Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
Exercices act2121-session1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Exercices act2121-session1

  • 8,099 views
Published

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
8,099
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
55
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Actuariat I ACT2121 première séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1
  • 2. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 IntroductionPar séance, une série de transparents avec 90 questions, pour 3 heures.On tire un exercice au hasard, 6 minutes de préparation, et on corrige (si besoin).Remarque les séries d’exercices sont librement inspirées de Labelle (2012).Des compléments pourront être mis en ligne sur http ://freakonometrics.blog.free.fr/index.php ?category/Cours-courses/ACT2121-A2012 2
  • 3. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 1«Bonjour, je m’appelle Arthur Charpentier, et je suis votre professeur deprobabilités. Je ne vous conterai pas ma vie mais je suis mathématicien et j’aitrois enfants. D’ailleurs je vous présente ma fille Fleur qui est ici aujourd’hui. »Trouver la probabilité que mes trois enfants soient tous des filles.(On suppose que vous ne disposez d’aucune autre information concernant le sexede mes trois enfants). 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) 7 6 4 8 2 3
  • 4. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 2Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu’unepersonne a le sida lorsqu’elle l’a vraiment et révèle incorrectement, avecprobabilité 0.1, que quelqu’un l’a alors qu’il ne l’a pas. Si 1% de toute lapopulation a vraiment le sida, calculer la probabilité qu’une personne testéepositive ait vraiment le sida. A) 0.0085 B) 0.0791 C) 0.1075 D) 0.1500 E) 0.9000 4
  • 5. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 3Un système est formé de deux composants indépendants. L’un a une probabilitép de tomber en panne et l’autre 2p. Le système tombe en panne, avec probabilité0.28, si au moins un des deux composants tombe en panne. Trouver p. 0.28 0.56 √ A) B) 0.1 C) D) 0.2 E) 0.14 3 3 5
  • 6. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 4Si A, B et C sont trois événements tels que : P(A|B) = P(B|C) = P(C|A) = p,P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = r et P(A ∩ B ∩ C) = s.Trouver P(A ∪ B ∪ C). r3 3p 3r 3p 3r A) 3 B) −r+s C) − 3r + s D) − 6r + s E) − 3r + s p r p r p 6
  • 7. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 5Les accidents sont classés en trois groupes : légers, modérés, graves. Lesprobabilités qu’un accident soit dans un de ces groupes sont respectivement0.5, 0.4 et 0.1. Sachant que deux accidents (indépendants) sont arrivés durant unmois, trouver la probabilité qu’aucun des deux ne soit grave mais qu’au plus unsoit modéré. A) 0.25 B) 0.40 C) 0.45 D) 0.56 E) 0.65 7
  • 8. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 6Un client possède une assurance dentaire. On estime que durant la périodeassurée la probabilité qu’il ait besoin de : – un traitement orthodontiste est 1/2 ; – un plombage ou un traitement orthodontiste est 2/3 ; – une extraction ou un traitement orthodontiste est 3/4 ; – un plombage et une extraction est 1/8.De plus, plombage et traitement orthodontiste de même que extraction ettraitement orthodontiste sont indépendants.Trouver la probabilité que le client ait besoin de plombage ou extraction. 7 3 2 17 5 A) B) C) D) E) 24 8 3 24 6 8
  • 9. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 7Dans une classe, il y a 8 hommes et 7 femmes. On choisit au hasard un groupe de3 personnes parmi les quinze.Trouver la probabilité qu’il y ait plus d’hommes que de femmes parmi les 3sélectionnés. 512 28 8 1856 36 A) B) C) D) E) 3375 65 15 3375 65 9
