viü CONTENIDOValuación de acciones preferentes .Valuación de acciones comunes .Con el aval de Grupo Bimbo, Lara se renueva...
420421422422422423424435441444447447469587
10 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTABLA 2.1 Método de comprobación del resultad...
16 CAPÍTULo 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO ATRAVÉS DEL TIEMPOPara verificar que este resultado es la solució...
EL FUTURO Y LAS SERIES UNIFORMES 23TABLA 2.3Periodo 3 •• S 6CFP 2060.400 3121.60800 4204.0402 5308.121Depósito (D) 1000 10...
EL FUTURO Y LAS SERIES UNIFORMES 27La validez del resultado se comprueba mediante una tabla similar a la 2.3, esdecir,se t...
28 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOEn todas las determinaciones anteriores se co...
32 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOP 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 =-(1...
SERIES GRADIENTEY EL FUTURO 33Si se divide el diagrama de la gráfica 2.15 en dos, de manera que la sumatoriaresulte en el ...
34 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPODe manera que al eliminar ese término se tien...
INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO 35Si el problema se resuelve de acuerdo con el enunciado, es posible tener tresplanteam...
38 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOExiste una fórmula para hacer el cálculo direc...
40 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTABLA 2.5 •• Capitalización discreta Capitali...
INTERÉS EN PERIODOS MENORES DE UN AÑO 41Hay dos aspectos importantes que se deben resaltar de la tabla 2.6. El primeroesla...
PROBLEMAS RESUELTOS 537. Un banco otorgó un préstamo por $11 000 a una tasa de interés anual de 8% yacordó que se le pagar...
54 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTABLA 2.9Deuda al Deuda al PagoAño principio ...
56 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO341.17 [(1+0.015Y -1 ]-5-9.-88-= 0.015(1+0.015...
PROBLEMAS RESUELTOS 57TABLA 2.1 IDeudaPago Pago a despuésPago Interés mensual principal de pagoO 341.521 5.12 59.9 54.77 2...
PROBLEMAS PROPUESTOS 7968. Un profesor que se acaba de jubilar recibió $80000 por su retiro, mismos queinvirtió en la publ...
b)LA TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) 87Por lo tanto, la TMAR se puede definir como:TMAR = tasa de inflación + ...
premio al riesgo en la etapa de evaluación económica, cuando apenas se va adecidirsi se invierte. La fijación de un valor ...
88 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIREn los problemas sucesivos a lo largo del texto ya no se hablará de una tasa deinterés sino de u...
TABLA 3.2 Inversionista TMAR $VPN1 5% 538.622 10% 327.263 15% 157.244 20% 18.765 25% -95.326 30% -190.3090 CAPÍTULO 3 TMAR...
Obsérvese que se utilizó la expresión su resultado es equivalente a, y lo ciertoes que todos están ganando lo mismo. Esto ...
DESVENTAJAS EN EL USO DE LA TIR COMO MÉTODO DE ANÁLISIS 95tomar la decisión, debido a la desventaja que presenta la TIR, c...
PROBLEMAS RESUELTOS 101GRÁFICA 3.3 VPN = -P + A(P/A, i. 8)VPN12%10%8%6%5%4%3%2%W****6+ ea-102.56-73.20-40.24-3.20+17.04+38...
102 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRficios anuales de $250 millones durante los siguientes 10 años. Determínese latasa interna de r...
108 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRCon 15.1% de endeudamiento se tendría:% aportación InterésCapital propioFinanciamiento0.84900.1...
PROBLEMAS RESUELTOS 109De la fórmula se deduce que los valores de VPN decrecen hasta el límite de-50, ya que cuando la i e...
PROBLEMAS RESUELTOS 1117. Encuéntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.14.GRÁFICA 3.14 90 1001 2 350 ...
112 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRGRÁFICA 3.15 VPN70605040302010 -lOO ~-0-.1 ~-0.3-~-0.5---0.7~-0-.9 ~-1.-1 --~--~~~---1.9-~----~...
114 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRsea muy recomendable para evaluar las bondades de las inversiones. Al contrario,el método del V...
116 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRGRÁFICA 3.212. Encuentre la tasa de interés de la gráfica 3.21.100 10080 801 2 3 4 5249RESPUEST...
PROBLEMAS PROPUESTOS 11912. Calcule el VPN del problema 1, si la TMAR es de 15%.RESPUESTA VPN = $7.51.13. Encuentre el VPN...
120 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIREncuentre la TIR de cada alternativa por el método gráfico.RESPUESTA TIRA = 31.2%, TIRo = 39.5%...
128 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIR42. Determine la o las tasas de interés que tiene el siguiente flujo deefectivo:Año o 2 3 4FE 5...
IRAño I 2 3FE deA 700 500 300FE de B 200 400 1000 ,. 59 i14 4 % •PROBLEMAS PROPUESTOS 13154. Se tienen los siguiente flujo...
138 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)Y ANÁLISIS INCREMENTALExpresando este resultado en un diagrama se ti...
MÉTODO DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 139Para efectos de tomar una decisión, sería suficiente calcular el val...
ANÁLISIS INCREMENTAL 141SOLUCiÓN En primer lugar debe calcularse el VPN de cada alternativa paradescartaraquellas que no p...
146 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALMáquina nueva:GRÁFICA 4.6 140001 2 3 4 5 6 71...
154 CAPÍTULo 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALTABLA 4.5A B eInversión inicial 150 172 162Co...
PROBLEMAS RESUELTOS 155Es preciso pasar todo al presente y después anual izar:CAUEA = [150 + 60(P/A, 8%, 10) - 25(P/F, 8%,...
PROBLEMAS RESUELTOS 157Para la máquina de gasolina, el VS = 5000 (dato del problema):CAUEdiesel = 80500(A/P, 12%,9) + 5300...
158 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALMáquina nuevaTABLA 4.8Año Inversión Costo anu...
PROBLEMAS RESUELTOS 159La inversión incluye el terreno y tiene un valor de salvamento de 25% del costoinicial en cada tipo...
GRÁFICA 4.12 x100 100 100 100 1001 1 1 1 1 1O 1 2 3 4 5VPA = 100 + 100(P/A, 10%,4) + x (P/F, 10%,5)PROBLEMAS RESUELTOS 161...
162 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)y ANÁLISIS INCREMENTALCompra:GRÁFICA 4.13330125 25 25 25 251 1 1 1 1...
PROBLEMAS PROPUESTOS 163Si la TMAR es de 5% y el periodo de análisis es de 10 años, determínese elproceso más conveniente ...
164 CAPÍTULO" COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)y ANÁLISIS INCREMENTALTABLA 4.13A B eInversión 17000 22000 20500Mante...
166 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL12. La administración de una futura escuela p...
PROBLEMAS PROPUESTOS 167TABLA 4.18 ContinuaciónCaracterísticas Árbol Bus Estrella Anillo MallaCosto anual de energía 5600 ...
168 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL16. El investigador Anófeles del Río pidió un...
PROBLEMAS PROPUESTOS 169El valor de salvamento de la inversión disminuye 10% del valor original cadaaño en los tres proces...
PROBLEMAS PROPUESTOS 171TABLA 4.23Inversión en Beneficiolaboratorios Matriculado anual porLicenciatura (millones) por año ...
172 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALEl valor de salvamento de cada alternativa es...
a)b)PROBLEMAS PROPUESTOS 173vida útil de seis años con un valor de salvamento de $4500 al final de eseperiodoy los costos ...
174 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL·32. Una empresa desea adquirir un equipo par...
176 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL37. Una empresa tiene una máquina usada. Si s...
PROBLEMAS PROPUESTOS 177RESPUESTA Seleccionar la altemativaA.40. Se tienen cinco proyectos mutuamente exclusivos. El horiz...
178 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL42. Se desea construir un almacén para cubrir...
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  1. 1. viü CONTENIDOValuación de acciones preferentes .Valuación de acciones comunes .Con el aval de Grupo Bimbo, Lara se renueva .Resumen .Problemas propuestos .8. Inversiones en el sector público .Introducción .Método tradicional utilizado para tomar decisiones de inversión enel sector público : .Cómo funciona el método beneficio-costo .Problemas metodológicos que enfrenta el análisis beneficio-costo .Definición de las características de bienestar social .Análisis beneficio-costo en Estados Unidos .El análisis beneficio-costo en los países latinoamericanos .La ética y la filosofía en la evaluación social .Resumen .Problemas resueltos .Problemas propuestos .Apéndice I Aplicación práctica de la ingeniería económica .Antecedentes .Presentación de los diferentes métodos de depreciación vigentes en México .Línea recta con cargos actualizados: Artículo 41 de la LISR .Deducción de las inversiones .Actualización de la deducción por depreciación .Deducción inmediata de inversiones: Artículo 51 de la LISR .Suma de dígitos de los años .Evaluación económica utilizando los diferentes métodos de depreciaciónsin considerar inflación .Consideraciones adicionales .Evaluación con depreciación en línea recta .Evaluación con deducción inmediata sin inflación .Evaluación con SDA sin inflación .Evaluación económica considerando la inflación .Resumen del análisis del valor presente de las diferencias .Influencia de la depreciación y el nivel inflacionario en la recaudaciónde impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .Conclusiones y recomendaciones .Apéndice 2 Tablas de factores de interés discreto .Nomenclatura utilizada .Solución a los problemas .índice .364 365 366371371 375376378380381385388394401404405412417417419419419419420
  2. 2. 420421422422422423424435441444447447469587
  3. 3. 10 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTABLA 2.1 Método de comprobación del resultado.Periodo O I 2 - 3 4 S 6 Interés 12000 (0.03) 10000 (0.03) 7940 (0.03) 5818.2(0.03) 3632.75 (0.03) 1381.73 (0.03)= 360 300 = 238.2 = 174.54 = 108.98 41.45Saldo + 12000 + 10000 + 7940 + 5818.2 + 3632.75 + 1381.73Total = 12360 = 10300 = 8178.2 = 5992.74 =3741.73 = 1423.18Pago - 2360 - 2360 - 2360 - 2360 - 2360 - 2360Nuevo Saldo 12000 = 10000 = 7940 = 5818.2 = 3632.75 = 1381.73 = -936.82Método de comprobación del resultadoSi el cálculo fuera correcto, el saldo final debería ser cero. En caso deaceptar el plande pago del vendedor, como se supuso que cada mes, durante todos los meses,siempre. se debían $12000, entonces el resultado es que se pagaría de más, en vez depagarsólo $1423.18 en el último mes, se estarían cobrando los $2360 de la mensualidadacordada. Observe cómo el interés siempre se carga sobre la cantidad que vaquedandocomo saldo insoluto en cada periodo, lo cual corresponde al renglón inferior. Deesta misma forma, cuando se obtenga la solución correcta será posible comprobarlavalidez del resultado y el saldo deberá ser cero. El estudiante podrá comprobarqueel otro plan de pago tampoco conduce a la solución correcta.Desarrollo de la fórmula que rige a la ingeniería económicaPara resolver no sólo el asunto anterior, sino casi cualquier tipo de problemaplanteadopor la ingeniería económica, se requiere de una fórmula que considere elcambio del valor del dinero a través del tiempo. Esta fórmula se va adesarrollar conun ejemplo.EJEMPLO 2.2 Una persona deposita $100 en un banco que paga un interés de 10%anual. No hace ningún retiro de dinero. ¿Cuánto tendrá acumulado en el bancodespuésde tres años?SOLUCiÓNLlámese P a la cantidad depositada en el presente ($100).Llámese i al interés cobrado por periodo (10% anual).Llámese F a la cantidad acumulada en el futuro.Llámese n al periodo de tiempo necesario para ganar (o cobrar) un interés, unaño enel caso del ejemplo.Cantidad acumulada al final del periodo 1:F, = 100 + 100(0.1) = 110
  4. 4. 16 CAPÍTULo 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO ATRAVÉS DEL TIEMPOPara verificar que este resultado es la solución correcta se tiene el método decomprobación (Tabla 2.1) y, además, ya se sabe que el saldo debe ser cero:TABLA 2.2o I 2 312000(1.03) - 10 144.830(1.03)- 8234.00489(1.03) -12360 10449.7490 8481 .025042-2215.170005 - 2215.170005 -2215.17000512000 = 10144.83000 = 8234.004895 = 6265.855037I I ""J( " I I :e-:=---:: :4 ~ ,-----+ 5 ,------. 6-------:6"2r765~.8ñr5r.50""37.7(11.i1V03")-=---Ir----:4r-2~38Fr.6n)6~(061rn."I80é3-l="")_:3--(1I: 2 150.650498(1.03) -6453.830688 4365.820503 2215.170013-2215.170005 -2215.170005 -2215.170005= 4238.660683 = 2 150.650498 = 0.000008I I12000Es importante observar que en la declaración básica no dice que el instante decomparación del dinero deba ser el presente o el periodo cero. Para resolver elejemplo2.1 se consideró como punto de comparación al presente, pero el dinero a suvalorequivalente puede ser comparado en cualquier otro instante de tiempo. En lassolucionesque se muestran se tomaron diferentes periodos de referencia:t 12000(1.03Y =A+ A + A + A + A + A(1.03) (1.03)2 (1.03)3 (1.03)4 (1.03)512000(1.03)2 = A(1.03y + A + _A_ + A + A + A(1.03y (1.03)2 (1.03)3 (1.03)412000(1.03)3 = A(1.03)2 + A(1 +03Y + A+ _A_+ A + _A_(1.03) 0.03)2 0.03)312000(1.03)6 = A(1.03)5 + A(1 +03)4 + A(1.03)3 + A(1.03)2 + A(1.03y + ASi se calcula la A en cada una de las soluciones anteriores, el resultadosiempreserá exactamente A = 2215.170005. Incluso, las soluciones posibles no son sólo 7sino n, ya que la declaración básica no dice que el instante de referencia debaestardentro del diagrama de flujo que representa al problema. Se recomienda alestudiantecalcular la A para los periodos 4 y 5, pero además podrá hacer el cálculo paralosinstantes de tiempo -10 y +20, o cualesquiera otros periodos que seleccione.
