698 où M est lemontant total des 100 réclamations. A) σ < 200 B) 200 ≤ σ < 400 C) 400 ≤ σ < 600 D) 60 ≤ σ < 800 E) σ ≥ 800 20
  21. 21. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 20Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointe √fX,Y (x, y) = 4x pour 0 < x < y < 1. Trouver la fonction de densité de lamarginale Y . √ √ A) 2y B) 2y 2 C) y 2 D) y E) 4 y 21
  22. 22. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 21La variable aléatoire X, montant d’une réclamation, se répartit selon la densitéexponentielle. Trouver Var[X] sachant que P(X ≤ 2) = 2P(X ≥ 4). 2 8 (ln 2)2 2 4 A) B) C) D) √ E) ln 2 (ln 2)2 4 ln 2 (ln 2)2 22
  23. 23. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 22Soit X le nombre d’épreuves indépendantes de Bernoulli jusqu’à l’obtention d’unpremier succès. Soit Y le nombre nécessaire d’épreuves indépendantes de la mêmeBernouilli pour obtenir 5 succès (pour la 1ère fois). Soit p la probabilité de succès 3dans une épreuve et supposons Var[X] = 4 . Calculer Var[Y ]. 3 15 75 3 3 A) B) C) D) E) √ 20 4 4 4 4 5 23
  24. 24. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 23Les variables aléatoires X1 , X2 , X3 sont uniformes sur l’intervalle [0, 1] avec 1Cov(Xi , Xj ) = 24 pour i = 1, 2, 3 et i = j. Calculer Var[X1 + 2X2 − X3 ]. 5 11 1 1 1 A) B) C) D) E) 12 12 2 4 6 24
  25. 25. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 24Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointe :   x + y pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1 fX,Y (x, y) =  0 sinon.Trouver l’espérance conditionnelle E[Y | X = 1/3 ]. 3 1 5 7 3 A) B) C) D) E) 8 2 12 12 5 25
  26. 26. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 25Soit X1 , X2 , X3 trois observations indépendantes de la variable aléatoire continueX ayant la fonction de densité :  √  2 − x pour 0 < x < √2 fX (x) =  0 sinon.Calculer la probabilité qu’exactement deux des trois observations soientsupérieures à 1. 3 √ √ √ √ A) − 2 B) 3 − 2 2 C) 3( 2 − 1) · (2 − 2)2 2 2 2 3 √ √ 1 3 √ √ 1 D) − 2 · 2− E) 3 − 2 · 2− 2 2 2 2 26
  27. 27. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 26Soit X1 et X2 deux observations indépendantes d’une distribution uniforme surl’intervalle [0, 1]. Soit Y = min(X1 , X2 ). Trouver fonction de densité de Y . A) 1 B) 2y C) 2(1 − y) D) 1 − y E) 2y(1 − y) 27
  28. 28. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 27À Montréal, on suppose que les accidents (d’automobiles) se produisentaléatoirement et de manière indépendante. L’intervalle de temps entre lesaccidents suit une distribution exponentielle de moyenne 12 (minutes). Soit N lenombre d’accidents par heure.Trouver P(N = 10). 10e12 10e−12 e−10 510 e−5 1210 e−10 1210 e−12 A) B) C) D) E) 10! 10! 10! 10! 10! 28
  29. 29. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 28Une enquête médicale sur les 937 décès en 2002 à l’hôpitalMaisonneuve-Rosemont de Montréal montre qu’il y avait 210 décès dus à desproblèmes cardiaques. De plus, 312 des 937 décès avaient des antécédentscardiaques familiaux. De ces 312, il y en a 102 qui sont décédés de problèmescardiaques. Trouver la probabilité pour qu’une personne prise au hasard dugroupe des 937 décès soit décédée de problèmes cardiaques sachant qu’elle n’avaitaucun antécédent familial cardiaque. A) 0.115 B) 0.173 C) 0.224 D) 0.327 E) 0.514 29
  30. 30. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 29Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.Si on a FX (2)/FX (1) = 2.6 alors trouver la moyenne de X. A) 4 B) 2.6 C) 2 D) 1 E) 0.8 30
  31. 31. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 30Les assurés membres d’un club de sport ont des réclamations indépendantes. Lesdistributions des réclamations XH et XF des hommes et des femmes ont lescaractéristiques suivantes : Moyenne Variance Homme 2 4 Femme 4 10Lorsque le sexe est inconnu, l’on suppose que le nombre N d’hommes se répartitsuivant une loi binomiale de paramètres m et p = 2 . Un groupe de m personnes 5dont la réclamation totale est S contribue une prime Π = E[S] + 2 var[S](c’est-à-dire Π = µS + 2σS ). Le club de sport accepte un total de 100 membrespour l’année 2004. Calculer la prime P pour le groupe des 100 membres. A) 291 B) 326 C) 353 D) 379 E) 407 31
