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  • 1. ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1
  • 2. Lógica “La lógica es la herramienta con que se construye el edificio llamado Matemática”Conceptos primitivosLos valores de verdad VERDADERO (V ) y FALSO (F ) son los conceptosprimitivos de la lógica.ProposiciónUna proposición es una sentencia (expresión) sujeta a un valor de verdad.Usualmente se denotan por letras minúsculas p, q, r, s, etc. 2
  • 3. LógicaEjemplos¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones ? ¿ Es esto verdadero ? Hoy es martes 10 es un número primo El sol y el cielo Todos los alumnos de este curso son estudiosos La realidad de la vida 3
  • 4. LógicaConectivos lógicosUn conectivo lógico es una operación que nos permite obtener nuevasproposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos básicos son: negación (∼) (“no”) conjunción (∧) (“y”) disyunción (∨) (“o”) condicional (→) (“si. . . , entonces”) bicondicional (↔) (“si y sólo si”) 4
  • 5. LógicaTipos de proposicionesLas proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, lasque no incluyen conectivos lógicos, y las que sí los incluyen.Valores posibles de dos proposiciones dadas p q V V V F F V F F 5
  • 6. LógicaNegación (∼)Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe ∼ p, a laproposición “no p”. Esto significa que ∼ p es V si p es F , y ∼ p es F si pes V .TABLA DE VERDAD p ∼p V F F V 6
  • 7. LógicaConjunción (∧)Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción de ellas es la proposición“p y q”, la cual se escribe p ∧ q. La proposición p ∧ q es V si ambas lo son,y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es.TABLA DE VERDAD p q p∧q V V V V F F F V F F F F 7
  • 8. LógicaDisyunción (∨)Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de ellas es la proposición “po q”, la cual se escribe p ∨ q. La proposición p ∨ q es V si al menos unade ellas lo es, y p ∨ q es F si ambas lo son.TABLA DE VERDAD p q p∨q V V V V F V F V V F F F 8
  • 9. LógicaCondicional (→)Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la proposición“si p entonces q”, la cual se escribe p → q. Aquí, p se llama antecedentey q consecuente. También, p → q se lee “p es condición suficiente paraq”, o bien “q es condición necesaria para p”. La proposición p → q es Fsólo si p es V y q es F .TABLA DE VERDAD p q p→q V V V V F F F V V F F V 9
  • 10. LógicaBicondicional (↔)Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la proposición“p si y sólo si q”, la cual se escribe p ↔ q. También, p ↔ q se lee “p escondición necesaria y suficiente para q”. La proposición p ↔ q es V sólosi ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.TABLA DE VERDAD p q p↔q V V V V F F F V F F F V 10
  • 11. LógicaDefiniciones variasUna proposición se dice una: TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V , cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad sólo contiene valores V . CONTRADICCION, si ella es siempre F . CONTINGENCIA, si no es tautología ni contradicción. 11
  • 12. LógicaImplicación lógicaDadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica lógicamente q, si laproposición p → q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p ⇒ q yse lee “p implica q”.Equivalencia lógicaDadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son lógicamenteequivalentes, si la proposición p ↔ q es siempre verdadera. En tal casose escribe p ⇔ q y se lee “p es equivalente a q”. 12
  • 13. LógicaAlgunas tautologías importantes ∼ (∼ p) ⇔ p (doble negación) p∧q ⇔ q∧p (conmutatividad de ∧) p∨q ⇔ q∨p (conmutatividad de ∨) p↔q ⇔ q↔p (conmutatividad de ↔) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r (asociatividad de ∨) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (asociatividad de ∧) p ↔ (q ↔ r) ⇔ (p ↔ q) ↔ r (asociatividad de ↔) 13
  • 14. LógicaAlgunas tautologías importantes (continuación) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributividad de ∧ con respecto a ∨) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (distributividad de ∨ con respecto a ∧) ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼p∨∼q (Ley de De Morgan para ∧) ∼ (p ∨ q) ⇔ ∼p∧∼q (Ley de De Morgan para ∨) ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q p→q ⇔ ∼ q →∼ p (contrarecíproca) p→q ⇔ ∼p ∨ q p↔q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) p↔q ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ (p ∧ q) 14