  5. 5. EL FUTURO Y LAS SERIES UNIFORMES 23TABLA 2.3Periodo 3 •• S 6CFP 2060.400 3121.60800 4204.0402 5308.121Depósito (D) 1000 1000.000 1000.00000 1000.0000 1000.000D + CFP 1000 3060.400 4121.60800 5204.0402 6308.121Interés ganado 20 61.208 82.43216 104.0808i(D + CFP)Cantidad de fin 1020 2060.4 3121.608 4204.04020 5308.1210de periodo(CFP)Es posible utilizar la misma declaración básica inicial, pero ahora considerandoque se trata de depósitos.La cantidad que se deposita es igual a la cantidad que se puede retirar, siemprequeambas cantidades, de depósitos y de retiros, se comparen a su valor equivalenteenel mismo periodo de tiempo.Ahora se resuelve el ejemplo con la fórmula básica. El periodo de tiempo en elque se compara el dinero es el futuro, o el último periodo del horizonte deanálisisdel problema:F= 1000(1.02)5+ 1000(1.02)4+ 1000(1.02)3+ 1000(1.02)2+ 1000(l.02)1+ 1000 =6308.121 2.6t¡ t2 t3 t, t, t6A esta solución se le llamará fórmula 2.6. Hay que observar que el primerdepósitodel periodo 1 sólo permanece durante cinco periodos y gana 2% de interésmensual,por eso el primer término tiene un exponente de 5; en tanto que el depósito delperiodo6 no gana ningún interés, ya que en el ejemplo se pregunta sobre la cantidad queestará acumulada al momento de realizar el sexto depósito. Debajo de cada uno delos términos de la ecuación con la que se solucionó este ejemplo, se anotó elperiodoal cual corresponden.También aquí existe una fórmula condensada para resolver el problema de unamanera directa:o su inversaA- F[ i 1 (1+i),,-12.7
  6. 6. EL FUTURO Y LAS SERIES UNIFORMES 27La validez del resultado se comprueba mediante una tabla similar a la 2.3, esdecir,se toman en cuenta los periodos en los que el dinero se queda depositado yobtieneun interés, pero no se registran depósitos adicionales en esos periodos.EJEMPLO 2.9 De los flujos de efectivo que aparecen en la gráfica 2.8, calcularelvalor de P con un interés de 10% por periodo.GRÁFICA 2.9 20 20 20 20 2010 10 10 10 10O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10p=?SOLUCiÓN El cálculo de P se hará de varias maneras para demostrar la aplicacióny flexibilidad que tienen las fórmulas presentadas hasta ahora. Así, por mediode lafórmula básica:a) Se consideran dos series, una de cinco pagos uniformes de lOcada uno, y otradecinco pagos uniformes de 20 cada uno:P_I0[(1.1)5-1]+20[(1.1)5-1][ 1 ]0.1(1.1)5 0.1(1.1)5 (1.1)5b) Se considera que la serie es de 10 en cada término y se suma otra serie de 10enlos periodos 6 al 10.P_I0[(1.1)IO-1]+1O[(1.1)5-1][ 1 ]0.1(1.1yo 0.1(1.1)5 (1.1)5e) Se considera una serie de 10 términos, cada uno con un valor de 20 y se restaunaserie de cinco términos de 10 de los primeros cinco periodos:P = 20[(1.1)10 -1]_10[(1.1)5 -1]0.1(1.1yo 0.1(1.1)5
  7. 7. 28 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOEn todas las determinaciones anteriores se consideró al tiempo cero como puntode comparación del dinero. Ahora considérese a t5 como punto de comparación:P(1.1)5 = 10[(1.1)5 -1]+ 20[(1. V - ~]0.1 0.1(1.1)Ahora considérese a tlO como punto de comparación del dineroP(1.1YO = 10[(1.1)5 -1](1.1)5 + 20[(1.1)5 -1]0.1 0.1Al final, se encontrará que en todas las formas propuestas de soluciónP = 84.98347442.Series gradiente y el presenteEn ingeniería económica se le llama serie gradiente a un diagrama de flujo quetienela característica de que a partir del segundo periodo y por n periodos sucesivospresentaun incremento de una cantidad igual cada periodo, respecto de la cantidad queaparece en el primer periodo. A la cantidad en que se incrementa en cada periodoelflujo de efectivo se le llama gradiente y se denota con la letra G.EJEMPLO 2.10 Una persona que compró un automóvil espera que los costos demantenimientosean de $150 al final del primer año y que en los años subsiguientes aumentea razón de $50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% y se capitaliza cada año,¿cuálserá el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de seis años?SOLUCiÓN Los datos del ejemplo son: P = ?; i = 8%; primer pago = 150; G = 50.El diagrama de flujo es:GRÁFICA 2.10350 400250 300150 200t t 11 2 3 4 5 6p=?
  8. 8. 32 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOP 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 =-(1-.0-1)-1+(1.01)2 +(l.01)3 +(1.01)4+(1.01)5 +(l.01)6 +(1.01)7 +(l.01)8 +(l.01)9 +(l.OlyoP = 643l.999345De forma simplificada el cálculo es: P=900[ (l.01yO-1]_~[(1.01)IO-1 10][ 1 ]=6431.9993450.0 1(l.0 1yo 0.01 0.01 (l.O 1)10Series gradiente y el futuroAsí como en los ejemplos 2.10 y 2.11 se utilizaron el gradiente, positivo ynegativopara calcular un valor en el presente, por medio de las series gradiente tambiénesposible calcular un valor en el futuro. Véase el siguiente ejemplo.EJEMPLO 2.12 Una persona depositó $100 en un banco al final del primer mes, ylosdepósitos sucesivos se incrementaron en $50 cada uno, es decir, en el segundomesdepositó $150, en el tercer mes depositó $200, etc. Si el banco paga a susahorradoresun interés de 2% mensual, ¿cuánto habrá acumulado esta persona en el banco almomento de hacer el sexto depósito?SOLUCiÓNDatos: A = 100; G = 50; i = 2%; n = 6. El diagrama de flujo del ejemplo es:GRÁFICA 2.15 F=?1 2 3 4 5 6~ ! 100 150200 250 300 350Como en todos los casos, la primera solución se obtiene con la fórmula básica:F = 100(1.02)5+ 150(l.02)4+ 200(1.02)3+ 250(l.02)2+ 300(1.02)1+ 350(l.0)0 = 1401.1145030
  9. 9. SERIES GRADIENTEY EL FUTURO 33Si se divide el diagrama de la gráfica 2.15 en dos, de manera que la sumatoriaresulte en el diagrama original, entonces tales diagramas son como los numeradosen las gráficas 2.16 y 2.17.GRÁFICA 2.16F =?1 2 3 4 516 ! 1 1 1 1100 100 100 100 100 100El diagrama de la gráfica 2.16 es una serie uniforme en la cual se calcula lacantidadque se acumula en el futuro, a partir de que se realizó una serie uniforme dedepósitos(pagos). La determinación se hace al momento de realizar el pago (depósito) n, yelejemplo se resuelve con la fórmula 2.7:F = 100[(1.02)6 -1]= 630.81209630.02Para la solución de F" del diagrama de la gráfica 2.17 se utilizan los mismosprincipiosque se argumentaron en la fórmula 2.9, excepto que ahora en vez de calcularuna cantidad en el presente, se calcula una cantidad en el futuro:GRÁFICA 2.17F"=?1 2 3 4 5 6O ¡50100 150 200 250Obsérvese en la fórmula 2.9 que, como el último término entre corchetes es 10quehace que la cantidad calculada sea enviada a su valor equivalente al presente:p= G[(1+i)"-1 n][_1 ]i i (1+i)"2.9
  10. 10. 34 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPODe manera que al eliminar ese término se tiene la fórmula para enviar una seriegradiente al futuro.2.12Esta fórmula tiene los mismos principios que la fórmula 2.9, es decir, a pesarde que el gradiente en el periodo 1 es cero, la n que se aplica en la fórmula esla n dela serie uniforme, lo cual determina la forma en que funciona la fórmula 2.12.Estoes, suma la serie gradiente a su valor equivalente y deposita la suma al momentodehacer el último depósito (pago) del gradiente, es decir, en el periodo n.ResolviendoF" del ejemplo 2.11:F" =~[(1 +0.02)6 -1 -6]= 770.3023780.02 0.02F = F + F" = 630.8120963 + 770.302378 = 140l.114474Esto se puede considerar un resultado igual al que se obtiene con la fórmulabásica,y la diferencia se debe al redondeo que hacen las calculadoras. Es evidente quela fórmula de series gradiente para calcular una cantidad en el futuro, funcionaparagradientes positivos y negativos (ascendentes y descendentes), tal y comofuncionacuando se calculan cantidades en el presente y a partir de gradientes.EJEMPLO 2.13 Calcule P en el siguiente diagrama utilizando exclusivamentefórmulasde gradiente y para una i = 10% por periodo.GRÁFICA 2.18 90 80 80 9070 60 60 7050 50140t 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11p=?SOLUCiÓN La forma más sencilla y segura de resolver este ejemplo es mediantela fórmula básica:P=~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~(1.1y (l.1)2 (1.1)3 (l.1)4 (1.1)5 (l.1)6 (l.1)7 (l.1)8 (1.1)9 (1.1YO (LItP = 440.8548472
  11. 11. INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO 35Si el problema se resuelve de acuerdo con el enunciado, es posible tener tresplanteamientos distintos:El primer planteamiento consiste en tomar una serie gradiente descendente de losperiodos 1 a16; el resto se toma como una serie ascendente y se compara eldineroen to.El segundo planteamiento consiste en considerar una serie gradiente descendentede los periodos 1 a15; el resto se considera como una serie ascendente y eldinerose compara en to.En el tercer planteamiento el dinero se compara en t5 o t6, en este caso setomarácomo punto de comparación a t6:i) Primer planteamiento:p_ 90[(1.1)6-1]_~[(1.1)6 -1 _6][_1_]+{50[(1.1)5 -1]+~[(1.1)5 -1 _5][_1_]}_1_0.1(1.1)6 0.1 0.1 (1.1)6 0.1(1.1)5 0.1 0.1 (1.1)5 (1.1)6ii) Segundo planteamiento:P _ 90[(1.1)5-1]- ~[(1.1)5 -1 _5][_1_]+{40[(1.1)6 -1]+ ~[(1.1)6 -1 _6][_1_]}_1_0.1(1.1)5 0.1 0.1 (1.1)5 0.1(1.1)6 0.1 0.1 (1.1)6 (1.1)5iii) Tercer planteamiento:p(1.1)6 = 90[(1.1)6-1]- ~[(1.1)6 -1 _6]+50[(1.1)5-1]+ ~[(1.1)5 -1 - 5][_1_]0.1 0.1 0.1 0.1(1.1)5 0.1 0.1 (1.1)5iv) Cuarto planteamiento:P(1.1y 1 = 90[(1.1)6-1](1.1)5_~[(1.1)6 -1 6](1.1)5+50[(1.1)5-1]+~[(1.1)5 -1 5]0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1a)b)e)Obsérvese que en todos los planteamientos se encuentra el mismo resultado.Existen al menos seis soluciones al problema, pues además de las cuatromostradas,hay una variante en las últimas dos soluciones, que consiste en tomar la primeraseriede cinco términos (de los periodos 1 al 5), en vez de tomarla de seis términos(de losperiodos 1 al 6), tal como se hizo.Interés nominal e interés efectivoEn el mundo de los negocios y de los impuestos, un año ha sido y es el periodoen elque se dan cifras totales. En los negocios se habla de declaraciones anuales,utilidadanual, etc., y aunque las declaraciones financieras pueden calcularse en tiemposmenoresde un año, la referencia siempre va a ser un periodo anual. Lo mismo sucede conlos impuestos, aunque haya declaraciones parciales, ya sean mensuales otrimestralesal final, el pago o la devolución de impuestos, siempre tendrá una base anual.
