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  1. 1. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Actuariat I ACT2121 troisième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1
  2. 2. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 1Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoirescontinues fonction de densité conjointes fX,Y (x, y) = 2x, pour 0 < x < 1 et0 < y < 1.Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1. A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 7/12 E) 5/6 2
  3. 3. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 2Le coût X d’un billet d’avion est donné par une variable aléatoire continue demoyenne 100 et variance 20. Si pour lutter contre la pollution une sur-taxe de10% et un supplément fixe de 10$ sont imposés, que devient la nouvelle variancedu coût d’un billet d’avion ? A) 34.20 B) 22 C) 32 D) 24.20 E) 10 3
  4. 4. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 3Deuxpersonnes se donnent rendez-vous dans un restaurant entre 18h et 20h. Siles deux arrivent aléatoirement entre 18h et 20h de façons indépendantes etuniformément distribuées, trouver la probabilité que la première personne àarriver attende plus de 30 minutes avant l’arrivée de la seconde personne. 7 1 1 9 3 A) B) C) D) E) 16 2 4 16 4 4
  5. 5. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 4Considérons la variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x = −2, −1, 0, 1, 2avec la fonction de densité fX (x) = P(X = x) = (1 + |x|)2 /27. Trouver E[|X|]. 13 44 14 26 A) 1 B) C) D) E) 27 27 27 27 5
  6. 6. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 5Pour une police d’assurance les pertes possibles sont : 0, 5, 10, 100, 500 et 1 000avec probabilités 0.9, 0.06, 0.03, 0.008, 0.001 et 0.001 respectivement.Sachant qu’il y a eu une perte strictement positive, trouver l’espérance de cetteperte. A) 2.9 B) 3.22 C) 17.04 D) 29 E) 322.2 6
  7. 7. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 6Si A et B sont deux événements tels que P(A) = 0.5 et P(B) = 0.8, calculer laplus grande valeur possible de P(A ∪ B) − P(A ∩ B). A) 0.5 B) 0.8 C) 0.7 D) 0.4 E) 0.3 7
  8. 8. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 7Les coûts X et Y de deux objets sont aléatoires avec fonction de densitéconjointe :   2x pour 0 < x < 1 et x < y < x + 1 fX,Y (x, y) =  0 sinon. 1Trouver la variance conditionnelle de Y sachant que X = . 2 1 7 1 1 A) B) C) 1 D) E) 12 6 2 3 8
  9. 9. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 8Une compagnie d’assurance assure tous les employés de 20 petites entreprises de25 employés chacune. La probabilité qu’un employé de la k ième entreprise fasseune réclamation durant l’année est de (k + 5)%. Sachant qu’un employé a faitune réclamation, trouver la probabilité qu’il soit de la 10ième entreprise. A) 0.035 B) 0.050 C) 0.005 D) 0.048 E) 0.055 9
  10. 10. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 9À un souper bénéfice, il y a 25 femmes et 10 hommes. On attribue au hasard enordre quatre des prix de présence aux 35 convives (au plus un par personne).Trouver la probabilité d’avoir pigé deux femmes avant de piger le second homme. 25 10 225 675 2 · 2 A) B) C) 35 5 236 5 236 4 2 2 2 2 3 2 5 4 2 2 D) · · E) · · 2 7 7 2 7 7 10
  11. 11. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 10Une compagnie d’assurance a émis trois sortes d’assurances-vie. Il y a 50% depolices de type A avec 0.01 de probabilité de décès, 40% de type B avecprobabilité 0.005 de décès et 10% de type C avec probabilité 0.001 de décès. Siun assuré décède, trouver la probabilité que sa police soit de type C. A) 0.0001 B) 0.001 C) 0.2817 D) 0.0141 E) 0.0071 11
  12. 12. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 11La fonction de densité conjointe de X et Y est :   kx2 (1 − y) pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1 fX,Y (x, y) =  0 sinon.Trouver Cov(X, Y ). A) 1 B) − 1 C) k D) k 2 E) 0 12