  • 15. LógicaFunción proposicionalSe llama función proposicional (o enunciado abierto) a una expresión pque contiene una o más variables, y tal que ella se convierte en unaproposición lógica cuando se le asignan valores específicos a dichasvariables.Conjunto de validezSe llama Conjunto de validez de una función proposicional p, y se denotapor Vp , al conjunto de valores (o n-uplas de valores) para los cuales dichafunción es verdadera.Ejercicio Analice la siguiente proposición:Si un número natural es divisible por dos y tres, entonces es divisible porseis. 15
  • 16. LógicaCuantificadores lógicos Para indicar que una función proposicional es verdadera para cualquier elemento de un determinado conjunto A se usa el símbolo ∀, el cual se llama cuantificador universal. ∀ se lee: “para todo”, “cualquiera sea”, “para cada”. Para indicar que una función proposicional es verdadera para algunos elementos de un determinado conjunto A se usa el símbolo ∃, el cual se llama cuantificador existencial. ∃ se lee: “existe (un)”, “existe al menos un”, “existe algún”. Para indicar que una función proposicional es verdadera para un único elemento de un determinado conjunto A se usa el símbolo ∃!. ∃! se lee: “existe un único”. 16
  • 17. LógicaMás sobre cuantificadores lógicosSean A un conjunto y p una función proposicional que depende de unavariable x (en tal caso se escribe p(x)). ∀ x ∈ A : p(x) se lee “para todo x en A, p(x) es verdadera”. ∃ x ∈ A : p(x) se lee “existe x en A tal que p(x) es verdadera”.Negaciones importantes ∼ ( ∀ x ∈ A : p(x) ) ⇔ ( ∃ x ∈ A : ∼ p(x) ) ∼ ( ∃ x ∈ A : p(x) ) ⇔ ( ∀ x ∈ A : ∼ p(x) ) ∼ ( ∃! x ∈ A : p(x) ) ⇔ ( ∀ x ∈ A : ∼ p(x) ) ∨ ( ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ A, x = y : p(x) ∧ p(y) ) 17
  • 18. LógicaTeoremas y demostracionesUn teorema es una proposición verdadera de cierta relevancia para unateoría y cuya verdad debe ser demostrada.Algunas estructuras de teoremas Implicación: Si (hipótesis), entonces (tesis) (H → T ) Métodos de demostración: Método directo. Métodos indirectos: contra-recíproca (∼ T → ∼ H). reducción al absurdo (H∧ ∼ T ) → (p∧ ∼ p) (contradicción). 18
  • 19. Lógica Equivalencia: (Hipótesis) si y sólo si (tesis) (H ↔ T ) Método de demostración: (H → T ) ∧ (T → H) Equivalencia de n proposiciones: P1 ↔ P2 ↔ · · · ↔ Pn , n > 2 Métodos de demostración Directo: P1 ↔ P2 y P2 ↔ P3 , etc. Usando transitividad: [(Pi → Pj ) ∧ (Pj → Pk )] → (Pi → Pk ). (e.g., mostrar que Pi → Pi+1 , i = 1, ...n − 1, y Pn → P1 ). Discreto: ∀n ∈ N : p(n) Método de demostración: Inducción Matemática.La falsedad de una proposición se puede demostrar usando un contra-ejemplo. 19
  • 20. LógicaEjemplos de demostración:Proposición 1: Sea a ∈ N. Si a es par entonces a2 es par.Dem. (directa) Hipótesis: a es par entonces a = 2n para algún n ∈ N, entonces a2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2 ), entonces a2 es par (pues 2n2 ∈ N), (Q.E.D.)Proposición 2: Sea a ∈ N. Si a2 es par entonces a es par.Dem. (contradicción) se supone H∧ ∼ T : a2 es par y a es impar. entonces a = 2n + 1 para algún n ∈ N, entonces a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1, entonces a2 es impar (por Prop. 1 y “suma de nros. pares es par”), entonces a2 par y a2 impar (p∧ ∼ p), CONTRADICCION (→←) 20
  • 21. ConjuntosLlamaremos conjunto a cualquier colección de objetos determinados ydistintos. Los objetos los llamaremos elementos del conjunto. Dosconjuntos importantes son el conjunto vacío, que no contiene elementos,y el conjunto universo, que contiene todos los elementos.Notación Los conjuntos: A, B, · · · Los elementos: a, b, · · · a pertenece a A: a∈A a no pertenece a A: a∈A / Conjunto vacío: φ Conjunto universo: U 21
  • 22. ConjuntosObservaciónDado x ∈ U y un conjunto A: ¿ x ∈ A ∨ x ∈ A ? /Si esta pregunta puede responderse siempre, entoncesse dice que A está bien definido .Maneras de definir un conjunto Por extensión, vale decir mostrando los elementos de A. Ejemplo : A = N := { 1, 2, 3, · · · } (Números naturales) Por comprensión, esto es dando una propiedad (o proposición) que caracterice a los elementos del conjunto. a Ejemplo : Q := : a, b ∈ Z, b = 0 (Números racionales) b 22
  • 23. ConjuntosInclusión de conjuntosDados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y seescribe A ⊆ B, si todos los elementos de A están también en B, esto es: A⊆B ⇔ (∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B)Propiedades de la inclusiónDados A, B, C conjuntos, se tiene φ⊆A⊆U A⊆A (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C 23