  12. 12. 38 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOExiste una fórmula para hacer el cálculo directo de la tasa de interés efectivaanual:( )ni = l+i -] efectiva anual n2.13donde: i = interés nominal anual.n = periodos de capitalización del interés menores de un año.Obsérvese que la fórmula 2.13 es la misma fórmula básica que se desarrolló enun principio, excepto que el interés se divide por un número entero quecorresponde alperiodo de capitalización, dando lugar a la tasa de interés por periodo menor deun año.Con la fórmula 2.13 se van a recalcular los apartados 1, 2 Y3 del ejemplo 2.14 yse va aseguir disminuyendo el periodo de capitalización del interés. Véase la siguientetabla:TABLA 2.4Interés nominal Periodo de capitalización Interés por periodoanual menor de un año menor de un año Inte-ré-s ef-ect-ivo--anual·24% Anual 24% (1+ 0.~4 J-1=0.2424% Semestral 0.24 =0.12 (1+ 0.;4 J-1 = 0.2544224% Trimestral 0.24 =0.06 (1+ 0.~4 J-1=0.26247696424% Mensual 0.24 =0.02 (1+ 0;~4 r-1=0.26824181224% Semanal 0.24 = 0.00461538 (1+ 0~~4r-1 = 0.27054745520.24 = 0.00065753 ( r 24% Diario 1+ 0.24 -1=0.27114878365 365 ( rSX2424% Cada hora -------- I+~ -1=0.27124207365x24Interés continuoSe observa que el interés efectivo anual se incrementa con cada disminución delperiodo de capitalización. Es posible seguir disminuyendo ese periodo pero hayunlímite. El límite que se está buscando es:
  13. 13. 40 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTABLA 2.5 •• Capitalización discreta Capitalización continuaF = P( 1 + i)"P=A[(I+i)"-I]i(l+ i)"F = A[ (1+ ir -1]F = Pej"P=A[~] ej"(ej -1[ejF=A -".--1] e -1Interés en periodos menores de un añoEs conveniente enfatizar que para un adecuado manejo del interés nominal y elinterésefectivo, es muy importante considerar el concepto de periodo de capitalizacióndelinterés, que es el lapso de tiempo que debe transcurrir para ganar (pagar) uninterés.Cabe recordar que la tabla 2.4 muestra que el interés efectivo anual es mayorconformedisminuye el periodo de capitalización, y llega a su límite con el interéscontinuo. Elefecto que se genera es el que se mostró en el ejemplo 2.14, es decir, para unacapitalizaciónsemestral del interés hay que esperar un semestre para ganar un interés, paraun mes es necesario esperar un mes, etc. Pero, cada vez que se gana un interés,eldinero se vuelve a reinvertir y para el siguiente periodo se ganará interés nosólo sobreel capital inicial, sino también sobre el interés o los intereses ganados en losperiodosprevios, es decir, sobre el interés que ya se volvió capital o interéscapitalizado; porlo tanto, a menor periodo de capitalización se van generando más rápidointeresesque se convierten en capital con la misma rapidez.Se puede construir otra tabla que muestre cómo calcular tasas de interésefectivoen periodos menores de un año:TABLA 2.6Interés Periodo Interés Interés Interés Interés Interés Interés Interésnominal de capi- por efectivo efectivo efectivo efectivo efectivo efectivoanual talización periodo anual semestral trimestral bimestral mensual semanal24% Anual 0.24 24% NC NC NC NC NC24% Semestral 0.12 (1.12)2 - 1 0.12 NC NC NC NC24% Trimestral 0.06 (1.06)4 - 1 (1.06)2 - 1 0.06 NC NC NC24% Bimestral 0.04 (1.04)6 - 1 (1.04)3 - 1 NC 0.04 NC NC24% Mensual 0.01 (1.01)12 _ 1 (1.01)6 - 1 (1.01)3 - 1 (1.01)2 - 1 0.01 NC24% Semanal 0.0046153 (1.0046)52 - 1 (1.004)26 - 1 (1.004) 13_ 1 (1.004)8 - 1(1.004)4 - 1 0.00461NC = No calculable o incorrecto si se calcula.
  14. 14. INTERÉS EN PERIODOS MENORES DE UN AÑO 41Hay dos aspectos importantes que se deben resaltar de la tabla 2.6. El primeroesla anotación NC o no calculable o incorrecto si se calcula, la cual significaque sise tiene una tasa, por ejemplo, de 24% anual capitalizada semestralmente, enteoría notiene sentido calcular un interés efectivo en períodos menores a seis meses, yaquees necesario esperar un semestre para ganar un interés. A esto se debe quecuandoel periodo de capitalización es de una semana, sea posible calcular tasas deinterésefectivas para cualquier periodo mayor a una semana. También, obsérvese quetodoslos exponentes de cualquier cálculo que aparece en la tabla 2.6 corresponden alnúmerode veces que el periodo de capitalización está contenido en el periodo mayoral cual se quiere calcular el interés efectivo. Por ejemplo, si se quierecalcular la tasade interés efectiva semestral a partir de una tasa cuyo periodo decapitalización esmensual, el exponente es 6 porque hay seis meses en un semestre, aunque tambiénhay 26 semanas en un semestre porque el año tiene 52 semanas.EJEMPLO 2.1S Una persona ahorra $1 000 cada año durante los años 1al5 en unbancoque paga un interés de 12% anual, y no hace retiros de dinero. Calcular lacantidad quese acumula en el banco al momento de hacer el depósito número 5, si:a) El interés se capitaliza anualmente:SOLUCiÓN Este ejemplo es similar al ejemplo 2.6 y sólo se realiza para fines decomparación. El diagrama de flujo es:GRÁFICA 2.21 F=?1 2 3 4 ! 5 1 1 11000 1000 1000 1000 1000F = 1000[(1.12)5 -1]= 6 352.847360.12b) El interés se capitaliza semestralmente.SOLUCiÓN La solución a este inciso puede plantearse en semestres o en años. Sies en semestres habrá que calcular el interés semestral. Como se está pasando deuninterés capitalizado de un periodo mayor (12% anual) a un periodo menor (seismeses),el interés anual se divide entre el número de semestres que tiene un año, 0.12/2= 0.06.
  15. 15. PROBLEMAS RESUELTOS 537. Un banco otorgó un préstamo por $11 000 a una tasa de interés anual de 8% yacordó que se le pagaría en 10 cantidades iguales al final de cada año, dandoinicioen el primero. Después de pagar la quinta anualidad el banco ofrece, comoalternativa,hacer sólo un pago de $7000 al finalizar el siguiente año, es decir, ya nose harían los cinco pagos restantes sino uno solo al final del sexto año.Determinequé opción de pago le conviene aceptar al deudor para liquidar las últimas cincoanualidades.SOLUCiÓN 7A En primer lugar establezca cuál es la A que deberá pagar a lolargo de 10 años.A =p[ i(1+iY ]= 11 000[0.08(1 +0.08)0](1+iY -1 (1+0.08)°-1= 11 OOO(A/P, 8%, 10) = 1639De esta A = 1639, se han liquidado cinco de 10 pagos. Entonces es necesariocalcular cuánto se debe al final del sexto año (gráfica 2.32).GRÁFICA 2.32 A A A A A A A A A Ao1 2 3 4 5 6 7 8 9 1o11000 PComo la alternativa de pago es una sola cantidad en el año 6, la P para eseperiodo es:P = 1639 + 1639(P/A, 8%,4)P = 1639 + 1639(3.3121) = $7068Como $7068 es más que $7000, debe tomarse la alternativa de hacer un solopago de $7000 al finalizar el sexto año.SOLUCiÓN 78 Después de haber determinado que para liquidar el préstamo seharán 10 pagos de A = $1639, calcúlese año con año, cuál será la deuda al finaldel año 6. Constrúyase una tabla que muestre por año, deuda y pagos hechos(véase la tabla 2.9 de la página siguiente).La diferencia de 7070 - 7068 = 2 se debe al redondeo de cifras por el usode tablas. Obsérvese que se hicieron cinco pagos de A y todavía debeconsiderarseun año más de interés, puesto que la propuesta del banco es que le paguen unasola cantidad al final del año 6.La solución al problema sería aceptar hacer sólo un pago al final del año 6,con lo que ahorraría $70.
  16. 16. 54 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOS Y EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPOTABLA 2.9Deuda al Deuda al PagoAño principio * Interés = final del dedel año año A1 11000 1.08 = 11880 16392 10241 1.08 11060 16393 9421 1.08 = 10175 16394 8536 1.08 9219 16395 7580 1.08 = 8186 16396 6547 1.08 170701 16398. Una persona compró un auto en $24000 y acordó pagado en 36 mensualidadesiguales, a una tasa de interés de 1% mensual. Un plan alternativo de pagoconsisteen dos anualidades de $4218.50 al final del primero y segundo años, y ya nopagar las últimas 12 mensualidades. Determine cuál es el mejor plan de pago: 36mensualidades iguales o 24 mensualidades más dos anualidades de $4218.50 alfinal de los meses 12 y 24.SOLUCiÓN 8A Primero calcule a cuánto ascenderían las 36 mensualidades:A = peA / P, 1%,36) = 24000[0.01(1 +0.01)36]= 797.14(1+0.01)36-1Si el plan alternativo consiste en pagar 24 mensualidades de $797.14 másdos anualidades (A) de $4218.50, el diagrama de flujo de este plan sería lagráfica 2.33.GRÁFICA 2.33+A +AA A A A A A A A A A A r+W7~-----------74-W24000Si A = 4218.5 determine el valor presente de la serie de pagos.P = 797.14(P/A, 1%,24)+ 4218.5(P/F, 1%,12) + 4218.5(P/F, 1%,24)P = $24000
  17. 17. 56 CAPÍTULO 2 CONCEPTOS BÁSICOSY EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO341.17 [(1+0.015Y -1 ]-5-9.-88-= 0.015(1+0.015Y = (P/A, 1.5%, n) = 5.6975Busque en la tabla de interés de 1.5%, en la columna de (P/A) una n tal quesu valor sea de 5.6975. Un valor de n = 6 cumple esta condición.SOLUCiÓN 98 Si sólo quiere utilizar la fórmula básica F = P(1 + it para resolvertodo el problema, entonces siga el ejemplo para el cálculo de los 24 pagosmensuales:A A A A1200 = + + ... + + ----O+0.015Y (1+0.015)2 (1+0.015)23 (1+0.015)24A = $59.9Para calcular la deuda después de haber hecho 12 pagos se construye la tabla2.10.En el momento de hacer el pago 12 el saldo será de $653.52. Si se hace unpago adicional de $312la deuda disminuye a $341.52. Con este dato se construyela tabla 2.11.De esta forma se confirma que con seis pagos adicionales A = $59.9 se cubretotalmente la deuda. Los residuos en los pagos se deben al redondeo de cifras.TABLA 2.10DeudaPago Pago a después_ Pago Interés mensual principal __ depag~_O 12001 18 59.9 41.9 1 158.12 17.37 59.9 42.52 1 115.573 16.73 59.9 43.16 1072.404 16.08 59.9 43.81 1028.585 15.42 59.9 44.47 984.106 14.76 59.9 45.13 938.967 14.08 59.9 45.81 893.148 13.39 59.9 46.50 846.639 12.69 59.9 47.20 799.4210 11.99 59.9 47.90 751.5111 11.27 59.9 48.62 702.8812 10.54 59.9 49.35 653.52
  18. 18. PROBLEMAS RESUELTOS 57TABLA 2.1 IDeudaPago Pago a despuésPago Interés mensual principal de pagoO 341.521 5.12 59.9 54.77 286.742 4.30 59.9 55.59 231.143 3.46 59.9 56.43 174.704 2.62 59.9 57.27 117.425 1.76 59.9 58.13 59.286 0.88 59.9 59.01 0.2610. Un préstamo de $1000 se está pagando con anualidades de $80, a una tasa deinterés de 5% anual. Un año después de hecho el préstamo empezó a pagarse.Si después de siete pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dospagos iguales únicos, al final de los años 9 y 11, ¿a cuánto ascenderán estospagosde forma que salden totalmente la deuda?SOLUCiÓN lOA Calcule cuál es la deuda después de hacer el séptimo pago:P = 80(P/A, 5%, 7) = 80(5.786) = $462.88Como $462.88 es 10 que se ha pagado en términos del presente, la deudarestante es 1000 - 462.88 = $537.12. Esta deuda se puede expresar según semuestra en la gráfica 2.34.GRÁFICA 2.34A A1 J1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11537.12Por 10 tanto, 537.12 = A(P/F, 5%, 9) + A(P/F, 5%, 11).Se le llama A porque son pagos iguales, pero no se trasladan al presente conel factor (P/A, i, n) porque son cantidades únicas y aisladas. Recuerde que parautilizar este factor se necesita una serie de pagos uniformes continuos durantenperiodos. Así, tenemos que:A = 537.12 = $436.931.2293
  19. 19. PROBLEMAS PROPUESTOS 7968. Un profesor que se acaba de jubilar recibió $80000 por su retiro, mismos queinvirtió en la publicación de un libro del cual es autor. Por cada libro quevendesu ganancia neta es de $2, y al final del primer año de haber hecho lapublicaciónlogró vender 3 500 ejemplares. El profesor considera una tasa de interés de 11%anual y calcula que es posible incrementar las ventas anuales en una cantidadconstate cada año. ¿Con cuántos ejemplares del libro debe incrementar la ventacada año, en forma constate, si desea recuperar la inversión en cuatro años?RESPUESTA 6857 libros.69. Durante seis meses se hicieron depósitos de $50 cada mes en un banco quepagóun interés de 2% mensual. Luego se hicieron 6 depósitos de $75 cada dos mesesy la tasa de interés se elevó a 4% mensual. ¿Cuánto se acumuló en el banco luegode realizar el depósito número 12?RESPUESTA $1057.39.70. Del siguiente diagrama de flujo y con interés de 4% por periodo, determíneseelvalor de X:GRÁFICA 2.43 x X+5 X+lO X+15 X+20 200 210 2001 2 3 4 5 6 7 8992RESPUESTA $109.71. Se depositan $4000 en un banco que paga un interés de 18% anual capitalizadoquincenalmente. El dinero permanece un año depositado, sin que se hagan retirosde capital ni intereses. A partir de la primera quincena del segundo año, que eslaquincena 25 a partir del día en que se realizó el depósito inicial, se deseanrealizarnueve retiros iguales cada dos meses, hasta extinguir totalmente el depósito. ¿Acuánto ascienden cada uno de estos nueve retiros iguales?RESPUESTA $60l.96.72. Una persona compró a crédito una TV en $4000. El interés que se cobra es de3% mensual. Durante los seis primeros meses pudo pagar $250 cada mes, pero apartir del séptimo mes su pago se incrementó en $50 al mes, es decir, pagó $300al final del séptimo mes, $350 al final del octavo mes, etc. ¿Cuándo terminó de
  20. 20. b)LA TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) 87Por lo tanto, la TMAR se puede definir como:TMAR = tasa de inflación + premio al riesgo 3.1El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento del dinero, y se le llamaasíporque el inversionista siempre arriesga su dinero (siempre que no invierta enel banco)y por arriesgarlo merece una ganancia adicional sobre la inflación. Como elpremioes por arriesgar, significa que a mayor riesgo se merece una mayor ganancia.La determinación de la inflación está fuera del alcance de cualquier analista oinversionista y lo más que se puede hacer es pronosticar un valor, que en elmejorde los casos se acercará un poco a lo que sucederá en la realidad. Lo que sípuedeestablecer cuando haga la evaluación económica es el premio al riesgo.Para calcular el premio al riesgo se pueden tomar como referencias las dossituacionessiguientes:a) Si se desea invertir en empresas productoras de bienes o servicios deberáhacerseun estudio del mercado de esos productos. Si la demanda es estable, es decir, sitiene pocas fluctuaciones a lo largo del tiempo, y crece con el paso de los añosaunque sea en pequeña proporción, y además no hay una competencia muy fuertede otros productores, se puede afirmar que el riesgo de la inversión esrelativamentebajo y el valor del premio al riesgo puede fluctuar entre 3 y 5%.Posterior a esta situación de bajo riesgo viene una serie de situaciones deriesgo intermedio, hasta llegar a la situación de mercado de alto riesgo, quetienecondiciones opuestas a la de bajo riesgo y se caracteriza principalmente porfuertesfluctuaciones en la demanda del producto y una alta competencia en la oferta.En casos de alto riesgo en inversiones productivas el valor del premio al riesgosiempre está arriba de 12% sin un límite superior definido.La segunda referencia es analizar las tasas de rendimiento por sectores en laBolsade Valores. Supóngase que se desea invertir en el área de productos químicos.Porun lado, deberá observar cuál ha sido el rendimiento promedio de las empresasdelárea de productos químicos que cotizan en la Bolsa de Valores, y por otro,conocerel valor real de la inflación. Si se observa, por ejemplo, que los rendimientosactualesde las industrias químicas sobrepasan apenas 3% al ritmo inflacionario, no seríaacertado fijar un premio al riesgo muy superior al promedio vigente para unanuevaindustria química, pues implicaría pedir altos rendimientos a un sectorproductivoque en ese momento, por las razones que sean, no está proporcionando altosrendimientos.Ya será decisión de los inversionistas arriesgarse en esas condiciones.Si en un determinado sector productivo los rendimientos promedio son bajos,pero una industria particular de ese mismo sector tiene altos rendimientos, nosedebe confundir esta circunstancia y querer imitarla en ganancias fijando un alto
  21. 21. premio al riesgo en la etapa de evaluación económica, cuando apenas se va adecidirsi se invierte. La fijación de un valor para el premio al riesgo y, por lotanto,para la TMAR es, como su nombre lo indica, el mínimo aceptable. Si la inversiónproduce un rendimiento muy superior a la TMAR, tanto mejor.