  13. 13. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 12La fonction de densité X du montant d’une réclamation est :   3x−4 pour x > 1 fX (x) =  0 sinon.Supposons qu’il y ait trois réclamations indépendantes.Trouver l’espérance de la plus grande des trois. A) 4.50 B) 3.375 C) 2.232 D) 2.70 E) 2.025 13
  14. 14. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 13 1Soit FX,Y (x, y) = (3x2 y + 2x2 y 2 ) pour 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1, la fonction 5cumulative (ou de distribution, ou de répartition) des variables continues X et Y ,c’est-à-dire FX,Y (x, y) = P(X ≤ x et Y ≤ y).Trouver fX,Y (0.5, 0.5) où fX,Y (x, y) est la fonction de densité conjointe de X, Y . A) 0.15 B) 0.25 C) 0.75 D) 1 E) 1.25 14
  15. 15. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 14Le portfolio d’un assureur comprend 25% d’assurés de moins de 30 ans et 75%d’assurés de plus de 30 ans. Pour un assuré de moins de 30 ans le nombred’accidents en une année suit une loi binomiale avec n = 2 et p = 0.02, pour ceuxde plus de 30 ans c’est une Bernoulli avec p = 0.01. Si un assuré n’a pas eud’accident l’an dernier, trouver la probabilité qu’il n’ait pas d’accident cetteannée. A) 0.9824 B) 0.9826 C) 0.9828 D) 0.9830 E) 0.9832 15
  16. 16. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 15Si vous lancez 5 dés (tous bien équilibrés avec 6 faces numérotées de 1 à 6), quelleest la probabilité d’obtenir un total de 8 ? A) 0.0004 B) 0.0032 C) 0.0045 D) 0.0051 E) 0.0058 16
  17. 17. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 16Soit MX (t) = 1 + 22 t + 32 t2 + 42 t3 + . . . la série génératrice des moments d’unevariable aléatoire X. Trouver la variance de X. A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 9 17
  18. 18. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 17Le nombre N de réclamations pour une compagnie d’assurance suit une loi dePoisson de paramètre λ. Le montant X de chaque réclamation suit une loiexponentielle également de paramètre λ. Soit T le montant total de toutes lesréclamations. Trouver E[T ]. 1 A) B) λ + λ2 C) λ2 D) 1 E) λ λ 18
  19. 19. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 18La durée de vie d’un néon A (respectivement B) suit une loi exponentielle demoyenne 6 ans (respectivement 3 ans). Trouver la probabilité que le néon A duremoins de 3 ans et le néon B moins de 2 ans (ils sont indépendants). 1 −1 1 −7 −1 2 −3 −7 A) 1−e 2 B) e 6 C) 1 − e2 −e +e 6 18 18 1 2 1 2 −2 −3 −2 −3 D) e ·e E) 1 − e −e 19
  20. 20. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 19Une recherche médicale montre que pour 2 811 décès en 2001, il y avait 630 décèsdus à des problèmes cardiaques. De plus 936 personnes souffraient d’embonpointet de celles-ci 306 sont décédées de troubles cardiaques. Trouver la probabilitéqu’une de ces personnes soit morte à cause de problèmes cardiaques sachantqu’elle ne souffrait pas d’embonpoint. A) 0.514 B) 0.327 C) 0.224 D) 0.115 E) 0.173 20
  21. 21. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 20Pour T décrit dans le problème 17, trouver Var[T ]. 1 2 1 1 A) λ B) C) D) E) 1 + λ λ λ2 λ 21
  22. 22. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 21Une oeuvre d’art est assurée contre le vol. Trouver x sachant que l’espérance deremboursement est 1 000 et que le contrat rembourse : le montant x si le vol alieu la première année, x/2 s’il a lieu la seconde ou troisième année, et rien s’il alieu après trois ans. On suppose que le temps X avant un vol suit une loiexponentielle de moyenne 10 ans. A) 3 858 B) 4 449 C) 5 382 D) 5 644 E) 7 235 22
  23. 23. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 22À un coin de rue, il passe en moyenne 1 taxi à toutes les 5 minutes suivant unprocessus de Poisson. La semaine prochaine (du lundi au vendredi), vous vousrendrez tous les matins à ce coin de rue pour prendre un taxi. Quelle est laprobabilité qu’il y ait exactement 3 matins où 15 minutes s’écouleront sans aucuntaxi ? A) 0.00022 B) 0.02222 C) 0.00011 D) 0.00111 E) 0.01111 23