  • 10. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 8Dans une boîte, il y a 35 diamants dont 10 vrais (et 25 faux). Vous choisissezsuccessivement (sans remplacement) quatre diamants dans la boîte. Quelle est laprobabilité d’avoir pigé exactement deux faux diamants avant de piger ledeuxième vrai diamant ? 25 10 · 225 675 2 2 A) B) C) 5236 5236 35 4 2 2 2 2 3 10 25 4 10 25 D) · · E) · · 2 35 35 2 35 35 10
  • 11. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 9Un nombre X est choisi au hasard dans la série de cent nombres commençant par2, 5, 8, . . . et un nombre Y dans la série de cent nombres commençant par3, 7, 11, . . .Trouver P(X = Y ). A) 0.0025 B) 0.0023 C) 0.0030 D) 0.0021 E) 0.0033 11
  • 12. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 10Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité :   6x(1 − x) pour 0 < x < 1 fX (x) =  0 sinon. 1 1Trouver P |X − | > 2 4 A) 0.0521 B) 0.1563 C) 0.3125 D) 0.5000 E) 0.8000 12
  • 13. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 11Soit K une variable aléatoire discrète prenant les valeurs k = 0, 1, 2, . . ., avec 1P(K = k) = pk . Si p0 = p1 et ∀k ≥ 1, pk+1 = pk . Trouver p0 . k A) ln e B) e − 1 C) (e + 1)−1 D) e−1 E) (e − 1)−1 13
  • 14. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 12Soient X1 , X2 et X3 trois variables aléatoires continues indépendantes de même   3x2 si 0 ≤ x ≤ 1fonction de densité fX (x) =  0 sinon.Si Y = max{X1 , X2 , X3 } alors trouver P(Y > 1/2). 1 37 343 7 511 A) B) C) D) E) 64 64 512 8 512 14
  • 15. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 13 3x2Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité fX (x) = 3 par θ 70 < x < θ et fX (x) = 0 autrement. Si P(X > 1) = , trouver la valeur de θ. 8 1/3 1/3 1 7 8 A) B) C) D) 21/3 E) 2 2 8 7 15
  • 16. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 14Dans une boîte, il y a trois 5c, un 10c et trois 25c. On pige simultanément trois | | |pièces de monnaie dans la boîte. Trouver la probabilité d’avoir au total 35c ou |plus. 4 2 5 31 33 A) B) C) D) E) 35 7 7 35 35 16
  • 17. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 15Dans une partie de bridge chacun des quatre joueurs reçoit une main de 13 cartes(prises au hasard dans un jeu standard de 52 cartes).Trouver la probabilité que chacun des 4 joueurs reçoive un as. A) 0.4% B) 1% C) 4% D) 5% E) 10.5% 17
  • 18. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 16A envoie un courriel à B mais ne reçoit pas de réponse. Nous supposons qu’uncourriel sur n est perdu et que si B a reçu le courriel de A, il lui a répondu.Trouver la probabilité que B ait reçu le courriel. n−1 1 n−1 1 1 2 A) B) C) D) 2 + E) 2n − 1 n n2 n n n 18
  • 19. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 17Soit X la variable aléatoire continue de fonction de densité :   (1.4)e−2x + (0.9)e−3x pour x > 0 fX (x) =  0 sinon.Trouver E[X]. 9 5 230 23 A) B) C) 1 D) E) 20 6 126 10 19
  • 20. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 18Soit X la variable aléatoire continue de fonction de densité :  2x  pour 0 ≤ x ≤ k fX (x) = k2 0 sinon. Trouver la valeur de k telle que la variance de X soit 2. A) 2 B) 6 C) 9 D) 18 E) 36 20
  • 21. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 19Soit X la variable aléatoire dont la série génératrice des moments est 1MX (t) = . Trouver E[(X − 2)3 ]. 1+t 1 2 3 −19 A) B) C) D) − 38 E) 3 3 2 3 21
  • 22. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 20Une pièce de monnaie est lancée successivement. Trouver la probabilité que la 3eface arrive au 5e lancer. Attention, la pièce est biaisée et donne pile avec uneprobabilité deux fois plus grande que de donner face ! 8 40 16 80 3 A) B) C) D) E) 81 243 81 243 5 22
  • 23. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 21Trois dés à 6 faces numérotées x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ont les distributions suivantes : 1 x x2 f1 (x) = ; f2 (x) = ; f3 (x) = 6 21 91Un dé est choisi au hasard et est lancé. Sachant que le résultat a été un 5,trouver la probabilité que c’était le 1er dé. A) 0.167 B) 0.205 C) 0.333 D) 0.400 E) 0.245 23
