3. Relación Una relación es una conexión o
correspondencia entre objetos o sujetos
representada como un conjunto de pares
ordenados
La relación “es menor que”, existe entre los
números 2 y 5
Relación Cosas que se relacionan
1 Es un múltiplo de … Número enteros
2 No es igual a … Números
3 Da más leche que … Vacas
4 Es congruente con … Triángulos
4. Relación 1 Una relación se define sobre conjuntos
de objetos o sujetos
La relación “es un múltiplo de …”, está definida
sobre un conjunto de números
La relación “nació en el año … está definida
desde un conjunto de gente hacia un conjunto
de números
2 El orden de los elementos es muy
importante y debe tenerse en cuenta
La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un
múltiplo de 12” es falsa
5. Ejemplo
Sean los conjuntos L; formado por las vocales
latinas, y G; formado por las vocales griegas
L a, e, i, o, u G , , ,, , ,
Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinas
con las vocales griegas (transliteración), R: LG.
R (a, ),(e, ),(e, ),(i, ),(o, ),(o, ),(u , )
Representación con pares ordenados
8. Funciones Algunas relaciones tienen una característica
que las hace especiales
Considera la relación “es hijo de …” definida
desde el conjunto H hacia el conjunto P
Pedro El diagrama establece
Enrique que Arturo y Aurora son
Arturo hijos de Rogelio, que
Rogelio Pedro es hijo de
H Aurora G
Mario Enrique, Norma es hija
Norma de Mario y Fátima es hija
Víctor de Víctor.
Fátima
9. Funciones ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la
figura?
¿Fátima es hija de Mario y Víctor?
Biológicamente es imposible que una persona
tenga dos padres
Pedro Si una relación excluye
Enrique
Arturo este tipo de
Rogelio correspondencias entre
H Aurora G los elementos de los
Mario conjuntos que la
Norma definen, hablamos de
Víctor una FUNCIÓN
Fátima
10. Toda ecuación es una Relación, pero no toda Relación es una Funciones
12. ¿Qué es una función?
Una función es una relación entre dos
conjuntos, donde a cada elemento del primer
conjunto le corresponde un solo elemento del
segundo conjunto.
Estos dos conjuntos son el dominio, que también se
conoce como X, y el alcance, conocido como Y.
Es un caso especial de una relación.
13. Funciones Una función se define formalmente de la
siguiente manera:
Sea f: A B una relación, entonces decimos que f
es una función de A hacia B si y solo si para cada
x A hay un solo y B tal que x f y, que se
denota como y=f(x).
i Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A
ii Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIO
iii A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de
imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la
función o Recorrido de la función
iv A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA
14. Funciones
Las funciones se clasifican:
1 Por la relación entre el Dominio y el Contradominio
Inyectivas Suprayectivas Biyectivas
2 Por su regla de correspondencia
Algebraicas Trascendentes
3 Por su simetría
Pares Impares
15. Clasificación de las funciones
Función Lineal f x mx b
Función Cuadráticas f x ax2 bx c
Función Cúbica f x ax3
Función Potencia f x xc
Función Raíz f x x donde x 0
1 x 0
Función Reciproca f x donde
x
16. Función Valor Absoluto f x x
x si x 0
donde
x 0 si x 0
x si x 0
p x an x n an 1 x n 1 a1 x a0
Funciones Racionales f x
q x bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0
Funciones Irracionales f x mx b
17. Función Exponenciales
f x bx
Función Logarítmicas
f x l o gb x
f x Sen x
Funciones Trigonométricas f x Cos x
f x Tang x
18. Funciones Hiperbólicas
ex e x
f x Senh x
2
ex e x
f x Cosh x
2
ex e x
f x Tangh x
ex e x
21. Función Inyectiva
Si f: A B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las
siguientes condiciones
A x1, x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)]
B x1, x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2]
Ejemplo Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de
los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el
conjunto de lugares en el estacionamiento.
A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
22. Función Inyectiva Ejemplo
En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar
específico para estacionar su carro.
Carro 1 Lugar 1
Carro 2
Lugar 2
Carro 3 Lugar 3
Carro 4 Lugar 4
Carro 5 Lugar 5
Lugar 6
Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de
¿Esta
estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento
relación es
del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo
una función?
Lugar 1
Carro 1 Lugar 2
23. Función Inyectiva Ejemplo
¿Esta Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros
función es diferentes, el lugar de estacionamiento que les
inyectiva? corresponde es diferente.
Carro 2 Lugar 2
Carro 3
En una función inyectiva NO se
permite este tipo de relaciones
24. Función Suprayectiva
Si f: A B es una función, es sobreyectiva si se cumple que:
A Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la
función sea exactamente igual al conjunto B
(contradominio)
y B existe x A tal que y=f(x)
Sea la función definida del
conjunto de carros hacia el Carro 1 Lugar 1
conjunto de lugares de
estacionamiento. Carro 2
Ejemplo
Carro 3
Lugar 2
Todos los elementos del contradominio SON
imágenes de algún o algunos elementos del Carro 4
Lugar 3
dominio.
Carro 5 Lugar 4
¡Esta función NO es inyectiva! Carro 6 Lugar 5
25. Función Suprayectiva
Carro 1 Lugar 1
¿La función
del ejemplo Carro 2
Lugar 2
anterior es
suprayectiva?
Carro 3 Lugar 3
Carro 4 Lugar 4
Carro 5 Lugar 5
Lugar 6
Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es
imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.