  32. 32. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 31Considérons le tableau suivant donnant les probabilités des valeurs (x, y) de deuxvariables aléatoires discrètes X et Y : X 2 3 4 5 0 0.05 0.05 0.15 0.05 Y 1 0.40 0 0 0 2 0.05 0.15 0.10 0Trouver ρX,Y , le coefficient de corrélation de X et Y . A) 0.228 B) 0.201 C) 0 D) − 0.201 E) − 0.228 32
  33. 33. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 32Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité fX (x) = e−x pourx > 0. Trouver la fonction de densité de Y = eX . y 1 1 A) ye−y B) e−e C) e−y D) E) y y2 33
  34. 34. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 33Les montants des pertes sont des variables aléatoires continues et indépendantesayant la même fonction de densité :   10/x2 pour x > 10 fX (x) =  0 sinon.Calculer la probabilité que la plus grande de trois pertes choisies au hasard soitplus petite que 25. A) 0.216 B) 0.400 C) 0.600 D) 0.500 E) 0.784 34
  35. 35. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 34Les dépenses dentaires annuelles d’un fonctionnaire suivent une répartitionuniforme sur l’intervalle de 200 à 1 200. Le régime de soins dentaires de base dugouvernement rembourse à l’employé jusqu’à un maximum de 400 les dépensesdentaires qui surviennent dans l’année tandis que le régime supplémentairedébourse jusqu’à un maximum de 500 pour toutes les dépenses dentairesadditionnelles. Si Y représente les prestations annuelles payées par le régimesupplémentaire à un fonctionnaire, calculer Var[Y ]. A) 41 042 B) 32 089 C) 29 940 D) 27 320 E) 24 464 35
  36. 36. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 35Une compagnie fait une offre à quatre consommateurs potentiels. La compagniecroit que la probabilité de faire une vente est de 0.7 pour chacun des troispremiers consommateurs mais qu’elle est seulement de 0.2 pour le quatrièmeconsommateur. Les achats d’un consommateur sont indépendants des achats d’unautre consommateur.Calculer la probabilité qu’au plus deux consommateurs acceptent l’offre. A) 40.2% B) 45.1% C) 48.7% D) 52.4% E) 56.9% 36
  37. 37. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 36Une compagnie d’assurance automobile divise ses assurés en 2 groupes, à savoir :les bons conducteurs et les mauvais conducteurs. Pour les bons conducteurs, laréclamation moyenne vaut 1 400 avec un écart-type de 200. Pour les mauvaisconducteurs, la réclamation moyenne est de 2 000 avec un écart-type de 500. Deplus 60% des assurés sont de bons conducteurs. Trouver la variance du montantde la réclamation d’un assuré pris au hasard. A) 124 000 B) 145 000 C) 166 000 D) 210 400 E) 235 000 37
  38. 38. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 37Une compagnie d’assurance a 2 000 clients qui ont tous (de façon indépendante)une probabilité 0.02 de faire une réclamation X dont le montant est de loiexponentielle de moyenne 500$. Soit Π la prime nette de chacun (égale àl’espérance de son remboursement) et Π(1 + θ) la prime brute chargée pour quela compagnie ait 95% de probabilité de profit. Trouver θ. A) 0.025 B) 0.366 C) 0.072 D) 0.111 E) 0.132 38
  39. 39. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 38Une compagnie d’assurance automobile assure les conducteurs de tous âges. Unactuaire compile les statistiques sur les conducteurs assurés par la compagnie : Âge du Probabilité Répartition des conducteurs conducteur d’avoir un accident assurés par la compagnie 16-20 0.06 0.08 21-30 0.03 0.15 31-65 0.02 0.49 66-99 0.04 0.28Un conducteur qui est choisi au hasard et qui est assuré par la compagnie a unaccident. Calculer la probabilité que ce conducteur soit dans le groupe d’âges21-65. A) 0.149 B) 0.472 C) 0.303 D) 0.323 E) 0.528 39
  40. 40. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 39Un actuaire fait les constatations suivantes :(i) Le taux d’accident des femmes qui conduisent est 0.015, lequel représente 80% du taux d’accident de tous les conducteurs.(ii) Le taux d’accident des jeunes hommes qui conduisent est 4 fois le taux d’accident des hommes adultes qui conduisent. Nombre de conducteurs selon l’âge et le sexe. Jeune Adulte Total Femme 15 000 45 000 60 000 Homme 12 000 28 000 40 000 Total 27 000 73 000 100 000Calculer le taux d’accident pour les jeunes hommes qui conduisent. A) 3.1% B) 5.1% C) 7.1% D) 9.1% E) 11.1% 40