  • 24. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 22Si deux cartes d’un jeu de cartes standard sont absentes. Trouver la probabilitéqu’une carte choisie au hasard dans ce jeu “défectueux" soit un pique. 1 2 1 3 1 A) B) C) D) E) 13 25 12 35 4 24
  • 25. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 23Pour une compagnie d’assurance, il y a 10% des assurés qui sont fumeurs. Laprobabilité qu’un fumeur (respectivement non-fumeur) meurt durant l’année est0.05 (respectivement 0.01). Les temps de décès de tous ceux qui meurent sontsupposés uniformément distribués durant l’année.Trouver la probabilité que le premier assuré à mourir durant l’année soit unfumeur. A) 0.05 B) 0.20 C) 0.36 D) 0.56 E) 0.90 25
  • 26. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 24Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes telles que E[X] = 1, E[Y ] = 1-1, Var[X] = et Var[Y ] = 2. Calculer E[(X + 1)2 (Y − 1)2 ]. 2 9 A) 1 B) C) 16 D) 17 E) 27 2 26
  • 27. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 25Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointe :   2 pour 0 < x < y < 1 fX,Y (x, y) =  0 sinon.Déterminer la fonction de densité de la variable aléatoire Y |X = x, 0 < x < 1. 1 1 1 A) B) 2(1 − x) C) 2 D) E) 1−x y 1−y 27
  • 28. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 26Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes de fonction de probabilitéconjointe : fX,Y (x, y) = y/24 x pour x = 1, 2, 4, y = 2, 4, 8, x ≤ y, etfX,Y (x, y) = 0 autrement. YTrouver P X + ≤5 . 2 2 7 3 5 17 A) B) C) D) E) 3 24 8 8 24 28
  • 29. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 27L’urne I contient 25 boules rouges et 20 boules bleues. L’urne II contient 15boules rouges et 10 boules bleues. On choisit au hasard une des deux urnes et ony pige une boule. Elle est bleue et on la retourne dans son urne où on pige uneseconde boule.Trouver la probabilité que cette dernière boule soit bleue aussi. A) 0.4423 B) 0.4222 C) 0.4234 D) 0.4736 E) 0.5000 29
  • 30. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 2 2Soit fX (x) = xe−x /2 pour x > 0 la fonction de densité de X et Y = ln X.Trouver la fonction de densité de Y . 2 2y− 2 e2y 1 − (ln2 y) y− 1 e2y −y 2 /2 − 1 e2y A) e B) (ln y)e C) e 2 D) ye E) e 2 30
  • 31. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 29Le portfolio d’une compagnie d’assurance comprend 3 500 assurances separtageant en 3 classes comme suit : Classe Nombre Probabilité d’une réclamation Montant réclamé 1 1 000 0.01 1 2 2 000 0.02 1 3 500 0.04 2Si l’assureur veut charger une prime total Q qui soit le 95ième percentile de ladistribution de la réclamation totale (approximée par une loi normale). TrouverQ (à 5 près). A) 90 B) 95 C) 100 D) 105 E) 110 31
  • 32. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 30Un contrat d’assurance paie un maximum de 1 et comprend un déductible de 1(c’est-à-dire, perte de 0 à 1 elle ne rembourse rien, perte de 1 à 2 elle rembourse 1de moins et perte de 2 à ∞, elle rembourse 1).Trouver l’espérance du remboursement si la perte suit une exponentielle demoyenne 1. A) e−1 − 2e−2 B) e−1 − e−2 C) 2(e−1 − e−2 ) D) e−1 E) 2e−2 32
  • 33. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 31Supposons que 28 crayons distinguables, dont 4 rouges, sont partagés au hasardentre Jacques, Claude, Annie et Stéphane (sept crayons chacun). Si Annie a reçuexactement un crayon rouge, trouver la probabilité que Claude reçoive les 3autres. 1 4 7 1 1 A) B) C) D) E) 24 27 136 19 38 33
  • 34. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 32Une étude des accidents de motos montre que : Modèle Proportion des motos probabilité d’accident Harley 0.16 0.05 Honda 0.18 0.02 BMW 0.20 0.03 Autres 0.46 0.04Sachant qu’une moto de marque Harley, Honda ou BMW a eu un accident,trouver la probabilité que ce soit une Harley. A) 0.22 B) 0.30 C) 0.033 D) 0.45 E) 0.50 34