  24. 24. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 23La photocopieuse n’est pas très fiable. Lorsqu’on photocopie une page il y a uneprobabilité 0.25 qu’elle soit de mauvaise qualité (indépendamment d’une page àl’autre) et que l’on doive la reprendre. Si le texte original comprend 400 pages,combien de photocopies doit-on s’attendre en moyenne à faire afin d’obtenir unecopie parfaite de l’original ? A) 400 B) 500 C) 533.33 D) 566.67 E) 600 24
  25. 25. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 24Le nombre d’accidents en un an dans un village suit une loi de Poisson demoyenne 5. Trouver la probabilité qu’il y ait dans ce village un nombre impaird’accidents l’an prochain. 1 1 e−10 1 2 1 A) 5 B) − C) D) E) e 2 2 2 e 3 25
  26. 26. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 25Soit X le total lorsqu’on lance 10 dés à 6 faces. Trouver l’écart-type σX de X. 35 A) B) 4.13 C) 35 D) 5.4 E) 29.2 12 26
  27. 27. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 26Soit X et Y deux variables aléatoires continues indépendantes de fonctions dedensité fX (x) = 1 pour 0 < x < 1 et fY (y) = 2y pour 0 < y < 1. TrouverP(Y < X). 1 1 1 2 3 A) B) C) D) E) 3 4 2 3 4 27
  28. 28. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 27La durée de vie d’un réfrigérateur de 500$ suit une loi exponentielle de moyenne20 ans. Un manufacturier qui a vendu 1 000 réfrigérateurs offre la garantiesuivante : 500$ s’il y a panne durant les premiers 10 ans et 250$ s’il y a panneentre 10 et 20 ans.Trouver l’espérance du remboursement sur les 1 000 réfrigérateurs. A) 158 025 B) 183 950 C) 256 400 D) 316 050 E) 196 725 28
  29. 29. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 28Il y a 40 étudiants dans un cours de probabilité. Trouver l’espérance du nombrede jours de l’année qui sont le jour de fête d’un seul étudiant de la classe. A) 14.72 B) 35.94 C) 35.62 D) 40.00 E) 20.00 29
  30. 30. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 29Le nombre X de questions durant une heure de disponibilité de votre dévouéprofesseur suit une loi de Poisson de moyenne λ. Trouver λ sachant que 4P(X = 1 | X ≤ 1) = . 5 4 1 A) 4 B) − ln(0.2) C) D) E) − ln(0.8) 5 4 30
  31. 31. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 30Une compagnie d’assurance a émis 1250 polices. Pour chaque police le montant √des réclamations suit une loi de moyenne µ = 2 et écart-type σ = 2. Ensupposant l’indépendance entre les polices, trouver la probabilité que le total desréclamations se situe entre 2450 et 2600. A) 0.68 B) 1.00 C) 0.95 D) 0.87 E) 0.82 31
  32. 32. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 31Soit X1 , X2 , . . . , Xn des variables aléatoires continues indépendantes toutes de loiuniforme sur l’intervalle [0, 10]. Trouver la probabilité suivante : P min(X1 , X2 , . . . , Xn ) ≤ 3 ou max(X1 , X2 , . . . , Xn ) ≥ 7 n n n n 3 7 2 2 1 n A) − B) C) 1 − D) 4 · E) 10 10 5 5 10n 4n 32
  33. 33. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 32Une compagnie d’assurance a établi que la probabilité de plus de 5 jours deverglas durant une année est 0.05. En supposant l’indépendance d’une année àl’autre, trouver la probabilité que durant une période de 20 ans il y ait deuxannées ou moins avec plus de 5 jours de verglas. A) 0.12 B) 0.32 C) 0.52 D) 0.72 E) 0.92 33
  34. 34. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 33Une étude concernant les accidents de voitures a donné le tableau suivant : Année du modèle Proportion des autos Probabilité d’un accident 1998 0.16 0.05 1999 0.18 0.02 2000 0.20 0.03 2001 0.46 0.04Si une voiture d’une des années 1998, 1999 ou 2000 a un accident, trouver laprobabilité qu’elle soit de l’année 1998. A) 0.50 B) 0.45 C) 0.35 D) 0.30 E) 0.25 34
  35. 35. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 34Soit U, V, W les variables aléatoires donnant la perte pour trois assurés(indépendants). Trouver E[X 3 ], où X est la perte aléatoire totale des troisassurés, sachant que : −3 √ √MU (t) = (1 − 2t) , MV (t) = 1 − 2t · MU (t) et MW (t) = 1 − 2t · (MV (t))2 . A) 10 560 B) 8 400 C) 5 700 D) 3 020 E) 1 360 35
  36. 36. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 35 5Soit fX,Y (x, y) = xy 2 pour 0 < x < y < 2 la fonction de densité conjointe de 16X et Y . Trouver la fonction de densité marginale fX (x). 2x 5xy 3 5y 4 5x4 5x 5x4 A) 2 B) C) D) E) − y 48 32 48 6 48 36