  • 24. ConjuntosIgualdad de conjuntosDados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son iguales, y se escribeA = B, si los elementos de A y B coinciden, esto es: A=B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)Conjunto de las partes de un conjunto dadoDado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y se denotaP(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A, esto es: P(A) := { X : X ⊆ A}Notar que: i) los elementos de P(A) son conjuntos; ii) P(A) = φ ya que φ, A ∈ P(A). 24
  • 25. ConjuntosOperaciones entre conjuntosSea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U . La diferencia de A y B es el conjunto A − B := { x ∈ U : x∈A ∧ x ∈B} (otra notación: A B). El Complemento de A con respecto a U , el cual se denota Ac (o bien A′ , −A), es el conjunto U − A, vale decir: Ac := U − A = { x ∈ U : x ∈ A}Algunas propiedades Para todo x ∈ U se tiene: x∈A ∨ x ∈ Ac φc = U ∧ Uc = φ (Ac )c = A 25
  • 26. ConjuntosOtras operaciones entre conjuntosSea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U . La intersección de A y B, la cual se denota A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos comunes a A y B, esto es A ∩ B := { x ∈ U : x∈A ∧ x∈B} La unión de A y B, la cual se denota A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B, esto es A ∪ B := { x ∈ U : x∈A ∨ x∈B} 26
  • 27. ConjuntosPropiedades de ∩ y ∪ A∪A=A, A ∩ A = A (idempotencia) A∪B =B∪A, A∩B =B∩A (conmutatividad de ∪ y ∩) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (asociatividad de ∪) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociatividad de ∩) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributividad de ∪ con respecto a ∩) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributividad de ∩ con respecto a ∪) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (Ley de De Morgan) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c (Ley de De Morgan) 27
  • 28. ConjuntosMás definiciones Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si y sólo si A ∩ B = φ. Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se define el Producto Cartesiano de ellos, el cual se denota por A × B, como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a pertenece a A y b pertenece a B, esto es A × B := { (a, b) : a∈A ∧ b∈B} Dados n conjuntos no vacíos A1 , A2 , ..., An , se define el Producto Cartesiano de ellos, el cual se denota por A1 × A2 × · · · × An , como el conjunto de todas las n-uplas ordenadas (a1 , a2 , ..., an ) tales que ai pertenece a Ai para cada i ∈ {1, ..., n}, esto es A1 × A2 × · · · × An := { (a1 , a2 , ..., an ) : ai ∈ Ai , i ∈ {1, ..., n} } 28
  • 29. ConjuntosPartición de un conjuntoSean A1 , A2 , ..., An subconjuntos de un conjunto B. Se dice que{ A1 , A2 , ..., An } es una PARTICION de B si estos conjuntos son novacíos, disjuntos dos a dos y su unión es el conjunto B, vale decir siy sólo si: Ai = φ, para cada i ∈ {1, ..., n}. Ai ∩ Aj = φ para cada i = j. n Ai = B. i=1 29
  • 30. ConjuntosCardinalidadEl número de elementos de un conjunto finito A se llama cardinalidad deA y se denota |A|.Propiedades Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|. Si A y B son conjuntos arbitrarios, entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces |A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B ∩C|+|A∩B ∩C| . 30
  • 31. EjemplosEjemplo 1Considere la siguiente proposición: 1 1 p : (∀ ǫ > 0)(∃ m ∈ N) ≤ ǫ −→ +1<ǫ . m m a) Niegue la proposición p. b) Determine si la proposición p es verdadera o falsa.Solución 1 1 a) ∼ p : (∃ ǫ > 0)(∀N ∈ N) ≤ǫ ∧ +1≥ǫ . N N b) La proposición es falsa, basta considerar ǫ = 1, pues, para todo N ∈N 1 1 ≤1=ǫ ∧ + 1 ≥ 1 = ǫ. N N 31
  • 32. EjemplosEjemplo 2Sean A y B subconjuntos del universo U . a) Pruebe que Ac × B c ⊆ (A × B)c . b) ¿Por qué no es verdadera la igualdad?. 32
  • 33. EjemplosSolucióna) Probemos que Ac × B c ⊆ (A × B)c . Sea (x, y) ∈ Ac × B c . (x, y) ∈ Ac × B c =⇒ x ∈ Ac ∧ y ∈ B c por def. de producto cartesiano =⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B por definición de complemento / / =⇒ (x, y) ∈ A × B por def. de producto cartesiano / =⇒ (x, y) ∈ (A × B)c por definición de complemento ∴ Ac × B c ⊆ (A × B)c .b) La igualdad no es válida, basta considerar por ejemplo U = {1, 2, 3}, A = {1, 2} = B. 33

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