  • 35. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 33Une étude sur les crimes dans le Montréal métropolitain (c’est-à-dire ville etbanlieue) révèle que : i) 25% des crimes ont lieu le jour ;ii) 80% des crimes ont lieu dans la ville ;iii) 10% des crimes de banlieue ont lieu le jour.Trouver le pourcentage des crimes en ville qui ont lieu la nuit. A) 65% B) 57% C) 71% D) 80% E) 90% 35
  • 36. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 34Une compagnie d’assurance a établi que la réclamation d’une de ses polices estune variable aléatoire continue X telle que fX (x) = k(1 + x)−4 , 0 < x < ∞.Déterminer E[X]. 1 1 1 A) B) C) D) 1 E) 3 6 3 2 36
  • 37. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 35Cent pièces de monnaie sont distribuées aléatoirement dans 30 boîtes,numérotées de 1 à 30. Trouver la probabilité que la première boîte contienneexactement 3 pièces. A) 0.223 B) 0.777 C) 0.4 D) 0.96 E) 0.5 37
  • 38. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 36Un groupe de 15 personnes indépendantes sont placées en ligne. Dans le groupe,il y 5 Italiens, 5 Mexicains et 5 Espagnols.Trouver la probabilité que les personnes de même nationalité se suivent. 1 6 × (5!)3 (5!)3 5! 3 A) B) C) D) E) 6 15! 15! 10! 15! 38
  • 39. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 37Une police d’assurance rembourse les dépenses d’optométrie X jusqu’à unmaximum de 250$. La fonction de densité pour X est ke−0.004x pour x ≥ 0.Calculer la médiane du remboursement de cette police. A) 161 B) 165 C) 173 D) 182 E) 250 39
  • 40. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 38Supposons que la série génératrice des moments de X soit MX (t) = eat /(1 − bt2 ).Si E[X] = 3 et Var[X] = 2 alors que vaut a + b ? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 40
  • 41. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 39Trouver l’écart-type σX où X est le total des réclamations des 3 500 policesindépendantes décrites dans le tableau : Classes Nombre Probabilité de réclamation Montant de la réclamation 1 1 000 0.01 1 2 2 000 0.02 1 3 500 0.04 2 A) 10 B) 10.4 C) 10.8 D) 11.2 E) 11.6 41
  • 42. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 40Soit X et Y les prix aléatoires de deux actions boursières. Supposons Xuniforme sur l’intervalle [0, 12] et Y |X = x uniforme sur l’intervalle [0, x].Déterminer Cov(X, Y ). A) 0 B) 4 C) 6 D) 12 E) 24 42
  • 43. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 41Soit L et H les nombres (aléatoires) de pannes d’électricité majeuresannuellement dans les villes de Longueuil et St-Hubert respectivement. Lesprobabilités des différents couples (L, H) sont données dans le tableau suivant : H 0 1 2 3 0 0.12 0.06 0.05 0.02 L 1 0.13 0.15 0.12 0.03 2 0.05 0.15 0.10 0.02Calculer la variance du nombre de pannes à St-Hubert sachant qu’il n’y a pas eude panne à Longueuil (c’est-à-dire Var(H|L = 0)). A) 0.51 B) 0.84 C) 0.88 D) 0.99 E) 1.76 43
  • 44. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 42Soit un dé (très biaisé !) à 6 faces numérotées de 1 à 6 avec fonction de densitéf (x) = x/21 pour x = 1, 2, . . . , 6. Soit X le nombre de lancés nécessaires avantd’obtenir un 6. 1Calculer le plus petit y tel que P(X ≥ y) ≤ 2 . A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 44
  • 45. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 43Émilie joue au bridge avec trois de ses copines. Elle annonce sans mentir avoir leroi de pique. Trouver la probabilité qu’elle ait au moins un roi de plus. Au départchacune a reçu une main de 13 cartes provenant d’un jeu standard de 52 cartes. A) 25% B) 33% C) 45% D) 56% E) 63% 45
  • 46. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 44Émilie joue au bridge avec trois de ses copines. Elle annonce sans mentir avoir(au moins) un roi. Trouver la probabilité qu’elle ait au moins un roi de plus. Audépart chacune a reçu une main de 13 cartes provenant d’un jeu standard de 52cartes. A) 25% B) 63% C) 45% D) 56% E) 37% 46