  41. 41. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 40X et Y sont des variables aléatoires continues ayant la fonction de densitéconjointe :   15y pour x2 ≤ y ≤ x fX,Y (x, y) =  0 sinon.Déterminer la fonction de densité de la variable marginale Y . 3/2 1/2 √ A) 15y (1 − y ) B) 15y(y − y) C) 15(y − y 2 ) 15 D) (y − y 2 ) E) 15y 2 41
  42. 42. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 41Soit Y = e−X où fX (x) = 2e−2x pour x > 0. Trouver fY (y). 2 2 1 2 A) y B) 2y C) y D) y E) 2y 2 42
  43. 43. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 42X et Y sont des variables aléatoires telles que : (i) Var[X] = Var[Y ] (ii) Var[X + Y ] = 10 (iii) Var[X − 2Y ] = 16Calculer Cov(X, Y ). A) − 1 B) − 2 C) 1 D) 2 E) 0 43
  44. 44. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 43Les données sur un certain test de grossesse indiquent que pour une femmeenceinte le test donnera un résultat négatif (elle n’est pas enceinte) dans 10% descas. Pour une femme qui n’est pas enceinte, le test donnera un résultat positifdans 20% des cas. De plus, on sait que 30% des femmes qui passent le test sontenceintes. Déterminer la probabilité qu’une femme est enceinte étant donné quele résultat de son test est positif. A) 55.75% B) 65.85% C) 70.50% D) 75.65% E) 85.65% 44
  45. 45. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 44Soit fX (x) = k(2x + 1) la fonction de densité de la variable aléatoire continue Xprenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 4]. Trouver le 20ième percentile de X. √ √ √ 4 1+ 3 2 1+ 2 −1 + 17 A) B) C) D) E) 5 3 5 3 2 45
  46. 46. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 45Selon le modèle utilisé, la valeur accumulée d’un investissement de 2 500 est unevariable aléatoire Y = 2 500e2X , où X a une répartition continue dont la fonctionde densité est :   Ce−x pour 0 < x < 1 fX (x) =  0 sinon.où C est une constante. Déterminer la fonction de densité fY (y) de la variablealéatoire Y dans la région où elle est positive. C 25(e − 1) 25e √ A) B) C) D) Ce−y E) 50 y 2y ey (e − 1)y 3/2 46
  47. 47. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 46X représente l’âge d’une automobile assurée qui a été impliquée dans un accidentet Y représente le montant du sinistre encouru lors de l’accident. X et Y ont lafonction de densité conjointe suivante :   (x + y)/1 000 pour 0 ≤ x ≤ 10 et 0 ≤ y ≤ 10  fX,Y (x, y) =  0  sinon.Calculer la probabilité que Y < 2X. A) 89% B) 79% C) 69% D) 59% E) 49% 47
  48. 48. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 47X et Y sont des variables aléatoires continues ayant une fonction de densitéconjointe :   6x pour 0 < x < y < 1  fX,Y (x, y) =  0  sinon.Déterminer P(X + Y < 0.4). A) 0.016 B) 0.16 C) 0.24 D) 0.024 E) 0.048 48
  49. 49. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 48Supposons que X1 , . . . , X100 sont des variables aléatoires indépendantes, répartiesidentiquement et telles que P(X = 0) = P(X = 2) = 0.5 ; soitS = X1 + · · · + X100 . Calculer approximativement la valeur de P(S > 115). A) 0.0127 B) 0.0107 C) 0.087 D) 0.067 E) 0.047 49
  50. 50. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 49Au service d’urgence d’un hôpital, le nombre d’arrivées entre 13h et 14h suit uneloi de Poisson de moyenne 2. On observe pendant 5 jours consécutifs, les arrivéesentre 13h et 14h. Quelle est la probabilité que parmi ces 5 jours, il y aitexactement 2 jours avec aucune arrivée entre 13h et 14h ? A) 0.118 B) 0.012 C) 0.221 D) 0.021 E) 0.988 50
  51. 51. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 50Chaque employé d’une grande compagnie choisit un des trois niveaux decouverture d’assurance maladie dont les primes, qui sont dénotées par X, sont1,2, et 3 respectivement. Les primes sont sujettes à un escompte, dénoté par Y ,de 0 pour les fumeurs et de 1 pour les non-fumeurs. La distribution de X et Y estdonnée par :  2  x + y2  pour x = 1, 2, 3 et y = 0, 1 P(X = x, Y = y) = 31   0 sinon.Calculer la variance de X − Y , la prime totale payée par un employé choisi auhasard. A) 0.54 B) 0.64 C) 0.94 D) 0.84 E) 0.74 51
