Diapositiva àReas

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  • 1. AREAS Definición : una región poligonal es la unión de un polígono y su interior. Definición : una región circular es la unión de una circunferencia y su interior. Definición : una región es : (1) La unión de un número finito de regiones poligonales o circulares, o bien: (2) La intersección de un número finito de regiones poligonales y circulares con la intersección de sus interiores no vacía, o bien: (3) La unión de un número finito de combinaciones de los tipos (1) o (2).
  • 2. Postulados de áreas de regiones P1 : A cada región le corresponde un único número real positivo. P2 : Si dos triángulos son congruentes, entonces la regiones determinados por ellos tienen la misma área. P3 : Si la intersección de los interiores de dos regiones es vacía, entonces el área de la unión de las dos regiones es igual a la suma de las áreas de cada una de ellas. P4 : El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. R a la región R se le puede asociar un único número real positivo a( R ) llamado área de la región R.  T 1 T 2 T 1  T 2 a( T 1 ) = a ( T 2 ) R 2 int(R 1 )  int(R 2 ) =   a( R 1  R 2 ) = a (R 1 )+ a (R 2 ) R 1 C C cuadrado con lado de longitud l  a( C) = l 2 l
  • 3. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Demostración: Indicación Formalizar la siguiente idea: Armar un “rompecabezas “ mediante regiones yuxtapuestas como en la figura adjunta, usar los postulados sobre áreas y el cuadrado de un binomio. A B C D a b a b Teorema El área de una región rectangular es el producto de las longitudes de los lados del rectángulo que la delimitan. A B C D Dado : ABCD rectángulo que delimita región R AB = a BC = b Demostrar : área( R ) =ab a b R
  • 4. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: El área de una región delimitada por un paralelogramo es el producto de las longitudes de un lado y de la altura correspondiente a dicho lado. Demostración: Indicación Formalizar la siguiente idea: Si se traza el segmento CF perpendicular al prolongación del lado AB se obtiene un triángulo rectángulo CFB congruente con AED y un rectángulo EFCD de área ah , luego por el problema 24 de la página 199… A B C D Dado : ABCD paralelogramo que delimita región P AB = a DE  AB DE = h Demostrar : área( P ) =ah a P E h A B C D a h P E F
  • 5. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: El área de una región delimitada por un triángulo es el semiproducto de las longitudes de un lado y de la altura correspondiente a dicho lado. Demostración: Indicación Formalizar la siguiente idea: Por el vértice B se traza recta paralela al lado AC y por el vértice C una recta paralela al lado AB. Se forma así un paralelogramo ABEC, y dos triángulos congruentes ABC y ECB. T Dado : ABC triángulo que delimita la región T AB = c CD  AB CD = h Demostrar : área( T ) =ch/2 D c A B C h T D c A B C h T E
  • 6. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Corolario 1: El área de una región poligonal regular es el semiproducto de su apotema lateral por su perímetro. Corolario 2: Todos los triángulos que tienen respectivamente congruentes un lado y la altura correspondiente a dicho lado tienen la misma área.
    • Indicaciones :
    • Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo que debe demostrarse
    • Visualice y formalice la siguiente idea: si el polígono regular tiene n lados, uniendo el centro con cada uno de los vértices del polígono se forman n triángulos con “base” cada lado y altura la apotema.
    • Indicaciones :
    • Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo que debe demostrarse.
    • Aplique la fórmula que permite calcular el área de una región triangular.
  • 7. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Definición La altura de un trapezoide es el segmento perpendicular a las bases del trapezoide y con sus extremos en dichas bases. Teorema : El área de una región trapezoidal es el semiproducto entre la longitud de la altura y la suma de las longitudes de sus bases. Dado : ABCD trapecio AB || CD AB = b 1 , CD = b 2 DE  AB , DE = h Demostrar : a( T ) = h(b 1 +b 2 )/2 Demostración : Trace una diagonal del trapecio, por ejemplo CA, obteniendo dos triángulos ABC y ACD con bases b 1 y b 2 y altura común h A B C D E b 1 b 2 h T A B C D E b 1 b 2 h
  • 8. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual a la razón entre los cuadrados de las longitudes entre dos lados correspondientes o igual a la razón entre los cuadrados de dos alturas correspondientes cualesquiera. 4. Sustituyendo convenientemente (*) en (**) se tiene la tesis.
    • Demostración : ( Indicaciones )
    • Los triángulos BDC y QSR son semejantes ¿Por qué?
    Dado : ABC  PQR BD y QS alturas correspondientes Demostrar : a( ABC)/a( PQR)=AC 2 /PR 2 =BD 2 /QS 2 2. Luego se tiene, por ejemplo: 3.