  22. 22. 88 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIREn los problemas sucesivos a lo largo del texto ya no se hablará de una tasa deinterés sino de una TMAR, pero no se olvide que es una tasa de rendimiento quehasido fijada por el inversionista que tomó en cuenta las circunstancias expuestasy,por lo tanto, es el punto de referencia para decidir sus inversiones. El valorasignadoa los problemas no importa, pues en la realidad variará de acuerdo con lainflación.Si en México, en un futuro cercano, la inflación bajara al rango de un solodígito, laTMAR bajará también. Si la inflación volviera a subir a tres dígitos, la TMARsubiráen forma similar. Lo que en realidad importa en los problemas no es su valor,sino elconcepto que conlleva y las consecuencias que implica determinar aceptablementesu valor para tomarlo como parámetro de referencia.Métodos de análisisEl método de análisis que se utilice para tomar la decisión de inversión debetenervarias características deseables: ser capaz de seleccionar la mejor opción deentre unconjunto de opciones mutuamente exclusivas, entendiéndose como tal al hecho detener n alternativas de inversión y, al tomar una de ellas, las demás quedaneliminadasautomáticamente.El mejor método de análisis también debe tomar en cuenta todos los flujos deefectivo que genere el proyecto (positivos y negativos) y no sólo algunos deellos. Porúltimo, tiene que ser consistente en los supuestos teóricos que le dieronorigen.Periodo de recuperaciónSupóngase los siguientes flujos de efectivo de dos alternativas mutuamenteexclusivas.El periodo de planeación y análisis es de seis años (tabla 3.1):TABLA 3.1AñQL A_ BO-500 -500 150 1002 350 1003 200 2004 -100 2005 +180 3006 -200 300El periodo de recuperación de una inversión es el número de años que tomará elproyecto para recuperar la inversión inicial. Según este método deberíaseleccionarseA, puesto que en dos años se recupera la inversión inicial; en tanto que Btomaría
  23. 23. TABLA 3.2 Inversionista TMAR $VPN1 5% 538.622 10% 327.263 15% 157.244 20% 18.765 25% -95.326 30% -190.3090 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRla inversión inicial que ya está en tiempo presente. Los flujos se descuentan auna tasaque corresponde a la TMAR, de acuerdo con la siguiente fórmula:FNE FNE FNE VPN = _p+ __ l + 2 + ...+ "(1+ iy (1+ i)2 (1+ i)"3.2donde:FNE" = flujo neto de efectivo del año n, que corresponde a la ganancia netadespuésde impuestos en el año n.p = inversión inicial en el año cero.i = tasa de referencia que corresponde a la TMAR.Como ya se mencionó, el inversionista fija la TMAR con base en el riesgo que,él mismo considera, que tiene la inversión que pretende realizar. El análisis deriesgopuede ser cualitativo, es decir, que el inversionista lo determina a partir desu experiencia,o bien, puede ser cuantitativo. Como quiera que sea, supóngase que hay seisdiferentes inversionistas que desean poner su capital en la industriametalmecánicadel ejemplo 3.1. Cada uno tiene una percepción del riesgo muy diferente, esdecir, hanasignado una TMAR distinta a la inversión y, por lo tanto, cada uno de ellosobtuvoun VPN diferente. En la tabla 3.2 se muestran los resultados:La primera pregunta es: ¿cuál de todos los inversionistas ganará más? Si seobservala forma en que está calculado el VPN, el resultado está expresado en dinero.El inversionista 1 podría decir que el resultado que obtuvo es equivalente a queélinvierta $1 000, gane 5% cada año durante cinco años (que es el horizonte deanálisis)y que además el banco o sitio donde invirtió le diera $538.62 al momento dehacerla inversión. El inversionista 4 diría que a pesar de que su resultado esequivalente aganar 20% sobre su inversión cada año, durante cinco años, al momento deinvertir.- sólo le darían $18.76 extra. Por último, los inversionistas 5 y 6 dirían queen vez deganar, ellos perderían, dado el resultado obtenido en su VPN ¿Es esto cierto?
  24. 24. Obsérvese que se utilizó la expresión su resultado es equivalente a, y lo ciertoes que todos están ganando lo mismo. Esto puede comprobarse fácilmenteobservandoque los flujos de efectivo de la gráfica 3.2 no cambian para ninguno de ellos,porlo tanto, todos ganarían lo mismo. Entonces, ¿qué interpretación debe darse alosVPN obtenidos?El VPN, tal y como se calcula, simplemente indica si el inversionista estáganandoun aproximado del porcentaje de ganancia que él mismo fijó como mínimoaceptable.Esto significa que para los inversionistas 1, 2, 3 Y4, que solicitaron unaganancia deal menos 20% para aceptar invertir, el proyecto del ejemplo 3.1 definitivamenteofreceun rendimiento superior a 20%. En el caso de los inversionistas 5 y 6, no es quepierdan si invierten, sino que la interpretación es que el proyecto noproporcionará laganancia que ellos están solicitando como mínima para realizar la inversión, esdecir,el proyecto no rinde 25% y menos 30%. Por tal razón, los criterios para tomarunadecisión con el VPN son:EL VALOR PRESENTE NETO (VPN) 91<1 Si VPN > 0, es conveniente aceptar la inversión, ya que se estaría ganandomásdel rendimiento solicitado.<1 Si VPN < 0, se debe rechazar la inversión porque no se estaría ganando elrendimientomínimo solicitado.GRÁFICA 3.2 VPN600500400300 200 100O 5 10 15 20 25 -100-200
  25. 25. DESVENTAJAS EN EL USO DE LA TIR COMO MÉTODO DE ANÁLISIS 95tomar la decisión, debido a la desventaja que presenta la TIR, como se mostraráen el siguiente apartado.Situaciones donde la TIR y elVPN conducena decisiones contrariasEJEMPLO 3.2 Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15000.Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno de lospróximoscuatro años; por otra parte, la segunda alternativa ofrece un pago único de$27500 alfinal de los cuatro años. Si la TMAR = 15%, decida cuál alternativa debeseleccionarse(véase la tabla 3.3).TABLA 3.3--Año A B O -15000 -150001 5500 O2 5500 O3 5500 O4 5500 27500SOLUCiÓN Como no se pide un método de análisis específico, se utilizan ambosmétodos de análisis para las dos alternativas:VPNA = -15000 + 5500(P/A, 15%,4) = $702.5VPNa = -15000 + 27400(P/F, 15%,4) = $724.5TIRA = 15000 + 5500(P/A,i, 4) TIRA = 17.29%TIRa = 15000 + 27500(P/F, i, 4) TIRa = 16.36%Seleccione BSeleccione ALos métodos VPN y TIR nos dan resultados ¡distintos! No se olvide que de dosalternativas, hay que elegir aquella con mayor ganancia en cualquier sentido, esdecir,se elige la de mayor VPN o la de mayor TIR. La explicación para este resultadotanextraño es que se utilizan tres tasas distintas para descontar los flujos: 15,16.36 y17.4%; por esta razón, los resultados de traerlos a valor presente soncontrarios a loesperado. Obsérvese que en la alternativa A hay una serie de flujos que sereinviertenen su totalidad año con año. En cambio, en la alternativa B no hay una situaciónsimilarde reinversión debido a que la ganancia es una sola cantidad al final delhorizonte deanálisis.La suposición implícita de la TIR es que todas las ganancias se puedenreinvertiral valor de la TIR, ya que todos los flujos de efectivo del proyecto sedescuentan a esatasa. No existe una base real para suponer que en el proyecto A, todas lasganancias de
  26. 26. PROBLEMAS RESUELTOS 101GRÁFICA 3.3 VPN = -P + A(P/A, i. 8)VPN12%10%8%6%5%4%3%2%W****6+ ea-102.56-73.20-40.24-3.20+17.04+38.64+61.60+86.00VPN 5040302010 ... TIRO-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-20-30-40-50SOLUCiÓN IC El tercer método consiste simplemente en que de cualquiera delas fórmulas:[P=A (1+ir -1]i(1 +iro [A-P i(l+ir ](1+ ir -1ya sea que por prueba y error, o con la ayuda de un pequeño programa de cómputo,se calcula el valor exacto de i que permita hacer cumplir la igualdad de lafórmula. El resultado exacto es TIR = 5.837213%.Es muy importante hacer notar que no tiene ningún sentido expresar una TIRhasta centésimas. No se olvide que se trata de calcular o pronosticar unagananciaque se dará en el futuro, por lo que un cálculo demasiado exacto es exagerado.Por lo tanto, una respuesta aceptable al problema es simplemente TIR = 5.8%.2. En un pozo petrolero se invirtieron $500 millones durante el año cero en laspruebasde exploración y perforación. A lo largo del primer año, para dejar al pozo encondiciones de extracción normal, se invirtieron adicionalmente $300 millones.Después de haber medido la presión del pozo, se espera que éste produzca bene-
  27. 27. 102 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRficios anuales de $250 millones durante los siguientes 10 años. Determínese latasa interna de rendimiento del pozo petrolero.SOLUCiÓN 2A El diagrama de flujo del problema se muestra en la gráfica 3.4.GRÁFICA 3.4500La ecuación de cálculo de la TIR es:O = -500 -300(P/F, i, 1) + 25O(P/A , i, 10)(P/F, i, 1)En apariencia, esta ecuación tiene dos cambios de signo, por lo tanto, elpolinomiodeberá tener dos raíces. Sin embargo, al hacer el cálculo se puede observarque la ecuación es exponencial decreciente con límite en -$500. Esto se debe aquecuando se eleva progresivamente el valor de i, la suma descontada de losbeneficiosanuales de $250 cada vez tiende a hacerse menor, y cuando i = 00, esa suma, queincluye al flujo del primer año que es -$300, se hará cero, por lo que el límitees-$500. Los cálculos se expresan a continuación (véase la gráfica 3.5).VPN ;- -VPN 0.05 1052.1 0.70 -467.40.10 623.7 1.00 -525.10.15 330.1 110% -5350.20 123.4 120% -54210.240138 0.00061 130% -5470.25 -25.9 200% -5580.30 -136.2 300% -5540.35 -219.4 400% -5480.40 -283.29 500% -5120.45 -333.1 600% -5370.50 -372.4 1000% -5250.55 -403.9 2000% -5140.60 -429.4 5000% -5060.65 -450.2
  28. 28. 108 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRCon 15.1% de endeudamiento se tendría:% aportación InterésCapital propioFinanciamiento0.84900.15100.20 = O.16980.14 = 0.021 10.1909 019.09Por lo tanto, el préstamo necesario en el año 4, para alcanzar la TMAR mínimaes de $159.9 millones.6. Calcúlese la TIR del diagrama de flujo de efectivo mostrado en la gráfica3.9.GRÁFICAl.9 504540 2520O t2 3 4 5 650 30En este polinomio, con aparentemente dos cambios de signo, podría esperarsela obtención de dos raíces positivas.20 25 30 40 45 50+50=--+--+--+--+--+--(1+ i) (1+ i) (1+ i) (1 + i) (1+ i) (1+ i)Sin embargo, al calcular el VPN en un rango de 0% a 200% se encuentranlos siguientes valores:VPN VPN VPNO 100 0.7 -26 1.5 -380.1 50 0.8 -29 1.6 -390.2 21 0.9 -31 1.7 -390.3 3 1 -33 1.8 -40I 0.3224 0.004 I 1.1 -34 1.9 -400.4 -8 1.2 -36 2.0 -410.5 -16 1.3 -370.6 -22 1.4 -37
  29. 29. PROBLEMAS RESUELTOS 109De la fórmula se deduce que los valores de VPN decrecen hasta el límite de-50, ya que cuando la i es tan grande y la suma de los FNE de los años 1 a 6 estan pequeña, el único valor no afectado por el interés es el que está en elperiodocero, que es precisamente -50. Se puede pensar que los FNE de los años 1 y 2son tan pequeños que si se analizara o calculara la TIR sólo para los años O, 1y2, esto no sería posible ni matemáticamente ni en la práctica empresarial,puestoque las ganancias de FNE = 20 YFNE = 25 no son suficientes para compensarla inversión inicial de FNE = -50. Por lo tanto, una condición indispensablepara que exista una TIR real es que las ganancias futuras sean iguales o mayoresa la inversión inicial. Si son iguales, el diagrama de flujo resultante es lagráfica 3.10.GRÁFICA 3.1025 25o50 1 250La TIR de este diagrama es 0%. Los flujos se modificaron para hacer una nuevaobservación de la TIR, y quedaron según las gráficas 3.11 Y3.12.GRÁFICA 3.1150454025 25O2 3 4 5 650 30
  30. 30. PROBLEMAS RESUELTOS 1117. Encuéntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.14.GRÁFICA 3.14 90 1001 2 350 50SOLUCiÓN Se plantea la ecuación y por tanteos se encuentra i.50=~+ 100 __ 5_0_(1+ iy (1 + i)2 (1+ i)3i = 145%i% VPN i% VPN0.1 77 1.1 100.2 66 1.2 70.3 56 1.3 4DA 47 lA 1.20.5 40 1.5 -1.20.6 33 1.6 -30.7 27 1.7 -50.8 22 1.8 -70.9 18 1.9 -91.0 13.75 2.0 -11En la solución de este problema se encuentra un aspecto especial sobre loscambios de signo en los polinomios. Aquí, aparentemente, debe haber dos raícesporque hay dos cambios de signo, pero en los cálculos sólo se encuentra unaraíz positiva. Es evidente que, al aumentar la tasa, el valor del VPN se hacemásnegativo con un límite en -50, que es el valor del flujo en el periodo cero(véasela gráfica 3.15).