  • 47. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 45Soit FX (x) = 1 − e−x /2 pour x ≥ 0 et FX (x) = 0 pour x < 0.Trouver la série génératrice des moments MX (t) de X. 1 1 2−t 1 1 A) B) C) D) + E) n’existe pas 1−t 2 − 2t 2 − 2t 2t 2(1 + t) 47
  • 48. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 46Une étude montre que 40% des accidents d’auto avec décès sont causés parl’ivresse au volant, que 1% des accidents sont avec décès et que 20% de tous lesaccidents sont causés par l’ivresse.Parmi les accidents sans décès, quel pourcentage n’implique aucun conducteurivre ? A) 80.2% B) 79.1% C) 78% D) 65.1% E) 72.9% 48
  • 49. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 47Une boîte contient 4 balles rouges et 6 balles blanches. On retire au hasard 3balles. Trouver la probabilité d’avoir pris une rouge et deux blanches sachantqu’il y avait au moins deux blanches de tirées. 3 2 1 9 54 A) B) C) D) E) 4 3 2 11 55 49
  • 50. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 48On tire à pile ou face avec une bonne pièce de monnaie. Si c’est face, on lance undé et si c’est pile, on lance deux dés.Trouver la probabilité que le total du ou des deux dés soit de 6. 11 1 5 1 11 A) B) C) D) E) 72 9 36 6 36 50
  • 51. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 49Une urne contient 80 boules bleues et 20 boules rouges. On tire successivement,au hasard et avec remise, 100 boules dans l’urne. Trouver approximativement (àdeux décimales près) la probabilité de tirer plus de 75 boules bleues. A) 0.11 B) 0.87 C) 0.62 D) 0.75 E) 0.95 51
  • 52. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 50Soit X uniformément distribué sur l’intervalle [1, 3]. Calculer la probabilité quedeux observations indépendantes x1 et x2 de X aient une somme supérieure à 5. 1 1 1 1 5 A) B) C) D) E) 18 8 4 2 8 52
  • 53. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 51Supposons que le nombre X de coups de téléphone durant une heure suive uneloi de Poisson avec moyenne λ. Sachant que P(X = 1 | X ≤ 1) = 0.8, trouver λ. A) 4 B) − ln(0.2) C) 0.8 D) 0.25 E) − ln(0.8) 53
  • 54. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 52Sachant que MX (t) = e3t /(1 − t2 ), trouver E[X] et Var[X]. A) 1 et 2 B) 1 et 3 C) 3 et 2 D) 3 et 3 E) 3 et 6 54
  • 55. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 53L’urne I contient 9 boules rouges et une boule bleue. L’urne II contient uneboule rouge et 5 boules bleues. On retire au hasard une boule de chaque urne etles 14 boules restantes sont toutes placées dans l’urne III. Si on pige ensuite auhasard une boule de l’urne III, trouver la probabilité qu’elle soit bleue. A) 0.20 B) 0.24 C) 0.28 D) 0.32 E) 0.36 55
  • 56. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 54On lance en même temps une pièce de monnaie (non biaisée) et un dé (bienéquilibré). Si on répète continuellement cette expérience aléatoire, trouver laprobabilité que la pièce donne face avant que le dé ne donne 1 ou 2. 2 1 1 5 1 A) B) C) D) E) 3 6 2 6 4 56
  • 57. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 55Trouver P(A ∩ B) si P(A|B) = 2P(B|A) et P(A ∪ B) = 4P(A ∩ B). A) P(A)/5 B) P(B|A)/2 C) P(B) D) P(B)/4 E) 3P(B)/5 57
  • 58. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 56Les réclamations d’assurance X et Y d’un homme et son épouse en million dedollars suivent une loi conjointe de densité fX,Y (x, y) = kx2 y pour0 < x2 < y < 1. Trouver la probabilité que l’homme réclame moins de 500 000$sachant que la femme a réclamé 500 000$ exactement. √ √ 1 4 2 2 1 A) B) √ C) D) E) 4 8 4 8 8 58
  • 59. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 57Les variables discrètes X et Y sont telles que fX,Y (x, y) = (x + 2y)/70 pourx = 1, 2, 3, 4 et y = 1, 2, . . . , x et fX,Y (x, y) = 0 autrement. Trouver l’espérancede Y . 11 33 10 12 1 A) B) C) D) E) 17 14 7 19 40 59
  • 60. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 58Deux entiers n et m sont dits relativement premiers entre eux si 1 est leur seuldiviseur commun. Par exemple 12 et 5 le sont mais pas 12 et 8. On choisit auhasard un nombre dans l’ensemble {1, 2, 3, . . . , 98, 99}.Trouver la probabilité qu’il soit relativement premier avec 99. 13 20 67 1 8 A) B) C) D) E) 33 33 99 3 9 60