  37. 37. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 36Pour une assurance contre les tempêtes soient X la perte sur les bâtiments et Yla perte totale sur les bâtiments et le terrain. On suppose que la fonction dedensité conjointe est fX,Y (x, y) = 2e−(x+y) , 0 < x < y < ∞ (et 0 autrement).Trouver E[Y |X = x] pour x > 0. 1 − xe−x A) 1 B) x + 1 C) D) x E) (x + 1)e−x 1 − e−x 37
  38. 38. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 37Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle.Si P(X > 1) = P(X ≤ 1) que vaut E[X] ? 1 1 A) B) ln 2 C) D) e E) 1 e ln 2 38
  39. 39. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 38 1 5 7Si P(A) = , P (B) = et P(A|B) + P(B|A) = , alors que vaut P(A ∩ B) ? 6 12 10 A) 1/36 B) 1/12 C) 1/6 D) 6/35 E) 1 39
  40. 40. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 39Soit R le montant aléatoire des réclamations pour une assurance auto. Si lafonction de densité de R est fR (r) = 3(1 + r)−4 pour 0 < r < ∞, trouverl’espérance de R. 1 1 1 A) 3 B) 1 C) D) E) 2 3 6 40
  41. 41. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 40Une compagnie d’assurance rembourse le montant X des soins dentaires jusqu’àun maximum de 250$. La fonction de densité est :   ke−0.004x pour x ≥ 0 fX (x) = .  0 pour x < 0Trouver la médiane du remboursement. A) 160 B) 164 C) 173 D) 184 E) 250 41
  42. 42. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 41Soit X et Y les pertes pour une assurance. Supposons que fX,Y (x, y) = x/500 000pour 0 < x < 100 et 0 < y < 100. Si la police d’assurance rembourse le total desdeux pertes jusqu’à un maximum de 100, quelle sera l’espérance duremboursement (arrondie à l’entier le plus près). A) 90 B) 92 C) 94 D) 96 E) 98 42
  43. 43. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 42Pour une police d’assurance le nombre de réclamations est N = 0, 1 ou 2 avec 1probabilités communes de . On connaît, à propos de la somme des 0,1 ou 2 3réclamations, l’information suivante :E[S|N = 0] = 0, Var[S|N = 0] = 0, E[S|N = 1] = 10, Var[S|N = 1] = 5,E[S|N = 2] = 20, Var[S|N = 2] = 8. Trouver la variance de S. 13 13 200 A) B) C) 13 D) E) 71 3 2 3 43
  44. 44. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 43Trois boîtes sont numérotées 1, 2 et 3. La boîte k (pour k = 1, 2 ou 3) contient5 − k boules rouges et k boules bleues. Vous pigez une boîte (la probabilité depiger la boîte k est proportionnelle à k) puis deux boules (sans remise) dans laboîte choisie.Trouver la probabilité que les boules pigées soient de couleurs différentes. 17 34 1 8 17 A) B) C) D) E) 60 75 2 15 30 44
  45. 45. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 44Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans [0, 2] et dont lafonction de densité est fX (x) = x/2. Trouver E[|X − E[X]|]. 2 32 64 4 A) 0 B) C) D) E) 9 81 81 3 45
  46. 46. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 45Soit X une variable aléatoire discrète de loi de Poisson. Sachant que E[X] = ln 2,trouver E[cos(πX)]. 1 1 A) 0 B) 2 ln 2 C) 1 D) E) 4 2 46
  47. 47. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 46Considérons le tableau suivant donnant les probabilités des valeurs (x, y) de deuxvariables aléatoires discrètes X et Y : X 2 3 4 5 0 0.05 0.05 0.15 0.05 Y 1 0.40 0 0 0 2 0.05 0.15 0.10 0Trouver Cov(X, Y ). A) 2.85 B) 2.70 C) 0.95 D) − 0.15 E) − 0.20 47
  48. 48. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 47Une compagnie maritime possède trois pétroliers géants. Elle décide de lesassurer contre les naufrages pour une période de 5 ans. L’assureur estime que laprobabilité que k = 0, 1, 2, 3 des pétroliers coulent d’ici 5 ans est 0.8, 0.1, 0.05 et0.05, respectivement. Le remboursement sera, suivant le cas, de k 2 millions dedollars. Trouver l’espérance du remboursement. A) 1 500 000 B) 1 250 000 C) 1 000 000 D) 750 000 E) 500 000 48