  31. 31. 112 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRGRÁFICA 3.15 VPN70605040302010 -lOO ~-0-.1 ~-0.3-~-0.5---0.7~-0-.9 ~-1.-1 --~--~~~---1.9-~----~--~--~8. Encuentre la i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.16.GRÁFICA 3.16 20 10050 50SOLUCiÓN La ecuación para el cálculo del VPN es:50 50 100+20---- + =0(1+ i) (1+ i)2 (1+ i)3Los valores calculados del VPN para diferentes valores de i son:VPN VPN0.1 8 1.1 -4.30.2 1.48 1.2 -3.660.3 -1.2 1.3 -2.90.4 -5.0 1.4 -2.20.5 -6.0 1.5 -1.620.6 -6.3 1.6 -0.930.7 -6.34 1.7 -0.290.8 -6.0 1.8 -0.320.9 -5.5 1.9 -0.911.0 -5.0 2.0 -1.48
  32. 32. 114 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRsea muy recomendable para evaluar las bondades de las inversiones. Al contrario,el método del VPN proporciona resultados concretos, sin importar el número decambios de signo que puedan tener los elementos de un polinomio.GRÁFICA 3.18 TMAR4500400035000.05 0.110. Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial$940000;beneficio neto el primer año, $105000 con incremento de $25000 en cada unode los años siguientes; valor de salvamento $150000 al final del año 5.La inversión se plantea para un periodo de cinco años. Si la TMAR consideradaes de 6% anual, determínese la conveniencia económica de hacer la inversión pormedio de la TIR.SOLUCiÓN El diagrama de flujo del problema se muestra en la gráfica 3.19.GRÁFICA 3.19 205000 +150000 180000155000130000105t000 t2 3 4 5940000El cálculo de la TIR es (cifra en miles):105 130 155 180 355940=--+ + + +--(1+ iy (1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)4 (1+ i)5
  33. 33. 116 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIRGRÁFICA 3.212. Encuentre la tasa de interés de la gráfica 3.21.100 10080 801 2 3 4 5249RESPUESTA i = 13%.3. Por medio del método gráfico calcule las i de la gráfica 3.22.GRÁFICA 3.22300 350250200 t 11 2 3 4 5100 100RESPUESTA Tiene una sola TIR = 191.11 %.4. Una persona invierte $8464 a cambio de recibir $3 000 al final del año 1, $3500al final del año 3, $4000 al final del año 4 y $5 000 al final del año 5. ¿Cuáles latasa de interés que recibirá por su inversión?RESPUESTA i = 20%.5. Una persona invirtió $3 150 en un negocio que le produjo ganancias de $500cadafin de año, de los años 1 a 6. Al final del año 7 su ganancia fue de $400, alfinaldel año 8 la ganancia fue de $300 y al final del año 9 la ganancia fue de $200,momento en que decidió retirarse del negocio. Al final del año 9 también vendiótodo lo que quedaba del negocio en $80. Determine la tasa de ganancia anual queobtuvo esta persona por la inversión que realizó durante nueve años.RESPUESTA 5.43%.
  34. 34. PROBLEMAS PROPUESTOS 11912. Calcule el VPN del problema 1, si la TMAR es de 15%.RESPUESTA VPN = $7.51.13. Encuentre el VPN del problema 3, si la TMAR es de 8%.RESPUESTA VPN = $679.14. El parque de diversiones infantiles Boredkingdom está considerando cincopropuestaspara nuevas instalaciones con qué divertir a los niños. Los datos que halogrado recabar la empresa se muestran en la tabla 3.10.TABLA 3.10(En millones)Inversión-1.8-1.3-0.5-3.2-2.1(Cifras en millones)Bene~cio anual (años I a_5)0.60.570.20.990.75_~ropuestaABeDESi el periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de Boredkingdomes de 10%, determine la mejor propuesta con base en el cálculo del VPN.RESPUESTA B,VPN = $0.86 es la mejor opción.15. Para la compra de un automóvil existen dos planes: el primer plan escomprarlode contado a un precio de $125000. El segundo plan consiste en dar un enganchede 30% del valor del auto, pagar 24 mensualidades de $5073.32 cada una,además del pago de dos anualidades de $10 000 cada una, la primera al final delmes 12 y la segunda al final del mes 24. Si se compra el auto a plazos, ¿cuál esla tasa de interés efectiva anual que se cobra por financiamiento?RESPUESTA Interés mensual de 4%, interés efectivo anual de 60.1 %.16. Dos alternativas mutuamente exclusivas, cada una con vida útil de ocho añospresentan los siguientes pronósticos de flujo de efectivo (véase la tabla 3.11).TABLA 3.1 1Años A BO -675 -90001-4 200 4005-8 350 310
  35. 35. 120 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIREncuentre la TIR de cada alternativa por el método gráfico.RESPUESTA TIRA = 31.2%, TIRo = 39.5%.17. A un exitoso hombre de negocios se le ha presentado un proyecto de inversiónque consiste en una aportación inicial de $829.5 millones con ganancias de $100millones durante el primer año y un incremento de $50 millones en cada uno delos años sucesivos.a) ¿Cuántos años será necesario mantener el negocio con ganancias en aumentopara que la TMAR de este hombre sea de 18% anual?b) Si el inversionista exige más rendimiento al negocio y eleva su tasa degananciaa 25%, vuélvase a responder el inciso a), pero con la TMAR = 25%.RESPUESTA a) 7 años, b) 10 años, considerando la capitalización anual de lainversión.18. De las dos siguientes propuestas mutuamente exclusivas, con una TMAR de 12%ypara un periodo de seis años determínese a) el VPN, b) la TIR de cada una (véasela tabla 3.12).TABLA 3.12Años F GO -675.5 -788.3I O 4002 O 3003 O 2004 450 1005 450 506 450 ORESPUESTA a) VPNF = $93.88, VPNG = $42.17; b) TIRF = 15%, TI~ = 15%.19. Una constructora desea adquirir una revolvedora móvil de mezcla parautilizarlaen sus construcciones. El periodo de planeación es de cinco años y la TMAR dela constructora es de 8% anual. ¿Cuál revolvedora debe seleccionarse si secalculael VPN? (véase la tabla 3.13).
  36. 36. 128 CAPÍTULO 3 TMAR,VPNYTIR42. Determine la o las tasas de interés que tiene el siguiente flujo deefectivo:Año o 2 3 4FE 50 -200 200 -100 50Si la TMAR fuera de 50%, ¿aceptaría recibir y pagar los flujos descritos enlos periodos respectivos?RESPUESTA Las tasas son de 0% y de 176.93%. Con una TMAR de 50% no seaceptaría invertir porque el VPN = -14.19.43. Se invierten $1 000 en un banco. Hasta el final del octavo periodo seretiran $400;al final del noveno periodo se retiran $350; al final del periodo 10 se retiran$300; al final del periodo 11 se retiran $250 y en cada uno de los periodos, del12 al 17, se retiran $200 al final de cada uno de ellos. Calcule la tasa derendimientopor periodo que se obtuvo por la inversión de $1 000, considerando los17 periodos.RESPUESTA 8.32%.44. Del siguiente diagrama de flujo, determínese la o las raíces que puedantener lasecuaciones que representen esos flujos de efectivo:45 30o1 2 38 70RESPUESTA 56.5 Y234.4%.45. Se tienen los siguientes flujos de efectivo para los proyectos A y B:A BInversión -1000 -1000FE año 1 600 300año 2 500 200año 3 300 -1000
  37. 37. IRAño I 2 3FE deA 700 500 300FE de B 200 400 1000 ,. 59 i14 4 % •PROBLEMAS PROPUESTOS 13154. Se tienen los siguiente flujos de efectivo para dos proyectos, ambos con unainversiónde $1000:También existen dos inversionistas. Calcule la TMAR que hará que los dosproyectos sean indiferentes para los inversionistas. Si el inversionista 1 tieneunaTMAR de 8%, ¿cuál es el proyecto que debería seleccionar?RESPUESTA 8.8. Seleccionaría B.55. Una empresa necesita cierto equipo y tiene dos alternativas para tenerlodisponible.La primera alternativa es rentarlo por $63 250 al año, que se pagan poradelantadodurante cuatro años. La otra alternativa es comprarlo por $250000, en cuyo casotendría que pagar los costos de mantenimiento que ascienden a $10000 al finalde los años 1 y 2, Y son de $15000 al final de los años 3 y 4. El equipo podríavenderse en $100000 al final del cuarto año. Determínese el interés que hagaindiferentes a ambas alternativas.RESPUESTA 10% anual.
  38. 38. 138 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)Y ANÁLISIS INCREMENTALExpresando este resultado en un diagrama se tiene:GRÁFICA 4.2 O 1 2 3 4 5¡ ¡ ¡ ¡ ¡5663.7 5663.7 5663.7 5663.7 5663.7El diagrama original fue transformado, con costos distintos, a un diagramaexactamente equivalente, pero expresado como una anualidad igual. Los costos seexpresaron de dos formas: como el valor presente de los costos y después comounaserie uniforme de costos a lo largo del periodo de análisis de cinco años.Proceso automático:GRÁFICA 4.31100O 1 2 3 4 5900+28003700900+280037901089+280038891197.9+28003997.91317.69+28004117.696300V =+6300+ 3700 + 3790 + 3889 + 3997.9 + 4117.69-1100 =20322.1Pa (1.1y (1.1)2 (1.1)3 (1.1)4 (1.1)5CAUEa = 20322.1 (A/P), 10%,5) = 5360.91El diagrama equivalente es:GRÁFICA 4.4 O 1 2 3 4 51 1 1 1 1 ¡5360.91 5360.91 5360.91 5360.91 5360.91El resultado indica que se debe seleccionar la alternativa automatizada, puestieneun menor costo anual. Es necesario realizar varias observaciones. La primera esquecalcular sólo el valor presente de los costos es suficiente para tomar unadecisiónválida. La pregunta es: ¿por qué se debe realizar un cálculo extra para obtenerunaanualidad a partir del valor presente de los costos?