  • 61. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 59Supposons que X est une variable aléatoire continue de distribution uniformesur l’intervalle [−2, 2]. Calculer P(X(X + 1) < 2). 1 1 3 1 2 A) B) C) D) E) 4 2 4 3 3 61
  • 62. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 60La perte X d’un assuré est uniformément distribuée entre 0 et 1 000. Trouver ledéductible D que la compagnie d’assurance doit imposer dans sa police pour quel’espérance du remboursement soit le quart de l’espérance de la perte. A) 200 B) 500 C) 400 D) 250 E) 750 62
  • 63. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 61Arthur fait partie d’un groupe de 30 assurés composé de 10 femmes et 20hommes (dont lui). Dans ce groupe, on forme au hasard un comité composé de 3hommes et 2 femmes. Trouver la probabilité qu’Arthur en fasse partie. A) 15% B) 20% C) 25% D) 30% E) 35% 63
  • 64. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 62Dans une ville de 100 000 habitants on a les informations suivantes : i) 80% des gens ont moins de 65 ans ;ii) 60% ont terminé leurs études secondaires ;iii) 50% gagnent plus de 50 000$ par année ;iv) 75% de ceux qui ont terminé le secondaire ont moins de 65 ans ;v) 50% de ceux qui ont moins de 65 ans gagnent plus de 50 000$ par année ;vi) 40% de ceux qui ont 65 ans ou plus et n’ont pas terminé leur secondaire, gagnent plus de 50 000$/an.Trouver le pourcentage de la population qui a plus de 65 ans, a terminé sonsecondaire et gagne moins de 50 000$ par an. A) 20% B) 18% C) 12% D) 7% E) 5% 64
  • 65. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 63On lance trois fois un dé standard bien équilibré. Soit X1 , X2 et X3 les troisrésultats. Trouver la probabilité que : X1 ≤ X2 ≤ X3 1 1 1 7 5 A) B) C) D) E) 2 3 6 27 54 65
  • 66. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 64 1 1 7Si P(A) = , P(B) = et P(A|B) + P(B|A) = , alors que vaut P(A ∩ B) ? 6 3 12 A) 1/18 B) 1/12 C) 7/108 D) 101/108 E) 1/3 66
  • 67. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 65La probabilité de réussir l’examen P est 35%. La probabilité de réussir l’examenP , si on suit un cours préparatoire est de 50%. Le tiers des étudiants suivent uncours préparatoire. Quelle est la probabilité de réussir si on ne suit pas un courspréparatoire ? A) 0.300 B) 0.275 C) 0.250 D) 0.225 E) 0.200 67
  • 68. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 66On constate que 4% des accidents sont mortels et que les voitures récentes(moins de 3 ans) représentent 18% des accidents. Sachant que les voituresrécentes causent 60% des accidents mortels, trouver la probabilité qu’une voituresoit non récente sachant qu’elle a été impliquée dans un accident non mortel. A) 70.0% B) 73.3% C) 77.6% D) 83.8% E) 88.5% 68
  • 69. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 67Une étude sur les écrasements d’avions de modèle Airbus, suivant l’année deconstruction, a donné les résultats suivants : Année Proportion des Airbus Prob. d’écrasement 1970 0.10 0.05 1975 0.15 0.04 1980 0.20 0.03 1990 0.25 0.02 2000 0.30 0.01Si un Airbus construit durant ces années s’écrase, trouver la probabilité qu’il aitété construit avant 1978. A) 11/25 B) 10/25 C) 8/25 D) 7/25 E) 6/23 69
  • 70. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 68Dans un programme d’étude, on constate que 30% des étudiants fument et 20%boivent régulièrement de la bière. Sachant que 75% des buveurs fument, trouverle pourcentage des étudiants sages qui ne fument pas et ne boivent pasrégulièrement de bière. A) 65 B) 70 C) 60 D) 75 E) 45 70
  • 71. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 69Dans une urne, il y a 7 boules blanches et 13 boules noires. Deux boules sontpigées et retirées de l’urne sans regarder. Une troisième boule est ensuite pigée etelle est blanche. Trouver la probabilité que les deux boules retirées au débutétaient noires. A) 65% B) 59% C) 51% D) 46% E) 35% 71