  49. 49. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 48Le tableau suivant donne les probabilités de décès chez des patients atteints ducancer du rein. Si un des patients est décédé des suites de son cancer, trouver laprobabilité qu’il soit un ado. Type de patient % Probabilité de décès Enfant 8% 0.15 Ado 16% 0.08 Adulte 45% 0.04 Âge d’or 31% 0.05 A) 0.06 B) 0.16 C) 0.19 D) 0.22 E) 0.25 49
  50. 50. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 49Soit X et Y des variables aléatoires discrètes de distribution conjointe :   1 2x−y+1 pour x = 1, 2 et y = 1, 2 9 fX,Y (x, y) =  0 sinon. XTrouver E . Y 5 25 4 5 8 A) B) C) D) E) 3 18 3 4 9 50
  51. 51. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 50Les pertes de chacun des 25 assurés d’une petite compagnie d’assurance suiventune loi normale de moyenne 19 400 et écart-type 5 000.Trouver la probabilité que la moyenne des pertes des 25 assurés dépasse 20 000. A) 0.01 B) 0.15 C) 0.27 D) 0.33 E) 0.45 51
  52. 52. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 51Soit X et Y des variables aléatoires dont la série génératrice conjointe desmoments est : 10 1 t 3 s 3 MX,Y (t, s) = E[etX+sY ] = e + e + . 4 8 8Trouver Cov(X, Y ). 15 135 135 15 A) − B) − C) 0 D) E) 16 16 16 16 52
  53. 53. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 52Soit X, Y et Z trois variables aléatoires indépendantes dont la distribution 1 2discrète de probabilités est la même, soit p(x) = pour x = 0 et p(x) = pour 3 3x = 1.Trouver la série génératrice des moments de U = X 2 Y 2 Z 2 . 8et + 19 t (1 + 2et )3 1 + 2e3t 8e3t A) B) 2e + 1 C) D) E) 27 27 3 3 53
  54. 54. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 53Soit X et Y des pertes aléatoires indépendantes et uniformes sur l’intervalle[0, 10]. Une police d’assurance rembourse X + Y .Calculer la probabilité que le remboursement soit inférieur à 11. A) 40.5% B) 45% C) 55% D) 59.5% E) 65% 54
  55. 55. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 54Soit X et Y des variables aléatoires continues avec fonction de densité conjointe : fX,Y (x, y) = x + y pour 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 1.Calculer P(2X < 1 | X + Y ≤ 1). 11 5 9 11 3 A) B) C) D) E) 48 16 16 16 4 55
  56. 56. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 55On place au hasard quatre personnes dans quatre salles d’attente numérotées 1 à4. Sachant que les deux premières personnes ont été mises dans des sallesdifférentes, trouver la probabilité qu’à la fin une des salles contienne exactement3 personnes. 1 1 3 1 1 A) B) C) D) E) 2 4 16 8 16 56
  57. 57. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 56Soit X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes de même fonction de densitéfX (x) = 3x2 , 0 ≤ x ≤ 1. Trouver la probabilité P(max(X, Y, Z) > 0.5). 1 37 343 7 511 A) B) C) D) E) 64 64 512 8 512 57
  58. 58. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 57Soit X1 , X2 , X3 , X4 et X5 des variables aléatoires indépendantes toutes de loi dePoisson de paramètres respectifs 3, 1, 2, 1 et 4. Trouver la probabilité queX1 + X2 + X3 + X4 + X5 soit au plus 2. −11 145 −11 −11 −11 1 A) e B) e C) 3e D) 133e E) 2 11 58
  59. 59. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 58La fonction de densité conjointe des deux variables aléatoires X, Y continues surl’intervalle [0, 1] est :   8x3 (1 − y) pour 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 fX,Y (x, y) =  0 sinon.Trouver Cov(X, Y ). 1 1 A) − B) 0 C) D) 2 E) 1 8 8 59
  60. 60. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 59Une compagnie utilise un générateur électrique pour sa production, et un secondsi le premier tombe en panne. Les deux ont une durée de vie donnée par une loiexponentielle de moyenne 10. Trouver la variance de la durée X des opérations. A) 200 B) 100 C) 50 D) 20 E) 10 60
  61. 61. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 60Soit X une variable aléatoire continue sur l’intervalle [2, ∞[ de fonction dedensité fX (x) = 2x−2 . Trouver fY (y) pour Y = (X − 1)−1 , 0 < y ≤ 1. A) y 2 B) 2(y + 1)−2 C) 2(y − 1)−2 D) 2y(1 + y)−2 E) 2(y + 1)2 /y 2 61
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