  39. 39. MÉTODO DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 139Para efectos de tomar una decisión, sería suficiente calcular el valor presentedelos costos, sin embargo, quien toma una decisión de este tipo, por lo general,tambiénelabora un presupuesto de gastos, en este caso, por la adquisición y operacióndenuevos equipos.Al calcular el CAUE, automáticamente se tiene el presupuesto anual de costos(sin considerar inflación).Ahora queda claro por qué el método lleva ese nombre. Se calcula a partir de unaserie de costos de distinto monto y concepto, se transforma a una sola cantidadque porser un costo anualizado es uniforme y además está calculado a su valorequivalente.Puede existir la situación complementaria del método donde no sólo existencostos, sino también ingresos. Además, se desea expresar ambas cantidades comouna anualidad. Si existen ingresos en el problema, entonces se omite el acuerdodesignos, y los ingresos son positivos y los costos negativos. Si éste fuera elcaso, yano se hablaría de costo anual uniforme equivalente, sino de beneficio anualuniformeequivalente (BAUE).EJEMPLO 4.2 Una estación ferroviaria actualmente carga y descarga los costalesde grano (trigo, maíz y frijol) de forma manual y está considerando laposibilidad deutilizar bandas transportadoras. Esto provocaría un ahorro de mano de obraequivalentea $150000 al año. A cambio de esto, es necesario invertir $435000 y, además,habrá costos de mantenimiento de los transportadores por $38000 al año. Con unaTMAR = 15%, un periodo de análisis de ocho años y un valor de salvamento decero para los transportadores al final de ese periodo, determínese laconvenienciaeconómica de su instalación.SOLUCiÓN Aunque existe una inversión y unos ahorros traducidos como beneficioso ingresos y además hay costos de mantenimiento, no se puede considerar como unainversión tradicional porque en esta situación no se pagan impuestos.Para tomar decisiones en casos como éste, el BAUE puede ser una herramientaútil,si además de la decisión se desea presupuestar.Diagrama de flujo en miles:GRÁFICA 4.5 150 150 150 150 150 150 150 1501 2 3 4 5 6 7 8435 38 38 38 38 38 38 38 38BAUE = - 435000 (AIP, 15%,8) + 150000 - 38000 = $15060.2TIR = 19.59%
  40. 40. ANÁLISIS INCREMENTAL 141SOLUCiÓN En primer lugar debe calcularse el VPN de cada alternativa paradescartaraquellas que no presenten rentabilidad.VPNA = -4500+643(P/A, 7%, 10) = 16VPNB = -7000+ 1OOO(P/A, 7%, 10) = 24VPNc = -6000+870(P/A, 7%, 10) = 110.51Si cada una de las opciones de inversión es independiente, según el criterio delVPN, cualquiera es atractiva como inversión. Pero el problema para losinversionistases distinto. Si se sabe que construyendo la universidad de menor inversión, yasetiene una rentabilidad, dado que el VPN > O,la pregunta seria: ¿es conveniente,desdeel punto de vista económico, incrementar la inversión de $4500 a $6000 (miles depesos) o aun aumentarla hasta $7000, dadas las expectativas de ganancia de cadainversión adicional?Como ya se determinó que la alternativa de menor inversión, la A, por sí mismaes rentable, se toma como punto de comparación. A partir de esta referencia seanaliza si a los incrementos de la inversión corresponde el suficienteincrementoen ganancias. Como el objetivo es la comparación de cada una de las alternativasenorden creciente de inversión, para realizar el análisis incremental convienehacer unordenamiento de las alternativas, de menor a mayor inversión, tal y como semuestraen la tabla 4.2 (en miles):TABLA 4.2Alternativa Inversión Beneficio anualA $4500 643e 6000 870B 7000 1000 El resultado indica que es conveniente realizar la inversión extrade $1 500, puestoque el VPN de los incrementos es positivo. Aquí es necesario señalar dos cosas:laprimera es que en la forma de cálculo siempre se deben restar las cifras de laalternativade mayor inversión de las de menor inversión. Por ejemplo, se debe restar 6000 -4500 y no 4500 - 6000. El siguiente aspecto es que para aceptar un incrementode la inversión se sigue el criterio normal de decisión del VPN, es decir,acéptesecualquier inversión cuyo VPN ~ O.Como ya se sabe que la iterativaA es rentable, dado que VPNA = 16, analíceseahora si el incremento de inversión de $4500 a $6000, es decir, si aumentando lainversión $6000 - 4500 = $1500, la ganancia extra de $870 - 643 = 227 eseconómicamenteconveniente a la tasa de referencia de 7%. Este análisis se puede expresarcomo la obtención de Ó.VPNCA, léase VPN incremental de e respecto de A.Ó.VPNCA = - (6000 - 4500) + (870 - 643)(P/A, 7%,10) = 94
  41. 41. 146 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALMáquina nueva:GRÁFICA 4.6 140001 2 3 4 5 6 718 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡145000 33700 33700 33700 33700 33700 33700 33700 33700Máquina usada:GRÁFICA 4.7 10001 2 3 4 5 6 7 8EJEMPLO 4.4 Se tiene una máquina blister que fue comprada hace cuatro años. Loscostos anuales de operación de la máquina son de $60800. El valor de la máquinausadaen el mercado es de $1 000, y su valor de salvamento al final de ocho añostambiénse estima en $1000. Como genera un alto porcentaje de desperdicio de envase sehapensado en reemplazarla por una máquina nueva, la cual tiene un costo de$145000,se ha calculado que reducirá los costos de operación a tan sólo $33 700 anualesy tieneun valor de salvamento de $14000 al final de ocho años.La TMAR de la empresa es 10%. Para un periodo de análisis de 8 años, determínesela conveniencia económica del reemplazo.SOLUCiÓN . Los problemas de reemplazo se pueden resolver de tres formasdistintas.Todas llevan al mismo resultado numérico y, por lo tanto, a la misma decisión.Eldiagrama de flujo es el siguiente:1000 60800 60800 60800 60800 60800 60800 60800 60800MÉTODO I Se analiza por medio del CAUE, suponiendo que actualmente no seposee ningún activo, ni el usado ni el nuevo. Esto lleva a una selección deentre dosalternativas. ¿Qué es preferible desde el punto de vista económico? Comprar unequipousado con un valor de adquisición de $1 000, costos anuales de $60800 y valorde salvamento de $1 000 al final de ocho años; o comprar un equipo nuevo con lasmismas funciones, pero con un costo inicial de $145000, costos anuales de $33700Yvalor de salvamento de $14000 al final de ocho años.CAUEN= $145000(A/P, 10%,8) - 14000(A/F, 10%,8) + 33700 = $59655.17CAUEu = $1 OOO(A/ P, 10%, 8) - 1OOO(A/ F, 10%, 8) + 60800 = $60900
  42. 42. 154 CAPÍTULo 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALTABLA 4.5A B eInversión inicial 150 172 162Costo de producción (años 1-10) 60 48 51Valor de salvamento 25 33 48Para un horizonte de planeación de 10 años y con una TMAR de 8% anual,determínese la alternativa más conveniente por medio del CAVE.SOLUCiÓN I.A El diagrama de flujo presenta tres alternativas (véanse lasgráficas4.9, 4.10 Y4.11).Alternativa A (diagrama)GRÁFICA 4.9 150 ¡ 60 60 60 60 60 t 1-77 O 1 8 9 1025Alternativa B (diagrama)GRÁFICA 4.10 1L72 48 48 48 48 48 0++77 8 9 1033Alternativa e (diagrama)GRÁFICA 4.11 1621 51 51 51 51 51 t t-77 O 1 8 9 1048
  43. 43. PROBLEMAS RESUELTOS 155Es preciso pasar todo al presente y después anual izar:CAUEA = [150 + 60(P/A, 8%, 10) - 25(P/F, 8%, 10)] (A/P, 8%, 10) = $80.6CAUEB = [172 + 48(P/A, 8%,10) - 33(P/F, 8%,10)] (A/P, 8%,10) = $71.3CAUEc = [162 + 51(P/A, 8%, 10) - 48(P/F, 8%, 10)] (A/P, 8%, 10) = $71.8SOLUCiÓN I.B Anualizar directamente:CAUEA = 150(A/P, 8%, 10) + 60 - 25(A/F, 8%, 10) = $80.6CAUEB = 172(A/P, 8%,10) + 48 - 33(A/F, 8%,10) = $71.3CAUEc = 162(A/P, 8%, 10) + 51 - 48(A/F, 8%, 10) = $71.8Seleccionar B por tener el costo anual más bajo. Recuérdese que en estetipo de análisis los costos son positivos y los ingresos negativos, como elvalorde salvamento.2,. Se tienen dos alternativas mutuamente exclusivas para adquirir una planta deenergía eléctrica. En la tabla 4.6 se presentan los datos económicos.TABLA 4.6Diesel GasolinaInversión inicial $80500 $77000Mantenimiento anual 5300 5300Vida útil 10 9Valor de salvamento 10500 5000a) Para un periodo de siete años y con una TMAR de 12% anual, determínesela mejor alternativa por medio del CAUE.b) Realice la misma determinación para nueve años.SOLUCiÓN A Los problemas que se plantean en esta forma tienen varias carenciasen el planteamiento. Si las vidas son como el problema de 10 Y nueveaños, respectivamente, no se fija un periodo determinado de análisis, dandooportunidadal estudiante a que resuelva este aspecto como mejor le plazca, es decir,fijando él mismo un horizonte de tiempo de nueve, 10 o de un múltiplo de estenúmero de años, aunque esto origine una elección distinta de alternativas segúnel periodo fijado. En otros problemas, una alternativa tiene una vida tal que esunmúltiplo de la segunda, por ejemplo, 10 Ycinco años, con 10 cual se simplificaelanálisis, pues si el horizonte de planeación son 10 años se repiten los datos dela alternativa de cinco años por dos veces y asunto concluido. En general, tantoel planteamiento como el horizonte de planeación se restringen a esta soluciónsimplista y no convincente.
  44. 44. PROBLEMAS RESUELTOS 157Para la máquina de gasolina, el VS = 5000 (dato del problema):CAUEdiesel = 80500(A/P, 12%,9) + 5300 - 17500(A/F, 12%,9) = $19225CAUEgas = 77000(A/P, 12%,9) + 5800 - 5000(A/F, 12%,9) = $19914Para un periodo de nueve años, selecciónese la alternativa diesel. De hecho,según el esquema planteado, para cualquier año siempre será preferible laalternativade diesel sobre la de gasolina, lo cual muestra la consistencia del enfoque.3. En una fábrica de troquelado s se tiene una máquina obsoleta cuyos costos deoperaciónascienden a $61500 al año. Sus costos de mantenimiento son $8100, perose espera que aumenten a $300 en cada uno de los años sucesivos. En laactualidad,es posible vender la máquina usada como desecho en sólo $300 y dentro de seisaños ya no tendría ningún valor. Hay una máquina nueva que se puede adquirir por$118294, con lo cual bajarían los costos de producción a $40 OOO/añopordisminucióndel material defectuoso, y su costo anual de mantenimiento sería de $5000.Este equipo nuevo tiene un valor de salvamento estimado en $28000 al final desu vida útil de seis años. Para este periodo y con una TMAR = 7%, determínesela conveniencia económica del reemplazo calculando la TIR incremental.SOLUCiÓN En este tipo de problemas no hay ingresos sino costos. Sin embargo,dado que la nueva máquina produce determinados ahorros que deben sertomados como beneficios, la TIR se calcula como el incremento en beneficios queproduce el incremento de la inversión. La inversión actual es, de hecho, elvalorde mercado que tiene la máquina usada ($300) y sobre esto hay un incremento deinversión que es el costo de la máquina nueva. El problema tiene laparticularidadde que los flujos de los costos anuales no son constantes, lo cual hace que añocon año se deban calcular los incrementos en beneficios. En las tablas 4.7 y 4.8se establecen los datos:Máquina usada-TABLA 4.7 f TI ,d·_e *55 *W fk15R53"Año Inversión Costo anual Mantenimiento TotalO 300 3001 61500 8100 696002 61500 8400 699003 61500 8700 702004 61500 9000 705005 61500 9300 708006 61500 9600 71 100VS Oeehe* 61& .$$$. *@ id
  45. 45. 158 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALMáquina nuevaTABLA 4.8Año Inversión Costo anual Mantenimiento TotalO 1182941 40000 5000 450002 40000 5000 450003 40000 5000 450004 40000 5000 450005 40000 5000 450006 40000 5000 45000YS 28000Los flujos incrementales se obtienen restando la alternativa de mayor inversiónde la de menor inversión, por lo que el cálculo de la TIR incremental queda delasiguiente manera:118294 - 300 = 29600(P/A, i, 6) + 300(P/G, i, 6) + (28000 - O)(P/F, i, 6)Esta forma de calcular la TIR incremental viene de la definición de TIR comoTIR es la i que hace que la suma de losflujos descontados sea igual a lainversióninicial.Por tanteos se encuentra que TIR incremental = 12%; por lo tanto, se aceptael reemplazo.4. Un hombre de negocios tiene varias opciones para invertir en un local ubicadoenun gran centro comercial. Tanto el tipo de negocio que puede instalar como susganancias probables se muestran en la tabla 4.9.TABLA 4.9NegocioBeneficio anualInversión (años 1-10)Tienda de ropaAgencia de viajesElectrodomésticosLibreríaMuebleríaRegalos16000013000035000022500051000014500057000220001920008900027300035500