  • 72. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 70Soit X telle que P(X = x) = 2 · 3−x pour x = 1, 2, 3, . . . .Trouver P(X est divisible par trois). A) 1/3 B) 2/9 C) 1/13 D) 1/19 E) 1/27 72
  • 73. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 71Un client possède une assurance dentaire. On estime que durant la périodeassurée la probabilité qu’il ait besoin de : – un traitement orthodontiste est 50% ; – un plombage ou un traitement orthodontiste est 66.67% ; – une extraction ou un traitement orthodontiste est 75% ; – un plombage et une extraction est 12.5%.De plus, plombage et traitement orthodontiste de même que extraction ettraitement orthodontiste sont indépendants.Trouver la probabilité que le client ait besoin de plombage ou extraction. A) 29% B) 37.5% C) 66.67% D) 71% E) 83% 73
  • 74. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 72Dans une urne, il y a 6 boules rouges et 5 boules bleues ; dans une seconde urne,il y a 9 boules rouges. Une urne est choisie au hasard et trois boules y sontpigées. Si ces trois boules sont toutes rouges, trouver la probabilité qu’ellesprovenaient de la seconde urne. 35 33 28 20 15 A) B) C) D) E) 37 37 37 37 37 74
  • 75. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 73Trois dés à 6 faces numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6 ont les distributions suivantes : 1 x x2 f1 (x) = ; f2 (x) = ; f3 (x) = 6 21 91Un dé est choisi au hasard et lancé. Sachant que le résultat a été un 6, trouver laprobabilité que c’était le 2e dé. A) 0.167 B) 0.333 C) 0.337 D) 0.466 E) 0.555 75
  • 76. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 74Une actuaire vérifie une étude sur le montant de réclamations faites il y a vingtans. Selon l’étude, le montant suit une loi exponentielle telle que la probabilitéqu’une réclamation soit moindre que 1 000$ est 0.25. L’actuaire considère quedepuis 20 ans, le montant des réclamations a triplé. Trouver la probabilitéqu’aujourd’hui une réclamation soit de montant moindre que 1 000$. A) 0.091 B) 0.125 C) 0.134 D) 0.163 E) 0.250 76
  • 77. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 75Pour une police d’assurance les pertes possibles sont : 0, 5, 10, 100, 500 et 1 000avec probabilités 0.9, 0.06, 0.03, 0.008, 0.001 et 0.001 respectivement. Sachantqu’il y a eu une perte strictement positive et moindre que 1 000, trouverl’espérance de cette perte. A) 1.92 B) 2.9 C) 19.19 D) 29 E) 322.2 77
  • 78. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 76Le nombre N de réclamations pour une compagnie d’assurance suit une loi dePoisson de moyenne λ. Le montant X de chaque réclamation suit, au hasard, uneloi exponentielle de moyenne λ ou 2λ. Soit T le montant total de toutes lesréclamations. Trouver E[T ]. 1 3 3λ2 A) B) C) D) 1 E) λ2 λ 2 2 78
  • 79. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 77Cent individus, regroupés en dix groupes de dix, participent à une longue étudeportant sur leurs habitudes de consommation. On estime à 5% la probabilitéqu’une personne abandonne avant la fin de l’étude et on considère que l’étude estvalidée pour un groupe si au moins huit des dix membres du groupe l’ontcomplétée.Trouver la probabilité que l’étude soit validée pour au moins huit des dix groupes. A) 84.76% B) 89.95% C) 95.35% D) 98.8% E) 99.98% 79
  • 80. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 78Soit X la variable aléatoire continue de fonction de densité fX (x) = 3x2 pour0 ≤ x ≤ 1. Trouver P 1 ≤ X ≤ 2 | X ≥ 1 . 3 3 2 A) 19.58% B) 24.59% C) 26.34% D) 28.66% E) 30.92% 80
  • 81. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 79Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 2]et dont la fonction de densité est fX (x) = x/2. Trouver E[|X − 1|]. 1 3 5 A) 0 B) C) D) 2 E) 2 4 3 81