  52. 52. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 51Une police d’assurance va payer 5 000 si un appareil tombe en panne la 1ère annéeet ce bénéfice va diminuer chaque année de 1 000 jusqu’à zéro. Si l’appareil n’estpas encore tombé en panne au début d’une année, il a toujours une probabilité de0.4 de tomber en panne durant cette année. Trouver l’espérance du bénéfice. A) 3 417 B) 3 617 C) 3 817 D) 4 017 E) 4 217 52
  53. 53. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 52Soit pn la probabilité que le minimum de n nombres (tous choisis uniformément 1et indépendamment au hasard sur l’intervalle [0, 1]) soit supérieur à n . Que vaut lim pn ?n→∞ 1 1 1 2 2 A) B) C) D) E) 2 e 3 e 3 53
  54. 54. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 53Une compagnie assure un grand nombre de maisons. La valeur assurée X d’unemaison prise au hasard suit une distribution de fonction de densité fX (x) = 3x−4pour x > 1 et 0 sinon. Sachant qu’une maison est assurée pour plus de 3 , trouver 2la probabilité qu’elle soit assurée pour moins de 2. 37 35 1 7 5 A) B) C) D) E) 64 64 2 16 16 54
  55. 55. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 54Une compagnie installe deux machines identiques au même moment. Les périodesde temps avant que ces machines ne tombent en panne sont indépendantes etchacune est répartie uniformément sur l’intervalle de 5 à 20 ans. Calculer laprobabilité que les deux machines tombent en panne en deçà d’un an l’une del’autre. A) 12.9% B) 13.9% C) 14.9% D) 15.9% E) 16.9% 55
  56. 56. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 55Supposons que le nombre X de coups de téléphone durant une heure suive une loide Poisson avec moyenne λ. Sachant que P(X = 1 | X ≤ 2) = 0.4, trouver λ. 3 A) 4 B) 3 ou 4 C) 2 ou 3 D) 1 ou 2 E) 2 56
  57. 57. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 56Soit X, le temps entre l’inspection d’un certain moteur d’avion et le moment dela première panne du moteur. Supposons que X suive une loi exponentielle demoyenne 15 heures. Un avion à quatre moteurs entreprend un voyage de 20heures après inspection de ses moteurs. Supposons que l’avion peut voler pourvuqu’au moins un de ses moteurs fonctionne.Quelle est la probabilité qu’il puisse terminer son vol ? A) 0.500 B) 0.523 C) 0.706 D) 0.750 E) 0.831 57
  58. 58. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 57Pour un conducteur automobile, les accidents automobiles peuvent résulter endes sinistres annuels de 0, 1 000, 5 000, 10 000 ou 15 000 avec des probabilités de0.75, 0.12, 0.08, 0.04, et 0.01, respectivement. Un assureur automobile offre unepolice qui assure les conducteurs automobiles contre ces sinistres sujette à undéductible annuel de 500. L’assureur charge une prime annuelle qui excède lessinistres annuels attendus par 75 pour couvrir ses dépenses et son profit. Calculerla prime annuelle chargée par l’assureur. A) 1 345 B) 1 295 C) 1 245 D) 1 195 E) 1 145 58
  59. 59. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 58L’actuaire attend le premier des trois rapports faits simultanément par desinspecteurs indépendants avant de commencer son étude menant auremboursement des dommages d’un assuré. Si les temps (en semaines) pour faireleurs rapports suivent des lois exponentielles de moyenne 2, 3, 4 respectivementet le temps de l’étude de l’actuaire est aussi une exponentielle de moyenne 5,combien de temps (en semaines) y aura-t-il en moyenne avant le remboursement ? 77 12 A) 7 B) 8 C) D) E) 14 13 13 59
  60. 60. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 59Soit X le coût aléatoire des réparations de l’auto lors d’un accident et Y le coûtdes soins médicaux. Si au cours des 5 dernières années le coût des réparations aaugmenté de 25% et le coût des soins médicaux a diminué de 5%, de quelpourcentage la covariance de X et Y a-t-elle variée ? A) 15.25% B) 18.75% C) 20% D) 30% E) 22.45% 60
  61. 61. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 60Un actuaire constate que la probabilité qu’un assuré n’ait aucun accident est 5fois plus grande que celle d’en avoir au moins un durant l’année. En supposantque le nombre d’accidents de l’assuré suit une loi de Poisson, trouver laprobabilité que l’assuré ait exactement trois accidents durant l’année. A) 0.00084 B) 0.0084 C) 0.084 D) 0.00122 E) 0.0122 61

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