  46. 46. PROBLEMAS RESUELTOS 159La inversión incluye el terreno y tiene un valor de salvamento de 25% del costoinicial en cada tipo de negocio al final de 10 años. La TMAR es de 25% anual:a) Si se cuenta con $510 000 Ysólo se puede instalar un negocio, determínese poranálisis incremental cuál es el más conveniente. b) Si cuenta con $510 000 perodebe instalar un número de negocios tal que agote el máximo de dinero, ¿cuálesdebeinstalar?SOLUCiÓN A El primer paso de solución es hacer una nueva tabla con ordenamientode las inversiones de la menor a la mayor y calculando el VS de cadaalternativa como se muestra en la tabla 4.10.TABLA 4.10Beneficio anual VSNegocio Inversión (años 1-10) 1-0.25l. Agencia de viajes 130000 22000 325002. Regalos 145000 35500 365003. Tienda de ropa 160000 57500 405004. Librería 225000 89000 565005. Electrodomésticos 350000 192000 875006. Mueblería 510000 273500 115500Se analiza la primera alternativa para observar si por sí misma es rentable.VPN¡ = -130000 + 22000(P/A, 25%, 10) + 32500(PIF, 25%, 10)= -$47948Como VPN < Ose rechaza y se analiza la segunda alternativa por sí misma.VPN2 = -145000 + 35500(P/A, 25%,10) + 36250(P/F, 25%,10)= -$14336Se analiza la tercera alternativa por sí misma.VPN3 = -160000 + 57500(P/A, 25%,10) + 40000(P/F, 25%,10)= $496T29Se acepta invertir en la tercera alternativa, puesto que su VPN > Oy se tomacomo referencia para compararla con la siguiente de mayor inversión (cifras enmiles):8 VPN4:3 = - (225 - 160) + (89 - 57.5) (P/A, 25%, 10) +(56.25 - 40) (P/F, 25%, 10) = 49.23
  47. 47. GRÁFICA 4.12 x100 100 100 100 1001 1 1 1 1 1O 1 2 3 4 5VPA = 100 + 100(P/A, 10%,4) + x (P/F, 10%,5)PROBLEMAS RESUELTOS 161mutantes exclusivos, es decir, sólo se puede aceptar uno, siempre se debeintentarinvertir la mayor cantidad de dinero con rentabilidad, lo cual hace elegir laalternativa 6. Si se eligiera la 5, implicaría sólo invertir $350 y con el resto$160,hacer nada; esto es, ganar un VPN de cero, en tanto que al invertir en 6 no setiene dinero ocioso, sino que se gana la TMAR de 25% y algo más, pero en unainversión mucho mayor. Cuando las alternativas no son mutuamente exclusivas,es decir, cuando se pueden hacer tantas inversiones como alcance el dinero, elcriterio a seguir es tomar las inversiones rentables cuya suma de VPN sea mayor.De ahí el cambio de decisión.5. Una empresa en expansión necesita una computadora de alta capacidad para elprocesamiento de la información. Una compañía le ofrece dos planes deadquisición.El plan de arrendamiento consiste en el pago por adelantado de $100000durante cinco años, al cabo de los cuales se puede comprar la computadora porcierta cantidad; en este plan, el comprador no paga mantenimiento anual por eluso del equipo. En el plan de compra se hace un desembolso inicial de $330000y además el comprador tendría que pagar el mantenimiento anual del equipo queasciende a $25000 cada fin de año. Con una TMAR de 10% anual y con el plande arrendamiento, ¿cuál es la cantidad máxima que se debe pagar al final decincoaños por la computadora, para que ambos planes sean indiferentes?SOLUCiÓN Éste es un problema al que algunos autores le llaman punto deequilibrio por el hecho de que el costo anual de cada alternativa debeigualarse,sin embargo queda una incógnita en alguno de los miembros de la igualdad, quees justamente la pregunta que se hace en el problema.Un aspecto interesante es la declaración del enunciado del problema encuanto al pago de arrendamiento por adelantado. Para efectos de solución, elprimer pago por adelantado se considera una inversión, el segundo pago comouna cantidad de fin de periodo en el año uno etc. (véase una mayor explicaciónen el capítulo 5).Para resolver el problema se plantean las ecuaciones de costos de ambosplanes y se igualan, como se muestra en las gráficas 4.12 y 4.13.Arrendamiento (cifras en miles):
  48. 48. 162 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)y ANÁLISIS INCREMENTALCompra:GRÁFICA 4.13330125 25 25 25 251 1 1 1 1 O 1 2 3 4 5VP e = 330 + 25(P/A, 10%, 5)Para ser indiferentes ambos planes, VPA = VP ePor lo tanto, el pago por la computadora al final del año 5 es $12522.PROBlEMAS PROPUESTOS1. Se invirtieron $15 000 en el sistema de refrigeración de una planta. Se hancalculadolos costos de mantenimiento en $600 el primer año, y que aumentarán a razón de$300 al año durante un periodo de ocho años. Si la TMAR de esta empresa esde 10% anual, determínese el CAVE del sistema de refrigeración.RESPUESTA CAUE = $4312.2. Las canchas deportivas de un club social tienen un costo de mantenimientoanualde $12 000. Como se considera que el costo es alto se ha pensado en cambiaralgunosmateriales en la construcción de las canchas con una inversión de $25500,con lo cual, el costo de mantenimiento, se asegura, disminuirá a $6762 anuales.Sila TMAR que se considera es de 10% Yse planea para un periodo de siete años,determine la conveniencia de hacer la inversión adicional.RESPUESTA Tiene el mismo costo anual la instalación actual que la propuesta.3. Se tienen tres procesos alternativos para el troquelado de unas piezas. Lascaracterísticasde los procesos se muestran en la tabla 4.11.TABLA 4.1 IProceso A 8 e$10000$5600$15250$4973Costo inicialMantenimiento anual$13500$5200
  49. 49. PROBLEMAS PROPUESTOS 163Si la TMAR es de 5% y el periodo de análisis es de 10 años, determínese elproceso más conveniente por medio del CAVE.RESPUESTA Selecciónese B con un CAVE = $6895.4. Una compañía de mantenimiento industrial tiene dos alternativas para realizarlostrabajos de pintura: manual y automático. En la tabla 4.12 se presentan losdatosde las alternativas.TABLA 4.12Manual AutomáticoInversión $0 $100000Capacitación (en año O) $300 $100Prestaciones sociales/hombre $3000/año $1200/añoSeguro contra accidente/hombre $IOOO/año $4350/añoMano de obra $4200/año $4200/añoNúmero de trabajadores 6 2Si se está planeando para un periodo de cuatro años y la TMAR = 6%, ¿quéalternativa debe seleccionarse? Utilice el método de CAVE.RESPUESTA Seleccione el proceso automático CAVE = $48389.5. Un hombre compró un auto en $21 000 a principios de 1983. Los costos demantenimientofueron de $250 durante los tres primeros años (1983-1985). En losaños siguientes el costo de mantenimiento aumentó a razón de $50 cada año. Alfinal del año 1991 vendió el auto en $5 000. Si la TMAR = 10% anual, ¿cuál fueel costo anual por tener el auto?RESPUESTA CAVE = $3619.6. Un hombre ahorró $225000 para su retiro en un banco que paga 10% de interésanual. Este hombre pensó que si sólo retiraba cada año los intereses podríavivir elresto de su vida. Sin embargo, al cabo de 12 años se vio obligado a retirar $78863de su cuenta de ahorros. Si desea seguir disfrutando de la misma cantidad anualdelos primeros 12 años, ¿durante cuántos años podrá hacerlo hasta extinguir sufondo de ahorros?RESPUESTA 11 años.7. En la tabla 4.13 se presentan los datos económicos de tres alternativasmutuamenteexclusivas para un proceso de secado industrial:
  50. 50. 164 CAPÍTULO" COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)y ANÁLISIS INCREMENTALTABLA 4.13A B eInversión 17000 22000 20500Mantenimiento anual 3500 3 100 2750Valor de salvamento 2000 5500 3000II~: Vida útil (años) 5 5 7Si se está planeando para un periodo de cinco años y la tasa de interés que seaplica es de 8% anual, ¿qué alternativa debe seleccionarse?RESPUESTA Seleccione econ CAUE = $7374.8. Una empresa productora de cristal debe colocar un sistema anticontaminante ensuárea de fundición. Tiene dos alternativas, cuyos datos se muestran en la tabla4.14.TABLA 4.14Sistema A Sistema BCosto del sistema 560 Costo del sistema 620Cambio mensual de filtro 60 Cambio bimestral de filtro 75Limpieza semestral de ductos 110 Limpieza trimestral de ductos 70Ahorro de combustible/mes 20 Ahorro de combustible/mes 15Valor de salvamento 100 Valor de salvamento 120Si la TMAR de la empresa es de 15% y se planea para un periodo de seisaños, determínese por CAUE cuál es la alternativa más atractiva desde el puntode vista económico.RESPUESTA Selecciones B con un CAUE = $700.9. El poderoso grupo industrial Omega terminó los estudios de inversión parainstalaruna nueva empresa que fabricará partes automotrices. Aún no se decide el tamañode la empresa. Los datos se muestran en la tabla 4.15.TABLA 4.15iiCapacidad anualinstaladaInversión(millones)Beneficio anual(millones) (años 1-10)10000 piezas14000 piezasI8000 piezas22000 piezas3600405050005500620720885977
  51. 51. 166 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL12. La administración de una futura escuela privada está indecisa sobre cuál eselnúmero óptimo de salones que debe construir. Cada nivel de la edificación sólopuede contener cuatro salones con capacidad de 35 alumnos cada uno. Laaportaciónanual de la colegiatura por alumno es de $512 y se supone que,independientementedel número de salones, éstos siempre se llenarán en su totalidad. Loscostos de construcción se muestran en la tabla 4.17.TABLA 4.17Número de salones Costo (en miles)12345678910111290000170000249000310000400000483000559000605000697000771000855000925000Si la TMAR de la escuela es de 8% y el periodo de planeación es de seis años,determínese por análisis incremental cuál es el número óptimo de salones quedeben construirse.RESPUESTA Constrúyanse 4,8 o 12 salones.13. La compañía B-B (Bit-Byte) desea instalar una red de cómputo en su edificioadministrativo. Se tienen cinco alternativas topológicas para su instalación,cuyosdatos se establecen en la tabla 4.18.TABLA 4.18Características Árbol Bus Estrella Anillo MallaServer-Modem -9500 10000 9000 8700 9400Cableado 6050 3500 5700 3600 7250Núm. de terminales 18 14 15 13 17Costo por terminal 2200 2200 2200 2200 2200(Continúa)
  52. 52. PROBLEMAS PROPUESTOS 167TABLA 4.18 ContinuaciónCaracterísticas Árbol Bus Estrella Anillo MallaCosto anual de energía 5600 5100 5200 5800 6000Mantenimiento anual 2200 2100 1900 1700 2400VS 3100 1000 1800 2050 2800Si la TMAR de B-B es de 8% anual, determínese por CAVE qué topología debeseleccionarse para la red, si ésta se planea para un periodo de 10 años.RESPUESTA Selecciónese topología de anillo, CAUE = $13453.14. Una empresa transnacional cuenta con una cartera de inversionesdiversificadaspara instalar industrias en diferentes países. Los datos de los estudiosrealizadosse muestran en la tabla 4.19.TABLA 4.19Inversión(millones de dólares)Beneficio anualPaís (millones de dólares)60487163.554.8699.07.010.99.58.410.7Costa RicaRepública DominicanaBrasilArgentinaVenezuelaPuerto RicoLas inversiones se están planeando para un periodo de nueve años. Se hacalculado que el VS de las inversiones sea de 35% de su valor original,cualquieraque sea el país donde esté la industria. Si la TMAR de la transnacional es de10%anual, determínese por análisis incremental en qué país debe invertir.RESPUESTA Selecciónese Puerto Rico.15. Elpidio Rueda, propietario de un vehículo de transporte colectivo decapacidadreducida, piensa adquirir un microbús para elevar de manera considerable susingresos actuales. El vehículo que ahora posee tiene un valor en el mercadoprácticamentenulo. A pesar de esto, le proporciona ingresos por $20440 al año. Sicompra un microbús tiene que hacer una inversión de $67500, pero sus ingresosnetos se elevarían a $42000 al año. Debido a la intensidad de uso, el microbústiene una vida de sólo cinco años, al término de los cuales puede ser vendido en$7500. Determínese la tasa de rendimiento de la inversión.RESPUESTA 20% anual.