  • 82. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 80L’actuaire attend les deux rapports des inspecteurs indépendants avant decommencer son étude menant au remboursement des dommages d’un assuré. Siles temps (en années) pour faire leurs rapports suivent des lois exponentielles demoyenne 1/3 et 1/4 respectivement et le temps de l’étude de l’actuaire est aussiune exponentielle de moyenne 1/6, combien de temps (en années) y aura-t-ilavant le remboursement en moyenne ? A) 0.41 B) 0.51 C) 0.61 D) 0.81 E) 1 82
  • 83. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 81Si on lance successivement un dé bien équilibré, quelle sera la probabilité que letroisième six arrive au nième lancé ? n−1 (n − 1)(n − 2)5n−3 n 5n−3 A) B) C) 6n 2 · 6n−1 3 6n (n − 1)(n − 2)5n−3 1 D) E) 2 · 6n n 83
  • 84. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 82Supposons que le nombre d’erreurs typographiques par page dans les notes ducours ACT2121 suive une loi de Poisson de paramètre λ. Trouver la probabilitéque dans 3 pages prises au hasard il y ait un total d’exactement 5 erreurstypographiques. 3 5 λ3 3λ −λ A) B) C) e−3λ (3λ)5 /5! D) e E) e−5λ (5λ)3 /3! 5 3 5! 5 84
  • 85. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 83Les montants des pertes sont des variables aléatoires indépendantes ayant lamême fonction de densité :   10/x2 pour x > 10 fX (x) =  0 sinon.Calculer la probabilité que la plus grande de cinq pertes choisies au hasard soitplus petite que 25. A) 0.2160 B) 0.1704 C) 0.1668 D) 0.1296 E) 0.0778 85
  • 86. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 84Une police d’assurance excédent de sinistre a un déductible de 1 et rembourse unmontant maximum de 1. La fonction de perte de l’assuré suit une loi exponentiellede moyenne 1. Trouver l’espérance mathématique (moyenne) du remboursement. A) 0.233 B) 0.097 C) 0.465 D) 0.368 E) 0.271 86
  • 87. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 85Soit Y = e−X où fX (x) = 3e−3x pour x > 0. Trouver fY (y). 2 2 1 2 A) 2y B) 2y C) y D) y E) 3y 2 3 87
  • 88. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 86Un actuaire constate que la probabilité qu’un assuré n’ait aucun accident est 5fois plus grande que celle d’en avoir au moins un durant l’année. En supposantque le nombre d’accidents de l’assuré suit une loi de Poisson, trouver laprobabilité que l’assuré ait exactement deux accidents durant l’année. A) 0.00084 B) 0.0084 C) 0.084 D) 0.00122 E) 0.0138 88
  • 89. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 87Une compagnie assure un grand nombre de maisons. La valeur assurée X d’unemaison prise au hasard suit une distribution de fonction de densitéfX (x) = 3x−4 , x > 1. Sachant qu’une maison est assurée pour plus de 2, trouverla probabilité qu’elle soit assurée pour moins de 4. 37 35 1 7 5 A) B) C) D) E) 64 64 2 8 16 89
  • 90. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 88Soit T une variable aléatoire de loi exponentielle telle que : P(T ≤ 1) = 2P(T > 2).Trouver Var[T ]. 1 1 A) ln 2 B) C) D) ln 4 E) (ln 2)2 ln 4 (ln 2)2 90
  • 91. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 89Trois machines remplissent (de façon indépendante) des contenants d’un litre delait. Il y a toujours une probabilité 0.1 que le contenant contienne moins d’unlitre. De plus, les machines remplissent respectivement 120, 180 et 240 contenantsà l’heure. Trouver la probabilité qu’entre 10h40 et 11h00 exactement 20contenants contiennent moins d’un litre. 270 180 A) · (0.1)20 · (0.9)250 B) · (0.09)20 · (0.9)140 20 20 180 (0.9)140 C) (0.1)20 · (0.9)160 D) · (0.1)40 · (0.9)140 E) 180 40 20 91
  • 92. Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012 Exercice 90Le temps pris par le réparateur pour réparer une machine est une variablealéatoire de loi exponentielle de moyenne 1 heure. Si le réparateur prend moinsde 15 minutes pour réparer la machine, il reçoit une prime de 50$ ; s’il prendentre 15 et 30 minutes, il reçoit une prime de 25$. Trouver la prime moyennereçue par le réparateur. A) 8.5 B) 10.75 C) 13.75 D) 15.375 E) 18.25 92