26. Función Biyectiva
Si f: A B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectiva
y suprayectiva, es decir,
Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos
A diferentes elementos del dominio
Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al
B menos un elemento del dominio
Sea la función definida del
conjunto de carros hacia Carro 1 Lugar 1
el conjunto de lugares de
estacionamiento. Carro 2 Lugar 2
Ejemplo Carro 3
Lugar 3
Carro 4
Lugar 4
Todos los elementos del contradominio SON
imágenes de solo un elemento del dominio.
La función es inyectiva y suprayectiva al Carro 5 Lugar 5
mismo tiempo.
Carro 6 Lugar 6
27. Una función algebraica tiene como regla de
correspondencia un número determinado de
Funciones Algebraicas operaciones como
suma, resta, multiplicación, división, radicaci
Ejemplos ón y potencia.
Funciones Racionales
Función cuadrática
A f ( x) x 2 3x 2
Función lineal
B f ( x) ax b Función Polinomial (entera) de grado “n”
C P ( x) an x n an 1 x n 1
... a2 x 2 a1 x a0
P( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x a0
D r ( x)
Q( x ) bm x m bm 1 x m 1 ... b2 x 2 b1 x b0
Función Racional No entera
28. Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de
correspondencia un número determinado de
operaciones como
Ejemplos suma, resta, multiplicación, división, radicaci
Funciones Irracionales ón y potencia.
A f ( x) x2 b B f ( x) x x2 1
x 1 x
C f ( x) D r ( x)
x 2 x2 4
Las funciones
E
x 1 irracionales incluyen
f ( x)
x 2 radicales en la regla de
correspondencia
29. Todas las funciones que NO son
algebraicas se conocen con el nombre
Funciones trascendentes de funciones trascendentes o
trascendentales
Ejemplos
A Función Exponencial B Función logaritmo
f ( x) ax , a 0 f ( x) log a x, a 0
C Funciones Trigonométricas (circulares)
f ( x) sin( x), f ( x) cos( x), f ( x) tan( x)
f ( x) cot( x), f ( x) sec( x), f ( x) csc( x)
D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas
Inversas
30. Función Par
Una función es par cuando se cumple que: f(x)=f(-x)
Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden.
La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y
Función Impar
Una función es impar cuando se cumple que: f(-x)=-f(x)
Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas.
La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
32. Función Lineal
La función lineal tiene la forma siguiente:
F(x)= mx+b Ó = mx+b
El dominio es donde X puede obtener cualquier valor.
En esta ecuación M respresenta la pendiente de la recta
y B representa el intercepto en el eje de Y (eje vertical).
33. Función Lineal: f(x)= 2x+5
Tiene una pendiente (m=2.)
Intercepto en Y es (0,5).
Intercepto en X es (-5/2).
La pendiente es positiva, por lo tanto la línea es de
forma creciente.
El domino y el alcance son los números reales.
No tiene asíntotas.
37. Características F(X)=2x+5
El dominio son todos los números reales.
La gráfica es una recta, con una pendiente de 2. Lo
cual nos dice que a medida que se mueve uno hacia
la derecha en el eje de X, se mueve dos hacia arriba
en el eje de Y.
No hay asíntotas.
Intercepto en el eje de X: (-5/2,0).
Intercepto en el eje de Y: (0,5).
39. Función Racional
Una función racional es la razon entre dos
polinomios y se expresa de la forma: x)
P(
f ( x) =
Q(x)
Donde la P(X) y Q(X) son funciones polinómicas y
Q(X), el denominador, NO puede ser cero.
El dominio de una función racional NO son todos
los números reales, ya que el denominador nos
plantea un valor que no puede ser incluido en el
dominio.
40. Ejemplos
x -4
2
3x - 1
g(x) = 2 f (x) = 2
x - 5x + 6 x -9
(x - 2)(x + 2) x +1
g(x) = f (x) = 2
(x - 3)(x - 2) 2x +5x - 3
41. Función racional: 1
2x + 5
1. Son líneas curvas, por lo tanto no tiene pendiente.
2. Intercepto en Y es (0,1/5).
3. No tiene intercepto en X.
4. Su dominio son todos los números reales, excepto -5/2.
(X⎮X≠-5/2)
5. Tiene asíntotas: líneas por donde la función no puede
pasar.
6. Asíntota vertical es x=-5/2.
7. Asíntota horizontal es y=0.
42. : 1
Trace la gràfica
2x + 5
5
1. El dominio es:{x / x ¹ - }
2 1 1
2. Intercepto de y es el par: (0,1/5), ya que: =
f (0) =
2(0)+ 5 5
1
3. Intercepto en X: 0=
2x + 5
0=(2x+5) 1 (2x+5)
2x + 5
0=1, No hay intercepto en X.
43. 1
Trace la gràfica 2x + 5
4. Asíntotas:
a) Horizontal: y=O, ya que el numerador tiene grado 0 es
menor que el grado del denominador que es 1.
Satisface una de las tres reglas: Si n < p, entonces la
gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y=0.
b) Vertical: x= -5/2, la asíntota vertical es la restricción del
dominio.
c) Oblicua: No hay asíntota oblicua, ya que el grado del
numerador es < que el grado del denominador.
44. : 1
Trace la gràfica 2x + 5
Se hizo una tabla de
valores para colocar
puntos adicionales en
la gráfica.