  53. 53. 168 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL16. El investigador Anófeles del Río pidió un enorme presupuesto en lainstitucióndonde labora para desarrollar un medicamento contra la adicción al tabaco. Lainversión en equipo de investigación fue de $98500. El sueldo de losinvestigadoresse contabilizó al final del primer año en $122000 durante ese año. Alinicio del segundo año se compró equipo adicional por $87800 Y se contrató amás personal, con lo que el monto de los sueldos aumentó a $163000 por año,manteniéndose constante hasta el final del cuarto año, durante el cual, al noobtenerningún resultado, se concluyó la investigación. La institución que lo apoyóvendió los equipos en $75000, pero hasta el final del quinto año de iniciadoslostrabajos. Si la TMAR considerada es de 7% anual, ¿cuál fue el CAVE durantelos cuatro años que duró el esfuerzo de Anófeles?RESPUESTA CAUE = $189177.17. Un hombre compró un auto por $30000 al inicio del año 1. Al final de cadaunode los dos primeros años gastó $280 en el mantenimiento de su auto. Al final deltercer año chocó el auto y la reparación, junto con el mantenimiento de ese año,fue de $690. Al final del cuarto año el mantenimiento costó $350 y al final delquinto este costo ascendió a $400. Si logró vender el auto al final del sextoañopor $8000, determínese, con una TMAR = 13%, el CAVE que tuvo este hombre. por conservar el auto durante los seis años.RESPUESTA CAUE = $6888.18. Para el departamento de secado de una empresa de muebles esmaltados esposibleadquirir un equipo Alfa a un costo de $187000, que tiene un costo anual demantenimiento de $22000 y un valor de salvamento de $40000 al final de su vidaútil de seis años. El equipo alternativo Kappa tiene un costo de adquisición de$180000, y sus costos anuales de mantenimiento son de $12000 el primer año,con incrementos anuales de $5000. La vida útil que da el fabricante a esteequipoes de nueve años, con un valor de salvamento de $15000 al final de ese periodo.La TMAR es de 8% anual. Si se desea tomar una decisión sólo para seis años,¿cuál debe ser el valor de salvamento del equipo Kappa al final de seis añosparaque las alternativas resulten indiferentes desde el punto de vista económico?RESPUESTA El VS de Kappa a los seis años debe ser $39026.19. Se tienen tres procesos opcionales para producir un artículo (véanse losdatos enla tabla 4.20).TABLA 4.20Ghimel Beth ThawInversión 6000 9000 7000Mantenimiento anual 438 610 550Vida útil (años) 7 10 9VS 1800 O 700
  54. 54. PROBLEMAS PROPUESTOS 169El valor de salvamento de la inversión disminuye 10% del valor original cadaaño en los tres procesos. Así, para el proceso Ghimel, al cabo del año 1, su VSserá de $5400, al final del año 2 será de $4800, etc. Si la TMAR es de 7% anualy se está planeando para un periodo de seis años, determínese cuál es la mejoralternativa por medio del CAVE.RESPUESTA Selecciónese Ghimel, CAVE = $1361.20. Al excéntrico millonario Lothiman Gacheaux le vendieron grandes extensionesdeterreno en la tierra de Malkuth, en el extremo sur del Medio Oriente, a un costode $1 200 millones de dólares. Con la idea de encontrar petróleo gastó $420millonesen exploraciones cada año, durante los tres primeros años. Cualquier estudiosodeeste tema sabe que en Malkuth no hay oro negro sino plomo, así que Lothimanencontró un gran yacimiento de plomo, del cual obtuvo ganancias netas de $500millones al final de los años 4, 5, 6 y 7. Cansado de esta aventura, vendió losterrenos y el yacimiento por $300 millones al final del año 7. Si la TMAR es de9% anual, ¿cuál fue el CAUE del señor Gacheaux en sus andanzas durante sieteaños por las tierras de Malkuth?RESPUESTA CAVE = $168.21. La empresa Akasha, fabricante de la fibra óptica Fohat, desea aumentar suproducción.Cuenta con tres procesos mutuamente exclusivos, cuyos datos se muestranen la tabla 4.21.TABLA 4.21Hamsa Adin PimanderInversión inicial 133000 127500 138700Metros producidos por año 31416 25920 35000Costo anual de producción 36300 25850 36980Vida útil (años) 27 30 33Cada metro de fibra puede venderse en $1.35. El valor de salvamento de losequipos disminuye 3% de su valor inicial con cada año de uso. Se planea para unperiodo de 25 años, pues se supone que después de ese tiempo la demanda de lafibra Fohat disminuirá por el desarrollo de nuevas tecnologías. La TMAR deAkasha es de 5% anual. Por medio de análisis incremental determínese cuál es lamejor alternativa.RESPUESTA Selecciónese Pimander.22. Una pequeña editorial imprime actualmente sus textos por medio del antiguosistema master-print. A pesar de lo obsoleto del equipo sus ganancias ascienden
  55. 55. PROBLEMAS PROPUESTOS 171TABLA 4.23Inversión en Beneficiolaboratorios Matriculado anual porLicenciatura (millones) por año estudianteAdministración $ 3 880 $ 6500Medicina 72.0 260 14000 Turismo 1.0 700 5100Ingeniería química 42.0 275 10800Ingeniería industrial 68.0 290 10000Contaduría 2.9 1300 5900La inversión en terreno y aulas construidas es de $150 millones, cualquieraque sea el tipo y número de licenciaturas aprobadas. La TMAR de la universidades de 6% anual y se planea para un periodo de 15 años. El valor de salvamentode la inversión inicial total (incluida construcción y laboratorios) al final delos15 años es de 20%. Si el dinero no es una limitante para la universidad, ¿cuáleslicenciaturas debe impartir?RESPUESTA No deben impartir medicina ni ingeniería industrial.25. Se tiene un proceso de liofilizado de vitaminas, cuyo costo de operaciónactual esde $125000 al año y se espera que continúe así en forma indefinida. Unliofilizadoralternativo que se puede adquirir por $238138, puede disminuir los costos a$120000 el primer año, a $100000 el segundo, a $80000 el tercero y a $70000de los años cuarto al octavo. El nuevo equipo podrá venderse en $25 000 alfinal de su vida útil de ocho años. Si se planea para este periodo, determínesela tasa de rendimiento incremental de la inversión.RESPUESTA 9% anual.26. En la tabla 4.24 se presentan alternativas mutuamente exclusivas paraconstruirun club deportivo privado:TABLA 4.24Alternativa12345Inversión (millones)235300210280315Beneficio anual(años 1-10)-3545313847
  56. 56. 172 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTALEl valor de salvamento de cada alternativa es de 15% de la inversión inicialen esa alternativa. Si se planea para un periodo de 10 años y la TMAR es de 8%anual, determínese por análisis incremental qué alternativa debe seleccionarse.RESPUESTA Selecciónese la alternativa 1.27. Se tienen dos alternativas mutuamente exclusivas para adquirir una máquinaroladorade placas de acero: la máquina A tiene un costo inicial de $630000 y suscostos de operación son de $35000 el primer año, con aumentos de $15000 encada uno de los años subsecuentes. La máquina B tiene un costo de adquisiciónde $600000, así como costos de operación de $100000 durante el primer año yuna disminución de $12000 en cada uno de los años siguientes. Ambas máquinastienen una vida útil estimada en seis años y un valor de salvamento de 20% de sucosto de adquisición. Si la TMAR es de 10% anual, determínese por CAVE quéalternativa debe seleccionarse.RESPUESTA Selecciónese B, CAVE = $195517.28. Se tienen tres alternativas mutuamente exclusivas para adquirir y operar unhornoindustrial eléctrico. Los tres hornos están diseñados para trabajar en promedio6000 horas/años, de forma que para obtener las horas de trabajo en su vida útil,sólo se multiplica ésta por las horas de trabajo por año. Estudie los datos delatabla 4.25.TABLA 4.25A B eInversión 360 320 405Costo operación manual 57 50 51Vida útil (años) 10 7 12Horas de trabajo en vida útil 60000 42000 72000El VS de un horno se calcula con la siguiente fórmula:1nverSl.Or n l• fil•C•la1- 1nverSl.O, n l.fil.C.la1[ Horas trabajadas] = VSHoras de su vida útilde manera que si cualquier horno trabaja toda su vida útil, su valor desalvamentoes cero. La TMAR de la empresa es 10% anual. Si se desea hacer un estudio sólopara seis años, determine la mejor alternativa por medio del CAVE.RESPUESTA Selecciónese B, CAVE = $117.5.29. En una escuela están considerando la opción de comprar o rentar untransportepara sus alumnos. Si se compra, el vehículo tendría un costo inicial de $70000,una
  57. 57. a)b)PROBLEMAS PROPUESTOS 173vida útil de seis años con un valor de salvamento de $4500 al final de eseperiodoy los costos anuales de mantenimiento ascenderán a $7200 cada fin de año. Si eltransporte se renta, el pago por este concepto se deberá hacer por adelantado y,además la escuela deberá pagar $3 800 al final de cada año para mantenimientomenor, según lo estipula el contrato. Si la TMAR es de 12% anual, ¿cuál será lacantidad que deberá pagarse como renta y que hará indiferentes a las dosalternativas?RESPUESTA Para un periodo de seis años $17742/año.30. Debido a las constantes inundaciones que sufre el centro de la ciudaddurante laépoca de lluvias, se ha pensado en dos posibles soluciones al problema:Cambiar la tubería de 20 pulgadas de diámetro por otra de 25 pulgadas a uncosto de $300 millones por kilómetro, ya instalada. Esta tubería tendría unavida útil de 20 años sin valor de salvamento.Instalar una tubería paralela de 10 pulgadas de diámetro a un costo de $135millones el kilómetro, con una vida útil de 20 años sin valor de salvamento.Esta alternativa tiene la desventaja de que la tubería actual ya sólo cuenta conuna vida útil de 10 años, al cabo de los cuales tendría que ser reemplazada porotra tubería de 15 pulgadas de diámetro que costaría $185 millones/kilómetroya instalada.Con cualquier alternativa, la tubería debe tenderse sobre una distancia de 7kilómetros hasta un colector periférico al centro de la ciudad. Las autoridadesdela ciudad desean hacer una planeación para 20 años y aplican una TMAR de 5%anual para este tipo de estudios. ¿Qué alternativa debe seleccionarse?RESPUESTA Selecciónese la opción b).31. Considere los siguientes cuatro proyectos mutuamente exclusivos. Utiliceanálisisincremental para seleccionar la mejor alternativa con un n = 10 años y unaTMAR = 8%.TABLA 4.26Beneficio CostoProyecto Inversión anual anual VSA 1600 630 140 210B 1800 492 60 180e 978 500 100 100D 1390 550 120 150RESPUESTA Seleccionar el proyecto B.
  58. 58. 174 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL·32. Una empresa desea adquirir un equipo para mejorar su línea de producción ytienetres alternativas, cuyos datos son los siguientes:TABLA 4.27A B eInversión inicialCosto de operación año IIncremento anual del costo de operaciónVS2300600509002500870-30680241040070900Obsérvese que la alternativa B tiene un incremento negativo en su costo deoperación anual. Para un periodo de seis años y con una TMAR = 10%, determínesela mejor alternativa por medio del CAVE.RESPUESTA Seleccionar la opción e con CAUE = $992.33. De las siguientes alternativas seleccione la mejor desde el punto de vistaeconómicoy por medio de análisis incremental, con una n = 6 YTMAR = 9%.TABLA 4.28Alternativa Inversión Beneficio anualABeDEVS25015010020030050.2833.020.1043.4961.5025151002030RESPUESTA Seleccionar la alternativa D.34. Una empresa desea adquirir una máquina que no genera ingresos por sí misma,ya que forma parte del proceso de producción. Se tienen los siguientes datos enmiles de pesos:TABLA 4.29Inversión Costo anualMáquina inicial de operación VSAlemana 960 40 -100-Italiana 600 70 50Japonesa 1050 35 140Americana 830 50 60
  59. 59. 176 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL37. Una empresa tiene una máquina usada. Si se vendiera en el mercado en estemomento tendría un valor de tan sólo $15000. Sus costos de operación ymantenimientose espera que sean de $25 000 al final del próximo año y se incrementaránen $5000 al final de cada uno de los años sucesivos. Se estima que lamáquina aún tiene una vida útil de siete años más, al cabo de los cuales suvalorde salvamento sería de cero. Se puede comprar una máquina nueva que sustituyaa la usada, a un costo de $60000 en este momento. El fabricante garantiza unoscostos de operación y mantenimiento constantes de $30000 al final de cada unode los siete años de vida útil que tiene la máquina, al final de los cualestendríaun valor de salvamento de $15000. Determínese la conveniencia económica delreemplazo por tres métodos distintos, si la TMAR de la empresa es 10%.RESPUESTA CAVEN - CAUEu = -$445.91 aceptar reemplazo.38. Se tienen los siguientes datos:TABLA 4.32AlternativaABeDEFInversión610700540800920775Beneficio anual153155110170184180El valor de salvamento es de 10% de la inversión inicial. Con una TMAR =8% y n = 6. Determínese la mejor alternativa por análisis incremental.RESPUESTA Seleccionar la alternativa A.39. Con los siguientes datos, selecciónese la mejor alternativa por medio delanálisis incremental.El horizonte de planeación es de 10 años y la TMAR es de 12% anual.TABLA 4.33Alternativa Inversión Beneficio anual --- VS- A -100 18.31 9.47B -150 20.10 8.50e -80 14.50 14.21D -250 38.50 80.50E -220 33.60 78.58F -180 25.00 10.00
  60. 60. PROBLEMAS PROPUESTOS 177RESPUESTA Seleccionar la altemativaA.40. Se tienen cinco proyectos mutuamente exclusivos. El horizonte de planeaciónesde 10 años y la TMAR es de 11% anual. Determínese cuál es el proyecto másconveniente desde el punto de vista económico, utilizando análisis incremental.Los datos son los siguientes:TABLA 4.34lB; 5 IIl • S aBeneficio CostoProyecto Inversión anual anual VSA 1590 632 132 210B 1200 490 65 180e 980 505 108 100D 1400 540 liS 150E 1936.19 733 190 290RESPUESTA Seleccionar el proyecto A.41. Para comprar un centro de maquinado se tienen dos alternativas, cuyos datossemuestran en la siguiente tabla:TABLA 4.35Año A BO -325 -4001 -28 -202 -28 -203 -35 -204 -42 -205 -49 -256 -49 -357 -49 -458 -49 -55VS 75 179.34En el año cero, el signo negativo significa inversión y los signos negativos detodos los años significan costos de operación. El valor de salvamento con signopositivo es al final del año ocho. Determínese por medio de tres métodosdistintoscuál es la mejor alternativa si la TMAR = 15% .RESPUESTA CAUEB - CAUEA = -$2.7 aceptar B.
  61. 61. 178 CAPÍTULO 4 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) y ANÁLISIS INCREMENTAL42. Se desea construir un almacén para cubrir una nueva área de mercado. Luegodeun minucioso análisis se obtuvieron las siguientes cifras:TABLA 4.36Ciudad Costo inicial Ingreso anual ~~ A $1000000 $407180B 1900000 562476e 1260000 482377D 1620000 547771E 1 120000 444794F 1420000 518419Para un periodo de 15 años, una TMAR de 14% anual y un valor de salvamentode 10% de la inversión inicial, determínese por análisis incrementalla localidaddonde debe construirse el nuevo almacén.RESPUESTA Seleccionar la ciudad F.43. Una empresa está evaluando la posibilidad de reemplazar una máquina deimpresióncuyo costo de mantenimiento anual es de $27000 y tiene un valor desalvamento, en cualquier momento en que sea vendida, de $28000. La empresaha solicitado la cotización de tres máquinas de distinta tecnología parareemplazara la máquina actual. Los datos son:TABLA 4.37Máquina Americana Japonesa ItalianaPrecio $300000300008000$2050002600011000$2360002800010000vsCosto anual de operaciónLa TMAR es de 6% anual y la vida útil es de 10 años para todas las máquinas.Determínese:a) La mejor alternativa por medio de CAUE.b) Compárese la máquina seleccionada con la que en la actualidad se tiene yevalúe si el reemplazo es económicamente rentable.RESPUESTA a) Seleccionar la máquina japonesa con CAUE = $36840.56, b) No esconveniente el reemplazo, el VPN incremental es de -$44385.44. Se desea comprar una casa de contado cuyo costo es de $240363.47. Aladquirirla,se pagaría el impuesto predi al más el mantenimiento de la casa, lo cual arrojaun costo adicional de $2000 cada fin de año. Al final de 10 años, la casa podríavenderse en $100000. La casa también puede rentarse por $24000 pagaderos

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